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CAPITULO IV. TEORIAS DE FALLA DE LOS MATERIALES
1. DISEO POR RESISTENCIA ESTTICA
1.1. Introduccin
En el campo es comn ver piezas, partes, mecanismos o elementos
de mquinas que fallaron estando en servicio, debido a la presencia
de cargas estilticas o cargas con variacin en el tiempo
(clin:hllicas) que indican la necesidad de tener un amplio
conocimiento de los principios que rigen el diseflo de las mquinas
agrcolas para lograr su mejor desempeflo. Lo ideal para el
proyectista es poder contar con los resultados de los ensayos de
resistencia del material particular elegido para el diseflo. Si
sobre la pieza van a actuar carg;:ls de flexin o de torsin o cargas
combinadas de flexin y torsin, se requiercn los resultados de los
ensayos en esas mismas condiciones de carga, adems de las
condiciones de tratamiento trmico, temperatura de trabajo, acabado
superficial, tamao, ('te. Debido al costo ele los ensayos, es
frecuente que los Ingenieros para realizar sus c1iseiios utilicen
los valores de resistencia publicados en los catlogos para los
diferentes materiales o el apndice de los libros que tratan sobre
el tema, siempre y cuando la falla del mecanismo no ponga en
peligro la vida humana o cuando el volumen de produccin lo
justifique. Como regla general cuando sobre la pieza slo actan
cargas estticas, y el material es dctil no se necesita considerar
la concentracin del esfuerzo en el anlisis o diseilo. Si el
material es frgil o se comportl como tal, se hace necesa ro ca1cu
lar el valor del factor de concentracin del esfuerzo Kt.
Las teoras de falla han sido formuladas por los investig8dores
para carga esttica y materiales isotrpicos, no teniendo en cuent8
otras condiciones de carga como impacto, fatiga, deslizamiento y
pandeo.
l.2. Teora del esfuerzo normal mximo (teora de Ran Kinc):
establece que la faI1H se produce cuando uno de los tres esfuerzos
principales es igual a la resistencia. Si la fluencia fuera el
criterio de falla y (}J > 02 > 03 (esfuerzos principales para
cualquier estado de esfuerzo), entonces:
(4.1.)
Donde: St Resistencia de fluencia a la tensin Se = Resistencia
de fluencia a la compresin.
En el caso de materiales frgiles la falla ocurrira s:
113
-
CI == Sut o C3 Suc
Donde: SU! Y Suc son las resistencias ltimas a la tensin y
compresin, respectivamente. Hay segurid8d cuando C < (Sy / n)
(4.2)
Esta teora ha sido encontrada vlida tanto para materiales
dctiles como frgiles. Teniendo cn cuenta los estados de esfucrzo al
Y a~ Y
las resistencias (Sut y Suc), la Figura 22, muestra la grMca de
la hiptesis de falla del esfuerzo normal mximo, donde la falla
ocurre fuera del cuadro del diagrama de esfuerzos
Su t
Sus uc
Suc
Figura 22.Diagrama de esfuerzo para falla en la teora del
esfuerzo normal mximo.
1.3. Teora del esfuerzo cortante mximo (Coulomb)
En materiales dctiles predice que la fluencia ocurrir siempre
que:
5'
'll1x :;:, -) o Cl C3 :;:, S\,; siendo: aJ C2 2
Los esfuerzos cortantes principales son:
_.__.....c ... , En el caso de C3= O 2 2 2
(4.3)
2 2
114
-
Como 1:mi'tx no puede superar 8y/2n, el rea queda all limitada
(Figura 23) por 01< (Sy/n)' y 02 < (8y/n), similar a lo
mostrado con ll teora del esfuerzo normal mximo.
IrnM
Figura 23. Hiptesis del esfuerzo cortante mximo
Adems establece que la resistencia de fluencia al cortante est
dada por: Ssy = 0.50 Sy. Hay seguridad cuando:
t = )(Ol -O~2.12 .Sg. Sv (4.4) Olax 2) 2n ~
Las rectas de frontera sern: (4.5) n n
1.4. Teora de la friccin interna (Coulomb-Mohr)
No todos los materiales tienen los valores de la resistencia a
la tensin iguales a sus valores de resistencia a. la compresin.
Cuando los valores de estas resistencias no son iguales es usada
una variante de la teora de Mohr conocida como la teora de la
friccin interna que establece:
.93 1 (4.6)St Se
Siempre que al y las resistencias se consideren como
cantidades positivas. Para estados de esfuerzo biaHxi,(es, la
falla se predice mediante: al Sr, al >0 ; u, = -Se, U.l
-
de esfuerzo biaxial.
Figura 24. Grfica de la friccin interna para hiptesis de falla
Coulomb-Mohr.
1.5. Teora de la energa de distorsin (Hencky-vonMises)
Conocida tambin con el nombre de teora de la energa de cortante
o teora de vonMises-Hencky o teora del esfuerzo cortante octadrico,
establece que para el estado de esfuerzo completo el esfuerzo
efectivo o esfuerzo de vonMises ((J.) puede ser calculado como:
(4.8)2
y se prev ocurrir la fluenca cuando a '> Sy. Para el estado
de esfuerzo biaxial, (J' se reduce a:
(4.9)
Si ay , (JI' Y Txy son obtenidos, entonces:
(4.10)
Si solamente (J, y estn presentes, entonces:
116
-
(4.11 )
Para casos de torsin pura: (T 2 = (TI Y T = 0"1' en
consecuenCIa: Sy = 0.577 Sy. La ecuacin (4.12) en un sistema
rcferenciado representa el interior de un volumen que encierra el
espacio en el que no se producir el fallo de la pieza ( Figura 25),
que en el caso de un estado biaxia1 viene dada por una elipse.
- 0.557 Syt
0.557 Syt
f
.
Figura 25. Diagrama de la energa de distorsin para estado
biaxial.
1.6. Caso de materiales dctiles
1. Para el caso del diseo de piezas que no requieren de mucha
precisin se puede emplear la teora del esfuerzo cortante mximo
(TECM). As mismo, cuando se sabe que los factores de seguridad han
de ser altos o cuando se quiera una estimacin rpida del tamao de
una pieza. Esta teora es fcil y rpida de aplicar.
2. La teora de la energa de dislOrsin (T.E.D.D.), es usada en el
caso de rediseo de piezas, o cuando se investiga el origen de la
falla real ele un elemento mecnico o cuando los mrgenes de
seguridad son estrechos. Es una teora precisa y segura.
117
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1.7. Caso de materiales frgiles
Estos materiales se caracterizan porque no tienen resistencia de
fluenca, la resistencia a la compresin (Se) muchas veces es mayor
que la resistencia a la tensin (St) y la resistencia ltima a la
torsin (Ssu) es aproximadamente igual a la resistencia a la tensin
(Sl). La teora del esfuerzo normal mximo (TENM) y la teora de
CoulombMohr resultan aceptables para los fines de diseo.
2. FALLA POR FATIGA
2.1. Introduccin
Hay cargas que ocurren en los mecanIsmos o elementos de mquinas
que producen esfuerzos que se llaman repetidos, alternantes o
fluctuantes y que son conocidas como cargas dc fatiga. Bajo esta
condicin de fatiga, se encuentra que con un esfuerzo mximo menor
que la resistencia a la traccin y an por debajo del esfuerzo de
fluencia se puede presentar fractura despus de un determinado nmero
de ciclos de esfuerzo. La caracterstica ms notable de estas fallas
ha sido que los esfuerzos se repitieron muchas veces. La fcllla se
denomina FALLA POR FATIGA.
Por lo general una falla por fatiga tiene lugar por una
generacin y propagacin de grietas, hasta cuando se tiene una
condicin crtica de fractura sbita de la seccin residual resistente.
La grieta generalmente se desarrolla en un punto de discontinuidad
en el material, tal como un cambio en la seccin transversal, un
cunero o chavetero, un orificio y en los sitios de mayores
esfuerzos, tos que frecuentelnente se encuentran en la superficie.
Frecuentemente en una fractura por fati se observa una zona de
SUave propagacin de grietas con unas marcas ondulares conocidas
como marcas de playa y una zona spera de fractura s bila final. Una
falta por fatiga es repentina y total y por tanto peligrosa, por
eso el diselio contra este tipo de fallas es ms complejo y slo es
explicado en forma parcial. La teora ms exacta conocida para
explicar la naturaleza de la falla por fatiga se conoce como:
"Teora de la duracin hasta la deformacin". Su aplicacin requiere de
va rias idca lizaciones lo que conlleva a incertidumbres en los
resultados.
La fatiga se aborda de diferentes formas de acuerdo con la
aplicacin:
118
-
Diseo para una vida infinita: esto es mantener el esfuerzo por
debajo del lmite de aguante o resistencia a la fatiga o aquel
esfuerzo por debajo del cual no sucede la falla. Para ciertas
aplicaciones, los ciclos se acumulan con tal rapidez que este
resulta el nico enfoque posible. Un diente de un engranaje
atraviesa por un ciclo cada vez que entre en contacto con otro
engranaje. Si gira a 4000 rpm, cada diente pasar por casi un cuarto
de milln durante cada hora de aplicacin.
Diseo para una vida segura: tomando las precauciones de diseo de
tal forma que la falla de un componente especfico no ocasiones una
catstrofe. Despu:s ele la falla. puede reemplazarse el componente.
En este enfoque se calcula una vida que causar que un pequeo
porcentaje de las piezas empiecen a presentar grietas (por ejemplo
una de cada 10.0(0).
Diseo tolerante al dao: supone que las piezas recin fabricadas
ya pueden tener grietas. La vida de disel10 se basa entonces en la
vida de crecimien to de la grieta ms grande que pudiera pasar
inadvertida durante la inspeccin
2.2. Curva de fatiga S-N (resistencia a la fatiga- ciclos de
esfuerzo)
Frecuentemente en ensayos de fatiga se determina
experimentalmente el nmero de ciclos de esfuerzo (vida de fatiga)
correspondiente a un determinado nivel de esfuerzo cclico bajo
ciertas condiciones de ensayo. Los resultados se grafican,
obteniendo un diagrama llamado S N. Figura 26. El empleo de papel
logartmico destaca el recodo o ngulo de la curva. Estos diagramas
(S-N) pueden ser obtenidos tanto para pruebas de ensayos con
probetas o para un elemento mecnico en particular.
En el caso de los aceros se presenta el quiebre y ms all de ese
punto no ocurrir falla. La resistencia correspondiente nI qu iebre
se denomina lmite de resistencia a la fatiga (Se). Los metales no
frreos y sus aleaciones no lienen lmile de resistencia a la fatiga.
Entre N 1 hasta N= 10.1 se clasifica como: Fatiga de ciclo bajo. La
fatiga de ciclo alLo es la falla correspondiente a N > 103
ciclos. En el caso de los aceros la regin de duracin finita y la
regin de duracin infinita se localiza entre 106 Y 107 ciclos.
1':::1 estudio de la falla por fatiga permite escoger el mtodo o
mtodos a emplear para aumentar la resistencia.
119
-
alto ~~-~~_._"
racion [inita~-'".-1 [h.uctciMIj' ...Imfm.lta
lO~ 10 1('"
Numelo de ciclos de esfuel~zo, N
Figura 26. Diagrama S N para un acero como resultado de pruebas
de fatiga axial con inversin completa.
2.3. Limite de fatiga o limite de resistencia a la fatiga
Mischke, analizando muchos datos de pruebas reales concluy que
el lmite de resistencia a la fatiga estaba relacionado en realidad
con la resistencia a la tensin. En el caso de aceros, la relacin
es:
0.504 Sut Sut s 200kP.Si (1400 MPa l} S'e = 100 kpsi Sut >
200 kpsi (4.13)
{ 700 MPa Sut> 1400 MPa
Resistencia ltima a la tensin Limite de resistencia a la fatiga
para una probeta de vejiga de rotacin
Se -.. Limite de resistencia a la fatiga de un elemenlo de
mquina particular.
