Předmět studia klasické fyziky mechanika, termodynamika, elektrodynamika, optika klasická fyzika teoretická fyzika experimentální fyzika teorie relativity statistická fyzika kvantová fyzika moderní fyzika
Předmět studia klasické fyziky
mechanika,termodynamika,elektrodynamika,optika
klasickáfyzika
teoretickáfyzika
experimentálnífyzika
teorie relativity
statistickáfyzika
kvantováfyzika
modernífyzika
Předmět studia klasické fyzikyFyzika obecně zkoumá strukturu hmoty a její zákony, a chování „přírody“ se snaží kvantitativně popsatpomocí vhodných fyzikálních modelů.
používá induktivní i deduktivní přístup
teoretická formulacezákonů a poznatků
experiment
matematickýaparát
ověření teoretických modelů
vyvození nových poznatků
empirické zákony
pokus o vytvořeníodpovídajícího teoretického
modelu
Rozdělení fyzikálních přístupů
Makroskopický přístup(nepřihlíží k mikrostruktuře látek ani k interakcím mikročástic – klasická fyzika)
Mikroskopický přístup(zkoumá vnitřní strukturu látek a fyzikální jevy na základě vlastností mikrofyzikálních částic – kvantová, jaderná, atomová fyzika, molekulová fyzika, fyzika pevných látek)
Fyzikální veličiny a poleFyzikální veličina – je určena rozměrem (jednotkami) a velikostí, např.délka L = 13 m.
Skalární veličina – vyjádřena jedním číslem (např. teplota, tlak, objem, hmotnost,energie,…)
Vektorová veličina – vyjádřena velikostí a směrem (např.rychlost, síla, …) – obecně 3 složky
prostorové rozložení určité fyzikální veličiny lze nazvat fyzikálním polem (např. silové, vlhkostní, teplotní, tlakové pole,…)
Mezinárodní SI soustava
délka [m]
hmotnost [kg]
čas [s]
elektrický proud [A]
teplota [K]
látkové množství [mol]
svítivost [cd]
Fyzikální veličiny a pole
Skalární pole – popsáno skalární veličinou v prostoru (např. teplotnípole)
Vektorové pole - popsáno vektorovou veličinou v prostoru (např. pole rychlosti proudění)
Homogenní pole – fyzikální veličina se v prostoru nemění
Stacionární pole – veličina nezávisí na čase
Typy fyzikálních polí:
Typy fyzikálních prostředí:
Homogenní prostředí – prostředí, jehož vlastnosti jsou stejné ve všech místech
Izotropní prostředí – prostředí, jehož fyzikální vlastnosti jsou stejnéve všech směrech, tj. nezávisí na směru
Základy vektorového počtukartézská soustava souřadná (pravoúhlá, pravotočivá)
• vektor je popsán svými třemi průměty ax, ay, az do souřadných osa ortogonálními vektory báze
)0,0,1(=ir
)0,1,0(=jr
)1,0,0(=kr
kajaiaaaaa zyxzyx
rrrr++== ),,(
velikost vektoru: 222zyx aaaa ++=
vektor:vektory báze:
rr
xy
z
α β
γ
ir j
rkr
Polohový vektor:
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
rz
=γcosry
=βcosrx
=αcos
1coscoscos 222 =γ+β+α
Základy vektorového počtu
v praxi existují i jiné (křivočaré) souřadné soustavy (sférické, válcové, eliptické,…)
kzjyixzyxrrrrr
++== ),,(
sférické souřadnice:
rr
xy
z
ϕ
ϑ
ir j
rkr
rz
=ϑcosϕϑ= cossinrx
ϕϑ= sinsinry
ϑ= cosrz ry
=ϕsin
rx
=ϕcos
Základy vektorového počtuSkalární součin dvou vektorů
abba rrrr⋅=⋅
0=⋅⇒⊥ babarrrr
abbaba =⋅⇒⎥⎥rrrr
- výsledkem je číslo (skalár)
( ) ∑=++=ϕ=⋅=k
kkzzyyxxba babababababaS rr
rr cos
Vektorový součin dvou vektorů
( )zyx
zyxbaba
bbbaaakji
nbababac
rrr
rrrrrrrrrr =ϕ==×= sin],[
abba rrrr×−=×
- výsledkem je vektor, kolmý na oba vektory
bababaS rr
rrϕ=×= sinplocha:
bcacrrrr
⊥∧⊥
0rrrrr
=×⇒⎥⎥ babaar
brcr
barrϕban rr
r
Základy vektorového počtuDvojnásobný vektorový součin:
( ) ( ) ( )baccabcbarrrrrrrrr⋅−⋅=××
Smíšený součin vektorů : -při cyklické permutaci vektorů se nemění
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dacbdbcadcbarrrrrrrrrrrr
⋅⋅−⋅⋅=×⋅× ][][
Dále platí identita
( )zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
cba =×⋅rrr ( ) ( ) ( )bacacbcba
rrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅
( ) ( )bcacbarrrrrr
×⋅−=×⋅
Dyadický (tenzorový) součin vektorů :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
bababababababababa
bacrrr- výsledkem je matice
Základy vektorového počtuvelikost oblouku
ϕ= dd Rs
Elementární otočení vektoru kolem osy:
1=cr-jednotkový vektor ve směru osy otáčení:
-otočení o elementární úhel dϕ
-pootočený vektor:
-vektor pootočení:
-změna vektoru:
ϕ==α⋅=×
dd
dd
ddsin)( a
saR
aaaac
rr
r
rrr
)d(d)(d aaacaaaa rrrrrrrrr×ϕ+=ϕ×+=+=′
ϕ⋅=ϕ dd crr
aa rrr×ϕ= dd
o
cr
ara′r
ardϕd
R
α
Základy vektorového počtuOrtogonální transformace souřadnic (rotace):
aa rr T=′zyx TTTT =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ψψψ−ψ=
cossin0sincos0001
xT rotace kolem osy x o úhel ψ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
ϑϑ−
ϑϑ=
cos0sin010
sin0cos
yT rotace kolem osy y o úhel ϑ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ϕϕϕ−ϕ
=1000cossin0sincos
zT rotace kolem osy z o úhel ϕ
Užitečné matematické vztahy...
