pembuktian teorema pythagoras

Bismilaah….Assalamualaikum Wr. Wb.

Seminar Pendidikan MatematikaPembuktian

Teorema Pythagoras

Oleh

Arief Indrawan

053832

Pythagoras Of Samons(570 – 471 SM)

Pernah berguru pada;

•Pherecydes

•Anaximander (Phylosop dan Astronom)

•Thales of Melitus (Philosop dan Matematikawan)

Pergi ke Mesir 547 SM (23 tahun)

Pulang saat berusia 55 tahun

Membuka sekolah di Corton

Bergerak dalam bidang;

Matematika, Musik dan Astronomi

Teorema Pythagoras

Cina

Orang – orang mesir sudah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3, 4 dan 5 adalah segitiga siku - siku

Tschou-Gun (1100 SM) mengetahui tentang karakteristik pada segitiga siku-siku

Babilonia dan CaldeanTelah mengetahui teorema ini beratus-ratus tahun sebelum pythagoras hidup. Terbukti pada tablet Babilonia dari tanah liat yang menunjukan ciri-ciri dari segitiga siku-siku

Mesir

Materi PrasyaratSudut – sudut Konkruen

1 dan 3, 2 dan 4 sudut-sudut bertolak belakang

1 dan 5, 2 dan 6 sudut-sudut sehadap

5 dan 3, 4 dan 6 sudut-sudut dalam bersebrangan

segitiga

Jumlah sudut-sudut segitiga 1800

Aksioma kekonkruenan

Kesebangunan segitiga

A

B

D

C

D midpoint AC

ACD dan CBD sama kaki

Lingkaran

Hukum Kekekalan Luas

•Sifat-sifat Lingkaran

•Lingkaran Dalam segitiga

A B

C

D

E

F

O

a

b

r

b-r

a-r

a-r

b-r

r

r

CEO dan CFO konkruen

BDO dan BFO konkruen

)(2

1cbar

CB = c = a + b – 2r

Pembuktian Teorema Pythagoras

L.ABC = 2L.BFO + 2L.CEO + L.ADOE=r(a - r) + r(b – r) + r2

=ar – r2 + rb – r2 + r2

= r(a + b – r)

L.ABC = r(a + b – (½(a + b – c) )L.ABC = r (½(a + b + c))

L.ABC = ½(a + b – c) x ½(a + b + c)

L.ABC = ½ ab

½(a + b – c) x ½(a + b + c) = ½ ab((a + b)- c) (a + b + c) = 2ab

(a+b)2 – c2 = 2aba2 +b2 = c2

Subtitusikan )(2

1cbar

AB

C

D

E

F

ab

c L

BCL dan BCA sebangun

c

aBL

2

DAE dan FAB sebangun

BFC = FBC = 450

Misal CAB = BCL = LCE = x0

BCE = 2x0

DCE = 90 – 2x0

CDE = CED = 450 + x0

ADE = 1800 – (450 + x)

AED = 1800 – (x0 + 1800 – (450 + x0)AED = 450

Berarti,AED = CFBFAB =FAB

ADE dan AFB sebangun

Pembuktian Teorema Pythagoras

AF

AB

AE

AD

c

aBL

2

L

AD x AF = AE x AB(b – a)(b + a) = c (c - 2BL)

b2 - a2 = c (c - 2 )

b2 + a2 = c2c

a2

AB

C

D E

a

b

c

b

b

CBD dan CBE sebangun

Karena sebangun maka;

BC

BD

BE

BC

BC2 = BD x BE

a2 = (c - b)(c + b)

a2 = c2 – b2

c2 = a2 + b2

Miss AEC = ACE = x0

ADC = y0

X0 + y0 = 900

ACD = 900 – x0

BCD + ACD = 900

BCD = 900 – ACDBCD = 900 – (900 – x0) = x0

Karena CBD = CBEBCD = CEB

MakaBCD sebangun dengan BCE

AB

C

E

F

G

a

a

a

a

b

b

c

c

D

ACD dan AGE sebangunAG

AE

AC

AD

AD x AG = AC x AE

(c – a)(c + a) = b x b

c2 – a2 = b2

c2 = a2 + b2

CBD = AFE = x0

BCD = BDC = 900 – ½x0

DCA = 900 - (900 – ½x0)DCA = ½ x0

EFG = 1800 – x0

FGE = FEG = ½ (1800 – (1800 – x0)FGE = ½ x0

Karena DAC = EAGDCA = AGE

Maka ADC dan AGE sebangun

A

B C

DE

F a

bc

x

y

u

y

c

ABE dan ADE Konkruen

ABC dan BFE sebangun

CDEF Persegi panjang

c

y

b

u

a

x

PROOF

y = a + ux = b + c

c

y

b

u

a

x y = a + u

x = b + csubtitusi

c

au

b

u

a

cb

a

cbbu

)(

aa

cbcu

)(

aa

cbc

a

cbb

)()(b(b + c) = c(b + c) – a2 b2 + bc = bc + c2 – a2

c2 = a2 + b2

A B

C

DE

F

G

H

M

K

L

ab

c

x

y z

ABK dan CBD konkruenBAF dan CAE konkruen

L.ABK = ½ L.BCHKL.CBD = ½ L.BDLM

L.BCHK = L.BDLM = a2

L.ACGE = L.AELM = b2

L.BAF = ½ L.ACGEL.CAE = ½ L.AELM

L.ABDE = L.BDLM + L.AELM c2 = a2 + b2

A B

C

D E

Q

R

M

P

a

b

c

a

b

ABC dan PQC konkruen MR PQ PROOF

422

1.

2bbbMPCL

422

1.

cPRPR

cMPCL

422

1.

2aaaMCQL

422

1.

cQRcQRMCQL

b2 = cPRa2 = cQR

a2 + b2 = c(PR + QR)a2 + b2 = c(c)a2 + b2 = c2

AB

CD

E

F

a

bc

ab/c

aa/c

bb/c

ab/c

a

b

BE & AE

AF & CF

Apakah BCEF merupakan persegi

panjang ????

Pembuktian teorema phytagoras

L.FCEBD = L.BCFE + L.BCD

2)(

2 ab

c

ab

c

b

c

a

2)( 22

2

abba

c

ab

L.FCEBD = L.ABCD + L.ABE + L.ACF

2

2

2

2

22 c

abb

c

abaab

)(2

222

bac

abab

)(22

)( 222

222

bac

abab

abba

c

ab a2 + b2 = c2