2. 4. Resistencia a la fatiga:
En el diagrama S N (Figura ) en la regin de fatiga de ciclos
bajos hasta N 103 la ecuacin de la recta: Sf aNh, que puede
escribirse: log Sf o: log a+b log N (4.14)
Esta recta cortar 106 ciclos en Se y 103 ciclos en 0.9 SuL
Sustituyendo estos valores en 4.14, tenemos:
120
http:200kP.Si
-
(O.9Sut)2 1 (Sut \ a b = --IOgl~~.j (4.15)
S'e 3 S'e
Si se tiene un esfuerzo completamente invertido 0'", el nmero de
ciclos de duracin N correspondiente puede determinarse de
( \ "~'; la ecuacin (4.14), sustituyendo Gil por Sf: N = J
(4.16)l'
a / La constante a depende de las unidades que se usen. Las
unidades MPa (N/mm2) o kpsi son las ms adecuadas para estas
ecuaCIOnes.
2.5. Factores que modifican el lmite de resistencia l la
fatiga
Marn, ha propuesto una serie de condiciones que afectan o
modifican el limite de fatiga (Sy) de un elemento mecnico, y ha
propuesto la ecuacin: (4.17)
kd
Factor de Factor de Factor de superficie tamao carga
S'e
de fatiga muestra dfl
diversos rotatoria
Cuando no se dispone de ensayos de resistencia a la faliga las
estimaciones se hacen aplicando los factores de Marn, como
slgue:
Factor de Superficie (ka) .
La superficie de la probeta de la viga rotatoria es
perfectzllnente pulida. Los factores de modificacin dependen de la
ca lidad del acabado y de la resistencia a la tensin. Una frmula
propuesta para diversos acabados:
IJ
Ka=aSut (4.18); en donde Sut = Resistencia ltima a la tensin y a
y b depende del acabado superficial como lo m uestra la tabla
4.1.
Tabla 4.1 Parmetros a y b para el calculo del factor de
Laminado et1-~ca-l-C~.l~1t-~e~-------l---~:-l-G~).-l~--~
Acabado superficial
Esmerilado
MHquinado o estirado en 4AS
- --..
~o. OE\(l
121
-
Como sale de forja 2.71 ::\9.8
Factor de tamano (kb). Para carga axial no existe el efecto de
tamao, o sea que kb = 1. En el caso de flexin y torsin:
d yOl07 (4.19)0.11 d 2 pulg
0.3 j i
_d_yOI07 2.79 d:S.51mm( 7.62 J
Para tamaos mayores se vara de 0.60 a 0.75 en flexin y
torsin.
Cuando se utilizan secciones no circulares se utilizan el mtodo
de la dimensin efectiva (de), que se obtiene al iguaJar el volumen
del material sometido a esfuerzo igualo superior a 95'X, del
esfuerzo mximo con el mismo volumen en la probeta de viga
rotatoria. Dependiendo de la seccin se tienen diferentes dimetros
equivalentes:
Para una seccin redonda, con flexin rotativa o torsin: de=d
Para una seccin redonda, con flexin no rotativa: de= 0.37d. Para
una seccin rectangular, con flexin no rotativa: de ==
0.808 (bh) 1/2
Factor de carga (kc).
lo..923 carga axial Sut:S. 220 kpsi (1520MPa)
kc = 1 carga axial Su t 220 kpsi (1520 MPa) 1 flexin 0.577
torsin y cortante
Factor de Temperatura (kd). Es siempre importante investigar la
relacin entre la temperatura de operacin y la temperatura debido a
que la resistencia de fluencia disminuye con rapidez con la
temperatura. Cuando se conoce el lmite de resistencia a la fatiga'
de una viga rotatoria a la temperatura del lugar de trabajo (Swrl,
se calcule kd ST/ SRT, en donde ST Resistencia a la tensin a la
temperatura de operacin. Las piezas que funcionan a temperaturas
elevadas pueden fallar por fluencia o por fati o debido a una
combinacin de ambas. Adems, se puede dar lugar a la corrosin
durante el funcionamiento a elevada
122
-
temperatura, originando una disminucin en la resistencia a la
fatiga del material.
Factor de efectos diversos (ke). Se debe tener en cuenta que hay
otros factores que reducen el lmite de resistencia a la fatiga o lo
mejoran.
Hay operaciones como el graneado con perdigones, mlrtillado y
laminado en fro, que originan esfuerzos de compresin en la
superficie de la pieza y ayudan en gran medida l mejorar el limite
de resistencia a la fatiga (Se), si el materili no es trabajado en
exceso,
Corrosin. Se espera que mquinas que funcionan en ambientes
corrosivos, ocurra una disminucin del limite de resistencia a la
fatiga (Se), El problema no es sencillo, pues la corrosin y los
esfuerzos repetidos se producen en forma simultl1e
-
2.6. Esfuerzos fluctuantes
Tiempo (d)
Figura 27. Esfuerzo fluctuante senoidal
En general un esfuerzo fluctuante uniaxal de f
-
Vida de fatiga (N): Nmero de ciclos de esfuerzo o de deformacin
requerido para causar una falla por fatg8, sea por fractura o por
crecimiento de una grieta.
2.7. Resistencia a la fatiga en el C8S0 de cargas variables
Primordialmente la resistencia a la fatiga en laborntorio se
establece para ciclo de esfuerzo alterno puro, esto es esfuerzo
medio igual a cero (Gm = O). En la prctica se cncuentnm
aplicaciones en las cuales se tiene presente un esfuerzo medio
superpuesto al esfuerzo alterno. En la Figura se presentan cuatro
criterios de falla: de Goodmnn modificado, oe Soderberg, de
fluencia y de Gerbcr. As m ismo, en el eje de esfuerzos medio se
muestra el punto de resisten a la fluencia a la fluencia a la
tensin (Syt) y de la resistencia ltima a la tensin (Sut]
Lnea de Oerbe'
Linea d" Ooodman
. I Lmea de Soderberg :
I o~--------~~~~------~~-----~-
O S.
Es tuerzo medo e",
Figura 28. Diagrama de fatiga para cuatro criterios de falla
Se ha encontrado experimentalmente que al aumentar un esfuerzo
medio de traccin, disminuye la resistencia a la fatiga en trminos
de la amplitud de esfuerzos.
Varias relaciones se han propuesto para estimar la resistencia a
la fatiga correspondiente a un determinado esfuerzo medio con base
en la resistencia a la fatiga para esfuerzo medio igual a cero para
un mismo nmero de ciclos de vida. En la figura ....... cuatro
criterios de falla, pu eden expresarse en forma de ecuaciones, que
para el caso de las teoras lineales es u na recta
en forma de intersecciones, o sea: x
+ .. V
== I a b
125
-
Estas ecuaciones son:
Relacin de Solderberg:
0
-
(J' == [81.1)2- (81.1) (-11.1) + (-11.1)2]l 2
(J' 87.2 MPa
TENM:n=310/81.1 3.82 TECM: n (310/2)/46.1 == 3.36 TEDD: n =
310/87.2 3.55
el (J' = 4.1 MPa, 02 == -74.1 MPa, all1X == 74.1 MPa y
'Cmx 39 1 MPa
(J' = [(4.1)2 - (4.1)(-74.1) + (-74.1)2]l 2
a' = 76.2 MPa
TENM:n=310/74.1 ==4.18 TECM: n (310/2)/39.1 = 3.96 TEDD: n ==
310/76.2 4.07
d) (J' =77.7 MPa, 7.7 MPa, arnx== 77.7 MPa y 'C 1l1 ,\x == 42.7
MPa
(J' == [(77.7)2 (77.7)(-7.7) + (-7.7)2]1/2
a' ;= 81.8 MPa
TENM: n 310/77.7 == 3.99 TECM: n = (310/2)/4.27 == 3.63 TEDD: n
== 310/81.8;= 3.79
MODELO 2. La barra mostrada en la figura fue construida en aeero
UNS G 10350 estirado en fria (Sy= 67000psi, Su = 80.000 psi), de
1/4 de pulgada de espesor. La carga axial que se indica se invierte
por completo alternativamente. Si se qu iere vida infinita calcular
el factor de seguridad con el cual est trabajando la barra.
127
http:310/2)/4.27
-
1000lb
3"D
1000lb
4
Se ticne:
.:. Esfuerzos completamcn te a Hernos .
:. Carga simple .:. Seccin transversal no circular .:. Vida
infinita
Se presentan dos puntos crticos: cambio de seccin y en el
aguJero.
1. Cambio de seccin:
Se trata de esfuerzos completamen te alternos 0 a
1000lb _= 2667 si
(1.5'")(.0.25") p
Lmite de resistencia a la fatiga (Se):
Se == ka kb kc kd ke
).> ka: Factor superficie
h
~ ka = aSut Tabla 4 1: estirado en fro a 2.67 kpsi b ~0.265 Sut
= 80 kpsi ka aSut 0.845
).> kb Factor de tamaio: para carga axial de tam1l1o y se
considera kb= 1
no existe el erecto
).> kc == Factor de 0.923
carga. Carga axial con Su t::: 220 kps, kc
128
http:1.5'")(.0.25
-
~ kd Factor de temperatura. No se dice nada
~ ke Factor de efectos diversos. Anexo 2 (barra rectangular
sometida a ten sin sim ple):
D=2.25 =1.5 r =0.125 d 1.5" d 1.5"
kt = 1.95 kf = l+q (Kt-l) 1+0.75(1.95 1) kf 1.713
ke = 1 ~_1_ kf 1.779
ke == 0.583
Por lo tan Lo :
Se 0.845 x 0.923 x 0.9 x 0.583 x S'e S'e = 0.504 Sut, si Sut -
kd == 1 (no se dice nada)
);. ke: d=0.75==0.5 k t =2.18 w 1.5
129
http:0.75")(0.25http:1.5")(0.25http:1+0.75(1.95
-
kf 1 +q (K t - 1 ) 1+0.75(2.181)
kf 1885
ke = 0.53
Se = 0.845 x 0.923 x 0.53 x 40320 pSI 16666 pSI, por lo
tanto:
16666psin
5333psi
n= 3.12, que es el factor de seguridad con la cual trabaja la
barra.
MODELO 3. El eje mostrado en la figura rota a alta velocidad
mientras la carga que acta sobre ste permanece esttica. El eje es
maquinado a partir de un acero AISI 1040 (Su == 90.000 psi, Sy =
60.000 psi). Si la fuerza F es lo suficientemente grande para
producir falla por fatiga, donde ocurrir esa falla y cual deber ser
el valor de F para evitarla.
Se trata de un eje con carga simple, esfuerzos completamente
alternos y con seccin transversal circular. Si no se considera el
efecto de las fuerzas cortantes, la nica carga presente sobre el
eje es el momento flector, cuyo diagrama se muestra en la parte
inferior de la figura.
La seccin crtica del eje ser aquella donde la rchlcin S,) G sea
menor. Las posibles secciones crticlS o donde probablemente ocurra
una falla son las secciones B, e, o y E.
130
-
F(lhl 3"
A ~B-2"----.....----Cl"~-D--toIl" l .....--f---1r--!" ____ _ ___
~. ~-0
F/21b
/'\-----........----r-,."..----.Y
1 R I IR16 8 F/21b
Mmax= 13 Ji'
1 M F' t\
A
Seccin B:
Se = ka kb kc kd (0.504 Sut) Ka 2.70psi (90kpsi)-02fJ5 = 0.82
(Tabla 4.J para un eje
maquinado)
C,13)-O.1131 kb \ . 0.87 ; para 1.0 pulg.
