PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED BETA 2 MENGGUNAKAN METODE MOMEN, MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION, DAN PROBABILITY WIEGHTED MOMENT (Skripsi) Oleh FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017 EKA SETIAWATI
40
Embed
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED BETA …digilib.unila.ac.id/28944/19/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · pendugaan parameter distribusi generalized beta 2 menggunakan metode
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED BETA 2MENGGUNAKAN METODE MOMEN, MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION, DAN PROBABILITY WIEGHTED MOMENT
(Skripsi)
Oleh
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2017
EKA SETIAWATI
ABSTRACT
ESTIMATION OF PARAMETER OF GENERALIZED BETA 2DISTRIBUTION USING MOMENT METHOD, MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION, AND PROBABILITY WIEGHTED MOMENT
By
Eka Setiawati
The opportunity distribution is all possible outcomes of an experiment. Adistribution has several parameters that express the characteristics of a population.Parameters can not be measured directly but by taking samples and thenmeasuring them. In this research, estimation using moment method, MaximumLikelihood Estimation, and Probability Weighted Moment are used to determinethe parameter estimate of the Generalized Beta 2 distribution. The estimation ofparameter from three methods using data simulation for prof unbiased andvariance minimum. Data simulation result show that the Maximum LikelihoodEstimation method is better than the moment and Probability Weighted Momentmethod in estimating the distribution parameters of Generalized Beta 2.
Key Word : Generalized Beta 2 Distribution, Moment Method, MaximumLikelihood Estimation Method, Probability Weighted Moment Method
ABSTRAK
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED BETA 2MENGGUNAKAN METODE MOMEN, MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION, DAN PROBABILITY WIEGHTED MOMENT
Oleh
Eka Setiawati
Distribusi peluang merupakan himpunan hasil-hasil yang mungkin terjadi darisebuah percobaan. Suatu distribusi memiliki beberapa parameter yangmenyatakan karakteristik dari suatu populasi. Parameter tidak dapat diukur secaralangsung melainkan dengan cara mengambil sampel kemudian mengukurnya.Pada penelitian ini, akan dikaji pendugaan parameter dengan metode momen,Maximum Likelihood Estimation, dan Probability Weighted Moment daridistribusi Generalized Beta 2. Pendugaan parameter dari ketiga metode denganmelakukan simulasi data untuk membuktikan sifat ketakbiasan dan varianminimum. Dari ketiga hasil simulasi terhadap ketiga metode pendugaanmenunjukkan bahwa metode Maximum Likelihood Estimation lebih baikdibandingkan dengan metode momen dan Probability Weighted Moment.
Kata Kunci : Distribusi Generalized Beta 2, Metode Momen, Metode MaximumLikelihood Estimation, Metode Probability Weighted Moment
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED BETA 2
MENGGUNAKAN METODE MOMEN, MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION, DAN PROBABILITY WIEGHTED MOMENT
Oleh
EKA SETIAWATI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sriwaylangsep pada tanggal 20 September 1996. Penulis
merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Agus Panggung dan Ibu Sutarmi serta
kakak dari Sekar Dwi Parwati.
Penulis memulai pendidikan dari sekolah dasar di SD Negeri 2 Sriwaylangsep pada
tahun 2001. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Sendang Agung
pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Kalirejo pada
tahun 2011.
Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa
Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
SNMPTN pada tahun 2013. Pada periode tahun 2013/2014 penulis terdaftar sebagai
anggota GEMATIKA Himpunan Mahasiswa Matematika Unila juga sebagai anggota
KOPMA (Koperasi Mahasiswa). Penulis pernah menjadi anggota bidang Keilmuan
Himpunan Mahasiswa Matematika Unila dan anggota departemen HLPM Badan
Eksekutif Mahasiswa FMIPA Unila selama periode 2014/2015 dan sebagai sekretaris
bidang Keilmuan Himpunan Mahasiswa matematika FMIPA Unila tahun 2015/2016.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan
Kerja Praktik (KP) di Kanwil DJP Bengkulu dan Lampung selama kurang lebih satu
bulan. Penulis juga telah melakukan Kuliah Kerja Nyata Kebangsaan (KKNK) pada
tahun 2016 selama 30 hari di Desa Mepar, Kab. Lingga, Provinsi Kepulauan Riau.
MOTTO
Don’t be sad, indeed Allah is with us(Al-Qur’an Surat At taubah 9:40)
Rahasia untuk bisa maju adalah dengan memulai(Mark Twin)
يـرفع اهللا الذ ين آمنـوا منكم والذين أو تـواالعلم درجت
“Allah akan meninggikan derajat orang-orang yang berimandiantara kamu dan orang-orang yang memiliki ilmu
pengetahuan”
-Q.S Al-Mujadillah:11-
“Jalani dan syukuri”
(Eka Setiawati)
PERSEMBAHAN
Puji dan syukur kepada Allah SWT berkat rahmat dan hidayah-Nyasebuah karya sederhana namun penuh perjuangan telah terselesaikan
Kupersembahkan Skripsi ini untuk :
Kedua orang tuaku tercinta
Ayahanda Agus Panggung & Ibunda Sutarmi
Serta
Adikku tersayang
Sekar Dwi Parwati
Terimakasih atas jasa-jasa yang tak bisa ternilai harganyaTerimakasih atas setiap doa tulus yang kalian panjatkan
Terimakasih atas cinta dan kasih sayang yang kalian berikan
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis
dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Shalawat serta salam senantiasa tercurah
kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.
