pemelihaaraan dan operasi peralatan listrik

7/21/2019 pemelihaaraan dan operasi peralatan listrik

http://slidepdf.com/reader/full/pemelihaaraan-dan-operasi-peralatan-listrik 1/177



• Ada beberapa jenis sample space yangbisa kita hadapi, cara paling umumadalah dengan memberi status discrete

atau continuous. – Discrete: kejadian dasar nya merupakan

kejadian yang terpisah secara individu, dan jumlah titik sample nya bisa terbatasataupun tidak terbatas.

– Continuous: selalu terdapat jumlah titiksample yang tidak terbatas.



• Meskipun suatu sample spacedikatakan discrete ataupuncontinuous, kumpulan titik sampledisebut sebagai sebuah event.

• Untuk menggambarkan eventtersebut, digunakanlah diagram

Venn.



• Combination o events



• de Morgan!s "ule

aturan ini menghubungkan set dan

complement nya, untuk sejumlah nset, aturan nya adalah:

atau dalam bentuk lain:



• #ersyaratan dasar untuk probability –

– $ika %& dan %' merupakan kejadian yangtidak berhubungan, maka,

– $ika %i, i(&,),n, merupakan kejadian

yang mutually e*clusive, maka



– Menggunakan rumus sebelumnya, kitabisa juga menuliskan

dimana merupakan complement dari%, sehingga

lebih umumnya, jika %& dan %' tidakmutually e*clusive, maka



Conditional #robability

• Conditional probability digunakan untukmenghitung kemungkinan terjadinyasebuah event dengan mengetahui event

lain yang terkait telah terjadi +atau tidakterjadi.

• $ika %& dan %' merupakan dua eventdidalam sample space - dan #+%'/, maka

conditional probability %& +beranggapanbah0a %' telah terjadi dilambangkan oleh#+%&1%'



• Maka, dengan normalisasi yang benar,kita bisa mendapatkan conditionalprobability dari %&, dengan diketahuinya

%' adalah:

• 2ni memberikan product rule untukcombined probabilities:



• -edangkan event %& dan %' dikatakanindependent jika:



3ambahan aturan padaprobability

•

•

•

•



3otal #robability

• $ika kita memiliki kumpulan set %&, %',), %n yang saling mutually e*clusivedan yang jumlah nya memenuhisample space -, yaitu

dan



• Maka %i dengan ciri diatas dikatakanmembentuk sebuah partisi dari -.Untuk semua set A yang bermasukdalam -, partisi ini bisa digunakanuntuk menuliskan:



• )) merupakan cara lain untukmengatakan bah0a setiap elemen Aberada tepat pada salah satu dari set % i,

dan bisa dituliskan dengan:

• Dan mengikuti orumla sebelumnya

bah0a

• Maka:



4ayes! 3heorem

Anggap %i, i(&,),n sebagai bagian dari - dan Asebuah kejadian pada -, didapat

yang kemudian bisa dikembangkan menjadi

-ementara dari theorem total probability,didapat:

dan dengan menggabungkan persamaan' diatas, didapat pula:



RANDOM VARIABLES



"andom Variables

• "andom Variables merupakanpemberian variable atau penamaanpada kejadian' acak yang hendak

diselidiki, hal ini dikarenakan tidaksemua kejadian yang hendakdiselidiki memiliki angka real yang

bisa dihitung.



Cumulative Distribution5unction

• #robability distribution adalahperaturan yang menjelaskanmengenai pengukuran probability

yang dihubungkan dengan nilai darisebuah random variable.

• Untuk semua random variable 6,

ungsi 5*+* bisa dijelaskan denganpersamaan:



• 5ungsi 5*+* merupakan cumulativedistribution unction +CD5 darirandom variable 6. 7arenaprobability selalu berada diantara /dan &, 5*+* selalu memiliki nilai padainterval 8/,&9, dan memiliki beberapa

ciri penting yang merupakan akibatdari denisi nya:



• dan

• Untuk dua nilai tertentu dari *, *& dan*', jika *& ; *', maka 5*+*& ; 5*+*'

• 5*+* continuous dari kanan, dengankata lain, jika sebuah nilai */ dipilih, dannilai lain * yang lebih besar dari */

dipilih lalu dikurangi menuju ke */ +*mendekati */ dari kanan, maka 5*+*akan mendekati 5*+*/



Continuous dari kanan, tapi tidak darikiri



• $ika seperti pada gambarsebelumnya, CD5 dari randomvariable 6 berubah nilainya hanya

dalam bentuk loncatan', maka 6merupakan discrete random variable.

• -ebaliknya, jika 5*+* continuous,

maka 6 disebut sebagai continuousrandom variable.



• Untuk discrete random variable 6,probability distribution nya disebut

juga dengan probability mass

function (PMF), #M5 merupakanungsi yang menjabarkan #+6(*untuk semua *.

• $ika untuk random variable 6, diaturagar titik *i * j dan jika i j, maka



• Dan probability distribution #+6(*iatau yang lebih singkatnya p+*i,i(&,',<,), dari dicrete randomvariable yang manapun akanmemenuhi dua kriteria berikut: –

–



• $ika 6 merupakan continuous randomvariable, maka probability dihubungkandengan interval pada garis real, oleh karenaitu, probability kejadian 6(* akan sama

dengan nol. 3etapi, jika dilihat sebuahinterval +a, b pada real a*is dengan a = b,maka probability #+a = 6 ; b bisa dihitungdengan bantuan probability densityunction, *+*, sebagai berikut



• 7arena probability density,terintegrasi antara ' konstan a danb, memberikan probability yang

mengasumsi>kan nilai nya beradapada kedua batasan ini, maka *+*harus memenuhi kondisi berikut – –



Characteristic Measure darisebuah "andom Variable

• Mean atau %*pected Value +CentralValue: nilai rata' dari randomvariable dimana hasilnya adalah nilai

probability>nya• $ika 6 adalah discrete random

variable dengan #M5 pi ( p*+*i,

mean value yang dilambangkandengan %+6 dapat diperoleh dengan:



• Dan untuk continuous randomvariable 6 dengan #D5 *+*i, meanvalue %+6 nya:



• Variance dan -tandard Deviation +Measureo Dispersion: 2ndikasi untukmemperkirakan seberapa lebar penyebarandistribusi nilai yang ada.