O
kc = 1.0 (flexin) kd = 1.0 (no se dice nada) ke: = tratndose de
carga simple es preferible tomar el factor
modifcativo por concentracin de esfuerzos como reeluclor de
resistencia y no como amplificador de esfuerzos.
o 1. 1.25 r 0.0625" =0.06 O .----+ kt = 1.9 (Anexo 2) el 1" , d
1" '
Ikf 1+0.75(1.9 1) 1.675, para q 0.75; 0.6 kf
Se = 0.82 x 0.87 x 0.6 x 0.504 x 90 x 10J psi = 19416 psi
131
-
Oa == M = 0.5Fx32 = 5.09F Z n(l")'
n== S_~ == 3814% o"
Seccin por C:
ka == 0.82 kb == 0.85 kc == kel == 1.0 kd == 1.0 ke == 1.0
Entonces:
Se == 0.82 x 0.85 x 0.504 x 90 x10"psi == 31616 psi
1.5Fx32 ----- = 7.82F
nx(1.25):J
n == Se = 316 16 ,~ 4043/ o" 7.82F lF
Seccin por D:
ka == 0.82
_ ( el J-O.II.13 _( 1 J-0.II.33_kb - -- ---- - 0.87
0.3 0.3 kc == kel == 1.0
l:? = _1.~?" = 1.25' ~ = ~.125" = 0.125' kf== 1. 7 (Anexo 2) el
1" 'el 1" '
kf == 1+O . 7 5 ( 1. 7 - 1) == 1. 525 ke == 0.66
Se == 0.82 x 0.87 x 0.66 x 0.504 x 90 x 10"psi == 21357psi
Oa == 32(F) = 10.18F n(1.0):J
n == 21357 -209% 10.18F- F
Seccin por E:
132
http:J-0.II.33http:J-O.II.13
-
ka = 0.82 (1 ),\\,0.11 1 .1
kb = . --:- J 0.85 \ 0.3 /
kc Kel = 1.0 0.125"'. D 1.25" ~'1 2'-. rke -- ~ ;::), 0.125,
(Anexo 2) =:> kt 1 54
d 1" d 1 "
kf = 1 + 0.75(1.54-1) 1.405; 0.71
Se = 0.82 x 0.85 x 0.71 x 0.504 x 90 x 10,1ps i 22447psi
Se 32xO.5F n ; () a 5.09F
era n(1)1
22447 =4410/n 5.09F /F
El anlisis anterior muestra que s el eje fallara por fatiga,
ocurrira por la seccin D. La carga mxima que se puede aplicar para
que no ocurra falla por fatiga sera:
10.18 F 21357
F 2098 lb
MODELO 4. El eje mostrado en la figura (a) es sometido a la
fluctuacin de torque indicada en la figura (b). El ma teriaJ del
eje es acero con Sy = 135 kpsi y Su = 152 kpsi. La superfice del
eje es acabada por rectificado comercial. Determinar el factor de
ridad con el cual trabaja el eje s requ iere vida de 50 x 103
ciclos.
133
-
Se trata de carga simple con esfuerzos alternos y medios y vida
finita. Aunque el problema es de vida finIta, esta se puede
determinar como si el problema fuera de vida infinita. Se debe
determinar primero la seccin critica.
Cambios de seccin:
Se: ka kb kc kd ke 0.504 x 152000 psi
ka = 1.34 (152)0085 == 0.874 (esmerilado)
1" ,.0113' kb == ) 0.872 \ 0.3 kc 0.5 (torsin) kd 1.0 (no se
dice nada)
ke: D 1.5" 1.5 ; r 0.1" =0.1; Figura A-15-8--t> k, 1.45 d 1"
d 1"
q 0.75
kf== 1 + 0.75 (1.45-1) 1.34 kc == 0.746
Se 0.874 x 0.872 x 0.577 x 0.746 x 0.504 x 152000 psi
.:. Se == 25131 psi
Las cargas seran:
d/Tmxx /2 16x8000(lb -- pulg)
Tmx = = 40744 psiTTd~ n(1,,)3 32
Tmin x16 16x2000(lb ~ r m1n 10186 psiTT( 1 ") n( 1"r'
+ r mmPor lo tanto: 1m = = 25465 psi 2
134
-
- f"'in.:= 15279 psi 2
Para vida infinita y utilizando la relacin de Goodman 1 La
1mmodificada: n Se Sut
1 15279psi.. - + 25465psi ==> n = 1.2 1
n 23245psi 152000psi
En el agujero:
ka 0.874 (rectificacin comercial para todo el material) kb =
0.872 (tambin dI")
kc 0.577 (eje sometido a fluctuaciones del torque) kd = 1.0 (no
se dice nada)
ke: a = 0.0625" OJ)625 d = O (barra maciza) d 1" O
kts = 1.74. (Anexo 2)
(1 ()( 2')"Para r = ~=--- = 0.03" ,q 0.75
kf=1+0.75 (1.74 1)=1.555 ke=0.64
Entonces: 0.874 x 0.872 x 0.577 x 0.64 x 0.504 x 152 kpsj
Se 21560 P
Clculo de cargas:
8.0001b-pulgxO.5pulgx32 43344 tmx Ineto --nxO.94[(1t-0 ] .._-
pSI
Tr tmx =
Jnefo
)OOO.O.5.!nefo = ll'A(D 4 d 4 ) 32; entonces tmx 43344 pSI
2000lb-pulgxO.5pulgtmin = ... -........... ----- . = 10836 psi
0.09pulg 4
43344psi + 10836psiPor lo tanto: Tm 27090 pSI
2
135
http:kf=1+0.75
-
Ta '" 16254 psi
Para vida infinita:
16254 27090 == - + -
n 19674 152000
n := 1.0, lo que muestra que la seccin crtica es el agujero.
Vida finita para el agujero:
Sf = aNb ==> a = (O.9~uty [O.9(152.()()O)y psi 2 951.2psi Se
J9674psi
-_ J log O.95Sut '" b -O.L8 3 Se
Sf 951.2 (50.000)O.2R 45.98 kpsi
1 Ta TmAs: -1
n Sf Su
16254 27090 +----
n 45980 152.000
n 1 .9
-
b) C'ix = 180 MPa, C'i y 180 MPa
e) C'i x = ] 40 MPa, eXY 80 MPa (s.r.)
d) exy 150 MPa
3. Determine los factores de seguridad, con base en la teora de
la Energa de distorsin (TEDD), para los elementos de esfuerzo en A
y B mostrados en la barra de la figura. La barra es de acero AISI
1006 estirado en fro y en ella actan las cargas F 0.60 KN, P 7.5 kN
Y T 35N.m
'fJ
I x
4. La figura muestra un eje de transmisin apoyado en los
cojinetes Ay D con poleas en B y en C. Las tensiones en las bandas
son mostradas en la figura y representan las fuerzas que actan
sobre las poleas. El material del eje es un hierro fundido ASTM de
grado 25. Si n= 2.8, que di~~metro debe tener el eje?
z
T :
5. Si se vuelve a disefiar el eje del problemas anterior,
reduciendo a la mitad su longitud y se conservan las dems
especificaciones, cul es el dimetro del nuevo eje.
137
-
CAPITULO V. EJES DE TRANSMISION
1. INTRODUCCION
Los ejes, rboles y husos son elementos que se usan
indistintamente en las mquinas y pueden estar sometidos a cargas de
tensin, compresin, flexin y torsin o a una combinacin de ellas.
Los ejes o flechas se encuentran en todo tipo ele maquinaria y
equipo mecnico. La mayora de ellos estn sometidos a cargas
variables de flexin y torsin combinadas con secciones criticas de
concentracin de esfuerzos, consistiendo su diseo en un problema de
carga por fatiga. La velocidad de trabajo normal de un eje no debe
ser cercana a una velocidad crtica, pues se generaran grandes
variaciones. La geometra de un eje, es por lo general un eje
escalonado en donde las poleas, cojinetes y engranajes se deben
posicionar con precisin y se tiene que prever que all se presentarn
cargas de empuje.
Se debe tener en cuenta que un anlisis de esfuerzos en un punto
especfico de un eje se hace slo mediante la geometra del eje en ese
punto sin requerirse la geometra de todo el eje; por lo general, en
el dise10 de ejes se localizan las reas crticas y se dimensionan
cumpliendo los requisitos de resistencia. Calcular un eje es
determinar, conocido el material, el dimetro adecuado teniendo en
cuenta los anlisis de esfuerzo y deformacin y las teoras de falla
aplicables.
2. DEFINICIONES
Eje mvil o simplemente eje: es un elemento rotatorio
generalmente de seCClOn transversal circular cuya funcin es
transmitir movimiento y potencia. Permite la rotacin de
dispositivos como, engranajes, poleas, volantes, manivelas, ruedas,
etc.
Eje fijo: es un elemento esttico (no rotatorio) que no transmite
movimientos y ql;e se utiliza para sostener piezas rotatorias como
ruedas, poleas, rodillos y otros elementos.
Arbol: sometido primordialmente l torsin generalmente transmiten
potencia con polcas, engranajes, levas o cadenas y por tanto se ven
afectados tambin por la flexin. El rbol de levas y el cardn son
ejemplos tpicos.
138
-
Husillo: un eje mvil corto y delgado, que sostiene directamente
una herramienta para realizar trabajo, como el caso de los husos
portabrocas en un taladro o un torno o el husillo que soporta la
fresa en una fresadora.
Siempre que sea posible los engranajes y las poleas deben
mantenerse cerca de los cojinetes de soporte, con el fin de reducir
el movimiento flexionante y por lo tanto reducir la flecha o
deflcxin y el esfuerzo por flexin.
Los ejes mviles, por lo general, se acoplan a los elementos
giratorios mediante el ensamble, chaveta - chavetero, el cual
consta de una cua o chaveta que entra tanto en el eje como en la
pieza a acopiar. Otros casos donde el problema es transmitir
momento ele torsin, se puede usar: tornillos de fijacin (opresores
o prisionero) pasadores, conectores rasurados.
3. DISEO PARA CARGAS ESTATICAS
Cuando las cargas son estticas la determinacin de las
dimensiones de un eje es un problema mucho mas simple que cuando
las cargas son dinmicas. Los esfuerzos en la superficie de un eje
redondo macizo de dimetro d, que se somete a cargas de flexin,
axiales y de torsin son:
Esfuerzo de flexin
(Las componentes de ()x pueden ser + o segn el punto escogido
para el anlisis)
32M 4F a =-~+ (5.1)TTd3 TTd
Esfuerzo de torsin:
16T r =--- (5.2)
xy TTd3
Utilizando el crculo de Mohr puede demostrarse que los dos
esfuerzos principales no nulos son:
(5.3)
x
139
-
Estos esfuerzos pueden combinarse para obtener el esfuerzo ,
cortante mximo cmAx y el esfuerzo de von Mises () ,
obteniendo:
f)2 lY~l0;_ + T~y (5.4)[f 1/, 1/ (5.5)
a =(0 2_0 o +0 ;>\1/2=(0 2+3T 2)'2A A B 8 I X xy
Reemplazando (5.1) Y (5.2) en (5.3) y (5.5):
.6)
I 4 c- 2 a TTd3l(8M +Fd) +48T (5.7)
Con (5.6) Y (5.7) se puede hallar cm"x o (J' cuando se da el o
determinar d cuando se conoce el valor pennisible de cm"x o
Si el anlisis o diseo se hace con base la teora del esfuerzo
cortante mximo, entonces:
S f adm = n = 2n ; Con (5.6) y (5.7) se puede determinar n SI
se
conoce d o hallar d si se conoce n.
Si el diseo se hace por la teora de la energa de distorsin, el
esfuerzo van Mises admisible: cr'aclm Sy/ n
En muchos casos la componente axial es nu1R o tan pequea que
puede ser despreciada.
- Teora del esfuerzo cortante mximo (T.E.C.M.)
(5.8), si se establece n
140
-
(5.9), si se conoce d
Teora de la energa de distorsin (T.E.D.D.)
(5.10), si se asume n
(5.11), si se conoce d
4. DISEO POR FATIGA
En cualquier eje rotatorio cargado con momentos estacionarios de
flexin y torsin actuarn esfuerzos por flexin completamente
invertidos, permaneciendo estable el esfuerzo torsional. Esos
esfuerzos se expresan:
Esfuerzo alternante: Cxa =~2~3~ (5.12)TTd'
Y esfuerzo medio o esfuerzo estable: 1
(S.13)
Si se considera Se como el limite de resistencia a la fatiga
completamentc corregido y n es el factor de seguridad:
Se 32Maa =-- (S.14)n xa TTd3
Si utilizamos el criterio de George Sines que establece que tm
no afecta cllmite de fatiga a la flexin:
(32M n \/3 11
d == l-a_-I (5.15)TTSe J
Estos dos componentes de esfuerzo se pueden manipular utilizando
el Crculo de Mohr para cada una de ellas y aplicando la teora del
esfuerzo cortante o la teora de la energa de distorsin con el fin
de
obtencr valores equivalentes de (Ja y 1m. Con estos valores
puede seleccionarse una de las relaCones de falla que se mucstra en
el
141
-
Diagrama de fatiga (Teoras de falla bien conocidos: Lnea
Soderbcrg, lnea Goodman, Curva Gerber, Curva Elptica del cdigo
ASME, Curva de Bagci).
