Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica Unidade 1 – Sentenças, Representação Simbólica, Tautologia, Contradição e Contingência. 1 – Introdução e Conceitos Iniciais: Geralmente nos expressamos, em português, através de gestos da fala e da escrita. No caso da escrita utilizamos interrogações, exclamações e conjunções expressadas em sentenças, que por sua vez, podem ser verdadeira ou falsa. Existem sentenças do tipo: A nota obtida em lógica depende do número de questões que acertar. Dez é menor do que sete. Existem formas de vida em outros planetas. Ou seja, observa-se que as sentenças são passíveis de serem verdadeiras ou falsas. E justamente a interpretação da veracidade de sentenças que a lógica trata. Proposição: É um conjunto de símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Ou simplesmente, é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos: A lua é um satélite da terra. (verdadeira) 5 . (falsa) Vasco da Gama descobriu o Brasil. (falsa) Valores lógicos de uma proposição: O valor lógico de uma proposição é V se a proposição for verdadeira e F se ela for falsa. Proposições simples e composta: Proposição simples é aquela que expressa uma única idéia, ou seja, não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Em geral são referenciadas por letras minúsculas. Já uma proposição composta é aquela formada por uma combinação de mais de uma proposição simples, estas são em geral referenciadas por letras maiúsculas. Exemplo: q: Pedro é estudante. r: 25 é quadrado perfeito. Q: Carlos é careca e Pedro é estudante. R: Se carlos é careta, então é feliz. Quando deseja-se destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples q, r, s, ...; então escreve-se: , s , r , q P Na lógica matemática temos duas regras fundamentas: I – Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. II – Princípio do terceiro excluído: Uma proposição é falsa ou verdadeira, não havendo um terceiro caso.
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Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
Unidade 1 – Sentenças, Representação Simbólica,
Tautologia, Contradição e Contingência.
1 – Introdução e Conceitos Iniciais:
Geralmente nos expressamos, em português, através de gestos da fala e da escrita. No caso
da escrita utilizamos interrogações, exclamações e conjunções expressadas em sentenças, que por
sua vez, podem ser verdadeira ou falsa. Existem sentenças do tipo:
A nota obtida em lógica depende do número de questões que acertar.
Dez é menor do que sete.
Existem formas de vida em outros planetas.
Ou seja, observa-se que as sentenças são passíveis de serem verdadeiras ou falsas. E
justamente a interpretação da veracidade de sentenças que a lógica trata.
Proposição: É um conjunto de símbolos que exprimem um pensamento de sentido
completo. Ou simplesmente, é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:
A lua é um satélite da terra. (verdadeira)
5 . (falsa)
Vasco da Gama descobriu o Brasil. (falsa)
Valores lógicos de uma proposição: O valor lógico de uma proposição é V se a proposição
for verdadeira e F se ela for falsa.
Proposições simples e composta: Proposição simples é aquela que expressa uma única
idéia, ou seja, não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Em geral
são referenciadas por letras minúsculas. Já uma proposição composta é aquela formada por uma
combinação de mais de uma proposição simples, estas são em geral referenciadas por letras
maiúsculas. Exemplo:
q: Pedro é estudante.
r: 25 é quadrado perfeito.
Q: Carlos é careca e Pedro é estudante.
R: Se carlos é careta, então é feliz.
Quando deseja-se destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de
proposições simples q, r, s, ...; então escreve-se:
,s,r,qP
Na lógica matemática temos duas regras fundamentas:
I – Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
II – Princípio do terceiro excluído: Uma proposição é falsa ou verdadeira, não havendo
um terceiro caso.
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
2 – Conectivos Lógicos:
Os conectivos são expressões utilizadas para compor novas proposições. Exemplos:
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
Q: Não está chovendo.
R: O triângulo é retângulo ou isósceles.
S: O triângulo é equilátero se e somente se é equiângulo.
T: Se Jorge é engenheiro, então sabe cálculo.
Assim, na lógica, destaca-se os conectivos usuais
e não ou se e somente se se ... então
3 – Tabela Verdade:
No caso de proposições compostas recorre-se ao uso da tabela verdade para verificar o valor
lógico da proposição, ou seja, a tabela retrata todos os possíveis valores lógicos.