• %*pected value bisa di generalisasi>kanuntuk ungsi 6, seperti ormula sebelumnya,untuk ungsi g+6, e*pected value>nya%8g+69, didapatkan dengan: +jika 6 discrete



• -edangkan jika 6 continuous, maka:

• Di kedua>nya, %8g+69 dikenal jugadengan mathematical e*pectation

dari g+6.• -edangkan variance dari random

variable 6 adalah:



• $ika g+6(86>%+69' ( +6>?*', dan 6 discrete,maka:

•

Dan jika 6 continuous, maka:

• Mengembangkan integral diatas, kita bisamendapatkan:



• @asil integral diatas juga berlakuuntuk discrete random variable.

• Akar dari Var+6 disebut denganstandard deviation dari 6 dandilambangkan dengan *, standarddeviation lebih sering digunakan

karena memiliki dimensi yang samadengan random variable.



3heoretical #robabilityDistributions

• Discrete Distributions: discrete distributiondiperoleh dengan memperhatikan probabilityyang berhubungan dengan terjadi atau tidakterjadinya sebuah atau sejumlah rentetanevent. Asumsi yang muncul dari kejadian' iniadalah: – @anya ada ' hasil dari setiap event, terjadi atau

tidak terjadi – #robability terjadinya sebuah event sama untuk

setiap percobaan – #ercobaan yang berbeda dari tipe yang sama

adalah independen secara statistik.• %vent yang memenuhi kriteria ini disebut

sebagai percobaan 4ernoulli



• 4inomial Distribution

$ika probability terjadinya sebuahkejadian pada setiap percobaanadalah Bp! +dan tidak terjadinyakejadian tersebut adalah (&>p,maka probability tepat sejumlah k

kejadian pada sebanyak n percobaansesuai dengan binomial #M5 nyaadalah



dimana n dan p adalah parameterdari distribusi danmerupakan koesien binomial.



• eometric Distribution

$umlah percobaan yang dilakukan sampaisebuah kejadian terjadi diatur olehgeometric distribution. $ika sebuah kejadianterjadi pada percobaan ke>j, maka pastitidak ada kejadian sepanjang +j>&percobaan. Maka jika 6 adalah jumlahpercobaan untuk mendapatkan kejadian

pertama,



dimana (&>p, ormula diatasdisebut dengan distribusi geometric.

Mean didapat dengan:

Variance:



• #ascal Distribution-edikit berbeda dengan geometricdistribution, pascal distribution melihatkemungkinan terjadinya kejadian ke>kpada percobaan ke>j. -ehinggaprobabilitynya ditulis sebagai pk j>k,karena mengandung k kejadian dan +j>kketidak>terjadian.

5ormula #ascal Distribution adalah:



• @ypergeometric Distribution

@ypergeometric distribution terjadi jika hendak diketahui kemungkinandiambilnya barang yang rusak, n,dalam sebuah populasi, E, yangmemiliki jumlah barang rusak

sejumlah m



• #oisson #rocess dan #oisson Distribution#oisson digunakan pada masalah yangmelibatkan kemungkinan kejadian yangberhubungan dengan 0aktu danFatau space.

$ika G(mean ocurence rate +eventsFunitinterval dan 6t ( random variable yangmelambangkan jumlah kejadian padainterval t, maka

C i # b bili



Continuous #robabilityDistribution

• Eormal Distribution

-ebuah random variable 6 dikatakanterdistribusi secara normal jikamemiliki #D5:





• Hogarithmic Eormal Distribution

-ebuah random variable 6 memiliki log>normal probability distribution jika

natural log dari 6 adalah normal, jika 6memiliki normal distribution, maka I(ln 6 merupakan random variable

dengan distribusi log>normal



Density unction dari 6 memilikibentuk:

dimana G merupakan mean dan J

merupakan standard deviation dari ln6



• amma Distribution

amma distribution dijabarkandengan ormula:

dimana K+L merupakan nilai dari

gamma unction, yaitu:





• eibull Distribution

eibull distribution memiliki ormula

sedangkan CD5 nya diperoleh denganmengintegralkan *+*>nya





#ada teori reliability, complement dariCD5 disebut juga reliability unction,yaitu:

rasio *+* dan "+* disebut juga haNardunction

-edangkan untuk e*ponentialdistribution, "+*(e>G* dan h+*(G





Multiple "andom Variable

• $oint dan Marginal #robability Distribution5unction

$ika +6,I merupakan bivariate discreterandom variable, dan diasumsikan bisamenerima nilai +*i,* j untuk beberapa setintegral i dan j, joint probability massunction +#M5 dari +6,I dituliskan sebagai#+6(*i, I(y j dan #6I+*i,* j, dan memilikidua ciri: – –



$oint CD5 dari bivariate random variable+6,I adalah

Agar cocok dengan persyaratan probability, join distribution unction harus memenuhi: – 56I +>O, >O(/, 56I +O, O(&./P

– 56I +>O, y(/, 56I +O, y( 5 I +yP

–

56I +*, >O(/, 56I +*, O(56 +*P – 56I +*,y tidak negati, dan bukan merupakan

ungsi menurun dari * dan y



$ika variable 6 dan I bergantung satudengan lain nya, maka penting untukmemiliki sebuah conditional

probability mass unction, p61I



$ika +6,I continuous bivariate randomvariable, maka joint CD5>nya menjadi

Dan jika 56I+*,y sedemikian sehingga

merupakan continuous unction, maka 6I+*,y bisa disebut sebagai jointprobability density unction dari +6,I.



