PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS …

i

TESIS

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-

SELING: ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA

MARIA YULIANI DANGGO

161442014

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THESIS

SOLUTION TO THE ELASTIC WAVE EQUATION USING A STAGGERED GRID FINITE DIFFERENCE METHOD: MATHEMATICAL ASPECTS AND ITS EDUCATIONAL

ASPECTS


161442014

MASTER OF MATHEMATICS EDUCATION PROGRAM

MATHEMATICS AND SCIENCE EDUCATION DEPARTMENT

FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


iii

TESIS

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-

SELING: ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajat

Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika


161442014

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018


iv


v


vi

HALAMAN MOTTO

I see and I forget.

I hear and I remember.

I do and I understand.

- Confucius –

.


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini saya persembahkan untuk

Bapa Iu, Mama In, kakak Nobing, Uchan, Yoan, Yayan dan Deden

yang selalu mendoakan dan mendukung saya.

Terima kasih, kalian adalah hidup saya.


viii

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa Tesis ini tidak terdapat karya yang pernah

diajukan untuk memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan

sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah

ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam

naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 30 Juli 2018

Maria Yuliani Danggo


ix

ABSTRAK

Maria Yuliani Danggo, 2018. Penyelesaian Persamaan Gelombang Elastis Menggunakan Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling: Aspek Matematika dan Aspek Pendidikannya. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara matematis. Pemodelan masalah ini bertujuan untuk mempermudah menentukan solusi dari masalah tersebut menggunakan ilmu matematika. Salah satu model matematika dari masalah nyata adalah persamaan gelombang elastis. Dalam menentukan solusi dari persamaan gelombang elastis ini, diperlukan suatu metode yang sesuai dengan masalah gelombang elastis.

Pada penelitian ini, metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang elastis adalah metode beda hingga grid selang-seling. Metode ini berhasil menyelesaikan persamaan gelombang elastis dengan nilai awal yang halus (smooth). Solusi yang diperoleh berupa pendekatan analitis yang dihitung menggunakan aplikasi program MATLAB .

Pada penelitian ini juga dikaji tentang kemampuan komunikasi matematik yang dilaksanakan di Sekolah Dasar Negeri 2 Kragilan Gantiwarno. Materi matematika yang dipelajari dalam proses pembelajaran tersebut adalah operasi penjumlahan dan pengurangan. Konsep yang digunakan untuk menyajikan soal-soal dalam penelitian ini adalah konsep gelombang elastis. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa dari 18 siswa kelas VI SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno tahun 2017, terdapat: (1) 9 siswa sudah mampu memenuhi 2 indikator NCTM, yaitu indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai konsep operasi penjumlahan dan pengurangan; (2) 9 siswa sudah memenuhi ketiga indikator NCTM, yaitu indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide, indikator kemampuan memahami menginterpretasikan secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual lainnya, dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai materi operasi penjumlahan dan pengurangan, meskipun terdapat sedikit kekurangan dalam penulisan informasi dalam menyelesaikan soal.

Kata-kata kunci : metode beda hingga grid selang-seling, gelombang elastis, kemampuan komunikasi matematik.


x

ABSTRACT Maria Yuliani Danggo, 2018. Solution To The Elastic Wave Equation Using A Staggered Grid Finite Difference Method: Mathematical Aspects And Its Educational Aspects. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Some problems in everyday life can be mathematically modeled. Modeling

this problem aims to make it easier to determine the solution of the problem using mathematical science. One mathematical model of the real problem is the elastic wave equation. In determining the solution of this elastic wave equation, we need a method according to the problem of elastic wave.

In this study, the method used to solve the elastic wave equation is a staggered grid finite difference method. This method successfully solves the elastic wave equation with a smooth initial value. The solution obtained is an analytical approach calculated using the MATLAB program application.

In this study also studied about the ability of mathematical communication which is implemented in SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno. Mathematical material learned in the learning process is the addition and subtraction operations. The concept used to present the problems in this research is the concept of elastic wave. The results of this study indicate that from 18 students of the 6th grade of SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno in 2017, there are: (1) 9 students have been able to meet 2 indicators of NCTM, namely indicators of ability in using terms, mathematical notations to present ideas and indicators of the ability to demonstrate and describe through oral and written about the concept of addition and subtraction operations ; (2) 9 students have met all three indicators of NCTM, ie indicators of ability to use terms, mathematical notations for presenting ideas, indicators of the ability to understand orally, in writing or in other visual forms, and indicators of the ability to demonstrate and illustrate through oral and written material addition and subtraction operations, although there are little shortcomings in the writing of information in solving the problem.

Keywords : A Staggered Grid Finite Difference Method, elastic wave equation, mathematical communication skills.


xi

LEMBAR PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Maria Yuliani Danggo

Nomor Mahasiswa : 161442014

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS

MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-SELING:

ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di Internet atau

media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 30 Juli 2018

Yang menyatakan



xii

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi

internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

Maria Yuliani Danggo dan Sudi Mungkasi, “A Staggered Grid Finite Difference

Method for Solving Elastic Wave Equations”, Journal of Physics:

Conference Series, Volume 909, Nomor 1, Artikel 012047, Tahun 2017

(terindeks Scopus), Link Artikel: http://doi.org/10.1088/1742-

6596/909/1/0120457


http://doi.org/10.1088/1742-6596/909/1/0120457

http://doi.org/10.1088/1742-6596/909/1/0120457

xiii

KATA PENGANTAR

Pujian syukur dan terima kasih kepada Tuhan yang Maha Kuasa atas

segala berkat dan bimbingan-Nya, sehingga tesis dengan judul “Metode Beda

Hingga Grid Selang-seling untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Elastis:

Aspek Matematika dan Aspek Pendidikannya” ini dapat diselesaikan. Tesis ini

disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister

Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pengetahuan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Proses penyusunan tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari

berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan

terima kasih yang tak terhingga kepada semua pihak yang terlibat dalam

penyusunan tesis ini, terlebih khusus kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen

pembimbing yang telah meluangkan waktu dan penuh kesabaran untuk

memberikan bimbingan dan arahan selama penyusunan tesis ini.

2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi

Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan dukungan bagi

penulis.

3. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo,S.Pd.,M.Si., selaku dekan FKIP Universitas

Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

4. Segenap dosen Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang

telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis selama

menempuh kuliah, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan

baik.

5. Segenap staf JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi

kampus selama penulis menjalankan studi di Universitas Sanata Dharma

ini.

6. Orang tua penulis (Bapa Iu dan Mama In), kakak Nobing, Uchan, Yoan,

Yayan dan Deden atas doa, dukungan dan hiburannya. Kalian adalah

anugerah yang paling indah dari Tuhan dalam hidupku.


xiv

7. Yuan untuk semua dukungan, doa dan motivasinya; Melani dan Naomi

untuk semua dukungan dan doanya, semoga kita bisa bertemu lagi ya

Nam, Me; Cacek, Opy dan Deik untuk hiburannya ketika sedang jenuh;

Mirbung, Tasya, Mega dan Anlaw yang selalu merindu dan menunggu

untuk berkumpul bersama lagi, sebentar lagi kita bertemu, kawan!

8. Teman-teman seperjuanganku terkasih, Lintang, Apri dan Kak Ira, untuk

semua bantuan dan masukannya. Terima kasih untuk semuanya dan

semoga Tuhan selalu menyertai kalian.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah

membantu proses penyusunan tesis ini.

Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca.