Exemplos:
1. Considerando a proposição r,qp têm-se:
q r
V V
V F
F V
F F
2. Considerando agora a proposição s,r,qp têm-se:
q r s
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Temos 422 combinações
Temos 823 combinações
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
3. Considerando agora a proposição t,s,r,qp têm-se:
q r s t
V V V V
V V V F
V V F V
V V F F
V F V V
V F V F
V F F V
V F F F
F V V V
F V V F
F V F V
F V F F
F F V V
F F V F
F F F V
F F F F
A notação mais usual para o valor lógico de uma proposição P é V(P), assim se P é
verdadeira os falsa escreve-se; V(P) = V ou V(P) = F.
Por exemplo, a proposição:
“ R: 2 é raiz da equação 0432 xx ”
têm valor lógico V(R) = F.
4 – Exercícios:
1. Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) O número 17 é primo. resp: verdadeiro b) Tiradentes morreu afogado. resp: falso
c) 0,13131313... é uma dízima periódica.
resp: Verdadeiro
d) As diagonais de um paralelogramo são
iguais. resp: Falso
e) 26030 22 sensen . resp: Falso f) 0, 4 e -4 são raízes da equação
0163 xx . resp: verdadeiro
g) 2225353 . resp: Falso h) b) 71 . resp: falso
i) Todo número divisível por 5 termina
por 5. resp: Falso
j) O número 125 é cubo perfeito. resp:
verdadeiro
k) 64
tgtg . resp: Falso
l) O produto de dois números ímpares é um
número ímpar. resp: verdadeiro
Temos 1624 combinações
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
5 – Operações Lógicas Sobre Proposições:
Negação (~): A negação da proposição P é representada por ~P, cuja tabela verdade fica:
P ~P
V F
F V
Exemplo:
1. P: 532 ~P: 532
2. R: Carlos é mecânico ~R: Carlos não é mecânico
3. S: todos os homens são elegantes ~S: Nem todos os homens são elegantes
4. T: Nenhum homem é elegante ~T: Algum homem é elegante
Conjunção ( , .): Dadas duas proposições P e Q, a conjunção é representada por PQ ou
P.Q cuja tabela verdade fica:
P Q PQ
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplo:
1. P: A neve é branca
Q: 52
PQ : A neve é branca e 52
2. R: 4
S: 02
sen
RS: 4 e 02
sen
Disjunção ( , +): Dadas duas proposições P e Q, a disjunção é representada por PQ ou
P + Q cuja tabela verdade fica:
P Q PQ
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
1. P: A neve é branca
Q: 52
PQ : A neve ou branca e 52
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
2. R: 4
S: 02
sen
R S: 4 ou 02
sen
Disjunção Exclusiva ( , ): Dadas duas proposições P e Q, a disjunção exclusiva é
representada por P Q ou P Q cuja tabela verdade fica:
A tabela verdade de duas proposições H e K, da disjunção exclusiva fica:
P Q P Q
V V F
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
1. Considere as proposições P e Q abaixo:
P: Carlos é médico ou professor.
Q: Mário é alagoano ou gaúcho.
Em P, Carlos pode ser médico; pode ser professor ou ainda pode ser médico e professor.
Mas em Q, Mário é alagoano ou gaúcho. Assim em P temos a disjunção inclusiva (ou simplesmente
disjunção) enquanto que em Q temos a disjunção exclusiva.
Condicional ( ): Dadas as proposições P e Q, a condicional é representada por PQ
cuja tabela verdade fica:
P Q PQ
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplo:
1. P: O mês de maio têm 31 dias
Q: A Terra é plana
PQ : Se o mês de maio têm 31 dias, então a
terra é plana
2. R: Dante escreveu os lusíadas
S: Cantor criou a teoria dos
Conjuntos
R S: Se Dante escreveu os lusíadas, então
Cantor criou a teoria dos conjuntos.
OBS: Uma condicional PQ não afirma que o consequente Q se deduz ou é consequência
do antecedente P. O que o condicional afirma é uma relação entre os valores lógicos de P e
Q de acordo com a tabela verdade.
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Bicondicional ( ): Dadas as proposições P e Q, o bicondicional é representado por
PQ cuja tabela verdade fica:
P Q PQ
V V V
V F F
F V F
F F V
O bicondicional também pode ser lido da seguinte maneira:
i) P é condição necessária e suficiente para Q, e
ii) Q é condição necessária e suficiente para P
Exemplo:
1. P: Lisboa é a capital de Portugal
Q: 34
tg
PQ : Lisboa é a capital de Portugal se e
somente se 34
tg
2. R: A terra é plana
S: 2 é um número racional
R S: A terra é plana se e somente se 2 é um
número racional
6 – Exercícios:
1. Sejam as proposições,
P: Está frio
Q: Está chovendo
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições.
(a) P~ Não está frio.
(b) QP Está frio e está chovendo. Está frio e chovendo.
(c) QP Está frio ou está chovendo. Está frio ou chovendo.
(d) PQ Está chovendo se e somente se está frio.
2. Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
(a) 1055723 e Resp: F
(b) 42201 Resp: V
(c) Roma é a capital da França ou 145 tg Resp: V
(d) racionalé 1052 Resp: F
(e) 944623 entãoSe Resp: V
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
(f) 2223 0 Resp: F
(g) 01 sensesomenteesetg Resp: F
(h) 2211 Resp: V
(i) Não é verdade que 12 é um número ímpar. Resp: V
(j) 411733422 Resp: V
(k) 1000 cosousen~ Resp: F
(l) 323 4482 e~ Resp: F
3. Determinar pV em cada um dos seguintes casos:
(a) FqpVeFqV Resp: FpVouVpV
(b) FqpVeFqV Resp: FpV
4. Determinar pV e qV em cada um dos seguintes casos:
(a) FqpVeVqpV Resp: VqVeFpV
(b) VqpVeVqpV Resp: VqVeVpV
7 – Tabela Verdade de Uma Proposição Composta:
Com as proposições simples do tipo p, q, r, s, ... e fazendo uso dos conectivos
,,,~, é possível construir proposições compostas tais como:
q~p~q,pP
onde, com o emprego da tabela verdade é possível verificar todas as possibilidades de V e F.
Exemplo:
1. Construir a TV das proposições seguintes.
a) q~p~q,pP
p q ~q P~q q~p~
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
b) r~qr~pr,q,pP
p q r ~r p~r q~r p~r q~r
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
8 – Valor Lógico de Uma Proposição Composta:
Dada uma proposição ,...s,r,q,pP pode-se determinar seu valor lógico conhecendo, a
priori, os valores lógicos de p, q, r, s, ...
Exemplo:
1. Sabendo que VpV e FqV , determinar PV , onde
q~p~qp~q,pP .
Resolução:
Mediante os valores lógicos de p e q pode-se obter:
VFFVFV~F~V~FV~PV
2. Sejam as proposições 3:p e 02
sen:q . Determine o valor lógico da
proposição: qppqpq,pP .
Resolução:
Como FPV e FqV então têm-se:
VVVFFVFFFFFPV
9 – Precedência e Eliminação de Parêntesis:
O uso de parêntesis se faz necessário para evitar qualquer ambiguidade, assim, por exemplo,
a proposição rqp pode ser escrita como:
1) rqp
2) rqp
que não têm o mesmo significado (basta construir a TV de ambas ).
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
A ordem de precedência para os conectivos é
1) ~, o mais fraco
2) e
3)
4) , o mais forte,
portanto se tivéssemos a proposição rsqp , concluiríamos que ela é bicondicional. Para
convertê-la numa condicional ou numa conjuntiva deve-se escrevê-las respectivamente nas formas:
rsqp
rsqp .
Pode-se fazer a eliminação de parêntesis quando um mesmo conectivo aparece
sucessivamente repetido, fazendo associação a partir da esquerda, por exemplo,
p~qp~~ p~qp~~
p~qp~~ p~rq~p
10 – Exercícios:
1. Sejam as proposições,
P: Está frio
Q: Está chovendo
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições.
(a) Q~P Se está frio, então não está chovendo.
(b) Q~P Está frio ou não está chovendo.
(c) Q~P~ Não está frio e não está chovendo.
(d) Q~P Está frio se e somente se não está chovendo.
(e) PQ~P Se está frio e não está chovendo, então está frio.
