Parte II

Introduo Distribuio de Probabilidades

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Universidade de So Paulo

Disciplina: Climatologia II ACA 0226

Introduo Estatstica Aplicada ClimatologiaParte II Distribuies de ProbabilidadesProjeto PAE

Bolsista: Michelle S. ReboitaSo Paulo, 2005.

Sumrio

31Introduo Distribuio de Probabilidades

42Definies

42.1Varivel Aleatria

52.2Distribuio de Probabilidades

52.2.1 Noes Iniciais

82.2.2 Distribuio Terica

82.2.3 Parmetros e Estatsticas

92.2.4Distribuio Discreta e Contnua

93Distribuies Contnuas

113.1Distribuio Normal

213.2Distribuio Gamma

273.3Distribuio de Valores Extremos

343.4Distribuio Exponencial

364 Distribuies Discretas

374.1 Distribuio Binomial

394.2 Distribuio de Poisson

424.3Distribuio Geomtrica

465Referncias

1 Introduo Distribuio de Probabilidades

Um erro muito comum em anlise de dados climatolgicos desprezar as caractersticas da distribuio de probabilidades mais adequada para os dados em estudo. O mais freqente adotar-se, a priori, a distribuio normal o que pode resultar, se os dados no seguem essa distribuio, em concluses erradas. Isso ocorre, provavelmente, porque a distribuio normal foi a primeira distribuio de probabilidades estudada e pelo fato de existir facilidade na estimativa dos seus parmetros e das probabilidades (Assis et al., 1996).

Contudo, os procedimentos para se determinar qual a distribuio de probabilidade mais adequada para um certo conjunto de informaes relativamente simples e, uma nica distribuio pode ter um vasto espectro de aplicao. Por exemplo: os totais anuais de precipitao tm distribuio aproximadamente normal; os totais mensais da mesma varivel tm distribuio fortemente assimtrica e a de totais dirios de chuva mais assimtrica ainda. Entretanto, todos esses conjuntos de dados podem ser adequadamente ajustados distribuio de probabilidades gamma.

Na figura 1 apresentado os tipos mais comuns de distribuies de probabilidades encontrados em climatologia. A figura 1 A representa uma distribuio simtrica, tpica da distribuio normal de probabilidades que, geralmente, se ajusta bem aos dados de temperatura horria; o histograma da figura 1 B de uma distribuio com forte assimetria, com forma de Jota invertido, forma tpica da distribuio dos totais dirios de chuva; a figura 1 C representa uma forma de distribuio tpica de dados que variam no intervalo (0,1), como umidade relativa, razo de insolao e ndice de seca; a figura 1 D mostra uma distribuio cujo histograma de freqncias sugere a forma da letra U, a qual comumente encontrada nos dados de insolao diria; a distribuio da figura 1 F representa uma distribuio uniforme, um caso da distribuio beta com dois parmetros iguais unidade.

Neste material abordaremos os conceitos de varivel aleatria, distribuio de probabilidades e processos para clculo da esperana e varincia de uma distribuio de probabilidades.

Figura 1. Tipos de distribuies mais comuns em climatologia (Assis, et al., 1996, pg. 36).

2 Definies

2.1 Varivel AleatriaA varivel aleatria uma varivel que tem um valor nico (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento. A palavra aleatria indica que em geral s conhecemos aquele valor depois do experimento ser realizado (Triola, 1998).

Exemplos de variveis aleatrias:

a. nmero de alunos que no compareceram a aula de estatstica num determinado dia;

b. altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente.

No material correspondente a Parte I foi realizada uma distino entre dados discretos e dados contnuos. As variveis aleatrias tambm podem ser discretas ou contnuas.

Varivel aleatria discreta: aquela que assume valores inteiros e finitos.Varivel aleatria contnua: aquela que pode assumir inmeros valores num intervalo de nmeros reais e medida numa escala contnua. 2.2 Distribuio de Probabilidades

2.2.1 Noes Iniciais

Alm de identificar os valores de uma varivel aleatria, freqentemente podemos atribuir uma probabilidade a cada um desses valores. Quando conhecemos todos os valores de uma varivel aleatria juntamente com suas respectivas probabilidades, temos uma distribuio de probabilidades. A distribuio de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numrico de um experimento, ou seja, d a probabilidade de cada valor de uma varivel aleatria. Por exemplo, no lanamento de um dado cada face tem a mesma probabilidade de ocorrncia que 1/6.Como os valores das distribuies de probabilidades so probabilidades, e como as variveis aleatrias devem tomar um de seus valores, temos as duas regras a seguir que se aplicam a qualquer distribuio de probabilidades: 1. A soma de todos os valores de uma distribuio de probabilidades deve ser igual a 1(P(x) = 1, onde x toma todos os valores possveis2. A probabilidade de ocorrncia de um evento deve ser maior do que zero e menor do que 10 (P (x) ( 1 para todo x

No exemplo do lanamento de um dado, como todas as faces tm a mesma probabilidade de ocorrncia que 1/6 ao som-las obtemos o valor 1, que corresponde a primeira regra citada acima. O valor 1/6 maior do que zero e menor do que 1, assim satisfaz a segunda regra acima.A distribuio de probabilidades pode ser representada por um histograma de probabilidades. Este se assemelha ao histograma de freqncias apresentado na Parte I, entretanto a escala vertical representa probabilidades, em lugar das freqncias relativas.

O histograma de probabilidades nos permite visualizar a forma da distribuio. A mdia, a varincia e o desvio-padro traduzem outras caractersticas. Para uma distribuio de probabilidades, essas medidas podem ser determinadas usando as expresses mostradas na tabela 1.Tabela 1. Expresses para clculo da mdia, varincia e desvio-padro das distribuies de probabilidades.Mdia(=(x P(x)

Varincia(2=([(x-()2 P(x)]

Varincia(2=[(x2 P(x)] - (2

Desvio-Padro(=([(x2 P(x)] - (2)1/2

Ao calcularmos a mdia de uma distribuio de probabilidades, obtemos o valor mdio que esperaramos ter se pudssemos repetir as provas indefinitivamente. No obtemos o valor que esperamos ocorrer com maior freqncia. J o desvio-padro nos d uma medida de quanto a distribuio de probabilidades se dispersa em torna da mdia. Um grande desvio-padro reflete disperso considervel, enquanto que um desvio-padro menor traduz menor variabilidade, com valores relativamente mais prximos da mdia. Estas frmulas podem ser utilizadas para qualquer distribuio de probabilidades, entretanto, veremos mais adiante que elas podem ser simplificadas dependendo do tipo de distribuio.

