CURSO DE ENGENHARIABR 110 - km 47 Bairro Pres. Costa e Silva CEP
59625-900 -Mossor - Rio Grande do Norte. Fsico - Prof. Valter
Bezerra Dantas - E-mail- [email protected]
http://www2.ufersa.edu.br/portal/professor/valterbezerra Apostila
de mecnica 1Mecnica vetorial aplicada com texto e ilustrao e
modelos de exerccios, lista de exerccio para cada capitulo.
Contedo
Apresentao da disciplina o Objetivos Introduo Esttica o
Conceitos bsicos o Princpios fundamentais o Aces nas estruturas o
Sistema de unidades Sistemas de vetores o Grandezas o Classificao
dos vetores o Operaes vetoriais bsicas o Decomposio de um vetor em
direes concorrentes Exemplos de operaes vetoriais Componentes
Cartesianas de um vetor no plano Componentes Cartesianas de um
vetor no espao Vetor definido pela sua intensidade e por dois
pontos da sua linha de ao Exemplos de aplicao o Produto interno ou
produto escalar Exemplo de utilizao o Produto vetorial a dois
vetores ou produto externo Produto vetorial a dois vetores o
Momento de uma fora em relao a um ponto Exemplos de clculo de
momento de uma fora em relao a um ponto o Produto misto a trs
vetores o Momento de uma fora em relao a um eixo Momento de uma
fora em relao aos eixos coordenados Exemplos de clculo de momento
de uma fora em relao a um eixo o Momento de binrio Binrios
equivalentes Exemplos de operaes com binrios o Reduo de um sistema
de foras Reduo de um sistema de foras num dado ponto Variao dos
elementos de reduo relativamente a mudana do ponto de reduo
Sistemas de vetores equivalentes Invariantes de um sistema de foras
relativamente ao ponto de reduo Casos de reduo de um sistema de
foras
Exemplos de reduo Eixo central de um sistema de foras Equao
vetorial do eixo central Equao analtica do eixo central Propriedade
do mnimo dos pontos do eixo central Casos de sistemas de foras
equivalentes a dois vetares o Casos particulares de sistemas de
foras equivalentes a uma nica fora resultante Generalizao do
teorema de Varignon para sistemas de vetores equivalentes a um
vetor nico Sistemas de foras concorrentes num ponto Sistemas de
foras complanares Sistemas de foras paralelas Sistemas de vetores
distribudos Esttica da Partcula o Equilbrio da partcula Metodologia
de resoluo dos problemas Exemplos de equilbrio da partcula no plano
Exemplos de equilbrio da partcula no espao Esttica do Corpo Rgido o
Equilbrio do corpo rgido o Graus de liberdade. Apoios. Estatica
Graus de liberdade Tipos de apoios Distribuio das ligaes. Estatia
Metodologia de resoluo dos problemas Exemplos de equilbrio do corpo
rgido no plano Exemplos de equilbrio do corpo rgido no espao o
ObjetivoO objetivo da disciplina da Esttica consiste em
desenvolver a capacidade para analisar qualquer problema de um modo
simples aplicando princpios bsicos para sua resoluo. A Mecnica
descreve e prev as condies de repouso ou movimento de corpos sob ao
das foras, sendo a disciplina base das Cincias de Engenharia. A
Mecnica Clssica apresenta dois ramos bsicos, que so a Mecnica
Terica, ou a Mecnica dos Corpos Rgidos e a Mecnica dos Meios
Contnuos ou a Mecnica dos Corpos Deformveis. Esta, por sua vez,
subdivide-se na Mecnica dos Slidos e na Mecnica dos Fluidos. A
Mecnica dos Corpos Rgidos subdivide-se em Esttica e Dinmica. A
Mecnica dos Slidos contem vrias disciplinas entre os quais
Estabilidade das Estruturas, Resistncia dos Materiais, Teoria da
Elasticidade, etc.
Figura 1.1: Hierarquias no contexto da Mecnica Clssica
Resumindo, pode afirmar-se simplificadamente que, atravs da Mecnica
Terica se obtm solues matemticas para problemas em que os corpos so
considerados rgidos. Quando a deformabilidade dos corpos tomada em
conta, a Teoria da Elasticidade fornece solues matemticas para
geometrias relativamente complexas e comportamento material o mais
simples possvel. A Resistncia dos Materiais fornece solues fsicas
para problemas com geometria simples, mas pode lidar com materiais
de comportamento mais complexo. Estas duas cincias
completam-se.
