Page 1
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 1/15
1. Pengertian Graph Euler dan Semi Euler
Sebuah sirkit di graph G yang memuat semua sisi G disebut sirkit
euler. Jika graph G memuat sirkit Euler, maka graph G disebut graph Euler .
Sebuah jejak-buka yang memuat semua sisi graph disebut jejak Euler .
Graph G disebut graph semi-Euler jika G memuat jejak Euler. Sebagai
contoh, perhatikan gembar 1, graph G1 adalah graph Euler karena memuat
sirkit Euler S = (1, !, ", #, $, ", 1, $, %, 1&, graph G! adalah graph semi-
euler karena memuat jejak Euler buka J = (1, !, #, ", 1, #&, sedangkan
graph G# bukan graph Euler maupun semi-Euler.
Gambar 1 : G1 graph Euler ; G2 graph semi-Euler ; G3 bukan Euler dan
bukan semi-Euler
2. Karakterisasi Graph Euler dan Semi-Euler
'erhatikan graph G1 pada gambar 1, setiap titik G1 berderajat genap,
dan ternyata ini merupakan syarat perlu dan cukup untuk menyompulkan G1
graph Euler. ukti )ormal tentang hal tersebut dapat dillihat pada teorema
berikut.
Teorema 1 : misalkan G graph terhubung. Graph G Euler jika dan hanya jika
setiap titik G berderajat genap.
ukti: Jika G graph Euler maka G memuat sirkit Euler. *isalkan S sirkit Euler
di G yang bera+al dan berakhir di titik 1. 'andang sebuah titik sembarang di
G, sebut saja titik . karena G terhubung maka titik termuat di S. jika 1
maka adalah titik internal S. dalam menelusuri S, setiap kali mele+ati titik
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 2
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 2/15
, digunakan dua sisi S yang terkait di , yaitu satu sisi saat menuju dan
satu sisi lain saat meninggalkan . jika dalam menelusuri S titik dile+ati
sebanyak k kali, maka banyaknya sisi S yang terkait di titik adalah !k dank
arena S memuat semua sisi G, maka banyaknya sisi G yang terkait di ititik
juga sama dengan !k. jadi derajat titik di G adalah !k (genap&. Jika = ,
maka titik a+al sekaligus titik akhir dari S. /alam menelusuri S, pada saat
pertama kali meninggalkan titik (titik sebagai titik a+al&, digunakan satu
sisi S dan pada saat mele+ati titik dan sebagai titik internal S, digunakan
dua sisi S dan akhirnya pada saat menuju titik (titik sebagai titik akhir S&,
digunakan satu sisi S. Jika dalam menelusuri semua sisi S, titik dile+ati
sebanyak k kali sebagai titik internal, maka banyaknya sisi S yang terkait di
titik adalah 10!k01. Jadi derajat titik di graph G adalah 10!k01 = !k0!
= !(k01&, genap.
Sebaliknya akan dibuktikan, dengan induksi kuat pada banyaknya sisi G.
ntuk 2E(G&2=1, jelas G adalah graph dengan satu titik dan satu gelung di
titik itu. Jadi G graph Euler. 3sumsi 4 jika G graph terhubung dan derajat
setiap titik G genap serta 2E(G&25 k, maka G graph Euler. *isalkan graph G
terhubung dengan k01 sisi. 6arena derajat setiap titik G genap, maka 7 (G&
8 !. Sehingga G memuat sikel. *isalkan sikel tersebut 9. hapus semua sisi 9
dari G, diperoleh graph : = G ; E(9&. Jelas setiap titik di : berderajat genap
dan sangat mungkin : tak terhubung. *isalkan :1, :!, < , :t adalah
komponen-komponen graph :. karena setiap komponen : memenuhi premis
asumsi, maka setiap komponen : adalah graph Euler. *isalkan Si adalah
sirkit Euler di :i,∀ , 15 i 5 t. Sirkit Euler di G dapat dikonstruksi sebagai
berikut 4
era+al dari sebuah titik di 9, telusuri sisi-sisi 9 samapai ke suatu titik,
katakan 1, yang termuat di sebuah komponen :, katakana :1 selanjutnya
telusuri sirkit Euler S1 di :1 bera+al dan berakhir di 1 selanjutnya telusuri
sisi-sisi 9 yang belum ditelusuri sampai ke sebuah titik, katakan !, yang
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 3
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 3/15
termuat di sebuah komponen : yang lain, katakana :! selanjutnya telusuri
sirkit Euler S! di :! bera+al dan berakhir di ! selanjutnya telusuri sisi-sisi 9
yang belum ditelusuri sampai ke sebuah titik di komponen : yang lain.