A mdia de uma varivel aleatria discreta o resultado mdio terico de um nmero infinito de provas. Podemos encarar essa mdia como o valor esperado no sentido de que o valor mdio que esperaramos obter se as provas se prolongassem indefinitivamente. As aplicaes do valor esperado (tambm chamado esperana ou esperana matemtica) so extensas e variadas e o mesmo desempenha um papel de extrema importncia em uma rea de aplicao chamada teoria da deciso.

O valor esperado de uma varivel aleatria discreta denotado por E e representa o valor mdio dos resultados:

E = (x P(x)(1)

Observamos que E=(. Isto , a mdia de uma varivel aleatria discreta coincide com seu valor esperado.

Exemplo (extrado de Triola, 1998, pag 96): Na tabela abaixo so fornecidas as probabilidades de ocorrncias de um determinado evento. Entretanto, o objetivo da mesma enfatizar o clculo da mdia, da varincia e do desvio-padro. Juntamente com a tabela ser mostrado o histograma de probabilidades. Tabela 2. Clculo da mdia, varincia e desvio-padro para uma distribuio de probabilidades.

XP(x)x P(x)x2x2 P(x)

00,2100,00000,000

10,3670,36710,367

20,2750,55041,100

30,1150,34591,035

40,0290,116160,464

50,0040,020250,100

600,000360,000

700,000490,000

Total1,0001,398-3,066

(=(x P(x) = 1,398 = 1,4(2=[(x2 P(x)] - (2 = 3,066-1,3982 =1,111596 = 1,1(=(1,111596)1/2 = 1,054323 = 1,1

Figura 2. Histograma de probabilidades.

As distribuies de freqncias construdas a partir de observaes podem ser representadas atravs de formas matemticas. Ento, as formas matemticas utilizadas para a idealizao dos dados reais so referidas como distribuies tericas.

As distribuies tericas representam os dados aproximadamente, embora em muitos casos a aproximao pode ser muito boa. Basicamente, h trs aspectos em que o emprego das distribuies de probabilidade tericas podem ser til (Wilks, 1995):

Compacidade: trabalhoso lidar com grandes conjuntos de dados brutos, sendo que s vezes, tambm pode haver limitaes para a anlise. Uma distribuio terica bem ajustada srie de dados reduz o nmero de trabalho exigido para a caracterizar as propriedades da mesma.

Alisamento e interpolao: os dados reais esto sujeitos a variaes na amostragem que podem levar a falha de dados ou a dados errneos nas distribuies empricas. Por exemplo, numa amostra de dados de temperatura mxima de uma cidade, localizada na regio tropical, no foram observadas temperaturas mximas entre 30 e 35C no vero, embora certamente temperaturas mximas nesta faixa podem ocorrer. A imposio de uma distribuio terica sobre estes dados representaria a possibilidade dessas temperaturas ocorrerem, tanto quanto permitiria estimar a suas probabilidades de ocorrncia.

Extrapolao: estimar a probabilidade de eventos extremos a variao de um conjunto de dados particular exige a suposio de eventos ainda no observados. Isso pode ser realizado com a imposio de um modelo de probabilidade (isto , uma distribuio terica) ajustado a srie de dados.2.2.2 Distribuio Terica

Uma distribuio terica um modelo matemtico. A natureza especfica de uma distribuio terica determinada por valores particulares atravs de uma entidade chamada parmetros da distribuio. As distribuies tericas tambm so chamadas de distribuies paramtricas, porque seus atributos especficos dependem dos valores numricos de seus parmetros. 2.2.3 Parmetros e Estatsticas

comum a confuso entre parmetros da distribuio e estatsticas da amostra. Os parmetros da distribuio so as caractersticas de uma distribuio terica particular. Eles representam sucintamente as propriedades fundamentais de uma populao. J as estatsticas so quantidades calculadas a partir de uma amostra de dados. A confuso entre eles pode ser devido a algumas distribuies tericas comuns onde estatsticas so bons estimadores para os parmetros da populao. Por exemplo, o desvio-padro da amostra, s, pode ser confundido com o parmetro ( da distribuio Gaussiana porque os dois so iguais quando a distribuio Gaussiana representa bem os dados amostrais. Para esta distribuio a mdia da amostra igual ao parmetro ( e o desvio-padro igual ao parmetro (. importante ressaltar que nem sempre os parmetros das distribuies so encontrados usando estatsticas das amostras. Normalmente, a notao para estatsticas da amostra envolve letras romanas e para os parmetros envolve letras gregas.

2.2.4 Distribuio Discreta e Contnua

H dois tipos de distribuies tericas que correspondem a diferentes tipos de dados ou variveis aleatrias: a distribuio discreta e a distribuio contnua.A distribuio discreta descreve quantidades aleatrias (dados de interesse) que podem assumir valores particulares e os valores so finitos. Por exemplo, uma varivel aleatria discreta pode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer inteiro no negativo, etc. Um exemplo de varivel climatolgica discreta so as tempestades com granizo.

A distribuio contnua representa quantidades aleatrias contnuas que podem tomar qualquer valor dentro de um intervalo especificado dos nmeros reais. Por exemplo, uma varivel aleatria contnua deve ser definida entre os nmeros reais 0 e 1, ou nmeros reais no negativos ou, para algumas distribuies, qualquer nmero real. A temperatura, a presso, a precipitao ou qualquer elemento medido numa escala contnua uma varivel aleatria contnua.Existem vrias distribuies discretas e contnuas, algumas delas sero mostradas abaixo. As explicaes iniciaro com as distribuies contnuas.

3 Distribuies Contnuas

A maioria das variveis atmosfricas podem assumir valores contnuos. A temperatura, a precipitao, a altura geopotencial, a velocidade do vento, e outras quantidades no esto restritas a valores inteiros de unidades fsicas em que so medidas. Embora a natureza da medio e os sistemas de relatos tal que as medidas atmosfricas so arredondadas para valores discretos, mas o conjunto de valores observados normalmente grande o suficiente para que a maioria das variveis possam ainda ser tratadas como quantidades contnuas.

