BAB 1PENDAHULUAN1.1 Latar BelakangSaat ini perkembangan
teknologi informasi yang sangat pesat pada mendorong para praktisi
untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat
dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Persoalan yang
melibatkan model matematika banyak muncul dalamberbagai disiplin
ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,ekonomi, atau
pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut
muncul dalam bentuk yang sulit untukdikerjakan secara analitik
dimana analitik disini adalah metode penyelesaian model matematika
dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.
Metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki
tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian
dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam
kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhanatetapi
sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit.
Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi
terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka
salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode
Numerik. Metode Numerik adalah teknikyang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan
dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah,kurang,
kali, dan bagi). Dalam penyelesaian persoalan rumit fisika
penggunaan metode numerik sendiri sudah banyak diterapkan misalnya
saja penyelesaian untuk mengetahui hubungan kecepatan termal dengan
koefisien kekentalan zat cair menggunakan metode
interpolasi,kemudian persoalan gerak peluru dengan spin yang bisa
diselesaikan menggunakan metode runge kutta,dan masih banyak contoh
persoalan rumit fisika yang dapat diselesaikan menggunakan metode
numerik.Dalam hal ini penulis akan membahas mengenai persoalan
fisika mengenai debit air yang dapat diselesaikan menggunakan
Metode eliminasi gauss(Upper dan Lower) dan LU Decomposition
(Metode Doolittle). Untuk lebih jelasnya akan dibahas pada bab-bab
selanjutnya
1.2 Rumusan MasalahBerapakah besar debit air pada sebuah pipa
dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan Metode
eliminasi gauss (Upper) dan LU Decomposition (Metode Doolittle).1.3
TujuanMenentukan besar debit air pada sebuah pipa dengan
menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan Metode
eliminasi gauss (Upper) dan LU Decomposition (Metode Doolittle)1.4
ManfaatDengan adanya program yang telah disediakan pada MATLAB kita
dapat menggunakan metode secara tepat agar permasalahan fisika yang
rumit dapat terselesaikan dengan baik, misalnya pada persoalan yang
akan dibahas dalam makalah ini mengenai besar debit air pada sebuah
pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan
Metode eliminasi gauss (Upper dan lower) dan LU Decomposition
(Metode Doolittle)
BAB 2TINJAUAN PUSTAKA2.1 Eliminasi GaussEliminasi Gaussadalah
suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan
melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks
yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode
penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya
dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks
teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris,
lakukan substitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.Prosedur penyelesaian dari metode ini
adalahdengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut
menjadi matriks yangEselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke
dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriksEselon-baris, lakukansubstitusi balikuntuk mendapatkan nilai
dari variabel-variabel tersebut.Sebagai contoh berikut ada 3
persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :a11x1 + a12x2 + a13x3 =
b1 (1.a)a21x1 + a22x2 + a23x3 = b3(1.b)a31x1 + a32x2 + a33x3 =
b3(1.c)Persamaan pertama dibagi koefisien pertama dari persamaan
kesatu a11 dan dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan
kedua a21 :
a21x1 + a21x2 + a21x3 = a21 (1.1)Persamaan (4.1.b) dikurangi
persamaan (4.2) didapat :
(a22 - a21) x2 + (a23 - a21) x3 = (b2 - a21 )atau a22 x2 + a23
x3 = b2 (1.2)
Langkah berikut, dengan cara yang sama dilakukan pada persamaan
pertama dengan persamaan ketiga, sehingga didapat persamaan :
a31x1 + a31x2 + a31x3 = a31 (1.3)dan persamaan (1.c) dikurangi
persamaan (1.3) didapat :
(a32 - a31) x2 + (a33 - a31) x3 = (b3 - a31 )atau a32 x2 + a33
x3 = b3 (1.4)Langkah berikut mengeliminasi persamaan (1.3) dan
(1.4) yaitu membagi persamaan (1.2) dengan koefisien a22 dan
dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (1.4) hasilnya
:
a32 x2 + a32 x3 = a33 (1.5)Persamaan (4.5) dikurangi persamaan
(4.6)
(a33 - a32 ) x3 = (b3 - a33 ) atau : a33 x3 = b3 (1.6)Dengan
demikian terbentuk persamaan dalam bentuk matrix segitiga atas
:a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (1.a) a22 x2 + a23 x3 = b2 (1.2) a33 x3
= b3 (1.6)Maka hasilnya dapat diselesaikan dengan menyelesaikan
persamaan (1.6) didapat nilai x3 kemudian dengan memasukan nilai x3
ke persamaan (1.2) didapat x2 dan selanjutnya dengan memasukan
nilai x2 dan x3 pada persamaan (1.a) didapatkan nilai x1 . dengan
demikian sistim persamaan dapat diselesaikan.