Penulis,



xv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL............................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN MOTTO .............................................................................................v

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...............................................................vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT ............................................................................................................ ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... x

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ........................................ xi

KATA PENGANTAR ......................................................................................... xii

DAFTAR ISI ........................................................................................................xiv

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1

A. Latar Belakang MasalaH ....................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ...…………………………………………………...3

C. Tujuan Penelitian ....................................................................................3

D. Manfaat Penelitian ..................................................................................4

E. Prasyarat Materi ..................................................................................... 5

F. Tinjauan Pustaka .....................................................................................6

G. Keterbaruan Penelitian ...........................................................................6

H. Batasan Masalah……………………………………………………......6

I. Metode Penelitian …............................................................................... 7

J. Sistematika Penulisan ............................................................................. 7

BAB II : LANDASAN TEORI ..............................................................................9

A. Persamaan Diferensial.............................................................................9

B. Penurunan Persamaan Gelombang....................................................... 10

C. Penurunan Numeris ............................................................................. 14

1. Turunan Beda Maju………………………………………..… 14

2. Turunan Beda Mundur …………………………………….… 15


xvi

3. Turunan Beda Pusat ……………………………………….… 16

D. Persamaan Gelombang Elastis............................................................. 17

E. Metode Beda Hingga Grid Selang-seling............................................. 19

BAB III HASIL PENELITIAN ………………....................................................22

A. Model Matematika Persamaan Gelombang Elastis...............................22

B. Metode Numerik Grid Selang-seling.....................................................23

C. Hasil Numerik ..................................................................................... 24

BAB IV ASPEK PENDIDIKAN…….………....................................................28

A. Teori Perkembangan Piaget ................................................................ 29

1. Tahap Sensoris Motorik ……………………………………... 29

2. Tahap Pra-operasional ………………………………………. 29

3. Tahap Operasional Konkret …………………………………. 30

4. Tahap Operasional Formal …………………………...……….30

B. Komunikasi Matematik ....................................................................... 30

C. Hasil Penelitian dan Analisis …………………………………............31

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................47

A. Kesimpulan ...........................................................................................47

B. Saran .....................................................................................................48

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................49

LAMPIRAN .........................................................................................................50


xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 tekanan saat ............................................................................. 25

Gambar 3.2 Tekanan ........................................................ 26

Gambar 3.3 Tekanan .............................................................. 26

Gambar 4.1.1 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 1 ................................................ 33





Gambar 4.1.6 hasil pekerjaan siswa untuk soal 2 ................................................. 35




Gambar 4.1.10 hasil pekerjaan siswa untuk soal 5 ............................................... 36







Gambar 4.1.17 hasil pekerjaan siswa untuk soal 10 ............................................. 42



Gambar 4.1.20 hasil pekerjaan siswa untuk soal 10 ………….…………………44


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat berbagai masalah yang berkaitan

dengan matematika. Masalah-masalah tersebut dimodelkan secara matematika

agar lebih mudah diselesaikan. Model matematika dapat berupa suatu persamaan

matematika atau sistem persamaan matematika. Dalam memodelkan masalah, kita

harus menentukan faktor-faktor dominan yang mempengaruhi masalah tersebut.

Setelah itu, dari faktor-faktor yang dikoleksi, dipilih faktor-faktor yang paling

dominan dan kemudian dikaitkan dengan ilmu pengetahuan yang ada, seperti

fisika, biologi, kimia, dan sebagainya.

Model masalah tersebut kemudian ditentukan solusinya dan dianalisis.

Jika solusi yang diperoleh cukup sesuai dengan realita, maka solusi tersebut cukup

realistis dan dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Akan tetapi,

jika solusi yang diperoleh tidak sesuai dengan realita, maka solusi tersebut tidak

dapat diterapkan sebagai penyelesaian dari masalah. Dengan demikian kita perlu

memperbaiki model matematika yang digunakan dan dicari solusi yang sesuai.

Dalam penelitian ini, terdapat model matematika berupa persamaan

gelombang elastis, yaitu

(1.1) ( ) (1.2)


2

Variabel merepresentasikan domain ruang satu dimensi dan merepresentasikan

waktu. Pada sistem persamaan gelombang elastis di atas, merupakan

regangan, merupakan kecepatan, merupakan kepadatan dan merupakan tekanan

Persaman gelombang elastis merupakan model matematika dari

permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seperti perambatan

gelombang bunyi, getaran gempa bumi, dan sebagainya. Model matematika yang

akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah masalah khusus dari masalah

gelombang elastis, yaitu gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik

tersebut diturunkan dari (1.1) dan (1.2). Berdasarkan hasil penelitian Supriyadi

dan Mungkasi (IJMCE, 14(5), 2016), sistem persamaan (1.1) dan (1.2) dapat

diselesaikan dengan menggunakan metode Lax-Friedrichs dan metode LeVeque

pada grid kolokasi. Kedua metode tersebut adalah sebagai berikut.

Metode volume hingga Lax-Friedrichs adalah

( ) (1.3)

Metode volume hingga LeVeque adalah

( ) (1.4)

Di sini , , dan adalah fungsi-fungsi tertentu untuk

menghitung fluks material.


3

Terdapat dua kajian dalam penelitian ini, yaitu kajian matematika dan

pendidikan matematika. Kajian matematika dalam penelitian ini adalah

menggunakan metode beda hingga grid selang-seling untuk menyelesaikan

persamaan gelombang. Kajian matematika ini merupakan pengembangan dari

penelitian yang dilakukan oleh Supriyadi dan Mungkasi (IJMCE, 14(5), 2016).

Kajian pendidikan matematika dalam penelitian ini adalah mengetahui

kemampuan komunikasi matematik siswa Sekolah Dasar dalam pembelajaran

Matematika dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan menggunakan

konsep dasar pada kajian matematika, yaitu gelombang elastis.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini

adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana menggunakan metode grid selang-seling untuk

menyelesaikan persamaan gelombang elastis?

2. Bagaimana kemampuan komunikasi matematik siswa dalam

pembelajaran dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan

menggunakan konsep gelombang elastis di Sekolah Dasar Gantiwarno?

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai

berikut.


4

1. Untuk menyelesaikan persamaan gelombang elastis menggunakan

metode beda hingga grid selang-seling.

2. Untuk mengetahui kemampuan komunikasi matematik siswa dalam

pembelajaran dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan

menggunakan konsep gelombang elastis di Sekolah Dasar Negeri 2

Kragilan Gantiwarno.

D. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Untuk Ilmu Pengetahuan

Penelitian ini dapat melengkapi penelitian sebelumnya, yaitu menyelesaikan

persamaan gelombang elastis menggunakan metode beda hingga grid selang-

seling. Selain itu, sebagai sumbangan baru terhadap penggunaan metode beda

hingga grid selang-seling pada persamaan elastis.

2. Untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

Memperkenalkan penggunaan metode beda hingga grid selang-seling dalam

menyelesaikan persamaan gelombang elastis, serta penerapan konsep

gelombang elastis dalam proses pembelajaran matematika di tingkat sekolah

dasar.

3. Untuk Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari

Dapat memperlihatkan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan

gelombang elastis, misalnya perambatan gelombang suara.


5

E. Prasyarat Materi

Untuk memudahkan pembaca dalam memahami penelitian ini, diperlukan

beberapa materi prasyarat, yaitu sebagai berikut.

1. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial merupakan materi yang sering digunakan dalam

model-model masalah matematika. Pada penelitian ini, persamaan gelombang

elastis berupa persamaan diferensial parsial.

2. Pemodelan Matematika

Tesis ini memuat materi yang berkaitan dengan pemodelan matematika.

Masalah-masalah yang akan diselesaikan dalam tesis ini merupakan masalah

yang diangkat dari masalah nyata. Masalah nyata tersebut dimodelkan secara

matematis agar dapat menentukan solusi dari masalah tersebut.