Existem duas funes associadas a cada varivel contnua X: a funo densidade de probabilidade, simbolizada por f(X), e a funo cumulativa de probabilidade, ou funo de distribuio de probabilidade representada por F(X). A funo f(X) aquela cuja integral de X = a at X = b (b ( a) d a probabilidade de que X assuma valores compreendidos no intervalo (a, b), ou seja,

(2)

A funo cumulativa de probabilidade F(b) tal que:

(3)

A distribuio exponencial, por exemplo, tem a seguinte funo densidade de probabilidade:

(4)

com x ( 0. A sua funo cumulativa de probabilidade do tipo:

(5)

Qualquer funo definida no campo real s pode ser considerada como uma funo densidade de probabilidade se forem satisfeitas as seguintes condies:

(6)

para todo X e

(7)

A probabilidade de que a varivel X assuma valores no intervalo (a, b) dada por:

(8)

e a probabilidade de que a varivel contnua X assuma um valor em particular, b, por exemplo, :

(9)

H muitas distribuies tericas contnuas. Algumas das mais usadas em cincias atmosfricas so: distribuio normal, distribuio gamma, distribuio de valores extremos e distribuio exponencial. Neste material vamos tratar dos modelos probabilsticos citados, que tm importncia prtica na investigao cientfica, abordando as formas das funes densidade de probabilidade, bem como a esperana e a varincia.3.1 Distribuio Normal

A distribuio de probabilidade contnua mais importante e mais utilizada a distribuio normal, geralmente citada como curva normal ou curva de Gauss. Sua importncia em anlise matemtica resulta do fato de que muitas tcnicas estatsticas, como anlise de varincia, de regresso e alguns testes de hiptese, assumem e exigem a normalidade dos dados. Alm disso, a ampla aplicao dessa distribuio vem em parte devido ao teorema do limite central. Este teorema declara que na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio amostral das mdias amostrais tende para uma distribuio normal (Triola, 1998). Esta explicao parece um pouco complicada, portanto segue uma abordagem mais detalhada sobre a mesma.3.1.1 Teorema do Limite Central

A capacidade de usar amostras para fazer inferncias sobre parmetros populacionais depende do conhecimento da distribuio amostral. Para obtermos uma distribuio amostral necessrio repetir n vezes um experimento e aps calcular a mdia das amostras. Este procedimento fornece um novo conjunto de dados que denominado de distribuio amostral. Na verdade o que o teorema do limite central quer dizer que se uma populao tem distribuio normal, a distribuio das mdias amostrais extradas da populao tambm ter distribuio normal, para qualquer tamanho de amostra. Alm disso, mesmo no caso de uma distribuio no-normal, a distribuio das mdias amostrais ser aproximadamente normal, desde que a amostra seja grande. Este um resultado notvel, na verdade, pois nos diz que no necessrio conhecer a distribuio de uma populao para podermos fazer inferncia sobre ela a partir de dados amostrais. A nica restrio que o tamanho da amostra seja grande. Uma regra prtica muito usada que a amostra deve consistir de 30 ou mais observaes.

Estes resultados so conhecidos como o Teorema do Limite Central e representam talvez o conceito mais importante na inferncia estatstica (Stevenson, 1981).

Agora ser mostrado um exemplo ilustrativo adaptado de Triola (1998, pg. 126). Vamos realizar quatro amostragens para identificar o ltimo algarismo do Nmero do Seguro Social (NSS) de estudantes de uma determinada cidade. Ou seja, selecionaremos na primeira amostragem 50 estudantes e verificamos o ltimo algarismo do NSS, repetimos por mais trs vezes esse procedimento e como resultado obtemos a tabela 3. Nesta tabela se combinarmos as amostras numa grande coleo de duzentos nmeros, obtemos uma mdia e um desvio-padro s = 2,8 e, uma distribuio aproximadamente uniforme como mostra o grfico da figura 3. Entretanto, se calcularmos as mdias das amostras (linhas da tabela), obtemos as mdias amostrais e estas possuem uma distribuio normal (figura 4). Conclui-se que embora a coleo original de dados tenha uma distribuio aproximadamente uniforme, as mdias amostrais tm distribuio aproximadamente normal. O conjunto original de 200 nmeros tem distribuio uniforme (porque os algarismos 0-9 ocorrem aproximadamente com a mesma freqncia), mas as 50 mdias amostrais tm distribuio normal. um fenmeno verdadeiramente fascinante e intrigante na estatstica que, extraindo amostras de qualquer distribuio, possamos criar uma distribuio normal ou, ao menos, aproximadamente normal.

Em geral, a distribuio amostral das mdias amostrais a distribuio das mdias amostrais quando extramos repetidas amostras de mesmo tamanho, da mesma populao. Em outras palavras, se extrairmos amostras de mesmo tamanho da mesma populao, calculamos suas mdias e construmos um histograma destas mdias, esse histograma tende para a forma de um sino de uma distribuio normal. Isto verdade independentemente da forma da distribuio da populao original.

Suponhamos que a varivel x represente notas que podem ter, ou no, distribuio normal, e que a mdia dos valores x seja ( e o desvio-padro seja (. Suponha que coletemos amostras de tamanho n e calculemos as mdias amostrais. O que sabemos sobre a coleo de todas as mdias amostrais que obtemos repetindo esse experimento? O Teorema do Limite Central nos diz que, na medida em que o tamanho n da amostra aumenta, a distribuio amostral das mdias amostrais tente para uma distribuio normal com mdia ( e desvio-padro . A distribuio das mdias amostrais tende para uma distribuio normal no sentido de que, quando n aumenta, a distribuio das mdias amostrais se aproxima de uma distribuio normal. Essa concluso no obvia intuitivamente; foi obtida aps extensa pesquisa de anlise.

Embora a demonstrao formal rigorosa exija recursos da matemtica avanada, ultrapassando o mbito deste material, podemos encontrar uma certa justificativa com base nos dados da tabela 3. Se selecionamos aleatoriamente amostras de algarismos de uma populao distribuda uniformemente com mdia ( = 4,5, as mdias amostrais resultantes tambm tendero a centrar-se em torno de 4,5, de modo que as mdias amostrais tambm tm mdia 4,5; a mdia das 50 mdias amostrais da tabela 3 , de fato, 4,5. inspecionando visualmente os 200 algarismos da tabela 3, vemos que eles variam de 0 a 9, mas as 50 mdias amostrais acusam menor variao indo de 1,75 a 8,25. O conjunto original de 200 algarismos tem desvio-padro de 2,8, mas as 50 mdias amostrais tm um desvio-padro de 1,4, que menor, conforme esperado. Tabela 3. Amostragens do Nmero do Seguro Social de estudantes de uma determinada cidade.

Amostra IAmostra IIAmostra IIIAmostra IVMdia

18644,75

53364,25

98888,25

51253,25

93355,00

42623,50

77165,25

91544,75

53395,00

78415,00

05613,00

98225,25

61574,75

81303,00

59697,25

62343,75

74074,50

57565,75

41574,25

12062,25

40283,50

31252,75

03401,75

15101,75

97405,00

73113,00

91133,50

86597,00

56414,00

93956,50

60734,00

82966,25

02864,00

20974,50

58905,50

65496,00

48766,25

71202,50

29504,00

83223,75

27164,00

67715,25

23394,25

24754,50

54374,75

04383,75

25865,25

71343,75

83704,50

56676,00

Figura 3. Distribuio de 200 algarismos.