Con la teora del esfuerzo cortante mximo (T.E.C.M) se pronostica
el dao y con la teora de la energa de distorsin (T.E.D.D.) se
predice la resistencia.
Si se utiliza la T.E.C.M, las componentes a usar en el diagrama
son:
(5.16)ITa = 2Ta y
Si se emplea la E.D.D., los valores son:
(5.17)y
En ejes de transmisin es comn que se encuentren sometido a una
combinacin de torsin constante y flexin alternante, se utilizan las
sigu ien tes expresiones:
(5.18)
Si se requiere disear d:
d = (5. J9){~r(~?~r+M r] y; TT l" SSY ) \ Sse / J
Para la T.E.C.M. donde = 0.5 Sy y Ssc = 0.5 Se
(5.20)
Si se emplea la T.E.D.D. Ssv 0.577 Sy y Sse = 0.577 Sr
] }3
(5.21 )
1 142
-
Para el caso general en que los esfuerzos por !1cxin y por
torsin contienen una componente constante y una variable se aplica
18 T.E.C.M:
(5.22)
5. FORMULAS BASICAS DE LAS TEORIAS DE RESISTENCIA A LA
FATIGA
TEORIA
Soderberg
Goodman
Gerber
Elptica ASME
FORMULA BASICA
noa + = 1 (a) Se Sy
nO a nOm --+-- (b) Se SU!
nOa +( no"ll' =1 (e) Se l SU! )
2
l(~Oa 1+( nOm =1 (el) Se ~ Sy Bagci (e)
nFlueneia (Langer) ~~(o +0 .) =1 (11S a m
y
(a) Considera la posibilidad de falla por flueneia, por 10 tanto
la Ee (11 no requiere ser usada.
(b) No considera flueneia plstica, por lo tanto S1 se emplea
este enfoque se usa (b) y (11
(e) Cuando ha de realizarse anlisis de eonfiabilidad, se usa (e)
y (11
(d) Se aplica sola. Pero se acostumbra comprobar la posibilidad
de flueneia plstica en la Ee (f)
(e) Se aplica sola.
143
-
MODELO 1.
Determinar los factores de seguridad para los elementos de
esfuerzo en A y B del eje empotrado que se muestra en la figura,
utilizando la teora de la energa de distorsin. Este eje fue
construido de acero UNS G 10060 estirado en fro y en el actan las
siguientes cargas: F
0.55KN, P = 8.0 KN Y T 30 N.m.
z
Elemento A:
M P a = + x Z A 4
J rrd 4
=1 .57x1 O 8m~ 32
a = O.55k~(g~ml + 8kN x 7.85x10 7m3 3.14x109m2z
= O.55kN(O.1 m} 19.1 MPa(sr} J 1.57x1 08m~
En el circulo de Mohr: 99.2MPa y =-3.68MPaa 1 a 2
Utilizando la T.E.D.D. con Sy 280MPa
- (99.2)(-3.68) + (-3.68)2 =100.98MPa
139
http:99.2)(-3.68
-
n=Sy ~~~?a ::: 2.8 01 100.98MPa
Si se utiliza Sut 330MPa,n 3.27 Elemento B:
y P 8.0kN =25.48MPa A 3.14x10 4
Tr 4V 30N.m(0.01 4 (0.55)kN= +~- ::: -~~~~~-~~~~.~:~ ~--- + -
~---~--:--~ J 3A 1.57x10 33.14x10~m?
1:xy = 2144 MPo (s.r)
En el circulo de Mohr: 01 =37.68 MPa y 02 =-12.2 MPa
Utilizando la T.E.D.O. con Sy ::: 280 MPa
01 (37.68)(-12-2)+(12.2/ = 45.03MPa
N =Sy/crl ::: 6.22
Con Sut ::: 330 MPa se obtiene n=7.33
MODELO 2. Calculo de un eje mediante el cdigo asme
Un eje recibe una potencia de 36 HP a 400 RPM mediante una polca
a de 50 cm de dimetro, desde arriba segn un ngulo de 45 como 10
indica la figura. El 60% de la potencia lo transmite por medio de
un engranaje C de 40cm de dimetro y el 40%) restante mediante otro
engranaje O de 30 cm de dimetro. Ambos engranajes tienen ngulo de
presin 20. En B y E existen rodamientos. El eje debe ser fabricado
con un acero recocido de resistencia: Sy = 3.000 kg/cm2 y Su =
4.000 kg/cm 2 , con chavetero en cada rueda dentada y polel.
Determinar el dimetro del eje a la resistencia mecnica, aplicando
el cdigo ASME y usando kf=1.5 y kt = 1.5
140
http:30N.m(0.01
-
Clculo de los momentos de torsn
72574,65x36HPT -----""----- 6531,71 kg cm
A - 400RPM
72574,65xO.6x36HP
_..._---" 3919,03 kg cm
400RPM
= 72574,65xOAx36HP o:: 2612 68 kg cm
400RPM '
Clculo de las fuerzas de flexin y de los momentos flectorcs
Se supone para la correa que la fuerza de flexin es igual l dos
veces la fuerza impulsora neta, o sea:
FA =2F= 2x6531,71 = 522,53kg25em
Te 3919,03kgem
...._--- 195,95kg
Re ~
2gem
Nc = xtg200 71,32kg
En una transmisn por correas, la fuerza de traccin en el ramal
141
-
tirante F1 es mayor que la fuerza de traccin en el ramal nojo
F2, por 10 tanto el sentido de giro de la polca y de los engranajes
es como se muestra en la figura.
A continuacin se muestra en tres dimensiones las cargas de
flexin sobre el eje, siendo RB y RE las fuerzas de reaccin en los
cojinetes. Las fuerzas en el plano vertical YZ, estn dadas por:
Ay::: FA sen45 369.48 kg
Cy -Fccos30o - Ncsen30::: 205.35 kg
Dy ::: -FDcos30o +NDsen300 == -119,14 kg
y
./32 CID
44 cm /'
RE
Para hallar las componentes By y Ey, se toman momentos con
respecto al punto E, as:
369.48 kg (30 cm +30 cm + 44 cm +32em) + By (30 cm + 44 cm +32
cm) - 205.35 kg (44 cm + 32 cm) 119.14 kg (32 cm) = O
142
-
Despejando: By -290.85 kg
Sumatoria de fuerza en el eje Y: Fy t + O
369.48 kg- 290.85 kg 205.35 kg - 1]9.14 kg + Ey = O
Ey = 245.86 kg.
El diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionan tes en el
plano yz, es como se muestra, de tal manera que: Mnv 11084,4 kgcm,
Mey 13443.3 kgcm y MDy = 7867.62 kgcm.
Las fuerzas en el plano horizontal xz, estn dada por:
Ay=369,48 k:s rEy=245,86 kg
44 cm ~---ilIE-- 32
z+-____~====~====~========~==~
Cy::::205,35 kg
30_--:*-_
369,48 k;;
'--___,78,63 k:s
r~-----'
-24 5,86 ~
MCy'" 13443,3 kg cm
r...rBy= 11OE:4,4 k:s cm MDy=7867,62 kg cm
A
143
-
Calculo de Bx y Ex:
-369.48kg (30 cm + 30cm + 44 cm +32 cm) +Bx (30 cm+ 44 cm + 32
cm) + 36.21 kg (44 cm + 32 cm) 141.98 kg (32 cm) "" O
Despejando: Ex = 490.94 kg.
-369.48kg + 490.94 kg + 36.21 kg 141.98 kg + Ex "" O Ex 15.69
kg.
Los respectivos diagramas de fuerzas cortantes y momcntos
flexionantes se muestran en la figura, por Jo quc: Mux 11064,4
kgcm, Mcx = 7440,6 kgcm y MDX 503,] 2 kgcm. Los momentos de flexin
resultantes en los puntos B, C y D se calculan as:
15675,7 kgcm
78R3, A9 kgcm
El punto crticu est en B, ya que en el ocurre el mflximo momento
de flexin. Se calcula entonces, el dimetro correspondiente al punto
B y ste ser el dimetro proyectado para todo el cje.
144
-
Cx=36,21 kg
30 -*--30 _-----'l*---' 44 cm 1: 32---,.
-
1. Un eje circular macizo transmite una potencia de 20kw,
girando a 300 rpm, de forma que se puede considerar la accin
exterior constante. Su longitud es de 1 m y el material
seleccionado tiene una resistencia a la fluencia Sy = 460 N/mm2 y
mdulo de rigidez transversal G l 8 (104 ) N/mm2. Calcular el
dimetro adecuado elel eje considerando un coeficiente de seguridad
n= 2. Resuelva el problema aplicando tres teoras de falla: Normal
maxuna, cortante mximo y energa de distorsin (Mises).
2. Un eje circular hueco de acero tiene una longitud de 50 mm y
debe transmitir un par torsor de 5000 N.m. Las tensiones
tangenciales no deben superar los ...... MPa. El dimetro inferior
es la mitad del exterior. Calcular el dimetro exterior y el ngulo
torsionado por el eje.
3. Una barra de seccin circular empotrada por un extremo soporta
una carga P en el otro extremo, donde tambin tiene aplicado un par
torsor T. La barra est fabricada con materal dctil de resistencia
fluencia Sy = 340 MPa. La fuerza P aplicada en el extremo libre es
de 2000N y el par torsor de 110 Nm. La barra tiene una longitud de
130 mm y el coeficiente de seguridad es ele 2. Calcular el dimetro
mnimo para evitar la fluencia , utilizando la teora del esfuerzo
cortante mximo y la teora de la energa de distorsin. Despreciar la
tensin tangencial debida al esfuerzo cortante.
4. Un rbol rotativo est hecho con un tubo de acero AISI 1018
estirado en fro de 42 x 4 mm y tiene un agujero de 6 aun de dimetro
taladrado en la direccin transversal de lado a lado. Calcular el
factor de seguridad que protege contra fallas por fatiga y esttica
cuando el rbol se somete a un par de torsin completamente invertido
de 120 N.m en fase con un momento flexionan te completamente
invertido de 150 N.m.
5. Un eje voladizo de acero y seccin circular, est sometido a
una carga que vara de -F a 3F. Determinar la carga mxima que puede
soportar el elemento para una vida indefinida usando un coeficiente
de seguridad de 2. Un modelo fotoelstico indica que el factor de
concentracin de tensiones Kc 1,32, Y la sensibilidad a la entalla
para un rado de 1/8 " con esle material es q 0,9. Hacer el anlisis
en el cambio de seccin.:oc Usar: Su 551.2 MPa, Sy 468.5 MPa, D = V4
pulgada, d = 0.5 pulgada y Se 250 MPa
146
-
6.
y y
T, h"'------X
Un eje de una mquina gira a 600 rpm y est soportado por los
cojinetes A y B separados entre si 762 mm, como muestra la figura.
Se suministran al eje 15 kW mediante una polea de 457 mm de
dimetro, localizada 254 mm a derecha del cojinete B. La potencia se
transmite desde el eje mediante un engranaje cilndrico de 203 mm de
dimetro localizado 254 mm a la derecha del cojinete A. La correa
conductora forma un ngulo de 60 con la horizontaL La polea pesa 91
kg para proporcionar efecto de volante de inercia. La relacin de
las tensiones entre los ramales de la correa es 3: 1. Los dientes
del engranaje poseen un ngulo de presin de 20 y se acopla con otro
engranaje localizado en la vertical del cje. Si el material
seleccionado para el eje tiene una resistencia de rotura Su= 483
MPa y un limite de fluencia de Sy 31 MPa, determinar el dimetro
necesario del cje. Considerar un coeficiente de seguridad es de
2.
147
-
CAPITULO VI. VIBRACIONES MECANICAS
1. INTRODUCCJON
El anlisis de la vibracin y el control de las vibraciones son
aspectos importantes e integrales del proceso de disei'lo de cada
mquina. Establecer un modelo matemtico apropiado, su anlisis,
interpretacin de las soluciones e incorporacin de esos resultados
en el diseilo, prueba, evaluacin y mantenimiento y averas se
requiere un buen conocimiento de los principios de vibracin.
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos
oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.
Los sistemas de ingeniera que poseen masa y elasticidad estn
capacitados para tener movimiento relativo. En general la vibracin
es una forma de energa disipada y en muchos casos inconveniente.