Introduo Esttica Conceitos bsicosNa Mecnica so utilizados quatro
conceitos bsicos dos quais trs aceites sem ser definidos: espao,
tempo, massa e fora (definida). (Mecnica Newtoniana)
Espao: considera-se tridimensional associada a posio de um ponto
num referencial com trs direes, homognea, istropo, continuo e
absoluto. Unidade - unidade de comprimento em SI - M Tempo:
caracteriza a sucesso e durao de um acontecimento, e independente
das propriedades de corpo, absoluto, universal, uniforme e
irreversvel. Unidade - em SI - S Massa: caracteriza e compara
corpos com base em certas experincias - ex. atrao pela Terra de
corpos de massa igual - massa gravtica ou dois corpos que oferecem
a mesma resistncia mudana ao seu movimento - massa de inrcia. A
massa independente e absoluta. Unidade - em SI - Kg. Na Mecnica
clssica so aceites duas representaes para distribuio da massa: o
Discreta - um conjunto finito de massas (partculas) o Contnua -
divises infinitas ocupando o espao. Fora: usada para caracterizar a
ao de um corpo sobre outro por contacto debito ou atrao. A fora
depende de espao, tempo e massa. Unidade - em SI KgMs-2
Princpios fundamentais
Definies
Partcula: uma quantidade muito pequena de matria que ocupa um
nico ponto no espao. Corpo rgido: combinao de um grande numero de
partculas que ocupam posies fixas umas em relao aos outras
Princpios1. Regra do paralelogramo: para adio das foras - duas
foras que atuam numa partcula podem ser substitudas por uma nica
fora resultante. 2. Princpio de transmissibilidade: estabelece que
as condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido
permanecero inalteradas se uma fora atuando num dado ponto do corpo
rgido for substituda por uma fora com a mesma intensidade, mesma
direo e mesmo sentido, mas atuando num outro ponto desde que as
duas foras tm a mesma linha de ao. 3. As trs leis fundamentais de
Newton: 1. 1 a lei de Newton: se a resultante das foras que atuam
numa partcula nula a partcula permanece em repouso ou move-se com
velocidade constante segundo uma reta. 2. 2a lei de Newton: se a
resultante das foras que atuam numa partcula NO nula, esta ter uma
acelerao cuja intensidade proporcional a resultante e tem o mesmo
sentido: F=M x a. 3. 3a lei de Newton: as foras de ao e reao entre
corpos em contacto tm a mesma intensidade e a mesma linha de ao e
sentidos opostos. 4. Lei da gravitao de Newton: duas partculas de
massa M e m se atraem entre si com foras de igual intensidade e
sentidos opostos. F=G m/r2 onde r representa a distncia entre as
partculas e G a constante gravtica. No caso da atrao da Terra
F=Peso, M representa o peso da Terra e r = Raio da Terra. Para o
estudo das vrias Partes da Mecnica: Esttica do Corpo Rgido: usam-se
Dinmica da partcula.
Aes nas estruturasAs aes mecnicas exercidas sobre os sistemas
materiais representam-se por foras atuantes e foras de ligao.
Foras: aes caracterizadas por intensidade, direo e sentido
geometricamente representado por uma reta orientada (vetor) - foras
ativas. Ligaes: aes resultantes das restries geomtricas e que
obrigam que parte do Corpo Rgido ocupe posies fixas no espao. Cada
ligao tem como correspondente um fora equivalente - foras
passivas.
Modelao, esquematizao das aes.A determinao das aes o tipo e a
grandeza e muito importante e regulamentada do RSA (Regulamento de
Segurana e Aes para Estruturas de Edifcios e Pontes) Classificao
das aes que solicitam as estruturas:
Quanto distribuio. o Fora concentrada: ao localizada em
superfcies pequenas em relao dimenso do Corpo Rgido o Fora
distribuda Quanto o modo de variao em tempo: o Estticas, cclicas,
dinmicas, etc. o Permanentes (peso prprio), variveis ( pessoas,
trmicas, do vento, dos sismos) e de acidente (exploses)
Sistema de unidadesUtiliza-se o Sistema Internacional desde 1960
que se baseia em trs conceitos fundamentais: comprimento, tempo e
massa. Tabela 2.1: Sistema de Unidades SI: Grandezas Fundamentais e
Derivadas Grandezas Fundamentais Comprimento Tempo Massa Grandezas
Derivadas Superfcie Volume Densidade Velocidade Acelerao ngulo
Velocidade angular Acelerao angular Fora Presso Momento ML T T MLT
T =F =FL =FL Dimenso L T M Dimenso L L ML LT LT Unidade m s kg
Unidade m m kg/m m/s m/s rad rad/s rad/s kg m/s = N (Newton) Pa =
N/m (Pascal) Nm
ML T
GrandezasAlgumas grandezas fsicas so representadas
matematicamente por um escalar, isto , basta uma quantidade para
defini-las. (Exemplo: massa de um corpo, o seu volume, a sua
superfcie, etc.) Outras so grandezas vetoriais que necessitam de
trs quantidades para serem definidas num espao tridimensional.
(Exemplo: foras, deslocamentos, velocidades, etc.). Um vetor uma
entidade matemtica definido por intensidade, direo e sentido e
geometricamente representada por uma reta orientada: direo, ponto
de aplicao, sentido, e modulo
Figura 3.1: Representao de um vetor. A maioria das grandezas
mecnicas representvel por vetores e por isto o instrumento
matemtico se baseia nas operaes vetoriais. Outras ainda so
grandezas fsicas tensoriais, que podem ser representadas por nove
quantidades num espao tridimensional. ( Exemplo: estado de tenso e
deformao em torno de um ponto) Definem-se (num espao
tridimensional):
Escalar: o tensor de ordem 0, com Vetor: o tensor de primeira
ordem, com Tensor: o tensor de segunda ordem, com
componentes; componentes; componentes;
Em geral, num espao tridimensional, um tensor de ordem n tem
3ncomponentes.
