Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku
Suryadi Siregar Mekanika Benda
Langit_____________________________________________________________________________
Bab 5
Presesi dan Nutasi Presesi
Presesi adalah pergeseran orientasi sumbu rotasi Bumi secara
bertahap setiap satu putaran. Orientasi sumbu rotasi kembali pada
keadaan semula dalam tempo sekitar 26000 tahun.
Presesi Bumi pada mulanya disebut dengan presesi equinox karena
equinoxnya bergerak ke arah barat sepanjang ekliptika relatif
terhadap bintang latar belakang( bitang acuan), dengan gerak yang
berlawanan dengan gerak Matahari sepanjang ekliptika.
Gb.5.1 Gerak presesi, meyebabkan arah kutub utara terhadap
langit berubah seiring waktu
Pada pertengahan abad ke 19, diketahui bahwa ekliptika beringsut
sedikit demi sedikit fenomena ini disebut dengan presesi planet,
dimana komponen dominan dinamai presesi lunisolar. Kombinasi dari
dua presesi tersebut dinamai presesi umum yang lebih dikenal dengan
presesi equinox. Presesi lunisolar disebabkan oleh gaya gravitasi
Bulan dan Matahari pada ekuator Bumi, yang menyebabkan sumbu rotasi
Bumi bergerak dengan arah yang bergantung pada kerangka inersia
yang dipilih. Presesi planet adalah perubahan sudut yang kecil
disebabkan oleh gaya gravitasi planet lain pada Bumi dengan bidang
orbit (ekliptika). Hal ini menyebabkan bidang ekliptika bergeser
perlahan relatif terhadap kerangka inersia. Presesi lunisolar 500
kali lebih besar dibandingkan presesi planet. Pada tahun 2006, IAU
mengusulkan bahwa komponen dominan dinamakan presesi ekuator dan
komponen minor dinamai presesi ekliptik, tapi kombinasi keduanya
tetap dinamai presesi umum.
Efek Presesi
Presesi Bumi memiliki beberapa efek yang dapat diamati. Pertama,
posisi kutub langit utara dan selatan tampak bergerak dalam bentuk
lingkaran melawan arah gerak latar belakang langit yang dipenuhi
oleh bintang. Untuk mencapai satu putaran Bumi harus mengelilingi
Matahari sebanyak 25.771,5 kali atau setara dengan 25.771,5 tahun.
Dengan demikian, bintang Polaris yang saat ini berada di kutub
langit utara akan berubah posisinya seiring dengan waktu dan
bintang yang lain akan menjadi bintang utara. Seiring dengan
pergeseran kutub langit maka secara perlahan terjadi pula
pergeseran pada arah penampakan semua bintang.
Kedua, posisi Bumi dalam orbitnya ketika mengitari Matahari pada
solstice, equinox akan berubah secara perlahan. Contohnya, misalkan
posisi orbit Bumi pada saat itu berada pada summer solstice, ketika
kemiringan sumbu rotasi Bumi tepat mengarah ke Matahari, satu kali
orbit penuh kemudian, Matahari terlihat kembali pada posisi
relatifnya terhadap bintang-bintang latar belakang, kemiringan
sumbu rotasi bumi yang sekarang tidak akan tepat mengarah ke
Matahari. Ini dikarenakan efek presesi, dengan kata lain solstice
terjadi lebih cepat. Dengan demikian, tahun tropis yang digunakan
untuk menghitung musim (solstice ke solstice atau equinox ke
equinox) menjadi lebih pendek sekitar 20 menit dibandingkan tahun
sideris. Beda waktu sebesar 20 menit per tahun berarti ekivalen
dengan satu tahun setiap 25.771,5 kali putaran Bumi mengitari
Matahari (atau 25.771,5 tahun), maka setelah satu putaran selama
25.771,5 tahun posisi perubahan musim akan kembali seperti
semula.
Nutasi
Nutasi adalah gerak irregular dalam order beberapa detik busur
pada sumbu rotasi Bumi. Nutasi adalah pergerakan sumbu rotasi
dimana presisinya konstan.
Gb.5.2 Perbedaan antara presesi (P) dan nutasi (N)
Nutasi pada planet terjadi akibat efek pasang surut(efek-tidal)
yang menyebabkan presesi equinox berbeda dari waktu ke waktu
sehingga kecepatan presesi menjadi tidak konstan. Nutasi telah
ditemukan pada 1728 oleh astronom Inggris bernama James Bradley.