Figura 4. Distribuio das 50 mdias amostrais.

3.1.2 Parmetros da Distribuio Normal

A distribuio normal uma distribuio de dois parmetros ( (mdia) e ( (desvio-padro) . A densidade de probabilidade desta distribuio tem a seguinte forma:

(10)

onde ( e ( so a mdia e o desvio-padro da populao, respectivamente. ( estimado por e ( por s, que so obtidos atravs das relaes:

(11)

(12)

Uma notao bastante empregada para designar que uma varivel tem distribuio normal com mdia e varincia s2 (s a representao de ( e de ( de uma amostra) . Se uma amostra de dados tem realmente distribuio normal a seguinte relao vlida: A = (K-3) = 0. A curtose da distribuio normal igual a 3 e a assimetria nula.

O histograma de freqncias da distribuio normal tem a forma de sino ou parecida. Com a mdia constante e a varincia varivel, o grfico da curva normal assume diferentes formas de sino: de alongada a achatada.A probabilidade de que X assuma valores menores ou iguais a um dado x quando X N(,s2) estimada por:

(13)

Mas essa equao no pode ser resolvida analiticamente sem o uso de mtodos de integrao aproximada. Por essa razo usa-se a transformao e com isso a varivel Z tem N(0,1).

A varivel Z chamada varivel reduzida e a curva

(14)

a curva normal reduzida.

F(Z) na forma da equao (14) tabulada. Como a curva normal reduzida simtrica, essa propriedade geralmente utilizada na tabulao de apenas valores positivos de Z. Mas algumas tabelas, como a tabela 4, tambm mostram valores negativos de Z. As tabelas de F(Z) tanto podem indicar a Prob(Z ( z), bem como as Prob(0 ( Z ( z). Por isso, a escolha da tabela e sua utilizao deve ser feita com muito cuidado. A tabela utilizada aqui fornece Prob(Z ( z). Mas nas tabelas que fornecem apenas os valores positivos da varivel reduzida faz-se uso da propriedade de simetria da curva normal reduzida de modo que: P(-X ( Z ( 0) = P(0 ( Z ( X).Tabela 4. Valores da distribuio normal padro.

Exemplo 1

Como exemplo de uso da tabela acima, considera-se uma varivel X com N(15,25). Qual a probabilidade de que X assuma os valores (16 ( X ( 20)?

A probabilidade desejada pode ser obtida, utilizando-se a varivel transformada (Z). Assim:

Para X = 16 (

Para X = 20 (

P(0,04 ( Z ( 0,20) = P(Z ( 0,2)-P(Z ( 0,04)Com o uso da tabela, tem-se:

P(Z ( 0,2) = 0,5793

P(Z ( 0,04) = 0,5160

Portanto, a probabilidade desejada 0,5793 0,5160 = 0,0633 ou 6,33%.

Exemplo 2Tabela 5. Valores totais da chuva anual em Pelotas RS (1895-1994).AnoPrec.AnoPrec.AnoPrec.AnoPrec.

189592319201300194586419701040

1896973192110541946130719711090

1897125819221326194791919721344

18981695192313601948144319731110

1899106619249311949111419741355

19001334192513771950122519751048

190195219261099195192619761361

19021746192711601952127019771654

19031320192811441953111219781179

19041510192913211954137319791137

1905150119301350195589019801555

19061212193112981956119119811352

19071166193217801957122019821342

1908130519339981958123219831543

19091198193415351959177819841694

19101004193514961960133119851178

19111323193619951961137219861656

1912153919371718196285619871815

191388519381311196315821988890

191423381939129719648321989857

19151455194017241965125519901423

19161011194119451966160519911330

1917689194212371967127119921435

1918151019436801968104919931390

1919113819441153196998219941265

Consideramos os dados de chuva anual da tabela acima, cuja distribuio de freqncia reproduzida na tabela 6, na qual se tem:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

s = 294,83

Tabela 6. Distribuio de freqncias dos totais anuais de chuva de Pelotas RS, no perodo de 1895 a 1994. Ajuste distribuio normal.ClassesPonto Mdio (X)fZiF(Zi)F(Xi)fe

679 - 8877837-1,390,08230,08238,2

887 109599118-0,680,24830,166016,6

1095 13031199270,020,50800,259726,0

1303 15111407290,730,76730,259326,0

1511 17191615111,430,92360,156315,6

1719 -1927182352,140,98380,06026,0

1927 2135203122,840,99770,01391,4

2135 2343223913,551,00000,00230,2

Totais-100--1,0000100,0

Calcula-se a varivel reduzida para cada classe, considerando-se o limite superior da classe. AssimZ1 = (887 1296,8)/294,3 = -1,39 ( F(Z1) = 0,0823Z2 = (1095 1296,8)/294,3 = -0,68 ( F(Z2) = 0,2483Z3 = (1303 1296,8)/294,3 = 0,02 ( F(Z3) = 0,5080

Z4 = (1511 1296,8)/294,3 = 0,73 ( F(Z4) = 0,7673

Z5 = (1719 1296,8)/294,3 = 1,43 ( F(Z5) = 0,9236

Z6 = (1927 1296,8)/294,3 = 2,14 ( F(Z6) = 0,9838

Z7 = (2135 1296,8)/294,3 = 2,84 ( F(Z7) = 0,9977

Z8 = (2343 1296,8)/294,3 = 3,55 ( F(Z8) = 1,0000Como F(Zi) acumulada, a F(X), ou seja, a probabilidade de que ocorra um valor de chuva menor ou igual ao da classe, calculada subtraindo-se do valor de F(Z) de cada classe o valor de F(Z) da classe anterior, como indicado na tabela 6.

As freqncias esperadas (fe) em cada classe, (a ltima coluna da tabela 6) so obtidas, multiplicando-se o valor de F(X) pela soma de todas as freqncias, ou seja:fe1 = 0,0823 x 100 = 8,2

fe2 = 0,1660 x 100 = 16,6

fe3 = 0,2597 x 100 = 26,0

fe4 = 0,2593 x 100 = 26,0

fe5 = 0,1563 x 100 = 15,6

fe6 = 0,0602 x 100 = 6,0

fe7 = 0,0139 x 100 = 1,4

fe8 = 0,0023 x 100 = 0,2

A soma das freqncias esperadas (fe) deve ser igual a soma das freqncias observadas (f).

A representao grfica do ajuste acima indicada na figura 5.

Figura 5. Totais anuais de chuva de Pelotas (RS), no perodo de 1895 a 1994, ajustada distribuio normal (Assis et al., 1996, pg. 49).