Classificao dos vetores
Os vetores podem ser classificados em:
Vetor aplicado: no pode ser movido sem modificarem as condies do
problema. Exemplo - peso das vrias partculas. Vetor deslizante: o
ponto de aplicao pode mover-se ao logo da linha de ao. Casos
particulares de vetores deslizantes: o Vetores iguais: mesma -
intensidade, direo e sentido - pode ser diferente o ponto de
aplicao. o Vetores opostos: mesma - intensidade, direo - sentido
oposto - pode ser diferente o ponto de aplicao.
Figura 3.2: Vetores deslizantes: iguais e opostos.
Vetor livre: podem mover-se livremente no espao
Os sistemas de vetores podem ser:
Sistema de vetores quaisquer; Sistema de vetores concorrentes:
aplicados num ponto - caso dos vetores atuantes sobre uma partcula
ou com linhas de ao concorrentes; Sistema de vetores complanares:
vetores contidos no mesmo plano; Sistema de vetores colineares: tm
a mesma linha de ao; Sistema de vetores paralelos: tm as linhas de
ao paralelas;
Operaes vetoriais bsicas
Produto por um escalar: , onde C pode ser zero, positivo ou
negativo. O resultado um vetor da mesma direo e ponto de
aplicao.
Figura 3.3: Produto de um vetor por um escalar.
Adio de dois vetores (concorrentes): O resultado um vetor obtido
utilizando a regra do paralelogramo ou regra de tringulo.
Figura 3.4: Adio de vetores - regra de paralelogramo e de
tringulo. Propriedades:
Comutativa
o
Associativa Distributiva em relao aos escalares
o
Subtrao (adio do vetor oposto):
Para adio ou subtrao de dois vetores utiliza-se a regra do
paralelogramo ou do tringulo - o resultado de adio de dois vetores
igual a diagonal do paralelogramo construdo na base dos vetores. O
resultante dos vrios vetores concorrentes obtido utilizando
sucessivamente a regra do paralelogramo ou do tringulo resultando a
regra de polgono: .
Figura 3.5: Adio de vetores - regra de polgono Operaes no
permitidas: adio de um escalar e um vetor, diviso de dois
vetores.
Decomposio de um vetor em direes concorrentesQualquer vetor pode
ser decomposto em duas ou mais componentes desde que tenham o mesmo
efeito. A decomposio de um vetor segundo duas direes concorrentes
pode ser feita utilizando a regra do paralelogramo (tringulo) de
forma inversa.
Figura 3.6: Decomposio de um vetor em duas direes
concorrentes
Casos:
Conhecem-se as direes de ao dos vetores componentes 3.4.a;
Conhece-se um dos vetores componentes 3.4.b; As direes de ao dos
vetores componentes so perpendiculares.
A utilizao da regra do paralelogramo (tringulo) requer o uso de
trigonometria (lei dos Senos ou dos Cosenos) ou a resoluo
grfica.
Tringulo:o
Soma dos ngulos:
;
o
Lei dos Senos:
o
Lei dos Cosenos:
;
Caso particular
Lei da Pitgoras.
Paralelogramo:o
Soma dos ngulos:
;
Exemplos de operaes vetoriaisProblema 3.1 Adio de dois
vetores:
Resoluo:
Graficamente: desenhar a escala, usar a regra de paralelogramo e
medir
Resoluo trigonomtrica:
o
- Lei dos Cosenos:
- Lei dos Senos:
Direo do
-
Problema 3.2 Uma jangada puxada por dois rebocadores. Se a
resultante das foras exercidas pelo rebocador for dirigida segundo
o eixo da jangada, determine:
a) a fora de trao instalada em cada uma das cordas, sabendo que
b) o valor de para qual a fora de trao instalada na corda 2
mnima.
;
Resoluo trigonomtrica
a):
- Lei dos Senos:
b): F ser mnimo para o ngulo =90-30=60, ou seja a reta do menor
comprimento entre o ponto e a reta 1 a perpendicular baixado do
ponto sobre a direo 1.
Componentes Cartesianas de um vetor no plano(Um caso particular
de decomposio de um vector em duas direes concorrentes corresponde
a caso quando as direes so ortogonais entre si, Figura a). (Esta
particularidade simplifica as relaes trigonomtricas, sendo o
paralelogramo um retngulo e o tringulo um tringulo reto.) Se estas
direes coincidirem com as direes dos eixos coordenados - as
componentes correspondem as componentes Cartesianas, Figura b) e
c).
Figura 3.7: Componentes Cartesianas
As componentes ax, ay so as componentes Cartesianas, obtidos por
projeo do vetor sobre os eixos do referencial, e podem ser
expressas em funo de um vetor unitrio ou versor do respectivo
eixo.
onde e
e
so versores do referencial , respectivamente.
(
) segundo os eixos
Componentes Cartesianas de um vetor no espaoO referencial
Cartesiano um referencial direito - aplica-se a regra do saca-rolha
ou da mo direita.
Figura 3.8: Referencial Cartesiano As componentes do vetor . no
espao seguindo as direes do referencial Cartesiano so:
Figura 3.9: Componentes Cartesianas
Um vetor no espao necessita trs ngulos para definir a sua direo:
x,y, z, e medidos partir da direo positiva dos eixos.
Onde se verifica a relao: cos2x+cos2 y cos2z =1 Se for o versor
do vetor com os cosenos diretores cos x cos y cos z, ento possvel
expressar esse vetor com a ajuda do seu versor:
O versor do vetor
obtm-se:
Vetor definido pela sua intensidade e por dois pontos da sua
linha de ao
O vetor definido se conhece sua intensidade linha de ao .
e pelo menos dois pontos da sua
Figura 3.10: Vetor definido pela intensidade e linha de ao
Se versor:
for o versor do vetor
possvel expressar esse vetor com a ajuda do seu
O versor do vetor
obtm-se:
Ento o vetor
ser:
Momento de uma fora em relao a um eixoO momento de uma fora em
relao a um eixo definido por um versor ,a O
projeo do vetor momento sobre o eixo, obtido em relao a um ponto
desse eixo
momento do vetor em relao a um eixo representa a tendncia que a
fora impe para a rotao em torno desse eixo.
Figura 3.14: Momento de uma fora em relao a um eixo
Onde misto:
um ponto no eixo
de versor
. O momento
obtido por um produto
Propriedades: 1. O momento de um vetor em relao a um eixo nulo
sempre que a linha de ao do vetor e o eixo existam no mesmo
plano.
Na prtica se recomenda a decomposio da fora em duas componentes,
uma paralela com o eixo e a outra perpendicular sobre o eixo, sendo
o momento em relao a esse eixo igual com o momento da componente
perpendicular.
2. O momento do vetor
em relao a um eixo no varia escolhendo qualquer ponto do
eixo (ex. ) em relao ao qual obtido o momento mesmo que o
momento em relao a o ponto difere.
mas
Operaes bsicas com vetores utilizando a representao CartesianaAs
operaes vetoriais podem escrever-se utilizando a representao
Cartesiana:
Exemplos de aplicaoProblema 3.3 Adio de trs vetores no
plano:
Problema 3.4 Uma fora de respectivamente com os eixos
forma os ngulos de
,
e , e
, .
. Determine as componentes
Resoluo
Problema 3.5 Determine a direo e o sentido da fora:
Resoluo:
Problema 3.6 Uma placa retangular suportada por trs cabos.
Sabendo que a fora de trao instalada no cabo de , determine as
componentes da fora exercida na placa em B. Resoluo
A fora
tem direo
e ser decomposta segundo as direes e
. As
coordenadas dos pontos que definem a linha de ao so:
Produto interno ou produto escalarO produto interno a dois
vetores d um escalar e o resultado obtido:
Propriedades:
Comutativa: Distributiva em relao adio:
Multiplicao por um escalar:
O produto interno utilizado para determinar as componentes
escalares de um vetor segundo uma direo dada (projeo) e o ngulo
entre dois vetores. Exemplo componentes escalares Cartesianas.
Vetores base:
Componentes Cartesianas (projees na direo dos eixos do
referencial):
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas
Exemplo de utilizaoProblema 3.7 Determine a projeo do vetor
sobre a direo .
Resoluo:
Produto interno ou produto escalarO produto interno a dois
vetores d um escalar e o resultado obtido:
Propriedades:
Comutativa: Distributiva em relao adio: Multiplicao por um
escalar:
O produto interno utilizado para determinar as componentes
escalares de um vetor segundo uma direo dada (projeo) e o ngulo
entre dois vetores. Exemplo componentes escalares Cartesianas.
Vetores base:
Componentes Cartesianas (projees na direo dos eixos do
referencial):
Exemplo de utilizao Vetores representados pelas suas componentes
Cartesianas
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas
Exemplo de utilizaoProblema 3.7 Determine a projeo do vetor
sobre a direo .
Resoluo:
Produto vetorial a dois vetores ou produto externoO resultado da
operao um vetor e obtido por:
Definio:
O vetor tem carter diferente do vetor que lhe deu origem, isto
do vetor graficamente ser representada por uma reta orientada com
seta dupla.
, o que
Produto vetorial a dois vetoresOs elementos que definem o vetor
resultante so:
intensidade (mdulo ): o ngulo representa o menor ngulo entre os
vetores e . e .
dileo: direo perpendicular ao plano formados pelos vetores
sentido: pela regra da saca-rolha ou regra da mo direita.
Pela regra do saca-rolha o sentido do vetor coincide com o
sentido de progresso de uma saca-rolhas que rodasse acompanhando o
movimento de rotao que levaria o primeiro vetor do produto externo
( ) a ir a ter com o segundo vetor ( Propriedades: )
NO comutativa: Distributiva em relao adio: Multiplicao por um
escalar:
O produto vetorial utilizado para calcular o momento de um vetor
em relao a um ponto e identificar um vetor perpendicular a dois
vetores complanares.
Exemplo - vetores base do referencial Cartesiano (referencial
direito) Os vetores base do
Produto externo expresso em termos de componentes
Cartesianas
Seja o vetor
e
expressos em componentes Cartesianas:
O produto externo :
O produto externo usado para calcular o momento de um vetor em
relao a um ponto.
Se o vetor representa uma fora, ento o momento a capacidade de
rotao de uma fora.
Momento de uma fora em relao a um ponto
O vetor momento um vetor fixo, pelo que varia com o ponto em
relao ao qual se calcula. O momento de uma fora em relao a um ponto
, a capacidade de .
rotao de fora em torno do ponto representado por
, sendo a unidade
Onde
o vetor posio do ponto de aplicao do vetor
relativamente ao ponto
.
Figura 3.11: Momento de um vetor.
O vetor momento pode ser obtido atravs do produto vetorial (Seco
3.6.1), determinando a sua intensidade, direo e sentido ou
utilizando a expresso analtica, produto externo (Seco 3.6.1)
obtendo as componentes segundo os eixos coordenados. Propriedades:
1. O momento do vetor em relao a um ponto no varia escolhendo
qualquer ponto na sua linha de ao como ponto de aplicao. Pelo
princpio de transmissibilidade as foras so vetores deslizantes pelo
que o seu efeito no se altera se a mesma se desloca ao longo da sua
linha de ao.
Figura 3.12: Momento de um vetor: princpio de transmissibilidade
da fora.
Por isso intensidade (Seco 3.6.1):
do momento
pode ser obtida pela expresso
Sendo
perpendicular a linha de ao do vetor
(
) e o seu mdulo
ao qual se d o nome de brao da fora em relao ao ponto . O brao
da fora obtm-se baixando a perpendicular do ponto sobre a linha de
ao do vetor .
2. O momento de um vetor em relao a um ponto nulo sempre que a
linha de ao do vetor passe pelo ponto em causa, sendo os vetores e
colineares ( ). 3. O momento de um vetor varia escolhendo um outro
ponto em relao ao qual se calcula.
O momento relativamente ao ponto
dado por:
Figura 3.13: Variao do momento de uma fora em relao a um ponto
Escolhendo um ponto , o momento em relao a esse ponto ser:
Como
: (3.1)
A equao (3.1) representa a propagao dos momentos, com a mudana
do ponto relativamente ao qual se deseja calcular o momento.
Observao: Se o ponto ( ) for numa linha paralela linha de ao da
fora, o ( o vetor e ficaro
momento relativamente a esse ponto paralelas ou colineares).
4. O momento resultante de vrias foras concorrentes
relativamente a um ponto igual soma dos momentos das vrias foras
relativamente a esse ponto.
Esta relao que representa a propriedade distributiva a Teorema
de Varignon.
Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um
pontoProblema 3.8 Sabendo que a fora de intensidade , determine o
momento em relao ao ponto . e com linha de ao
Resoluo:
Em alternativa o momento da fora utilizando o vetor de posio
ponto de aplicao em .
em torno do ponto
pode ser calculada ao longo da linha com
, deslizando o vetor
Problema 3.9 Sabendo que .
determine o momento em relao ao ponto
Resoluo 1o Pelo produto externo
2 Pelo produto vetorial: Observao: No plano prefervel calcular o
modulo do pela definio em vez de usar a representao cartesiana.
A direo perpendicular ao plano .
e o sentido pela regra de mo direita :
Problema 3.10 Sabe-se que para retirar o prego em necessrio uma
fora vertical de Determine a) o momento produzido pela fora em
relao ao ponto . b) a intensidade da fora aplicada no ponto , que
produz o mesmo momento em relao ao para c) a menor fora que produz
o mesmo momento
Resoluo a) Momento em relao ao ponto da fora :
Pelo produto vetorial:
Intensidade:
Direo: direo do eixo Sentido: sentido horrio (
(perpendicular ao plano
)
- pela regra de mo direita).
b) A intensidade da fora
aplicada no ponto
para
:
1 Pelo produto externo
2 Pelo produto vetorial:
3 Decompor a fora
em duas componentes, uma paralela com a direo ( ), sendo:
(
) e outra perpendicular a
Aplicando o teorema de Varignon:
c) A menor fora que produz o mesmo momento (ver alinha em que ,
isto
), se obtm no caso
Momento de uma fora em relao aos eixos coordenadosSeja o ponto a
origem do referencial Cartesiano, o momento da forca produto
externo : obtida pelo
Seja o vetor
e
expressos pelas suas componentes cartesianas:
O momento em relao aos eixos
,
e
obtm-se:
Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um eixo
Problema 3.11 Determine o momento da fora
em torno do eixo
Resoluo
Calcula-se o momento
da fora
:
com
1. Pela definio
2. Pelo produto misto:
Momento de uma fora em relao aos eixos coordenadosSeja o ponto a
origem do referencial Cartesiano, o momento da forca produto
externo : obtida pelo
Seja o vetor
e
expressos pelas suas componentes cartesianas:
O momento em relao aos eixos
,
e
obtm-se:
Exemplos de clculo de momento de uma fora em relao a um eixo
Problema 3.11 Determine o momento da fora
em torno do eixo
Resoluo
Calcula-se o momento
da fora
:
com
1. Pela definio
2. Pelo produto misto:
Momento de binrio
Um binrio um sistema constitudo por duas foras de igual
intensidade, com linhas de ao paralelas, mas de sentidos opostos.
Um binrio representado por uma nica grandeza vetorial, o momento
binrio. O momento binrio um vetor livre, tm o mesmo elemento
independentemente do ponto do espao.
Os elementos de binrio so:
Plano do binrio: - o plano que contm as duas linhas de aco;
Sentido: - o sentido de rotao das duas foras; Brao : a distncia
entre as duas linhas de ao; Intensidade:
O resultante destas foras nulo.
O momento binrio a tendncia de rotao das duas foras:
Com:
Direo: - perpendicular ao plano do binrio; Sentido: - obtido
pela regra de mo direita; Intensidade:
Binrios equivalentesDois binrios com o mesmo momento so
equivalentes, isto produzem o mesmo efeito.
Operaes que garantem a equivalncia:
Translao no plano do binrio ou num plano paralelo; Rotao no
plano do binrio em torno de um eixo perpendicular ao plano;
Deformao do binrio - modificar o brao ou o modulo das foras mas sem
modificar o momento binrio.
Soma dos binrios: rege a regra de adio dos vetores (vetores
binrios).
Exemplos de operaes com binrios
Problema 3.12 Sabendo que binrio.
, determine o momento do
Resoluo Pelo produto externo
1. Pelo produto vetorial intensidade:
o
Direo: perpendicular ao plano
o
Sentido: horrio
Problema 3.13 a) Determine o vetor binrio equivalente as foras
indicadas. b) Determine a intensidade de duas foras aplicadas em e
que formam um binrio equivalente.
Resoluo a) Binrio equivalente: 1 Pelo produto externo
2 elo produto vetorial
b) Foras em
e
:
Os sentidos dos binrios esto representados na figura.
Reduo de um sistema de forasExistem situaes em que convm
substituir um sistema de foras - que atuam sobre um corpo rgido -
por outra equivalente (no efeito), s vezes mais simples. Esta
operao chama-se reduo.
Substituio de uma fora aplicada num ponto por um sistema
forabinrio que atua num outro pontoSeja uma fora aplicada no ponto
de um corpo rgido. No ponto aplicam-se duas , o que no
foras iguais mas de sentidos opostos com linha de ao paralela a
da fora altera o estado de equilbrio ou movimento.
O par das foras
e
aplicadas nos pontos
e
respectivamente forma um
binrio de momento: juntamente com o vetor
, sendo vetor livre pode ser aplicado no ponto que ``deslocada''
para esse ponto.
Qualquer fora
atuante no ponto
pode ser ``deslocada'' para um ponto arbitrrio em relao
desde que seja acrescentado um binrio de momento igual ao
momento do ao ponto .
No ponto
temos um sistema fora-binrio.
Reduo de um sistema de foras num dado ponto
Definio: Qualquer sistema de foras deslizantes ( um binrio
equivalentes, atuantes num dado ponto
) pode ser reduzido a uma fora e .
Fora resultante:
Momento resultante:
O vetor fora resultante
um vetor livre pelo que ser representada sem ndice, ou um vetor
aplicado.
,
enquanto o vetor momento resultante
O sistema fora-binrio, equivalente ao sistema de vetores
iniciais, forma os elementos de reduo em : .
Os elementos de reduo podem ser obtidos analiticamente,
utilizando a representao dos vetores pelas suas componentes
cartesianas. (Seco 3.4.4, Seco 3.6.1, Seco 3.7 e Seco 3.9).
Variao dos elementos de reduo relativamente a mudana do ponto de
reduoFora resultante: um vetor livre pelo que independente do ponto
em relao a qual se
reduz o sistema: Momento resultante: O momento resultante varia
com a variao do ponto em relao a qual se efetua reduo, de acordo
com a frmula de propagao dos momentos (Seco 3.7).
Propriedade projetiva: A projeo do vetor momento sobre a direo
do no depende do ponto em relao ao qual obtido o momento, mesmo que
o momento em relao a o ponto difere.
Pela definio a projeo do vetor
sobre a direo do vetor
dada pelo:
O vetor vetores
perpendicular sobre o plano que contm os e Sistemas de vetores
equivalentes
Dois sistemas de vetores (foras) dizem-se equivalentes quando
tiverem os mesmos elementos de reduo num mesmo ponto do espao. Para
que dois sistemas e ou sejam equivalentes tem de se verificar as
seguintes relaes:
Para que um sistema de vetores seja equivalente a zero basta
verificar as seguintes relaes num ponto qualquer do espao:
Nesse caso o sistema
representa um sistema em equilbrio.
que a projeo desse vetor sobre a direo
nulo.
Invariantes de um sistema de foras relativamente ao ponto de
reduoInvariantes de um sistema so elementos que no variam
escolhendo um outro ponto em relao ao qual se calculam. Os
invariantes de um sistema de vetores so: 1. Fora resultante: -
invariante vetorial. A fora resultante de um sistema de vetores
(foras) um vetor livre, no varia escolhendo qualquer ponto no espao
em relao o qual se calcula. 2. Produto escalar - invariante
escalar.
O produto interno dos vetores
e
no varia escolhendo qualquer ponto no
espao em relao o qual se calcula o
3. A projeo do vetor
sobre a direo do vetor
:
.
Casos de reduo de um sistema de forasQualquer sistema de vetores
(foras) pode ser reduzido (substitudo) a um dos seguintes sistemas
de vetores simples, identificados com base nos primeiros dois
invariantes invariantes principais:
1. 2. nico 3. .
- caso geral - reduo a dois vetores no complanares. - o sistema
equivalente a um vetor (fora) resultante
- o sistema se reduz a um binrio (momento idntico em qualquer
ponto do espao). O sistema ainda diz-se equivalente a conjugado. -
elementos de reduo nulos. Se um sistema se reduz elementos nulos
equivalente a zero e ser nulo em qualquer ponto do espao. Um
sistema de foras nestas condies representa um sistema em
equilbrio.
4.
Exemplos de reduoProblema 3.14 a) Substitu a fora aplicada por
um sistema fora-binrio aplicados em b) Determine as duas foras
aplicadas em obtido em . e que so equivalentes ao momento
Resoluo
a)
b) O sentido do binrio est representado na figura. Problema 3.15
Para o sistema representado na figura determine: a)os elementos de
reduo em b) os elementos de reduo em .
Resoluo a) Expresso analtica das foras:
b) Os elementos de reduo em
so:
Sendo os vetores e colineares ( ), o momento resultante do
sistema no varia se o ponto de reduo for o ponto .
Eixo central de um sistema de foras
Nos casos de reduo para qual e
existem pontos
no espao em que os vetores
so colineares ou paralelas. O lugar geomtrico destes pontos
corresponde a e chama-se eixo central do sistema e o momento
uma reta que tem a direo do vetor mnimo.
Equao vetorial do eixo central
Se conhecermos os elementos de reduo num ponto pela formula de
propagao dos momentos:
pode determinar o momento
ou (3.2)
Nesta equao a nica incgnita o vetor
que define o eixo central, relativamente ao ambos os lados
ponto . A equao se resolve externando da esquerda com o vetor da
equao (3.2):
Aplicando as formulas de Gibbs para resolver o produto externo
duplo, resulta o vetor posio do eixo central:
Os elementos que definem o vetor
so:
Intensidade: Direo: perpendicular ao plano que contm os vetores
Sentido: pela regra de mo direita. e
A equao vetorial do eixo central :
Equao analtica do eixo central
Substituindo os vetores expressos pelas suas componentes
cartesianas, e efetuando os clculos resulta e equao do eixo central
como interseco de dois planos:
As relaes representam a equao de dois planos.
Propriedade do mnimo dos pontos do eixo centralA intensidade do
momento resultante relativamente aos pontos ( mnima. O momento
mnimo pode ser obtido internando com o vetor equao da propagao dos
momentos e resulta: ) do eixo central
ambos os lados da
O termo
sendo o produto escalar a dois vetores perpendiculares, , pelo
que resulta:
Casos de sistemas de foras equivalentes a dois vetoresSeja o
ponto um ponto qualquer no espao e o ponto um ponto no eixo
central. Qualquer sistema de vetores (foras) pode ser equivalente a
um dos seguintes casos representados na Tabela 3.1. Tabela 3.1:
Casos de reduo a dois vetores
a)
em
:(
)
em I.
: mnimo -
- admite EC
b)
em
:(
)-
em
: fora resultante (
)
a) II.
Binrio (
)
b)
Elementos nulos (
) - equilbrio
Casos particulares de sistemas de foras equivalentes a uma nica
fora resultantePara que um sistema se reduza a uma nica fora
resultante necessrio e suficiente que:
ou Nesse caso a fora resultante atua no eixo central.
Os casos de sistemas que de modo geral se reduzem a um vetor
nico so:
1. Sistemas de foras concorrentes num ponto 2. Sistemas de foras
complanares (
( ou
); );
3. Sistemas de foras paralelas ( ou ). 4. Sistemas de foras
distribudas. (generalizao do sistema de foras paralelas)o
Generalizao do teorema de Varignon para sistemas de vetores
equivalentes a um vetor nicoPara os casos de sistemas de vetores
equivalentes a um vetor nico e
ou que ou , o momento resultante igual ao momento da resultante,
desde que seja convenientemente aplicada, nos pontos em que o
momento resultante zero. Se for um ponto no eixo central, o momento
num ponto dado pelo: qualquer no espao o
momento
Sistemas de foras concorrentes num pontoSe as linhas de ao das
todas as foras concorrem no mesmo ponto equivalente a uma nica fora
resultante central. que passa por , o sistema e coincide com o
eixo
Se o vetor
, o sistema est em equilbrio. diferente de aplica-se o
Para calcular o momento do sistema em qualquer ponto teorema de
Varignon.
Equivalncia a zero:
.
Sistemas de foras complanaresSe as foras atuarem todas no mesmo
plano ( contido no mesmo plano. Se o ponto ), o sistema se reduz a
um vetor nico .
no pertence ao eixo central
Se o vetor , o sistema est em equilbrio ou reduz a um binrio.
Caso contrrio o sistema admite eixo central contido no plano das
foras.
A equao do eixo central obtm-se aplicando o teorema de
Varignon.
Equivalncia a zero: Um sistema de foras complanares est em
equilbrio se verificarem uma das trs condies: 1. Tm elementos nulos
em relao a um ponto qualquer ). 2. o momento resultante em relao a
trs pontos ( plano nulo: . , , ) no colineares no no plano das
foras (
o momento resultante em relao a dois pontos ( relao a um eixo
nulo: paralelas no perpendicular ao linha e
,
) e em
. Sistemas de foras
Se os vetores todos so paralelos com a mesma direo ( ), em que a
fora resultante o sistema se reduz a um vector nico paralela com a
mesma direo.
Se o vetor , o sistema est em equilbrio ou re reduz a um binrio.
Caso contrrio o sistema admite eixo central. A equao do eixo
central obtm-se aplicando o teorema de Varignon.
Equivalncia a zero: elementos nulos em relao a um ponto qualquer
foras ( ).
no plano das
Sistemas de vetores distribudosA aplicao de uma carga sobre um
corpo em geral faz-se atravs de certa superfcie de contacto e
segundo uma equao. As cargas podem ser distribudas em superfcie
(e.g. presso hidrosttica exercido por um liquido sobre a superfcie
de um corpo mergulhado nele) ou distribudas por volume (e.g. peso
dos vrios pontos) ou ainda foras distribudas em linha. Interesse
agora substituir um sistema de foras distribudas por um outro
sistema mais simples sem alterar o seu efeito. Para calcular os
elementos de reduo de um sistema de foras distribudas relativamente
a um ponto, usam-se os procedimentos descritos para a reduo de
sistemas em caso geral, substituindo a operao de soma por integrais
das cargas elementares atuantes em grandezas elementares.
Casos de distribuio numa superfcie
A intensidade da carga elementar obtida conhecendo densidade da
carga ea superfcie elementar sobre qual atua em funo das
coordenadas do ponto em causa:
Os elementos da reduo relativamente ao ponto
qualquer so:
Carga distribuda numa linhaUm caso de maior freqncia o caso de
cargas paralelas distribudas numa linha.
Os elementos de reduo em
so:
A posio do eixo central obtm-se aplicando o teorema de
Varignon:
Na Tabela 3.2 apresentam-se alguns exemplos de sistemas de foras
paralelas distribudas em linha. Tabela 3.2: Exemplos de sistemas de
foras paralelas distribudas: fora resultante e posio do eixo
central Sistema
,
,
,
,
Exemplos de reduo de sistemas que admitem eixo centralProblema
3.16 Para o sistema representado na figura em que e a equao do eixo
central. , determine: , e
os elementos de reduo em
Resoluo a) Expresso analtica das foras:
b) Para a equao do eixo central aplica-se o teorema de
Varignon.
A equao do eixo central resulta:
O eixo central intersecta os eixos coordenados
e
nos pontos
e
,
respectivamente, de coordenadas
e
.
Problema 3.17 Substitua o sistema dado por uma nica fora
aplicada num ponto que fica sobre a linha . Determine a posio do
ponto de aplicao desta fora.
Resoluo 1. Se o ponto . for um ponto de linha situado a uma
distncia do ponto
2. O ponto pertence ao eixo central, teorema de Varignon para
calcular o momento em
possvel aplicar o
Problema 3.18 Para o sistema representado na figura e determine
os elementos de reduo da forma onde a linha da resultante
intersecta as linhas
, . Indique os pontos
e
.
Resoluo: Os elementos da reduo em
so:
Como o sistema admite eixo central e sendo nica fora resultante
atuantes no eixo central. Se o ponto central , podemos aplicar o
teorema de Varignon.
o sistema se reduz a uma for um ponto no eixo
A equao do eixo central :
o que intersecta a eixo
no ponto
e o eixo
(linha
) no ponto
interseco (
. Da equao do eixo central obtm-se as coordenadas do ponto de )
do eixo central com a linha ,
Esttica da PartculaAlguns problemas reais podem ser resolvidos
estudando a partcula, sempre que se verificam as condies de aplicao
do equilbrio da partcula, isto as foras atuantes so concorrentes
num ponto.
Conceitos:
Foras concorrentes (foras externas - aplicadas e/ou transmitidas
atravs de cabos, correias, correntes etc. - foras resultantes de
contacto direto entre os corpos e foras resultantes de interao dos
corpos a distncia - ex. foras gravticas); Equilbrio esttico: - a
velocidade de um objeto igual a zero ou constante; 1a Lei de
Newton: - se a resultante das foras que atuam numa partcula nula -
a partcula permanece em repouso ou move-se com velocidade constate
segunda uma reta.
Equilbrio da partculaUma partcula livre est em equilbrio se o
sistema de foras atuantes (externas aplicadas, gravticas e
reativas) se reduz os elementos nulos.
O sistema de foras corresponde ao caso particular: de sistema de
foras cor correntes num ponto que representa a partcula.
A condio de equilbrio (vetorial) : As condies de equilbrio podem
ser expressas analiticamente:
Espao: (4.1)
As equaes (4.1) permitem determinar at trs incgnitas. Plano -
particularizao do caso 3D: sistemas de foras concorrentes
coplanares, Seo ). (4.2)
As equaes (4.2) permitem determinar at duas incgnitas.
Na realidade, de modo geral, a partcula no se encontra livre e
para resolver os problemas necessrio substituir as ligaes por os
seus correspondentes fsicos (foras) de modo a obter um esquema de
partcula livre sob aces, chamado diagrama de corpo livre - DCL.
Exemplos de foras transmitidas atravs de cabos, correias,
correntes, etc., sem atrito, molas ou contacto direto entre
corpos:
Foras transmitidas atravs de:
Cabos, correias sem atrito, (Figura e ), sistemas de roldanas
sem atrito podem ser solicitadas a trao e a fora que atua neles
constante (Figura ) Molas: resistem a trao e a compresso e a fora
dada pelo , onde representa a deformao da mola (Figura ) Superfcie
lisa (sem atrito): fora tem a direo normal a superfcies em contacto
(Figura )