Pada proses penyusunan skripsi, penulis memperoleh banyak bantuan, dukungan,
bimbingan serta kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu
terselesaikan. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan
terima kasih kepada :
1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc.,selaku dosen pembimbing utama yang telah
membimbing penulis dengan setulus hati, menyumbangkan ilmunya,
memberikan motivasi serta telah banyak meluangkan waktu ditengah
kesibukannya untuk membimbing hingga skripsi ini terselesaikan.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
banyak membantu, memberi masukan serta dengan sabar memberikan
pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Warsono, M.Sc., Ph.D. selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik
dan saran yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Dra. Dorrah Aziz selaku Pembimbing Akademik.
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D selaku dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.
8. Orang tuaku tercinta dan adikku tersayang Sekar, serta seluruh keluarga yang
senantiasa memberikan kasih sayang yang tiada terkira, selalu menjadi
penyemangat disaat lemah, selalu memotivasi penulis untuk memberikan yang
terbaik, serta tak henti-hentinya mendoakan untuk keberhasilan penulis.
9. Teman-teman terbaik di kampus, Suci, Karina, Suri, Maimuri, Citra, Shintia,
Siti, Sinta, Della, Elis, Sisil, Dyta, Reni, Ratna, Umi yang telah banyak
membantu, memberikan perhatian dan dukungan mental kepada penulis.
10. Teman-teman satu bimbingan Tiwi, Yucky, Nafisah, dan Dimas yang selalu
membantu penulis, berjuang bersama serta saling mendukung dalam
menyelesaikan skripsi ini.
11. Keluarga besar HIMATIKA terima kasih atas pengalaman yang luar biasa.
12. Teman-teman seperjuangan Matematika 2013 yang tidak bisa penulis
sebutkan satu persatu.
13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
persatu atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Misalkan X1, X2, … , Xn merupakan sampel dari polulasi yang memiliki fungsi
kepekatan peluang ( | , , … , ). Metode pendugaan dengan momen
dilakukan dengan cara menyamakan k momen pertama sampel dengan momen
pertama dari polulasi dan meyelesaikan sistem persamaan tersebut secara bersama
atau simultan.
= 1 , = ( )= 1 , = ( )⋮ = ∑ , = ( ) (2.5)
Momen populasi sering ditulis sebagai fungsi dari , , … , , yaitu( , , … , ). Metode momen penduga ( , … , ) dari ( , , … , )didapat dengan menyelesaikan sistem persamaan untuk ( , , … , ) dalam
notasi ( , , … , ) sebagai berikut :
= ( , , … , )= ( , , … , )⋮ = ( , , … , ) , (2.6)
(Casella & Burger, 1990).
9
2.3 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Definisi 2.3
Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah sampel acak berukuran n yang saling bebas
stokastik identik dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan
peluang ( ; ), Ω. Fungsi kepekatan peluang bersama dari X1, X2, ..., Xn
adalah ( ; ) ( ; ) … ( ; ) yang merupakan fungsi kemungkinan
(Likelihood Function).
Untuk x1, x2, ..., xn tetap, fungsi kemungkinan merupakan fungsi dari
Definisi 2.4( ) = ( , , … , ; ), Ω merupakan fungsi kepekatan peluang dari, , … , . Untuk hasil pengamatan , , … , , nilai berada dalam Ω,
dimana ( ) maksimum yang disebut sebagai Maximum Likelihood Estimation
(MLE) dari . Jadi merupakan penduga dari .
Jika , , … , ; = max ( , , … , ; ), Ω maka fungsi tersebut
memaksimumkan ( ) terhadap parameternya. Biasanya mencari turunan dari( ) terhadap parameternya relative sulit, sehingga dalam penyelesaiannya dapat
diatasi dengan menggunakan logaritma.
10
Untuk memaksimumkan ln ( ) adalah dengan mencari turunan dari ln ( )terhadap parameternya kemudian hasil turunannya dibuat sama dengan nol.ln ( ) = 0, (2.8)(Hogg & Craig, 1995)
2.4 Metode Probability Weighted Moment (PWM)
Diawali dari beberapa kelemahan dan kelebihan dari setiap metode pendugaan
yang telah ada, maka penggunaan metode PWM dapat dijadikan alternatif lain
dalam menduga parameter dari suatu distribusi peluang. Metode PWM merupakan
modifikasi dari metode “konvensional” momen dan pertama kali dikemukakan
oleh Hosking et al., (1984). Fungsi PWM dari variabel random X dengan fungsi
distribusi kumulatif (CDF) , F(x) didefinisikan sebagai berikut:
, , = [( ( )) ( ) 1 − ( ) ] (2.9)
Dalam hal ini r, s dan t merupakan bilangan real. Bila s = t = 0 dan r merupakan
bilangan bulat yang tidak negatif maka akan menjadi , , merupakan momen
peluang konvensional yang selama ini dikenal. Adapun subclass dari fungsi PWM
di atas dengan X(F) adalah invers dari fungsi distribusi kumulatif maka fungsi
PWM adalah , , ( = 1, = 0,1,2, … , = 0,1,2, … ). Sementara , , dapat
dibagi menjadi dua bagian, yaitu s = 0 ( , , ) dan t = 0 ( , , ), sehingga fungsi