PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES DENGAN PRIOR KONJUGAT (Skripsi) Oleh LUT WILIANTO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2019
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES DENGAN
PRIOR KONJUGAT
(Skripsi)
Oleh
LUT WILIANTO
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRACT
PARAMETER ESTIMATION OF PARETO DISTRIBUTION USING
MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD AND BAYESIAN METHOD WITH
CONJUGATE PRIOR
by
Lut Wilianto
Parameter estimation is the basis of statistics and widely used in terms of
researches. Parameter estimation is used for explaining how the characteristics of
population data using the statistic of sample. In this research, the sample
distribution used is Pareto. The method used for estimating Pareto distribution
parameter is Maximum Likelihood and Bayesian methods. Maximum Likelihood
estimation is done by maximizing the likelihood function of the sample
distribution. While, Bayesian estimation is a modification from the Bayesian
theorem in the study of probability theory. It combines the sample distribution and
prior distribution so that the posterior distribution is obtained. Prior distribution
used is the conjugate prior forming its likelihood function, that is Gamma
distribution.
The aim of this research is for knowing the maximum likelihood and Bayesian
estimators of Pareto distribution. Then, this research examines the properties of
that estimators analytically and also empirically through data simulation study.
Using the Maximum Likelihood method, the estimator point for the parameter θ is
obtained, i.e.
∑
. Then, using the Bayesian method obtained
∑
. Estimator and are biased estimators, but asymptotically
unbiased. In this research also showed that both estimators are consistent
estimators.
Key Words : Maximum Likelihood Estimation, Bayesian Estimation, Conjugate
Prior, Pareto, Gamma, Properties of Estimators.
ABSTRAK
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES DENGAN
PRIOR KONJUGAT
oleh
Lut Wilianto
Pendugaan parameter merupakan dasar dari ilmu statistika yang sering digunakan
khususnya dalam hal penelitian. Pendugaan parameter bertujuan untuk
menjelaskan bagaimana karakteristik data pada populasi melalui statistik sampel.
Pada penelitian ini, distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi Pareto.
Metode pendugaan yang digunakan adalah metode klasik Maximum Likelihood
dan metode Bayes. Metode Maximum Likelihood dilakukan dengan
memaksimumkan fungsi likelihood dari distribusi sampel. Sedangkan, metode
Bayes menggunakan konsep teorema peluang Bayes, yaitu menggabungkan
distribusi sampel dan distribusi awal (prior) sehingga didapat distribusi posterior.
Distribusi prior yang digunakan adalah prior konjugat dilihat dari distribusi
pembentuk fungsi likelihoodnya yaitu distribusi Gamma.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penduga dari parameter
distribusi Pareto dengan menggunakan kedua metode pendugaan tersebut.
Kemudian, dalam penelitian ini ingin juga bagaimana sifat-sifat penduga dari
kedua metode tersebut baik secara analitik maupun secara empirik dalam studi
simulasi data.
Menggunakan metode Maximum Likelihood diperoleh penduga titik bagi
parameter , yaitu
∑
. Kemudian, dengan metode Bayes
diperoleh
∑
. Penduga dan merupakan penduga yang bias,
namun secara asimtotik tak bias. Pada penelitian ini juga ditunjukkan bahwa
kedua penduga tersebut merupakan penduga yang konsisten.
Kata Kunci: Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, Prior Konjugat,
Pareto, Gamma, Sifat-Sifat Penduga.
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO
MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN
METODE BAYES DENGAN PRIOR KONJUGAT
Oleh
LUT WILIANTO
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
Judul Skripsi : PENDUGAAN PARAMETER
DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD
DAN METODE BAYES DENGAN PRIOR
KONJUGAT
Nama Mahasiswa : Lut Wilianto
Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031017
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Dr. Khoirin Nisa, M.Si.
NIP. 197407262000032001 Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D.
NIP. 195701011984041001
2. Ketua Jurusan Matematika
Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D
NIP. 19631108 198902 2 001
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Dr. Khoirin Nisa, M.Si. .....................
Sekretaris : Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D. .....................
Penguji
Bukan Pembimbing : Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. .....................
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Drs. Suratman, M.Sc.
NIP. 196406041990031002
Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 14 Mei 2019
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA
Yang bertanda tangan di bawah ini :
Nama : Lut Wilianto
Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031017
Jurusan : Matematika
Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Distribusi Pareto
Menggunakan Metode Maximum Likelihood
dan Metode Bayes dengan Prior Konjugat
Dengan ini menyatakan bahwa penelitian ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri.
Dan Apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan
atau dibuat oleh orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan
ketentuan akademik yang berlaku.
Bandar lampung, 14 Mei 2019
Yang Menyatakan,
Lut Wilianto
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Lut Wilianto, dilahirkan pada tanggal 21 November
1997 di Jakarta. Penulis merupakan putra sulung dari Bapak Sumbodo dan Ibu
Rustini, dan kakak dari Elza Rafael.
Penulis menempuh pendidikan TK di TK Marsudirini Tanjung Priok, Jakarta
Utara pada tahun 2002 sampai tahun 2003. Kemudian melanjutkan ke sekolah
dasar di SD Strada Tunas Keluarga Mulia II Cilincing Jakarta Utara pada tahun
2003 sampai tahun 2007. Kemudian pindah sekolah ke SD Strada Tunas Harapan
Tigaraksa, Tangerang pada tahun 2007 dilanjutkan sampai tahun 2009. Kemudian
melanjutkan ke sekolah menengah pertama di SMP Strada Tunas Harapan
Tigaraksa, Tangerang pada tahun 2009 sampai 2012. Dan belajar pada jenjang
Sekolah Menengah Akhir di SMA Negeri 3 Kabupaten Tangerang pada tahun
2012 sampai 2015.
Pada tahun 2015, melalui jalur SNMPTN, penulis diterima dan terdaftar sebagai
mahasiswa S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
Pada tahun 2016 - 2017 penulis ikut aktif dalam organisasi berbasis pelayanan,
yaitu Persekutuan Oikumene Mahasiswa Fakultas MIPA (POM MIPA) sebagai
anggota Seksi Persekutuan Umum. Pada tahun 2017-2018 penulis ditunjuk
sebagai koordinator umum di POM MIPA. Dan di tahun-tahun terakhir menuntut
ilmu di jurusan ini, penulis memiliki tanggung jawab sebagai Tim Pendamping
Pelayanan Mahasiswa (TPPM) di POM MIPA.