2.1.1 Ciri-ciri Eliminasi Gaussa. Jika suatu baris tidak semua
nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)b.
Baris nol terletak paling bawahc. 1 utama baris berikutnya berada
dikanan 1 utama baris diatasnyad. Dibawah 1 utama harus nol2.1.2
Algoritma dasar metode eliminasi gauss Algoritma dasar metode
eliminasi gauss adalah sebagai berikut:1. Ubahlah sistem persamaan
linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang
berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang
menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu
ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.1. Periksalah elemen-elemen
pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah
elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11,
a22,..., ann atau disingkat aii. Jika aii _= 0, bisa dilanjutkan ke
langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol,
aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar
posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i
+ 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak
nol, aii 0.c. Proses triangularisasi.d. Hitunglah nilai xn e.
Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 ,
....,x2 , x1
2.1.3 Kelebihan dan KekuranganMetode ini digunakan dalam
analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi,
dengan beberapa tahapa. menentukan apakah sistem konsisten.b.
menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap
langka.c. lebih mudah untuk memecahkankelemahan :a. memiliki
masalah akurasi saat pembulatan decimalUntuk function Metode
eliminasi gauss yang dapat digunakan dalam menyelesaiakan persoalan
menghitung debit air dalam sebuah pipa dengan menggunakan Sistem
Persamaan Linier yaitu : function
x=gauss(A,b)[n,n]=size(A);k=1;[n1,k]=size(b);x=zeros(n,k);for
i=1:n-1; m=-A(i+1:n,i)/A(i,i); A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:);
b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);endx(n,:)=b(n,:)./A(n,n);for
i=n-1:-1:1; x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);end
2.2 LU DekomposisiLU dekomposisi memiliki tempat dalam
memecahkan persamaan linear.metode dekomposisi LU komputasi ini
memiliki kelebihan yakni lebih efisien daripada eliminasi Gauss.
Metode LU-decomposisi bisa dibilang merupakan modifikasi dari
eliminasi gauss, karena beberapa langkah yang mesti dibuang pada
eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU decomposisi Pada LU
dekomposisi ini persamaan linier Ax=b mengubah matriks A menjadi
matriks upper dan matriks lower, A=LUA=metode LU-decomposition
dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut: Melakukan
faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U A = LU.
Menghitung vektor y dengan operasimatrik Ly = b. Ini adalah proses
forward-substitutionatau substitusi-maju. Menghitung vektor x
dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses
backward-substitution atau substitusi mundur.Untuk function Metode
LU Decomposition (Metode Doolittle) yang dapat digunakan dalam
menyelesaiakan persoalan menghitung debit air dalam sebuah pipa
dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu :
function x=ludec(A,b)n=size(A,1);for k=1:n-1; for i=k+1:n if
A(i,k)~=0.0 lambda=A(i,k)/A(k,k);
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-lambda*A(k,k+1:n); A(i,k)=lambda; end
endendif size(b,2)>1;b=b';endfor k=2:n
b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1);endfor k=n:-1:1
b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);endx=b;
2.3 Debit airVolume suatu fluida yang mengalir melalui penampang
dalam selang waktu tertentu dikenal dengan Debit Air. Debit adalah
besaran yang menyatakan banyaknya air yang mengalir selama 1 detik
yang melewati suatu penampang luas. Ambillah sebuah selang dan
nyalakan kran, air akan mengalir melalui penampang ujung selang
itu. Jika selama 6 detik air yang mengalir adalah lewat ujung
selang adalah 12 m3, maka kita katakan debit air adalah (12/6)
m3/detik = 2 m3/det.