3. Metode Beda hingga

Metode beda hingga yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode beda

hingga grid selang-seling.

4. Gelombang

Materi gelombang merupakan materi dasar dari tesis ini. Hal ini dikarenakan

masalah yang diangkat dalam tesis ini adalah gelombang elastis, maka

diperlukan pengetahuan tentang gelombang untuk memudahkan pembaca

dalam memahami tentang gelombang elastis.


6

F. Tinjauan Pustaka

Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yang

diteliti oleh Supryadi dan Mungkasi (2016) untuk menyelesaikan persamaan

gelombang elastis nonlinear pada media heterogen. Hasil penelitian tersebut

menunjukkan bahwa metode LeVeque dapat menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan gelombang elastis, baik linear maupun nonlinear yang

melibatkan media heterogen dan homogen. Sedangkan metode Lax-Friedrichs

hanya dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan gelombang elastis

linear dan nonlinear yang melibatkan media homogen saja. Sedangkan pada

penelitian dalam tesis ini akan membahas tentang menyelesaikan persamaan

gelombang elastis menggunakan metode grid selang-seling.

G. Keterbaruan Penelitian

Pada penelitian sebelumnya, metode Lax-Friedrichs dapat menyelesaikan

persamaan elastis linear dan nonlinear yang melibatkan media homogen. Pada

penelitian kali ini, akan dicoba metode yang baru yaitu metode beda hingga grid

selang-seling untuk menyelesaikan gelombang elastis.

H. Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada masalah khusus dari persamaan gelombang

elastis, yaitu sistem persamaan akustik, dimana sistem persamaan tersebut

merupakan sistem persamaan hiperbolik dari persamaan diferensial parsial linear.


7

I. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi

pustaka, yaitu mempelajari dan memahami referensi-referensi yang berkaitan

dengan metode beda hingga grid selang-seling dan persamaan gelombang elastis,

mengumpulkan informasi dan menyusun hasil penelitian menjadi suatu bentuk

penulisan yang sistematis dan jelas agar mempermudah pembaca dalam

mempelajari masalah dalam penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan

dalam penulisan ini adalah

1. Memahami literatur-literatur yang berkaitan dengan gelombang elastis

dan metode Lax-Friedrichs.

2. Mempelajari dan memahami metode beda hingga grid selang-seling.

3. Mempelajari dan memahami persamaan gelombang elastis.

4. Menggunakan metode grid selang-seling untuk menyelesaikan

persamaan gelombang elastis.

5. Mensimulasi solusi persamaan gelombang elastis pada komputer.

6. Melakukan penelitian di sekolah untuk perolehan data kemampuan

komunikasi matematik di Sekolah Dasar Negeri 2 Kragilan Gantiwarno.

7. Menyusun materi yang telah dipahami secara sistematis untuk

memudahkan pembaca dalam memahami penelitian ini.

8. Mendiskusikan isi tulisan dengan dosen pembimbing.

J. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.


8

1. Bab I: membahas tentang pendahuluan yang meliputi latar belakang

masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian,

prasyarat materi, tinjauan pustaka, keterbaruan penelitian, batasan

masalah, metode penelitian dan sistematika penulisan.

2. Bab II: membahas tentang teori-teori yang digunakan dalam penelitian

ini, yaitu persamaan diferensial parsial, penurunan persamaan

gelombang, penurunan numeris, persamaan gelombang elastis dan

metode beda hingga grid selang-seling.

3. Bab III: membahas hasil penelitian yang berisi tentang model matematika

persamaan gelombang elastis, metode numeris grid selang-seling, dan

hasil numeris.

4. Bab IV: membahas tentang aspek pendidikan yang berisi tentang

kemampuan komunikasi matematik dalam pembelajaran untuk materi

operasi penjumlahan dan pengurangan menggunakan konsep gelombang

elastis.

5. Bab V: membahas tentang kesimpulan dan saran dari penelitian ini.


9

BAB II

LANDASAN TEORI

Landasan teori tesis ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut

meliputi: persamaan diferensial parsial, penurunan persamaan gelombang, metode

beda hingga grid selang-seling dan persamaan gelombang elastis.

A. Persamaan Diferensial Parsial

Fenomena kontinu, seperti perambatan gelombang atau aliran fluida,

umumnya dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial (PDP) (Borthwick,

2016). Menurut Wazwaz (2009), persamaan diferensial parsial adalah suatu

persamaan yang memuat variabel terikat (fungsi yang belum diketahui), dan

turunan parsialnya. Diketahui bahwa pada persamaan diferensial biasa, variabel

terikat hanya bergantung pada satu variabel terikat . Akan tetapi,

persamaan diferensial parsial, variabel terikatnya, seperti atau harus bergantung pada lebih dari satu variabel terikat. Jika , maka fungsi bergantung pada variabel terikat dan pada variabel

waktu . Namun, jika , maka fungsi bergantung pada variabel

ruang dan pada variabel waktu . Salah satu contoh persamaan diferensial parsial adalah sistem persamaan

untuk masalah akustik, yaitu:

(2.1) (2.2)


10

dengan merepresentasikan kecepatan perambatan gelombang,

merepresentasikan tekanan, merepresentasikan domain ruang dan merepresentasikan domain waktu.

B. Penurunan Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan

hukum kekekalan momentum (hukum kedua Newton). Dipandang hukum

kekekalan massa adalah sebagai berikut.

(2.3)

dengan adalah massa volume , dan merupakan waktu. Menggunakan

kepadatan , hukum kekekalan massa dapat ditulis dalam bentuk berikut, agar

memperoleh bentuk eksplisit, diasumsikan , sehingga (2.4) menjadi

(2.4) (2.5)

Dengan mengabaikan , maka (2.5) menjadi,

Sehingga diperoleh (2.6)


11

Akan diturunkan suatu persamaan dengan tekanan di dalamnya, sehingga

diasumsi terdapat relasi linear antara tekanan dan kepadatan , maka

menggunakan modulus bulk dengan mempertimbangkan massa satuan, yaitu:

(2.7)

dengan merupakan modulus bulk dan adalah tekanan. Berdasarkan (2.7),

diperoleh perubahan tekanan, yaitu:

(2.8)

Lalu (2.8) dapat ditulis menjadi,

(2.9)

yang merumuskan hukum Hooke. Sekarang, akan diasumsi perubahan volume

hanya pada satu dimensi.

(2.10)

Karena merupakan perbedaan antara perpindahan pada sisi-sisinya, maka

(2.11)

(2.12)

dimana merupakan kecepatan partikel pada arah . Berdasarkan (2.12)

diperoleh


12

(2.13)

Kemudian, (2.13) disubstitusi ke persamaan hukum Hooke, sehingga diperoleh

(2.14)

atau

(2.15)

yang merupakan hubungan dasar untuk penurunan persamaan gelombang.

Relasi lainnya diperoleh melalui hukum Newton yang diterapkan pada

volume dengan arah , karena dipertimbangkan gerakan satu dimensi

(2.16)

dimana merupakan gaya yang bekerja pada . Dengan mempertimbangkan

gaya pada arah- :

(2.17)

( ) (2.18)

(2.19)

Mengabaikan syarat karena sangat kecil, dan merupakan permukaan pada

arah- . Substitusi (2.19) ke dalam hukum Newton, sehingga diperoleh:

(2.20)


13

Pada persamaan, dapat ditulis sebagai

, untuk itu digunakan lagi

pendekatan kecepatan rendah, yaitu: (2.21)

Sehingga, (2.20) menjadi,

(2.22)

atau

(2.23)

yang merupakan persamaan gerak.