Maka, sama seperti pada kasusunivariate,

dan

sedangkan conditional densityunction dari 6, jika I diketahui,adalah



Maka, secara umum,

3api, jika 6 dan I independen secarastatistik, yaitu 61I+*1y( 6+* dan I16+y1*( I+y , maka:



• Covariance, Correlation, dan2ndependence

Ukuran karakteristik dari bivariaterandom variable +6,I diperoleh daripengembangan denisi untuk singlerandom variables, sehinggaP

Mean dari 6:

Variance dari 6:



Covariance dari 6 dan I adalah:

$ika 6 dan I independen secara statistik,

maka

Dia random variables 6 dan I dikatakantidak berkorelasi jika dan hanya jika%+6I(%+6%+I



Cov+6,I adalah ukuran derajathubungan +linear antara variable 6dan I. 3etapi, dalam aplikasi

praktikalnya, lebih digemaripenggunaan correlation coeQcientyang di jabarkan dengan ormula



#erkiraan #arameter

• Metoda Moments

Method o moments menggunakanpendekatan langsung denganmenggunakan sample sebagaiestimator dari populasi –

–



• Metoda Ma*imum Hikelihood

$ika nilai sample diperoleh secaraindependent, maka likelihoodmendapatkan sample point +*&, *',), *n akan proporsional dengan nilai+*&P R, +*'P R, dan seterusnya,

yaitu:H+R(+*&P R +*'P R) +*nP R



H+R merupakan likelihood unctiondari sample tersebut. -atu carauntuk mencari nilai R yang

memaksimalkan H+R adalah denganmemecahkan:



-edangkan untuk ungsi density denganbeberapa parameter, ungsi likelihood nyamenjadi:

dimana R&, R', ), Rk merupakan parameteryang hendak diperkirakan, untuk

mendapatkan estimator ma*imum likelihoodparameternya, kita menggunakan:

#embentukan Distribusi



#embentukan Distribusi#robability

• #enentuan model distribusi biasanyaberdasarkan pada inormasi statistikyang tersedia. Ada dua metoda yang

paling sering digunakan pada kasusseperti demikian:&. Menggunakan kurva yang dibentuk

secara numerik dalam histogram'. Menggunakan salah satu teori

distribusi.



• Eumerically Dened Distribution-alah satu cara yang termudah untukmenentukan probability density unctionadalah dengan membuat histogram dari data

yang ada, dan melakukan penyocokan kurva:&. 4entuk histogram dari data yang ada.'. 3entukan satu set titik pada pertengahan

setiap interval histogram tersebut.<. 3entukan kurva yang halus melalui titik'

tersebut.S. #eroleh area diba0ah kurva dengan integrasi

angka, dan bagi setiap nilai pembulatan untukmembuat area terakhir sama dengan &





• 5itting #robability Distributions using#robability #apers

#enggunaan kertas graph yang ada dipasaran untuk mem>plot data danrekuensi mungkin merupakan cara yangtermudah untuk memilih distribusi yangpas.

7ertas' ini digunakan terutama untukmenilai seberapa cocok distribusi yangdiasumsikan dalam me0akili sample datayang ada



• -ubjective Distributions

Ada saat' dimana tidak terdapat datayang jelas tapi orang hendak mencari

tahu mengenai enomena randomdengan menggunakan alatprobability. #ada saat seperti itu,

pendapat seseorang bisa digunakanuntuk membuat sketsa secarasubjekti dengan langkah':



&. 3entukan limit atas +uT dan ba0ah +lTuntuk density unction dan buat

5+lT(+uT(/

Atau kemungkinan sebuah nilai tertentu

'. #ilih mode distribusi yang paling mungkin<. #ilih percentiles tertentu dari distribusi

tersebut

Dengan memperkirakan percentiles,sebenarnya yang dilakukan adalahmemperkirakan ungsi distribusi nya.





3erkadang, jika data untuk sebuah komponentidak ada, data tersebut bisa diasumsikan,dari sisi stokastik, komponen tersebut akansama dengan beberapa komponen lainnya

yang probability density unction nyadiketahui. Asumsinya adalah, komponen nyabisa berbeda, tetapi stress nya tetap sama.

Dan jika asumsi tersebut terpenuhi, maka

probability unction tidak akan berubah, hanyaskala nya akan berubah. #erubahan skalatersebut dilambangkan dengan ks , parametertransormation.



-etelah dimasuki parameter transormation,nilai baru dari random variable yang barusehubungan dengan yang lama adalah:

*n>ln(ks+*/>l/

Dan density unction yang baru menjadi

$ika tidak terdapat data untuk komponen

baru, maka seseorang bisa menggunakanpemikiran>nya untuk menentukan nilai dariks dan ln





3es oodness o 5it

• 7etika distribusi telah cocok secarateori, ketepatan pilihan bisa diakuiatau ditolak secara statistik dengan

tes goodness o t, ' tes yang seringdigunakan adalah tes 7olmogorov>-mirnov dan tes chi>suare



• 3es 7olmogorov>-mirnov#ada tes ini, titik' data diurutkan darirendah ke tinggi lalu dibandingkandengan cumulative reuency curve>nya

yang digambar atas dasar data empirisyang didenisikan sebagai:

dimana *&,*',),*n merupakan datasample yang telah diurutkan





• #ada tes 7>-, perbedaan antara 5+* dan +*adalah ukuran seberapa pas kecocokan>nya.#erbedaan maksimum dirumuskan sebagai

Dn(ma** 15+*>n+*1

#erbedaan ini, yang merupakan sebuahrandom variable, lalu dibandingkan dengancritical value DL

n,#+Dn; DL

n(&>L

Critical value DL

n terdapat dalam tabel, dan jika Dn yang dihitung lebih kecil dari criticalvalue DL

n, maka distribusi tersebut dapatditerima pada batasan signicance level L



• 3es Chi>-uare

3es Chi>-uare mengharuskan rangevariable dibagi menjadi sejumlah k

interval, lalu rekuensi yang diteliti&, ', ), k dari setiap intervaldibandingkan dengan rekuensi e&,

e', ), ek dari teori distribusi yangdiasumsikan.



3es goodness o t yang dilakukan adalahdengan memeriksa ketidaksamaan dari:

dimana c&>L, merupakan nilai yangbenar dari '

pada probability kumulati

+&>L, L adalah signicance level, dan(k>& merupakan jumlah degree oreedom.



FUNGSI RANDOM

VARIABLES



• #robability Distribution dari sebuah"andom Variable 5unction

$ika terdapat sebuah unction dari

sebuah random variable yangberbentuk

I(g+6

Maka persoalan>nya adalahmenemukan #D5 I+y dari I ketika #D5 *+* dari 6 diketahui.



3eknik umum memecahkan masalahpada slides sebelumnya memiliki <tahap:

&. 3ulis kejadian +I;y dengan kejadianyang melibatkan variable 6

'. 3emukan 5 I+y

<. Dierensiasikan 5 I+y untukmendapatkan I+y, dan tentukanlingkup denisi nya.