Bila fluida mengalir dalam pipa yang mempunyai luas penampang A
dan mengalir sejauh L maka volume fluida yang ada di dalam pipa
adalah Vol = A.L , karena selama fluida mengalir dalam pipa
sepanjang L, fluida menempuh selang waktu tertentu selama t.Q =
Volume / Waktu = A.L / tv = L / t maka Q = A.(vt) / tQ = A.v (
Persamaan debit air)
Gbr.1Gambar di atas menunjukkan aliran fluida dari kiri ke kanan
( fluida mengalir dari pipa yang berdiameter besar menuju diameter
yang kecil ). Garis putus-putus merupakan garis arus. Jika
dicermati, garis-garis pada aliran ini sama sekali tidak
berpotongan satu sama lainnya. Garis alir semacam ini dinamakan
Garis alir (stream line) yang didefinisikan sebagai lintasan aliran
fluida ideal. Pada pipa alir, fluida masuk dan keluar melalui
mulut-mulut pipa. Air masuk dari ujung kiri dengan kecepatan v1 dan
keluar di ujung kanan dengan kecepatan v2. Jika kecepatan fluida
konstan, maka dalam interval waktu (t) fluida telah menempuh jarak
L= v.t .Keterangan gambar :v1 = kecepatan aliran fluida pada bagian
pipa yang berdiameter besar(ms-1)v2 = kecepatan aliran fluida pada
bagian pipa yang berdiameter kecil(ms-1)A1 = luas penampang bagia
pipa yang berdiameter besar( m2 )A2 = luas penampang bagian pipa
yang berdiameter kecil( m2 )L = jarak tempuh fluida( m )t = selang
waktu fluida ( s )
Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui
bagian pipa yang berdiameter besar (A1) sejauh L1 (L1 = v1 t).
Volume fluida yang mengalir adalah V1 = A1L1 = A1v1t. Selama selang
waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian
pipa yang diameternya kecil (A2) sejauh L2 (L2 = v2 t). Volume
fluida yang mengalir adalah V2 = A2L2 = A2 v2 tMassa fluida yang
mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A1 (diameter pipa
yang besar) selama selang waktu tertentu adalah sbb : =m = Vm1 =
1V1V1 = A1 L1 = A1 v1 tm1 = 1 A1 v1 t
Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang
memiliki luas penamang A2 (diameter pipa yang kecil) selama selang
waktu tertentu adalah :m2 = 2V1V2 = A2 L2 = A2 v2 tm2 = 2 A2 v2
tUntuk fluida yang tunak dimana kecepatan aliran fluida di suatu
titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang
melewati titik itu, maka jumlah massa yang menembus penampang 1
(A1) dan penampang 2 (A2) haruslah sama. Sehingga dapat dibuat
persamaan sbb :m1 = m21 A1 v1 t =2 A2 v2 t 1 A1 v1 =2 A2 v2Jika
fluida tersebut tak termampatkan atau tidak bisa ditekan, maka1 = 2
( tidak berubah terhadap tekanan), maka :Av= tetapQ1 = Q2A1 v1 = A2