3.2 Distribuio Gamma

Muitas variveis atmosfricas possuem assimetria positiva, ou seja, so distorcidas direita. Freqentemente a distoro ocorre quando h um limite fsico esquerda que relativamente prximo a variao dos dados (Wilks, 1995). Exemplos comuns desta situao so as quantias de precipitao e a velocidade do vento que so fisicamente no negativas. H uma variedade de distribuies contnuas que so limitas esquerda por zero. Entretanto, a distribuio gamma comumente usada para representar dados de precipitao. A freqncia ou funo densidade de probabilidade da distribuio gamma :

(15)

onde ( um parmetro de escala, ( o parmetro de forma e ((() a funo gamma ordinria de (. A funo gamma tem as seguintes propriedades:

(16)

para todo X > 0

O valor de ((X) pode ser obtido, com boa aproximao, atravs da seguinte relao:

(17)

onde:

(18)

A tabela 7 fornece os valores de ((X), com base nestas relaes.

A mdia, a varincia e o coeficiente de assimetria (A) da distribuio gamma podem ser obtidos por:

(19)

(20)

(21)

A distribuio gamma tem assimetria positiva com o parmetro ( diminuindo e o parmetro ( aumentando. Variando-se (, com ( constante, muda-se a escala da distribuio, enquanto variando-se (, com ( constante, muda-se a sua forma.

Tabela 7. Funo gamma de Y.

Pode-se concluir, com base na equao (21), que, quando ( tende para infinito A ( 0, ou seja, a distribuio gamma, neste caso, tende a ser simtrica.

As estimativas dos parmetros ( e ( resultam da soluo das equaes (19) e (20). Mas essas estimativas no so adequadas, preferindo-se as estimativas descritas em Thom (1966):

(22)

(23)

sendo

(24)

onde

(25)

a mdia aritmtica e

(26)

a mdia geomtrica das observaes, ou alternativamente, segundo Greenwood e Durand (1960) dada por:

(27)

quando 0 ( Z ( 0,5772 e por

(28)

quando 0,5772 < Z < 7,0, onde

(29)

Neste caso o parmetro ( continua sendo calculado como na equao (23).

A funo cumulativa de probabilidade :

(30)

Esta equao no tem soluo imediata, exigindo tabelas ou tcnicas de integrao numrica como expanso em srie e a frmula de Simpson, por exemplo. A srie normalmente utilizada a seguinte:

(31)

Na equao (29), fazendo-se ; X=(t; dx=(dt, chega-se a equao (31).A probabilidade de ocorrer um valor de X ( t F(t).Exemplo

Considere-se os 95 valores mensais de chuva do ms de janeiro em Pelotas, RS, na tabela 8, cuja distribuio de freqncias mostrada na tabela 9. Considerando-se a tabela 9, tem-se:

Tabela 8. Chuva mensal de janeiro em Pelotas, RS, no perodo de 1895 a 1989.Ano0123456789

189...112,632,1129,9183,163,4

190...68,377,5113,335,8145,622,320,215,5121,4148,5

191...203,6117,881,350,1197,7132,6130,172,886,623,1

192...81,565,7159,0182,028,8129,633,482,759,3119,7

193...97,0239,631,559,0151,745,764,564,5232,092,4

194...269,0271,368,325,1244,744,1113,4101,8340,387,6

195...10,484,962,8144,4160,122,1210,958,4162,0134,5

196...143,5106,664,5151,111,548,1107,884,4191,3105,2

197...83,9148,1178,1213,9127,0129,8140,1119,772,514,7

198...59,685,471,0135,9246,878,6166,082,7149,5209,4

Tabela 9. Distribuio de freqncias dos totais mensais de chuva de janeiro em Pelotas RS. Ajuste distribuio gamma.

ClassesPonto Mdio (X)fFXFX2ln(X) f

10,1 52,131,1 18559,817.409,7861,8697

52,1 94,173,1282.046,8149.621,08120,1712

94,1 136,1115,1202.302,0264.960,2094,9160

136,1 178,1157,1132.042,3320.846,3365,7395

178,1 220,1199,191.791,9356.767,2947,6443

220,1 262,1241,14964,4232.516,8421,9408

262,1 - 304,1283,12566,2160.291,2211,2916

304,1 346,1325,11325,1105.609,015,7841

Totais-9510.598,51.608.101,75429,3573

estimada pela equao (17), na qual

As estimativas dos parmetros com base nas equaes (19) e (20) a fim de comparaes, fica como exerccio.

Com os parmetros ( e ( estimado tem-se, ento, a funo densidade de probabilidade, na forma da equao (15),

e a funo cumulativa de probabilidade (equao 30) ser:

A soluo dessa equao exige o emprego de tcnicas de integrao numrica ou uso de tabelas especficas. Adotou-se aqui a expanso em srie na forma da equao (31), cuja reproduo de todos os clculos praticamente impossvel de ser apresentada aqui. Mas, considerando apenas a primeira classe, a ttulo de exemplo, tem-se:

Tabela 10. Distribuio de freqncias dos totais mensais de chuva de janeiro em Pelotas RS, ajustados distribuio gamma de probabilidade.ClassesPonto Mdio (X)fFXfe

10,1 52,131,1 180,183817

52,1 94,173,1280,473428

94,1 136,1115,1200,705222

136,1 178,1157,1130,848914

178,1 220,1199,190,92727

220,1 262,1241,140,96634

262,1 - 304,1283,120,98492

304,1 346,1325,110,99341

Totais-95-95

O histograma de freqncias deste exemplo mostrado na figura 6.

Figura 6. Totais de chuva mensal de janeiro em Pelotas, RS, ajustados a distribuio gamma (Assis et al., 1996, pg. 59).

3.3 Distribuio de Valores ExtremosObras de construo civis como barragens, torres de alta tenso, entre outras, so projetadas para suportar o limite mximo (ou mnimo) conhecido dos eventos meteorolgicos da regio. A idia posta em prtica que se determinada estrutura suporta o valor extremo de um evento ela est em segurana para os valores correntes. A distribuio de probabilidade que trata dessa questo: valores mximos ou mnimos de eventos climatolgicos que servem de subsdios para projetos de engenharia a distribuio de valores extremos, ou distribuio tipo I de Fisher-Tippet ou, ainda, distribuio de Gumbel. Sua funo densidade de probabilidade tem a forma:

(32)

(33)

O duplo sinal no segundo expoente da equao (33) refere-se aos valores extremos mximo (sinal negativo) e mnimo (sinal positivo).