Nilai nutasi adalah beberapa detik busur per dekade. Ada gangguan
lain pada Bumi yang disebut dengan polar motion atau gerak kutub
yang dapat diperkirakan hanya dalam beberapa bulan karena ia
terpengaruhi oleh hal-hal yang cepat berubah dan tidak dapat
diprediksi seperti pasang surut, angin dan gerakan perut Bumi.
Nutasi dibedakan dalam komponen paralel dan komponen tegak lurus
terhadap bidang ekliptika. Komponen yang bekerja sepanjang
ekliptika/paralel dikenal dengan nutasi dalam longitude. Komponen
yang tegak lurus ekliptika dikenal dengan nutasi dalam inklinasi.
Sistem koordinat langit berdasarkan pada ekuator dan equinox, yang
berarti lingkaran besar di langit yang menjadi proyeksi ekuator
Bumi, dan garis vernal equinox yang memotong lingkaran tesebut,
yang menjadi titik awal untuk menentukan asensiorekta. Hal tersebut
dipengaruhi oleh presesi equinox dan nutasi, maka dengan demikian
tergantung pada teori yang digunakan pada presesi dan nutasi dan
pada tanggal yang digunakan sebagai epoch (tanggal referensi) untuk
sistem koordinat. Jadi jelas, nutasi dan presesi sangat penting
dalam pengamatan dari Bumi dalam menghitung posisi semu bintang dan
obyek lainnya.
Nutasi pada Bumi
Pada kasus Bumi, sumber utama gaya pasang surut adalah Matahari
dan Bulan yang lokasinya berubah secara kontinyu satu sama lain.
Keadaan ini menyebabkan nutasi pada sumbu rotasi Bumi. Komponen
terbesar nutasi Bumi memiliki perioda 18,6 tahun, sama seperti
presesi node orbit Bulan. Tetapi ada hal periodik lain yang
signifikan yang harus dihitung selaras dengan ketelitian yang ingin
dicapai yaitu persamaan matematika yang merepresentasikan nutasi
yang disebut dengan teori nutasi.
Persamaan Gerak Euler untuk Benda Kaku
Tinjau benda kaku terdiri dari kumpulan titik massa yang kaku,
berputar secara tiba-tiba pada sumbu dengan pusat Kecepatan
linier
Momentum Sudut
Atau boleh juga ditulis sebagai
Gb.5.3 Titik massa m dalam koordinat kartesis x,y danzJadi untuk
sejumlah n, titik massa berlaku
(5.1)Tetapi radius vektor terhadap pusat koordinat O(0,0,0)
adalah
Kecepatan sudut
Momentum sudut
Persamaan momentum sudut (5.1) diatas dapat dinyatakan
kembali
Besaran diatas didefinisikan sebagai
1. Momen Inersia
, dan
(5.2)2. Product of Inertia
, dan
(5.3)Untuk medium yang kontinyu simbol penjumlahan dapat diganti
dengan integral.Hukum II Newton, untuk gerak rotasi
Tinjau turunan momentum sudut L
(5.4)N adalah Torque di titik O. Misalkan () menyatakan bilangan
arah sebuah garis lurus yang melalui titik O (lihat Gb.5.4)
Gb.5. 4. Bilangan arah((,(,() dan titik massa mj untuk
menghitung torka
terhadap pusat sumbu koordinatTerdefinisi Momen inersia terhadap
garis, l dengan jarak d adalah;
(5.5)Untuk distribusi massa yang kontinyu
( density, dV elemen volume
Dalam komponen
(5.6)Dengan
Kalau kita gabungkan diperoleh
(5.7)Ini pernyataan momen inersia dari sebuah garis lurus yang
melalui titik O Misal
koordinat sebuah titik massa yang terletak pada garis tersebut,
berjarak ( dari sumbu O akan mempunyai bilangan arah
(5.8)Sehingga, persamaan (5.7) dapat ditulis kembali
sebagai;
(5.9)Jika dimisalkan maka kita peroleh;
(5.10)Menyatakan persamaan ellipsoida. Permukaannya disebut
momental ellipsoid untuk benda yang pusatnya berada di titik O
Pilih sebagai koordinat sehingga pernyataan (5.9) dapat ditulis
dalam bentuk;
(5.11)
Dengan menyatakan momen inersia terhadap sumbu simetri
ellipsoid, persamaan ini disebut principal moments of
inertiaSebagai sumbu inersia dipilih sumbu utama ellipsoid,
sehingga arah vektor momentum sudut akan segaris dengan vektor
kecepatan sudut.