Esto es parLcularmente cierto en la mayora de las mquinas, debido a
que las vibraciones producen ruidos, afectan las diferentes partes
y se transmiten fuerzas y movimientos indeseables.
Hay dos clases de vibraciones, libres y forzadas. La vibracin
libre ocurre cuando un sistema oscila bajo la accin de fuerzas
inherentes al propio sistema, esto es no existen fuerzas externas
aplicadas y vibrara a una o ms de sus frecuencias naturales. La
vibracin forzada tiene lugar bajo la excitacin de fuerzas externas,
que cuando es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la
frecuencia de excitacin. Si esta coincide con una de las
frecuencias naturales del sistema, se presenta una situacin de
resonancia generndose oscilaciones peligrosamente grandes. En la
prctica, la energa que posee el sistema se pierde gradualmente, al
vencer las resistencias internas y externas al movimiento y el
cuerpo, finalmente queda en reposo. La vibracin as producida se
dice que es amortiguada.
2. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2.1 Vibracin libre
Un sistema de un grado de libertad es mostrado en la figura 29.
Consiste de una masa m conectada por un resorte de rigidez k y un
amortiguador con coeficiente de amortiguamiento c.
La rigidez k es definida como la fuerza del resorte por unidad
de deflexin y el coeficiente de amortiguamiento viscoso c es la
fuerza suministrada por el amortiguador opuesta al movimiento por
unidad de velocidad. Si la masa tiene un desplazamiento inicial
vibrara alrededor de su posicin de equilibrio. Le ecuacin del
movimiento es dada por:
mx + C X + kx O (6.1 )
14H
-
Figura 29. Representacin de un sistema de un grado de
libertad.
Donde x es medida desde la posicin de equilibrio y los puntos
sobre las variables representan las derivadas con respecto al
tiempo. Sustituyendo una solucin de la forma x est en la ecuacin
(6.1), se obtiene la ecuacin caracterstica:
ms2 + cs +k O (6.2)
Las dos races ele la ecuacin caracterstica son:
S =t,Jn i(,)n (1 (6.3)
Donde (,)n (k/m) y, es la frecuencia natural no amortiguada
t, = clCc, relacin de amortiguamiento
ce 2 mWn es el coeficiente de amortiguamiento critico
t = ..y.T
Dependiendo de los valores de se presentan euat ro casos:
a) Sistema no amortiguado (t, O). En ese caso, las dos races de
la ecuacin son:
s t)n i(kl mfi2 (6.4)
La solucin correspondiente es:
x = Acoswnt + Bsenwnt (6.5)
Donde A y B son constantes arbitrarias que depcnden de las
condiciones iniciales del movimiento. Si el desplazamiento inicial
es de XI) y la velocidad inicial es I'{J, por sustitucin de estos
valores en la
ecuacin (6.5), es posible resolver las constantes A y B. Por lo
tanto, la solucin es:
149
-
x (6.6)
Siendo Wn la frecuencia natural del sistema en radianes por
segundo (rad/s). La frecuencia natural es fn wn/2rr. (6.7)
Donde fn se expresa en ciclos por segundo o hertz (Hz). El
perodo de una oscilacin es p l/fn = 2rr./wn (6.8)
La solucin dada en la ecuacin (6.6), puede tambin ser expresada
en la forma x = Xcos(wn-O) 6.9)
Donde:
r 1 v(1 _'_ox O tan 6.10 (,)Il x() El movimiento es armOl11CO
con un ngulo de fase O como en la ecuacin (6.9) y grficamente
mostrado en la figura 30.
1.0
Tiempo t
Figura 30. Vibracin libre de un sistema de un grado de libertad
para diferentes valores de amortiguamiento.
b} Sistema subamortiguado (O < ~ < 1). Cuando el sistema
de amortiguamiento es menor que el amortiguamiento crtico la
solucin es:
L...-~___________~___________--'
150
-
(6.11)
1/2Donde: (ad (Vll (1 (6.12)
Jd frecuencia natural amortiguada y A Y B son constantes
arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. Para una
amplitud inicial x" y velocidad inicial Vo:
(6.13)
Puede ser expresada en la forma:
(6.14)
x == [exp( ~~(,)n t] XCOS((,)d t -O)
y o;;;: tan I -=--'-'--"----"
En la figura 31 se muestra un sistema subamortiguado donde las
oscilaciones caen exponencialmente.
Tiempo t
Figura 31. Vibracin libre de un sistema de un grado de libertad
subamortiguado
En la figura 31 las amplitudes maXlmas sucesivas ocurren en
forma peridica y son marcadas con Xo, Xl, X2 ....... La relacin de
la mxima amplitud para n ciclos de oscilacin puede ser obtenida de
la ecuacin (6.13), como:
151
-
0.15
O.OQ
= exp(-n8) (6 15) Xo
Donde 8 = 2rc s/(I-(~?)j'h es conocido como decrcmento
logartmico y corresponde a la relacin entre dos amplitudes
sucesivas cualesquiera en la figura 31 para valores pequeos de
amortiguamiento, esto es: ~ 1, el decremento logartmico puede ser
aproximado a:
(6.16)
(6.17)
Usando este prinCIpIO se mide experimentalmente el
amortiguamiento viscoso en un sistema. El sistema en reposo es
alterado con impacto generando una velocidad inicial al sistema y
colocndolo en vibracin libre. Usando la ecuacin (6.17) la relacin
de amortiguamiento (s) puede ser evaluada. En la Figura 32, se
muestra la variacin de las amplitudes de vibracin libre para cinco
ciclos de oscilacin con respecto a la relacin de
amortiguamiento.
Usando la ecuacin (6.14), se encuentra;
Xn = exp(-2rc ns) = 1 2rcs Xo
0.20
o ~ (t\
ti ro ::' Of) .~
t: o ti ro 1]) -o
>::
o .~
o ~ ID
.P:::
0.3 O." 0.5 0.6 I 0.8 I LO0.1 O.Z 0.7 0.9
)(n'XO Figura 32. Variacin de la relacin de amplitudes con la
relacin de amortiguamiento.
cl Sistema crticamente amortiguado (s 1). s races de la ecuacin
caracterstica dada por la ecuacin (6.3) son cantidades reales
iguales y negativas. Aqu el sistema no presenta un movimiento
oscilatorio. La solucin es de la forma X = (A + 8t) exp(-wnt)
(6.18)
152
-
La solucin para las dos condiciones iniciales ser
(6.19)
El movimiento es mostrado en la Figura 30, en donde en un corto
tiempo la curva entra en reposo.
d) Sistema sobrcamortiguado (~ > 1). Cuando la relacin de
amortiguamiento es mayor que la unidad, hay dos races negativas
distintas para la ecuacin caracterstica (6.3). El movimiento
(6.20)
1 ( l.. BDonde: A = -1 Xo + --".---"'--"~ , 2\ (Un)
En la Figura 30, se muestra el sistema subamortiguado y los
otros tres sistemas estudiados.
Si la masa es suspendida por un resorte y amortiguada como lo
muestra la Figura 33, el resorte podra alargarse una cantidad 0S(
con
respecto a la posicin de equilibrio. /'
In
Figura 33. Modelo de un sistema de un grado de libertad
mostrando la
deflexin esttica debido al peso.
En este caso la ecuacin del movimiento es:
mi( + e x+ k (x + 0st) mg (6.21)
Desde que la fuerza en el resorte debido al equilibrio esttico
es igual al
peso, esto es : kOst = W mg, la ecuacin del movimiento se reduce
a:
mi( + e x+ kx = (6.22) IS]
-
Esta ecuacin es la misma ecuaCJOl1 (6.ll y tiene una solucin
similar. Con la ecuacin (6.21) y conociendo que c.11l = (kjm)1/2,
la frecuencia natural puede ser obtenida por:
Wn=(gj6stll/2 (6.23)
Un valor aproximado de la frecuencia natural fundamental de
cualquier sistema mecnico complejo puede reducirse a un sistema de
un solo grado de libertad. Por ejemplo, un eje soportando varios
discos o ruedas puede ser reducido a un sistema de un solo grado de
libertad, juntando las masas de todos los discos en el centro y
obteniendo la rigidez equivalente del eje utilizando la teora de
Oexin simple.
2.2 Sistemas torsionalcs
Los ejes rotando transmitiendo torque pueden experimentar
vibraciones torsionales si el torque no es uniforme, como es el
caso de los cigeales de los motores. En los ejes rotando por
engranajes, el torquc transmitido puede fluctuar debido a errores
en el montaje de los engranajes, o errores en el contorno o perfil
de los dientes, resultando en vibraciones torsiona1es de los ejes
engranados.
Un sistema torsional de un grado de libertad es mostrado en la
Figura 34. Este tiene un eje de masa despreciable, de rigidez
torsiona1 k, un amortiguador con coeficiente de amortiguamiento e y
un disco con mamen to polar de inercia J.
k
Figura 34. Representacin de un sistema torsional de un grado de
libertad.
La rigidez torsional es definida como el torque resistente del
eje por unidad de ngulo y al coeficiente de amortiguacin es el
torque resistente del amortiguador por unidad de velocidad angular.
El amortiguamiento puede ser aplicado externamente o puede ser
inherente a la estructura amortiguada. La ecuacin del movimiento
clel sistema en torsin es dad por:
cJ8+c8+ k8 O (6.24)
154
-
La solucin de esta ecuaclOn es de la misma forma que la ecuacin
(6.1), excepto que J reemplaza a m y k Y c se refieren a rigidez
torsional y coeficiente de amortiguamiento torsional
respectivamenle.
2.3 Vibracin Forzada
Sistema excitado en la masa. Un sistema excitado por una fuerza
armnica Fosenwt actuando sobre la masa es mostrado en la Figura
35.
Figura 35. Fuerza oscilante F(t) aplicada a la masa.
La ecuacin del movimiento es:
mi +e x+ kx = Fosenwt (6.25)
solucin particular es una oscilacin estacionaria de la misma
frecuencia w de la excitacin. Se puede suponer que la solucin puede
ser escrita en la forma:
xs Xsen(wt - el (6.26)
En donde x es la amplitud de la vibracin y O es la fase del
desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz:
Sustituyendo en la ecuacin (6.26), se encuentra:
(FIk/\jsen(wt-o)
(6.27Xs
155
-
Usando la parte complementaria de la solucin de la ecuacin
(G.20), la solucin completa sera:
(G.2R)
Si el sistema es no amortiguado, la respuesta se obtiene
sustituyendo c = O en la ecuacin (6.28). Cuando el sistema es no
amortiguado, S1 la frecuencia de excitacin coincide con la
frecuencia na tural del sistema, J/Jn = 1.0, la respuesta del
sistema podra ser infinita. Si el sistema es amortiguado, la parte
complementaria de la solucin decae exponencialmente y podra ser
inexistente despus de unos pocos ciclos de oscilacin. Las
expresiones admensonaks de amplitud y fase es obtenida de la
ecuacin (6.27) como:
/ ) ( \2!~ -~7 r ~- ~) J + I 2~(.:J I (6.29) Fo/ [ \ w, \ W )/k
/ n1 .
y la fase entre la respuesta y la fuerza:
8 = tmyl (6.30)
Cuando la frecuencia w coincide con la frecuencia natural de
amortiguamiento Wrl, la amplitud es dada por:
x . 1 mnx = ___ ....... _--:-; (6.31)
Fo ~(4-J72l/k :-,
La mxima respuesta o resonancia ocurre cuando w = wll(12~2)1!2 y
es:
(6.32)
Para estructuras con bajo amortiguamiento, Wd es aproximadamente
igual (.)n, y la amplitud mxima seria:
(6.33)
La ecuacin (6.29) y (6.30) indican que la amplitud adimensional
Xk/
.Y la fase O son funciones solamente de la razn de frecuencias
0.1/(,)" .Y
I l56 lJ:-.oI\fHsm,,,o NAClO'lAL o.~ COl,~
SED[ Mtllf',LU:\ OEI'TO. DE HIHUOTECAS
ni BOTECA "EFE" GOMEZ
-
del factor de amortiguacin ?; y pucde ser representados como en
la Figura 36.
lQ
r. "0.05 o ..... ti
"' -'" '"'
"'O ::J
~ 6 c.:.. S liS 1))
"73 4 :: o
-
--
10
1; "'0.05
B LL
-'")oC
6
~O.50
_---1.00
-L~~~~~==~d===~ O .3 4 S
RelaclOn de frecuencIa (JJf('Jn
Figura 37. Respuesta frecuencia-velocidad
Transmisibilidad. La fuerza FT transmitida a la base, por un
sistema sometido a una excitacin armnica externa es:
FT = C X+ kx (6.36)
Sustituyendo la respuesta del sistema de la ecuacin (6.27) en la
ecuacin (6.36), se obtiene:
oL-__
lO
; -o .05'" b.... S--...,lo< : o u ~
6(I;l... .'I:!