!2)(
!1)()()( 200
00 xxfxxfxfxxf ∆′′
+∆′
+=∆+Taylorův rozvoj:
ε±=ε± nn 1)1(počítání s malými čísly: 1<<ε
...53
sin53
−α
+α
−α=α
...42
1cos42
−α
+α
−=α
...21
12
+++=xxex
ϕ+ϕ=ϕ sincos ieiEulerův vztah:
Re
Im
1
ϕie
ϕ1−
i
i−
1−=i
Základy vektorového počtuzměna nějaké veličiny Y = f(Xi), která je funkcí N proměnných Xi lze vyjádřit pomocí totálního diferenciálu
ve fyzice často veličiny závisí na jiných veličinách (např.na čase, atd.) a pro změnu vektorové funkce skalárního argumentu platí:
∑= ∂
∂=
N
ii
i
XXfY
1dd
kt
ajt
ai
ta
ta
ta
ta
tta zyxzyx
rrrr
dd
dd
dd)
dd,
dd
,d
d(d
)(d++==
totální diferenciál:
xfxf
dd)( ≡′
derivace
Vyjadřuje lineárnípřírůstek funkce f
zyx akajaita ddd)(drrrr
++=diferenciál vektoru:
Základy vektorového počtuPříklad: (výpočet změny objemu a povrchu válce)
h
r2
VVV ∆+
pokud budou změny rozměrů∆D a ∆h dostatečně malé:
hrV 2π= 222 rrhS π+π=
objem: povrch:
hrrrhhhVr
rVV ∆π+∆π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 22&Změna objemu:
hrrrhhhSr
rSS ∆π+∆π+π=∆
∂∂
+∆∂∂
=∆ 2)42(&Změna povrchu:
Základy vektorového počtuderivace součinu:
[ ]taSa
tStatS
t dd
dd)()(
dd r
rr+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr
+=
[ ]tbab
tatbta
t dd
dd)()(
dd
rrrrrr×+×=×
diferenciál součinu:aata rrr d2])([d 2 ⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ⋅+⋅=
babatbtarrrrrr dd])()([d ×+×=×
umožňuje určit, jak se nám změnívýsledný součin (skalární, vektorový)
při malé (infinitezimální) změnědílčích veličin
Základy vektorového počtuzaveďme nyní zcela zvláštní “vektor”, tzv. Hamiltonův operátor(nabla)
symbolicky též můžeme místo ∇ psát také
dále si zaveďme další symbolický diferenciální operátor, tzv. Laplaceův operátor ∆
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rrr
∇≡rrd
d
jedná se o symbolický diferenciální operátor, který umožňuje zjistit změnu dané
veličiny v závislosti na prostorových souřadnicích x,y,z
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇=∇=∆
Základy vektorového počtuderivace složené vektorové funkce vektorového argumentu:
pokud platí:
potom časová změna veličiny
))(,( tbtarr
),,()d
d,d
d,
dd(
dd
zyxzyx ccc
ta
ta
ta
tac ===r
r
tb
ba
tb
ba
tb
ba
ta
tac z
z
xy
y
xx
x
xxxx ∂
∂∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
==d
d
))(),(),(()()( tztytxtrtb ==rr
avta
tac rr
rrr
⋅∇⋅+∂∂
== )(dd
),( rta rr
jedná se o častý praktický případ, kdy nám veličina závisí na poloze a čase, např. rychlost, teplota,…t
rvddrr
=
atb
ta
tac r
rrrr
⋅∇⋅+∂∂
== )dd(
dd
Základy vektorového počtugradient skalární funkce:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
==⋅∇=zS
yS
xS
rSSS ,,
ddgrad r
• výsledkem této diferenciální operace je vektor
)( 22
),( yxexyxfz +−⋅==
gradient vyjadřuje vektor směru maximální
prostorové změny skalárníveličiny S,
tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná
veličina (např.teplota) nejvíce narůstá