Tahap selanjutnya adalah menggabungkan hukum kekekalan massa dan

persamaan gerak. Oleh karena itu, (2.23) diturunkan secara parsial terhadap ,

sehingga

( ) ( ) (2.24)

( ) ( ) (2.25)

dengan adalah konstanta. Substitusi (2.15) ke dalam (2.25), sehingga diperoleh

( ) (2.26)

(2.27)

(2.28)


14

atau

(2.29)

yang merupakan persamaan gelombang satu dimensi dengan dapat dipandang

sebagai kecepatan, √ .

C. Penurunan Numeris

Tidak semua fungsi dapat dengan mudah dihitung nilai turunannya secara

analitik. Oleh karena itu, diperlukan metode numeris untuk menghitung nilai

turunan fungsi yang bentuknya cukup rumit, misalnya: √ (2.30)

Untuk fungsi yang rumit ini, turunannya dapat ditentukan secara numeris.

Turunan numeris ini diperoleh dengan pendekatan deret Taylor. Berikut ini tiga

hampiran turunan numeris.

1. Turunan beda maju

Dipandang deret Taylor di sekitar titik adalah

(2.31)

Kedua ruas dikurangi , menjadi

(2.32)

atau


15

(2.33)

Maka

(2.34)

Sehingga diperoleh turunan beda maju adalah

(2.35)

Dengan

(2.36)

2. Turunan beda mundur

Dipandang deret Taylor di sekitar titik adalah

(2.36)

(2.37)

(2.38)


16

(2.39)

Sehingga diperoleh turunan beda mundur sebagai berikut

(2.40)

dengan

(2.41)

3. Turunan beda pusat

Turunan beda pusat diperoleh dari pengurangan deret Taylor yang

digunakan pada turunan beda maju dan turunan beda mundur, yaitu (2.31) dan

(2.36) sehingga diperoleh:

(2.42)

Kedua ruas pada (2.42) dibagi , maka diperoleh

(2.43)

Atau

(2.43)

Jadi

(2.44)


17

dengan

(2.45)

D. Persamaan Gelombang Elastis

Gelombang elastis merupakan gelombang yang perambatannya tergantung

pada sifat media perambatan itu sendiri, misalnya, gelombang suara (akustik).

Contoh kasus gelombang akustik yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-

hari adalah kegiatan berbicara dengan teman atau orang lain. Ketika kita berbicara

dengan teman atau orang yang berada pada ruangan yang sama, suara kita akan

terdengar dengan jelas. Akan tetapi, jika berbicara dengan teman atau orang yang

berada pada ruangan yang berbeda, maka tingkat kejelasan suara yang sampai ke

telinga akan menurun. Hal ini disebabkan oleh media rambatan suara tersebut.

Pada saat berbicara dengan teman atau orang yang berada pada satu

ruangan, media rambatan yang dilibatkan hanya udara dan benda-benda yang

berada di ruangan tersebut. Sehingga suara yang sampai ke telinga akan terdengar

lebih jelas. Lain halnya ketika berbicara dengan teman atau orang yang berada

pada ruangan yang berbeda. Media rambatan yang dilibatkan akan lebih banyak,

misalnya udara, dinding pembatas ruangan dan atap ruangan. Keadaan ini

mengakibatkan tingkat kejelasan suara yang sampai ke telinga lebih rendah.

Berkaitan dengan gelombang elastis, kedua kasus ini memperlihatkan bahwa

jumlah media perambatan gelombang akustik mempengaruhi gelombang yang

dihantarkan. Semakin banyak media rambatnya maka kepadatan atau massa jenis


18

semakin tinggi, sehingga mempengaruhi kecepatan dan besar kecilnya gelombang

tersebut.

Secara umum, bentuk hukum kekekalan yang digunakan adalah pada

penelitian ini adalah

(2.46)

dengan merupakan variabel waktu, merupakan variabel ruang, yang merupakan kuantitas kekekalan, dan ( ) merupakan fungsi fluks

(Supriyadi dan Mungkasi, 2016). Persamaan umum gelombang elastis yang

digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut (LeVeque, 2002b).

(2.47) (2.48)

dimana, (2.47) dan (2.48) merupakan bentuk konservatif untuk masalah non-

linear. Variabel merepresentasikan domain ruang satu dimensi dan merepresentasikan waktu. Pada sistem persamaan gelombang elastis di atas, merupakan regangan, merupakan kecepatan, merupakan

kepadatan dan merupakan tekanan.

Sistem persamaan (2.47) dan (2.48) merupakan bentuk persamaan diferensial

parsial, dengan mengasumsikan terdapat relasi antara dan . Persamaan diferensial parsial tersebut bisa menjadi bentuk persamaan akustik

linear pada satu dimensi ruang yang merupakan kasus khusus dari gelombang

elastis.


19

E. Metode Beda Hingga Grid Selang-seling

Metode beda hingga merupakan salah satu metode numerik untuk

menentukan solusi persamaan diferensial. Dalam menentukan solusi dari

persamaan diferensial tersebut, metode ini menggunakan hampiran. Hampiran

tersebut digunakan untuk menentukan fungsi atau pendekatan diskrit yang

memenuhi persamaan diferensial yang diselesaikan. Terdapat beberapa hampiran

metode beda hingga, yaitu sebagai berikut.

Dipandang

(2.49)

dengan domain dan ,

dengan dengan

Maka, metode beda maju terhadap waktu adalah

| (2.50)

dan metode beda pusat terhadap waktu adalah

| (2.51)

dengan .

Misalkan akan diselesaikan masalah persamaan diferensial parsial

(2.52)


20

untuk domain .

Menggunakan metode beda hingga, domain tersebut didiskritkan sebagai

berikut.

Secara notasi, dengan dan

Misalkan diambil diskritisasi dengan beda maju terhadap waktu, sehingga

skema menjadi:

(2.53)

dan diskritisasi dengan beda mundur terhadap dimensi, sehingga skema

menjadi

(2.54)

maka diskritisasi menjadi

(2.55)

dengan menjumlahkan kedua ruas dengan , maka (2.55) menjadi

(2.56)

Lalu kedua ruas dikali menjadi,

N


21

( ) (2.57)

Selanjutnya menjumlahkan kedua ruas dengan , diperoleh

( ) (2.58)

Skema (2.58) merupakan skema beda hingga dari .

Berkaitan dengan metode beda hingga selang-seling, metode ini

merupakan metode numerik yang mengatur diskretisasi ruang dengan variabel-

variabelnya pada sel atau grid yang berbeda. Manfaat utama metode ini adalah

metode ini tidak menghasilkan perhitungan tekanan dan kecepatan secara terpisah.

Pada penelitian ini, metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan

gelombang elastis dengan domain dan .

Beda hingga selang-seling yang dimaksudkan dalam metode ini adalah

menyelesaikan sistem persamaan gelombang elastis pada grid yang berbeda. Pada

rumusan selang-seling, nilai tekanan ditentukan pada titik grid penuh sedangkan

kecepatan ditentukan pada titik grid setengah. Berikut ini adalah diskritisasi

domain metode beda hingga grid selang-seling.


22

BAB III

HASIL PENELITIAN

A. Model Matematika Persamaan Gelombang Elastis

Bentuk umum persamaan gelombang elastis satu dimensi adalah (3.1) ( ) (3.2)

Variabel bebas merepresentasikan domain ruang dan merepresentasikan

waktu. Sebagai tambahan, merupakan regangan, merupakan kecepatan,

merupakan densitas, dan merupakan tegangan. Perhatikan bahwa . Notasi turunan lainnya diartikan secara senada.