!L) o4; ID
'"el
e -o rj
JI! ID
O::
" 2
Relacion de frecuencia wl"J n
Figura 38. Respuesta frecuencia-aceleracin
I:'lB
-
F _ - - Tsen((,)t-O) (6.37)F u
La magnitud adimensional de la fuerza transmitida T es dada
por:
(6.38)
El ngulo de fase entre FT y Fo, se calcula por:
e = tan! (6.39)1
La transmisibilidad T versus la relacin de frecuencias es
mostrada en la Figura 39.
10.0
9.0
8.0 r,; "1;1. 05
... 7.0
"eS
ro
"eS 6.0 ~
::3 "" 5,0 E :: "" (\'\ 4JJ ... (
3.0
".0 -LOO
4
VelocIdad de Frecuencia
-
natural del sistema y para altas frecuencias de excitacin la
fuerza transmitida decrece considerablemente. La variacin del ngulo
de fase entre la fuerza transmitida y la fuerza aplicada se
muestrCl en la Figura 40.
:wo -o180
160
v,Lo' 140 wL.,'" ...., o 120 .,.
100'D,1 ,il
&.. 80 (tl
"13 60
40
20
o D
Velocidad de Frecuencia '(l"n
Figura 40. Angulo de fase entre las fuerzas transmitida y
aplicada.
Desbalance rotatorio. Cuando las mquinas con desbalances
rotatorio son montadas sobre soportes elsticos, constituyen una
fuente comn de excitacin vibratoria. Si la frecuencia natural del
sistema coincide con la frecuencia de rotacin de la mquina
desbalanceada, resultan severas vibraciones en la mquina y en la
estructura de soporte. En la Figura 41, se considera unCl mquina de
masa M, cuyo desbalance est representado por una masa m con
excentricidad e que rota a la velocidad angular (.). Si x
representa el desplazamiento de la masa no rotante (M-m) y Xm el
desplazamiento de la masa m relativo a la masa de la mquina M, la
ecuacin del movimiento es entonces:
Figura 41. Sistema dinmico sujeto l una excitacin
desbalanceada.
(M - m)x +m(x + X rn) + eX + kx = O (6.40)
!60
-
El desplazamiento de m relativo a la mquina es:
Xm == esenwt (6.41 )
(6.41) en (6.40):
Mx + e x+ kx == me(,)2 sel1wt (.42)
Esta ecuacin es similar a la (6.25), dondc la fucrza Fo es
rcemplazada por mec,J2. solucin es similar a la ccuacin (6.27) que
cn forma adimensional quedara:
(6.43)
(6.44)
La solucin completa quedara:
x M sen(cat-8)
e m
y el ngulo de fase: TanO ==
x exp~ sc0"l {ACXP[(S2 ~ l)Yi (o'" J+ BCXP[-(S2
me sen()tO) + (6.45)
Im(1- 1," , +eSII rCe) n / CJ n
Movimiento del soporte. Cuando un sistema es excitado en la
base, como lo muestra la Figura 42, con un desplazamiento u(t) =
VOSCIHJt,
u(t]= U o :;lIlWt x
m
Figura 42. Sistema excitado en el soporte.
la ecuacin del movimiento puede ser escrita como:
mx + c( x - u) + k(x u) = O (6.46) 161
-
Esta ecuacin puede ser escrita en la forma:
mx + ex + kx cUo ()COS()t + kuosemt= Fosen(c,)t + ~) (6.47)
Donde: Fo UO (k2 + C2b)2) (6.48)
(6.49)y
La solucin de la ecuacin (6.47) es similar a la ecuacin (6.25),
excepto por el ngulo de fase (p.
Resonancia, sistema de banda ancha y factor Q. Un sistema
vibrando se dice que entra en resonancia cuando la respuesta es
mxima. Las respuestas al desplazamiento y la aceleracin son mximas
cuando () (')n (1 - 2 (6.50)
Mientras la respuesta a la velocidad es mxima cuando (,) = (')n
(6.51)
En el caso de un sistema no amortiguado, la respuesta es mxima
cuando b) (,)n, siendo )n la frecuencia de vibracin libre del
sistema. Para un sistema amortiguado, la frecuencia natural de
amortiguamiento es dada por: ()d (.1n (1 - (,2)'/, (6.52)
En muchos sistemas mecnicos, el amortecimiento es pcqueiio y la
frecuencia de resonancia y la frecuencia natural de amortecimiento
pueden considerarse aproximadamente las mismas.
Cuando el sistema desprecia el amortiguamiento, la respuesta de
frecuencia tiene un agudo pico en resonancia; pero SI el
amortiguamiento es grande la respuesta cerca de la resonancia es
grande como se muestra en la Figura 43. Una parte de la curva pRfa
un valor especfico de amortiguamiento es mostrado en la Fif.,'Llra
43.
El factor Q es definido como:
Q = 1/2C, Rmx (6.53)
Esto equivale a la respuesta maXllna en sistemas fsicos con bajo
amortiguamiento. La banda ancha es definida como el ancho de la
curva de respuesta medida en los puntos de la curva en donde la
respuesta es Rmx . Para sistemas fsicos con C,
-
Frecuencia
Figura 43. Resonancia, banda ancha y factor Q.
Sistemas torsionales con vibracin forzada. En el sistema
torsional de la Figura 34, si el disco est sujeto a un torque
cxtcn10 sinosoidal, la ecuacin del movimiento puede ser escrita
como:
(6.55)
Esta ecuacin tiene la misma forma de la ecuacin (6.25) y la
solucin puede ser obtenida reemplazando m por ,J y Fo por To y
usando los coeficientes de rigidez tor810nal y amortecimiento
torsjonal por k y e, respectivamente.
3. SISTEMA CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
El sistema de modelo de un solo grado de libertad no describe
suficientemente el comportamiento vibracional. Cuando se requiere
informacin sobre altas frecuencias naturales del sistema, es
necesario modelarlo como un sistema de varios grados de libertad.
Antes de analizar un sistema de varios grados de lbertad, se
presenta primero el sistema de dos grados de libertad con el fin de
que sirva de base al estudio del comportamiento de sistemas de
varios grados de libertad.
3.1 Sistema con dos grados de libertad.
Vibracin libre. El sistema mostrado en la Figura 44, consiste en
dos masas mI y m2, con coeficientes de rigidez kl y k2, Y
coeficientcs de amortiguamiento Cl y C2.
~ '-' Il'V:J o.. tl1 '.v
O:::;
____ ~~,!C________ _
R ~/fflnaA
-.-...-----......... --~------
16:1
-
Figura 44. Sistema de dos grados de libertad.
Las ecuaciones del movimiento son:
(6.56)
Asumiendo una solucin del tipo Xl (6.57)
(6.57) en (6.56):
(6.58)
De las ecuaciones (6.58) se obtiene la ecuacin de la
frecuencia:
k2
)2 _-
() (6.59)
La ecuacin (6.59) representa un polinomio de cuarto grado, con
cuatro races; siendo la solucin completa cuatro constantes que
deben ser determinadas con las cuatro condiciones iniciales X,X2,X1
y X2
Vibracin forzada. Cuando un sistema auxiliar amortecido
masaresorte es sumado a un sistema principal para reducir la
vibracin del principal, el sistema secundario o auxiliar es
conocido como un sistema principal y solamente se considera la
fuerza Pscn(l)t actuando sobre la masa primaria m. Con referencia a
la Figura 44. las ecuaciones del movimiento son:
} (6.60)
Asumiendo una solucin del tipo:
164
-
(6.61)
(6.61) en (6.60), se encuentran las Ai:
- OJ2[2D(V;2(1J2 - D2((V~- (1)2)JA1 - ")"}
D~ -1- D:;
_ O)2 [D ((V~ - (j) -1- 2D 2 (O;2(r)2 J
(6.62)1 7A2- O; D;-1A - (O2 (2!) W~-2(Vl _ J)2{()~)
3 - D? -1- D~
- W'(!)(lJ; +2D2(I);2()2)A41)2 -1- l)2
2
Donde:
(6.63)
Cl)2 _k/rr . Wl k/rr2 { l-mx- .{ _c~ . _c~ (6.64)1 - m' 2 - . m
'~l - 2 m Cl) , ~ 2 - . 2 m ) y 1 - m 1 2 1 1 2 2
Las respuestas tambin pueden ser escritas de la forma:
(6.65)
Donde: 1
Bl~(AJ-I-A~)Y~ Y B = (A2 -1- A2) '2:2 3 .1 (6.66)
3.2 Sistemas con varios grados de libertad. En muchas
aplicaciones es necesario conocer los varios modos del sistema
vibrando y evaluar la respuesta de la vibracin. Cuando el sistema
estructural es complejo, puede ser modelado como un sistema
discreto de varios grados de
165
-
libertad, concentrando su masa y propiedades de rigidez en un
nmero de sitios o estaciones sobre la estructura.
El nmero de grados de libertad de una estruclura es el nmero de
coordenadas independientes que se requieren para describir su
movimiento o la configuracin de la estnlctura. En un modelo de masa
amortecida, si el movimiento es considerado en una sola direccin,
al nmero de grados de libertad es igual al nmero de masas; y si el
movimiento es en el plano, el nmero de grados de libertad seria
igual l dos veces el nmero de masas amortecidas.
Mtodo de Holzer. Cuando un sistema torsiona1 no amortiguado,
consistente de varios discos conectados por ejes que vibran
libremente en una de sus frecuencias naturales, no se requiere de
una fuerza, momento o torque cxterno para mantener la vibracin. En
el mtodo de Holzer, esta situacin es usada para calcular las
frecuencias naturales y modos naturales del sistema vibrando. La
Figura 45, muestra un sistema tors10nal con vanos discos conectados
por ejes.
Figura 45. Sistema torsiona1 con cuatro grados de libertad
Holzer propuso un mtodo de clculo suponiendo una frecuencia y
empezando con una amplitud unitaria en un extremo del sistema y
calculando progresivamente el torque y el desplazamiento angular en
el otro extremo. Las frecuencias que resulten en torque externo
cero o condiciones de borde compatibles en el otro extremo, son las
frecuencias naturales del sistema. El mtodo puede aplicarse a
cualquier sistema de parmetros concentrados, sistemas lineales,
masa-resorte, vigas resorte, etc.
Para una frecuencia w y 81 = 1, el torque inercial
correspondiente al primer disco en la Figura 45 es:
(6.67)
Este torque es transmitido al disco 2 a travs del eje 1; por lo
tanto:
(6.68)
166
-
El torque inicial del segundo disco sera ,LM2 O2 Y la suma del
torquc inercial del disco 1 y elseo 2 es transmitida al disco :1 a
travs del eje 2, la cual da:
.69)
Continuando con este proceso, se ve que el torque al final es el
lorque inercial combinado de todos los discos, siendo el torque
resultante en el extremo mas alejado:
11
T I.fo/O (6.70)
Donde n es el nmero total de discos. Si el disco es libre en el
extremo, el torque tot.al T podra desaparecer. Repitiendo los
clculos para otros valores de Gl, las frecuencias naturales se
encuentran cuando T "'" O
MODELO 1. Una rueda de automvil y su llanta estn suspendidas de
una barra de acero de 0,50 cm de dimetro y 2 m de longitud, como se
muestra en la Figura. Cuando a la rueda se le da un desplaz,lmiento
angular y se la suelta, realiza 10 oscilaciones en 30,2 segundos.