'roses ini dilanjutkan sampai tertelusuri sirkit Euler di komponen : yang
terakhir setelah itu telusuri sisi-sisi 9 yang belum tertelusuri sampai
akhirnya ke titik . Jelas sirkit yang diperoleh memuat semua sisi G. Jadi G
graph Euler. /engan demikian teorema terbukti.
>eorema di atas merupakan karakterisasi graph Euler. 6arakterisasi graph
semi-Euler diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 2 : Misalkan G graph terhubung. Graph G semi!Euler jika dan
hanya jika G memuat tepat dua titik berderajat ganjil. "ebih jauh, jejak Euler
di G berawal di sebuah titik berderajat ganjil dan berakhir di sebuah titik
berderajat ganjil yang lainnya.
Bukti : Jika G graph semi-Euler, maka G memuat jejak-Euler-buka. *isalkan J
jejak-Euler-buka di G yang bera+al di titik u dan berakhir di titik . 6aren G
terhubung maka J memuat semua titik G. misalkan ϵ ?(G&. >erdapat tiga
kemungkinan yaitu = u, u dan .
Jika = u, maka dalam menelusuri jejak J pertama-tama digunakan satu sisi J
yang terkait di , kemudian setiap kali mele+ati dan sebagai titik internal
J digunakan dua sisi J yang terkait di . apabila dalam menelusuri J titik
mele+ati sebanyak k kali sebagai titik internal, maka banyaknya sisi J yang
terkait di titik adalah 10!k. /engan demikian derajat titik di G adalah
!k01 (ganjil&.
Jika = , maka sebagai titik akhir jejak J. /alam menelusuri jejak J, setiap
kali mele+ati titik dan titik sebagai titik internal J, digunakan dua sisi J
yang terkait di titik . /an akhirnya digunakan satu sisi J yang terkait di
saat menuju titi dan sebagai titik akhir. Jika dalam menelusuri J titik
dile+ati sebanyak r kali dan sebagai titik internal, maka banyaknya sisi J
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 4
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 4/15
yang terkait di titik adalah !r01. /engan demikian derajat titik di G
adalah !r01 (ganjil&.
Jika # $ u dan # $ % , maka # adalah titik internal jejak &. seperti
sebelumnya, jika menelusuri semua sisi & titik # dile+ati sebanyak m kali,
maka banyaknya sisi & yang terkait di titik # adalah 'm. Jadi derajat titik # di
graph G adalah 'm (genap&.
/engan demikian dapat disimpulkan graph G memiliki tepat dua titik
berderajat ganjil yaitu titik a+al dan titik akhir jejak .
Selanjunya akan dibuktikan kebalikannya. Graph G terhubung dan
memiliki tepat dua titik berderajat ganjil. *isalkan titik berderajat ganjil
tersebut adalah titik u dan titik % . entuklah graph ( dari G dengan caramenghubungkan titik u dan titik % dengan sebuah sisi baru, sebut sisi e. jadi
( ) ∪ *e+ dengan e ) u% dan e ∉ EG-. Jelas graph ( terhubung dan
setiap titik ( berderajat genap. erdasrkan >eorema %.1, graph tersebut
adalah graph Euler. *isalkan adalah sirkit Euler di ( yang bera+al dan
berakhir di titik % sedemikian hingga sisi e merupakan sisi pertama di .