Dengan perkatan lain
(5.12)
Dalam hal ini didefinisikan;
I=momen inersia utama
Tinjau momentum sudut
Jadi kalau diturunkan terhadap waktu t, diperoleh;
(5.13)
Atau dapat juga ditulis;
(5.14) Jadi kita peroleh;
(5.15)Karena tetap, maka sehingga pernyataan diatas menjadi;
(5.16)Terdefinisi persamaan gerak Euler berlaku dengan syarat
pusat massa di titik O selalu tetap. Pusat massa system sekaligus
merupakan sumbu koordinat.
Ilustrasi 1: variasi lintangTiga titik massa bergerak pada
bidang xy. Dengan kecepatan sudut konstan Seluruh bidang xy juga
berputar dengan kecepatan sudut konstan ( terhadap sumbu y,
sehingga sb.x bergerak dalam bidang kertas.
Gb.5.6 Tiga titik massa yang bergerak pada bidang xy. Bidang xy
berotasi terhadapsumbu y dengan kecepatan sudut tetap sebesar (.
Sedangkan ketika benda berotasi
dalam bidang xy dengan kecepatan sudut
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
dan
(5.21)Dari sifat-sifat momen inersia, kita ketahui ,
, dan
(5.22)Oleh sebab itu, persamaan Eulernya menjadi
(5.24)
(5.25)Jadi Torque pada masing-masing sumbu adalah
Dalam kasus ini sumbu z menembus bidang kertas. Contoh lain
tentang gerak pitching, yawing dan rolling dapat ditemukan pada
gerak ToutatisIlustrasi 2: Pitching, yawing dan rollingTinjau
rotasi terhadap suatu titik, tanpa adanya torque misalnya rotasi
bumi sebagai contoh (aproximasi) torque yang disebabkan oleh
matahari dan bulan relative kecil. Mempunyai sumbu simetri
Dari persamaan gerak Euler;
(5.29)Misalkan diambil ,maka dengan cara yang sama dapat
disimpulkan kembali;
(5.30)Karena konstant, maka dapat juga ditulis
(5.31)Misalkan suatu konstanta yang tidak bergantung pada waktu
jadi kalau pernyataan diatas diturunkan satu kali terhadap t
diperoleh;
(5.32)Maka
(5.33)Merupakan solusi real, a dan b konstanta
Jadi
(5.34)Jadi
(5.35)Dengan perkataan lain projeksi vektor pada bidang
(1-2=x-y) bergerak dalam suatu lingkaran, dengan jejari a;
Dalam hal ini;
(5.36)
Gb.5.7 Kecepatan sudut diuraikan dalam komponen sumbu (1), sumbu
(2) dan sumbu (3)Diketahui sifat fungsi sinus & cosinus
periodik dengan periode 2. Jadi periode w1 dan w2 harus memenuhi
QUOTE
atau tulis t=P maka QUOTE
Vektor akan Untuk Bumi dan Jadi 300 hari, menyatakan gerak
periodic vector w, terhadap sumbu simetri (poros Bumi), fenomena
ini disebut sebagai variation of latitude. Data observasi 433 hari.
Perbedaan disebabkan asumsi benda kaku tidaklah benar. Bumi
bersifat elastik.Sudut Eulers dan pers gerak
Tinjau sistem koordinat kartesis yang tetap x0, y0, z0
Gb.5.8 Definisi sudut Euler untuk sistim 3 benda
Dapat dilihat
(5.37)
(5.39)Dengan bantuan pers gerak Euler dan sumbu simetri diambil
Untuk ketiga sudut tersebut
(5.40)
(5.42)Bila persamaan ini dapat kita selesaikan maka orientasi
dari tiga titik massa , untuk setiap waktu dapat ditentukan.
Gb.5.9 Nutasi dan presesi identik dengan gerak gasing
Contoh: Gerak sebuah gasing, dapat diturunkan dengan persamaan
Euler. Sifat gasing ,berputar pada porosnya dan sekaligus bergerak
mengitari sumbu-zJika dimisalkan l, jarak pusat gravitasi ke sumbu
(koordinat), maka
QUOTE
Komponen Torque yang lain tidak ada artinya, Jadi persamaan
Geraknya
QUOTE
(5.43)
(5.44)
(5.45)
Atau
(5.46)Demikian pula
konstan
(5.47)Atau
(5.48)Besaran ini disebut kecepatan presesi, hanya merupakan
fungsi dari sudut ( sajaAnalisis lebih lanjut menunjukkan bahwa (
juga berubah terhadap waktu. Fenomena ini disebut Nutasi.
Selanjutnya jika (kecepatan spin jauh lebih besar dari kecepatan
gerak) maka dan memenuhi hubungan . Substitusi pers (5.48) dan
(5.46) pada (5.45) diperoleh
(5.49)Dapat diselesaikan bila bentuk
diketahui
Tinjau persamaan energy kinetis
QUOTE
(5.50)Atau
QUOTE
(5.51)Atau
(5.52)Jadi energy total E=T+V dengan energi potensial
Atau
(5.53)Atau
(5.54)Misalkan
(5.55)
Bentuk ini sering dinyatakan sebagai potensial fiktif. Dapat
dilihat nilainya akan maksimum bila dan (. Mempunyai nilai minimum
bila yang dapat dicari dengan meletakkan syarat , maka
diperoleh;
(5.56)Kalau diintegralkan diperoleh;
(5.57)
_____________________________________________________________________________KK-Astronomi,
FMIPA ITB 5.9
_1311683188.unknown
_1311690306.unknown
_1340299120.unknown
_1340299184.unknown
_1340299194.unknown
_1340299198.unknown
_1340428230.unknown
_1340428977.unknown
_1340430866.unknown
_1340309841.unknown
_1340299196.unknown
_1340299190.unknown
_1340299192.unknown
_1340299186.unknown
_1340299137.unknown
_1340299146.unknown
_1340299150.unknown
_1340299141.unknown
_1340299129.unknown
_1340299133.unknown
_1340299125.unknown
_1340299104.unknown
_1340299112.unknown
_1340299116.unknown
_1340299108.unknown
_1321245471.unknown
_1340299095.unknown
_1340299099.unknown
_1321248274.unknown
_1340299091.unknown
_1321248059.unknown
_1313821531.unknown
_1321245443.unknown
_1313821485.unknown
_1312201541.unknown
_1311684863.unknown
_1311685673.unknown
_1311686303.unknown
_1311687206.unknown
_1311688437.unknown
_1311688603.unknown
_1311689206.unknown
_1311688915.unknown
_1311688530.unknown
_1311688380.unknown
_1311686511.unknown
_1311686832.unknown
_1311686342.unknown
_1311686100.unknown
_1311686151.unknown
_1311686013.unknown
_1311685261.unknown
_1311685365.unknown
_1311685575.unknown
_1311685287.unknown
_1311685003.unknown
_1311685181.unknown
_1311684965.unknown
_1311683646.unknown
_1311684607.unknown
_1311684830.unknown
_1311684476.unknown
_1311683520.unknown
_1311683575.unknown
_1311683236.unknown
_1311681683.unknown
_1311682478.unknown
_1311682857.unknown
_1311682944.unknown
_1311683031.unknown
_1311683112.unknown
_1311682884.unknown
_1311682647.unknown
_1311682709.unknown
_1311682597.unknown
_1311682087.unknown
_1311682312.unknown
_1311682392.unknown
_1311682134.unknown
_1311681839.unknown
_1311682026.unknown
_1311682062.unknown
_1311681903.unknown
_1311681799.unknown
_1302702855.unknown
_1302704734.unknown
_1302705280.unknown
_1302705689.unknown
_1302706227.unknown
_1311681516.unknown
_1302705935.unknown
_1302705385.unknown
_1302704974.unknown
_1302705144.unknown
_1302704621.unknown
_1302704652.unknown
_1302703616.unknown
_1302704480.unknown
_1302703601.unknown
_1302702169.unknown
_1302702510.unknown
_1302702602.unknown
_1302702295.unknown
_1302701889.unknown
_1302702002.unknown
_1302701822.unknown