Halle el momenlo polar de inercia de la rueda y de la 11ant
-
(80)( 10'1)(0,006136)(1 ilL 2 455 Nmjradk 2 '
Sustituyendo en la ecuacin de la frecuencia natural:
cJ == k 2,455 = 567 kgm 2
2,08 '
MODELO 2. Los datos siguientes estn d
-
1 r--9$t /" 2n ~ 1.401(10') '= 13,32 Hz
(a) La amplitud de la vibracin de la ecuacin 6_35: 350
x = ---r=============-==-=
l2(O,20) 50 J~2 13,32 =0,0379 mm
(b) La transmisibilidad de la ecuacin (6.38) es:
( SO-'- I 2(0.20) . \ . 13,32
(e) La fuerza transmitida sera: 350(0.137)=47.9N
MODEL,o 4. Si las masas y constantes de resorte del sistema la
Figura son iguales a m y k respectivamente, los modos normales
sern:
2 k 3k (,J] = -- Y A = 1 ,
nl m 2
0,137T=-c==~==~============
Determine la vibracin libre del sistema cuando las condiciones
iniciales son:
Xl (O) 5 X2 (O) = O Xl (O) = O X2 (O) O
PX
Cualquier vibracin libre puede considerarse como la superposicin
de sus modos normales. As, los dos desplazamientos se pueden
escribir como:
Iht)
http:350(0.137)=47.9N
-
Los pnmeros trminos de la derecha corresponden ni primer modo
normal a la frecuencia COJ. SU razn de amplitudes es tambin AJ / Al
=A/A== 1, que es la primera forma modal. Los segundos oscilnn a
(')2 con razn de amplitudes Bl/B2 == B/B == - 1, de acuerdo con el
segundo modo normal de vibracin. Las fases \111 y 1j12 simplemente
permiten la libertad de desplazar el origen de los tiempos y no
alterar el cnrctcr de modos normales. Las constantes A, B, \1'1 Y
\112 satsfncen las euntro condiciones iniciales, que pueden
escogerse arbitrariamente.
Haciendo t = O Y Xl (O) == 5, X2 (O) == O, se obtiene: 5 A sen
\jll - B sen '1/2
O == A sen '111 + B sen \1'2
Reagrupando: A sen \1/1 = 2
B sen '1'2 = 2,5
Diferenciando las ecuaciones de desplazamiento pnra b velocidml
y haciendo t O, se obtiene:
O = OllA COS \1/] == ('12B cos \1/2
O (1) lA cos \1/1 == (tl2B cos \1'2 Por lo tanto:
cm; \111 == O o \1'1 = 90" COS\I'2 O o \1'2 90
La solucin es entonces:
, r~kXl = 2,5 cos t + 2,5 COS \I~- t v 1/1
2,5 cos [lk tX2 == 2,5 cos fm Que en [arma matricial:
JI) :'k{\,~ = 2,5 CI} cosJ: 2,5 II f COS r-
t v~ t
PROBLEMAS
1. Una masa mI cuelga de un resorte k (N/m) y cst~~ en
equilibrio esttico. Una segunda masa m2 cae desde una altura h y se
une a m 1 sin rebote, corno muestra la Figura. Determine el
movimiento subsiguiente.
170
-
rn 2
2. Determine la rigidez rotacional efectiva del eje de la Figura
y calcule su perodo natural.
,j
3. Un motor elctrico de 68 kg de masa est montado en un bloque
aislante de 1.200 kg y, la frecuencia natural de todo el sistema es
de 160 cpm, con un factor de amortiguamiento de 0.10. Si hay un
desbalance en el motor que origina una fuerza F= 100 sen 31,4t,
determine la amplitud de vibracin del bloque y la fuerza trasmitida
al piso.
a
4. Escriba las ecuaciones de movimiento para el sistema
mostrado
en la Figura y determine sus frecuencias naturales y formas
modales.
171
-
m;m
~ k ~
5. Determine las frecuencias naturales y los modos normales del
sistema mostrado en la Figura cuando:
gml 3,86 lb k 20lbjpulg gm2 == 1,93 lb k2 == 10 lbjpulg
Cuando se excita con FI == Fo sen ([)t, determine las ecuaciones
para las amplitudes y grafquelas contra lj (\)1 1.
172
-
CAPITULO VII. TRENES DE ENGRANAJES
1. INTRODUCCIN
Los engranajes son rganos mecnicos que sirven para transmitir
potencia o movimiento entre dos o ms rboles, sin deslizamiento y
poca vibracin, mediante el engrane entrc dientes y flnncos ele las
ruedas dentadns. La combinacin de varios engranajes dentro de Ulla
misma transmisin se conoce como trenes de engranajes.
El empleo de trenes de engranajes, es decir la transmisin ele
potencia a travs no de un par de ruedas sino de varias, se hace
necesario en muchas ocasiones, sobre todo en la maquinaria de
elevacin, arrastre y transporte. Tres casos tpicos son:
a) Cuando la relacin de transmisin es demasiada elevada para
un;:.l transmisin elemental o directa. Relaciones del orden de 1/50
slo puede resolverse con un tren de engranajes.
b) Cuando la distancia entre el eje motor y el eje aCconndo es
demasiado elevada para una transmisin elementaL
e) Cuando dicha relacin de transmisin es una fraccin irreducible
de gran nmero de cifras en el numerador o denominador o es
inconmensurable.
Segn la posicin de los rboles, los engranajes se clasifican
en:
. . } Engranajes cilndricos exteriore},Dentado directo >-
Arboles paralelos Engranajes cilndricos interiores (l
Cremallera - pilln Dentado hc1icoida]
~ rboles que se interceptat Engranaje cnico dentado recto y
oblicuo Engranaje cnico dentado curvo (zerol) Engranaje cnico
dentado en espiraL
Engranajes helicoida1cs 'y rboles que se cruzan Rueda - tornillo
si fin
} Engranajes hipoidales
En la Figura 46 se presentan los diferentes tipos de engranajes,
y en la Tabla 6 1 sus aplicaciones, ventajas y desventajas,
In
-
Engrane ext.erno Engrane interno
I i
( I
Cilndricos de dientes rectos Cilndricos de dientes
hclicoichdcs
Engranajes de tornillo sinfn Hipoicla1es
i:;;ngranajcs cnicos Engranajes cremallera
Figura 46. Tipos de engranajes
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UNIVERSI[).\I) NACIO:>AL [lE COLOl\llllA 174
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Tabla 6- 1 Caractersticas de los engranajes
- ..._-...__..._-- .. ~---~-------
-------._--~----~_._---_.._-_.-- - - -~.. _---_._--_..__ . ----
..-..__...._TIPO APLICACIONES DF.:SVENTA,Il\S
Recto r:xterior r:::jes pan1lt-~los - Costo moderado -l~darn de
contacto Velocidadcs moderadas I:;;mpujr' nxial NO pr'quca
Recto Interior - [~jcs paraje los PequeIla dstanci,l entrc .
Montajc cxigcntr'
- Velocidades moclcraclas ejes Costoso
Igual sentido c!e rotacin -"dadn dr' contacto
grande
-Empuje HxHI NO
Helicoirlal Ejes paralelos -Funcona 111 t'll to SIlencioso
1':111 puje ;lxin l
Velocidades alias - l\lta cnpacidmJ de carga . Montajr'
cuidadoso
Espina pescado E.les pamlelos -No empuje ;lxi11 Muy costoso
(Herringbone) Velocidades altas -J~elacin ele con tmto
- Servicio pesado granele
En los engranajes internos, la relacin de velocidades relativas
de giro es positiva e inversamente proporcional a los radios y en
los engranajes externos la relacin de velocidades relativas es
negativa e igualmente inversamente proporcional a los radios.
La relacin de velocidades de un par de engranajes es
inversamente proporcional al nmero de dientes e inversamente
proporcional al dimetro de paso. Las ecuaClOnes para cada engranaje
en el tren simple son:
. _ _ . _ N 4 , n .. - - n., , n. - --n 4 (7,1) ~ N ., ,) N 4
~
Donde n se da en revoluciones por minuto y N = nmero de dientes.
Estas ecuaciones pueden cambiarse para encontrar la razn ele
velocidad entre el primero y el ltimo engranaje:
(7.2)
En la figura 47 (a), se presenta un tren de engranaje simple, en
la cual hay solamente un engranaje por cada eje y en la figura 47
(b) se muestra un tren de engranajes compuesto en la cual dos o ms
engranajes pueden rotar alrededor de un simple eje.
175
-
(a]
t
.1!J 5
(b]
Figura 47. a) Tren de engranaje simple. b} tren de engranaje
compuesto
Se nota que el nmero de dientes en el numerador corresponden a
los engranes impulsores y el nmero de dientes en el denominador a
los engranajes impulsados. Los engranajes 3 y 4 son a la vez
impulsores e impulsados. Cuando esto sucede, el nmero de dientes
asociados con este engranaje se cancelar cn la funcin del tren de
engranes. Tal engranaje se conoce como engrane intermedio o
engranaje loco debido a que el nmero de dientes se cancelan. Los
engranes intermedios no afectan la magnitud de la relacin entre la
entrada y la salida, pero si cambian las direcciones de rotacin,
como 10 muestran las flechas en las figuras. Los engranajes
intermedios tambin pueden producir un ahorro de espacio y de
dinero. En la figura 48, el tren simple mostrado en la figura 47 se
presenta repetido. El trazado punteado sefiala un par de engranajes
con la misma distancia entre centros que los engranajes 2 y
teniendo la misma relacin entrada - salida que el tren simple.
17h
-
Figura 48. Los engranajes 2' y 5' reemplazaran a los otros
engranes (2,3,4 y 5)
La ecuacin (7.2), pueden ser simplificada como:
(7.3)
Donde el sIgno menos es introducido para indicar que ambos
engranajes giran en sentido contrario.
En general, la formula de la relacin de velocidades de un tren
de engranajes ser:
n ltimo de los nmeros de el
entes-"---.-----.----.--.-.---------~----.- = tren e (7.4)
n primero productos de los nmeros de dientes impulsados
En el tren de engranajes compuesto de la figura 47 (b), la
relacn de velocidades para los pares de engranajes impulsor e
impulsado sern:
N,N 2 n, Nnz y n, --n 4 y (7.5) .1 Ns
113 = n4 por estar en el mismo cje. Com binando las ecuaciones
(7.5), se encuentra:
(7.6)
Lo importante aqu que se debe destacar es que el nmero de
dientes de todos los engranajes constituyen un engrane con un par
compuesto que son requeridos para determinar la relacin de
velocidades a travs del sistema. Los trenes de engranajes
compuestos tienen una ventaja sobre los trenes de engranajes siendo
simple siempre que el cambio en velocidad sea grande. Por ejemplo,
si una reduccin 12/1 es requerida,
177
-
el engranqc final cn un tren simple tiene un dimctro 12 veces el
primer engranaje.
2. SELECCI()N DEL TIPO DE ENGRANAJE
La disposicin de los ejes que van a ser unidos por el tren de
engranajes generalmente sugiere el tipo de engranaje a escogcr. Si
los tjes son paralelos o se interceptan o se cruzan ya se defini
atras cual era el tipo de engranaje ms indicado. En la figura 49,
el tren mostrado tiene
3 4
RH
TilO
Figura 49. Tren de engranajes diversos
Varios tipos de engranajes. Los engranajes 2 y 3, son engranajes
helicoidales paralelos, que tienen una relacin de velocidad:
n:= J N n 2 (7.7)
.1
Los engranajes 4 y 5, engranajes cnicos tiene una relacin de
velocidad:
Los engranajes 6 y 7, tornillo sinfn engranaje, son considerados
ligeramente de una manera diferente. El tornillo sinfin tiene uno,
dos, tres o ms filetes. Con un filete, podra tener un avance igual
al paso de rosca del filete, con dos fileles tendra un avance igual
a dos vcces el paso de rosca, as:
17K
-
Nmero de filetes del sinfin
Nn 7 := n(, (7.9)
7
Reuniendo las ecuaciones (7.7), (7.8) Y (7.9), se encuentra:
(7.10)
Donde N6 = nmero de filetes del tornillo sinfin. La direccin del
engranaje 7 es mostrada en la figura, teniendo en cuenta la
direccin asignada al tornillo sinfn.