*aka / *e+ merupakan jejak Euler buka di G yang bera+al di titik u dan
berakhir di titik % . 3kibatnya, G graph semi-Euler. /engan demikian bukti
lengkap.
agaimanakah caranya mengkonstruksi sebuah sirkit (jejak& Euler
graph Euler
(semi-Euler&@ Ja+abannya, dengan menggunakan 3goritma Aleury, yang
diberikan pada subbab berikut.
3. !lgoritma "leur#3lgoritma Aleury digunakan untuk mengkonstruksi sebuah sirkit Euler
pada graph Euler. erikut disajikan langkah-langkah sistematis dari algoritma
tersebut.
B'> 4 Graph Euler G
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 5
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 5/15
S>E' 1 4 0ilih sebuah titikV
0 di graph G. 1ulisJ 0=V
0
S>E' ! 4 *isalkan jejeka J i=(V 0 ,e 1 ,V 1 ,… ,V j−1 , ei ,V i) telah terpilih.
Selanjutnya, pilih sebuah sisi ei+1 dari E (G )−{e1 , e2 , ..., ei}
sedemikian hingga 4
(i& Sisiei+1 terkait di titik
V i , dan
(ii& Sisiei+1 bukan sisi-pemutus pada graph
Gi , dengan
Gi=G− {e1 , e2
,… ,ei } , kecuali tidak ada pilihan lain.
>ulis jejak J i+1=J i∪
{ei }
S>E' # 4 S>C' bila S>E' ! tidak bias dilanjutkan dan beri pesan D J
i+1
adalah jejak Euler tutup (sirkit Euler& di graph G
erikut diberikan contoh penerapan algoritm Aleury pada graph Euler G yang
terdapat pada Gambar !. 'erhatikan bah+a setiap titik G berderajat genap
dan G graph terhubung.
Gambar 2 : Graph Euler
STEP 1 4 'ilih titikV
1 . >ulis jejakJ 0=V
1 .
STEP 2 4 JejakJ 0 telah terpilih.
'ilih sisie1=V
1V
5 . >ulis jejak J 1=(V 1 , e1, V 5)
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 6
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 6/15
'ilih sisie2=V
5V
6 . >ulis jejak J 2=(V 1, e1,V 5 , e2 ,V 6)
'ilih sisie3=V
6V
2 . >ulis jejak J 3=(V 1, e1 ,V 5 , e2 ,V 6 , e3 ,V 2)
'ilih sisie4=V
2V
1
. >ulis jejakJ 4=(V 1 , e1 ,V 5, e2 ,V 6 , e3 ,V 2 , e4 ,V 1)
'ilih sisie5=V
1V
6 . >ulis jejak J 5=(V 1, e1 ,V 5 , e2 ,V 6 , e3 ,V 2, e4 , V 1, e5 ,V 6)
'ilih sisie6=V
6V
2 . >ulis jejak J 6=(V 1 ,e 1 ,V 5 , e2,V 6 , e3 ,V 2, e4 , V 1, e5 ,V 6 , e6 ,V 2)
'ilih sisie7=V
2V
3 . >ulis jejak
J 7=(V 1 ,e 1 ,V 5 , e2,V 6 , e3 ,V 2, e4 ,V 1, e5 ,V 6 , e6 ,V 2 , e7 , V 3)
'ilih sisie8=V
3V
6 . >ulis jejak
J 8=(V 1 ,e1 ,V 5 , e2,V 6 , e3 , V 2, e4 ,V 1, e5 ,V 6 , e6 ,V 2 , e7 ,V 3 , e8 , V 6)
'ilih sisie9=V
6V
7 .
>ulis jejak J 9=(V 1 ,e1 ,V 5 , e2,V 6 , e3 ,V 2, e4 , V 1, e5 ,V 6 , e6 ,V 2 , e7 ,V 3 , e8 , V 6 ,e9 , V 7)
'ilih sisie10=V
7V
3 .
>ulis jejak J 10=(V 1 , e1,V 5 , e2 , V 6 ,e3 ,V 2 , e4 ,V 1, e5 ,V 6 , e6 ,V 2 , e7 ,V 3 , e8 ,V 6 , e9 ,V 7 , e10 ,V 3)
'ilih sisie11=V
3V
4 .
>ulis jejakV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4, V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10,V
3,
J 11=¿
e11,V
4¿
'ilih sisie12=V
4V
8 .
>ulis jejakV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4, V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10,V
3,
J 12=¿
e11,V
4, e
12,V
8¿
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 7
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 7/15
'ilih sisie13=V
8V
7 .
>ulis jejakV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4, V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10,V
3,
J 13=¿
e11,V
4, e
12,V
8, e
13,V
7¿
'ilih sisie14=V
7V
4 .
>ulis jejakV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4, V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10,V
3,
J 14=¿
e11,V
4, e
12,V
8, e
13,V
7,e
14,V
4¿
'ilih sisie15=
V 4V
1 .
>ulis jejakV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4, V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10,V
3,
J 15=¿
e11,V
4, e
12,V
8, e
13,V
7,e
14,V
4, e
15,V
1¿
S>E' # 4 6arena S>E' ! tidak dapat dilanjutkan lagi maka S>C', danV
1,e
1,V
5, e
2,V
6, e
3,V
2, e
4,V
1, e
5,V
6, e
6,V
2, e
7,V
3, e
8,V
6,e
9,V
7, e
10, V
3, e
11,
J 15=¿
V 4, e
12,V
8,e
13,V
7, e
14,V
4, e
15,V
1¿ adalah sirkit Euler di graph G.
Fabel sisi sirkit EulerJ 15 dapat dilihat pada gambar berikut.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 8
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 8/15
Gambar 3 : Sisi-sisi sirkit Euler J15 pada G secara berturut-
turut adalahe1, e
2, e
3, e
4, e
5,e
6, e
7, e
8,e
9, e
10, e
11, e
12, e
13, e
14, e
15
$!T!T!% 4
3lgoritma Aleury dapat dimodikasi sehingga bias digunakan untuk
mencari jejak-Euler-buka pada graph semi Euler yaitu dengan mengganti
DGraph Euler G pada B'> dengan Graph semi Euler G S>E' 1 diganti
menjadi 4 D'ilih sebuah titikV
0 yang berderajat ganjil di G. >ulis jejak
J 0=V
0,
pada S>E' #, pesannya menjadi 4 D J
i+1 jejak Euler buka di graph
G2 .
Sebagai contoh, perhatikan graph G pada Gambar " berikut. Graph G
terhubung dan memiliki tepat dua titik berderajat ganjil, yaitu titikV
3 dan
titikV
6 , titik-titik yang lainnya berderajat genap. Jadi G adalah graph semi
Euler.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 9
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 9/15
Gambar & : Graph G adalah graph semi-Euler
/engan penerapan algiritma Aleury yang termodikasi, diperoleh4
S>E' 1 4 'ilih titik #. >ulis jejak JH = #.
S>E' ! 4 Jejak JH telah terpilih.
'ilih sisi e1 = #1. >ulis jejak J1 = (#,e1,1&
'ilih sisi e! = 1!. >ulis jejak J! = (#,e1,1,e!,!&
'ilih sisi e# = ! #. >ulis jejak J# = (#,e1,1,e!,! ,e#,#&
'ilih sisi e" = #". >ulis jejak J" = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,"&
'ilih sisi e$ = "!. >ulis jejak J$ = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!&
'ilih sisi e% = !$. >ulis jejak J% = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!,
e% ,$&
'ilih sisi eI = $1. >ulis jejak JI = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!,
e% ,$, eI ,1&
'ilih sisi e = 1". >ulis jejak J = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!,
e% ,$, eI ,1, e ,"&
'ilih sisi eK = "%. >ulis jejak JK = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!,
e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%&
'ilih sisi e1H = %. >ulis jejak J1H = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,&
'ilih sisi e11 = 1H. >ulis jejak J11 = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H&
'ilih sisi e1! = 1HK. >ulis jejak J1! = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K&
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 10
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 10/15
'ilih sisi e1# = KI. >ulis jejak J1# = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I&
