1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017 PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 1. Diketahui R x dan 1 6 8 5 3 2 2 8 6 2 2 2 2 y x xy y x y x xy y x . Temukan nilai y. Solusi: 1 6 8 5 3 2 2 8 6 2 2 2 2 y x xy y x y x xy y x 6 8 5 3 2 2 8 6 2 2 2 2 y x xy y x y x xy y x 0 8 16 4 4 8 2 y x xy y 0 2 4 2 2 y x xy y 0 1 2 2 2 x xy y y 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 y x y 0 ) 2 2 )( 1 ( x y y 0 1 y atau 0 2 2 x y 1 y 1 y 0 2 2 x y 0 2 ) 1 ( 2 x 0 x Jadi, nilai dari y adalah 1. 2. Pada simtem persamaan 567 765 432 234 234 432 y x , temukan nilai xy. Solusi: 567 765 432 234 234 432 y x 765 234 432 y x 567 432 234 y x 1332 666 666 y x +
18
Embed
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 · Temukan nilai y. Solusi: 1 2 3 5 8 6 6 8 2 2 2 ... 4 + 3 = 2 Jadi, nilai dari ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
PENGAYAAN MATEMATIKA
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
1. Diketahui Rx dan 168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx. Temukan nilai y.
Solusi:
168532
28622
22
yxxyyx
yxxyyx
68532286 2222 yxxyyxyxxyyx
0816448 2 yxxyy
0242 2 yxxyy
0122 2 xxyyy
0)1()1(2 2 yxy
0)22)(1( xyy
01y atau 022 xy
1y
1y 022 xy
02)1(2 x
0x
Jadi, nilai dari y adalah 1.
2. Pada simtem persamaan
567
765
432234
234432
y
x, temukan nilai xy.
Solusi:
567
765
432234
234432
y
x
765234432 yx
567432234 yx
1332666666 yx +
2 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
2 yx
xy 2
xy 2 765234432 yx
765)2(234432 xx
765234468432 xx
297198 x
2
3x
2
3x xy 2
2
1
2
32
4
3
2
1
2
3xy
Jadi, nilai dari xy adalah 4
3.
3. Jika 1673636 xx , hitunglah xx 216216 .
Solusi:
1673636 xx
1672662
xx
169662 xx
1366 xx
xx 216216 xxxxxx 66663663 313 3 1 13 2158
4. Jika merupakan salah satu akar persamaan 022 xx , carilah nilai 4 + 3.
Solusi:
x = 022 xx
2 + 2 = 0
2 = 2
4 =
2 4 + 4
4 + 3 = (
2 + 2) + 2
4 + 3 = (0) + 2
4 + 3 = 2
Jadi, nilai dari 4 + 3 adalah 2.
3 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
5. Persamaan 022 pxx akar-akarnya adalah dan . Jika 0p dan
nnnF )( , 3)2( F , temukan nilai dari )3(F .
Solusi:
022 pxx , dengan p dan 2
3)2( F
322
311
22
322
22
3)(
2)(2
2
3)2(
22)(2
2
p
1242 p
162 p
4p
Karena 0p , maka yang memenuhi adalah 4p .
33)3( F )(3)( 3 )4(23)4( 3 402464 .
Jadi, nilai dari )3(F adalah 40.
6. Carilah harga x dari persamaan 2
3347347
xx
.
Solusi:
2
3347347
xx
2
312271227
xx
2
33232
xx
(kedua ruas dikalikan x32 )
xxx
322
3323232
2
4 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
xxx
322
3)34(32
2
xx
322
3132
2
Misalnya ax
32 , maka persamaan itu menjadi:
aa2
312
0232 2 aa
0)2)(12( aa
2
1a (ditolak) atau 2a (diterima)
232 x
2log32log x
2log32log x
32log
2log
x
2log32x
Jadi, harga x yang memenuhi persamaan itu adalah 2log32 .
7. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan 023 cbxaxx dan
0,, cba , carilah nilai dari 333 cba .
Solusi:
ax 023 cbxaxx
033 cabaa
0 cab
abc
bx 023 cbxaxx
0223 cbabb
0223 abbabb
02 ababb
0)()( ababb
5 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
0))(1( abb
1b atau ba
1b atau 1 ba
1)1)(1(1
1
abc
b
a
333 cba 333 1)1()1( 1111
Jadi, nilai dari 333 cba adalah 1.
8. Salah satu akar real bulat dari persamaan 019211212 24 xxx adalah p.
Hitunglah nilai 210 pp .
Solusi:
Sehingga 2p
2p 210 pp 16420)2()2(10 2
Jadi, nilai dari 210 pp adalah 16.
9. Dalam ABC, AB = AC dan 15
7
cos
cos
B
A. Tentukan
B
A
sin
sin.
Solusi:
Dalam ABC, dengan AB = AC atau c = b, maka menurut Aturan Kosinus:
bc
acbA
2cos
222
bb
abb
2
222
2
22
2
2
b
ab
2
2
21
b
a dan
ac
bcaB
2cos
222
ab
bba
2
222
ab
a
2
2
b
a
2
15
7
cos
cos
B
A
0cos7cos15 BA
02
72
1152
2
b
a
b
a
07215 22 abab
2 1 0 12 112 192
2 4 16 192
1 2 8 96 0
6 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
071530 22 abab
030715 22 baba
0)53)(65( baba
5
6
b
a(diterima) atau
3
5
b
a(ditolak, karena a dan b keduanya positif)
Menurut Aturan Sinus:
B
b
A
a
sinsin
5
6
sin
sin
b
a
B
A
10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13 , 74 , dan 85 satuan. Berapakah
luas segitiga itu?
Solusi:
Kita ketahui bahwa 22 9285 , 22 5774 , dan 22 3213 , sehingga persegi
panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.
Luas ABC 752
132
2
192
2
159
2
353945
2
31 satuan
Jadi, luas segitiga itu adalah 2
31satuan.
11. Persamaan 01574 23 xxx memiliki akar-akar , , dan . Susunlah
persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya )1( , )1( , dan )1( .
Solusi 1:
Persamaan kubik 023 dcxbxax atau 023 a
dx
a
cx
a
bx yang akar-
akarnya , , dan adalah
0))()(( xxx
85
74
13
A
B
C
3
2
2
9
7
5
7 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
0)(2 xxx
0)()( 223 xxxxx
0)()( 23 xxx , dengan
a
b ,
a
c , dan
a
d
01574 23 xxx
4
7 ,
4
5 , dan
4
1
Akar-akar persamaan yang diminta adalah )1( , )1( , dan )1( , sehingga
persamaannya adalah
4
53
4
73111
)1)(1()1)(1()1)(1(
111
3)(2
34
72
4
5
4
7
)1(1)()1)(1)(1( 1
14
5
4
7
4
1
4
7
04
7
4
7
4
5 23 xxx
07754 23 xxx
Solusi 2:
Karena akar-akar persamaan itu )1( , )1( , dan )1( adalah simetri atau
setangkup, maka persamaan yang diminta adalah
1 x 01574 23 xxx
01)1(5)1(7)1(4 23 xxx
0155)12(7)133(4 223 xxxxxx
01557147412124 223 xxxxxx
07754 23 xxx
8 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
12. Garis 60512 yx memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A
dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat
sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Carilah
luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.
Solusi:
Menurut Dalil Pythagoras:
13169125 22 AB
15)13125(2
1S
Luas OAB = 301252
1
215
30
S
Lr
Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran
2)2(1252
1
430
13. Jika 21 y dan 01 yx , cari nilai 10262344 22 yxyyx .
Solusi:
01 yx 1 yx
1 yx 10262344 22 yxyyx
102)1(6234)1(4 22 yyyyy
10266234484 22 yyyyyy
1682144 22 yyyy
2212 yy
Jika 1y , maka 31212121122212 yy
Jika 2y , maka 30232221222212 yy
Jadi, nilai dari 10262344 22 yxyyx adalah 3.
14. Jika 900 cba dan cba logloglog 532 , carilah nilai dari cba .
Solusi:
kcba logloglog 532
X
Y
B(0, 12)
A(5, 0) O
60512 yx
9 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017
aka k 2log2
bkb k 3log3
ckc k 5log5
900 cba
900532 kkk
900)532( k
23030 k
2k
422 2 ka
933 2 kb
2555 2 kc
Jadi, 482594 cba .
15. Bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret
geometri konvergen. Carilah jumlah tak hingga deret itu.
Solusi:
Karena bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret
geometri konvergen, maka berlakulah hubungan:
)13)(89()25( 2 ppp
82492742025 22 ppppp
01252 2 pp
0)4)(32( pp
2
3p (ditolak) atau 4p (diterima)
Karena:
2
3p )89( p , )25( p , )13( p =
2
11 ,
2
11 ,
2
11 (bukan deret geometri
konvergen)
4p )89( p , )25( p , )13( p = 44, 22, 11 (deret geometri konvergen)