3etapi ada beberapa unction yang bisadipecahkan dengan langsung, salah satu nyadapat ditemukan pada continuous monotonicunction.

Asumsikan bah0a g merupakan monotonicallyincreasing unction dari * dengan inverse unikg>&+y. 7etika I(y, 6(*( g>&+y, didapat:

#+I;y(#86; g>&+y.9

Maka,5 I+y(568g>&+y9(



Mendierensiasikan persamaansebelumnya dan menggunakan g>&(g>

&+y, bisa didapat persamaan untukdensity unction dari I:

$ika ungsi g monotonically decreasing,

maka kejadian +I;y berhubungandengan +6Wg>&+y, menunjukan bah0a

5 I+y(&>56+g>&



Dari persamaan diatas, maka bisadidapat pula

3etapi, karena g monotonicallydecreasing,

dg>&Fdy adalah negati, dan persamaandiatas bisa digabung menjadi:



• 5unction dari 4ivariate "andom Variable7onsep sebelumnya bisa juga diterapkanpada masalah multiple random variate.

$ika:X(g+6, I

merupakan sebuah unction dari ' variable6 dan I yang inverse uniknya adalah *(g>

&+N,y atau y(g>&+*,N, maka kejadian +X;Nberarti bah0a +g+6,I;N, sehingga:



dimana g>&(g>&+N,y. Merubah variable integrasidari * ke N, maka didapat:

jadi #D5 dari X adalah:

alternatinya, mengambil g>&(g>&+*,N, maka:

Appro*imasi dari distribusi dan



Appro*imasi dari distribusi danMoments

• Appro*imasi dari Distribusi 4inomialdan #oisson

Distribusi probability binomial memiliki

banyak guna dalam engineering,tetapi probability seperti

sulit dihitung jika n dan k memiliki nilaiyang cukup besar.



3etapi, I bisa di appro*imasi denganmenggunakan normal distribution+menggunakan teori central limit

dengan mean ?(np dan standarddeviation (Y+np. Maka:



Mengingat nilai yang di appro*imasimerupakan discrete density denganmenggunakan continuous density,

maka akan lebih akurat jika /.Zditambahkan ke b dan /.Z diambildari a, sehingga



3eori central limit juga bisadigunakan pada distribusi #oisson,dimana

I(6&[6'[)[6n, %+6i(GFn(Var+6i-ehingga, menggunakan teoritersebut, didapat:



-ama seperti binomial, akan lebihakurat jika k pada persamaan disebelah kanan ditambahkan dengan

/.Z. #enambahan ini akanmeningkatkan appro*imasi semakintinggi G, seperti pada GW'/.

sedangkan jika G kecil, maka akanlebih baik jika menggunakan:



• Appro*imasi Mean dan Variance darieneral 5unction

Anggap sebuah random variable

I(g+6, dimana 6 merupakan randomvariable dan g sebuah continuousunction. 7embangkan g+6

menggunkan seri 3aylor sekitar nilaimean ?6 nya, dan ambil hanya linearterm nya:



Dengan demikian, diketahui juga bah0a

dan

5ormula diatas akan memberikanappro*imasi yang tepat jika unction gadalah linear. #ada kasus nonlinear,

appro*imasi yang baik bisa didapat daripersamaan ini jika variance dari 6 kecildibanding dengan g+?6>nya



-edangkan appro*imasi mean nyabisa didapat hanya denganpengetahuan dari dua moments

pertama dari 6 seperti berikut:

eneralisasi 5unctions dari



4eberapa "andom Variable

• -ingle 5unction dari 4eberapaVariable

$ika I(g+6&, 6', ), 6n, maka

dimana g>&(g>&+y,*',),*n

5ungsi distribusi kumulati dari Imenjadi:



-edangkan appro*imasi mean danvariance dari I didapat denganmengembangkan g menjadi seri 3aylor

sekitar ?6&, ?6', ), ?6n dan mengambilhanya term linear>nya, maka:



-edangkan untuk Mean:

dan Variance:

dimana ci dan c j adalah nilai daripartial derivative dgFd6i dan dgFd6 j.



Untuk mendapatkan apro*imasi yanglebih baik, bisa juga digunakansecond order term dari seri 3aylor,

sehingga didapat:



• 5ungsi VectorAnggap beberapa variabel acak yangindependen 6&, 6', ), 6n di>transorm

menjadi vector acak I&, I', ), In denganrelasi sbb.

Ii(gi+6&,6',),6n, i(&,',),n

#D5 gabungan yang diberikan adalah+6&,6',),6n, 6&6')6n+6&,),6n dan akan di>

ubah menjadi +I&,I',),In, I& I')In+I&,),In.



-eperti hal>nya pada single variabel,perhatian hanya ditujukan padatransormasi dari gi yang continuous dan

one>to>one, yaitu satu titik pada 6mengambil tepat satu titik pada I'.Dengan asumsi ini, maka dapatditunjukkan bah0a terdapat transormasi

inverse hi, i(&,),n, sehingga6i(hi+I&,I',),In i(&,),n



-ehingga persamaan akan menjadi: I& I')In+I&,),In( 6&6')6n+h&+y&,y',),yn,), hn+y&,y',

),yn* 1$+y&,),yn1

3erm yang berada didalam tanda mutlakbernama $acobian dari transormasi dan dapatdiungkapkan sebagai determinan



-ehingga untuk mendapatkan I& I')

In+I&,),In , nilai mutlak dari

determinan harus didapatkan dan

dikalikan dengan density dari vector6 yang dievaluasi pada +h&+y&,y',),yn,), hn+y&,y',),yn



• Distribusi Eilai %kstrimEilai ekstrim dari variabel acak telah menjadiperhatian perancang jalur transmisi, hal' sepertisuhu udara tertinggi, arus tenaga maksimum yangdiantisipasi, dll merupakan beberapa contoh

perhitungan yang harus dipertimbangkanmatang'.@al yang perlu dicari adalah perhitungankemungkinan kejadian \tidak melebihi angkamaksimum dan minimum]>nya. Untuk menghitung

kemungkinan ini, sebuah sample variabel acakberukuran n diambil, dan dicatat nilai ekstrimpada tiap sample tersebut.