3. DISEO DE LOS TRENES DE ENGRANA,JES
Un aspecto importante al definir un tren de engranajes es
deducir el nmero de pares necesarios y el nmero de dientes de cada
par para satisfacer una cierta relacin de transmisin necesaria del
tren:
i== () inicial! () final
Como norma general se tiene que la relacin de transmisin en cada
par de engranajes que componen el tren no debe ser superior a 7 y
el nmero mximo de dientes no debe ser superior a 127. Se pueden
presentar los siguientes casos:
a) La relacin a conseguir es menor a 7, entonces la solucin es
inmediata con una sola pareja de engranajes si i 5, i 100/20, por
lo tanto se utilizara un par de engranajes de forma que uno ele
ellos tuviese 100 dientes y el otro 20.
b) La relacin esperada es menor a 7, pero para conseguirlo con
un solo par es necesario utilizar engranajes con un nmero de
dientes superior a 127. Por ejemplo si se desea un i = 6.93, para
conseguirlo con un solo par de engranajes se necesitara un
engranaje NI 693 dientes y N2 = 100 dientes, siendo en nmero de
dientes NI = 693 excesivo. Es necesario descomponer el nmero ele
dientes en factores ms pequefos que 127, empleando varas parejas de
engranajes:
. 693 21 33 1=
100 10'10
Se utilizara dos parejas de engranajes la primera con NI 21, N2
10 Y la segunda con N3 33 Y N4 = 10.
Si el nmero de dientes es superior a 127 y no se puede
descomponer en factores hay que utilizar el mtodo de aproximacin
con fracciones reducidas, pues resulta imposible que cumplan las
condiciones deseables de funcionamiento.
179
-
El mtodo se basa en ir separando la parte entera de la parte
decimaL La parte decimal se expresa en forma de fraccin con
numerador la unidad volviendo a descomponer el denominador en parte
entera y decimal. Si en cada descomposicin se elimina el decimal
del denominador, se obtiene para cada interaccin aproximaciones ms
exactas a la relacin deseada.
5 1:\1Por ejemplo con i == 6.55 = 655 _ 5(131) ~-.- -- 100 100
JO 10
Se procede de la siguiente manera:
Primera aproximacin:
i == 6.55 = 6 + 0.55 == 6 + 55 =6 + _1100 lOO
55
4~\1 b .Si se elimina la parte decimal del denominador _ se o
tJene 5) )
i=7 =70/10
Segunda aproximacin:
1 _ 1 1=6+ =6---=6+----~--
1+ 45 1+~ 1 1 55 55 1+ 1 ()
45 45
( I ()Si se elimina la parte decimal del ltimo denominador l se
obtiene
,45
una relacin i 13 6.5 = 65 2 JO
- Tercera aproximacin:
1 1 i~.=6+--- 6 +---- = 6 + ------~---- 6 + -------
1 1 111 1+ 1 1+--- --1 1+
101+-- 1+ -- 1+- 1+
45 45 4 + 5 4 + I 10 10 2
Si se elimina la parte decimal del ltimo denominador (1/2), se
obtiene
una relacin i = 59 = 6.555, que es la ltima aproximacin
posible.9
cl En el caso que se requieran relaciones de transmisin
superiores a 7, se pueden aplicar los casos anteriores, teniendo en
cuenta que si en la descomposicin resulta un nmero demasiado pequeo
de
180
-
dientes se multiplique numerador y denominador por un factor que
fije el nmero de dientes en el intervalo deseado.
Si i=217,entonces:
JI(2) 7(10) 6(15) ----_. i = 31 (7) . .
10 2(6) 15
Se resuelve con tres parejas de engranajes en los que la relacin
de transmisin de cada par es menor a 7.
d) Si la relacin de transmisin en el tren de engranajes es un
nmero irracional, necesariamente se debe recurrir a la
aproximacin.
4. TRENES DE ENGRANAJES PLANETARIOS
En las secciones anteriores se analizaron los trenes de
engranajes que tienen sus ejes paralelos y fijos en el espacio. Si
se permite que los ejes de uno o ms de los engranajes en un tren se
muevan mientras permanecen paralelos, se presenta una categora ms
verstil de trenes conocida como trenes de engranajes planetarios,
trenes que se mantienen unidos por un brazo llamado "portador de
planetas".
Los engranajes planetarios o epiciclodales se componen de nledas
dentadas cilindricas o cnicas conocidos como planetarios o satlites
que pueden girar alrededor de un engranaje central llamado solar a
engranaje sol gracias a que sus centros estn conectados por el
brazo portador o puente (Figura 50)
Figura 50. Tren de engranajes planetarios
Para analizar las relaciones de velocidad entre los engranes que
tocan dichos engranes planetarios, se requiere modificar la frmula
del tren
181
-
de engranajes, ecuaClOn (7.4). Bsicamente la modificacin
requerida implica analizar el tren dc engranajes como si el brazo
estuviera fijo en el espacio. As, se estara viendo el movimiento
relativo de los engranes con respecto al portador de planetas. Esto
puede requerir que el observador imagine que algunos de los
engranes que estn en realidad fijos, sean capaces de girar. Dado
que el trcn de engranaje planetario se comporta como un tren de
engranes de eje fijo al verlo desde el portador de planetas, la
frmula de la ecuacin (7.4) puede escribirse como:
n ltimo relativo al brazo nltimo ~ nbrazo ~~~~Trene= (7.1 1) n
primero relativo al brazo nprimero ~ nhrazo n: ~ ni'
Donde: nF rpm del primer engrane en el tren planetario nL == rpm
del ltimo engrane en el tren planetario nA = rpm del brazo
Aqu nuevamente el tren e se construye como:
Producto de los nmeros de dientesTren e =
Producto de los nmeros de dientes impulsados
Se a.sigl1a lln signo "+ o " a. la funci11 del trcTl (le
cllgral1cs dependiendo de si el ltimo engrane en el tren se mueve
con el mismo sentido o en sentido opuesto que el primero.
Los trenes de engranes planetarios son especialmente bien
adaptados para aplicaciones que requieren trenes compactos con
altos niveles de reduccin de velocidad y que requieren poco
espacio. Adems, al poseer mayor nmero de dientes en contacto
facilita la transmisin de grandes esfuerzos.
Si se desprecia la friccin en un tren de engranajes, las energas
de entrada y salida del tren deben ser iguales. Esto significa
que:
TItltTIU nultmo Tprmero nmmcro (7.12)
Esta ecuacin (7.12) proporciona una manera de calcular el par de
salida de un tren de engranajes si se conoce el par de entrada.
Los engranajes planetarios o epiccliclos se clasifican en:
Trenes simples o de un puente: compuesto de dos ruedas dentadas
engranadas entre si o a travs de ruedas intermedias, conectadas con
un puente alineado con el engranaje solar, algunos ejemplos se
muestran en la figura 51.
IK2
-
pp
s G
T
P, IP,
s ( (" ~~
Figura 51. Trenes planetarios sim pIes.
Trenes compuestos o de varios puentes. La suma de varios trenes
simples genera el tren compuesto, en donde el nmero de puentes
indica directamente el nmero de trenes simples. En la figura 52 se
indica la forma como se genera un tren compuesto.
1REN A TREN B
__----'c"--_-I
Figura 52. Trenes planetarios compuestos
Los trenes de engranajes planetarios simples son mecarusmos
inusuales porque tienen dos grados de libertad, es decir, para
movimiento restringido debe tener dos entradas; sin embargo, les
permite actuar como mecanismos diferencales, ya que pueden recibir
dos velocidades de giro independientes en dos de sus engranajes.
Por lo
10.1
-
tanto, el nmero de grados de libertad para un tren compuesto ser
igual a (2 x nmero de trenes simples)- uniones entre ellos. Cuando
el nmero de grados de libertad se reduce a 1 ubicando diferentes
ligaduras entre los engranajes, la relacin de transmisin va
cambiando para cada conjunto, lo que convierte al tren planetario
en una apropiada caja de velocidades compacta. As por ejemplo un
tren simple que tiene dos grados de libertad, ofrece al menos dos
relaciones de transmisin, mientras que un tren compuesto ele 2
U'enes simples unidos proporciona inieialmente (2x2) 1 = 3 grados
de libertad, que permitiran fcilmente hasta 15 tipos de relacin de
transmisin.
5, TREN DE ENGRANAJES DIFERENCIAL
Se trata de un tren epicicloidal de ejes intermedios no
paralelos, SIno concurrentes, es decir lo que se conoce como un
tren esfrico. Se utiliza en mquinas donde el movimiento y la
potencia se transmite de un eje primario a semiejes secundarios
perpendiculares que giran a la misma velocidad pero pueden sufrir
cambios o alteraciones de conformidad con las reacciones
encontradas en su movimiento.
Los diferenciales ms comunes estn formados por engranajes cnicos
y los ms sencillos se componen de un pin de ataque y una corona
solidaria con la caja de satlites, donde se acoplan dos engranes
cnicos unidos a la caja y otros dos unidos a los semipaleres.
El mecanismo diferencial es realmente un tren planetario en el
que la caja aeta de puente moviendo dos engranajes cnicos que actan
como planetarios que son los que transmiten el movimiento a otros
dos engranajes cnicos que actan de solar alineados con los
semipalieres. El diferencial sencillo corresponde a un tren de
engranajes planetarios exterior, en donde los satlites y
planetarios son plones cnicos con ejes perpendiculares, como lo
muestra la figura 53.
4
3f----
Pllll1f"tari O~; 1 y ?
Corona
Figura 53. Tren diferencial simple.
IS4
-
Como rl r2, se encuentra:0=
(7.13)2
(7.14)
Cuando nI == n;1, entonces nI == n;1 ncoronfl y la marcha de
ambos semiejes es igual a la del chasis. Se ve adems que las
velocidades pueden ser distintas sin que se altere la marcha del
chasis y por lo tanto, la del pin que lo acciona. Este dispositivo
tiene una aplic3cin clsica en los ejes traseros de los tractores y
automviles, constituyendo lo que se llama el grupo diferencial por
la posibilidad de que las ruedas traseras puedan girar a la misma o
diferente velocidad, segn las necesidades de transitar en recta o
curva, respectivamente.
Los diferenciales dobles utilizados en los tractores de cadena,
tienen en su caja doble nmero de satlites y 4 solares, de tamaos
distintos.
MODELO l.
En la figura 50, el engrane Sol es la entrada y se impulsa en el
sentido de las manecillas del reloj a 100 rpm. El engrane corona se
mantiene estacionario por estar sujeto al bastidor. Calcule las rpm
y el sentido de rotacin del brazo.
Sea nF 0= n2 == 100 rpm y n1., == 115 = O
Liberando el engranaje 5 y manteniendo el brazo estacionario, se
tiene:
Tren e 0.25
0.25 == _~O_-_~c__En la ecuacin (7.11): (-100)- n
l\
nA 20 rpm0=
La velocidad angular del engrane relativa al brazo en rpm
corresponde a: 1123 = 112 - 113
La velocidad del engrane 4 relativa al brazo en rpm corresponde
a:
185
-
n 43 == -~..'-__."..Por lo tan to: 11 2. 11 2 - nJ1
20 2Pero
30
Sustituyendo los valores, se obtiene:
2 - == => n'l =33.33 rpm
3 (-100)-(-20)
MODELO 2.
La figura muestra un tren planetario revertido. El engrana.c 2
es movido por su eje y a 250 rpm. en direccin horario. Los
engran.cljes 4 y 5 son planetarios articulados pero de libre giro
sobre su eje que es transportado por el brazo planetario. Hallar la
velocidad y direccin ele rotacin del brazo. El engranaje 6 es
estacionario.
34dre
Para este tipo de problemas, debemos decidir, cual vamos a
designar como primer y ltimo engranjes. Como las velocidades de
rolaci11 de los engranajes 2 y 6 son dadas, cual quiera de los dos
engranajes puede ser utilizado como el primero. Esto no altera el
resultado, pero una vez escogido el engranaje, no puede ser
cambiado.
Escojamos como primero el engranaje 2, Y el engranaje 6 como
ltimo.
E ~~EJ\_Sabemos que: n[ n/\
nL: RP.M. del ltimo engranaje nr: RP.m del primer engranaje nA:
RP.m del brazo
E = Producto del nmero de dientesTambin
Producto del nmero de dientes impulsados
IX6
-
n( = n2 = -250 RPM siendo el sentido antihorario pos: n!.., = n6
= O (estacionario).
E=~){N'i = 20x16 N4 xN6 30x34
16 nL-nAEntonces tenemos que: = E 51 nf-nA
Reemplazando por sus equivalentes tenemos: