Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 07 Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi SUMÁRIO Função Definida Por Várias Sentenças Lembrando... Dados dois conjuntos não vazios ܣe ܤ, uma relação de ܣem ܤrecebe a denominação de função se, e somente se cada ݔ∈ ܣassocia um único y ∈ ܤ. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto ܣde valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto ܤde valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela a algum ݔdo domínio é o conjunto imagem, denotado por ܫ(). Considere as seguintes funções: 1. ∶ℝ →ℝ, definida por (ݔ)= ݔଶ ; 2. ℎ: ℝ →ℝ, definida por ℎ( ݔ)=1 − ݔGráfico da função g Gráfico da função h
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Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 07 Ministrante
Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela
Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi
SUMÁRIO
Função Definida Por Várias Sentenças
Lembrando...
Dados dois conjuntos não vazios 퐴 e 퐵, uma relação 푓de 퐴 em퐵 recebe a
denominação de função se, e somente se cada 푥 ∈ 퐴 associa um único y∈ 퐵. Assim, uma
função liga um elemento do domínio (conjunto 퐴 de valores de entrada) com um segundo
conjunto, o contradomínio (conjunto 퐵 de valores de saída) de tal forma que a cada
elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do
contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela 푓 a
algum 푥 do domínio é o conjunto imagem, denotado por 퐼푚(푓).
Uma função푓:ℝ → ℝ recebe o nome de função modular quando cada 푥 ∈ ℝ é associado
ao número|푥| ∈ ℝ, ou seja, 푓(푥) = |푥|.Utilizando o conceito de modulo de um número
real, a função modular pode ser definida também como segue:
푓(푥) = 푥,푠푒푥 ≥ 푥−푥,푠푒푥 < 0
Note que a função modular é uma função definida por mais de uma sentença, e seu gráficoé
Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos
um semelhante.
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1. Considere a função 푔:ℝ → ℝ definida por 푔(푥) = 2푥. O gráfico de 푔 é
Agora, considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |2푥|. Note que a função ℎ é, na verdade, uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푔, isto é, ℎ(푥) = |2푥| = |ℎ(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥),aplicamos a operação módulo. Assim,ℎ(푥) = |2푥| = 2푥,푠푒2푥 ≥ 0
−2푥,푠푒2푥 < 0 = 2푥,푠푒푥 ≥ 0−2푥,푠푒푥 < 0
Assim, o gráfico de ℎ é:
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2. Agora, considere a função 푔:ℝ → ℝ definida por 푔(푥) = 푥 + 2. O gráfico de g é:
Agora, considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |푥 + 2|. Note que a função 푔 é
uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푓, isto é, ℎ(푥) =
|푥 + 2| = |푔(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥), aplicamos a operação
4. Considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |푥 + 2푥|. Note que a função 푔 é uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푓, isto é, ℎ(푥) = |푥 + 2푥| = |푔(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥), aplicamos a operação módulo, ou seja:
Para construir o gráfico de h, precisamos analisar o sinal de 푥 + 2푥, cujas raízes são x=0 e x=-2. Como o gráfico de 푥 + 2푥tem concavidade voltada para cima, 푥 + 2푥é positivo em (−∞,−2)∪ (0, +∞), negativo em (−2,0) e nulo em -2 e 0. Assim, o gráfico de ℎ:
EXERCÍCIOS:
Construa o gráfico da função f e determine o seu domínio e Imagem.
푎)푓(푥) = |2푥 + 5|
푏)푓(푥) = −3푥 +52
푐)푓(푥) = |−푥 − 푥 + 6|
푑)푓(푥) = |2푥 + 6| − 4
푒)푓(푥) = |푥 − 2푥 − 3| + 5
푓)푓(푥) = |3푥 − 6| + 푥 − 1
푔)푓(푥) = |2푥 + 3푥 − 2| + 3푥 + 2
ℎ)푓(푥) = |4푥 + 4| − |3푥 − 4|
푖)푓(푥) = |푥 − 9| − |푥 − 3|
푗)푓(푥) = |푥 − 2푥| − |푥 − 4|
푘)푓(푥) = |3푥 + 2|− 3
푙)푓(푥) = |푥 − 4| − 6
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EQUAÇÕES MODULARES
Uma equação modular quando a incógnita aparece no modulo. Assim, para 푎 ∈ ℝ, temos que:
Lembre-se das propriedades de modulo dos números reais. A ideia de módulo está ligada ao conceito de distância, com o foi dito no início. Assim, temos que, para 푘 > 0:
|푥| < 푘 ⇔ −푘 < 푥 < 푘
|푥| > 푘 ⇔ 푥 > 푘푂푈푥 < −푘
Utilizando estas propriedades podemos resolver algumas inequações modulares.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real 푎 > 0 com 푎 ≠ 1, chamamos de função exponencial de base 푎 a função 푓 ∶ ℝ → ℝ que associa cada 푥 ∈ ℝ ao número real 푎 . Em símbolos:
푓 ∶ ℝ → ℝ푥 ↦ 푎
Note que 퐷표푚푓 = ℝ e 퐼푚푓 = ℝ∗ . Exemplo de funções exponenciais:
푎.푓(푥) = 2 푏.푓(푥) =12 푐.푓(푥) = √2
Propriedades:
1. 푥 = 0 ⇒ 푓(0) = 푎 = 1. Isto significa que o gráfico de toda função exponencial corta o eixo das ordenada 푦 no ponto de ordenada 1.