2. Sejam as proposições,
P: João é gaúcho
Q: Jaime é paulista
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições.
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
(a) Q~P~ Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista.
(b) P~~ Não é verdade que João não é gaúcho.
(c) Q~P~~ Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é
paulista.
(d) Q~P Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista.
(e) Q~P~ João não é gaúcho se e somente se Jaime não é paulista.
(f) PQ~~ Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é
gaúcho.
3. Sejam as proposições,
P: Marcos é alto
Q: Marcos é elegante
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) Marcos é alto e elegante. QP
(b) Marcos é alto, mas não é elegante. Q~P
(c) Não é verdade que marcos é baixo ou elegante. QP~~
(d) Marcos não é nem alto e nem elegante. Q~P~
(e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. QP~P
(f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. Q~P~~
4. Construir a T.V. das seguintes proposições:
(a) PQ~P
(b) Q~P~
(c) Q~P~~
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
11 – Lista de Exercícios. 1
1. Sejam as proposições,
P: Suely é rica
Q: Suely é feliz
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) Suely é pobre e infeliz. Resp: Q~P~
(b) Suely é pobre ou rica, mas é infeliz. Resp: Q~PP~
2. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas.
(a) 000 zouzeyx Resp: 000 zzyx
(b) 00 zouxzyex Resp: 00 zxzyx
(c) 000 yexoux Resp: 000 yxx
(d) 0 zeyxoutzeyx Resp: 0 zyxtzyx
(e) 20 yentãoxSe Resp: 20 yx
(f) 02 zentãoyxSe Resp: 02 zyx
3. Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição r~qp , sabendo que
VrVpV .
Resolução:
Em termos de valor lógico temos que: Se VqV , então
FFVFVVV~VVr~qpV . Mas, se FqV , então
FFVFFVV~FVr~qpV . Portanto, independentemente do
valor lógico de q a proposição será sempre falsa.
4. Suprimir o maior número possível de parêntesis na proposição
q~~pqrq .
Resolução:
q~~pqrq q~~pqrq
q~~pqrq
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5. Determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:
a) rpqp , sabendo que VrVpV . Resp: Verdadeira
b) rp~q~p , sabendo que FqV e VrV . Resp: Verdadeira
6. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas proposições:
a) qrqq~~p Resp: qrqq~~p
b) qrq~r~qp Resp: qrq~r~qp
7. Sabendo que as proposições “ 0x ” e “ yx ” são verdadeiras e que as proposições
“ zy ” e “ ty ” são falsas, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições:
a) zyyxx 0 Resp: Verdadeira
b) tyzyyx Resp: Falsa
8. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V,
determinar o valor lógico da proposição p~qq~p~pq~p .
Resp: falsa
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12 – Tautologia, Contradição e Contingência:
Tautologia é toda proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores
verdade das proposições simples que há compõem.
Exemplo:
1. Construir a TV das seguintes proposições:
a) p~p~
p ~p p~p p~p~
V F F V
F V F V
b) pq~qp
P q ~q q~q q~qp pq~qp
V V F F V V
V F V F V V
F V F F F V
F F V F F V
Observação: Se ...,r,q,pP é uma tautologia, então ...,R,Q,PP 000 também é
tautologia, quaisquer que sejam as proposições 000 R,Q,P .
Contradição é toda proposição cujo valor lógico não é tautológico, ou seja, a última coluna
é sempre falsa.
Exemplo
1. Construir a TV das seguintes proposições:
a) p~p
p ~p p~p
V F F
F V F
tautologia
tautologia
contradição
Unidade 1 – Sentenças e Representação simbólica
b) q~pp~
p q ~q q~p p~ q~pp~
V V F F F F
V F V V F F
F V F F V F
F F V F V F
Observação: Se ...,r,q,pP é uma contradição, então ...,R,Q,PP 000 também é
contradição, quaisquer que sejam as proposições 000 R,Q,P .
Contingência é toda proposição composta que não é tautológica nem contradição.
Exemplo:
3. Construir a TV da seguinte proposição:
33 xyxx
3x yx 3x 3 xyx 33 xyxx
V V F F F
V F F V V
F V V V F
F F V V F
13 - Exercício:
1. Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraditórias, ou