Di awal tahun 2017 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Pelayanan
Pajak (KPP) Pratama Teluk Betung. Pada pertengahan tahun 2018, sebagai bentuk
aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja
Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Teluk Dalem, Kecamatan Mataram Baru,
Lampung Timur.
MOTTO
“Kamu adalah garam dunia dan terang dunia.”
(Matius 5 : 13-16)
“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah dalam kesesakan, dan
bertekunlah dalam doa!”
(Roma 12 : 12)
“Takut Akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang
bodoh menghina hikmat dan didikan”
(Amsal 1 : 7)
“Cobalah untuk tidak menjadi orang sukses, melainkan menjadi orang
yang berharga.”
(Albert Einstein)
Sebagai wujud rasa kasihku kupersembahkan
karya ini untuk:
Tuhan Allah Tritunggal,
Bapak dan Ibu,
Adikku,
Serta Teman Dekatku Fenti
Yang telah menyertai setiap langkahku
dengan penuh kasih.
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Allah Tritunggal yang Maha Kasih,
karena kasih dan anugerah-NYA yang menyertai penulis dari hari ke hari sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini, dengan judul “Pendugaan Parameter
Distribusi Pareto Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes
dengan Prior Konjugat”.
Dalam penulisan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, bimbingan dan
saran. Maka itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Dr. Khoirin Nisa, M.Si., selaku pembimbing I yang telah memberikan
wakti dan pemikiran dalam memberikan bimbingan, saran serta dukungan
kepada penulis sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku pembimbing II yang
selalu memberikan dukungan dan arahan kepada penulis.
3. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku penguji yang telah memberikan
saran dan kritik serta mengarahkan penulis sehingga terselesainya skripsi ini.
4. Bapak Warsono, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah
membimbing penulis.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Seluruh Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
8. Bapak dan Ibu tercinta atas kasihnya, dukungannya baik secara moral dan
materi, serta atas motivasi dan doanya.
9. Adikku Elza Rafael yang selalu menanyakan kabar serta memotivasi penulis.
10. Fenti Ariyani untuk kasih, doa, semangat, kritik, dan nasihat kepada penulis.
11. Temanku Ario Pandu, teman seperjuangan yang sangat baik, selalu
memotivasi dan banyak memberikan bantuan kepada penulis.
12. Teman baik penulis Dony C. V. dan Philip Topan yang selalu mendukung dan
memotivasi, serta telah banyak direpotkan oleh penulis.
13. Teman-teman satu bimbingan skripsi.
14. Teman-teman baik penulis, Nathanael, Amar, Edwin, Atuy, Randy, Reni,
Sandria, Oline, Mira, Almira, Luvita, Rima.
15. Teman-teman Jurusan Matematika 2015 yang berjuang bersama-sama dari
awal masuk kuliah.
16. Keluarga besar POM MIPA untuk setiap kebersamaan dan persekutuan yang
terjalin.
17. Teman-teman, kakak dan abang di persekutuan PERKANTAS Lampung yang
banyak memberikan dukungan, nasihat dan banyak kemudahan kepada
penulis.
18. Teman-teman remaja GKBI siding Bandar Lampung yang memberikan banyak
sukacita dan pengalaman selama penulis berada di Lampung.
19. Kepada seluruh teman-teman dan pihak yang tidak dapat penulis sebutkan
namanya satu-persatu.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Penulis juga menyadari
bahwa skripsi ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan
kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini.
Bandar Lampung, 14 Mei 2019
Penulis,
Lut Wilianto
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................... xvii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ............................................................. 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 4
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................. 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Variabel Acak .................................................................................... 5
2.1.1 Variabel Acak Diskrit ................................................................. 6
2.1.2 Variabel Acak Kontinu ............................................................... 6
2.2 Fungsi Distribusi ............................................................................... 7
2.2.1 Fungsi Distribusi Variabel Acak Diskrit ..................................... 7
2.2.2 Fungsi Distribusi Variabel Acak Kontinu ................................... 7
2.3 Nilai Harapan ..................................................................................... 8
2.4 Varians ............................................................................................... 9
2.4.1 Varians dari Distribusi Peluang Diksrit ...................................... 10
2.4.2 Varians dari Distribusi Peluang Kontinu .................................... 10
2.5 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 12
2.6 Fungsi Densitas Peluang Bersama ..................................................... 13
2.7 Fungsi Densitas Peluang Marginal .................................................... 13
2.8 Distribusi Peluang Bersyarat ............................................................. 14
2.9 Bebas Stokastik Identik ..................................................................... 14
2.10 Transformasi Variabel Acak ............................................................... 15
2.11 Transformasi Peubah Acak dengan Fungsi Pembangkit Momen ....... 18
2.12 Fungsi Gamma .................................................................................... 19
2.13 Distribusi Gamma ............................................................................... 23
2.14 Distribusi Invers Gamma .................................................................... 27
2.15 Distribusi Pareto ................................................................................. 28
2.16 Estimasi Parameter ............................................................................. 33
2.17 Sifat-Sifat Estimator (Penduga) ......................................................... 34
2.18 Fungsi Likelihood ............................................................................... 35
2.19 Metode Bayes ..................................................................................... 35
2.19.1 Teorema Bayes ............................................................................ 36
2.19.2 Distribusi Prior ............................................................................ 37
2.19.3 Distribusi Posterior ...................................................................... 38
2.20 Maksimum Likelihood Estimator (MLE) ........................................... 39
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 41
3.2 Metode Penelitian .............................................................................. 41
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Metode Maximum Likelihood dalam Menduga Parameter distribusi
Pareto .................................................................................................. 44
4.2 Metode Bayes dalam Menduga Parameter pada Distribusi Pareto . 48
4.3 Sifat-Sifat Penduga Maximum Likelihood .......................................... 52
4.3.1 Nilai Harapan Penduga Maximum Likelihood .......................... 52
4.3.2 Varians Penduga Maximum Likelihood .................................... 57
4.3.3 Konsistensi Penduga Maximum Likelihood .............................. 61
4.4 Sifat-Sifat Penduga Bayes .................................................................. 62
4.4.1 Nilai Harapan Penduga Bayes .................................................. 62
4.4.2 Varians Penduga Bayes............................................................. 65
4.4.3 Konsistensi Penduga Bayes ...................................................... 66
4.5 Studi Simulasi ..................................................................................... 66
4.5.1 Grafik Sebaran Pareto ............................................................... 67
4.5.2 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 69
4.5.3 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 71
4.5.4 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 73
4.5.5 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 74
4.5.6 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 75
4.5.7 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 77
4.6 Analisis Hasil Studi Simulasi ............................................................. 79
4.6.1 Bias Penduga Maximum Likelihood dan Bayes ........................ 79
4.6.2 Varians Penduga Maximum Likelihood dan Bayes ................... 91
4.6.3 Mean Square Error (MSE) Penduga Maximum Likelihood dan
Bayes ........................................................................................ 103
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
................................................................................................ 69
2. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
................................................................................................ 71
3. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
................................................................................................ 73
4. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
............................................................................................... 74
5. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
............................................................................................... 76
6. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,
............................................................................................... 77
7. Bias Penduga dan ketika , ............................... 79
8. Bias Penduga dan ketika , ............................... 80
9. Varians dan ketika , ........................................ 91
10. Varians dan ketika , ........................................ 92
11. MSE dan ketika , ........................................... 103
12. MSE dan ketika , ........................................... 103
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Fungsi Naik ....................................................................................... 16
2. Fungsi Turun ..................................................................................... 17
3. Teorema Bayes .................................................................................. 36
4. Grafik Fungsi Densitas Peluang Distribusi Pareto dengan Variasi Nilai
dan ................................................................................................ 68
5. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk .. 81
6. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk ... 82
7. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk . 83
8. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk . 84
9. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk . 85
10. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk 86
11. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ................................................................................................ 86
12. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ................................................................................................ 87
13. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ................................................................................................ 88
14. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ................................................................................................. 89
15. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 ... 90
16. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 ... 90
17. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 ... 90
18. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 93
19. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 94
20. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 95
21. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 96
22. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 97
23. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 98
24. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 99
25. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 99
26. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 100
27. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 101
28. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika
dan 3 ................................................................................................ 102
29. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika
dan 3 ................................................................................................ 102
30. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika
dan 3 ................................................................................................ 102
31. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk dan 3 104
32. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk dan 3 105
33. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 106
34. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 107
35. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 108
36. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 109
37. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 110
38. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 111
39. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 111
40. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk
dan 3 ......................................................................................................... 112
41. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 113
42. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 113
43. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 114
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur
yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan interpretasi data.
Statistika juga merupakan cabang ilmu yang memiliki peran penting dalam
berbagai bidang, khususnya di bidang penilitian. Statistika inferensia adalah salah
satu cabang statistika yang mempelajari semua metode yang berhubungan dengan
analisis sebagian data untuk kemudian melakukan peramalan atau penarikan
kesimpulan mengenai keseluruhan data induknya.
Pada suatu penelitian terkadang diamati karakteristik dari data induk yang
merupakan himpunan keseluruhan data yang menjadi perhatian kita atau
dinamakan populasi. Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk
mengetahui karakteristik dari populasi, misalnya rataan, varian, median, atau
proporsi. Pada inferensi statistik ingin diperoleh kesimpulan mengenai populasi,
meskipun tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun
populasi atau tidak mungkin jika populasinya tak hingga. Dengan berbagai
keterbatasan dan kendala, tidak dimungkinkan mengamati keseluruhan dari
elemen populasi, maka dapat dilakukan langkah alternatif yaitu pendugaan
2
populasi dengan menggunakan sampel yang diambil secara acak dari sebuah
populasi.
Pada pengambilan sampel secara acak terdapat peluang-peluang untuk
terambilnya sampel-sampel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa populasi
tersebar membentuk suatu distribusi peluang tertentu. Dalam teori peluang,
distribusi Pareto ( ) adalah salah satu dari distribusi peluang kontinu
dengan parameter bentuk dan parameter skala dimana dan .
Distribusi Pareto berasal dari nama seorang professor ekonom yaitu Vilfaredo
Pareto. Umumnya distribusi Pareto digunakan dalam bidang sosial, ekonomi,
bisnis, asuransi, politik, dan mempelajari tingkat ozon di atmosfer.
Untuk mengetahui karakteristik suatu distribusi perlu dilakukan pendugaan
parameter pada distribusi tersebut dengan menggunakan metode pendugaan.
Pendugaan parameter merupakan proses yang menggunakan sampel statistik
untuk menduga parameter populasi yang tidak diketahui. Estimasi titik dapat
dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode Bayes. Metode
klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil
dari populasi, sedangkan metode Bayes disamping memanfaatkan data sampel
yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang
disebut distribusi prior (Walpole & Myers, 1995). Salah satu teknik yang
digunakan dalam metode klasik adalah metode maksimum likelihood. Metode
klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak diketahui
harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel. Metode
Bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan
3
pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan
dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut dengan distribusi prior (Bolstad,
2007). Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior
dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorema Bayes,
dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior
yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger,
1990).
Distribusi prior pada dasarnya bisa diperoleh berdasarkan keyakinan subjektif
dari peneliti itu sendiri mengenai nilai yang mungkin untuk parameter yang
diestimasi, sehingga perlu diperhatikan bagaimana cara menentukan prior. Jika
distribusi sampel berasal dari keluarga Eksponensial, maka salah satu caranya
adalah dengan menggunakan prior konjugat (Bolstad, 2007), dimana distribusi
prior konjugat (conjugate) mengacu pada acuan analisis model terutama dalam
pembentukan fungsi likelihoodnya, sehingga dalam penentuan prior konjugat
selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang mempunyai
bentuk konjugat dengan fungsi densitas peluang pembangun likelihoodnya (Box
& Tiao, 1973). Kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui
teorema Bayes sehingga dihasilkan distribusi posterior. Setelah distribusi
posterior terbentuk, maka dapat diperoleh estimasi Bayes untuk parameter yang
diestimasi.
Dengan demikian, melalui penelitian ini akan dikaji bagaimana untuk menduga
nilai parameter dari suatu populasi yang berdistribusi Pareto dengan metode
pendugaan Bayes menggunakan prior konjugat.
4
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :
1. Menentukan estimasi titik atau menduga parameter dari distribusi Pareto
dengan metode Maximum Likelihood.
2. Menentukan estimasi titik atau menduga parameter dari distribusi Pareto
dengan metode Bayes menggunakan distribusi Gamma sebagai prior
konjugatnya.
3. Mengkaji sifat-sifat penduga Maximum Likelihood dan penduga Bayes pada
pendugaan parameter distribusi Pareto.
1.3 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat dijadikan sarana pembelajaran untuk
meningkatkan wawasan dan dapat memberikan sumbangan pemikiran mengenai
pendugaan parameter distribusi Pareto.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Variabel Acak
Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang
ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel yang memetakan setiap elemen
c C dengan satu dan hanya satu bilangan real X(c) = x, dan kumpulan dari
semua hasil percobaan disebut ruang sampel (Hogg & Craig, 1986).
Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan semua semua kemungkinan hasil
suatu percobaan dandilambangkan dengan huruf S (Walpole, 1995).
Distribusi peluang terdiri dari distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang
kontinu yang masing-masing distribusi peluangnya ditentukan oleh variabel acak
diskrit dan variabel acak kontinu.
Variabel acak diskrit ialah variabel acak yang hanya mengambil bilangan bulat
(bukan pecahan), sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel acak yang
dapat mengambil nilai pecahan.
6
2.1.1 Variabel Acak Diskrit
Menurut Walpole & Myers (1995), bila suatu ruang sampel mengandung jumlah
titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang
banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut
ruang sampel diskrit, dan variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel
tersebut adalah variabel acak diskrit, Fungsi ( ) adalah suatu fungsi peluang
atau distribusi peluang suatu variabel acak diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang
mungkin,
( )
∑ ( )
( ) ( )
2.1.2 Variabel Acak Kontinu
Menurut Walpole & Myers (1995), bila ruang sampel mengandung titik sampel
yang tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan banyak titik pada
sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu dan variabel
acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak kontinu.
Fungsi ( ) adalah fungsi padat peluang variabel acak kontinu X’ yang
didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real R, bila:
1. ( ) , untuk setiap x
2. ∫ ( )
3. P(a < X < b) ∫ ( )
dx
7
2.2 Fungsi Distribusi
Fungsi distribusi atau distribusi peluang adalah sebaran kemungkinan terjadinya
variabel acak tertentu. Variabel acak adalah peristiwa yang diharapkan terjadi,
yang biasanya dilambangkan dengan X. Variabel acak disini dapat juga
didefinisikan sebagai suatu bilangan yang ditentukan oleh peristiwa yang
dihasilkan dari eksperimen.
2.2.1 Fungsi Distribusi Variabel Acak Diskrit
Jika X adalah variabel acak diskrit maka fungsi
( ) ( ) ∑ ( )
dimana ( ) adalah nilai distribusi peluang X di t disebut fungsi distribusi atau
kumulatif dari X (Miller, et al., 1999).
2.2.2 Fungsi Distribusi Variabel Acak Kontinu
Jika X adalah variabel acak kontinu dan fungsi densitas pada t adalah f(t) maka
fungsi :
( ) ( ) ∫ ( )
Disebut fungsi distribusi atau distribusi kumulatif dari X (Miller, et al., 1999).
8
2.3 Nilai Harapan
Menurut Walpole & Myers (1995), misalkan X suatu variabel acak dengan
distribusi peluang f(x), maka Nilai ekspektasi X ialah
( ) ∑ ( ) bila X diskrit (2.1)
( ) ∫ ( )
bila X kontinu (2.2)
Teorema 2.3.1
Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan a dan b merupakan suatu tetapan,
maka,
( ) ( )
Bukti :
Menurut definisi nilai ekspektasi
( ) ∫( ) ( )
∫( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ∫( ) ( )
Karena ∫ ( )
( ) dan ∫ ( )
= 1, maka diperoleh ( )
( ) .
9
2.4 Varians
Menurut Walpole & Myers (1995), dalam teori probabilitas dan statistika, varians
(dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu variabel acak (atau distribusi
probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar.
Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai
non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong
sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya,
sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar
disekitar rerata dan dari satu sama lainnya. Pengukuran yang sama yaitu akar
kuadrat dari varians, disebut juga simpangan baku. Simpangan baku memiliki
dimensi dan data yang sama, oleh karena itu bisa dibandingkan dengan deviasi
dari rerata.
Varians adalah salah satu pendeskripsi dari sebuah distribusi probabilitas. Pada
khususnya, varians adalah salah satu momen dari sebuah distribusi. Dalam
konteks tersebut, ia menjadi bagian dari pendekatan sistematis sebagai pembeda
antara distribusi probabilitas. Walau pendekatan lain telah dikembangkan, yang
berbasis momen lebih menguntungkan dalam kemudahan secara matematis dan
penghitungan.
Varians adalah salah satu parameter yang menjelaskan, antara lain, distribusi
probabilitas sebenarnya dari suatu populasi bilangan yang diobservasi, atau
distribusi probabilitas teoretis dari sebuah populasi yang tidak secara penuh
diobservasi di mana sebuah bilangan sampel diambil. Pada kasus terakhir, sebuah
sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk membentuk sebuah estimasi
10
varians dari distribusi yang mendasarinya; pada kasus sederhana estimasi ini bisa
menjadi varians sampel.
2.4.1 Varians dari Distribusi Peluang Diskrit
Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan distribusi peluang f(x) maka
varians dari X yang dinotasikan dengan 2 atau Var(X), adalah
( ) ( ) ( ) ∑( ) ( )
∑( ) ( )
∑ ( )
∑ ( ) ∑ ( )
∑ ( )
∑ ( ) ∑ ( )
∑ ( )
∑ ( )
Standar deviasi X adalah √ (Montgomery & Runger, 2003).
2.4.2. Varians dari Distribusi Peluang Kontinu
Jika X adalah suatu variable random kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x),
maka varians dari X yang dinotasikan dengan adalah
( )
11
∫( ) ( )
[ ∫( ∫
∫
] ( )
∫
( ) ∫
( ) ∫ ( )
∫
( )
∫
( ) ( )
Standar deviasi X adalah √ (Montgomery & Runger, 2003).
Teorema 2.4.1
Menurut Spiegel, et al. (2004), jika X adalah suatu variable random dengan fungsi
densitas peluang f(x), maka varians dari X yang dinotasikan dengan adalah
( ) ( ) ( ) [ ( )]
Dimana ( )
Bukti:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) [ ( )]
12
2.5 Fungsi Pembangkit Momen
Menurut Hogg, et al. (2012), fungsi pembangkit momen adalah suatu fungsi yang
unik yang terdapat dalam suatu distribusi. Berdasarkan fungsi pembangkit momen
ini dapat dicari juga fungsi lainnya, yaitu momen terhadap origin dari suatu
variabel acak X. fungsi pembangkit momen biasa disimbolkan dengan ( ) atau
( ) dengan definisinya sebagai berikut :
Definisi 2.5.1
Apabila terdapat suatu variabel acak X untuk sejumlah bilangan maka
untuk suatu , ekspektasi dari ( ) ada, sehingga fungsi pembangkit
momennya adalah sebagai berikut :
Jika X merupakan variabel acak kontinu
( ) ∫ ( )
( )
atau, jika X merupakan variabel diskrit
( ) ∑ ( )
Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi dan
dilambangkan dengan ( ), yaitu
( ) ( )
13
2.6 Fungsi Densitas Peluang Bersama
Definisi 2.6.1
Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variable random diskrit
X = (X1, X2, …., Xk) didefinisikan
f(x1, x2, …, xk) = P[X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk] (2.6)
untuk semua nilai x = (x1, x2, …, xk) dari X (Bain & Engelhardt, 1992).