• 3ipe 2: Distribusi Eilai %kstrim AsymptoticAnggap 6&, 6', ), 6n sebagai variabelacak sample yang diambil dari sebuahpopulasi variabel acak 6 dengan distribusiprobability yang diketahui. Eilai palingrendah dan paling tingginya adalah:

I&(min+6&, 6', ), 6n

dan In(ma*+6&, 6', ), 6n



7arena event În ; y_ berarti juga^6i ; y_ untuk semua i, maka:

5 In+y(#+6&;y, 6' ;y,),6n ;y(856+y9n

Dengan men>dièrensiasi>kanpersamaan diatas, maka:

In

+y(n 6+y856+y9n>&



Distribusi dari nilai ter>kecil didalam ukuransampel n juga diperoleh dengan cara yangserupa, sehingga:

&>5 In+y(#+6&y#+6'y)#+6ny(8&>56+y9n

dimana bisa juga dilihat bah0a:

5 In+y(&>8&>56+y9n

dan In+y(n 6+y8&>56+y9n>&



Distribusi probability yang pasti bergantung padadistribusi pendahulunya +distribusi 6. Untukbeberapa distribusi, ketika n bertambah, distribusinilai ekstrim>nya mendekatai secara asymptotisbeberapa kelas dari ungsi tertentu yang dikenal

dengan distribusi nilai ekstrim asymptotic. 3erutama jika distribusi pendahulunya merupakantipe eksponensial, dimana distribusi nilai ter>tingginya memiliki bentuk:

5 In+y(e*p8>e>Ln+y>un

9dimana un dan Ln adalah lokasi dan skalaparameternya.



5ungsi probability density yangberkaitan nya adalah

In+y(Lne>Ln+y>une*p8>e>Ln+y>un9

distribusi yang mirip juga berlakuuntuk nilai ekstrim paling kecil>nya:

5 I&+y(&>e*p8>e>L&+y>u&9

dan #D5 nya adalah:

I&+y(L&e>L&+y>u&e*p8>e>L&+y>u&9



3ipe 2 distribusi ekstrim bagian atas inimemiliki mode, mean, dan variance sbb:

Im ( un

In ( un [ +/.Z'' F Ln

' In ( ' F L'n

#arameter un dan Ln bergantung padaukuran sample n dan berhubungan dengandistribusi pendahulunya sebagai berikut:

56+un ( &>&Fndan

Ln ( n 6+un



Moments dari tipe 2 distribusi nilaiekstrim bagian ba0ah diberikan oleh:

I& ( u& [ +/.Z'' F L&

' I& ( ' F L'&

dan parameternya didapat dari

56+u& ( &Fn

danL& ( n 6+u&



• Distribusi Eilai %kstrim Asymptotic lain>nya 3ipe 2 diambil dengan asumsi bah0a distribusi asalmemiliki ekor yang menurun secara eksponentialkearah ekstrim. $ika distribusi tersebut menurundengan ekor polynomial, maka nilai ekstrim akan

berubah menjadi asymptotic 3ipe 22, dan untuk nilaitertingginya, CD5 nya adalah:5 In+y(e*p8>+VnFyk9

dan #D5 nya:

dimana Vn dan k adalah lokasi dan parameterbentuk, dengan &Fk sebagai measure o dispersion.



vn diartikan sama seperti unP yaitu untukvariate a0al 6:

56+vn(&>&Fn

Dan juga, vn sama dengan mode dari In

CD5 3ipe 22 untuk nilai ter>kecil diberikanoleh:

5 I+y(&>e*p8>+v&Fyk9

Dan #D5>nya adalah:



$ika In memiliki distribusi asymptotic 3ipe 22 dengan parameter vn dan k,maka distribusi dari ln In akan

memiliki bentuk asymptotic 3ipe 2dengan parameter:

un ( ln vn dan Ln ( k



$ika nilai ekstrim memiliki batasan atas+ dan ba0ah +f, maka distribusi akanberubah menjadi 3ipe 222. Untuk nilai ter>tinggi>nya, CD5 dari asymptotic 3ipe 222

adalah:

dan #D5>nya:

dimana parameter 0n adalah parameterlokasi yang didenisikan oleh:56+0n(&>&Fn



Untuk nilai ter>kecil dari 3ipe 222,distribusinya adalah:

dengan #D5:

dimana 0& merupakan parameterlokasi didenisikan dengan:

56+0&(&Fn



PROSES STOCHASTIC

7onsep Dasar



7onsep Dasar

• #roses stochastic merupakan sebuah kumpulanvariable acak yang di>inde*>kan menggunakansebuah parameter seperti 0aktu atau tempat.

• -ebagai contoh, sebuah kabel listrik ba0ahtanah ditanam didalam pipa besi. Hapisan pipa

besi tersebut mungkin saja rusak, dan berkaratpada lokasi tersebut. Dengan membagi panjangpipa menjadi m>bagian yang sama panjang+anggap &/m, maka kondisi pipa pada lokasi ibisa dibilang baik +6i(/, tidak ada kerusakan

lapisan, lapisan rusak tapi pipa tidak berkarat+6i(&, atau pipa berkarat +6i('. Variable acak6i, i(&,),m, membentuk sebuah prosesstokastik.



• Contoh pertanyaan yang mungkin ditanyakanketika meneliti sebuah proses stochasticadalah, sebagai contoh, Distribusi probabilityseperti apa yang dimiliki oleh variable bebas

6n, 4erapa rata'

jumlah kejadian sebuahsistim akan mengalami sebuah keadaantertentu, dll. #ada contoh kasus yangdiberikan sebelumnya, pertanyaan bisaberupa: 4erapa kemungkinan pipa akan

berkarat pada interval tertentu, atau beraparata' panjang dari lapisan pipa yang tidakrusak

#roses Markov



#roses Markov

• #robability transisi, pada umumnya,bergantung pada proses realisasisebelumnya. $ika keadaan masa depan>nyadiatur hanya oleh keadaan sistim pada saat

ini, maka proses tersebut disebut sebagaiproses Markov.

#+6n(*n16/(*/,6&(*&,),6n>&(*n>& (

#+6n(*n16n>&(*n>&

$ika ruang lingkup>nya countable atau setyang nite, maka proses tersebut disebutsebagai Markov chain.



• Discrete>#arameter Markov ChainUntuk discrete>parameter Markov chain,probability transisi dari keadaan i pada0aktu tm menjadi keadaan j pada 0aktu tn

ditulis sebagai:pi,j+m,n(#+6n(j16m(i, n m

$ika probability pi,j+m,n bergantung hanyapada perbedaan tn>tm, maka proses

Markov disebut sebagai homogeneous,pada kasus ini, maka denisinya menjadi:pi,j+k(#+6k(j16/(i(#+6k[s(j16s(i, s W /



-tate #robability#ada aplikasi praktikal>nya, perhatianbiasanya diokuskan pada distribusikemungkinan dari 6n, dengan keadaana0al sistim yang diketahui. 7eadaan a0altersebut didenisikan oleh sebuah vektorkemungkinan baris a0al

#+/(8p&+/,p'+/,),pm+/9Dimana pi+/ merupakan kemungkinansistim berada pada keadaan a0al i.



#ada keadaan khusus dimana keadaana0al sistim diketahui +contohnya padakeadaan i, pi+/(&./ dan pk+/(/ untukki. setelah satu transisi, kemungkinan

sistim berada pada keadaan j diberikanoleh theorem total probability sebagai

sehingga



#ada notasi matri*, single>stagestate probability nya menjadi

#+&(#+/#

Menggunakan theorem totalprobability pada transisi tahap ke>'dan seterusnya, maka diperoleh

#+n(#+n>&#(#+/#n



-tate probability setelah transisi tahap n

dapati ditentukan secara alternati denganmenggunakan theorem total probability,dengan beranggapan bah0a sebelum prosesmencapai status j, proses tersebut harus

sudah memasuki keadaan k setelah stahapan, yaitu:

dikenal dengan persamaan Chapman>7olmogorov



#ada kasus Markus chain dua state, sebuahekspresi yang tertutup dapat diambil untukvector #+n. Dengan memberikan angka /dan & pada kedua state tersebut, matri*probability transisi nya dapat ditulissebagai:

matri* probability transisi tahap yang ke>n,#n, adalah # pangkat n, dan dapat

ditunjukkan dengan induksi matematik:



$ika distribusi a0al>nya merupakan#+/(8L,&>L9, maka



#ada banyak aplikasi, seringkali probabiliysteady>state dari keadaan sistim ingindiketahui, yaitu kemungkinan yangdidenisikan dengan:

#robability steady>state terdapat dalamkebanyakan kasus dimana jumlah keadaan

dalam lingkup state>nya terbatas. $ikaprobability ini e*ist, maka Markov chaindisebut sebagai ergodic.



#ada kondisi steady>state, maka:#+n(#+n>&(#T

dimana vector baris #T adalah vector

kemungkinan steady>state, dan juga#+n(#+n>&#

sehingga

#T(#T#



Dengan mudah didapat bah0apersamaan sebelumnya memiliki &derajat bebas, sehingga sebuah

persamaan diperlukan untukmemecahkan vector #T, yaitu

Untuk Markov chain '>state,probability steady>state>nya dapatdiperoleh dengan:



•5irst #assage 3imes dan Mean "ecurrence 3imes5irst #assage 3imes merupakan parameter yangdigunakan untuk mencari berapa jumlah transisiyang harus dilalui sebelum sistim sampai padasebuah keadaan j untuk pertama kalinya.

Absorbing state merupakan keadaan dimana jikasudah tercapai, maka sistim tidak bisa bergantikeadaan kembali, seperti karet yang telah hilang ke>elastisitasan>nya oleh karena 0aktu tidak dapatkembali elastis.-edangkan recurrent state, adalah kondisi dimana

jika sebuah sistim telah mengalami keadaan i, makapasti sistim tersebut akan kembali mengalamikeadaan i tersebut pada masa yang akan datang.



$ika diasumsikan bah0a recurrent state darisebuah sistim s>state diberi angka & sampai r, danr;s, maka matri* probability transisi>nya menjadi:

dimana 3 adalah matri* r * r dengan kemungkinantransisi diantara recurrent state dari element'nyaP merupakan matri* +s>r * +s>r dengansetidaknya & baris memiliki jumlah kurang dari &Pdan " merupakan matri* +s>r * r yang elementnya

merupakan kemungkinan transisi satu langkah darikeadaan transien +m>r ke keadaan recurrent r



$ika:

maka jumlah rata' proses tersebut

mengalami keadaan j sebelummemasuki recurrent state adalah:

yang memberikan:



$ika E merupakan matri* yang terdiridari ni,j, maka persamaan sebelumnyabisa ditulis dengan bentuk compact:

E(2[Emaka

E(+2>>&

Mati* E disebut matri* undamentaldari Markov chain, dan 2 merupakanmatri* identitas r * r



Variable random Ei,j memberikan jumlah kunjungan pada keadaantransient j sebelum memasuki

recurrent state. $ika jumlah totaltransisi yang dialami pada keadaantransient sebelum memasuki recurrentstate yang dicari, maka variable yang

harus dilihat adalah Mi( jrEi,j dengannilai yang diharapkan:



• Continuous>#arameter Markov ChainUntuk sebuah Markov chain yanghomogeneous, kemungkinan transisi

dari sistim dari keadaan j ke keadaank pada jangka 0aktu t diberikandengan probability conditional:

p j,k+t(#86+t[s(k16+s(j9(#86+t(k16+/(j9



Maka persamaan Chapman>7olmogorov sekarang dapat ditulissebagai:



Dalam jangka 0aktu t, kemungkinansebuah sistim berubah dari keadaan kke keadaan j diberikan oleh:

#86+t[ t(j16+t(k9(pk,j+tGk,j t

#86+t[ t(k16+t(k9(pk,k+t&>Gk tDengan mensubstitusikan persamaanini pada persamaan sebelumnya, maka:

atau



Mengambil limit t/, maka

dan dalam notasi matri*, maka persamaan

diatas dapat ditulis juga sebagai

dimana p+t(8p j+t9 merupakan vector baris dandimana A merupakan matri* dari intensitas

transisi yang ditulis sebagai:



#ersamaan dp+tFdt(p+tA merupakanpersamaan matri* dièrential, dansolusinya analogous terhadap

persamaan dierensial biasa yangmemiliki bentuk yang sama. -olusinyadiberikan oleh

#+t(p+/ e*p+At

dimana e*p+At didenisikan sebagai

%*p+At(2[At[A't'F'[)