v2 (Persamaan kontinuitas)Keterangan :v1 = kecepatan aliran fluida
pada bagian pipa yang berdiameter besar(ms-1)v2 = kecepatan aliran
fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil(ms-1)A1 = luas
penampang bagia pipa yang berdiameter besar( m2 )A2 = luas
penampang bagian pipa yang berdiameter kecil( m2 )
BAB 3METODOLOGI PRAKTIKUM3.1 Langkah Kerja1. Membuka Program
Matlab2. Menuliskan persamaan dibawah ini dalam bentuk matrik-2
v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6 v2+12 v3=105 v1+4v2-8v3=23. Memanggil
function dari gauss dan LU dekomposisi pada common window dimana
function tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-File lalu
disimpan.4. Setelah mengetahui harga kecepatan (v1,v2,v3) maka
selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan memanggil
function dari M-File sesuai dengan rumus debit air (Q=A.v).3.2
Metode Analisis dataMetode yang digunakan yakni metode eliminasi
gauss (upper,lower) dan LU decomposition(Dollite)
BAB 4HASIL PENGAMATAN dan ANALISIS DATA4.1 Hasil
Pengamatanv1
v2v3
A2 A3A1A2
Dari gambar tersebut, sebuah fluida mengalir dalam pipa dimana
diketahui pipa tersebut memiliki luas penampang berturut-turut
A1=2,9 m2, A2=2.7 m2, A3=2,5 m2 dengan persamaan kecepatan v dalam
m/s sebagai berikut:-2 v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6 v2+12 v3=105
v1+4v2-8v3=2Tentukan Debit air pada Q1,Q2,Q3 dalam m3/s!
4.2 Hasil Analisis Data Hasil Perhitungan analitik Metode
Lower
didapatkan
12+a(-8)=0 a=1,56+(1.5)(4)=-123+(1.5)(5)=10.59+ (1.5)(13)=10.5
5+a(-8)=0 a=0,6254+(0,625)(4)=6.52+(0,625)(5)=1.1253+
(0,625)(13)=4.25 6.5+a(12)=0
a=-0.5411.125+(-0.541)(10.5)=-4.554.25+(0.541)(13)=-2.783A.v=b
v1=
v1Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan
hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2,9 m3. 0.610 m/s=1,769
m3/sQ2=A2.v2= 2,7 m3.0.549 m/s = 1.4823 m3/sQ3=A3.v3= 2,5
m3.0.405m/s= 1,0125 m3/s Metode Upper
Didapatkan
3+a(-2)=0 a= - 1.56+(1.5)(4)= - 1212+(1.5)(5)=19.510+
(1.5)(13)=14.5 5+a(-2)=0 a=2.54+(2.5)(4)=14-8+(2.5)(5)=4.52+
(2.5)(3)=9.5 14+a(12)=0
a=-1.1664.5+(19.5)(-1.166)=-18.2379.5+(14.5)(-1.166)=-7.407A.v=b
,v=x
v3=
Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan
hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2,9 m3. 0,611
m/s=1,7719 m3/sQ2=A2.v2= 2,7 m3.0,548m/s = 1,4796 m3/sQ3=A3.v3= 2.5
m3.0.405m/s= 1,0125 m3/s Metode LUDEC (dollite)
U11= -2 U12= 4 U13= 5 U13= 5 L21. U11= 3 L21.= -1.5
L21 U12 + U22 = 6U22=12 L31 U12 + L32 U22 = 4L32 = 1.167 L21 U13
+ U23 = 12U23 = 19.5 L31 U13 + L32 U23 + U33 = -8U33 = 18.256A = L.