Dalam persamaan (3.1) dan (3.2), tegangan dan regangan diasumsi memiliki

relasi (3.3)

dengan adalah modulus bulk kompresibilitas. Tekanan ,

sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk persamaan

diferensial parsial linear (3.4) (3.5)

Diasumsi, dan , sehingga persamaan (3.4) dan (3.5) dapat ditulis sebagai berikut

Hasil penelitian ini telah dipresentasikan dalam International Conference on Science and Applied

Science (ICSAS 2017) di Surakarta pada tanggal 29 Juli 2017. Hasil ini telah terbit dalam Journal of Physics: Conference Series 909 (2017) 012047.


23

(3.6) (3.7)

Sistem persamaan (3.6) dan (3.7) merupakan sistem hiperbolik dari persamaan

diferensial parsial. Pada bagian selanjutnya, akan fokus pada pemecahan sistem

persamaan (3.6) dan (3.7) yang merupakan model untuk masalah akustik.

B. Metode Numeris Grid Selang-seling

Diketahui bahwa

(3.8)

(3.9)

Diambil diskritisasi dari bentuk derivatifnya (3.10)

(3.11)

Menggunakan pendekatan (3.10) dan (3.11), persamaan (3.6) dapat ditulis dalam

bentuk diskrit sebagai berikut

( ) (3.12)

Selanjutnya, menggunakan diskritisasi dari turunan berikut (3.13)

(3.14)


24

Menggunakan pendekatan (3.13) dan (3.14), bentuk diskret dari persamaan (3.7)

adalah

( ) (3.15)

Sistem persamaan (3.12) dan (3.15) merupakan skema numeris, untuk

menyelesaikan masalah akustik.

C. Hasil Numeris

Pada bagian ini dikhususkan untuk menyajikan hasil numeris. Asumsi

awalnya adalah masalah akustik memiliki fungsi tekanan

{ (3.16)

Untuk . Tekanan awal ini ditunjukkan pada gambar 3.1. Kecepatan

awalnya adalah untuk setiap domain ruang.

Dengan menggunakan data yang diberikan, domain ruang adalah [ dengan . Akan dihitung tekanan dan kecepatan dalam sistem setiap saat.

Jumlah ruang yang digunakan adalah , dan .


25

Gambar 3.1. Tekanan saat

Seperti pada kondisi awal, tekanan berpusat di sekitar , tekanan ini

terpisah menjadi dua gelombang yang merambat kearah kiri dan kanan. Ini

diilustrasikan pada gambar 3.2 dan gambar 3.3. Gambar 3.2 menunjukkan tekanan

dan kecepatan pada waktu dan gambar 3.3 menunjukkan tekanan dan

kecepatan pada waktu .


26




27

Berdasarkan hasil simulasi, metode beda hingga pada grid selang-seling

telah diturunkan dan digunakan untuk memecahkan masalah persamaan

gelombang elastis yang berkaitan dengan masalah akustik. Dalam penelitian ini,

pengujian menggunakan nilai awal yang halus (smooth). Diperoleh perilaku fisik

yang benar dalam solusi numeris karena ada satu gelombang tekanan tunggal

dengan kecepatan nol, tekanannya terbagi menjadi dua dan bergerak berlawanan

arah seiring berjalannya waktu.


29

A. Teori Perkembangan Piaget

Pandangan Piaget tentang perkembangan kognitif sangat dipengaruhi oleh

pengalamannya di bidang biologi. Oleh karena itu, konsep dasar perkembangan

belajarnya adalah konsep biologis yakni adaptasi (Piaget, 1971 dalam Berk,

2012). Adapun tahap perkembangan kognitif menurut Piaget antara lain:

1. Tahap sensoris motorik (Lahir-2 tahun)

Pada tahap ini individu (bayi) “berpikir” dengan merespons dunia

melalui mata, telinga, mulut mereka. Mereka menemukan cara penanggulangan

persoalan sensoris motorik seperti menggunakan indra dan gerak untuk

mengeksplorasi dunia. Pada tahap ini penanggulangan persoalan mereka adalah

seperti mencari barang yang hilang dan menaruh mengeluarkan objek dari

tempatnya. Tahapan ini dimulai dari tindakan refleks naluriah sampai dengan

permulaan pemikiran simbolis (Berk, 2012).

2. Tahap pra-operasional (sekitar 2-7 tahun)

Pada tahap ini anak mampu melukiskan dunia dengan simbol, kata-kata

dan gambar untuk mewakili temuan sensoris-motoriknya. Namun, pada tahap

ini pemikiran mereka belum melibatkan logika (Berk, 2012).


30

3. Tahap Operasional Konkret (sekitar 7-11 tahun).

Pada tahap ini, penalaran anak-anak mulai logis. Namun, pemikiran logis

dan teratur ini hanya sebatas pada informasi konkret yang mereka terima secara

langsung (Berk, 2012).

4. Tahap Operasional Formal (11 tahun ke atas)

Kemampuan berpikir abstrak dan sistematis membantu remaja mampu

membuat hipotesis, mengambil kesimpulan teruji, dan memisahkan serta

menggabungkan variabel-variabel untuk melihat kesimpulan mana yang benar

(Berk, 2012). Remaja juga mampu mengevaluasi logika di balik pernyataan

verbal tanpa mengacu pada keadaan di dunia nyata.

B. Komunikasi Matematik

Menurut Romberg dan Chair yang dikutip oleh Sumarmo (dalam

Rachmayani, 2014), komunikasi matematika yaitu menghubungkan benda nyata,

gambar dan diagram ke dalam ide matematika; menjelaskan ide, situasi dan relasi

matematik secara lisan atau tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan

aljabar; menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika;

mendengarkan, berdiskusi dan menulis tentang matematika; membaca dengan

pemahaman suatu presentasi matematika tertulis, membuat konjektur, menyusun

argumen, merumuskan definisi dan generalisasi; menjelaskan dan membuat

pertanyaan tentang matematika yang telah dipelajari.


31

Indikator kemampuan komunikasi matematik yang digunakan dalam

penelitian ini adalah indikator-indikator menurut National Council of Teachers of

Mathematics (2000), sebagai berikut:

a. Kemampuan mengekspresikan ide-ide matematis melalui, tulisan dan

mendemonstrasikannya serta menggambarkannya secara visual

b. Kemampuan memahami, menginterpretasikan dan mengevaluasi ide-ide

matematis baik secara lisan, tulisan, maupun dalam bentuk visual lainnya

c. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika

dan struktur-strukturnya untuk menyajikan ide-ide, menggambarkan

hubungan-hubungan dengan model-model situasi

C. Hasil Penelitian dan Analisis

Penelitian ini dilaksanakan pada tanggal 25 Oktober 2017, di SD Negeri 2

Kragilan Gantiwarno, Klaten, kelas VI dengan jumlah siswa 18 orang. Sebelum

penelitian dilaksanakan, peneliti memulai kegiatan dengan memberikan

penjelasan singkat tentang tujuan kegiatan pembelajaran yang akan dilaksanakan.

Selain itu, peneliti memberikan beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan

gelombang elastis, agar siswa memiliki gambaran tentang gelombang elastis

selama kurang lebih 15 menit.

Sebelum masuk pada kegiatan inti, peneliti membagi siswa dalam 2

kelompok dan setiap kelompok terdiri dari 9 siswa. Kedua kelompok tersebut

diberikan alat peraga yang akan digunakan selama penelitian. Selain alat peraga,

setiap anggota kelompok juga diberikan satu lembar LKS yang memuat langkah-


32

langkah penggunaan alat peraga dan 10 soal yang berkaitan dengan materi operasi

penjumlahan dan pengurangan. Kemudian, kedua kelompok tersebut

menyelesaikan soal-soal yang diberikan dengan bantuan alat peraga. Waktu yang

digunakan untuk menyelesaikan soal-soal tersebut adalah 45 menit.