As estimativas dos parmetros ( e ( podem ser obtidas por diferentes mtodos como por exemplo: o mtodo dos momentos, o mtodo da regresso, o mtodo de Lieblein e o mtodo da mxima verossimilhana (Assis et al., 1996). Entretanto, aqui, sero descritos o mtodo dos momentos, o mtodo da regresso e o mtodo da mxima verossimilhana, atravs do exemplo a seguir. O mtodo de Lieblein pode ser encontrado em detalhes em Thom (1966) e Assis et al. (1996).ExemploConsiderem-se os 72 valores anuais de chuva mxima de 24 horas de Piracicaba, SP, apresentados na tabela 11.Tabela 11. Chuva mxima de 24 horas de Piracicaba, SP, no perodo de 1917 a 1988.

Ano0123456789

191...65,068,065,0

192...64,065,055,064,060,057,066,564,050,059,2

193...86,593,069,065,083,050,064,458,858,0109,5

194...83,377,9104,997,7111,295,364,475,246,8108,4

195...55,562,473,954,457,880,139,959,180,078,4

196...83,855,582,952,048,380,470,749,163,073,7

197...71,668,580,499,568,676,072,771,846,463,4

198...50,759,268,6114,051,170,462,0103,286,7

= 17,223.3.1 Mtodo dos Momentos

As estimativas dos parmetros ( e ( com base nos dois primeiros momentos da amostra (mdia e desvio-padro) podem ser obtidas pelas seguintes equaes:

(34)

equivalente a =0,7794s e,

(35)

Com base nos dados da tabela 11 e nas equaes (34) e (35) tm-se:

e

3.3.2 Mtodo da Regresso

Tomando-se os valores da varivel aleatria X, ordenados em forma crescente, faz-se a regresso de n/(N+1) contra F(X), ou seja:

(36)

ou

(37)

ou, aplicando-se, novamente, o logaritmo:

(38)

ou, ainda,

(39)

Assim, se na equao (39) tomarmos , e , ela toma a forma Y = a + bX, que a equao da reta. Desse modo os parmetros a e b podem ser estimados por: (40)

(41)

Os valores de n/(N+1), de ln[n/(N+1)] e de X, dos dados da tabela 11, organizados em forma crescente, esto representados na tabela 12.Tabela 12. Valores anuais de chuva mxima de 24 horas de Piracicaba, SP, ordenados para estimativa dos parmetros da distribuio de valores etremos.

Na tabela 12, fazendo-se , tem-se:

Logo, segundo as equaes (40) e (41):a = 4,3492 e b = -0,06896

Portanto,

3.3.3 Mtodo da Mxima Verossimilhana

um mtodo iterativo no qual as estimativas de ( e ( so obtidas pela soluo das seguintes equaes:

(42)

e

(43)

O valor inicial de ( para iniciar a iterao dado pela equao (34). Com os dados da tabela 11 tem-se:

Aplicando-se a equao (42) encontra-se ( = 13,7932. Com base, ento na equao (43), ( = 63,18. Deixa-se, como exerccio, para o leitor mostrar o restante dos clculos.

A tabela 13 faz uma comparao entre as estimativas dos parmetros atravs dos trs mtodos apresentados.Tabela 13. Estimativas dos parmetros da distribuio de valores extremos atravs dos mtodos dos momentos, da regresso e da mxima verossimilhana, para os dados de chuva anual mxima de 24 horas de Piracicaba, SP.

Mtodo((

Momentos13,430063,3700

Regresso14,501263,0686

Mxima Verossimilhana13,793263,1869

As estimativas dos parmetros at aqui foram feitas com os dados brutos, mas o mtodo da regresso tambm pode ser aplicado a dados agrupados, trabalhando-se com as freqncias acumuladas e com o ponto mdio de cada classe.

Com as estimativas pelo mtodo da mxima verossimilhana, a funo cumulativa de probabilidade ento:

a qual permite estimar as probabilidades de que X seja menor ou igual a determinado valor. Uma comparao entre os valores observados e estimados pela funo est mostrada na tabela 14.Tabela 14. Chuva mxima anual de 24 horas de Piracicaba, SP, ajustada distribuio de valores extremos.ClassesPonto Mdio (X)fFXfe

39,1 - 48,143,630,05054

48,1 57,152,6120,211212

57,1 66,161,6190,445017

66,1 75,170,6130,656015

75,1 84,179,6120,802911

84,1 93,188,640,89206

93,1 102,197,630,94224

102,1 111,1106,640,96952

111,1 120,1115,620,98401

Totais-72-72

Os quantis tambm so obtidos diretamente pela equao (33), tomando-se, duas vezes, o logaritmo da funo. Por exemplo, se F(X) = 0,95 ou 95%, teremos, ento:

-ln[F(0,95) = exp{-exp[-(X-63,1869)/13,7932]} ( 0,0513 = exp[(-X - 63,1869)/13,7932] ( 2,9701 = (X - 63,1869)/13,7932 ( X ( 104,3mm

Isso significa que, em 95% dos casos, a chuva mxima em 24 horas, em Piracicaba, no excede 104,3 mm.

Na figura 7 mostrado o histograma da distribuio.

Figura 7. Chuva anual mxima de 24 horas de Piracicaba, SP, ajustada a distribuio de valores extremos ou de Gumbel (Assis et al., 1996, pg. 70).3.4 Distribuio ExponencialA distribuio exponencial geralmente aplicada a dados com forte assimetria como aqueles cujo histograma tem a forma da figura 1B, ou seja de J invertido. Sua densidade de probabilidade tem a forma:

(44)

e sua funo de distribuio de probabilidade do tipo:

(45)

O nico parmetro, (, estimado por

(46)

Com isso, a funo cumulativa de probabilidade assume a forma geralmente encontrada na literatura, ou seja:

(47)

A esperana e a varincia da distribuio exponencial so obtidas atravs das expresses: = 1/( e s2 = 1/(2, respectivamente. A distribuio exponencial um caso especial da distribuio gamma com o parmetro ( = 1.Exemplo

Considere os dados dirios de chuva de Pelotas RS, no ms de janeiro, cuja distribuio de freqncias consta na tabela 15. Neste exemplo os dados brutos no so apresentados.

