S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________ 1 Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi Oleh Dr.Suryadi Siregar DEA Prodi Astronomi FMIPA-ITB Bandung, 2008
68
Embed
Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi · Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel logaritma, tabel Kepler, tabel presesi dan sebagainya kini tinggal kenangan sejarah,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
1
Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi
Oleh
Dr.Suryadi Siregar DEA
Prodi Astronomi FMIPA-ITB
Bandung, 2008
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
2
Kata Pengantar
Alasan didirikannya Observatorium Bosscha di Lembang pada tahun 1923 adalah untuk menyingkap tabir rahasia bintang bintang disebelah selatan langit, bintang berdua visual adalah objek eksotis yang merupakan riset andalan pada awal berdirinya Observatorium Bosscha. Itulah sebabnya kenapa teropong Zeiss-60cm adalah instrument pertama yang diletakkan di atas sebuah bukit di selatan desa Lembang. Tulisan ini merupakan upaya untuk mewariskan pengalaman ketika mengerjakan Tugas Ahir dibawah bimbingan Dr. Elsa van Albada van Dien dan Co-Pembimbing Dr.B.Hidayat, pada tahun tujuhpuluhan. Pekerjaan itu diselesaikan penulis awal tahun 1976, yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar doktarandus. Kini tiga puluh tahun setelah itu, domain telaah bintang ganda telah jauh berbeda. Teknologi Informasi sudah merambah disemua segi kehidupan, mengimbas pada kemajuan teknologi, mulai dari teknologi perekaman informasi, akuisisi data, basis data, system informasi manajemen, teknologi digital, pengolahan citra dan segala ilmu yang bertautan dengannya. Semua ini telah memungkinkan astronom menyelesaikan pekerjaan dalam waktu yang relatif singkat, tepat dan cepat, dibandingkan dengan tigapuluh tahun yang lalu. Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel logaritma, tabel Kepler, tabel presesi dan sebagainya kini tinggal kenangan sejarah, yang hanya bisa kita temukan di museum.
Ada ungkapan kuno yang masih relevan, pisau yang baik hanya bisa diperoleh dari pukulan dan tempaan, bukan dengan cara mengelus-elus. Pekerjaan menentukan orbit bintang ganda visual bukan hanya melibatkan kemahiran dalam menurunkan rumus, hitung menghitung, tapi ada sentuhan perasaan dan kesabaran yang harus kita miliki. Metoda Least Square yang sering digunakan untuk menentukan koefisien regresi suatu kurva, ternyata tidak dapat diaplikasikan pada saat kita mencari konstanta Kepler. Komputer memang membantu tapi tidak menentukan apakah kurva regresi itu sudah memenuhi kaedah Keplerian. Menggambar kurva Kepler, lebih merupakan seni ketimbang komputasi, inilah yang merupakan bagian tersulit dalam pekerjaan menghitung orbit bintang ganda visual, penulis berharap ada peneliti yang mau menelaah problema kurva Kepler. Akhir kata semoga catatan ini bisa memberikan manfaat dan inspirasi dalam pekerjaan kita sebagai seorang astronom. Wassalam Bandung, Awal 2008 Penulis
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
3
Daftar Isi hal Bab 1. Landasan Teori 1 1.1 Definisi 1 1.2 Metoda Pengamatan 2 1.3 Penurunan persamaan Ellips 2
1.3.1 Berdasarkan sifat suatu ellips 3 1.3.2 Berdasarkan hokum Kepler II 4 1.3.3 Konstanta Kepler C 5
1.4 Elemen yang menentukan suatu lintasan 6
1.4.1 Elemen yang menentukan lintasan pada bidang orbit 6 yang sebenarnya(P,T dan e) 1.4.2 Elemen yang menentukan orientasi (a,Ω,ω dan i ) 7
1.5 Hubungan antara ellips benar dan ellips semu 7 1.6 Menentukan koordinat titik-titik utama ellips semu 10 1.7 Menentukan sumbu panjang dan sumbu pendek sebuah ellips 13 1.8 Menentukan persamaan dasar Thiele 14 1.9 Menentukan periode revolusi (P) 15
1.10 Menentukan anomali eksentrik (E) dan eksentrisitas (e) 17 1.11 Pengaruh presesi Luni-Solar terhadap lingkaran 18 jam dan sudut arah θ 1.12 Metoda Least Square untuk menghitung konstanta 20 Thiele dan Innes 1.13 Massa dan luminositas 22
Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733 31 2.1 Urutan pekerjaan 31
2.1.1 Data yang diperlukan 31 2.1.2 Proses dasar 32
2.2 Pelaksanaan 35
2.2.1 Menentukan nilai μ = μ0 41 2.2.2 Menghitung eksentrisitas (e) dan anomaly eksentrik (E) 42 2.2.3 Menghitung saat komponen sekunder melalui periastron 43 2.2.4 Menghitung M,E,X dan Y pada tiap epoch 44 2.2.5 Menghitung konstanta Thiele dan Innes 45 2.2.6 Menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes 47 2.2.7 Menghitung elemen orientasi 51 2.2.8 Hitung Massa dan jarak 53 2.2.9 Hasil akhir 54 2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 55
Bab 3. Proposal untuk pekerjaan selanjutnya 57 3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB 57
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
4
3.2 Studi sebelumnya 59 3.3 Penentuan konstanta Kepler 59
Daftar Pustaka 63 Daftar Gambar Hal Gambar 1.1 Gambaran pasangan Bintang Ganda Visual lewat okuler
teleskop 1
Gambar 1.2 Lingkaran Bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit
3
Gambar 1.3 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap. S1t3t4=S1t1t2
5
Gambar 1.4 Lingkaran Bantu Kepler, anomaly eksentrik dan anomaly benar
6
Gambar 1.5 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit
8
Gambar 1.6 Bidang orbit nyata dan lingkaran Bantu Kepler 13 Gambar 1.7 Konstanta Thiele – Innes dan makna geometri 14 Gambar 1.8 Orbit ellip, anomali eksentrik dan anomaly benar untuk
dua waktu yang berbeda 15
Gambar 1.9 Akibat Presesi Luni-Solar mengubah sudut posisi bintang ganda
18
Gambar 1.10 Flowchart hitung massa dan paralak bintang ganda visual
18
Gambar 2.1 Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-strasb.fr)
26
Gambar 2.2 Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)
35
Gambar 2.3 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch 40 Gambar 3.1 Grafik separasi sudut (ρ) bintang ganda ADS 8119 AB
sebagai fungsi waktu 61
Gambar 3.2 Grafik sudut posisi (θ) bintang ganda ADS 8119 AB sebagai fungsi waktu
61
Daftar Tabel Hal Tabel 2.1 Elemen dinamik ADS 1733 33 Tabel 2.2 Elemen orientasi ADS 1733 34 Tabel 2.3 Ephemeris ADS 1733 34 Tabel 2.4 Posisi ADS 1733 menurut Worley (1975) 36 Tabel 2.5 Harga ρ dan θ yang telah dikoreksi 38 Tabel 2.6 Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp 40 Tabel 2.7 Hasil perhitungan untuk mencari μ0 41
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
5
Tabel 2.8 Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali lmelalui periastron
44
Tabel 2.9 Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3), (1.3.1-1) dan (1.3.1-2)
45
Tabel 2.10 Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan
(1.12-3),(1.12-4) dan (1.12-6) 46
Tabel 2.11 Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes
49
Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976)
55
Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) dari tahun 2006 sampai tahun 2020
56
Tabel 2.14 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999)
56
Tabel 2.15 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006
56
Tabel 3.1 Informasi system bintang ganda ADS 8119 AB 58 Tabel 3.2 Elemen orbit hasil studi bintang ganda ADS 8119 AB 59 Tabel 3.3 Nilai separasi sudut dan sudut posisi bintang ganda ADS
8119 AB 63
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
6
Bab 1
Landasan Teori
1.1 Definisi
Beberapa definisi yang digunakan pada studi bintang ganda visual antara lain:
1. Komponen primer (S1), adalah bintang yang paling terang dalam sistem
bintang ganda.
2. Komponen sekunder (S2), adalah komponen bintang yang memiliki cahaya
lebih lemah dari komponen primer.
3. Jarak sudut ( ρ ), adalah jarak yang diukur dari komponen primer ke
komponen sekunder dan dinyatakan dalam detik busur.
4. Sudut posisi/sudut arah (θ ), adalah sudut yang diukur dari arah utara ke arah
komponen sekunder melalui timur. Sudut posisi dinyatakan dalam derajat.
Bayangan bintang yang dapat dilihat melalui teleskop digambarkan pada gambar 1.1-1
Gambar 1.1-1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
7
x dan y menyatakan perbedaan asensiorekta (α ) dan deklinasi (δ ) dari komponen
primer dan sekunder. Hubungan komponen tersebut adalah
sin cosx ρ θ α δ= = cosy ρ θ δ= = , (1.1-1)
cosy ρ θ δ= = . (1.1-2)
Beberapa nilai sudut arah yang khusus antara lain:
θ = θ = 90o bila komponen sekunder berada di Timur
θ = 180o bila komponen sekunder berada di Selatan
θ = 270o bila komponen sekunder berada di Barat
θ = 360o atau 0o, bila komponen sekunder berada di Utara
1.2. Metode Pengamatan
Bayangan yang kita lihat melalui teleskop adalah kedudukan bintang pada bidang
langit, bukan bidang orbit yang sebenarnya. Gerakan bintang ganda merupakan gerak
keplerian yang berarti bahwa orbitnya merupakan salah satu penampang irisan kerucut,
pada umumnya adalah ellips. Komponen primer berada pada salah satu titik fokusnya
dan komponen sekunder bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips.
1.3. Penurunan Persamaan Ellips
Gambar 1.3.1 menggambarkan komponen sekunder (S2) yang bergerak dalam orbit
yang berbentuk ellips, dengan komponen primer pada salah satu titik fokusnya.
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
8
Gambar 1.3-1 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit
Bentuk lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran bantu Kepler dengan jejari
a. Sedangkan bentuk ellips merupakan orbit komponen sekunder. Elemen tambahan
pada sebuah lintasan antara lain, anomali benar (ν ), anomali eksentrik (E), radius
ar coscoscossinsinsincoscossinsincoscos Ω+Ω−+Ω+Ω= ωωνωων .
Dan dengan menggunakan persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat kita
tuliskan dalambentuk:
GYBXx +== θρ sin , (1.5-5)
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
14
dimana
( )iaB coscossinsincos Ω−Ω= ωω ,
( )iaF coscoscossinsin Ω+Ω−= ωω . (1.5-6)
Dari persamaan (1.5-3), (1.5-4), (1.5-5), (1.5-6) dapat diturunkan (Appendiks B)
beberapa hubungan seperti di bawah ini:
( )2
coscos2 2 iaGA Ω+=+ ω , (1.5-7)
( )2
sincos2 2 iaGA Ω−=− ω , (1.5-8)
( )2
cossin2 2 iaFB Ω+=− ω , (1.5-9)
( ) ( )2
sinsin2 2 iaFB Ω−=+− ω , (1.5-10)
AGFB
−+
=Ω− )tan(ω , (1.5-11)
AGFB
+−
=Ω+ )tan(ω . (1.5-12)
Dari persamaan (1.5-11) dan (1.5-12) terlihat bahwa sin(ω-Ω) mempunyai tanda yang
sama dengan (B+F), demikian juga dengan sin(ω+Ω) mempunyai tanda yang sama
dengan (B-F). Akibatnya kuadran (ω-Ω) dan (ω+Ω) sudah tertentu.
Untuk menghitung i, dapat digunakan persamaan
( )( )Ω−
Ω++−
=ωω
coscos
2tan2
GAGAi . (1.5-13)
Dalam rumus-rumus di atas A, B, F, dan G disebut konstanta Thiele dan Innes.
1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
15
Ditinjau persamaan (1.5-5), (1.3.1-1), (1.3.2-1)
Ee
arY
eEarX
sin1sin
coscos
2−==
−==
ν
ν
Pada periastron °= 0E dan 0=Y . Jadi
0
10cos
=
−=−°=
p
p
Y
eeX (1.6-1)
Substitutsi (1.6-1) pada (1.5-3) dan (1.5-6), sehingga diperoleh
AeFYAXy
BeGYBXx
ppp
ppp
)1(
)1(
−=+=
−=+= (1.6-2)
Pada Apastron °= 180E dan 0=Y
0
)1(180cos=
+−=−°=
A
A
YeeX
(1.6-3)
Substitutsi (1.6-3) pada (1.5-3) dan (1.5-6) sehingga diperoleh
AeFYAXyBeGYBXx
AAA
AAA
)1()1(
+−=+=+−=+=
(1.6-4)
Koordinat pusat ellips adalah
[ ]
[ ] eAAeAeyyy
eBBeBexxx
Apc
Apc
−=−++−=+=
−=−++−=+=
)1()1(21)(
21
)1()1(21)(
21
Jadi
eAyeBx
c
c
−=−=
(1.6-5)
Pada posisi dimana nilai °= 90E , diperoleh
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
16
2290
90
190sin1
90cos
eeY
eeX
−=°−=
−=−°=
°
°
Sehingga
FeAeFYAXy
GeBeGYBXx2
909090
2909090
1
1
−+−=+=
−+−=+=
°
°
Bila titik utama tersebut dihitung dari titik pusat ellips, maka diperoleh
1. Koordinat Periastron
cpp xxx −=0,
BeBBe =−−−= )()1(
cpp yyy −=0, ,
AeAAe =−−−= )()1( .
Jadi Bx p =0, , dan Ay p =0, . (1.6-6)
2. Koordinat Apastron
cAA xxx −=0, ,
BeBBe −=−−+−= )()1( .
cAA yyy −=0, ,
AeAAe −=−−+−= )()1( .
Jadi BxA −=0, , dan AyA −=0, . (1.6-7)
3. Koordinat utuk nilai °= 90E
cxxx −= 900,90 ,
( ) )(1 2 eBGeBe −−−+−= ,
Ge21−= .
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
17
cyyy −= 900,90 ,
( ) )(1 2 eAFeAe −−−+−= ,
Fe21−= .
Jadi Gex 20,90 1−= , dan Fey 2
0,90 1−= . (1.6-8)
Dari persamaan di atas (1.6-6), (1.6-8) dapat dilihat bahwa konstanta Thiele Innes A, B,
F, dan G menyatakan proyeksi koordinat siku-siku ekuatorial dari titik periastron dan
titik anomali eksentrik °= 90E yang terletak pada bidang orbit sebenarnya ke bidang
langit.
1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah Ellips.
Untuk menentukan sumbu panjang ellips semu, dapat dilakukan langkah
berikut.
Gambar 1.7-1 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
18
Gambar 1.7-1 menggambarkan bidang orbit yang sebenarnya dengan lingkaran bantu Kepler
yang memiliki jejari=1/2 sumbu panjang ellips.
Apabila gambar 1.7-1 diproyeksikan pada bidang langit akan diperoleh:
i. Lingkaran bantu Kepler menjadi ellips bantu Kepler. Dengan setengah sumbu panjang,
a dan setengah sumbu pendek, b. Dalam hal ini cosb a i= .
ii. Lintasan benar (ellips benar) menjadi lintasan semu (ellips semu).
Gambar 1.7-2 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri
Gambar 1.7-2 menunjukkan bahwa konstanta Thiele dan Innes A, B, F, dan G
menyatakan proyeksi periastron dan titik dimana E mencapai 90° . Dengan menerapkan
teorema Apollonius pada gambar tersebut, kita dapat memperoleh (Apendiks C).
( )2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G+ = + + + ( )2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G+ = + + + , (1.7-1)
dan
31 3 1U V E E E+ = = − 2 2cosa i AG BF= − . (1.7-2)
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
19
1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele
Misalkan qpΔ menyatakan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh radius vektor pada
saat komponen sekunder bergerak dari epoch pt ke qt .
Gambar 1.8-1 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar
untuk dua waktu yangberbeda
Dengan menggunakan gambar 1.8-1, dan hasil yang sudah diperoleh dari 1.3.1, 1.3.2,
dan 1.3.3, dapat dibuktikan (Apendiks D) bahwa persamaan dasar Thiele mempunyai
bentuk
sinqpqp qp qpt E E
Cμ
Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠, (1.8-1)
dengan
qpΔ = 2 x luas segitiga '1 2 2S S S ,
qp q pt t t= − , (1.8-2)
qp q pE E E= − . (1.8-3)
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
20
1.9. Menentukan Periode Revolusi (P)
Periode revolusi (P) dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.
Diambil tiga buah titik pengamatan saat 1t , 2t , dan 3t . Dari persamaan dasar Thiele,
dapat diturunkan
2121 21 21sinE E t
Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠, (1.9-1)
3232 32 32sinE E t
Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠, (1.9-2)
3131 31 31sinE E t
Cμ Δ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠, (1.9-3)
Misalkan
21 2 1U E E E= = − ,
32 3 2V E E E= = − .
Jadi 31 3 1U V E E E+ = = − (1.9-4)
Persamaan (1.9-1), ( 1.9-2), ( 1.9-3) dapat dituliskan menjadi
2121sin ( )U U t
Cμ Δ
− = − , (1.9-5)
3232sin ( )V V t
Cμ Δ
− = − , (1.9-6)
( ) ( ) 3131sin ( )U V U V t
Cμ Δ
+ − + = − . (1.9-7)
Karena harga 21t , 32t dan 31t diketahui, demikian juga 21
CΔ , 32
CΔ , dan 31
CΔ dapat
dihitung atau dengan perkataan lain, U dan V hanya bergantung pada harga μ yang
dipilih.
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
21
μ harus dipilih sehingga (U+V) yang diperoleh dari penjumlahan (1.9-5) dan (1.9-6)
sesuai dengan (U+V) yang diperoleh dari rumus (1.9-7). Nilai yang memenuhi syarat
tersebut dinyatakan dengan 0μ μ= , masing-masing dengan 0U dan 0V .
0 2 1U U E E= = − ,
0 3 2V V E E= = − . (1.9-8)
Periode revolusi P dihitung dari hubungan 02Pπμ μ= = atau dapat dinyatakan
0
2P πμ
= .
1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas (e)
Perhatikan persamaan (1.8-1) dan (1.8-3). Dengan memisalkan
sine ϕ= , atau 21 cose ϕ− = ,
2 1U E E= − ,
3 2V E E= − ,
3 1U V E E+ = − , (1.10-1)
dengan memanipulasi (1.8-3) dan menggunakan (1.10-1) diperoleh hubungan
(Appendiks E)
23 122
12 23 13
sin sinsin sin U VEϕ Δ − Δ=
Δ + Δ − Δ, (1.10-2)
23 12 132
12 23 13
cos cossin cos U VEϕ Δ + Δ − Δ=
Δ + Δ − Δ. (1.10-3)
Penggabungan (1.10-2) dan (1.10-3) akan menghasilkan
23 122
12 23 13
sin sintancos cos
U VEV U
Δ − Δ=
−Δ + Δ − Δ. (1.10-4)
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
22
E2 dapat ditentukan dari persamaan di atas, bila ruas kanan bisa dihitung. Selanjutnya E1
dan E3 dapat diperoleh karena U dan V telah diketahui dari 1.9. Eksentrisitas dapat
dihitung dengan menggunakan (1.10-2) atau (1.10-3).
1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam dan
Sudut arah θ
Van de Kamp (1969) mendefinisikan Presesi Luni-Solar sebagi bergesernya
vernal equinox sepanjang ekliptika dengan mengecilnya longitude. Peristiwa ini terjadi
akibat gaya gravitasi diferensial Bulan dan Matahari terhadap Bumi. Pengaruh Presesi
Luni-Solar dapat dilihat pada gambar 1.11-1.
Gambar 1.11-1 Akibat presesi Luni-Solar pada sudut posisi bintang ganda
P1 = kutub ekuator sebelum mengalami presesi Luni-Solar.
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
23
P2 = kutub ekuator sesudah mengalami presesi Luni-Solar.
S1 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sebelum mengalami presesi Luni-
Solar.
S2 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sesudah mengalami presesi Luni-
Solar.
θΔ = perubahan sudut posisi selama satu tahun.
n = Pergeseran kutub P1 ke P2 selama satu tahun.
Hubungan matematis antara θΔ , n, α , dan δ dapat diperoleh dengan memperhatikan
segitiga bola SP1P2 :
( )'
sin sinsin sin 90n
θ αδ
Δ=
° −,
atau
'
sin sinsin cosn
θ αδ
Δ= ; dapat juga dinyatakan
'
sinsin sincos
nαθδ
Δ = .
Karena θΔ dan n mempunyai harga yang cukup kecil, maka persamaan di atas dapat
dinyatakan sebagai
'sin secnθ α δΔ = .
Newcomb (vide, Van de Kamp, 1969) memberikan harga 20".0495n = /tahun atau
0 .00557n = ° /tahun. Nyatakan δ dengan 'δ maka 1.11-1 dapat dituliskan menjadi
0 .00557sin secθ α δΔ = ° /tahun,
pada epoch 2000. Sehingga untuk menentukan θΔ pada epoch t, persamaan (1.11-2)
ditambah dengan faktor (2000-t), menjadi
0 .00557sin sec (2000 )tθ α δΔ = ° − .
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
24
1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta Thiele dan
Innes
Tinjau kembali persamaan (1.5-3) dan (1.5-5)
x BX GYy AX FY
= += +
Pernyataan ini dapat ditulis sebagai
x BX GY Y
= + , (1.12-1)
y AX FY Y
= + . (1.12-2)
Misalkan Δ menyatakan perbedaan nilai xY
atau yY
yang diamati dan nilai 'x
Y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
atau 'y
Y⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
yang dihitung dari persamaan (1.12-1) dapat dinyatakan:
x BX GY Y
⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
kemudian dikuadratkan
22 x BX G
Y Y⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
,
untuk n pengamatan.
22
1 1
n n x BX GY Y
⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ . (1.12-3)
B dan G ingin ditentukan supaya harga 2
1
n
Δ∑ minimum, untuk itu persamaan (1.12-3)
kita turunkan terhadap B dan G dan kemudian hasilnya kita samakan dengan nol,
diperoleh:
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
25
2X X x XB GY Y Y Y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ,
2X xB nGY Y
⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ .
B dan G dapat ditentukan dari determinan
2
X x XY Y Y
nxY
BXXYY
nXY
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑∑
∑
, dan
2
2
X x XY Y Y
X xY Y
GXXYY
nXY
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑∑
∑
.
Hal yang sama dapat kita lakukan pada (1.12-2) maka kita akan memperoleh nilai A dan
F.
Persamaan least square dari (1.12-2) adalah
2
2
X X y XA FY Y Y Y
X yA nFY Y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑
A dan F dihitung dari determinan:
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
26
2
y Y XY Y Y
nyY
AXXYY
nXY
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑∑
∑
, dan
2
2
Y y XY Y Y
X yY Y
FXXYY
nXY
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
∑
.
1.13. Massa dan Luminositas Dalam system bintang berdua visual dikenal beberapa pernyataan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak dan massa bintang Paralak dinamik
( )3
212 MMP
ap+
=
Dalam hal ini; a-setengah sumbu panjang dalam detik busur P-periode revolusi dinyatakan dalam tahun Mi massa bintang ke- i 1) Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang)
LogpmM bb 55 ++= Mb – magnitude absolute bolometric mb – magnitude semu bolometrik p –paralak 2) Hubungan massa-luminositas Log M = 0,1 (4,6-Mb ) bila 0 < Mb < 7,5 Log M = 0,145 (5,2 - Mb ) bila 7,5 < Mb < 11 Dalam hal ini M – massa bintang
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
27
Start
a, p0, P, dan ε ,mb(1), mb(2)
0
55)2()2(55)1()1(
LMLogpmM bb ++=
055)()( LogpimiM bb ++=
For I=1,2
5,7)( ≤IM b
( ))(6,41,0)( IMILM b−= ( ))(2,5145,0)( IMILM b−=
)(10)( ILMIM =
Next I
( ))2()1(3 2 MMP
ap+
=
1
2
tidak ya
Flowchart hitung masa dan luminositas
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
28
Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual. Data masukan: p0 tebakan paralak dinamik awal. P – priode dalam tahun, ε presesi relatif . mb(1) – magnitudo semu bolometrik bintang primary, mb(2)-magnitudo semu bolometrik secondary dan a – setengah sumbu panjang dalam detik busur Data keluaran M(1)-massa bintang primary, M(2)- massa bintang secondary, paralak dinamik p, magnitudo absolut bolometrik primary Mb(1) dan magnitudo absolut bolometrik secondary Mb(2). Catatan : jarak d= 1/p dalam hal ini d jarak binang dalam parsek
1
│p-p0│≤ εp p0 = p
p, Mb(1),Mb(2), M(1),M(2)
Stop
2
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
29
Bab 2.
Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733
Bintang ganda ADS 1733 sudah lama diketahui orang tentang orbitnya, bintang ini terletak
dibelahan langit selatan langit mudah diamati pada bulan September, informasi mengenai
separasi sudut, sudut posisi dan luminositas cukup tersedia di internet maupun di perpustakaan
Gambar 2. Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/)
2.1. Urutan Pekerjaan
Setelah diperoleh semua data yang diperlukan untuk menurunkan suatu lintasan,
barulah pekerjaan ini dapat kita selesaikan.
2.1.1. Data Yang diperlukan
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
30
i. Koordinat ekuatorial α dan δ pada epoch yang dipilih. Untuk pekerjaan ini diambil
pada epoch 2000.
ii. Sudut arah, θ, yang telah dikoreksi terhadap pengaruh presesi dan dinyatakan dalam
derajat.
iii. Jarak sudut,ρ, dinyatakan dalam detik busur.
iv. Saat pengamatan dilakukan, t.
2.1.2. Proses Dasar.
i. Kita buat grafik yang memberikan hubungan antara θ dan t. Demikian juga ρ
terhadap t, pada masing-masing epoch.
ii. Kemudian diperiksa apakah hukum kekekalan luas (Hukum Kepler II) dipenuhi yaitu
=Δ+ dtd
tttθρρ konstan = C
Kalau belum, kita koreksi grafik sehingga hukum Kepler II dipenuhi.
iii. Harga ρ dan θ yang telah memenuhi syarat dapat segera dibaca dari grafik tadi.
iv. Langkah terakhir adalah menggunakan rumus pada Bab 1 untuk menentukan
konstanta dan elemen lintasan.
A. Tujuan Penelitian
Studi ini bertujuan untuk menentukan orbit sistem bintang ganda visual,
menurunkan beberapa besaran fisis pada sistem tersebut, dan memperkirakan
bagaimana sistem bintang ganda tersebut pada masa yang akan datang (ephemeris).
Studi ini menggunakan obyek ADS 1733 dengan koordinat (epoch 2000)
=α 2h15m.8
=δ -18o14’
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
31
Alasan dipilihnya objek ini adalah:
1. Lintasannya sudah dapat ditentukan
Data yang digunakan pada studi ini berasal dari data yang dikumpulkan oleh
Worley tahun 1975, dimana sebagian besar data terdiri dari data yang terdapat
pada studi oleh Horeschi (1958).
2. Kelas spektrum sudah diketahui
Studi oleh Horeschi menyatakan adanya tiga buah kelas spektrum untuk obyek ini
yang merupakan hasil dari tiga buah studi yang lain, yaitu:
a. Kelas spektrum K0 dari catalog Henry Draper.
b. Kelas spektrum dK4 dari studi oleh Wilson
c. Kelas spektrum K3 dari studi oleh Kuiper
Informasi mengenai kelas spektrum digunakan dalam salah satu langkah dalam
penentuan massa bintang.
B. Penyelidikan Sebelumnya
Horeschi (1958) telah mempelajari sistem ADS 1733 dan memperoleh elemen orbit
sebagai berikut:
Elemen dinamik:
Tabel 1. Elemen dinamik ADS 1733
Periode P 168.6 tahun
Eksentrisitas E 0.48
Inklinasi i ± 31o.25
Elemen Orientasi:
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
32
Tabel 2. Elemen orientasi ADS 1733
Setengah sumbu panjang ellips benar a 1”.70
Longitude Periastron ω 71.72
Sudut posisi titik simpul naik Ω 103o.13
Pergesaran sudut per tahun μ 2o.135
Waktu pada saat komponen sekunder melewati
Periastron
T 1987.0
Ephemeris ADS 1733
Tabel 3. Ephemeris ADS 1733
t θ ρ
1958.0 61o.19 1”.567
1960.0 65 o.06 1”.525
1962.0 69 o.15 1”.482
1964.0 73 o.50 1”.435
1966.0 78 o.15 1”.386
1968.0 83 o. 15 1”.334
1970.0 88 o.57 1”.278
1987.0 172 o.00 0”.770
Pada gambar 1 ditunjukkan lintasan ADS 1733 dari studi oleh Horeschi (1958).
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
33
Gambar 1. Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)
2.2. Pelaksanaan
Diketahui : ADS 1733 = BDS 1179 = Hasting I = Lalande 4219
α = 2h15m.8 ( Epoch 2000 )
δ = -18o14’
Untuk bintang tersebut diperlukan koreksi sudut arah sebesar
( )t−=Δ 2000secsin00557.0 δαθ , dengan data di atas diperoleh
( )t−=Δ 2000003145.0θ ,
dinyatakan dalam tiga desimal, menjadi
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
48
( )[ ]1
2/1211.42488.138522/22 Yτ−×= ,
( )[ ]1
2/1525.30438/22 Yτ= ,
[ ]1
2/1001.0 Yτ= ,
1
027.0 Yτ= .
1
2/1222
/ YG YX
YXn
YX ττ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑ ∑∑ ,
( )[ ]1
2/1211.42488.138522/488.1385 Yτ−×= ,
( )[ ]1
2/1525.30438/488.1385 Yτ= ,
1
213.0 Yτ= .
Sedangkan 1Yτ adalah
2/12'
)2/(1 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑ n
Yx
Yx
Yτ ,
2/1
20775.3
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ,
= 0.434.
dan
2/12'
)2/(2 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑ n
Yy
Yy
Yτ ,
2/1
20558.8
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ,
= 0.654.
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
49
Jadi
τB = 0.027 x 0.434 = 0.012,
τG = 0.213 x 0.434 = 0.093.
Hal yang sama untuk kesalahan A dan F
τA = 0.027 x 0.654 = 0.018,
τF = 0.213 x 0.654 = 0.139.
Konstanta Thiele dan Innes dapat ditulis
A = -1”.507 ± 0”.018,
B = -0”.020 ± 0”.012,
F = 0”.243 ± 0”.139,
G = -1”.589 ± 0”.093.
2.2.7. Menghitung elemen Orientasi
Rumus- rumus yang digunakan adalah persamaan (1.5-11), (1.5-12) dan (1.5-13) dan
data dari bab 2.2.5. Dari rumus (1.5-11) dan (1.5-12)
( ) 085.0096.3263.0tan =
−−
=+−
=Ω+GAFBω ,
(ω+Ω) = 4°.856 + k x 180°.
Sin (ω+Ω) bertanda sama terhadap B-F, dan B-F ≤ 0. Jadi sin (ω+Ω) ≤ 0, berada pada daerah
180° ≤ (ω+Ω) ≤ 360°. Dengan perkataan lain harga k yang memenuhi adalah k=1.
(ω+Ω) = 4°.856 + 180°,
= 184°.856 . (2.2.7-1)
( ) 720.2082.0223.0)(tan −=
−=
−+−
=Ω−GAFBω ,
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
50
(ω-Ω) =-69°.814 + k x 180°.
Sin (ω-Ω) bertanda sama dengan -(B+F) dan –(B+F) ≤ 0. Jadi Sin (ω-Ω) ≤ 0, terletak pada
rentang 180° ≤ (ω-Ω) ≤ 360°. Harga k yang memenuhi adalah k = 2. Jadi
(ω-Ω) = -69°.814 + 360°,
= 290°.186. (2.2.7-2)
Dari (1) dan (2)
ω = 237°.521,
Ω = -52°.665 .
Jadi nilai ω dan Ω yang memenuhi adalah
ω = 237°.521- 180°,
ω = 57°.521.
Ω = -52°.665 + 180°,
Ω = 127°.335 .
Untuk menghitung inklinasi, digunakan rumus
)sin()sin(
2tan 2
Ω+Ω+
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ωω
BFFBi ,
)335.127521.57sin()335.127521.57sin(
263.0223.0
°−°°+°
= ,
939.0263.0085.0223.0
××
= ,
247.0019.0
= ,
= 0.077,
tan (i/2) = ± 0.277,
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
51
i/2 = ± 15.486.
Karena gerakannya direct maka i = 30°.972.
Selamjutnya untuk menghitung a, gunakan rumus (1.7-1)
a2 cos i = AG – BF,
Nilai A, G, B dan F dari 1.2.4 dan i = 30°.972.
iBFAGa
cos2 −
= ,
= 972.30cos
243.0020.0589.1507.1°
×+× ,
= 857.0
05.0395.2 + ,
= 2.800,
a = 1”.673.
Untuk menghitung setengah sumbu pendek (b), gunakan hubungan
21 eab −= ,
= 2)426.0(1673.1 − ,
= 1.673 x 0.905,
b = 1”.514.
2.2.8. Hitung massa dan jarak
Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan pada paragraf sebelumnya dan penerapan teknik iterasi pada persamaan tersebut, diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
52
Hasil iterasi r
1. Paralak dinamik dari bintang ganda tersebut adalah 0”,054; 2. Massa dari bintang ganda tersebut adalah M1 = 0,58 M0 dan M2 = 0,42 M0 3. Magnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1Mb = 6,79 dan 2Mb = 7,79
2.2.9 Hasil Akhir
Dari perhitungan terdahulu diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
53
F = 0”.243 .
G = -1”.589 .
iv. Ukuran geometris dari Ellips
a = 1”.673 .
b = 1”.514 .
v. Gerakan sudut per tahun
μ = 2°.139
vi Jarak , massa dan luminositas
Karena paralak p = 0,054 → jarak r = p1 = 18,5 parsek
Massa bintang bintang primer M1 = 0,58 M0 dan bintang sekunder M2 = 0,42 M0 Magnitudo absolut bolometrik bintang primer 1Mb = 6,79 dan bintang sekunder 2Mb = 7,79
2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733
Berikut diberikan ephemeris Bintang ADS 1733 untuk tahun 2006 Nama (designation) yang lain untuk bintang ini adalah : HD 14001, HIP 10542
Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976)
No Elemen Siregar (1976) 1 P 168.303 tahun 2 μ 2.o139 3 e 0.426 4 i 30.972 5 ω 57.521 6 Ω 127.335 7 T 1995.733
Ephemeris untuk elemen orbit bersangkutan diragakan pada table berikut ini
S.Siregar Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi ___________________________________________________________________________
54
Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) untuk semester II tahun 2006