Selama proses penyelesaian soal-soal, siswa dibimbing dan diarahkan oleh

peneliti, sehingga proses penyelesaian berjalan dengan baik. Setelah

menyelesaikan soal-soal, peneliti mengumpulkan hasil kerja siswa. Sebagai

kegiatan penutup, peneliti mengajukan pertanyaan dan membuat kesimpulan dari

kegiatan yang telah dilakukan siswa selama 10 menit. Selain itu, peneliti juga

memperkenalkan penelitian matematika yang dilakukan peneliti kepada siswa

dengan cara mengkaitkan kegiatan sebelumnya dengan konsep dasar penelitian

matematika tersebut.

Data penelitian yang diperoleh berupa Lembar Kerja Siswa (LKS) dan

video kegiatan pembelajaran. Soal-soal yang terdapat pada LKS akan dianalisis

berdasarkan indikator-indikator komunikasi matematik menurut NCTM. Video

pembelajaran merupakan data pendukung untuk memperkuat pendapat peneliti

tentang informasi yang terdapat pada LKS. Data berupa video tersebut disalin

menjadi percakapan. Berikut ini hasil dan analisis data-data tersebut.


33

Tabel 4.1 Hasil kerja dan Wawancara serta Analisis dan Pembahasan

Hasil Kerja dan Wawancara Siswa Analisis dan Pembahasan

Indikator Soal: Siswa mampu mengukur waktu menggunakan stopwatch (soal 1-4) K1 Soal 1: berapa lama kawat tersebut bergetar?

(Gambar 4.1.1. Hasil pekerjaan Siswa untuk soal 1)

Transkrip video

K1a : ci.. ro… lu… stop… sekk… sek… P : awas kena rambut, dicoba lagi.. K1a : ci… ro… lu…sek… sek….Stooop….

Piro? K1b : 22 detik

Soal 2: berapa lama benang tersebut bergetar?

(Gambar 4.1.2. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 2)

1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-

notasi matematika untuk menyajikan ide.

Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.1. sampai

gambar 4.1.8., K1 dan K2 sudah mampu menggunakan

istilah dan notasi matematika untuk menyajikan ide, yaitu:

Kemampuan menggunakan istilah dapat dilihat dari

penggunaan kata satuan waktu, yaitu detik

Kemampuan menggunakan notasi matematika untuk

menyajikan ide dilihat dari penggunaan angka, misalnya

“22”, “3”, “9”, “36”, “19”, “4”, “10” dan “37”.

2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik

secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual

lainnya.

Berdasarkan gambar 4.1.1. sampai gambar 4.1.8, K1 dan K2


34

Soal 3: berapa lama senar tersebut bergetar?



dapat menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan maupun

dalam bentuk visual lainnya.

Kemampuan memahami dapat dilihat dari proses

penyelesaian soal, dimana K1 dan K2 menggunakan

media pembelajaran yang ada untuk menemukan

penyelesaian masalah.

Kemampuan menginterpretasikan dapat dilihat dari

penulisan “22 detik”, “3 detik”, “9 detik, “36 detik”, “19

detik”, “4 detik”, “10 detik” dan “37 detik” yang

merupakan waktu kawat dimana jawaban tersebut

merupakan hasil dari pengukuran waktu getaran

menggunakan media pembelajaran yang telah disediakan.

3. Kemampuan mendemonstrasikan serta

menggambarkan melalui lisan dan tulisan

Berdasarkan proses penyelesaiannya, K1 dan K2 sudah

mampu mendemonstrasikan kegiatan praktikum dengan

baik dan sesuai instruksi pada soal.

K2 Soal 1: berapa lama kawat tersebut bergetar?


Transkrip Video

P : Satu, dua, tiga, yaps…. Lihat ya,…. K2 : kosekk…seeekk.. sekkk…. Yaaa.. P : ok, jadi itu berapa? (sambil menunjuk

pada stopwatch) K1 : Sembilan belas P : jadi disini jawabannya berapa?


35

K1 : Sembilan belas P : Sembilan belas de….? K1 :19 detik. (sambil menulis jawaban di LKS)

Soal 2: berapa lama benang tersebut bergetar?


Soal 3: berapa lama senar tersebut bergetar?


Soal 4: berapa lama karet tersebut bergetar?



36

Indikator soal: siswa mampu menjelaskan sifat elastisitas gelombang (Soal 5)

K1 Soal 5: Benda manakah yang lebih lama bergetar? Menurutmu mengapa benda tersebut lama bergetar?

(Gambar 4.1.9. hasil pekerjaan siswa untuk soal 5)

Soal ini merupakan bentuk soal penalaran fisika, dimana

jawaban pada gambar 4.1.9 sampai gambar 4.1.10 berdasarkan

fenomena hasil percobaan yang diperoleh K1 dan K2. Pada

hasil pekerjanya, kedua kelompok menjawab pertanyaan

dengan benar.

Berdasarkan pengamatan peneliti, jawaban K1 dan K2 di

peroleh dari pengamatan dan percobaan terhadap fenomena

yang terjadi ketika diberi perlakuan pada setiap benda yang

digunakan selama kegiatan percobaan tersebut.

Dengan demikian, untuk soal 5 ini, tidak dapat digunakan

untuk menganalisis jawaban soal 5.

K2 Soal 5: Benda manakah yang lebih lama bergetar? Menurutmu mengapa benda tersebut lama bergetar?



37

Indikator soal: siswa dapat menerapkan operasi pengurangan (soal 6-7)

K1

Soal 6: berapa perbedaan waktu bergetar antara kawat dan benang?

(Gambar 4.1.11. Hasil pekerjaan siswa soal 6)

Soal 7: berapa perbedaan waktu bergetar antara karet dan senar?



notas matematika untuk menyajikan ide.

Pada soal 6-7, K1 sudah mampu dalam menggunakan

istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan

ide-ide.

• Kemampuan menggunakan istilah dapat dilihat dari

penggunaan kata “detik” pada hasil kerja K1.

• Kemampuan menggunakan notasi matematik dilihat dari

penggunaan notasi operasi pengurangan (-) seperti pada

gambar 4.1.11. sampai gambar 4.1.12.



lainnya.

Pada soal 6-7, K1 cukup mampu menggunakan kemampuan

memahami menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan,

maupun dalam bentuk visual lainnya.


38

• Kemampuan memahami masalah dilihat dari penggunaan

operasi hitung yang tepat untuk menyelesaikan masalah.

Akan tetapi, pada pekerjaan siswa, tidak tertulis

informasi yang diketahui dan tujuan masalah yang akan

dicapai.

• Kemampuan menginterpretasikan secara tulisan dilihat

dari pekerjaan siswa dimana siswa menggunakan operasi

pengurangan secara bersusun.


menggambarkan melalui lisan dan tulisan.

Berdasarkan kegiatan praktik dan proses penyelesaiannya,

K1 mampu mendemonstrasikan masalah yang diberikan,

dimana siswa mengukur waktu yang dibutuhkan setiap

benda untuk bergetar. Kemudian siswa menuliskannya

dalam bentuk angka dan dilengkapi dengan satuan waktu

berdasarkan hasil pengukuran tersebut.


39

K2 Soal 6: berapa perbedaan waktu bergetar antara kawat dan benang?

(Gambar 4.1.13. Hasil pekerjaan siswa 6)

Soal 7: berapa perbedaan waktu bergetara antara karet dan senar?


1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah,

notasinotasi matematika untuk menyajikan ide.

Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.13 sampai gambar

4.1.14, K2 mampu menggunakan istilah-istilah, notasi-


• Kemampuan menggunakan istilah-istilah seperti “kawat

19 detik”, “benang 4 detik”, “karet 37 detik” dan “senar

10 detik”.

• Kemampuan menggunakan notasi matematik seperti

menggunakan notasi operasi pengurangan (-), dengan

proses pengurangan secara bersusun.



lainnya.


4.1.14., K2 cukup mampu memahami, menginterpretasikan

baik secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual

lainnya.


40

• Kemampuan memahami dilihat dari penyelesaian

masalah siswa dimana siswa menggunakan operasi

hitung pengurangan untuk menyelesaikan masalah.

• Kemampuan menginterpetasikan secara tulisan dilihat

dari proses penyelesaian siswa menggunakan operasi

hitung pengurangan secara bersusun. Akan tetapi,

terdapat beberapa informasi yang ditulis kurang jelas

dalam pekerjaannya.



Berdasarkan proses penyelesaian masalah, K2 sudah mampu

mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan

tulisan. Hal ini dilihat dari proses penyelesaian masalah,

dimana K2 melaksanakan setiap instruksi praktik untuk

memperoleh data. Lalu data yang diperoleh ditulis

menggunakan angka dan satuan waktu.


41

Indikator soal: siswa dapat menerapkan operasi penjumlahan (soal: 8-10)

K1 Soal 8:berapa total waktu kawat dan benag untuk bergetar?


Soal 9: berapa total waktu karet, benang dan kawat untuk bergetar?





4.1.17 disamping, K1 sudah mampu menggunakan istilah-

istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide.

Kemampuan menggunakan istilah, terlihat dari

penggunaan satuan detik.

Kemampuan menggunakan notasi matematika dilihat

dari penggunaan notasi operasi penjumlahan (+).



lainnya.

Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.15 sampai

gambar 4.1.17., K1 cukup mampu memahami,

menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan maupun dalam

bentuk visual lainnya.


42

Soal 10: berapa total waktu karet, benang, senar dan kawat untuk bergetar?


• Kemampuan memahami dapat dilihat dari pemilihan

metode penyelesaian masalah, dimana siswa

menggunakan operasi penjumlahan untuk menentukan

total waktu bergetar dari setiap benda yang ditanya.

• Kemampuan menginterpretasikan dilihat dari penulisan

siswa untuk menyelesaikan operasi penjumlahan, dimana

siswa menggunakan penjumlahan bersusun untuk

menyelesaikan masalah. Akan tetapi, pada proses

penyelesaiannya siswa tidak menuliskan keterangan yang

diketahui dan tujuan penyelesaian masalah.



Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.15 sampai

gambar 4.1.17.,, K1 sudah mampu mendemonstrasikan serta

menggambarkan melalui tulisan mengenai penyelesaian

masalah.

K2 Soal 8: berapa total waktu kawat dan benag untuk bergetar?



Berdasarkan hasil pekerjaan gambar 4.1.18 sampai gambar


43


Soal 9: berapa total waktu karet, benang dan kawat untuk bergetar?


4.1.20., K2 sudah mampu menggunakan istilah-istilah,

notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide.

• Kemampuan menggunakan istilah-istilah dilihat dari

penyelesaian K2 menerangkan waktu yang dibutuhkan

setiap benda untuk bergetar. Selain itu siswa juga

menggunakan istilah detik sebagai satuan waktu.

• Kemampuan menggunakan notasi-notasi matematika

dilihat dari penggunaan notasi operasi penjumlahan (+)

pada pekerjaan siswa.



lainnya.


4.1.20., K2 sudah mampu memahami, menginterpretasikan

baik secara tulisan.

• Kemampuan memahami dilihat dari pemilihan metode

untuk menyelesaikan masalah, yaitu operasi

penjumlahan.


44

Soal 10: berapa total waktu karet, benang, senar dan kawat untuk bergetar?


• Kemampuan menginterpretasikan dilihat dari tulisan

siswa, dimana siswa dapat menginterpretasikan masalah

dalam bahasa matematika. Akan tetapi bahasa

matematika pada tulisan tersebut belum tepat.




4.1.20., K2 sudah mampu mendemonstrasikan serta

menggambarkan melalui tulisan.

Hal ini dilihat dari teknik yang digunakan siswa, yaitu

teknik penjumlahan bersusun untuk memudahkan siswa

dalam berhitung.

Keterangan:

K1: kelompok 1

K2: kelompok 2


45

Berdasarkan analisis dan pembahasan pada tabel 4.1 di atas, K1 belum

sepenuhnya mampu memenuhi ketiga indikator NCTM tersebut secara tulisan

karena belum memenuhi indikator kedua untuk soal 6 sampai soal 10. K1

cenderung untuk langsung menggunakan metode penyelesaian yang cocok tanpa

menerangkan terlebih dahulu informasi dan tujuan dari soal tersebut. Selain itu,

K2 sudah memenuhi ketiga indikator kemampuan komunikasi matematik

meskipun terdapat sedikit kekurangan dalam penulisan informasi dalam

menyelesaikan soal-soal yang diberikan.


46

D. REFLEKSI

Selama kurang lebih 2 tahun berdinamika, belajar bersama teman-teman

dan para Dosen S2 Pendidikan Matematika Sanata Dharma, hal yang paling

menantang dan sangat berkesan adalah proses penyusunan tesis. Suka dan duka

pun mengiringi proses penuh tantangan ini. Salah satu tantangan terberat selama

proses penyelesaian tesis ini adalah mengalahkan diri sendiri. Terdapat beberapa

sikap yang muncul, seperti malas, jenuh dan putus asa. Dibutuhkan usaha yang

cukup untuk mengatasi keadaan itu untuk kembali melanjutkan pekerjaan yang

belum selesai.

Hal yang dapat saya jadikan pelajaran hidup selama proses menyelesaikan

tesis ini adalah “jangan menunda pekerjaan, selesaikan sampai tuntas”. Saya

seringkali mengalami kesusahan karena kebiasaan saya yang selalu menunda

untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Akibatnya, saya tidak dapat mencapai

target saya. Berbagai hal yang telah saya rencanakan pun tidak terlaksana dengan

baik.

Harapan saya untuk tahap selanjutnya, saya harus lebih rajin dan

meninggalkan kebiasaan lama saya, agar dapat mencapai target dan semua

rencana dapat terlaksana dengan baik.


47

BAB V

PENUTUP

Pada bagian ini akan membahas tentang kesimpulan dari penelitian yang

telah dilaksanakan, baik penelitian matematika maupun penelitian pendidikan

matematika. Selain itu, pada bab ini pula membahas tentang saran bagi

pengembangan penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Berdasarkan penelitian dan hasil pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Metode grid selang-seling dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

gelombang elastis yang berkaitan dengan masalah akustik. Pada penelitian ini,

peneliti menggunakan masalah nilai awal yang halus (smooth).

2. Pada solusi numeris, diperoleh perilaku fisik yang tepat karena terdapat 1

gelombang tekanan dengan kecepatan nol, tekanan terbagi menjadi 2 bagian

dan bergerak menuju arah yang berlawanan seiring berjalannya waktu.