'ilih sisi e1" = I1H. >ulis jejak J1" = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H&
'ilih sisi e1$ = 1H%. >ulis jejak J1$ = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H,
e1$ ,%&
'ilih sisi e1% = %I. >ulis jejak J1% = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H,
e1$ ,%, e1% ,I&
'ilih sisi e1I = I$. >ulis jejak J1I = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H,
e1$ ,%, e1% ,I, e1I ,$&
'ilih sisi e1 = $%. >ulis jejak J1 = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$
,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H ,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H,
e1$ ,%, e1% ,I, e1I ,$, e1, %&
S>E' # 4 6arena S>E' ! tidak dapat dilanjutkan lagi, maka S>C', dan
J1 = (#,e1,1,e!,! ,e#,#, e" ,", e$ ,!, e% ,$, eI ,1, e ,", eK ,%, e1H
,, e11 ,1H, e1! ,K, e1# ,I, e1" ,1H, e1$ ,%, e1% ,I, e1I ,$, e1, %&
adalah jejak-Euler-buka di graph G. Fabel sisi-sisi jejak-Euler-
buka J1 dapat dilihat pada gambar berikut.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 11
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 11/15
Gambar ' : Sisi-sisi jejak-(v 3 v ! " Euler J1# di G secara berturut-turut
adalahe1, e
2, e
3, e
4, e
5,e
6, e
7, e
8,e
9, e
10, e
11, e
12, e
13, e
14, e
15
&. Permasalahan Tukang Pos
Seorang tukang pos mempunyai tugas rutin mendistribusikan surat
dalam suatu +ilayah tertentu. Setiap hari dia harus berkeliling menelusuri
semua jalan dalam daerah tersebut untuk mendistribusikan surat-surat
berangkat dari kantor pos dan kembali ke kantor pos. *ungkinkah pak pos
menelusuri setiap jalan tepat satu kali@ 6alau mungkin, bagaimanakah
caranya@ 6alau tidak, jalan-jalan manakah yang harus dile+ati lebih dari satu
kali agar total jarak yang dia tempuh minimum@
ntuk menja+ab permasalahn ini, jaringan jalan di +ilayah
pendistribusian dapat dimodelkan dengan sebuah graph-bobot. >itik graph
berkorespondensi dengan persimpangan jalan, dan sisi graph
berkorespondensi dengan jalan yang menghubungkan dua persimpangan.
obot sisi berkorespondensi dengan panjang jalan yang di+akili oleh sisi
tersebut. /alam hal ini, kantor pos juga dipresentasikan dengan sebuah titik
graph.
Jika graph model yang diperoleh berupa graph Euler, jelas tukang pos
dapat menelusuri semua jalan yang ada sedemikian hingga setiap jalan
dile+ati tepat satu kali, bera+al dan berakhir di kantor pos. 9aranya dengan
mengikuti cara menelusuri sirkit Euler pada graph model. Lang menjadi
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 12
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 12/15
persoalan adalah jika graph model yang diperoleh bukan graph Euler.
/engan kata lain, graph model memuat titik berderajat ganjil dan titik
berderajat ganjil cukup banyak. erikut diberikan ilustrasi bila graph model
memiliki tepat dua titik berderajat ganjil. ngat, banyaknya titik berderajat
ganjil dalam sebuah graph selalu bernilai genap.
*isalkan graph model G yang diperoleh terhubung dan memiliki tepat
dua titik berderajat ganjil. *isalkan titik-titik yang berderajat ganjil tersebut
u dan . /engan algoritma /jikstra, dapat dicari sebuah lintasan terpendek '
yang menghubungkan titik u dan dan titik di graph G. entuk graph GM dari
G dengan menduplikat semua sisi G sepanjang lintasan '. Jelas graph GM
yang diperoleh berupa graph Euler, karena setiap titiknya berderajat genap./engan menelusuri sirkit Euler di GM bera+al dan berakhir di titik yang
berkorespondensi dengan kantor pos, dengan catatan, menelusuri duplikat
sisi berarti menelusuri jalan yang berkorespondensi dengan sisi yang
diduplikat, akan diperoleh jalan-tutup dengan panjang minimum. >otal
panjang jalan yang ditempuh sama dengan bobot graph G ditambah panjang
lintasan ' atau +(G& 0 +('&.