U
LY= b= Y1= 3 -1.5 Y1+ Y2 = 10 Y2 = 14.5 -2.5 Y1+1.167 Y2+ Y3 = 2
Y3 = 7.421U v = Y , v=x
Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan
hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2.9 m3. 0.611
m/s=1,7719 m3/sQ2=A2.v2= 2.7 m3.0.548m/s = 1,4796 m3/sQ3=A3.v3= 2.5
m3.0.406m/s= 1,015 m3/s
3.2.2 Hasil perhitungan MATLABDengan menggunakan fungsi
eliminasi gauss :function
x=gauss(A,b)[n,n]=size(A);k=1;[n1,k]=size(b);x=zeros(n,k);for
i=1:n-1; m=-A(i+1:n,i)/A(i,i); A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:);
b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);endx(n,:)=b(n,:)./A(n,n);for
i=n-1:-1:1;
x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);endEksekusi pada
command windowDiary onformat longA=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]
A =
-2 4 5 3 6 12 5 4 -8
b=[3;10;2]
b =
3 10 2
gauss(A,b)
ans =
0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927
ludec(A,b)
ans =
0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927
Untuk mendapatkan hasil Debit air dalam pipa, maka diperlukan
fungsi pada m-file,kemudian eksekusi pada command window dengan
klik run.FLOW CHART menentukan debit air : START
INPUT : Luas penampang (A), kecepatan(v)
Hitung: Q (debit air)
OUTPUT: Q=A*v
C = ?
STOP
M-Filefunction Q = debitairA = input('luas penampang: ');v =
input('kecepatan: ');Q = A*vend
Hasil run dari M-Fileformat long% Modify expression to add input
arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a);
debitluaspenampang: 2.9kecepatan: 0.611 Q = 1.771900000000000 ans =
1.771900000000000 % Modify expression to add input arguments.%
Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang:
2.7kecepatan: 0.547 Q = 1.476900000000000 ans = 1.476900000000000 %
Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4
5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.5kecepatan: 0.406 Q =
1.015000000000000
ans = 1.015000000000000 diary off
Sehingga diketahui debit air Q1= 1.7719 m3/s, Q2=1,4769 m3/s,
Q3=1,015 m3/s
BAB 5PEMBAHASANPada penyelesaian soal berkaitan dengan
menghitung debit air yang mengalir pada sebuah pipa, menggunakan
metode eliminasi Gauss dan LU dekomposisi dimana metode tersebut
digunakan untuk menyelesaikan persamaan dari kecepatan (v) yang
diketahui memiliki persamaan berikut :-2 v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6
v2+12 v3=105 v1 + 4v2 - 8v3 = 2Dalam pengerjaan di MATLAB, langkah
pertama yakni menuliskan persamaan tersebut dalam bentuk
matrik>>A=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]A = -2 4 5 3 6 12 5 4
-8>> b=[3;10;2]b = 3 10 2Selanjutnya memanggil function dari
gauss dan LU dekomposisi pada common window dimana function
tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-File lalu disimpan.
Setelah memanggil fungsi gauss dan LU dekomposisi didapatkan hasil
sebagai berikut:format longA=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]
A =
-2 4 5 3 6 12 5 4 -8
b=[3;10;2]
b =
3 10 2
gauss(A,b)
ans =
0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927
ludec(A,b)
ans =
0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927
Diary off
Sehingga dapat kita ketahui harga v1= 0.61m/s,v2=0.54
m/s,v3=30.40 m/s.Jika v1,v2,v3 dimasukkan kedalam persamaan v maka
akan didaptakan hasil yang sama.Setelah mengetahui harga kecepatan
(v) maka selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan
memanggil function dari M-File sesuai dengan rumus debit air
(Q=A.v).M-Filefunction Q = debitairA = input('luas penampang: ');v
= input('kecepatan: ');Q = A*vend
Hasil run dari M-Fileformat long% Modify expression to add input
arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a);
debitluaspenampang: 2.9kecepatan: 0.611 Q = 1.771900000000000 ans =
1.771900000000000 % Modify expression to add input arguments.%
Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang:
2.7kecepatan: 0.547 Q = 1.476900000000000 ans = 1.476900000000000 %
Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4
5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.5kecepatan: 0.406 Q =
1.015000000000000 ans = 1.015000000000000 diary off
Dari perhitungan tersebut diketahui besarnya debit air yang
melalui sebuah pipa yakni: Debit air saat A= 2,9 m2 dan v=0.611m/s
adalah 1.7719 m3/s, Debit air saat A= 2,7 m2 dan v=0.547 m/s adalah
1.4769 m3/s, Debit air saat A= 2,5 m2 dan v=0.402 m/s adalah 1,015
m3/s,Untuk perhitungan secara analitik maupun perhitungan matlab
didapatkan hasil yang sama baik dalam memecahkan persamaan
kecepatan (v) maupun perhitungan debit(Q).
BAB 6PENUTUP6.1 KesimpulanDari pembahasan sebelumnya, dapat
diambil kesimpulan dimana dari perhitungan tersebut diketahui
besarnya debit air yang melalui sebuah pipa yakni: Debit air saat
A= 2,9 m2 dan v=0.611m/s adalah 1.7719 m3/s, Debit air saat A= 2,7
m2 dan v=0.547 m/s adalah 1.4769 m3/s, Debit air saat A= 2,5 m2 dan
v=0.402 m/s adalah 1,015 m3/s,Penyelesaian menggunakan MATLAB
antara metode eliminasi gauss dengan LU dekomposisi menghasilkan
hasil data yang sama dalam menentukan kecepatan air dalam pipa yang
memiliki luas penampang berbeda.6.2 SaranSebaiknya dalam pemecahan
soal menghitung debit air ini lebih banyak menggunakan variasi
metode lainnya.
lampiranLEMBAR PERHITUNGAN Metode Lower(1)(2)
didapatkan(3)
Perhitungan (1)12+a(-8)=0 -8a=-12
a=1,56+(1,5)(4)=6+6=123+(1,5)(5)=3+7,5=10,510+ (1,5)(2)=10+3=13
Perhitungan (2) 5+a(-8)=0 -8a=-5
a=0,6254+(0,625)(4)=4+2,5=6,5-2+(0,625)(5)=-2+3,125=1,1253+
(0,625)(13)=3+8,125=4.25 Perhitungan 3 6,5+a(12)=0 12a=-6.5
a=-0,5411,125+(-0,541)(10,5)=1,125-5,6805=-4.554,25+(-0,541)(13)=4,25-7,033=-2,783
A.v=b
v1=
v1
Metode Upper(2)(1)
Didapatkan(3)
3+a(-2)=0 -2a=-3
a=1,56+(1,5)(4)=6+6=1212+(1,5)(5)=12+7,5=19,510+
(1,5)(13)=10+4,5=14,5 5+a(-2)=0 -2a=-5
a=2,54+(2,5)(4)=4+10=14-8+(2,5)(5)=-8+12,5=4,52+ (2,5)(3)=2+7,5=9,5
14+a(12)=0 12a=-14
a=-1,1664,5+(19,5)(-1,166)=4,5-22,737=-18,2379,5+(14,5)(-1,166)=9,5-16,907=-7,407A.v=b
v3=
Metode LUDEC (dollite)
U11= -2 U12= 4 U13= 5 U13= 5 L21. U11= 3 L21.= -1,5
L21 U12 + U22 = 6-1,5(4)+ U22 = 6 U22=12 L31 U12 + L32.U22 =
4-2,5(4)+ L32(12) = 412 . L32 =14L32 = 1.167 L21 U13 + U23 = 12-1,5
(5) + U23 = 12-7,5+ U23 = 12U23 = 19.5 L31 U13 + L32 U23 + U33 =
-8-2,5(5) + 1,167(19,5) + U33 = -8-12,5 + 22,756 + U33 = -8 U33 =
-10,256 -8 U33 = 18,256A = L. U
LY= b= Y1= 3 -1.5 Y1+ Y2 = 10 Y2 = 14.5 -2.5 Y1+1.167 Y2+ Y3 =
2-2.5 (3)+1.167 (14.5) + Y3 = 2-7,5 + 16,921 + Y3 = 2 Y3 = 7,421U v
= Y, x= v