3. Berdasarkan pembelajaran matematika yang dilakukan untuk materi operasi

penjumlahan dan pengurangan menggunakan konsep gelombang elastis di

kelas VI SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno tahun 2017, kemampuan

komunikasi matematik dari 18 siswa di kelas dalam menyelesaikan soal yang

diberikan adalah sebagai berikut:

a. Terdapat 9 siswa sudah mampu memenuhi 2 indikator NCTM, yaitu

indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi

matematika untuk menyajikan ide dan indikator kemampuan


48

a. mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan

mengenai konsep operasi penjumlahan dan pengurangan.

b. Terdapat 9 siswa sudah memenuhi ketiga indikator NCTM, yaitu indikator

kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika

untuk menyajikan ide, indikator kemampuan memahami

menginterpretasikan secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual

lainnya, dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta

menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai materi operasi

penjumlahan dan pengurangan, meskipun terdapat sedikit kekurangan

dalam penulisan informasi dalam menyelesaikan soal.

B. Saran

Sebagai bentuk dukungan perkembangan bagi penelitian selanjutnya,

peneliti menyarankan untuk meneliti kinerja metode beda hingga grid selang-

selang terhadap masalah-masalah kasar (nonsmooth). Selain itu, untuk

pengembangan penelitian dalam bidang pendidikan matematika, disarankan untuk

menggunakan soal-soal yang lebih konstekstual, sehingga selain mengukur

kemampuan komunikasi matematik siswa, juga dapat mengukur kemampuan

penalaran siswa. Selain itu, diharapkan pada penelitian selanjutnya untuk

menggunakan metode wawancara untuk memperkuat analisis data.


49

DAFTAR PUSTAKA

Ansari, dkk, 2016, Komunikasi Matematik, Strategi Berpikir dan Manajemen Belajar: Konsep dan Aplikasi, PeNA, Banda Aceh.

Bartolo, L.D., Dors, C. dan Mansur, W.J., 2015, Theory Of Equivalent Staggered-Grid Schemes: Application To Rotated And Standard Grids In Anisotropic Media, Geophysical Prospecting, 63, 1097.

Berk, L.E., 2012, Development Trought The Lifespam, Pustaka Pelajar, Yogyakarta.

Borthwick, D., 2016, Introduction To Partial Differential Equations, Springer, USA.

Breuss, M., 2004, The Correct Use of The Lax-Friedrichs Method, http://www.esaim-m2an.org/articles/m2an/pdf/2004/03/m2an0383.pdf/ Diakses 7 Januari 2018.

Dettmer, W.G. dan Peric, B., 2013, A New Staggered Scheme For Fluid-Structure Interaction, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 93, 1.

Hall, F. dan Wang, Y., 2009, Elastic Wave Modelling By An Integrated Finite Difference Method, Geophysical Journal International, 177, 104.

Huang, C. dan Dong, L-G., 2009, Staggered-Grid High-Order Finite-Difference Method In Elastic Wave Simulation With Variable Grids And Local Time-Steps, Chinese Journal of Geophysics, 52, 1324.

Lee, J.J. dan Kim, H.H., 2016, Analysis Of A Staggered Discontinuous Galerkin Method For Linear Elasticity, Journal of Scientific Computing, 66, 625.

LeVeque, R.J., 2002a, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge.

LeVeque, R.J., 2002b, Finite-Volume Methods For Non-Linear Elasticity In Heterogeneous Media, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 40, 93.

Mungkasi, S. dan Ningrum, G.I.J., 2016, Numerical Solution To The Linear Acoustics Equations, AIP Conference Proceedings, 1746, 020056.

Mungkasi, S. dan Supriyadi, B., 2016, Finite Volume Numerical Solvers For Non-Linear Elasticity In Heterogeneous Media, International Journal for Multiscale Computational Engineering, 14, 479.

NCTM, 2000, Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, USA.


50

Nilsson, S., Petersson, N.A., Sjögreen, B. dan Kreiss, H.O., 2007, Stable Difference Approximations For The Elastic Wave Equation In Second Order Formulation, SIAM Journal on Numerical Analysis, 45, 1902.

Rachmayani, Dwi, 2014, Penerapan Pembelajaran Reciprocal Teaching untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis dan Kemandirian Belajar Matematika Siswa, Jurnal Pendidikan UNSIKA, 2, 1.

Schneider, M., Ospald, F. dan Kabel, M., 2016, Computational Homogenization Of Elasticity On A Staggered Grid, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 105, 693.

Sjögreen, B. dan Petersson, N.A., 2012, A Fourth Order Accurate Finite Difference Scheme For The Elastic Wave Equation In Second Order Formulation, Journal of Scientific Computing, 52, 17.

Wazwaz, A.M., 2009, Partial differential Equations and Solitary Waves Theory, Springer, Berlin.

Yang, L., Yan, H. dan Liu, H., 2016, Optimal Implicit Staggered-Grid Finite-Difference Schemes Based On The Sampling Approximation Method For Seismic Modeling, Geophysical Prospecting, 64, 595.

Yang, L., Yan, H. dan Liu, H., 2017, An Optimal Implicit Staggered-Grid Finite-Difference Scheme Based On The Modified Taylor-Series Expansion With Minimax Approximation Method For Elastic Modeling, Journal of Applied Geophysics, 138, 161.

Yan, H-Y. dan Liu, Y., 2012, High-Order Finite-Difference Numerical Modeling Of Wave Propagation In Viscoelastic TTI Media Using Rotated Staggered Grid, Chinese Journal of Geophysics, 55, 252.


51

LAMPIRAN


A. Program Matlab

clear all clc N = 1000;%Number of cells L = 10; %the length of the domain dx=2*L/(N-1); %delta x dt=0.05*dx; %delta t tFinal = 5; % time of simulation Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu x = -10:dx:10; %interval x xodd = zeros(1, N/2); uodd = xodd; xeven = zeros(1, N/2); peven = xeven; p0=zeros(1,N); p=zeros(1,N); u0=zeros(1,N); u=zeros(1,N); % storage of quantity % nilai awal % for j=1:N; %iterasi j sebanyak 1 sampai N, dmna N merupakan banyaknya x % if x(j)<0 % p(j)=10; % else % p(j)=5; % end % end %initial condition for i=1:N if x(i)<pi && x(i)>-pi p(i) = 1 - cos(x(i)+pi); % u(x,0) end end for i = 1:N if mod(i,2) == 0 xeven(i/2) = x(i); peven(i/2) = p(i); else xodd((i+1)/2) = x(i); uodd((i+1)/2) = u(i); end end


%perintah dibawah ini(47-55)dipakai untuk menggambar tekanan dan kecepatan saat %t=0 %plot(x,p) %xlabel('x') %ylabel('p') %plot(x,u) %xlabel('x') %ylabel('u') %stop for n=1:Nt p0 = p; u0 = u; for i = 2:N-1 if mod(i,2) == 0 %h grids p(i) = p0(i) - dt/(2*dx)*(u0(i+1) - u0(i-1)); end end p(1) = 0; p(end) = 0; for i = 2:N-1 if mod(i,2)~= 0 %u-grids; u(i) = u0(i) - dt/(2*dx)*(p0(i+1) - p0(i-1)); end end u(1) = 0; u(end) = 0; % pemilahan hasil for i = 1:N if mod(i,2) == 0 peven(i/2) = p(i); else uodd((i+1)/2) = u(i); end end %plot the results figure(1) subplot(2,1,1)


plot(xeven,peven) xlabel('x') ylabel('p(x,t)') subplot(2,1,2) plot(xodd,uodd) xlabel('x') ylabel('u(x,t)') pause(10^-10) t=n*dt; end


B. Surat Undangan


C. Surat Keterangan


D. Daftar Hadir


E. RPP dan Langkah-langkah Percobaan



F. Hasil Kerja Siswa









G. Dokumentasi


PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS …

Documents