Os clculos necessrios para a estimativa da mdia e da varincia dos dados tambm esto indicados na tabela 15, com isso, tem-se:

Tabela 15. Distribuio de freqncias dos totais dirios de chuva de janeiro de Pelotas, RS, no perodo de 1893 a 1994. Foram considerados apenas os valores > 1,0 mm. ClassesPM (X)ffXfX2F(X)fe

1 105,5450247513612,50,5016404

10 2015184276041400,00,7516201

20 30 2580200050000,00,8762100

30 - 40 3543150552675,00,938350

40 504523103546575,00,969225

50 - 6055949527225,00,984712

60 -70 65745529575,00,99246

70 8075537528125,00,99623

80 9085217014450,00,99812

90 -100 95219018050,00,99901

100 110105000,00,99950

110 -120115111513225,00,99980

Totais-80611575334912,5-806

s = 14,48

Os valores de F(X) e as freqncias esperadas so assim calculados:F(X1) =1-exp(-0,0696 x 10)=0,5016(fe = 404

F(X2) =1-exp(-0,0696 x 20)=0,7516(fe = 201F(X3) =1-exp(-0,0696 x 30)=0,8762(fe = 100F(X4) =1-exp(-0,0696 x 40)=0,9383(fe = 50F(X5) =1-exp(-0,0696 x 50)=0,9692(fe = 25F(X6) =1-exp(-0,0696 x 60)=0,9847(fe = 12F(X7) =1-exp(-0,0696 x 70)=0,9924(fe = 6F(X8) =1-exp(-0,0696 x 80)=0,9962(fe = 3F(X9) =1-exp(-0,0696 x 90)=0,9981(fe = 2F(X10) =1-exp(-0,0696 x 100)=0,9990(fe = 1F(X11) =1-exp(-0,0696 x 110)=0,9995(fe = 0F(X12) =1-exp(-0,0696 x 120)=0,9998(fe = 0

O histograma dos dados da tabela 15 est apresentado abaixo:

Figura 8. Distribuio exponencial ajustada aos totais dirios de chuva de janeiro de Piracicaba SP, no perodo de 1917 a 1989 (Assis et al., 1996, pg. 72).4Distribuies Discretas

Existe um grande nmero de distribuies de probabilidades tericas para as variveis aleatrias discretas. De acordo com Wilks (1995), muitas encontram-se listadas em Johnson e Kotz (1969), junto com os resultados referentes a suas propriedades. Entretanto, somente trs distribuies de probabilidades discretas tm sido usadas em grau aprecivel nas cincias atmosfricas: a distribuio binomial, a distribuio de Poisson e a distribuio geomtrica.De maneira semelhante s distribuies de variveis contnuas, existem duas funes associadas a cada varivel aleatria discreta: a funo de probabilidade, p(X), e a funo cumulativa (ou distribuio) de probabilidade, P(X). A probabilidade de que x assuma um valor particular tal que:

P(X = x) = p(X)(48)

A distribuio binomial com parmetros n e q, por exemplo, tem a seguinte funo de probabilidade:

(49)

com X assumindo os valores 0, 1, 2, 3, ...

O smbolo P(X) utilizado para indicar a funo cumulativa de probabilidade, a qual representa a probabilidade de que a varivel aleatria discreta X assuma um valor particular x, na forma:

(50)

com X = 0, 1, 2, 3, ... n e X ( n.

Diferentemente da distribuio contnua, a probabilidade de que uma varivel discreta assuma um valor particular qualquer diferente de zero.

4.1Distribuio BinomialEm muitos problemas, o que nos interessa a probabilidade de um evento ocorrer X vezes em n provas. Por exemplo, a probabilidade de se obter 45 respostas a 400 questionrios distribudos como parte de um estudo sociolgico, a probabilidade de 5 em 12 ratos sobreviverem por determinado prazo aps serem injetados com substncias cancergenas, entre outros. Portanto, estamos interessados em obter X sucessos em n provas, ou em outras palavras, X sucessos e n - X falhas em n provas. Para a distribuio binominal considera-se que h um nmero fixo de provas, a probabilidade de sucesso a mesma em todas as provas e as provas so todas independentes. Uma vez que exige que os eventos sejam independentes esta distribuio passa a ter pouca utilidade em climatologia, pois a independncia quer dizer observaes no correlacionadas o que muitas vezes no se verifica nos dados meteorolgicos. A funo de probabilidade binomial dada por:

(51)

onde q a probabilidade de um evento ocorrer, 1 q a probabilidade do evento no ocorrer, X a freqncia de ocorrncia e X pode tomar os valores 0, 1, 2, ..., n. Portanto, esta funo fornece a probabilidade de ocorrerem X sucessos em n provas.

A funo de distribuio de probabilidade dada por: (52)

onde t = 0, 1, 2, ..., n.

A mdia e a varincia da distribuio binomial podem ser obtidas atravs das expresses: e , respectivamente.Exemplo

H uma probabilidade de 0,30 de uma pessoa, ao fazer compras em um supermercado, se beneficie de uma promoo especial de sorvete. Determine as probabilidades de que, dentre seis pessoas que esto fazendo compras no supermercado, haja 0, 1, 2, 3, 5 ou 6 que se beneficiem da promoo. Trace um histograma dessa distribuio de probabilidade.SoluoAdmitindo que a escolha seja aleatria, fazemos n = 6, q = 30 e, respectivamente, X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 na frmula da distribuio binomial:

Figura 9. Histograma da distribuio binomial com n = 6 e q = 030.4.2Distribuio de Poisson

Muitas vezes, no uso da distribuio binomial acontece que n muito grande e q muito pequeno . Nesse caso o clculo torna-se difcil e, portanto, fazemos uma aproximao da distribuio binomial pela distribuio de Poisson. Podemos usar com segurana a aproximao de Poisson da distribuio binomial quando (Freund e Simon, 1995). Entretanto, autores como Morettin (1999) sugerem a aproximao a partir de n > 30.

A distribuio de Poisson tem a seguinte distribuio de probabilidade: (53)

onde representa a mdia da distribuio binomial que , e X = 0, 1, 2, 3, ...

A funo cumulativa de probabilidade :

(53)

onde t = 0, 1, 2, ..., n.

O nico parmetro dessa distribuio a mdia que numericamente igual a varincia. Sendo estimada por: .Exemplo

A distribuio de Poisson geralmente citada como a distribuio de eventos raros. Os dados que sero utilizados nesse exemplo referem-se ao nmero de meses no ano em que o nmero de dias chuvosos maior do que 10. Os dados foram observados em Pelotas, RS, no perodo de 1895 a 1989.Tabela 16. Nmero de meses no ano com mais de 10 dias chuvosos em Pelotas, RS, no perodo de 1895 a 1989.Anos0123456789

189000152

19001042242404

19101221721032

19203131013012

19300141113222

19405511311021

19502001202205

19601312023220

19702152313522

19804344523321

Os dados da tabela 16 fornecem a distribuio de freqncias apresentada na tabela 17, na qual pode-se calcular:

Tabela 17. Distribuio de freqncias do nmero de meses no ano com mais de 10 dias chuvosos em Pelotas, RS, no perodo de 1895 a 1989.