Definisi 2.6.2
Sebuah k- dimensi nilai vector variable random X = (X1, X2, …., Xk) kontinu
dengan fungsi densitas bersama f(x1, x2, …, xk), maka fungsi densitas kumulatifnya
dapat ditulis
( ) ∫
∫ ( )
( )
untuk semua ( ) (Bain & Engelhart, 1992).
2.7 Fungsi Densitas Peluang Marginal
Menurut Bain & Engelharft (1992), jika pasangan (X1, X2) adalah variable random
diskrit yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama f(x1, x2), maka fungsi
densitas peluang marginal untuk X1 dan X2 adalah
( ) ∑ ( )
( )
( ) ∑ ( )
( )
14
Jika pasangan (X1, X2) adalah variable random kontinu yang mempunyai fungsi
densitas peluang bersama f(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk
X1 dan X2 adalah
( ) ∫ ( )
( )
( ) ∫ ( )
( )
2.8 Distribusi Peluang Bersyarat
Jika X1 dan X2 merupakan variable random diskrit atau kontinu dengan fungsi
densitas peluang bersama f (x1, x2), maka fungsi densitas peluang bersyarat dari X2
jika diketahui X1 = x1 didefinisikan dengan:
( | ) ( )
( ) ( )
Untuk nilai sedemikian hingga ( ) , dan nol untuk lainnya (Bain &
Engelhardt, 1992).
2.9 Bebas Stokastik Identik
Misalkan adalah variabel acak yang memiliki fungsi densitas
peluang yang sama yaitu ( ) sehingga
15
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dan fungsi densitas bersamanya adalah ( ) ( ) ( ) ( )
Variabel acak disebut bebas stokastik identik (Hogg & Craig, 2005).
2.10 Transformasi Variabel acak
Menurut Walpole & Myers (1995), dalam statistika, sangat perlu mencari
distribusi peluang suatu fungsi dari satu atau lebih variabel acak. Misalkan X
adalah suatu variabel acak diskrit dengan distribusi peluang p(x) dan misalkan
selanjutnya bahwa ( ) menyatakan transformasi satu-satu antara nilai X
dan Y. Maka selanjutnya akan dicari distribusi peluang Y. Transformasi satu-satu
berarti bahwa tiap nilai x berpadanan dengan satu, dan hanya satu nilai ( ),
bila ( ) diperoleh dengan mencari ( ) untuk yang dinyatakan dalan y.
Untuk mencari distribusi peluang variabel acak ( ) bila diketahui X
variabel acak yang kontinu dan transformasinya satu-satu maka akan
dipergunakan teorema berikut ini:
Teorema 2.10.1
Misalkan X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi peluang ( ). Misalkan
( ) menyatakan hubungan (korespondensi) satu-satu antara nilai X dan Y
16
sehingga persamaan ( ) mempunyai jawaban tunggal untuk x dalam y
misalnya ( ) Maka distribusi peluang Y adalah
( ) [ ( )]| | ( )
dengan ( ) dan disebut Jacobi transformasi.
Bukti:
Misalkan ( ) fungsi naik seperti pada Gambar 1. Terlihat bahwa bila y
bernilai antara a dan b maka variabel acak X akan bernilai antara ( ) dan ( ).
Gambar 1. Fungsi naik
Jadi
( ) [ ( ) ( )]
∫ ( ) ( )
( )
Bila variabel acak integrasi diganti dari x ke y melalui hubungan ( ) maka
diperoleh ( ) , sehingga
17
( ) ∫ [ ( )]
( )
Karena integral memberikan nilai peluang yang dicari untuk setiap a < b dalam
batas-batas nilai y yang mungkin, maka distribusi peluang Y adalah
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]
karena ( ) adalah kebalikan dari kecondongan (koefisien arah) garis
singgung pada kurva ( ) yang naik, maka jelas bahwa | | Sehingga
( ) [ ( )]| |.
Gambar 2. Fungsi Turun
Kemudian misalkan ( ) fungsi naik seperti pada Gambar 2, maka dapat
ditulis
( ) [ ( ) ( )]
∫ ( ) ( )
( )
Kembali ganti variabel integrasi menjadi y, maka diperoleh
( ) ∫ [ ( )] ( )
18
∫ [ ( )] ( )
sehingga dapat disimpulkan bahwa
( ) [ ( )] ( ) [ ( )]
dalam hal ini kecondongan kurva negatif dan | |
Jadi,
( ) [ ( )]| |
seperti sebelumnya.
2.11 Transformasi Peubah Acak dengan Fungsi Pembangkit Momen
Teorema 2.11.1
Menurut Sahoo (2008), jika diketahui bahwa X dan Y merupakan variabel acak
yang independen (saling bebas), maka
( ) ( ) ( )
Penyelesaian ini dapat digunakan untuk menemukan distribusi dari penjumlahan
jika X dan Y merupakan variabel acak independent. Ilustrasi dari metode
transformasi ini dapat dilihat dalam contoh seperti berikut.
Contoh 11.1. Diketahui ( ) dan ( ). Jika diketahui
bahwa fungsi pembangkit momen dari dan yaitu ( ) (
)
dan
( ) (
)
. Kemudian, X dan Y independent, diperoleh
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
19
(
)
Sehingga memiliki fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma
dengan parameter dan . Dengan demikian,
( )
2.12 Fungsi Gamma
Menurut Saibagki (1952), untuk n > 0, n pecahan negatif n bukan bilangan
negatif, fungsi Gamma didefinisikan oleh
( ) ∫
( )
Teorema 2.12.1
Menurut Saibagki (1952), sifat-sifat dari fungsi Gamma antara lain:
a) ( ) ( ) ( ) atau ( ) ( )
( ) (2.15)
n > 1, n pecahan dan n bukan bilangan bulat negatif
b) ( ) ( ) (2.16)
c) (
) √ (2.17)
Bukti Persamaan (2.15):
Berdasarkan dari Persamaan (2.14) jika dilakukan integral parsial dari fungsi
Gamma dengan ( ) dan , maka diperoleh
( ) ( ) ( )
20
( ) ( ) ∫
sehingga
( ) ∫ ( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
| ∫( )( )
( )∫( )
( ) ( ) ( ) ; n > 1
Bukti Persamaan (2.16):
Berdasarkan dari Persamaan (2.15), dengan menggunakan rumus berulang
berkali-kali diperoleh
( ) ( ) ( )
Dengan menggunakan cara yang sama akan dihasilkan
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
Bila n adalah bilangan bulat postirif, maka,
( ) ( )( ) ( )
dimana
21
( ) ∫ |
( ) ( )
( )
sehingga diperoleh
( ) ( )( )
( ) ( )
Untuk n = 1, 2,…
Bukti Persamaan (2.17):
Bentuk lain dari ( ) adalah:
( ) ∫
∫
( )
Bukti Persamaan (2.18):
( ) ∫
substiusi: x = y2
dx = 2ydy
Batas integralnya :
∫ ∫( ) ( )
22
∫
∫
Terbukti bahwa ( ) ∫
, sehingga Persamaan 2.17 dapat
dibuktikan sebagai berikut
(
) ∫ (
)
∫
{ (
)}
[ ∫
] [ ∫
]
∫ ∫ ( )
Substutusi:
Batas integralnya:
23
{ (
)}
∫ ∫
⁄
∫ ∫
⁄
∫ (
) |
⁄
(
)∫
{ (
)}
(
) √
2.13 Distribusi Gamma
Suatu variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Gamma atau terdistribusi
Gamma, jika fungsi kepadatan peluangnya adalah
( ) {
( ) ( )
( )
Dimana ( ) adalah fungsi Gamma (Hogg & Craig, 2005).
Teorema 2.13.1
Menurut Hogg & Craig (2005), bila X berdistribusi Gamma X~G (x | )
maka mean dan variansnya ditentukan oleh
25
( )
( )
( )
( )
Bukti Persamaan (2.21):
( ) ∫ ( )
∫
( )
Misalkan:
Sehingga,
Maka,
( ) ∫ (
)
(
)
∫
( )
26
( ) ( )
( )
Maka,
( ) ( ) [ ( )]
( )
(
)
( )
3. ( ) (
)
(2.22)
Bukti:
( )
( )
( )
( )∫
( )∫
( )∫ ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
27
Jika , maka (
) akan menjadi non-positif dan integralnya akan menjadi
infinite. Sehingga fungsi pembangkit momen untuk distribusi gamma hanya akan
terdefinisi jika .
2.14 Distribusi Invers Gamma
Kemudian, jika X adalah variabel random berdistribusi gamma, dinotasikan
dengan X~Gamma( ) maka fungsi densitasnya dapat dinyatakan dalam bentuk:
( ) {
( ) ( )
Dengan melakukan transformasi ( )
maka,
( )
|
( )| |
(
)|
sehingga diperoleh
( ) [ ( )] |
( )|
( )(
)
( )(
)
Jika , maka menurut Hogg & Craig (2005), distribusi yang terbentuk adalah
distribusi invers gamma seperti dinyatakan dalam persamaan:
( ) {
( )
( )
( )
Menurut Cook (2008), jika ( ), dengan maka
momen dari adalah
28
( )
( )∫
( )∫
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Khususnya, untuk
( )
( )
dan untuk
( )
( )( ) ( )
dan juga untuk
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( )
2.15 Distribusi Pareto
Distribusi Pareto berasal dari nama seorang ekonom yaitu Vilfredo Pareto (1848-
1923) yang mengamati bahwa 80% kekayaan di Milan dimiliki oleh hanya 20%
dari penduduknya. Distribusi Pareto disebut juga dengan distribusi power law.
Jika sebuah kumpulan data memiliki distribusi power-law, maka dikatakan bahwa
data-data tersebut tidak sensitif terhadap rata-rata atau standar deviasi dari data
tersebut atau dengan kata lain, data itu tidak bersifat acak. Distribusi Pareto sering
29
dipakai pada persoalan uji hidup, seperti waktu sampai rusak atau umur suatu
komponen yang diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak (Sugiarto, S.,
2014).
Definisi 2.15.1
1. Jika X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka fungsi kepadatan
peluang dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah:
( ) { (
)
( )
Bukti :
∫ (
)
∫
∫( )
|
|
|
( )
2. Jika X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka fungsi distribusi
kumulatif (CDF) dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah:
30
( ) { (
)
( )
dimana > 0 dan > 0 adalah parameternya.
Bukti:
( ) { (
)
( ) ∫ (
)
∫( )
∫
|
( ) ( )
( )
3. Jika adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka probabilitas bahwa X
lebih besar dari beberapa nilai dengan parameter skala dan parameter
31
bentuk diberikan oleh :
( ) {(
)
( )
dimana > 0 dan > 0 adalah parameternya (Malik, 2011).
Bukti:
( ) ( )
( )
Untuk maka,
( ) (
)
(
)
Untuk maka,
( )
Teorema 2.12.1
1. Andaikan X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka:
( )
( )
Bukti:
( ) ∫
( ) ∫ ( )
∫ ( )
32
∫
∫
∫
2. Andaikan X adalah variabel acaka berdistribusi Pareto, maka:
( ) (
)
( )
Bukti:
( ) ∫
( ) ∫ ( )
∫
∫
∫
33
( ) ( ) [ ( )]
[
]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ( )]
( ) ( )
[ ( ) ( )]
( ) ( )
[( ) ( )]
( ) ( )
(
)
2.16 Estimasi Parameter
Estimasi (pendugaan) adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah
estimator untuk menghasilkan hasil estimasi dari suatu parameter. Estimator
merupakan setiap statistik (mean sampel, presentase sampel, varians sampel dan
lain-lain) yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter. Hasil estimasi
adalah sebuah nilai dari suatu statistik seperti mean sampel, presentase sampel,
atau varians sampel (Harinaldi, 2005).
34
2.17 Sifat-Sifat Estimator (Penduga)
Menurut Spiegel, et al. (2004), penduga yang baik adalah yang memiliki sifat-
sifat seperti berikut.
1. Sifat Tak Bias
Sifat tak bias merupakan sifat baik dari estimator yang diperoleh melalui
pendekatan klasik, dalam pembahasan pemilihan estimator terbaik salah satunya
harus memenuhi sifat tak bias. Suatu statistik disebut estimator tak bias dari suatu
parameter populasi jika mean atau ekspektasi dari statistik itu sama dengan
parameter yang ditaksir. Sehingga untuk suatu statistik dikatakan penaksir tak
bias patameter bila
( ) ( )
2. Efisien
Suatu penduga ( ) dikatakan efisien bagi parameternya ( ) apabila penduga
disebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga,
penduga yang efesien adalah penduga yang memiliki varians paling minimum.
( ) ( )
Maka, dikatakan bahwa ( ) merupakan peduga yang efisien.
3. Konsisten
Suatu estimator dapat dikatakan konsisten bila memenuhi syarat berikut:
a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka estimator akan mendekati
parameternya, jika besarnya sampel menjadi tak terhingga maka estimator
konsisten harus dapat memberi suatu estimator titik yang sempurna terhadap
35
parameternya. Jadi ( ) merupakan estimator yang konsisten jika dan hanya
jika:
( ( ))
b. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling estimator akan
mengecil menjadi suatu garis tegak lurus di atas parameter yang sama dengan
probabilitas sama dengan 1.
2.18 Fungsi Likelihood
Fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari n variabel random X1, X2,
….,Xn dan dinyatakan dalam bentuk f (x1, x2,…, xn,; ). Jika X1, X2,…,Xn menyatakan
suatu sampel random dari f (x; ), maka
( ) ( ) ( ) ( )
∏ ( )
( )
Kemungkinan maksimum dapat diperoleh dengan menentukan turunan dari L
terhadap dan menyatakannya sama dengan nol (Bain & Engelhardt, 1992).
2.19 Metode Bayes
Metode Bayes merupakan suatu metode yang menyediakan cara dimana data
historis dapat digunakan dalam penilaian saat ini. Metode Bayes mempunyai cara
tersendiri dalam menentukan prior dan posterior yang secaa signifikan dapat
menbantu menyelesaikan bagian yang sulit dari sebuah solusi.
36
2.19.1 Teorema Bayes
Definisi 2.19.1
Menurut Soejoeti & Soebanar (1988), misal S adalah ruang sampel dari suatu
eksperimen dan adalah peristiwa-peristiwa didalam S sedemikian
sehingga saling asing dan ⋃ dikatakan bahwa
membentuk partisi di dalam S
Gambar 3. Teorema Bayes
Jika k peristiwa membentuk partisi di dalam S, maka terlihat pada
Gambar 3 bahwa peristiwa-peristiwa ⋂ ⋂ ⋂ membentuk
partisi dalam sehingga dapat ditulis ( ⋂ )⋃( ⋂ ) ⋃( ⋂ ).
Karena peristiwa-peristiwa di ruas kanan saling asing maka
( ) ∑ ( ⋂ )
( )
Jika ( ) untuk maka ( ⋂ ) ( ) ( | ) sehingga
didapat ( ) ∑ ( ) ( | ) . Misal peristiwa-peristiwa
membentuk partisi di dalam ruang sampel S sedemikian sehingga ( )
37
dan misalkan B sembarang peristiwa sedemikian sehingga ( )
maka untuk
( | ) ( ) ( | )
∑ ( ) ( | )
( )
Teorema Bayes memberikan aturan sederhana untuk menghitung probabilitas
bersyarat peristiwa jika terjadi, jika masing-masing probabilitas tak bersyarat
dan probabilitas bersyarat jika diberikan
2.19.2 Distribusi Prior
Dalam metode Bayes, memilih distribusi prior f ( ) menunjukkan ketidakpastian
tentang parameter yang tidak diketahui. Distribusi prior dikelompokkan
menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk fungsi likelihoodnya (Box & Tiao,
1973).
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya
a. Distribusi prior konjugat, mengacu pada acuan analisis model terutama
dalam pembetukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam penelitian prior
konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang
mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi kepadatan peluang pembangkit
likelihoodnya.
b. Distribusi prior tidak konjugat, apabila pemberian prior pada suatu model
tidak memperhatikan pola pembentuk likelihoodnya.
2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi
prior tersebut.
38
a. Ditribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari
distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak,
pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat
memperngaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan dengan
menggabungkan informasi distribusi prior dengan informasi data yang
diperoleh.
b. Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data
yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang
parameter , salah satu pendekatan dari non-informatif prior adalah
metode Jeffrey’s.
2.19.3 Distribusi Posterior
Bila diberikan data x, maka distribusi dari yang disebut distribusi posterior
adalah
( | ) ( | ) ( )
( ) ( )
di mana ( ) adalah fungsi distribusi peluang marginal dari x. Fungsi distribusi
peluang marginal dalam definisi di atas dapat dihitung dengan menggunakan
rumus berikut
( )
{
∑ ( | ) ( ) ( )
∫ ( | ) ( ) ( )
Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi
interval dari parameter yang tidak diketahui. Dalam konsep dasar Bayes, semua
39
informasi tentang dari data yang diamati dan dari pengetahuan priornya termuat
dalam posterior atau distribusi ( | ) (Walpole & Myers, 2005).
2.20 Maksimum Likelihood Estimator (MLE)
Definisi 2.20.1
Menurut Bain & Engelhardt (1992), misalkan adalah sampel acak
dari populasi dengan densitas ( | ), fungsi likelihood didefinisikan dengan:
( ) ∏ ( | )
Bila fungsi likelihood ini terdiferensikan dalam maka calon estimator likelihood
yang mungkin adalah sedemikian sehingga:
( )
Untuk membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood
( ) harus ditunjukan bahwa:
( )
Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada
logaritma dari ( ) yaitu ( ). Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma
naik tegas pada ( ) yang berarti bahwa ( ) mempunyai ekstrem yang sama.
Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari sebagai
berikut:
40
1. Tentukan fungsi likelihood
( ) ∏ ( | )
2. Bentuk log likelihood ( )
3. Tentukan turunan dari ( ) terhadap
[ ( )]
Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum
likelihood untuk .
4. Tentukan turunan kedua dari [ ( )] dari terhadap . Jika [ ( )]
,
maka akan membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi
likelihood ( ).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu
mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang terkait dengan pendugaan
parameter dari sebaran Pareto. Metode ini digunakan peneliti untuk menyeleksi
teori-teori yang dapat mendukung pokok permasalahan yang dimunculkan pada
penelitian ini, agar pembahasannya dapat diselesaikan secara tuntas. Teori-teori
pendukung tersebut telah dibahas pada Bab II. Adapun lngkah-langkah yang
dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mencari dugaan parameter dengan metode Maximum Likelihood dengan
langkah-langkah:
1) Menentukan fungsi kepadatan peluang dari distribusi Pareto.
2) Membentuk fungsi kepadatan peluang bersama dari fungsi kepadatan
peluang distribusi Pareto kedalam fungsi likelihood .
42
3) Membentuk fungsi likelihood kedalam fungsi yang dinamakan
dengan fungsi maksimum likelihood (log likelihood).
4) Memaksimumkan fungsi maksimum likelihood dengan menurunkan
fungsi maksimum likelihood tersebut terhadap parameter yang
mengikutinya yakni kemudian menyamakan dengan 0.
5) Melakukan uji turunan kedua untuk memastikan fungsi likelihood pada
fungsi
telah maksimum.
2. Mencari dugaan parameter distribusi Pareto menggunakan metode Bayes
dengan langkah-langkah:
1) Mencari fungsi bersama f (x, ) Pareto-Gamma dengan mengalikan fungsi
Likelihood dari distribusi Pareto dengan fungsi kepekatan peluang
distribusi prior-nya, yaitu distribusi Gamma.
2) Mendapatkan fungsi marginal dari fungsi bersama f (x, ) Pareto-Gamma.
3) Menetapkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari sampel acak
Xi ~Pareto ( , ) dengan priornya ~ Gamma (
4) Menduga parameter distribusi Pareto dari fungsi kepekatan peluang
akhir (posterior).
5) Mendapatkan penduga Bayes dari distribusi Pareto.
3. Membuktikan karaktersitik ketakbiasan bagi penduga MLE dan Bayes.
4. Menentukan ragam dan MSE bagi penduga MLE dan Bayes.
5. Melakukan simulasi data menggunakan Software R dengan langkah-langkah
seperti berikut.
1) Membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi Pareto untuk melihat
pengaruh parameter terhadap bentuk sebarannya.
43
2) Membangkitkan data dengan n=20, k=1, dan
3) Menghitung penduga untuk MLE dan Bayes.
4) Ulangi langkah 2 dan 3 sebanyak 1000 kali.
5) Hitung bias, varians, dan MSE untuk kedua metode pendugaan.
6) Ulangi langkah 2 s.d. 5 untuk n=40, n=100, n=300, n=500, n=1000,
n=5000, n=10000, n=20000, dan n=50000.
7) Ulangi langkah 2 s.d. 6 untuk k=1 dan ; k=1 dan ; k=3 dan
; k=3 dan ; serta k=3 dan .
6. Membandingkan hasil penduga dari kedua metode tersebut dengan melihat
bias, varians, dan mean square error (MSE).
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Estimasi atau penduga titik bagi parameter dan pada distribusi Pareto
dengan menggunakan metode Maximum Likelihood adalah sebagai berikut:
Untuk parameter yaitu:
dan untuk parameter yaitu:
∑
2. Pada pendugaan parameter distribusi Pareto menggunakan metode Bayes,
diasumsikan bahwa parameter telah diketahui atau diasumsikan ,
seperti pada pendugaan dengan metode Maximum Likelihood dan jika dilihat
berdasarkan grafik sebaran Pareto. Sehingga didapat penduga titik bagi
parameter yaitu sebagai berikut:
∑
3. Secara analitik ditunjukkan bahwa penduga dan penduga keduanya
merupakan penduga yang bias. Namun, kedua peduga tersebut secara asimtotik
akan menjadi tak bias. Besar bias kedua penduga memiliki nilai yang bervariasi
118
dan dipengaruhi oleh parameter . Selain pengaruh dari bias penduga
juga dipengaruhi oleh besar nilai parameter dari distribusi priornya Penduga
memiliki varians yang lebih kecil dari penduga . MSE dari kedua
penduga akan dipengaruhi oleh biasnya. Baik secara analitik maupun empirik,
telah ditunjukkan bahwa penduga dan keduanya merupakan penduga
yang konsisten.
5.2 Saran
Penelitian ini hanya membahas dan mengkaji pendugaan parameter bagi distribusi
Pareto dengan metode pendugaan Maximum Likelihood dan Bayes. Sehingga
terbuka kesempatan bagi peneliti lain untuk melakukan pendugaan pararameter
pada distribusi lain seperti distribusi Pareto terpotong, Weibull, ataupun distribusi
keluarga eksponensial lainnya. Selain itu, disarankan pula untuk mencoba
melakukan penelitian serupa dengan menggunakan metode lain seperti Uniformly
Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE), Probability Weighted Moment
(PWM) dan sebagainya.
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L.J. & Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. 2nd
Edition. Duxbury Press, California.
Berger, C. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, New York.
Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics. 2nd
Edition. John
Wiley & Sons, New York.
Box, G.E.P. & Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis.
Addision-Wesley, Massachusetts.
Harinaldi. 2005. Prinsip-Prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga,
Jakarta.
Hogg, R.V., & Craig, A.T. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th
Edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.
Hogg, R.V., McKean, Joseph W. & Craig, A.T. 2012. Introduction to
Mathematical Statistics. 7th
Edition. Prentice Hall International, United
States of America.
Malik, M. 2011. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat
Terkecil, Maximum Product of Spacing dan Regresi Ridge. Skripsi. Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, Medan.
Miller, I. & Miller, M. 1999. John E. Freud’s Mathematical Statistics. 6th
Edition. Prentince Hall International Inc., New Jersey.
Montgomery & Runger. 2003. Aplied Statistics and Probability for Engineers.
3th
Edition. John Wiley & Sons, United States of America.
Mukhopadhyay, N. & Ekwo, M.E. 1987. Sequental Estimation Problems for the
Scale Parameter of Pareto Distribution. Scandinavian Actuarial Journal. 83-
103.
Sahoo, P. 2008. Probability and Mathematical Statistics. Department of
Mathematics University of Louisville, Louisville.
Saibagki, W. 1952. Theory and Applications of Gamma Function. Iwanami
Syoten, Tokyo.
Soejoeti, Z. & Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Karunika Universitas
Terbuka, Jakarta
Spiegel, M.R., Schiller, J.J., & Srinivasan, R.A. 2004. Probabilitas dan Statistik.
Diterjemahkan oleh Ratna Indriasari. Erlangga, Jakarta.
Sugiarto, S. 2014. Penduga Interval Parameter Bentuk dari Distribusi Pareto
Berdasarkan Metode Momen dan Maksimum Likelihood. Skripsi. Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru.
Walpole, E.R. 1995. Pengantar Statistika. Ed. ke-3. Gramedia, Jakarta.
Walpole, E.R. & Myers, H.R. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur
dan Ilmuwan. Ed. ke-4. ITB, Bandung.