$ika t besar, kondisi steady>statepada state probability>nya mungkintelah tercapai, sehingga

dp j+tFdt(/Dan karena p j+t(p jT, makapersamaan dp+tFdt(p+tA dapat

dikurangi lagi menjadi/(pTA



"ate transisi pada proses homogeneousMarkov adalah konstan. Mengasumsikanbah0a proses tersebut sekarang berada padakeadaan k pada 0aktu t, maka keadaan>nyabisa tetap tidak berubah selama interval t,atau berpindah ke keadaan j. Maka

dan dapat juga didapat bah0a

#roses #oisson



• #roses #oissonAnggap 6+t melambangkan jumlahterjadinya sebuah kejadian dalam

suatu 0aktu +/,t9. 2ni merupakansebuah proses continuous>parameter, discrete>space, dan

stochastic. Denisikan, untuk *=t#i,j+s,t(#86+t(j16+s(i9



Hebih jauh lagi, anggap kejadian terjadidalam kondisi sbb:&. 7ejadian yang terjadi dalam interval 0aktu

yang tidak bertumpuk>kan saling independensatu dengan lain>nya

'. Untuk t yang cukup kecil, terdapat G yangkonstan sehingga kemungkinan terjadinyakejadian tersebut dalam interval +t,t[ t9adalah sbb.

&. 7emungkinan keberangkatan ke tahap berikut dapat

diperkirakan dengan Gt > yaitu, #i,i[&+t,t[t Gt'. 7emungkinan keberangkatan didalam t yangberjumlah dua atau lebih adalah nol yaitu#i,i+t,t[t &>Gt



Anggap #n+t(#86+t(n16+/(/9. Dariasumsi '.' diatas, maka

#/+t[t #/+t+&>Gt

Dimana pada sisi kanan persamaan,kemungkinan tidak terjadinyakejadian sebelum t dan selama t

mengalami perkalian. -ehingga#&+t[t #/+tGt[#&+t+&>Gt



Dimana term pertama yang beradapada sebelah kanan merupakankemungkinan tidak terjadinya

kejadian sebelum t dan & kejadianpada t, dan term ke>dua>nyamerupakan kemungkinan & kejadiansebelum t dan tidak ada kejadian

selama t. #ada umumnya,#n+t[t #n>&+tGt[#n+t+&>Gt



4erdasarkan pada asumsi '.'sebelumnya, kemungkinan terjadinyadua atau lebih kejadian pada interval

t adalah nolP maka, term yangmemiliki derajat Gt lebih tinggi padapersamaan umum diatas diabaikan.Dan set dierensiasi linear berikutdapat diambil:



Dengan mengasumsikan bah0akondisi a0al #/+/(& dan #k+/(/,k(&,',), maka

Untuk interval +/,t9, sehingga jumlahkejadian yang terjadi pada interval

tersebut memiliki distribusi #oisson.



$ika a0al observasi tidak bermulapada t(/ dan 6+/(/, tetapi dibuatpada s, s/, pada 0aktu 6+s(2,

maka dengan mengartikan asal0aktu>nya, dapat ditunjuk>kanbah0a kemungkinan dari kejadian +n>i selama sisa 0aktu +t>s adalah



#roses #oisson memiliki beberapa siatpenting yang berguna pada aplikasi praktikal.#ertama, akan ditunjukkan distribusikemungkinan dari 0aktu diantara ' kejadian

yang berturut' pada proses #oisson adalahe*ponential.

Anggap Xn(tn>tn>& +n(&,',). X&, X', ) adalahvariabel random yang melambangkan interval

0aktu antara dua kejadian yang berturut' +0aktu inter>occurrence dari kejadian #oisson.



7arena diasumsikan bah0a kejadian pada proses#oisson adalah independen, kejadian yang terjadisetelah tn adalah independen dari kejadian yangterjadi sebelum tn, maka menunjukkan bah0a^Xn_ merupakan variabel random. leh karena

itu, untuk /, dua kejadian+Xn dan +6+tn>&[ >6+tn>&(/adalah sama, maka#+Xn (#86+tn>&[ >6+tn>&(/9(#86+(/9(e>G

dan 5Xn+(&> e>G

menunjukkan bah0a 0aktu interoccurrencebenar terdistibusi secara e*ponential



-alah satu siat proses #oisson yang lainbermanaat sehubungan dengan distribusi dari0aktu kejadian dari sejumlah event. Anggap -n melambangkan 0aktu tunggu hingga kejadian

ke>n pada sebuah kejadian #oisson. Maka,-n(X&[X'[)[Xn

dimana ^Xi_+i(&,),n merupakan variabelrandom yang independen dan terdistribusi

secara identik, setiap>nya memiliki distribusie*ponential.



5ungsi kerapatan probability dari Xn adalah convolution lipat ke>n yangdiberikan oleh persamaan

2ni merupakan #D5 gamma dengan

parameter n dan G.

"ene0al #rocess



• "ene0al #rocess adalah proses ketikasebuah kejadian tertentu terjadi, danE+t menghitung jumlah rene0al

tersebut dalam +/,t9. -ebagai contoh,pergantian insulator yang rusak.

7etika men>denisi>kan proses

rene0al, ada baiknya beberapa halditentukan terlebih dahulu.



&. Distribusi dari E+t'. $umlah rene0al yang diperkirakan dalam

0aktu t, atau %8E+t9, ketika parameter0aktunya continuous. %8E+t9 juga dikenal

dengan rene0al unction dan didenotasikanoleh @+t.

<. 7erapatan probability atau probability massunction yang berhubungan dengan

rene0al pada sebuah titik 0aktu tertentu.S. aktu yang dibutuhkan oleh sejumlah

kejadian untuk terjadi.



•

7emungkinan yang berhubungan dengan "ene0al#rocess

Anggap beberapa titik pada 0aktu t/, t&, )+dimana ti[&ti dimana pergantian terjadi.