Gambar ( : Graph b$b$t G mereprese%tasika% jari%ga% jala%& 'itik v5 mereprese%tasika% ka%t$r p$s.
Sebagai contoh, perhatikan graph-bobot G pada gambar di atas
merepresentasikan suatu jaringan jalan di sekitas kantor pos tertentu.
*isalkan titik $ merepresentasikan kantor pos. dalam hal ini tukang pos
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 13
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 13/15
tidak mungkin menelusuri setiap jalan tepat satu kali bera+al dan berakhir di
kantor pos, karena graph G bukan graph Euler (perhatikan titik 1 dan titik 1H
berderajat ganjil&. ni berarti harus adal jalan-jalan yang harus ditelusuri lebih
dari satu kali. ntuk menentukan jalan-jalan yang harus ditelusuri lebih dari
satu kali agar total jarak yang ditempuh minimum, kita cari lintasan
terpendek yang menghubungkan titik 1 dan titik 1H. /engan menggunakan
algoritma /jikstra, diperoleh lintasan terpendek dari titik 1 ke titik 1H adalah
' = (1,",$,%,I,,1H&, seperti tampak pada gambar berikut (digambar
tebal atau ber+arna merah&.
Gambar ) : i%tasa% )(v 1 v 1* " terpe%dek di G adalah + ,
(v 1 v v 5 v ! v # v v 1* "
Selanjutnya, dibentuk graph GM dari graph G dengan menduplikat sisi-
sisi G sepanjang lintasan '. Graph GM yang dimaksud dapat dilihat pada
gambar berikut.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 14
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 14/15
Gambar * : Graph G/ dibe%tuk dari graph G
'erhatikan bah+a setiap titik GM berderajat genap, jadi GM graph Euler.
*enggunakan algoritma Aleury, untuk mengkonstruksi sirkit-Euler yang
bera+al dan berakhir di titik $ pada graph GM diperoleh sirkit-Euler S =
($,#,",1,!,#,1,",K,$,",$,%,!,I,%,,I,1H,,K,1H,,I,%,$&. ngat
sirkit S ini tidak ada di graph G. jika menelusuri suatu Nsisi-duplikatM di GM
adalah menelusuri Nsisi yang diduplikatM di G, maka diperoleh jalan-tutup J =
($,#,",1,!,#,1,",K,$,",$,%,!,I,%,,I,1H,,K,1H,,I,%,$& pada
graph G yang memuat semua sisi G dengan bobot minimum. Jalan tutup J
dapat dilihat pada gambar di ba+ah. 'erhatikan dalam menelusuri jalan J
pada graph G, setiap sisi G pada lintasan ' ditelusuri tepat satu kali.
*isalnya, sisi 1" pada lintasan ' dengan bobot #, dalam menelusuri jalan J,
ditelusuri dua kali yaitu4 urutan ketiga dari titik " ke titik 1 dan urutan
ketujuh dari 1 ke " sisi 1" dilabel dengan ##,I. 9ontoh yang lain, sisi 1H
pada lintasan ' dengan bobot 1, dalam menelusuri jalan J, ditelusuri dua kali
yaitu4 urutan ke-1K dari titik ke titik 1H dan urutan ke-!! dari titik 1H ke
titik sisi 1H dilabel dengan 11K,!!. Secara lengkap, strategi menelusuri
jalan J dapat dilihat pada gambar berikut.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi
Page 15
8/17/2019 Pengertian Graph Euler Dan Semi Euler Lengkap
http://slidepdf.com/reader/full/pengertian-graph-euler-dan-semi-euler-lengkap 15/15
Gambar + : Jala% tutup J bera0al da% berakhir di titik v5 memuat
semua sisi G de%ga% b$b$t mi%imum.
'anjang jalan J adalah +(G& 0 +('& = $H 0 K =$K. /engan demikian,
strategi yang dapat dipilih oleh tukang pos agar semua jalan dile+ati dantotal jarak yang ditempuh minimum adalah mengikuti penelusuran jalan J.
Oleh : Chaerunnisa Darwis, Oky Markianto, Mufihatul irdausi