Pengertian distribusi lognormal

Latar Belakang

Suatu mesin pasti mempunyai masa pakai, salah satu yang melatar belakangi perawatan mesin adalah untuk memperpanjang masa pakai mesin tersebut. Terdapat beberapa konsep mengenai perawatan mesin yang dapat diterapkan berdasarkan parameternya masing-masing. Namun, tidak dapat dipungkiri meskipun mesin telah dirawat, masih saja mengalami kerusakan. Terdapat beberapa distribusi untuk mengidentifikasi terjadinya kerusakan yang bertujuan untuk menentukan nilai dari MTTR (Mean Time To Repair) dan MTTF (Mean Time to Failure).

Pengertian Distribusi Lognormal

Distribusi lognormal menggunakan dua parameter, yaitu s`yang merupakan parameter bentuk (shape parameter) dan tmed sebagai parameter lokasi (location parameter) yang merupakan nilai tengah dari suatu distribusi kerusakan. Distribusi ini memiliki berbagai macam bentuk sehingga sering dijumpai data yang sesuai dengan distribusi Weibull, juga sesuai dengan data dalam distribusi lognormal. Fungsi realibility yang terdapat pada distribusi lognormal yaitu :

Fungsi reliabilitas : R (t) = 1 – Φ

Dimana s > 0, tmed > 0 dan t > 0

1. Pendahuluan

Bagaimanapun, banyak pengukuran yang lebih kurang menunjukkan distribusi yang miring. Distribusi miring dapat terjadi saat nilai mean rendah, variansi tinggi dan nilainya tidak ada yang negatif, dalam hal ini, sebagai contoh, distribusi sumber mineral dalam bumi, atau lamanya infeksi suatu penyakit berbahaya. Distribusi miring ini merupakan distribusi Log normal (Aitchison dan Brown 1957, Crow dan Shimizu 1988, Lee 1992, Johnson et al. 1994). Contoh yang sesuai dengan distribusi normal yang simetris dan distribusi log-normal yang miring diberikan pada gambar 1.

Gambar 1. Contoh dari distribusi normal dan log-normal

Dalam Biologi, variabel yang logaritmanya cenderung memiliki distribusi normal antara lain: ukuran jaringan makhluk hidup, panjang tonjolan inert spesimen biologis dalam arah pertumbuhan, pengukuran fisiologis tertentu, dll. Apakah perbedaan antara variabel normal dan log – normal? Bentuk variabel keduanya saling bebas berdasarkan variasi kekuatan yang diberikan. Perbedaan utamanya adalah bahwa distribusi normal memberikan efek penjumlahan, sedangkan distribusi log-normal memberikan efek perkalian. Distribusi log normal biasanya digambarkan sebagai variabel log yang ditransformasi, digunakan sebagai parameter nilai ekspektasi, atau mean dan deviasi standar dari distribusinya. Penggambaran ini bisa menguntungkan, karena dari definisinya, distribusi log-normal dapat menjadi simetris kembali dalam bentuk log. Untuk mengetahui tentang sampelnya, kebanyakan orang lebih memilih data asli dari pada data yang telah ditransformasikan ke logaritma. Konsepsi ini menjadi fisibel dan dapat dianggap sebagai data log-normal pula, karena sifat – sifat yang dikenal dari distribusi normal dapat dianalogikan dengan distribusi log-normal.

2. Sifat-Sifat Distribusi Log-normal

Suatu variabel acak X dikatakan berdistribusi normal jika log(X) berdistribusi normal. Variabel bernilai positif dan distribusinya miring ke kiri. (Gambar 2)

Gambar 2. Distribusi log – normal dengan skala original

Gambar 3. Distribusi normal dengan skala logaritma

Diperlukan dua parameter untuk menggambarkan suatu distribusi log normal. Biasanya digunakan mean µ dan deviasi standar σ (atau varians σ2) dari log (X) (Gambar 3). Bagaimanapun tetap ada baiknya menggunakan nilai yang ditransformasikan balik (nilai dalam x, data terukur):

α* : = eα , σ* : = eσ (1)

Selanjutnya digunakan X ~ Λ(α* , σ*) sebagai ekspresi matematika, dimana X terdistribusi menurut hukum log-normal dengan median µ* dan deviasi standar σ*. Median dari distribusi log-normal ini adalah med(X) = α* = eα, karena µ adalah median dari log(X). Dengan demikian peluang bahwa X lebih besar dari µ* adalah 0.5, demikian pula peluang X yang lebih kecil dari µ*. Parameter σ*, yang disebut deviasi standar perkalian yang menentukan bentuk dari distribusinya. Gambar 4 menunjukkan kurva kepadatan untuk beberapa nilai σ*.

Gambar 4. Fungsi kepadatan untuk distribusi lognormal dengan beberapa σ*

Distribusi dikenali dari nilai ekspektasi µ dan deviasi standar σ. Dalam aplikasi dimana distribusi log-normal tidak begitu menggambarkan data, biasanya parameter-parameter ini tidak mudah diinterpretasikan dari pada dengan median α* (McAlister 1879) dan parameter bentuk σ*. Untuk distribusi log-normal, metode yang paling tepat (yaitu yang dianggap paling efisien) untuk mengestimasi parameter µ* dan σ* bergantung pada transformasi log. Mean dan deviasi standar empiris dari logaritma data dihitung dan selanjutnya ditransformasi balik, seperti pada persamaan (1). Estimator ini disebut x* dan s*, dimana x* adalah mean geometrik dari data (McAlister 1879); persamaan 4). Estimasi yang lebih robust namun kurang efisien dapat diperoleh dari median dan quartil data, seperti pada kotak di bawah ini.

1.2. Definisi dan sifat distribusi log-normal

Variabel acak X berdistribusi log-normal jika log(X) berdistribusi normal. Biasanya, digunakan logaritma natural, namun basis yang lain juga akan menuju ke keluarga distribusi yang sama, dengan parameter yang di skalakan kembali. Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak tersebut ditentukan sebagai

(2)

Parameter pengganti bisa ditambahkan untuk mendefinisikan keluarga tiga parameter. Mean dan varians berturut-turut adalah exp dan,

dengan demikian koefisien variasi adalah

(3)

Perkalian dari dua variabel acak terdistribusi log-normal mempunyai parameterbentuk

(4)Karena ditambahkan varians ada variabel yang di transformasikan log. Estimasi: estimator yang paling efisien (maksimum likelihood) adalah

(5) quartil q1 dan q2 mengarah ke

estimasi yang lebih robust (q1/q2)c untuk s*, dimana 1/c = 1.349 = 2 . φ-1(0,75),dimana φ-1 menyatakan fungsi invers distribusi normal standar. Jika mean x dan deviasi standar s dari sampel tersedia, yaitu data diambil dalam bentuk x ± s, parameter µ* dan s* dapat diestimasi berturut – turut dengan menggunakan

dan , ,dengan , cv = koefisien variasi. Dengan demikian, estimasi s* ini ditentukan hanya dengan cv (persamaan 3).

Keuntungan Distribusi lognormal biasanya merupakan model yang lebih baik untuk data asli

Seperti yang dibahas sebelumnya, koneksi antara efek penjumlahan dan distribusi normal paralel dengan efek perkalian dan distribusi log-normal. Kapteyn (1903) telah lama mencatat bahwa jika data dari pengukuran satu dimensi dari alam sesuai dengan distribusi normal, dimensi dua dan dimensi tiga misalnya permukaan dan volume tidaklah simetri. Sejumlah efek mengarah ke distribusi log-normal sebagai model yang sesuai, yang telah digambarkan dalam berbagai paper (seperti Aitchison dan Brown 1957, Koch 1966, Crow dan Shimizu 1988). Menariknya, bahkan pada sistematika biologi, sebagai bidang sains, jumlah spesies per keluarga dianggap sesuai dengan lognormal (Koch 1966).

Pada bidang kimia, sebagai contoh, kecepatan reaksi sederhana bergantung pada perkalian konsentrasi dari molekul yang dilibatkan. Kondisi ekuilibrium juga diatur oleh faktor yang bertindak dengan cara perkalian. Dengan demikian, perbedaannya semakin jelas: alasan yang mengatur distribusi frekuensi di alam biasanya sesuai dengan distribusi log-normal, sedangkan orang-orang lebih memilih menggunakan distribusi normal.

Untuk koefisien variasi yang kecil, distribusi normal dan log-normal keduanya sesuai. Dalam hal ini, tentunya akan dipilih distribusi yang paling sesuai dengan permasalahan untuk menunjukkan variabilitas yang meningkat, yang berkaitan dengan hukum yang mendukung alasan variabilitas. Tentunya dalam hal ini kebanyakan yang dipilih adalah log-normal.

Mean Time To Failure (MTTF)

Mean Time To Failure merupakan rata-rat aselang waktu kerusakan dari suatu distribusi kerusakan. Perhitungan MTTF untuk masing-masing distribusi adalah :

Mean Time To Repair (MTTR)

Untuk menghitung nilai rata-rata perbaikan, distribusi data untuk perbaikan, distribusi data untuk waktu perbaikan, distribusi data untuk waktu perbaikan perlu diketahui lebih dahulu. Pengujian untuk menentukan distribusi data dilakukan dengan cara seperti yang diatas. Rumus untuk masing-masing distribusi adalah :

Fishbone Diagram

Menurut V. Gasperz (1998) diagram sebab akibat adalah suatu diagram yang menunjukkan hubungan antara sebab dan akibat. Berkaitan dengan pengendalian proses statistical, diagram sebab dan akibat dipergunakan untuk menunjukkan faktor-faktor penyebab. Diagram sebab akibat ini disebut juga diagram tulang ikan (fishbone diagram) karena bentuknya seperti kerangka tulang ikan dan diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Kaoru Ishikawa dari Universitas Tokyo tahun 1953 sehingga disebut juga diagram Ishikawa.

Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi log-normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in.a. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.

Solusi:

Dari table diperoleh:

b. Berapa probabilitas curah hujan tahunan paling tidak (minimal) 30 in

c. Tentukan nilai curah hujan tahunan bila distribusi kumulatifnya adalah 10%

Dari table menunjukkan bahwa probabilitas kurang dari 0.5 terkait dengan nilai variasi negative, sehingga :

Sehingga,