3entukan sebuah set variabel random 3i sehingga

3i(ti>ti>&, i(&, ', ). Dan diasumsikan bah0a semua 3i memiliki distribusi yang identik dengan CD55+t, #D5 +t, rata' , dan varians '. aktu ketikapergantian terjadi diberikan oleh partial sum sbb:

-/(/, -&(3&,),-r(3&[3'[)[3r

Dimana -r merupakan 0aktu sampai pergantianke>r



$umlah pergantian pada interval +/,t9diberikan oleh variabel random 3i:



Variabel random -E+t memberikan 0aktudari pergantian terakhir, yang terjadi tidaklebih lama dari t. -ama juga dengan -E+t[& merupakan 0aktu pergantian pertama,yang tidak terjadi lebih lama dari t.

Untuk setiap t, bisa didenisikan variablerandom>nya:

I+t(t>-E+t

X+t(-E+t[&>t

I+t sering disebut juga sebagai umur, danX+t sebagai jangka hidup residual pada0aktu t.



•

aktu hingga pergantian ke>rUntuk menentukan distribusi -r+t,dikarenakan -r+t merupakan jumlah darivariabel random yang terdistribusisecara independen, dan CD5>nyamerupakan convolution dari 3i+t untuki(&,',),r, maka:

5-r+t(#+-r;t(5+tT)T5+t(5+r

+tDimana 5+tT)T5+t berjumlah r>kali, danT melambangkan operasi convolution



#D5 dari -r dapat juga ditulis sebagai

dimana -r>&+ merupakan

convolution berlipat +r>& dari +dengan dirinya sendiri.



Untuk melakukan derivasi analitikalpada #D5 dari -r melalui integralconvolution bukanlah hal yang

mudah. -atu kemungkinan untukmelakukan manipulasi angka adalahpada komputer, dan cara lain adalahdengan menggunakan transormasiHaplace.



$ika transormasi Haplace dari -r+tadalah sT+s, maka transormasiHaplace dari ungsi 6+* adalah

maka



7arena semua 3i memiliki #D5 yangsama, maka derivasi sebelumnyamengarah pada

T-r+s(8T+s9r

Dimana T+s adalah transormasiHaplace dari +t.



"ene0al 5unction dan "ene0al Density7ejadian Ê+t=r_, rW&, identik dengankejadian ^-rt_. Maka:

#8E+t=r9(#+-rt(&>5-r +tdan dari sini didapatkan:

#8E+t(r9(5-r+t>5-r[&+t

dengan 5-/+t(& sesuai denisi



-alah satu hal yang penting dariproses rene0al E+t diekspresikandalam bentuk Ha0 o Harge Eumbers,yang mendenisikan

@al yang menarik banyak aplikasi dariproses rene0al adalah e*pected valuedari E+t, atau yang dikenal sebagaiungsi rene0al @+t



Dengan mengembangkan sisi kanan daripersamaan, maka:

Dan dengan menggunakan transormasiHaplace pada kedua sisi, maka:

dan @+t lalu didapatkan denganmenggunakan invert dari persamaandiatas.



#ada kasus T-r+s, @T+s hanya bisa diinvert pada kasus' sederhana, jika tmemiliki nilai yang besar +cenderung

innity, maka:

dimana ? dan ' adalah mean danvariance dari +t



Distribusi probability untuk I+t +umur pada0aktu t dan X+t +umur residual pada 0aktu t $ika pembaharuan belum terjadi pada saat+/,t9, maka

#8-+t(t9(&>5+tAnggap I+* +/=*=t adalah #D5 dari I+t. $ika*=t, maka pembaharuan harus terjadi pada t>*, dan pembaharuan terakhir semestinyasedemikian rupa sehingga melebihi t.7emungkinan ini mengarah pada hubungan:

It+*(R+t>*8&>5+*9, t*



Dan seiring tO, R+t>*&F?, sehingga

Argumen yang sama bisa digunakan untuk

sampai pada ungsi kerapatan dari umurresidual proses tersebut yaitu, umur hinggapembaharuan berikut diukur dari 0aktu t.Anggap +/;=t sebagai titik pembaharuanterakhir. $ika (/, maka Xt+*(+t[*. $ika tidak,

periode pembaharuan terakhirnya sedemikianrupa sehingga kerapatan probabilitynyadiberikan oleh +t>[*



Menggunakan argumen diatas, maka

dan seiring tO,

$adi, seiring tO, umur dan umurresidual dari proses memiliki ungsi

kerapatan probability yang sama.



•

#roses pembaharuan alternating#roses pembaharuan yang telah dibahasmenganggap bah0a pembaharuan terjadisecara langsungP pada banyak aplikasi,

pergantian atau perbaikan peralatan yangrusak memakan 0aktu. Durasipembaharuan ini biasanya merupakanvariable random. #ada kasus seperti ini,

proses pembaharuan alternating bisadigunakan dimana proses terdiri dari duaperiode yang saling bergantian



' periode yang saling bergantian, 3i!dan 3i]



Anggap #D5 dari 3i! adalah &+t, dan 3i]adalah '+t. Menganggap 3i! terjadi dahulu,maka pembaharuan berikut terjadi pada0aktu +3&![3'], 8+3&![3&][ +3'![3']9, dan

selanjutnya. Dan dengan menganggapbah0a 3i! dan 3i] independen secarastatistik, maka #D5 dari 3 adalahconvolution dari 3

&+t dan 3

'+t. Dan

transormasi Haplace 3+t adalah 3T+s( &T+s 'T+s.



Dengan melihat pernyataan' diatas, maka bisadidapat bah0a

Dan jika proses pertama merupakan satu'nyayang penting, maka bisa ditunjukkan bah0a

3ransormasi dari kerapatan pembaharuan nyaadalah

R&T+s(s@&T+s dan R'T+s(s@'T+s



Dalam menganalisa proses alternating,mungkin juga untuk mencari berapakemungkinan kejadian pada 0aktu tdimasa yang akan datang jatuh pada

tipe & atau tipe ', yang dilambangkandengan B atau \ pada diagramsebelumnya.

$ika probability ini adalah &+t dan '+t,karena tentu saja &+t [ '+t ( &, makacukup menghitung salah satu saja.



$ika mencari &+t, maka ini adalah jumlahdari kemungkinan bah0a 3&!t danbah0a kejadian ke>' terjadi pada =tdan 3i! selanjutnya melebihi +t>. Maka,

Dan transormasi Haplace>nya adalah



7arena R'T(s@'T+s, maka

dan karena &T+s(@&T+s[&Fs, jadi

&+t(@'+t>@&+t[&

pemelihaaraan dan operasi peralatan listrik

Documents