PENGGUNAAN INTEGRAL TAK TENTU Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected]
PENGGUNAAN
INTEGRAL TAK TENTU
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
Integral tak tentu
digunakan dalam penyelesaian
persamaan diferensial
[dibahas peubahnya dapat
dipisah]. Banyak masalah riil
yang model matematikanya
berbentuk persamaan
diferensial ini.
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan
0,,,,,2
2
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dyyxf
yang menghubungkan x, y (sbg
fungsi x) dan derivatifnya
terhadap x disebut persamaan
diferensial
Orde persamaan
diferensial dimaksud orde
tertinggi dari derivatif yang
timbul dalam persamaan.
Sedang derajat suatu
persamaan diferensial
ditentukan oleh pangkat
tertinggi dari derivatif orde
tertinggi dalam persamaan.
Fungsi y=g(x) dinamakan
penyelesaian persamaan diferensial
0,,,,, )()2()1( nyyyyxf
jika
0)(,),(),(),(, )()2()1( xgxgxgxgxf n
yaitu jika y dan derivatif-
derivatifnya yang telah dinyatakan
dalam x disubtitusikan ke dalam
persamaan diferensial.
Penyelesaian umum suatu
persamaan diferensial dimaksudkan
penyelesaian yang paling umum
dimana penyelesaian umum suatu
persamaan diferensial orde n akan
memuat n konstanta sebarang. Jika
semua konstanta ini diberikan
harga-harga tertentu maka akan
diperoleh penyelesaian khusus suatu
persamaan diferensial.
Cari persamaan dari kurva yang
melalui (1,2) yang kemiringannya
pada setiap titik pada kurva sama
dengan dua kali absis (koordinat-
x) titik itu.
CONTOH 1
Jawab
Keadaan yang harus berlaku di setiap
titik (x,y) pada kurva adalah
xdx
dyy 2'
Dicari suatu fungsi y=f(x) yang
memenuhi persamaan ini dengan
syarat y=2 jika x=-1.
xdxdyxdx
dy22
)(
2
12
2
12
2
2
2
1
ccccxy
ccxy
cxcy
dxxdy
y=2 jika x=-1.
1122 cccxy
Penyelesaian
umum
Penyelesaian khusus
12 xy
Percepatan suatu obyek yang
bergerak sepanjang suatu garis
koordinat diberikan oleh
a(t)=(2t+3)-3 dalam meter
perdetik. Jika kecepatan pada t=0
adalah 4 meter perdetik, cari
kecepatan 2 detik kemudian.
CONTOH 2
Jawab 3)32()( tdt
dvta
ct
ct
dttdttv
2
2
33
)32(4
1
2
)32(
2
12)32(
2
1 )32(
Karena v=4 saat t=0
36
145
)3(4
14
2 cc
sehingga
36
145
)32(4
12
tv
Saat t=2
det023,436
145
)49(4
1mv
Selesaikan persamaan diferensial
CONTOH 3
di titik y=1 jika x=0
422 )2( xxydx
dy
Jawab
cxy
cxy
ccxy
cxcy
dxxxy
dy
dxxxy
dyxxy
dx
dy
52
101
52
12
52
2
52
1
42
2
42
2
422
)2(
1
)2(10
11)2(
10
11
)2(10
11)2(
)2()2(
5215
101
5
10152
101
1)2(
)2(
11
)2(
1
cc
ccxy
y=1 di x=0
sehingga
52
52152
101 )2(42
10
)2(
1
xxy