Classes XffXfX2p(X)fe

015000,133912,7

12424240,269225,6

227541080,270725,7

313391170,181417,2

48321280,09128,7

57351750,03673,5

60000,01231,2

717490,00350,4

Totais951916010,998995

Para efeitos prticos pode-se considerar a mdia igual a varincia. Assim, o clculo das probabilidades se segue com base na equao (53), ou seja:P(X = 0) (

(2,01050 e-2,0105)/1

=0,1339P(X = 1) (

(2,01051 e-2,0105)/1

=0,2692P(X = 2) (

(2,01052 e-2,0105)/2

=0,2707P(X = 3) (

(2,01053 e-2,0105)/6

=0,1814P(X = 4) (

(2,01054 e-2,0105)/24=0,0912P(X = 5) (

(2,01055 e-2,0105)/120=0,0367P(X = 6) (

(2,01056 e-2,0105)/720=0,0123P(X = 7) (

(2,01057 e-2,0105)/5040=0,0035

O clculo das freqncias esperadas assim efetuado:

Para X = 0 (fe = 0,1339 x 95

=12,7Para X = 1 (

fe = 0,2692 x 95

=25,6Para X = 2 (fe = 0,2707 x 95

=25,7Para X = 3 (fe = 0,1814 x 95

=17,2Para X = 4 (fe = 0,0912 x 95

=8,7Para X = 5 (fe = 0,0367 x 95

=3,5Para X = 6 (fe = 0,0123 x 95

=1,2Para X = 7 (fe = 0,0035 x 95

=0,4

A figura abaixo representa o histograma dos dados da tabela 17.

Figura 10. Histograma de freqncias do nmero de meses do ano com mais de 10 dias chuvosos em Pelotas, RS, no perodo de 1895 a 1989 (Assis et al., 1996, pg. 81).

4.3Distribuio Geomtrica

A distribuio geomtrica recebe esta denominao porque seus valores sucessivos constituem uma progresso geomtrica. Para esta distribuio h uma infinidade enumervel de possibilidades; os eventos so independentes e com probabilidade de sucesso p. A varivel X corresponde ao nmero de experimentos antes da ocorrncia do primeiro sucesso.

A funo de probabilidade da distribuio geomtrica :

(54)

com , sendo:

(55)

A varincia da distribuio geomtrica obtida pelas expresso: .

Exemplo 1

Aplicando a frmula (54), constatamos, por exemplo, que, em jogadas repetidas de um dado equilibrado, a probabilidade de o primeiro 6 ocorrer na quinta jogada :

Exemplo 2

Os dados da tabela 18 mostram as seqncias de dias com chuva iniciadas nos 31 dias seguintes ao dia 21 de dezembro de 1997 a 1989, em Piracicaba, SP, a qual permite calcular:

Pode-se, ento, estimar-se f(X) e as freqncias esperadas (fe), assim:

P(X = 1)=0,3374 x 0,66260 =0,33737 (

fe= f(X) x 418 =141

P(X = 2)=0,3374 x 0,66261 =0,22355 (

fe= f(X) x 418 =93P(X = 3)=0,3374 x 0,66262 =0,14816 (

fe= f(X) x 418 =62P(X = 4)=0,3374 x 0,66263 =0,09816 (

fe= f(X) x 418 =41P(X = 5)=0,3374 x 0,66264 =0,06504 (

fe= f(X) x 418 =27P(X = 6)=0,3374 x 0,66265 =0,04309 (

fe= f(X) x 418 =18P(X = 7)=0,3374 x 0,66266 =0,02856 (

fe= f(X) x 418 =12P(X = 8)=0,3374 x 0,66267 =0,01892 (

fe= f(X) x 418 =8P(X = 9)=0,3374 x 0,66268 =0,01254 (

fe= f(X) x 418 =5P(X = 10)=0,3374 x 0,66269 =0,00831 (

fe= f(X) x 418 =3P(X = 11)=0,3374 x 0,662610 =0,00550 (

fe= f(X) x 418 =2P(X = 12)=0,3374 x 0,662611 =0,00365 (

fe= f(X) x 418 =2P(X = 13)=0,3374 x 0,662612 =0,00242 (

fe= f(X) x 418 =1P(X = 14)=0,3374 x 0,662613 =0,00160 (

fe= f(X) x 418 =1

P(X = 15)=0,3374 x 0,662614 =0,00106 (

fe= f(X) x 418 =0P(X = 16)=0,3374 x 0,662615 =0,00070 (

fe= f(X) x 418 =0P(X = 17)=0,3374 x 0,662616 =0,00047 (

fe= f(X) x 418 =0P(X = 18)=0,3374 x 0,662617 =0,00031 (

fe= f(X) x 418 =0

A tabela 18 resume todos os resultados e na figura 11 apresenta-se o histograma de freqncias.Tabela 18. Seqncia de dias chuvosos iniciados nos 31 dias seguintes a 21 de dezembro em Piracicaba, SP. Ajuste distribuio geomtrica.Classes XffXfX2p(X)fe

11461461460,33737141

2841683360,2235593

3762286840,1481662

4341365440,0981641

5281407000,0650427

615905400,0430918

710704900,0285612

86483840,018928

96544860,012545

106606000,008313

111111210,005502

120000,003652

132263380,002421

142283920,001601

150000,001060

161162560,000700

170000,000470

181183240,000310

Totais4181.2396.3411,0000418

Figura 11. Histograma de freqncias das seqncias de dias chuvosos iniciados nos 31 dias seguintes a 21 de dezembro em Piracicaba, SP (Assis et al., 1996, pg. 94).

A tabela a seguir resume algumas das propriedades das distribuies tericas contnuas e discretas descritas no texto.

Tabela 19. Principais distribuies contnuas e discretas utilizadas em climatologia.NomeFuno DensidadeE(X)Var(X)

Distribuies Contnuas

Distribuio Normal

Distribuio Gamma

Distribuio de Valores Extremos

Pelo Mtodo dos momentos

Distribuio Exponencial

Distribuies Discretas

Distribuio Binomial

Distribuio de Poisson,

Distribuio Geomtrica

5 RefernciasASSIS, F. N., et al, 1996. Aplicaes de Estatstica Climatologia. Ed. Universitria, UFPEL, Pelotas, RS.FREUND, J. E., and SIMONS, G., 1995: Statistics :a first course. Prentice-Hall.MORETTIN, L. G., 1999: Estatstica Bsica - Probabilidade. 7. Ed., Makron Books, So Paulo, SP.

STEVENSON, W. J., 1981: Estatstica Aplicada Administrao. Ed. Harper & Row do Brasil, So Paulo, SP.THOM, H. C. S., 1966: Some Methods of Climatological Analysis Technical Note n 81, WMO n 199 TP 103.

TRIOLA, M. F., 1998. Introduo Estatstica. 7 Ed., LTC, Rio de Janeiro, RJ.

WILKS, D. S., 1995: Statistical Methods in the Atmospheric Sciences An Introduction. Academic Press, New York.

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