2. Quando 푎 > 1, temos que
푥 < 푥 ⇔ 푓(푥 ) < 푓(푥 )
Isto significa que a função exponencial é crescente quando base 푎 for maior que 1.
3. Quando 1 > 푎 > 0, temos que
푥 < 푥 ⇔ 푓(푥 ) > 푓(푥 )
Isto significa que a função exponencial e decrescente quando base 푎 for um número entre 1 e 0.
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4. A função exponencial 푓(푥) = 푎 e injetora, isto é:
푥 ≠ 푥 ⇒ 푓(푥 ) ≠ 푓(푥 ) Gráfico. Com relação ao gráfico da função exponencial 푓(푥) = 푎 , podemos dizer que:
1. A curva representativa está toda acima do eixo 푥, pois 푦 = 푎 > 0 para todo 푥 ∈ ℝ .
2. Corta o eixo 푦 no ponto de ordenada 1. 3. Se 푎 > 1, o gráfico de 푓 é uma curva crescente e, se 0 < 푎 < 1, o gráfico de 푓 é
uma curva decrescente.
Exemplos:
1. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2
푥 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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2. Construir o gráfico da função exponencial com base : 푓(푥) =
푥 13
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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3. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2
4. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2| |
푥 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
푥 2| | -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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5. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2 − 1
Equações Exponenciais Equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente. Exemplos:
1) 2 = 32
2) 4 + 2 ∙ 14 = 3 ∙ 49
3) 2ퟐ ퟐ + 6 − 2 ∙ 3ퟐ ퟐ = 0 Método de redução a uma base comum
푥 2 − 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potencias, forem redutíveis a potência de mesma base 푎 (0 < 푎 ≠ 1). Pelo fato de uma função exponencial 푓(푥) = 푎 ser injetora, podemos concluir que potencias iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja:
푎 = 푎 ⇔ 푥 = 푦 Exercícios:
1) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 2 = 128
b) 4 = ퟏퟖ
c) 100 = 0.001
d) 2ퟑ ퟏ = 32
e) 11ퟐ ퟓ = 1
f) 27 = 9ퟓ
g) 2 = 128
h) 27 = 9
i) (2 ) = 32
j) 9 = 3
k) 3 −3 + 3 = 306
l) 2∙ 4 − 5 ∙ 4 − 3 ∙ 2 + 4 = 20
m) 4 − 2 − 2 = 0
n) 9 + 3 = 90
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o) 2 − 2 − =
p) 3 =
q) 3 − = 4 ∙ 3
r) 푥 = 1
s) 푥 = 1
t) 푥 = 푥
u) 푥 = 푥
v) 푥 = 푥
w) 4 + 2 ∙ 14 = 3 ∙ 49
x) 2 + 6 − 2 ∙ 3 = 0
2) Resolva os sistemas de equações:
a) 4 = 16푦2 = 4푦
b) 푥 = 푦푥 = 푦 , onde 푥,푦 > 0 e 푚 ∙ 푛 > 0
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Inequações Exponenciais Inequações exponenciais são inequações com incógnitas no expoente. Exemplos:
4) 2 > 32
5) 4 + 2 ∙ 14 > 3 ∙ 49
6) 2ퟐ ퟐ + 6 − 2 ∙ 3ퟐ ퟐ ≥ 0 Método de redução a uma base comum Este método será aplicado quando ambos membros da inequação puderem ser representados como potência de mesma base 푎(0 < 푎 ≠ 1). Lembre-se que a função exponencial (푥) = 푎 é crescente se 푎 > 1, e decrescente se 0 < 푎 < 1, portanto: