UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2011 – 2012 Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Science in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur Willem Hendrickx onder leiding van Prof. dr. ir. H. Bruneel Prof. dr. ing. D. Fiems Thesisbegeleiders: Ir. Eline De Cuypere Dr. ir. Wouter Rogiest
99
Embed
Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt€¦ · 1.4 Evolutie van de voorraad in de tijd met stochastische vraag en lead time. . . . .14 ... 3.5 Mogelijke acties en overgangen
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE
ACADEMIEJAAR 2011 – 2012
Optimaal voorraadbeheer in een fluctuerende markt
Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van
Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of gereprodu-ceerd worden, mits bronvermelding.
Willem Hendrickx
Woord vooraf
Deze masterproef is het sluitstuk van de vijfjarige opleiding Toegepaste Economische Weten-schappen: Handelsingenieur aan de Universiteit Gent. Graag zou ik iedereen willen bedanken dieheeft bijgedragen tot de verwezenlijking van dit eindwerk. Vooreerst mijn oprechte dank aan prof.dr. ing. Dieter Fiems, ir. Eline De Cuypere en dr. ir. Wouter Rogiest. Zij hebben mij gedurende delaatste twee jaar met raad en daad bijgestaan en hun raadgevingen en kennis zijn van goudwaardegeweest. Eveneens wil ik mijn dank betuigen aan prof. dr. ir. Herwig Bruneel voor het beschik-baar stellen van dit onderwerp en voor het op zich nemen van de taak van promotor. Ten slotte nogeen speciaal woord van dank aan mijn ouders voor de morele steun en aan mijn zus Mieke voorhet nalezen van mijn eindwerk.
5.3 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.1 Gevolgen van het invoeren van een onzekere levertermijn . . . . . . . . . 745.3.2 Invloed van de kost van verloren vraag op het bestelbeleid . . . . . . . . 765.3.3 Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes . . . . . . . . . . 78
Conclusies en verder onderzoek 80
Bibliografie i
Appendix A Lijst van de gebruikte symbolen iii
III
Lijst van figuren
1.1 Relevante voorraad-gerelateerde kosten en de economische bestelhoeveelheid . . 121.2 Evolutie in de tijd van het voorraadniveau met de formule van Camp . . . . . . . 131.3 Evolutie van de voorraad in de tijd met constante levertermijn en deterministische
vraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Evolutie van de voorraad in de tijd met stochastische vraag en lead time . . . . . 14
2.1 In het policy iteration algoritme voor het oplossen van Markoviaanse beslissings-processen is er een continue interactie tussen beleids- en waardefuncties die stoptwanneer hun optimale waardes bereikt worden [20] . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Geometrische verdeelde vraag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Grafische voorstelling van de vraagfluctuaties door middel van een Markov-keten 353.3 Grafische voorstelling van de prijsfluctuaties door middel van een Markov-keten . 363.4 Grafische voorstelling van de marktfluctuaties door middel van een Markov-keten 373.5 Mogelijke acties en overgangen in het Markoviaans beslissingsproces . . . . . . 403.6 Mogelijke transities na het kiezen van actie d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7 Invloed van de prijs op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8 Invloed van de voorraadkost op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9 Invloed van de bestelkost op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1 Voorbeeld van een mogelijk voorraadverloop in het uitgebreide model . . . . . . 514.2 Grafische voorstelling van de vraagfluctuaties door middel van een Markov-keten 524.3 Grafische voorstelling van de prijsfluctuaties door middel van een Markov-keten . 534.4 Mogelijke kansverdelingen voor het prijsniveau in functie van α en β . . . . . . 544.5 Mogelijke kansverdelingen voor het prijsniveau in functie van v . . . . . . . . . 554.6 Simulatie van de evolutie van het prijsniveau in de tijd voor verschillende waarden
van v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7 Mogelijke acties en de gevolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.8 Invloed van de het prijs- en voorraadniveau op het bestelbeleid . . . . . . . . . . 594.9 Invloed van de prijs op het bestelbeleid in het laagste voorraadniveau . . . . . . . 604.10 Overzicht van de oplossingstijden van de verschillende oplossingsmethodes in
functie van het aantal toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.11 Invloed van de bestelkost C0 op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.12 Invloed van de disconteringsfactor d op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . 64
IV
4.13 Invloed van de kans op vraag op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.14 Invloed van de frequentie van de prijsfluctuaties op het bestelbeleid . . . . . . . . 654.15 Invloed van de factor v op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 Kansverdeling van de levertermijn en de gemiddelde levertermijn bij verschillendewaarden voor κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Het introduceren van een extra dimensie in voorraadniveau N met als doel hetmodelleren van een variabele levertermijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Illustratie van het model met levertermijn aan de hand van een voorbeeld . . . . . 725.4 Het introduceren van een fictief voorraadniveau −1 in de Markov-keten . . . . . 735.5 Effect van het invoeren van een onzekere levertermijn op het bestelbeleid . . . . 755.6 De invloed van de kans op levering κ op de ’besteldrempel’ . . . . . . . . . . . . 765.7 Invloed van de kost van verloren vraag Cv op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . 775.8 Gevolgen op het bestelbeleid van de combinatie van een hoge kost van verloren
vraag en een lage kans op levering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.9 Overzicht van de oplossingstijden van de verschillende oplossingsmethodes in
1.1 Bijdrage van diverse kostencategorieen tot de totale voorraadkost volgens Richard-son (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Gebruikte parameters en variabelen in de formule van Camp . . . . . . . . . . . 11
3.1 Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Overzicht van de mogelijke toestanden Si waarin het systeem zich kan bevinden . 363.3 Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Invloed van de prijs op het bestelbeleid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Overzicht en definitie van de nieuwe parameters en variabelen in hoofdstuk 4 . . 524.2 Volledige toestandsruimte van het uitgebreide model . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Arbitrair gekozen parameters voor het oplossen van het uitgebreide model . . . . 594.4 Vergelijking van de verschillende oplossingsmethodes in een 4×2, respectievelijk
5.1 Overzicht van de gebruikte variabelen en parameters . . . . . . . . . . . . . . . 70
VI
Inleiding
De probleemstelling van deze masterproef situeert zich in het domein van het voorraadbeheer. Het
doel omvat het uitwerken van een wiskundig model dat de uitgesproken dynamiek van een voor-
raadbeheersysteem kan vatten. Bij klassiek voorraadbeheer zal men de voorraad van een bepaald
product aanvullen op vaste tijdstippen of van zodra het voorraadniveau onder een bepaalde drem-
pelwaarde zakt, zoals bij het bekende ’Economic Order Quantity’-model het geval is. Aan de hand
van het EOQ-model kan men deze drempelwaarde en de bestelhoeveelheid bepalen die de totale
kost verbonden aan het houden van voorraad minimaliseren. Deze klassieke modellen zijn echter
niet altijd optimaal. Er worden namelijk een aantal veronderstellingen gemaakt die niet altijd even
realistisch zijn, zoals een deterministische omgeving. Het gebruik van dit klassieke EOQ-model in
een stochastische en dynamische omgeving levert, ondanks de robuustheid van het model, dan ook
weinig accurate resultaten op. Er zijn bijgevolg tal van uitbreidingen terug te vinden in de litera-
tuur, die in min of meerdere mate de dynamiek van een werkelijk voorraadbeheersysteem kunnen
vatten. Elk model bevat echter enkele vereenvoudigende veronderstellingen van de werkelijkheid
waardoor de praktische toepasbaarheid beperkt wordt tot zeer specifieke situaties.
Ook deze masterproef richt zich op een zeer specifieke bedrijfssituatie en bevat belangrijke ver-
onderstellingen die de complexiteit van het model enigszins beperken. De concrete uitdaging
die in deze masterproef wordt aangegaan is het integreren van marktfluctuaties in een wiskundig
model, en dit in een stochastische omgeving. In het bijzonder wordt een voorraadbeheer-model
bestudeerd waarbij het aankoopgedrag niet enkel afhankelijk is van een fluctuerend voorraadni-
veau, maar ook van een fluctuerende marktprijs. De mogelijkheid om aan een relatief goedkope
prijs aan te kopen weegt mogelijk op tegen een hogere voorraadkost. Dit impliceert dat bij iedere
mogelijke combinatie van prijs- en voorraadniveau een beslissing moet worden genomen omtrent
enerzijds het al dan niet bestellen en anderzijds de bestelhoeveelheid.
De invloed van vraagfluctuaties is reeds uitgebreid onderzocht als een uitbreiding van het klassieke
EOQ-model. De invloed van prijsfluctuaties daarentegen is nog een wetenschappelijk weinig ont-
gonnen terrein. Ter verduidelijking, onder de term fluctuaties bedoelen we in deze masterproef
korte- of middellange-termijn fluctuaties rond een lange-termijn gemiddelde. Het model is bij-
1
gevolg niet van toepassing op continu in prijs dalende of stijgende goederen, zoals bijvoorbeeld
hightech producten in de IT sector. Lange-termijn-fluctuaties (conjunctuur) vallen eveneens buiten
het bereik van het model. Wat betreft de vraagfluctuaties is dit model hoofdzakelijk toepasbaar op
producten in de maturiteitsfase, waar de gemiddelde vraag als constant kan worden verondersteld.
In deze masterproef zal een wiskundig voorraadbeheer-model ontwikkeld en besproken worden
waarbij een optimaal bestelbeleid wordt uitgewerkt voor de hierboven besproken situatie. Zowel
de fluctuerende aankoopprijs als de fluctuerende vraag zullen gemodelleerd worden in een sto-
chastische omgeving, door middel van een discrete, stationaire Markov-keten. Met behulp van de
theorie van de Markoviaanse beslissingsprocessen kan vervolgens een optimaal prijs afhankelijk
bestelbeleid bepaald worden, waarbij de lange-termijn verdisconteerde kost wordt geminimali-
seerd. De belangrijkste kosten waarmee moet rekening gehouden worden, zijn de aankoopkosten,
de vaste bestelkosten, de kosten ten gevolge van verloren vraag en de kosten voor het houden van
voorraad (opportuniteits- en opslagkosten). Bij het nemen van een beslissing omtrent de bestel-
hoeveelheid moet steeds een afweging gemaakt worden tussen deze verschillende categorieen van
kosten. De theorie der Markoviaanse beslissingsprocessen is een krachtig hulpmiddel voor het
optimaliseren van de prestaties van stochastische processen, die kunnen gemodelleerd worden als
een discrete tijd Markov-keten.
Op basis van de resultaten van dit onderzoek zal getracht worden algemeen geldende kwalitatieve
conclusies te formuleren. Zo zullen er bijvoorbeeld verscheidene scenario’s bekeken worden wat
betreft de prijsfluctuaties. Aangezien de wetten van het voorraadbeheer vrij logisch in elkaar zitten,
worden er in deze masterproef evenwel geen baanbrekende resultaten verwacht. Het doel van deze
masterproef is echter niet het ontdekken van nieuwe wetmatigheden, maar eerder het ontwikkelen
van een model dat toepasbaar is op een specifieke bedrijfssituatie die nog niet besproken werd in
de bestaande literatuur.
De structuur van deze masterproef ziet er als volgt uit: in hoofdstukken 1 en 2 wordt de theorie
aangehaald en uitgelegd die noodzakelijk is om de wiskundige modellen die in het licht van deze
masterproef zijn ontwikkeld te kunnen begrijpen. Tevens wordt toegelicht hoe deze theorie zal
toegepast worden en welke specifieke situaties zullen besproken worden. In hoofdstuk 1 worden
enkele relevante aspecten van het voorraadbeheer besproken. In hoofdstuk 2 worden de methodes
uiteengezet die toegepast zullen worden voor het modelleren, oplossen en analyseren van deze
probleemstelling. Dit hoofdstuk omvat de theorie omtrent Markov-ketens en Markoviaanse be-
slissingsprocessen. In hoofdstuk 3 wordt vervolgens op basis van deze theorie en de gemaakte
veronderstellingen een eerste eenvoudig model opgesteld waarbij slechts met een beperkte toe-
standsruimte zal gewerkt worden. In hoofdstuk 4 wordt de toepasbaarheid van het model vergroot
2
door deze toestandsruimte sterk uit te breiden. In hoofdstuk 5 wordt de praktische toepasbaarheid
nog verder vergroot door het introduceren van een onzekere levertermijn in het model.
Er werd gekozen voor deze stapsgewijze opbouw van het model omdat dit de overzichtelijkheid
sterk vergroot bij het uiteenzetten van de verscheidene aspecten van het model en omdat op deze
manier de negatieve invloed van een onzekere levertermijn op de prestaties van een voorraadbe-
heersysteem expliciet wordt weergegeven.
3
Hoofdstuk 1
Probleemstelling
De probleemstelling van deze masterproef situeert zich in het domein van het voorraadbeheer.
Bijgevolg wordt in dit eerste hoofdstuk een beknopte uiteenzetting gegeven van de verschillende
aspecten van het voorraadbeheer, de kosten die onlosmakelijk verbonden zijn met het houden van
voorraad en de bekendste modellen die reeds ontwikkeld zijn in dit domein. Elk model wordt ech-
ter gekenmerkt door een aantal beperkende veronderstellingen die ervoor zorgen dat de praktische
toepasbaarheid gelimiteerd is tot een aantal specifieke situaties. Het is dan ook van vitaal belang
steeds te onderzoeken welke veronderstellingen gelden voor een bepaald bedrijf. Ook in deze
masterproef wordt een wiskundig model ontwikkeld dat slechts toepasbaar is in zeer specifieke
situaties, maar deze specificiteit brengt ook een grotere nauwkeurigheid met zich mee indien de
desbetreffende veronderstellingen een goede representatie zijn van de werkelijkheid.
Het vervolg van dit inleidende hoofdstuk heeft de volgende structuur. In sectie 1.1 wordt een
korte inleiding gegeven tot het voorraadbeheer alsook enkele belangrijke modellen die als doel
hebben dit voorraadbeheer zo efficient mogelijk te laten verlopen of met andere woorden om zo
laag mogelijke voorraadkosten te bewerkstelligen. In sectie 1.2 wordt vervolgens de specifieke
omgeving toegelicht waarin het voorraadbeheermodel in deze masterproef van toepassing is. Hier
worden bijgevolg de contextuele veronderstellingen gemaakt die verder zullen worden uitgewerkt
in de volgende hoofdstukken.
1.1 Voorraadbeheer
In de uiterst competitieve omgeving waarin bedrijven zich vandaag bevinden, is het meer dan ooit
van belang dat de ondersteunende processen zoals voorraadbeheer zo efficient mogelijk verlopen.
Afhankelijk van het type onderneming kan de kost voor het houden van voorraad immers grote pro-
porties aannemen, terwijl deze processen in de meeste gevallen geen toegevoegde waarde brengen.
4
Elk bedrijf heeft er dan ook belang bij deze processen zo kostenefficient mogelijk te organiseren.
Hierbij moet rekening gehouden worden met enkele fundamentele trade-offs, zoals de afweging
tussen een lagere voorraadkost en een hogere ’service level’ of ’servicegraad’. Een tekort aan
voorraad kan immers ook hoge kosten met zich meebrengen, zowel kwalitatief als kwantitatief.
Voorraad is prominent aanwezig doorheen de volledige ’supply chain’ of ’toeleveringsketen’ en
ontstaat over het algemeen ten gevolge van een onevenwicht tussen vraag en aanbod, of met andere
woorden ten gevolge van een verschil in timing van beide. Niet enkel de onzekere vraag is hier van
groot belang, maar vaak is dit onevenwicht ook bewust gecreeerd. Omwille van de bestelkosten is
het immers voordeliger om in hoeveelheden groter dan een aan te kopen. Hierbij wordt immers de
kost per eenheid gedrukt door gebruik te maken van eventuele schaalvoordelen in de productie of
distributie van de goederen. Bovendien vergroot het houden van voldoende voorraad het service
level dat kan aangeboden worden aan de klant en ten gevolgde daarvan ook de klanttevredenheid.
Het behaalde service level wordt gegeven door de product-beschikbaarheid en wordt vaak gemeten
met behulp van de ’cycle service level’ 1, de ’product fill rate’ 2 of de ’order fill rate’ 3 [2, Hoofd-
stuk 11]. In de beginnende literatuur werd hoofdzakelijk de cycle service level gebruikt, maar in
de meer recente literatuur wordt hoofdzakelijk de product fill rate toegepast omdat deze maatstaf
een meer realistisch beeld geeft van het service level. Deze maatstaf houdt namelijk ook rekening
met de bestelgrootte. In deze masterproef zijn beide maatstaven aan elkaar gelijk aangezien een
bestelling steeds bestaat uit een eenheid.
Wat betreft schaalvoordelen vermelden Chopra en Meindl [2, Hoofdstuk 10] drie verschillende
situaties:
1. De vaste bestelkost, onafhankelijk van de bestelde hoeveelheid
2. Hoeveelheidskortingen als grote hoeveelheden worden aangekocht
3. Korte-termijn prijskortingen
In deze masterproef zal enkel rekening gehouden worden met de schaalvoordelen bij het bestellen
als gevolg van een vaste bestelkost. Indien ook hoeveelheidskortingen in het model zouden worden
opgenomen, zou de bestelhoeveelheid steeds groter zijn dan in het geval deze niet worden opgeno-
men. Kopers gaan immers gebruik maken van de vermindering in prijs, althans zolang dit voordeel
groter is dan het verschil in voorraadkost. Hoeveelheidskortingen kunnen bovendien ook zorgen
voor een betere coordinatie tussen de verschillende fases in een supply chain. Vaak is het immers
zo dat de optimale bestelhoeveelheid voor de koper verschilt van de optimale bestelhoeveelheid1Gedeelte van de voorraadaanvulling-cycli zonder ’stockout’ (voorraadtekort)2Gedeelte van de vraag waaraan voldaan wordt met de in voorraad aanwezige goederen3Gedeelte van de bestellingen waaraan voldaan wordt met de in voorraad aanwezige goederen
5
voor de verkoper. Hoeveelheidskortingen of ’two-part tariffs’ 4 kunnen er in dit geval voor zorgen
dat er besteld wordt in hoeveelheden die de winst in de totale supply chain maximaliseren, dit in
tegenstelling tot ’locale optimalisatie’ 5.
De fundamentele trade-off in voorraadbeheer is deze tussen kostenefficientie en flexibiliteit of re-
actiesnelheid [2, Hoofdstuk 3]. Door het aanhouden van een grote voorraad dicht bij de consument
zal het bedrijf sneller kunnen inspelen op de noden van de klanten. Bovendien kan in deze situ-
atie geprofiteerd worden van eventuele schaalvoordelen. Het aanhouden van een kleine voorraad
daarentegen brengt minder voorraadkosten met zich mee, maar kan als gevolg hebben dat klanten
(intern of extern) gedurende een lange tijd moeten wachten vooraleer aan hun verzoek kan voldaan
worden. Afhankelijk van de exclusiviteit van een product bestaat dan ook het risico dat deze klan-
ten elders hetzelfde product gaan inkopen waardoor er vraag verloren gaat. De grote uitdaging in
het efficient beheren van voorraad is bijgevolg het verminderen van de hoeveelheid goederen in
voorraad zonder dat de kosten stijgen of de reactiesnelheid daalt.
De flexibiliteit of reactiesnelheid wordt voor een groot deel bepaald door de doorstroomtijd van
materialen, een grootheid die weergeeft hoe lang materialen zich in de supply chain bevinden.
Volgens de wet van Little (zie formule (1.1)) is deze doorlooptijd bovendien recht evenredig met
de hoeveelheid voorraad die aangehouden wordt [2, Hoofdstuk 3]. Een groter aantal eenheden in
voorraad zorgt bijgevolg voor een langere doorlooptijd hetgeen de flexibiliteit van een supply chain
schaadt. In de wet van Little stelt de ’throughput’ het aantal verkochte eenheden per tijdseenheid
voor.
V oorraad = Throughput×Doorlooptijd (1.1)
Ook de product-beschikbaarheid, bijvoorbeeld gemeten door de cycle service level of order fill
rate, heeft vanzelfsprekend een belangrijke invloed op zowel de kostenefficientie als de flexibiliteit.
Een hoge product-beschikbaarheid, als gevolg van het aanhouden van een grote voorraad, heeft een
hoge flexibiliteit en reactiesnelheid als gevolg, maar verhoogt ook de kosten aangezien een groot
aantal eenheden in voorraad gehouden wordt maar de voorraadrotatie 6 laag is. Een lage product-
beschikbaarheid daarentegen verlaagt de kosten voor het aanhouden van voorraad aanzienlijk maar
heeft als belangrijk gevolg dat er aan een grotere fractie van de vraag niet kan voldaan worden. Dit
brengt dan weer andere kosten met zich mee zoals een eventueel verloren omzet (zie sectie 1.1.1.
De fundamentele trade-off bij het bepalen van de product-beschikbaarheid, en dus bij het bepalen4Bij two-part tariffs rekent de leverancier zijn volledige winst door aan de koper als een vaste kost en verkoopt de
goederen aan de productieprijs5Bij locale optimalisatie maximaliseert elke schakel in de supply chain haar eigen winst, resulterend in een lagere
winst voor de totale supply schain.6Voorraadrotatie wordt gedefinieerd als het aantal keer dat de voorraad wordt verkocht in een bepaalde periode
6
van de bestelhoeveelheid, is bijgevolg een afweging tussen de kost voor het houden van voorraad
en de kosten die plaatsvinden ten gevolge van het niet op tijd kunnen voldoen aan een gedeelte
van de vraag.
In de literatuur zijn een groot aantal verschillende classificaties van voorraad terug te vinden.
Volgens Chopra en Meindl [2, Hoofdstukken 3,10,11] kan de totale voorraad opgesplitst worden
in drie verschillende componenten die elk hun eigen trade-offs met zich meebrengen.
1. Cyclische voorraad: De gemiddelde hoeveelheid voorraad nodig om aan de vraag te vol-
doen.
2. Veiligheidsvoorraad: Voorraad die aangehouden wordt voor het geval de vraag groter is
dan verwacht.
3. Seizoensvoorraad: Voorraad die aangehouden wordt om te anticiperen op voorspelbare
fluctuaties in de vraag.
Aangezien in deze masterproef verondersteld wordt dat de tijd tussen twee opeenvolgende bestel-
lingen geometrisch verdeeld is (zie sectie 1.2) en deze verdeling niet veranderd in de tijd wordt
geen seizoensvoorraad opgenomen in het model. In hoofdstuk 3 en 4 is daarenboven ook de vei-
ligheidsvoorraad nog niet van belang. In deze twee modellen wordt immers een ’lead time’ 7 of
’levertermijn’ gelijk aan nul verondersteld en kan bijgevolg steeds voldaan worden aan de vraag.
De trade-off in deze situatie is de afweging tussen een hogere voorraadkost en een hogere bestel-
kost per eenheid, het laatste in het geval er aangekocht wordt in kleine hoeveelheden. De cyclische
voorraad die wordt aangehouden vindt zijn oorsprong in het bestaan van bepaalde schaalvoordelen
bij het kopen in grotere hoeveelheden, zoals een lagere bestelkost per eenheid. Een vaste bestel-
kost per bestelling wordt immers gespreid over een groter aantal eenheden. In hoofdstuk 5 wordt
daarentegen wel rekening gehouden met een variabele ’levertermijn’ en zal bijgevolg een veilig-
heidsvoorraad moeten aangehouden worden. Het is in dit model immers onzeker hoeveel goederen
zullen verkocht worden gedurende de tijd dat een bestelling geplaatst maar nog niet geleverd is.
De bijkomende trade-off in deze situatie bestaat uit een afweging tussen een hogere voorraadkost
en het risico dat er niet aan de vraag kan voldaan worden. Dit risico zal worden voorgesteld als de
’kost van verloren vraag’.7De lead time wordt in deze masterproef gedefinieerd als de tijd tussen het plaatsen van een bestelling en het
ontvangen van de goederen. Meer algemeen is de lead time gelijk aan de verstreken tijd tussen het begin en het eindevan een proces
7
1.1.1 Kosten verbonden aan het houden van voorraad
Zoals reeds eerder vermeld zijn er een aantal belangrijke kosten onlosmakelijk verbonden aan het
houden van voorraad en deze kostencategorie kan een aanzienlijk deel van de kostenzijde van
een onderneming innemen. In deze sectie wordt een kort overzicht gegeven van de verschillende
kosten waarmee rekening moet worden gehouden. Deze kosten kunnen evenwel in twee meer
algemene categorieen geclassificeerd worden.
De kosten verbonden aan het houden van voorraad kunnen worden opgesplitst in ’procurement-
kosten’ en ’holdingkosten’. Procurementkosten omvatten enerzijds de variabele aankoopkosten of
productiekosten en anderzijds de vaste bestelkosten of productiekosten die onafhankelijk zijn van
de hoeveelheid goederen die geproduceerd of besteld worden. Deze laatste kostencategorie omvat
onder ander de vaste kost die gepaard gaat met de administratieve afhandeling van een bestelling.
In het vervolg van deze masterproef zal deze kostencategorie voorgesteld worden door het begrip
’bestelkosten’. De holdingkosten van hun kant zijn opgebouwd uit enerzijds de opportuniteitskos-
ten van het vastgelegde kapitaal en anderzijds de kosten voor de opslag en het interne transport van
de goederen. Ook de verouderingskosten van de goederen in voorraad en de huur of aankoop van
opslagplaatsen kunnen onder deze categorie geplaatst worden. De opportuniteitskosten geven het
rendement weer dat dit kapitaal had kunnen opbrengen indien het niet in de voorraad gevangen
zat. In het vervolg van deze masterproef zal deze kostencategorie voorgesteld worden door het
begrip ’voorraadkosten’.
Paul Durlinger, een specialist in het voorraadbeheer, verdeelde de componenten die van invloed
zijn op de kosten van voorraad in drie categorieen [4]. Deze ’drie r’s’ zijn rente, ruimte en risico.
De eerste categorie, de rente, stelt hier de opportuniteitskosten van het vastgelegde kapitaal voor.
Bij dit kapitaal wordt een onderscheid gemaakt tussen eigen vermogen en vreemd vermogen. Bij
vreemd vermogen wordt over het algemeen de bankrente gebruikt als kost. Voor het eigen vermo-
gen wordt een grotere kost gerekend aangezien aandeelhouders een hoger rendement verwachten
op hun investering. Het precieze percentage dat gebruikt wordt voor deze ’rente’ is een onderwerp
van veel discussie en hangt sterk af van de aard van de onderneming. Mogelijkheden hierbij zijn
de bankrente, de Return On Investment en de hurdle rate 8. Zo zal een jong en groei-georienteerd
bedrijf een hogere kost van het eigen vermogen kennen ten opzichte van een matuur en stabiel be-
drijf [13]. Een hoger risico gaat immers altijd gepaard met een hoger verwacht rendement, hetgeen
bijgevolg gepaard gaat met een hogere opportuniteitskost van het vastgelegde kapitaal in de voor-
raad. Het meest gebruikte percentage voor het berekenen van deze kostencategorie is de gewogen
gemiddelde kosten van het vermogen of ’WACC’ 9. Deze gemiddelde kost van het vermogen van8het minimaal verwachte rendement gebruikt door ’private equity’ investeerders9Weighted average cost of capital: de voor een bedrijf gemiddelde kost van eigen en vreemd vermogen
8
een onderneming is vaak de belangrijkste factor in de totale voorraadkost [11].Deze kost varieerde
de laatste vijfentwintig jaar tussen zes en achttien procent [14].
De tweede categorie, ruimte, heeft betrekking op de ruimte die nodig is voor het opslaan van
voorraad en bevat onder andere de afschrijvingen of huur van terreinen en gebouwen, het personeel
en de aankoop van infrastructuur.
De derde categorie, risico, betreft de risico’s die het houden van voorraad met zich meebrengt,
zoals het risico dat niet verkochte voorraad verouderd geraakt, niet meer kan verkocht worden en
bijgevolg afgeschreven moet worden. In de kledij-industrie bijvoorbeeld kunnen de goederen in
voorraad met maar liefst negentig procent in waarde afnemen wanneer de mode verandert [14].
Een ander risico betreft de kans dat de goederen in voorraad in waarde verminderen. Ook het
risico op diefstal en de nodige verzekeringen die hiervoor moeten afgesloten worden kunnen onder
deze categorie ondergebracht worden. De besproken risico’s zijn uiteraard sterk afhankelijk van
de aard van de goederen in voorraad. Het risico op waardevermindering bij voedselproducten is
bijvoorbeeld veel groter dan bij duurzame goederen.
In het logistieke vakgebied wordt voor de totale kost voor het houden van voorraad vaak gebruik
gemaakt van een percentage van de totale aankoopkosten of van de waarde van de goederen in
voorraad. De vaakst gebruikte vuistregel wat betreft dit percentage is 25 procent per jaar [19], re-
kening houdend met het belastingtarief. Afhankelijk van de specifieke situatie kan dit percentage
zelfs oplopen tot 40 procent of meer. Volgens [11] schatten logistieke experts de voorraadkost
tussen 18 en 75 procent per jaar, afhankelijk van het type product en de betreffende industrietak.
Tabel 1.1 geeft de bijdrage weer van de verschillende kostencategorieen in de totale voorraadkost,
volgens [16]. Deze percentages zijn echter niet wetenschappelijk onderbouwd en zijn hoofdza-
kelijk gebaseerd op ervaring. Bovendien moet opnieuw rekening gehouden worden met het soort
goederen in voorraad. In elk geval illustreert dit hoge percentage het belang van een efficient
voorraadbeheer-beleid. Ondanks de fundamentele industriele evoluties zoals Just-In-Time, lean
manufacturing, ERP etc. blijven de voorraadkosten een belangrijk onderdeel van de kostenzijde
van een onderneming.
1.1.2 Modellen voor voorraadbeheer
Bij klassiek voorraadbeheer zal men de voorraad van een bepaald product aanvullen zodra het
voorraadniveau onder een bepaalde drempelwaarde is gezakt. Het eenvoudigste model is het Eco-
nomic Order Quantity (EOQ) model. Deze ’basis van het voorraadbeheer’ werd reeds in 1913
door Ford W. Harris [6] ontwikkeld. Met behulp van dit model kan men de bestelhoeveelheid
of productiehoeveelheid bepalen die de totale kost van het voorraadbeheer minimaliseert. Hierbij
9
Tabel 1.1: Bijdrage van diverse kostencategorieen tot de totale voorraadkost volgens Richardson (1995)
Kostencategorie % van de waarde van de goederen in voorraad
WACC 6%− 12%
Belastingen 2%− 6%
Verzekeringen 1%− 3%
Magazijnkosten 2%− 5%
Kosten voor verwerking en intern transport 2%− 5%
Controle en administratiekosten 3%− 6%
Verouderingskosten 6%− 12%
Risico op waardevermindering en diefstal 3%− 6%
Totaal 25%− 55%
wordt een afweging gemaakt tussen de bestelkosten en de voorraadkosten. Harris verwoordde dit
als volgt:
”Interest on capital tied up in wages, material and overhead sets a maximum limit to
the quantity of parts which can be profitably manufactured at one time; set-up costs
on the job fix the minimum.”
De eenvoudigste formule voor het berekenen van deze optimale of ’economische bestelhoeveel-
heid’ is de ’formule van Camp’ of de ’wet van de economische ordergrootte’ [8, Hoofdstuk 18].
Deze formule werd eveneens reeds in het begin van de twintigste eeuw ontwikkeld en is zeer be-
langrijk geweest voor de ontwikkeling van het voorraadbeheer als vakgebied. Deze wet stelt dat
we de optimale bestelhoeveelheid kunnen bepalen door de voorraadkosten af te zetten tegenover
de bestelkosten. De formule berekent de optimale trade-off tussen deze beide kosten. Indien fre-
quent en in kleine hoeveelheden besteld wordt, zal de gemiddelde bestelkost per eenheid immers
hoger zijn dan indien steeds in grote hoeveelheden wordt besteld. Het gemiddelde aantal goederen
in voorraad daarentegen zal lager zijn en bijgevolg ook de voorraadkosten. Deze afweging wordt
zichtbaar in formule (1.2) waarin de totale kost per jaar voor het houden van voorraad berekend
wordt.
TK = C0 ·D
Q+ Ch ·
Q
2+ P ·D (1.2)
De eerste term in deze formule stelt de bestelkosten voor, de tweede term de voorraadkosten
en de derde term de aankoopkosten. Deze kostencategorieen zullen allen worden opgenomen in
het model dat in deze masterproef wordt ontwikkeld. De parameters en variabelen gebruikt in
formule (1.2) en de formule van Camp worden weergegeven in tabel 1.2:
Hierbij wordt het gemiddelde aantal goederen in voorraad weergegeven door Q/2 en is D/Q
gelijk aan het aantal bestellingen per jaar. In de oorspronkelijke formule werd de voorraadkost
10
Tabel 1.2: Gebruikte parameters en variabelen in de formule van Camp
Symbool Uitleg
Q BestelhoeveelheidD Jaarlijkse vraagP Inkoopprijs van het productC0 Bestelkost per bestelling
Ch = h · P Voorraadkost per eenheidh Voorraadkost als een percentage van de prijs
Ch voorgesteld als een percentage van de prijs: h ∗ P . Zoals reeds eerder vermeld is 25% een
vaak gebruikte vuistregel. C0 is de vaste kost die gerekend wordt bij het bestellen van goederen,
onafhankelijk van de hoeveelheid. We veronderstellen hierbij dat deze kost volledig onafhanke-
lijk is van de bestelde hoeveelheid, zelfs indien deze hoeveelheid zeer groot wordt. De formule
van Camp wordt vervolgens eenvoudig afgeleid door de totale kost (formule (1.2)) te minimalise-
ren en op te lossen naar Q. De optimale bestelhoeveelheid Q∗ geeft vervolgens de economische
bestelhoeveelheid weer, zoals weergegeven in formule (1.3). Deze bestelhoeveelheid, en daaruit-
volgend de cyclische voorraad, is een resultaat van een optimale trade-off tussen de verschillende
kostencategorien.
Deze situatie wordt grafisch weergegeven in figuur 1.1. Op deze figuur wordt abstractie gemaakt
van de prijs per eenheid die betaald wordt voor het aankopen van de goederen. De formule van
Camp geeft immers duidelijk aan dat deze kost geen invloed heeft op de economische bestelhoe-
veelheid. Indien geen hoeveelheidskortingen worden gehanteerd is de aankoopkost logischerwijze
onafhankelijk van de bestelhoeveelheid.
EOQ = Q∗ =
√2 ·D · C0
Ch(1.3)
EOQ is echter een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid, is bijna nooit optimaal en is
bijgevolg weinig toepasbaar in een complexe bedrijfsrealiteit. Er worden namelijk een aantal
veronderstellingen gemaakt die niet altijd even realistisch zijn [18, Hoofdstuk 9]:
1. Elke bestelling wordt in een keer geleverd.
2. Elke bestelling wordt onmiddellijk geleverd. De levertermijn of lead time L is gelijk aan
nul.
3. De vraag D is deterministisch. Er is geen onzekerheid in verband met de hoeveelheid vraag
en de timing van deze vraag.
4. De vraag is vooraf bekend en constant in de tijd.
11
Bestelhoeveelheid
Kosten
EOQ
Bestelkost
V oorraadkost
Totale kost
Figuur 1.1: Relevante voorraad-gerelateerde kosten en de economische bestelhoeveelheid
5. De bestelkost C0 is constant en onafhankelijk van de grootte van de bestelling.
6. De voorraadkost per eenheid Ch is constant en onafhankelijk van het aantal goederen in
voorraad.
7. Alle goederen worden afzonderlijk geanalyseerd. Er wordt bijvoorbeeld geen rekening ge-
houden met de correlatie in de vraag naar twee substitutiegoederen. 10
8. Er zijn geen hoeveelheidskortingen of andere kortingen.
9. Eender welke discrete hoeveelheid goederen kan besteld worden.
Naarmate deze veronderstellingen minder gelden in een bepaalde situatie wordt ook de toepas-
baarheid van de formule van Camp minder groot. Het model is in zijn meest eenvoudige vorm
enkel van toepassing op de situatie afgebeeld in figuur 1.2. Op deze figuur is de situatie weergege-
ven voor twee verschillende bestelhoeveelheden Q waarbij duidelijk de invloed op de gemiddelde
voorraad en bijgevolg ook de voorraadkost blijkt. Hierbij is er bijvoorbeeld enkel sprake van
een cyclische voorraad en wordt abstractie gemaakt van een eventuele veiligheidsvoorraad en sei-
zoensvoorraad (zie sectie 1.1). Wel moet vermeld worden dat deze formule vrij robuust is. Dit wil
zeggen, indien de bestelhoeveelheid niet te veel afwijkt van de economische bestelhoeveelheid, zal
de totale kost slechts weinig veranderen. Het is dan ook vaak beter om een logistiek gezien meer
geschikte hoeveelheid te bestellen. Deze robuustheid heeft ook als gevolg dat het EOQ-model
vaak gebruikt wordt als een goede vuistregel in het voorraadbeheer. Indien voorraadkosten echter
een grote fractie van het kostenplaatje van een onderneming innemen, is het sterk aangeraden een
meer specifiek model te gebruiken. Er zijn dan ook tal van uitbreidingen in de literatuur terug
te vinden die in min of meerdere mate de dynamiek van een werkelijk voorraadbeheersysteem10Indien de vraag naar twee goederen negatief gecorreleerd is of indien deze goederen gemeenschappelijke compo-
nenten bezitten, is het voordelig om de voorraadbeslissingen gezamenlijk te nemen (omwille van ’variability pooling’).
12
kunnen vatten. De literatuur in dit vakgebied is voornamelijk deterministisch.
t
V oorraadniveau
Q
Q/2
Q/D
slope = D
Figuur 1.2: Evolutie in de tijd van het voorraadniveau met de formule van Camp
In de literatuur zijn tal van versoepelingen terug te vinden ten opzichte van de veronderstellingen
die inherent in het EOQ model aanwezig zijn. Wanneer bijvoorbeeld de tweede veronderstelling
versoepeld wordt en een constante levertermijn of lead time τ verondersteld wordt, verkrijgen
we de situatie zoals weergegeven in figuur 1.3. In plaats van te bestellen op het moment dat
de voorraad uitgeput is, zal nu reeds vroeger besteld worden, namelijk op het ’reorder point’ of
bestelpunt. Dit moment in de tijd komt overeen met een welbepaald voorraadniveau, het ’reorder
level’ of bestelniveau. De veiligheidsvoorraad wordt vervolgens eenvoudig berekend met behulp
van formule (1.4). Hierbij stelt L de levertgermijn voor.
V eiligheidsvoorraad = Bestelniveau−D ∗ L (1.4)
t
V oorraadniveau
Lead time
Bestelniveau
Bestelpunt
Figuur 1.3: Evolutie van de voorraad in de tijd met constante levertermijn en deterministische vraag
Een tweede uitbreiding van het EOQ model die leidt tot een betere benadering van de werkelijk-
heid is het veronderstellen van een variabele, stochastische vraag in tegenstelling tot een determi-
13
nistische vraag. Omdat de vraag in deze situatie onzeker is en indien een levertermijn groter dan
nul wordt verondersteld, zal een veiligheidsvoorraad worden aangelegd. Hierdoor zal de kans dat
niet aan de vraag kan voldaan worden kleiner worden. Indien de levertermijn stochastisch is in
plaats van de vraag, zal eveneens een veiligheidsvoorraad moeten aangelegd worden. Deze vorm
van onzekerheid situeert zich aan de aanbodzijde. Deze situatie wordt weergegeven in figuur 1.4,
waarbij de levertermijn voorgesteld wordt door τ . Indien zowel de vraag als de levertermijn sto-
chastisch zijn of als de onzekerheid groter wordt, dan zal de veiligheidsvoorraad ook groter moeten
zijn om een welbepaalde service level te behalen. De kansverdeling van de vraag gedurende de
levertermijn wordt immers gegeven door de convolutie (het ’optellen’) van de kansverdeling van
de vraag per tijdseenheid en de kansverdeling van de levertermijn [2]. De situatie weergegeven in
figuur 1.4 met fluctuerende vraag en stochastische levertermijn is gelijkaardig aan het meer realis-
tische model dat ontwikkeld wordt in hoofdstuk 5. In dit model zal de tijd tussen 2 opeenvolgende
bestellingen echter niet willekeurig en continu zijn zoals in figuur 1.4, maar zal deze geometrisch
verdeeld en bijgevolg discreet zijn. Dit wil zeggen dat op elk tijdstip de vraag zal gelijk zijn aan
een of afwezig zal zijn, afhankelijk van een bepaalde kans op vraag p.
t
V oorraadniveau
τ1 τ2 Onzekere toekomst
Gemiddeldevoorraad
t0
Bestelniveau
V eiligheidsvoorraad
Cyclischevoorraad
Q
1
Figuur 1.4: Evolutie van de voorraad in de tijd met stochastische vraag en lead time
In de bovenstaande modellen wordt steeds verondersteld dat de voorraad continu gecontroleerd
wordt en er besteld wordt van zodra het voorraadniveau een bepaalde drempelwaarde bereikt.
Bij deze ’continue voorraadbeheer-systemen’ is er een vaste bestelhoeveelheid maar varieert het
tijdsinterval tussen twee opeenvolgende bestellingen. Er bestaan echter ook modellen waarbij
het dit tijdsinterval vastligt, bijvoorbeeld dagelijks, en ook het maximale voorraadniveau vastligt,
maar waarbij de bestelhoeveelheid varieert. Deze modellen worden geclassificeerd als ’periodieke
voorraadbeheer-systemen’ [2]. Het model in deze masterproef valt strikt gezien onder de continue
voorraadbeheer-systemen aangezien er op elk tijdstip een beslissing wordt genomen in verband
14
met het bestellen van goederen. In tegenstelling tot de uitbreidingen van het EOQ-model zoals
beschreven in deze sectie, wordt er echter niet gewerkt met een vaste bestelhoeveelheid maar
hangt deze af van de eenheidsprijs op dat specifieke tijdstip. Dit onderscheid zal belangrijk zijn
wanneer in hoofdstuk 2 de methodiek gekozen wordt voor het modelleren van de probleemstelling
van deze masterproef.
1.2 Specifieke uitdagingen
Het EOQ voorraadmodel veronderstelt een constante, deterministische vraag en een vaste aan-
koopprijs, alsook een levertermijn gelijk aan nul. Het gebruik van dit klassieke model in een
dynamische omgeving levert, ondanks de robuustheid van het model, dan ook weinig accurate
resultaten op. De concrete uitdaging die in deze masterproef wordt aangegaan is het integreren
van marktfluctuaties in een wiskundig model. Meer specifiek wordt een voorraadmodel ontwor-
pen met betrekking tot goederen die gekenmerkt worden door twee soorten marktfluctuaties. Ten
eerste is dit de fluctuatie van de prijs rond een lange-termijn gemiddelde. Ten tweede worden
vraagfluctuaties in het model opgenomen. Dit laatste gebeurt door middel van de geometrische
verdeling, zoals reeds eerder aangehaald.
De invloed van vraagfluctuaties is reeds uitgebreid onderzocht als een uitbreiding van het klassieke
EOQ-model, bijvoorbeeld in het Wilson EOQ-model [9]. K. Yan and V. Kulkarni [12] hebben een
voorraadsysteem ontwikkeld waarbij de stochastische vraag gemodelleerd wordt aan de hand van
een continue-tijd Markov-keten (zie hoofdstuk 2). Hierbij worden echter enkele vereenvoudigende
veronderstellingen gemaakt zoals een levertermijn gelijk aan nul en de beperking dat enkel kan
besteld worden als de voorraad uitgeput is. Deze situatie is vergelijkbaar met het eenvoudige
model uit hoofdstuk 3 met als belangrijk verschil dat hier zal gewerkt worden met een discrete-tijd
Markov-keten. Beide vereenvoudigende veronderstellingen in [12] worden vervolgens weggelaten
in hoofdstukken 4 en 5, hetgeen leidt tot een meer realistisch model. In figuur 1.4 werd deze
situatie reeds voorgesteld, weliswaar met een willekeurige, continue vraag terwijl de vraag in deze
masterproef discreet is.
In tegenstelling tot vraagfluctuaties is de invloed van prijsfluctuaties nog een wetenschappelijk
weinig ontgonnen terrein. Jinn-Tsair Teng et al. [22] hebben een algoritme opgesteld dat naast
een veranderende vraag ook een veranderende prijs veronderstelt, maar dit algoritme heeft betrek-
king op een continue lange-termijn prijsdaling, wat bijvoorbeeld in de IT sector vaak het geval is.
Het opnemen van prijsfluctuaties in het model zal de beslissing om een bepaalde hoeveelheid te
bestellen niet langer laten afhangen van enkel het voorraadniveau, ook het prijsniveau wordt nu
belangrijk. De mogelijkheid om aan een relatief goedkope prijs aan te kopen weegt mogelijk op
15
tegen een hogere ’holding-kost’ of voorraadkost. Dit impliceert dat bij iedere mogelijke combi-
natie van prijs- en voorraadniveau een beslissing moet worden genomen over enerzijds het al dan
niet bestellen en anderzijds de bestelhoeveelheid.
Ter verduidelijking, onder de term fluctuaties bedoelen we in deze masterproef korte-termijn fluc-
tuaties rond een lange-termijn gemiddelde. Het model is dus niet van toepassing op continu in
prijs dalende of stijgende goederen, zoals bijvoorbeeld hightech producten in de IT sector. Lange-
termijn-fluctuaties (conjunctuur) vallen eveneens buiten het bereik van het model. Wat betreft de
vraagfluctuaties is dit model hoofdzakelijk van toepassing op producten in de maturiteitsfase waar
de gemiddelde vraag als constant kan worden verondersteld. De vraagfluctuaties situeren zich dan
rond dit lange-termijn gemiddelde. Dit wordt zoals reeds eerder vermeld voorgesteld met behulp
van de geometrische verdeling. Een belangrijk gevolg van de veronderstelling dat de markt op
lange termijn stabiel blijft, is dat er kan gewerkt worden met een stationaire Markov-keten (zie
hoofdstuk 2).
16
Hoofdstuk 2
Onderzoeksaanpak
In hoofdstuk 1 werd reeds besproken in welke bedrijfsspecifieke omgeving het model in deze
masterproef van toepassing is, of kan zijn mits kleine aanpassingen afhankelijk van de veronder-
stellingen die gemaakt moeten worden. In dit hoofdstuk wordt de wiskundige theorie uiteengezet
waarmee dit probleem zal gemodelleerd en opgelost worden.
2.1 Methodologie
In deze masterproef zal de dynamiek van het voorraadbeheer beschreven worden aan de hand van
twee Markov-ketens. Met behulp van de theorie van Markoviaanse beslissingsprocessen kan dan
een optimaal prijsafhankelijk voorraadbeheer bepaald worden. Het uiteindelijke doel is dus het
optimale bestelbeleid te bepalen die in elke toestand van het systeem aangeeft of en hoeveel er
moet besteld worden.
In secties 2.1.1 en 2.1.3 wordt een korte theoretische uiteenzetting gegeven over de wiskundige
modelleringstechnieken die in deze masterproef zullen worden gebruikt. In sectie 2.1.2 wordt
verder ingegaan op de eigenschappen van Markov-ketens. Bij het opstellen van de verschillende
modellen in hoofdstukken 3, 4 en 5 zal meer uitgebreid aangegeven worden hoe deze theoretische
concepten concreet zijn toegepast in deze masterproef. In sectie 2.2 worden enkele veel gebruikte
methodes besproken die kunnen gebruikt worden om een Markoviaans beslissingsproces op te
lossen. In sectie 2.3 ten slotte wordt aangegeven hoe de theorie in dit hoofdstuk gebruikt zal
worden voor het behandelen van de probleemstelling besproken in hoofdstuk 1.
2.1.1 Markov-ketens
Deze sectie is geschreven op basis van de omschrijvingen en definities in [8, Hoofdstuk 16], [23],
[20] en [3].
17
De meeste optimalisatieproblemen zijn in de praktijk stochastisch van aard, ook in het domein
van het voorraadbeheer. Dit houdt in dat dergelijke systemen inherent bepaalde onzekerheden
in zich hebben, zoals bijvoorbeeld de hoeveelheid vraag of de prijs op een bepaald tijdstip. Op
het moment dat men een bepaalde beslissing moet nemen, zoals het plaatsen van een bestelling,
beschikt men met andere woorden nog niet over alle relevante en noodzakelijke informatie.
Een Markov-keten is een specifieke vorm van een stochastisch proces; het kan eenvoudig be-
schreven worden als een proces dat op probabilistische wijze evolueert in de tijd en hierbij door
een aantal toestanden beweegt. Een stochastisch proces wordt gedefinieerd als een geındexeerde
verzameling van toevalsvariabelen {Si} = {S0, S1, S2, . . .}, waarbij de index i een element is
van een gegeven verzameling I . In het specifieke geval van deze thesis worden respectievelijk het
voorraadniveau en de aankoopprijs voorgesteld door een dergelijke grootheid, gemeten op discrete
tijdstippen t. Een stochastisch proces kan gebruikt worden voor het beschrijven van het gedrag
van een systeem dat evolueert in de tijd, waarbij het systeem zich in een verzameling mutueel
exclusieve toestanden Si kan bevinden. De toestand van het systeem wordt vervolgens geobser-
veerd op discrete tijdstippen t. St stelt dan de toestand van het systeem voor op tijdstip t, in dit
specifieke geval het voorraad- en prijsniveau op tijdstip t.
Om deze stochastische processen analytisch te kunnen bestuderen zijn echter veronderstellingen
nodig inzake de gezamenlijke verdeling van {St}. Een Markov-keten is een voorbeeld waarbij een
dergelijke veronderstelling gemaakt wordt. Een Markov-keten is namelijk een stochastisch proces
dat voldoet aan de ’Markoviaanse eigenschap’. Deze eigenschap vertelt ons dat bij Markov-ketens
de voorwaardelijke probabiliteiten of kansen inzake de toekomstige evolutie van het proces enkel
afhankelijk zijn van de huidige toestand van het proces en dus onafhankelijk zijn van gebeurte-
nissen of toestanden in het verleden. In wiskundige termen wordt dit: een stochastisch proces Stvoldoet aan de Markoviaanse eigenschap indien:
Hierbij stelt ’E’ het symbool voor voor de verwachte waarde. De transitiematrix Pa(s, s′) geeft de
kansen weer dat een systeem dat zich in toestand s of St (rij-variabelen) bevindt op tijdstip t, zich
in toestand s′ of St+1 (kolom-variabelen) zal bevinden op tijdstip t + 1, indien actie a gekozen
wordt. Voor elke mogelijke actie a bestaat er met andere woorden een andere twee-dimensionale
23
transitiematrix P (s, s′). Een illustratie van een dergelijke transitiematrix is hieronder weergege-
ven. Hierbij stellen ai, bi, ci, di en ei de overgangskansen voor.
St | St+1 S1 S2 S3 S4 S5
S1 a1 a2 a3 a4 a5
S2 b1 b2 b3 b4 b5
S3 c1 c2 c3 c4 c5
S4 d1 d2 d3 d4 d5
S5 e1 e2 e3 e4 e5
De kostmatrix Ra(s, s′) stelt op haar beurt de kost voor die verbonden is aan een evolutie van
het systeem van toestand s naar toestand s′ op het volgende tijdstip, gegeven dat actie a gekozen
werd. Vaak is deze kost onafhankelijk van de toestand s′ waarin het systeem zal terechtkomen.
Met andere woorden:
Ra(s, s′) = Ra(s) = E[Rt+1|St = s, dt = a] (2.13)
Deze vereenvoudiging zal ook toepasbaar zijn op het model in deze masterproef, aangezien ener-
zijds de bestelkost enkel afhankelijk is van de huidige prijs en de bestelhoeveelheid en anderzijds
de voorraadkost enkel afhankelijk is van het huidige voorraadniveau. In welke toestand het sys-
teem terechtkomt op het volgende tijdstip, afhankelijk van eventuele vraag en prijswijzigingen, is
bijgevolg irrelevant voor het berekenen van de kost.
Alhoewel het in theorie mogelijk is een Markoviaans beslissingsproces op te lossen door middel
van het berekenen van de totale kost voor elk mogelijk beleid, is dit praktisch onmogelijk voor
grotere problemen. Meerdere algoritmes zijn evenwel voorhanden om het optimale bestelbeleid
op een meer efficiente wijze te vinden. In deze masterproef zullen 5 verschillende oplossings-
methodes worden gebruikt en vergeleken teneinde de meest efficiente methode te vinden voor dit
specifieke model. Deze methodes zijn het lineair programmeren, ’policy iteration’, ’value itera-
tion’ en een aangepast algoritme van zowel policy als value iteration. Lineair programmeren buiten
beschouwing gelaten zijn deze oplossingsmethodes allen zeer gelijkaardig en maken ze gebruik
van dezelfde vergelijkingen als basis. De onderstaande paragrafen zijn hoofdzakelijk gebaseerd
op [8, Hoofdstuk 19], [23] en [20].
Bij het oplossen van een Markoviaans beslissingsproces zijn twee functies van groot belang die
iteratief worden opgelost voor elke toestand s. Ten eerste is dit het beleid φ(s) voor elke toestand
s. Dit stelt dus de bestelhoeveelheid voor indien het systeem zich in toestand s bevindt. Ten
tweede wordt een nieuwe variabele ingevoerd, namelijk de ’waarde’ van een bepaalde toestand s
24
indien een welbepaald beleid φ gevolgd wordt. Deze waarde wordt weergegeven als V φ(s). Deze
vergelijking kan opgesteld worden voor elke toestand s hetgeen leidt tot een stelsel vergelijkingen.
Het oplossen van dit stelsel wordt ’value determination’ of ’waardebepaling’ genoemd. Het op-
timale beleid, genoteerd als φ∗, is vervolgens het beleid waarbij de waarden V φ(s) groter dan of
gelijk zijn aan elk ander bestelbeleid in elke mogelijke toestand s. Een groot aantal oplossingsme-
thodes, zoals policy iteration en value iteration, kunnen gezien worden als een iteratieve interactie
tussen deze twee reeksen, weergegeven in formules (2.14) en (2.15)3 [20]. Deze formules moeten
berekend worden voor elke mogelijke toestand s. Hierbij stelt k de opeenvolgende iteraties voor.
k + 1 is met andere woorden een indicatie voor de volgende iteratie.
φ(s) = arg maxa
{∑s′
Pa(s, s′) ·(Ra(s, s
′) + γ · V (s′))}
(2.14)
Vk+1(s) =∑s′
Pφ(s)(s, s′) ·(Rφ(s)(s, s
′) + γ · Vk(s′))
(2.15)
Hierbij is de waarde-functie V (s) de verwachte totale verdisconteerde kost wanneer het systeem
vertrekt in toestand s, beleid φ wordt toegepast en wanneer dit systeem evolueert tot in het onein-
dige. Formule 2.15 bevat op zich evenveel vergelijkingen als er toestanden zijn en tevens evenveel
onbekenden. V (s) wordt bijgevolg gevonden door het oplossen van dit stelsel vergelijkingen.
Een aantal verschillende algoritmes maken gebruik van deze twee stappen. De volgorde waarin
deze stappen uitgevoerd worden hangt echter af van de specifieke variant of algoritme. Bij som-
mige algoritmes worden bovendien bovenstaande vergelijkingen opgelost voor alle toestanden
samen of een voor een. Echter, zolang geen enkele toestand systematisch wordt uitgesloten zal
uiteindelijk de optimale oplossing bereikt worden.
2.2.1 Lineair programmeren
Ten eerste is het mogelijk een Markoviaans beslissingsproces op te lossen met behulp van het
lineair programmeren, de meest gebruikte optimalisatiemethode. Deze methode gebruikt een ma-
thematisch model voor het beschrijven van een probleem. ’Lineair’ betekent dat alle wiskundige
functies in het model verplicht lineaire functies moeten zijn 4. Lineair programmeren kan eenvou-
dig omschreven worden als het plannen van acties om een optimaal resultaat te bereiken, rekening
houdend met alle realiseerbare alternatieven. De methode wordt hoofdzakelijk gebruikt voor het
toewijzen van schaarse goederen aan een aantal concurrerende activiteiten en dit op een optimale
wijze. In deze masterproef houdt dit in dat op elk tijdstip een optimale beslissing genomen wordt3argmaxa f(x) stelt het argument van het maximum voor. Met andere woorden, dit is de verzameling van waarden
voor a waarvoor de functie f(x) haar maximale waarde bereikt.4Een lineaire functie is een functie van de vorm a · x+ b, waarin a en b constanten zijn.
25
omtrent de bestelhoeveelheid.
Een Markoviaans beslissingsproces kan enkel worden geformuleerd als een lineair programmerings-
probleem indien initieel verondersteld wordt dat een beleid niet deterministisch maar gerandomi-
seerd is. Dit is noodzakelijk opdat het model zou kunnen opgelost worden met behulp van de
simplex-methode, het bekendste algoritme om dergelijke problemen op te lossen. De oplossing
zal evenwel steeds deterministisch zijn en bijgevolg kan het lineair programmeren gebruikt worden
voor het vinden van een optimaal, deterministisch beleid (zie ook sectie 2.1.3) zoals in deze mas-
terproef. De precieze formulering van een Markoviaans beslissingsproces als een lineair probleem
is terug te vinden in [8, Hoofdstuk 19].
2.2.2 Policy iteration
Naast het lineair programmeren kunnen Markoviaanse beslissingsprocessen ook opgelost worden
met behulp van het dynamisch programmeren. In de volgende paragrafen worden hiervan enkele
vaak gebruikte varianten beschreven. Een tweede populaire oplossingsmethode is het ’policy im-
provement algoritme’ of ’policy iteration’, waarbij het beleid iteratief verbeterd wordt. [10]. Het
grootste voordeel van deze methode is haar grote efficientie. De optimale oplossing wordt immers
bereikt na een veel kleiner aantal iteraties in vergelijking met het simplex algoritme bij het lineair
programmeren. De eerste stap in dit algoritme is het kiezen van een willekeurig beleid φ1. Er
wordt met andere woorden een willekeurige actie di gekozen voor elke toestand si.
Vervolgens wordt in de ’waardebepaling’- (of ’beleidsevaluatie’-)stap een reeks vergelijkingen op-
gelost voor elke toestand s zoals in formule (2.15). Voor elke toestand swordt met andere woorden
een waarde V1(s) berekend. Op basis van dit resultaat wordt dan in de ’beleidsverbetering’-stap
een verbeterd beleid φ2 opgesteld zoals in formule (2.14). Dit proces komt overeen met een ite-
ratie. Hierna worden opnieuw de vergelijkingen V2(s) van de waardebepaling-stap opgesteld en
uitgewerkt, waarna opnieuw een verbeterd beleid φ3 wordt opgesteld. Dit iteratieve proces wordt
herhaald tot twee opeenvolgende iteraties een identiek beleid opleveren. Dit beleid φ∗ is het opti-
male (bestel)beleid:
φ0E
GGGGGAV φ0I
GGGGAφ1E
GGGGGAV φ1I
GGGGAφ2E
GGGGGA . . .I
GGGGAφ∗E
GGGGGAV ∗
Hierbij steltE
GGGGGA de beleidsevaluatie-stap voor terwijl de beleidsverbetering-stap wordt weerge-
geven doorI
GGGGA. Figuur 2.1 [20] geeft de interactie tussen het beleid en de waarde-functie gra-
fisch weer. Een groot voordeel van deze oplossingsmethode is de aanwezigheid van een duidelijk
stopcriterium: het algoritme is voltooid indien φ niet wijzigt bij het toepassen van formule (2.14)
26
(beleidsverbetering-stap). Bovendien garandeert dit algoritme een optimale oplossing in een ein-
dig aantal iteraties aangezien ook het aantal mogelijkheden voor het bestelbeleid eindig is. Merk
ook op dat elke beleidsevaluatie Vk+1(s), op zich ook een iteratief proces, vertrekt van de waar-
defunctie Vk(s′) van het beleid uit de vorige iteratie. Over het algemeen levert dit een grotere
convergentiesnelheid op. Een meer gedetailleerde weergave van dit algoritme is neergeschreven
in [8, Hoofdstuk 19] en [21] en [23].
φ V
Waardebepaling
V → V φ
Beleids− verbetering
φ→ φ′
φ∗ V ∗
...
Figuur 2.1: In het policy iteration algoritme voor het oplossen van Markoviaanse beslissingsprocessen iser een continue interactie tussen beleids- en waardefuncties die stopt wanneer hun optimalewaardes bereikt worden [20]
2.2.3 Modified policy iteration
’Modified policy iteration’ is, zoals de naam al aangeeft, een licht aangepaste versie van het policy
iteration algoritme. Ook in dit algoritme wordt het bestelbeleid immers iteratief verbeterd. Bij het
standaard policy iteration algoritme wordt de eerste stap (beleidsverbetering) per iteratie eenmaal
uitgevoerd, terwijl de tweede stap (beleidsevaluatie) herhaald wordt tot ze convergeert. Een an-
dere, meer efficiente mogelijkheid voor het oplossen van deze tweede stap is het oplossen ervan
als een stelsel lineaire vergelijkingen (een vergelijking voor elke toestand).
In deze aangepaste versie wordt de tweede, beleidsevaluatie-stap echter slechts een beperkt aantal
keer herhaald en niet tot er convergentie optreedt. Bovendien is bij deze variant het algoritme
voltooid indien een epsilon-optimale oplossing wordt gevonden in tegenstelling tot het oorspron-
kelijke algoritme waar er een strikt stopcriterium is voor optimaliteit [15].
2.2.4 Value iteration
Een nadeel van policy iteration is dat in elke iteratie een beleidsevaluatie-stap plaatsvindt die op
zich ook iteratieve berekeningen vergt. Bovendien vindt convergentie slechts plaats in de limiet;
dit wil zeggen, indien het beleid in twee opeenvolgende iteraties dezelfde is. De vraag kan gesteld
27
worden of het niet mogelijk is om reeds eerder het iteratieproces stop te zetten en toch het opti-
male bestelbeleid te vinden [21]. Een mogelijkheid is het in elke iteratie slechts eenmaal uitvoeren
van de beleidsevaluatie-stap (voor elke toestand s) in plaats van verder te gaan tot er convergentie
optreedt. Deze derde populaire oplossingsmethode, ontwikkeld door Bellman [1] wordt ’value
iteration’ genoemd. Dit is een methode gebaseerd op het principe van achterwaartse inductie.
In dit algoritme word de φ-reeks op zich niet gebruikt maar wordt gebruik gemaakt van de zo-
genaamde ’Bellman-vergelijking’ die bekomen wordt door het substitueren van de formule voor
φ(s) (formule (2.14)) in de formule voor V (s) (formule (2.15)):
Vk+1(s) = maxa
E[rt+1 + γ · Vk(st+1)|st = s, at = a
]= max
a
{∑s′
Pa(s, s′) ·[Ra(s, s
′) + γ · Vk(s′)]}
(2.16)
Met andere woorden, de waarde van een bepaalde toestand wordt gedefinieerd als de som van
de maximale verwachte kost in die toestand en de verwachte verdisconteerde waarde van alle
mogelijke toestanden s′ die vanuit toestand s kunnen bereikt worden.
Het value iteration algoritme bestaat vervolgens uit het iteratief oplossen van de Bellman-vergelijking
voor elke toestand s. Value iteration heeft in theorie echter een oneindig aantal iteraties nodig om
tot de optimale waarden voor V ∗ te komen. In praktijk is het algoritme dan ook voltooid indien
een epsilon-optimale oplossing wordt gevonden. Een nadeel van value iteration is dat er pas op
het einde van de iteraties een oplossing wordt gevonden, in tegenstelling tot policy iteration waar
de oplossing (het bestelbeleid) stelselmatig wordt verbeterd, hetgeen meer inzichtelijk is. Bij zeer
grote problemen kan via policy iteration bijgevolg ook een degelijke, maar nog niet optimale,
oplossing gevonden worden in een redelijke oplossingstijd. Bij value iteration is dit onmogelijk.
Een meer gedetailleerde weergave van dit algoritme kan eveneens gevonden worden in [8, Hoofd-
stuk 19] en [23].
2.2.5 Gauss-Seidel value iteration
De aangepaste versie van het value iteration algoritme die ook zal gebruikt worden in deze mas-
terproef is het ’Gauss-Seidel’s value iteration’ algoritme. Net als bij het oorspronkelijke algoritme
wordt de Bellman-vergelijking iteratief opgelost, maar in deze variant wordt Vk+1(s) gebruikt in
plaats van Vk(s). Omwille van deze aanpassing treedt convergentie sneller op bij grote toestands-
ruimtes.
28
2.3 Het toepassen van deze theorie doorheen de masterproef
Een van de eerste beslissingen die moet gemaakt worden is de keuze tussen de totale verdiscon-
teerde en de gemiddelde kost als kostencriterium. Volgens [8] is het aangewezen om de verdis-
conteerde kost te gebruiken indien de tijdsintervallen van de Markov-ketens voldoende lang zijn.
In deze situatie wordt immers de tijdswaarde van geld belangrijk. Of dit het geval is bij voor-
raadbeheer hangt uiteraard sterk af van de specifieke situatie. ’Fast-moving consumer goods’ of
’FMCG’s’5 worden vaak dagelijks aangevuld, terwijl duurzame luxeproducten soms slechts maan-
delijks worden aangevuld. In sectie 1.1.2 werd reeds het onderscheid gemaakt tussen periodieke
en continue modellen voor voorraadbeheer. Bij FMCG’s wordt de voorraad meestal elke dag en
bijgevolg periodiek gecontroleerd en wordt de voorraad opnieuw aangevuld tot het gewenste voor-
raadniveau. Een continue controle van het voorraadniveau daarentegen waarbij de voorraad wordt
aangevuld van zodra een gespecificeerde drempelwaarde wordt bereikt, wordt vaker gebruikt bij
producten met een lagere omloopsnelheid. Het model in deze masterproef, waarbij besteld wordt
afhankelijk van het voorraad- en prijsniveau vertoont meer gelijkenissen met dit tweede, continue
voorraadbeheer-systeem. De modellen die in de volgende hoofdstukken zullen besproken worden
zullen bijgevolg beter geschikt zijn voor deze tweede categorie van producten die een lagere om-
loopsnelheid kennen en daaruit volgend de tijdsintervallen groter zijn. Bovendien lijkt het ook
weinig realistisch voor de meeste producten dat de prijs sterk fluctueert op de zeer korte termijn
(dagelijks). Omwille van deze redenen zal het model beter toepasbaar zijn op producten waarbij
zowel vraag- als prijswijzigingen zich op de middellange termijn voordoen. Het logische gevolg
hiervan is dat er rekening zal moeten gehouden worden met de tijdswaarde van geld en de totale
verdisconteerde kost zal gebruikt worden als kostencriterium. Indien de prijs echter zodanig vola-
tiel is dat deze fluctueert op de zeer korte termijn kan het model echter zeer snel aangepast worden.
Enkel de gebruikte oplossingsmethode moet in dit geval aangepast worden aan het nieuwe kos-
tencriterium, namelijk de gemiddelde kost. Bovendien blijkt uit het oplossen van de modellen
uit de volgende hoofdstukken dat de resultaten met deze alternatieve oplossingsmethode niet of
nauwelijks wijzigen.
De keuze voor het gebruik van de verdisconteerde kost impliceert evenwel dat een geschikte
waarde moet gekozen worden voor de disconteringsfactor γ (zie formule (2.10)). De waarde
voor γ ligt over het algemeen dicht bij een, maar deze factor hangt vanzelfsprekend sterk af van
de grootte van het tijdsinterval. Een kost zal immers sterker moeten verdisconteerd worden indien
een tijdsinterval van een maand gebruikt wordt ten opzichte van een week. Niettemin mag men
niet te licht gaan over deze keuze aangezien deze een sterke invloed kan hebben op het resultaat.
Indien de kosten sterk verdisconteerd worden zal de onmiddellijke bestelkost immers veel sterker5FMCG: Laagwaardige consumentenproducten op winkelniveau met een hoge omloopsnelheid
29
doorwegen ten opzichte van de voorraadkost die ten laste valt van de toekomstige tijdsperiodes.
Hierdoor zal in grotere hoeveelheden besteld worden, waardoor de bestelkost kan worden toege-
wezen aan een groter aantal eenheden.
Een bijkomend voordeel van de keuze voor de verdisconteerde kost als kostencriterium is dat het
model eenvoudig kan aangepast worden tot een Markoviaans beslissingsproces met een eindige
tijdshorizon. Dit kan bijvoorbeeld van belang zijn bij producten die het gevolg zijn van een hype
en bijgevolg slechts een of enkele seizoenen verkocht worden.
Voor het ontwerpen van het beoogde voorraadmodel zal een discrete, stationaire Markov-keten op-
gesteld worden waarbij de toestandsruimte bestaat uit twee ’dimensies’ of ’toestandsvariabelen’.
Dit zijn enerzijds het prijsniveau en anderzijds het voorraadniveau. Deze Markov-keten zal gecon-
strueerd worden op basis van twee afzonderlijke Markov-ketens voor het voorraad- en prijsniveau.
De Markoviaanse eigenschap (zie sectie 2.1.1) impliceert in deze situatie dat noch de prijs uit het
verleden, noch het voorraadniveau uit het verleden een invloed heeft op de toekomstige evoluties.
Om de overzichtelijkheid en benodigde computertijd onder controle te houden zal gestart worden
met een kleine toestandsruimte. Hierdoor wordt een ’explosie’ van de toestandsruimte vermeden;
deze groeit namelijk exponentieel. Om dit te vermijden beperken we ons daarom in eerste instan-
tie tot twee prijsniveaus, ’laag’ en ’hoog’ (zie hoofdstuk 3). Het aantal mogelijke voorraadniveaus
zal in dit eerste vereenvoudigde model beperkt worden tot 4. Hierna zal getracht worden om deze
toestandsruimte uit te breiden en zodoende een meer algemeen toepasbaar model te bekomen (zie
hoofdstuk 4). In een laatste fase zal het model uitgebreid worden door het introduceren van een
variabele lead time om zodoende een meer algemeen toepasbaar model te bekomen (zie hoofd-
stuk 5). Hierbij zal met andere worden rekening gehouden worden met een tijdsverschil tussen het
bestellen van de goederen en het ontvangen ervan. Er worden twee belangrijke veronderstellingen
gemaakt inzake de Markov-keten, namelijk de beperking tot een eindig aantal mogelijke toestan-
den alsook de beperking tot stationaire overgangskansen en dus een stationaire Markov-keten (zie
sectie 2.1.1).
Vervolgens zal voor elke mogelijke actie (niets bestellen of x eenheden bestellen) een transitie-
en kostmatrix worden opgesteld die respectievelijk de kansen en de kosten weergeven die gepaard
gaan met de overgang van een toestand s naar een toestand s′. De overgangskansen tussen twee
toestanden in de transitiematrices worden bekomen door het vermenigvuldigen van de afzonder-
lijke overgangskansen betreffende de twee dimensies van de toestandsruimte. In formulevorm:
pi = Pr(∆voorraad)× Pr(∆prijs).
Het uiteindelijke doel is vervolgens het vinden van een optimaal beleid. Met andere woorden, het
30
vinden van de optimale lange-termijn beslissing bij elke mogelijke toestand uit de gedefinieerde
toestandsruimte. Met lange-termijn wordt geımpliceerd dat we niet op zoek zijn naar de actie of
beslissing die de kost minimaliseert in het eerstvolgende discrete tijdsinterval, maar wel de actie
die de totale verwachte verdisconteerde kost minimaliseert.
De vraagfluctuaties zullen zoals reeds eerder vermeld worden gemodelleerd door een geometri-
sche verdeling van de tijd tussen twee opeenvolgende inkomende bestellingen. Dit komt over-
een met de discrete versie van een exponentiele verdeling. Concreet houdt dit voor deze mas-
terproef in dat op elk discreet tijdstip de vraag naar goederen gelijk is aan een of afwezig is:
p = Pr(vraag) = Pr(voorraad − 1); dit is de kans op een voorraaddaling met een eenheid.
We hebben hier dus te maken met een discreet ./M/1 wachtlijnsysteem. In het geval van een
bestelling zal onmiddellijk geleverd moeten worden. Dit wil zeggen, als de voorraad uitgeput is
bij vraag gaat de vraag (en opbrengst) verloren. Er is met andere woorden geen ’backlog’6. De
kansverdeling voor het prijsniveau zal dan weer zodanig worden geconstrueerd dat dit prijsniveau
op korte termijn fluctueert rond een lange termijn gemiddelde prijs (zie hoofdstuk 4).
Verschillende scenario’s zullen worden uitgewerkt in verband met de prijsevolutie. Zo zal bijvoor-
beeld de invloed van zowel de frequentie als de amplitude van de fluctuaties bekeken worden, net
als de parameters die deze eigenschappen beınvloeden. Op deze manier kan geanalyseerd worden
hoe het bestelbeleid wijzigt indien het prijsniveau lange periodes een hoge, respectievelijk lage,
waarde aanneemt of indien dit prijsniveau snel fluctueert. Op basis van de resultaten van dit on-
derzoek zal dan getracht worden algemeen geldende, kwalitatieve conclusies te formuleren. Ook
de invloed van andere belangrijke parameters in het voorraadbeheer zal onderzocht worden. Deze
parameters zijn bijvoorbeeld de bestelkost, de voorraadkost, de vraag en de disconteringsfactor.
Bovendien zal ook gezocht worden naar de meest efficiente oplossingsmethode voor het model in
deze masterproef.
6De term ’backlog’ in het voorraadbeheer refereert naar een opeenstapeling van werk dat nog moet uitgevoerdworden of bestellingen die nog moeten behandeld worden
31
Hoofdstuk 3
Inleidend model met een beperktetoestandsruimte
In hoofstukken 1 en 2 werd de theorie aangehaald die noodzakelijk is om de wiskundige modellen
die in het licht van deze masterproef zijn ontwikkeld te kunnen begrijpen. Tevens werd toegelicht
hoe deze theorie zal toegepast worden en welke specifieke situaties zullen besproken worden. In
hoofdstukken 3, 4 en 5 worden nu de wiskundige modellen opgesteld en uitgebreid besproken.
3.1 Inleiding
In deze eerste fase van het onderzoek zal een vereenvoudigd model opgesteld en besproken wor-
den. In dit vereenvoudigd model wordt gewerkt met een zeer beperkte toestandsruimte en worden
ook een aantal belangrijke veronderstellingen gemaakt die niet altijd stroken met de bedrijfsre-
aliteit. In de volgende hoofdstukken zal deze toestandsruimte vervolgens sterk worden vergroot
en zullen ook enkele uitbreidingen bekeken worden, zoals het effect van een onzekere lead time.
Hierdoor wordt een meer realistisch en algemeen toepasbaar model bekomen. De beweegreden
om dit vereenvoudigde model in deze masterproef op te nemen is een grotere duidelijkheid bij
het uiteenzetten en weergeven van de verschillende componenten van het model. In de volgende
hoofdstukken zullen vervolgens louter de veranderingen en uitbreidingen besproken worden. Deze
aanpak moet het geheel overzichtelijker maken.
Zoals hierboven wordt vermeld, wordt de toestandsruimte in deze fase sterk beperkt door het aantal
mogelijke waarden in beide dimensies te beperken. In de eerste dimensie, het voorraadniveau, zijn
slechts vier waarden mogelijk, namelijk I = 1, 2, 3 of 4. Hierbij stelt ’I’ het voorraadniveau voor
en wordt de belangrijke veronderstelling gemaakt dat er steeds minstens 1 eenheid in voorraad
is en er altijd moet besteld worden in dit laagste voorraadniveau. In de tweede dimensie, het
32
prijsniveau, wordt het aantal waarden nog sterker beperkt en zal gewerkt worden met slechts 2
mogelijke prijsniveaus, ’hoog’ en ’laag’. Bovendien is de kans dat het systeem zich in een van
beide prijsniveaus bevindt even groot. Verder wordt ook het aantal mogelijke acties beperkt tot 3
mogelijkheden. Dit is enerzijds de actie ’niets bestellen’ en anderzijds de mogelijkheid om 2 of 3
eenheden te bestellen. Ook zal niet kunnen besteld worden vooraleer het voorraadniveau naar dit
laagste niveau is gezakt.
Een bijkomende veronderstelling die wordt gemaakt is dat bestellingen onmiddellijk geleverd wor-
den; er is met andere worden geen lead time en bijgevolg zal bij een bestelling op tijdstip t de
levering gebeuren op tijdstip t + 1. Als gevolg van deze veronderstelling wordt de onzekerheid
op het moment van bestellen sterk ingeperkt. Als een onzekere lead time geıncorporeerd wordt
in het model (zie hoofdstuk 5), ontstaat de mogelijkheid dat de voorraad volledig uitgeput raakt
vooraleer de bestelling geleverd wordt en gaat omzet verloren. In deze situatie wordt de kost van
verloren vraag zeer belangrijk. In dit vereenvoudigde model is deze kost echter nog irrelevant.
Als gevolg van deze veronderstellingen zullen de resultaten van dit model en de conclusies die
eraan gekoppeld kunnen worden, vrij algemeen van aard zijn en weinig toepassing kennen in de
bedrijfsrealiteit. Wel zal de invloed van bepaalde parameters kunnen onderzocht worden. Deze
parameters zijn bijvoorbeeld de frequentie waarmee de prijs fluctueert, de bestelkost en de voor-
raadkost. De mogelijkheid om aan een relatief goedkope prijs aan te kopen weegt mogelijk op
tegen een hogere voorraadkost.
3.2 Model
In deze sectie wordt het model stap voor stap besproken. Eerst zullen de marktfluctuaties gemo-
delleerd worden door twee Markov-ketens die gecombineerd worden tot een twee-dimensionale
Markov-keten met behulp van het Kronecker-product. Vervolgens zullen de mogelijke acties be-
sproken worden. Ten derde worden de transitiematrices weergegeven en besproken en ten slotte
ook de kostmatrices. In tabel 3.1 worden alle parameters weergegeven die in dit vereenvoudigde
model gebruikt worden.
Om de leesbaarheid te vergroten zal geregeld gebruik gemaakt worden van de notaties p, α en β,
zoals gedefinieerd in onderstaande tabel.
3.2.1 Markov-ketens
Zoals uitgebreid besproken in sectie 2.1.1 kan een Markov-keten beschreven worden als een proces
dat op probabilistische wijze evolueert in de tijd en hierbij door een aantal toestanden St beweegt.
33
Tabel 3.1: Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model
Parameter Uitleg
p De kans op vraag op tijdstip tα De kans op een prijsdaling op tijdstip tβ De kans op een prijsstijging op tijdstip tC0 BestelkostCh VoorraadkostPL Laag prijsniveauPH Hoog prijsniveaud Disconteringsfactor
Parameter Definitie Uitleg
p 1− p De kans dat er geen vraag is op tijdstip tα 1− α De kans dat de prijs niet daaltβ 1− β De kans dat de prijs niet stijgt
De toestand van het systeem wordt vervolgens geobserveerd op discrete tijdstippen t. pij is de
kans dat het systeem beweegt naar toestand j vertrekkende van toestand i. Bovendien zegt de
Markoviaanse eigenschap dat de kansen inzake de toekomstige evolutie van het proces enkel af-
hankelijk zijn van de huidige toestand van het proces en dus onafhankelijk zijn van gebeurtenissen
of toestanden in het verleden. In deze masterproef worden 2 soorten marktfluctuaties in het model
opgenomen. Ten eerste is dit de fluctuatie van de prijs rond een lange-termijn gemiddelde. Ten
tweede zijn dit vraagfluctuaties op basis van een geometrische verdeling. Beide evoluties worden
gemodelleerd met behulp van een Markov-keten.
De vraagfluctuaties worden gemodelleerd op basis van een geometrische verdeling. Meer specifiek
houdt dit voor deze masterproef in dat op elk discreet tijdstip de vraag naar goederen een bedraagt
of afwezig is. De kans op vraag op een gegeven tijdstip wordt gegeven door ’p’. Dit is met
andere woorden de kans dat de voorraad daalt met een eenheid. Hieruit volgt logischerwijze dat
de kans dat de voorraad niet daalt binnen een tijdsinterval gelijk is aan 1 − p. De tijd tussen
twee opeenvolgende vragen is bijgevolg geometrisch verdeeld. Als gevolg van deze wijze van
modelleren hebben we hier te maken met een discreet ./M/1 wachtlijnsysteem. Het verminderen
van het voorraadniveau op basis van deze vraag wordt weergegeven in figuur 3.1. In deze figuur
daalt de voorraad op basis van de hierboven besproken kansverdeling. Indien het voorraadniveau
gezakt is naar een eenheid worden drie eenheden besteld. Hoe snel het voorraadniveau vermindert
hangt af van de grootte van p. In dit hoofdstuk is het ook mogelijk twee eenheden te bestellen in
plaats van drie, maar deze mogelijkheid is niet weergegeven in figuur 3.1.
34
t
V oorraadniveau
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
41
1
1
1
1
1
Figuur 3.1: Geometrische verdeelde vraag
Deze situatie kan gemodelleerd worden aan de hand van een Markov-keten en deze wordt grafisch
weergeven in figuur 3.2. Elke ’node’ (de cirkels op de figuur) stelt een mogelijke toestand voor
waarin het systeem zich kan bevinden. Elke pijl stelt een mogelijke overgang voor tussen twee
toestanden indien het systeem evolueert van tijdstip t naar tijdstip t + 1. p en 1 − p stellen de
respectievelijke overgangskansen voor die aan deze transities gekoppeld zijn. Indien bijvoorbeeld
vier eenheden in voorraad zijn en er komt een bestelling binnen (met kans p), dan zullen er op
tijdstip t+ 1 nog slechts drie eenheden in voorraad zijn. Indien er geen vraag is (met kans 1− p),
dan blijven er logischerwijze vier eenheden in voorraad. De keuze werd gemaakt om de voorraad
van hoog naar laag te ordenen teneinde het minderen van de voorraad bij vraag te visualiseren.
Indien geen actie ondernomen wordt zal het voorraadniveau als gevolg van deze Markov-keten
evolueren naar het laagste voorraadniveau, hetgeen overeenkomt met een eenheid. Er zijn immers
geen overgangspijlen in de omgekeerde richting. Indien niet besteld wordt is de kans dat het
systeem in dit laagste voorraadniveau blijft dus gelijk aan een.
4 3 2 1p p p
1− p 1− p 1− p 1
Figuur 3.2: Grafische voorstelling van de vraagfluctuaties door middel van een Markov-keten
De prijsfluctuaties worden eveneens gemodelleerd met behulp van een Markov-keten. In deze
eerste fase zijn slechts twee prijsniveaus mogelijk. Indien we α en β aan elkaar gelijkstellen is
de kans dat het systeem zich in een van beide prijsniveaus bevindt op een gegeven tijdstip gelijk
aan 50%. Deze situatie wordt grafisch weergegeven in figuur 3.3. De keuze werd gemaakt om
de prijs te ordenen van laag naar hoog. Deze keuze heeft als gevolg dat het uitzetten van de
35
bestelhoeveelheid in functie van het prijsniveau zal leiden tot een dalende functie.
PL PH
β
α
1− β 1− α
Figuur 3.3: Grafische voorstelling van de prijsfluctuaties door middel van een Markov-keten
De volledige toestandsruimte wordt vervolgens bekomen door beide dimensies (prijs en voorraad)
te combineren. Aangezien gewerkt wordt met 4 mogelijke voorraadniveaus en 2 mogelijke prijs-
niveaus zal het systeem zich in 8 mogelijke toestanden kunnen bevinden, zoals in tabel 3.2 wordt
weergegeven.
Tabel 3.2: Overzicht van de mogelijke toestanden Si waarin het systeem zich kan bevinden
De steady-state vergelijkingen resulteren altijd in een stelsel met n onbekenden en n+ 1 vergelij-
kingen, waarbij n het aantal toestanden voorstelt. Er is bijgevolg steeds een overbodige vergelij-
king en het stelsel is steeds oplosbaar.
37
De oplossing:
πPL = 0.5
πPH = 0.5(3.1)
Deze te verwachten uitkomst is uiteraard enkel geldig in het geval dat de kans op een prijsstijging
gelijk is aan de kans op een prijsdaling. Indien de kans op een prijsdaling α groter zou zijn dan de
kans op een prijsstijging β zal de steady-state kans dat het systeem zich in het hogere prijsniveau
bevindt logischerwijze groter zijn. Indien bijvoorbeeld de kans op een prijsdaling twee maal zo
groot is als de kans op een prijsstijging wordt de volgende oplossing bekomen:
De oplossing:
πPL = 2/3
πPH = 1/3(3.2)
Voor het voorraadniveau worden deze vergelijkingen als volgt ingevuld. De resultaten zijn onaf-
hankelijk van de grootte van p. De kans dat op lange termijn het laagste voorraadniveau bereikt
wordt is dus gelijk aan 100%:
π4 = π4 · (1− p)
π3 = π4 · p+ π3 · (1− p)
π2 = π3 · p+ π2 · (1− p)
π1 = π2 · p+ π1 · 1
1 = π4 + π3 + π2 + π1
⇐⇒
π4 = 0
π3 = 0
π2 = 0
π1 = 1
De bovenstaande analyse heeft betrekking op de Markov-ketens zelf en situeert zich dus in het
geval er geen bestellingen worden geplaatst. Indien dit wel mogelijk is hebben we te maken met
een Markoviaans beslissingsproces, zoals in de volgende sectie wordt uitgelegd. Als in het verdere
verloop van deze masterproef de toestandsruimte uitgebreid wordt, zullen de steady state kansen
een grotere rol krijgen, bijvoorbeeld bij het analyseren van de frequentie van de prijsfluctuaties.
(zie sectie 4.2.1).
3.2.3 Markoviaans beslissingsproces
De bovenstaande redenering heeft enkel betrekking op Markov-ketens en stelt dus een passief
proces voor. We kunnen echter nog een stap verder gaan door proactief te werken en de werking
38
van het systeem aan te passen om op deze manier de prestaties te optimaliseren. Bij Markov-
beslissingsprocessen wordt bij elke mogelijke toestand Si van de Markov-keten een beslissing
di genomen over het ondernemen van een bepaalde actie, genomen uit een verzameling van K
mogelijke acties (k = 1, 2, . . . ,K). De actie die gekozen wordt heeft een invloed op zowel de
overgangskansen (zie sectie 3.2.4) als op de onmiddellijke en toekomstige kosten (zie sectie 3.2.5)
en op het gedrag van het systeem in de toekomst. Het is mogelijk dat bepaalde beslissingen
niet relevant zijn voor bepaalde toestanden. Het doel is vervolgens het vinden van de optimale
actie in elke toestand om zodoende deze kosten Cik te minimaliseren. Het beslissingsproces dat
hiermee gepaard gaat, wordt een Markoviaans beslissingsproces genoemd. In tabel 3.3 worden
deze begrippen overzichtelijk weergegeven.
Tabel 3.3: Gebruikte parameters in het vereenvoudigde model
Parameter Uitleg
St De toestand (voorraad, prijs) op tijdstip tdi De actie die ondernomen wordt in toestand ipij Pr{St+1 = j|St = i}Cik De kost indien actie k ondernomen wordt in toestand i
Pd(s, s′) Transitiematrix
Rd(s, s′) Kostmatrix
In dit hoofdstuk zijn er slechts twee mogelijke acties waaruit de beslissingsnemer kan kiezen, na-
melijk twee eenheden bestellen of drie eenheden bestellen. Deze twee acties stellen respectievelijk
de acties d2 en d3 voor. De eerste actie d1 heeft betrekking op het ’niet bestellen’ en hierbij wordt
bijgevolg passief de evolutie door de tijd van de Markov-keten gevolgd. De volgende notaties
zullen worden gebruikt:
Notatie Definitie Uitleg
d1 Actie 1 Niets bestellen
d2 Actie 2 2 eenheden bestellen
d3 Actie 3 3 eenheden bestellen
In dit vereenvoudigde model veronderstellen we bovendien dat er enkel kan besteld worden op het
laagste voorraadniveau, als er slechts een eenheid in voorraad is. Figuur 3.5 geeft deze situatie
grafisch weer. De groene en blauwe overgangspijlen stellen de mogelijke overgangen voor indien
respectievelijk actie d2 of d3 gekozen wordt. De toestand waarin het systeem terechtkomt in
tijdstip t + 1 hangt verder af van het al dan niet aanwezig zijn van vraag, weergegeven door de
39
kans p. De zwarte overgangspijlen stellen de situatie voor waarbij niets besteld wordt.
4 3 2 1
p
p
p
p
Actie 1 (d1): 0 eenheden bestellen
Actie 2 (d2): 2 eenheden bestellen
Actie 3 (d3): 3 eenheden bestellen
Figuur 3.5: Mogelijke acties en overgangen in het Markoviaans beslissingsproces
Indien ook de tweede dimensie, het prijsniveau, geıncorporeerd wordt, wordt een deel van het
Markoviaans beslissingsproces weergegeven in figuur 3.6. In deze figuur wordt verondersteld
dat het systeem zich in de toestand bevindt waarbij het voorraadniveau gelijk is aan een en het
prijsniveau gelijk is aan ’PL’. In deze toestand wordt vervolgens gekozen voor het bestellen van
twee eenheden (’actie 2’).
1, PL d2
2, PL 3, PL
2, PH 3, PH
p · (1− β)(1− p) · (1− β)
p · β (1− p) · β
Figuur 3.6: Mogelijke transities na het kiezen van actie d2
Dit model voldoet aan de Markoviaanse eigenschap aangezien we (1) te maken hebben met een
Markov-keten, (2) de nieuwe overgangskansen enkel afhankelijk zijn van de huidige toestand en
de beslissing, en (3) de onmiddellijke verwachte kost eveneens enkel afhankelijk is van de huidige
toestand en de beslissing. Deze kost bestaat namelijk uit twee elementen, de voorraadkost en de
eventuele aankoopkost. De voorraadkost is de kost die gepaard gaat met het houden van voorraad
en is bijgevolg enkel afhankelijk van het huidige voorraadniveau. De aankoopkost is dan weer
40
enkel afhankelijk van de gekozen actie (en bijgevolg bestelhoeveelheid) en de huidige prijs.
3.2.4 Transitiematrices
In een Markoviaans beslissingsproces zijn twee categorieen van matrices van belang. Ten eerste
zijn dit de transitiematrices P (s, s′, a). Deze geven de kans weer om toestand s′ te bereiken op
tijdstip t+ 1 als het systeem zich in toestand s bevindt op tijdstip t en actie a is ondernomen door
de beslissingsnemer. Een tweede categorie van matrices zijn de kostmatrices of beloningsmatrices;
R(s, s′, a) is de beloning die verworven wordt wanneer het systeem zich in toestand s bevindt op
tijdstip t en in toestand s′ op tijdstip t+ 1 na het kiezen van actie a
Gegeven de huidige toestand (voorraad- en prijsniveau) St op tijdstip t worden de kansen voor de
overgang naar de volgende toestand St+1 op tijdstip t+ 1 gegeven door een een-staps overgangs-
matrix of transitiematrix. Deze matrix geeft met andere woorden weer welke toestanden bereikt
kunnen worden vanuit een gegeven toestand en hoe groot de kans is om in elk van deze toestanden
te belanden. Elk element van deze matrix kan dus geschreven worden als pij = Pr{St+1 = j|St =
i}. Deze matrix, genoteerd als Pa(St, St+1) is afhankelijk van de gekozen actie di of a. Aangezien
we te maken hebben met een stationaire Markov-keten zijn de transitiematrices onafhankelijk van
De grootte van de overgangskansen op zich wijzigt met andere woorden niet als gevolg van het
plaatsen van een bestelling. Deze kansen schuiven enkel twee, respectievelijk drie voorraadniveaus
op naar links, naar een hoger voorraadniveau. De overige rijen zijn irrelevant aangezien deze acties
hier niet mogelijk zijn.
Elke beslissing die genomen wordt, in een bepaalde toestand of op een bepaald tijdstip, beınvloedt
niet enkel de toestand van het systeem op tijdstip t + 1, maar ook de evolutie van het systeem in
de toekomst. Aangezien aan elke toestand en aan elke beslissing een bepaalde kost is verbonden,
beınvloedt elke actie bijgevolg zowel de onmiddellijke en toekomstige kosten. Welke actie uitein-
delijk gekozen wordt zal afhangen van de lange termijn kosten die aan deze actie verbonden zijn.
Uiteindelijk zal in elke mogelijke toestand die actie gekozen worden die de lange termijn verdis-
conteerde kosten minimaliseert. Zo zal bijvoorbeeld in de beslissing om twee of drie eenheden
te bestellen een afweging moeten worden gemaakt tussen een hogere voorraadkost en een hogere
bestelkost per eenheid.
Het vastleggen van een optimale beslissing di in elke mogelijke toestand resulteert in een beleid
of ’policy’. Zoals reeds vermeld in sectie 2.1.3 wordt dit bestelbeleid gekenmerkt door twee
belangrijke eigenschappen:
1. Een beleid is stationair. Als een systeem zich in een bepaalde toestand Si bevindt, zal de
beslissing steeds dezelfde zijn, onafhankelijk van het tijdstip t.
43
2. Een beleid is deterministisch. Als een systeem zich in toestand i bevindt, zal er steeds een
welbepaalde beslissing genomen worden. Dit in tegenstelling tot een ’randomized policy’
waar een kansverdeling gebruikt wordt voor het selecteren van een beslissing.
3.2.5 Kostmatrices
Indien een beslissing di = k genomen wordt in toestand Si dan gaat hiermee een kostCik gepaard.
De kosten verbonden aan het houden van voorraad kunnen worden opgesplitst in ’aankoopkosten’
en ’voorraadkosten’. Beide kosten zullen afzonderlijk besproken worden.
In overeenstemming met de transitiematrices kan ook deze informatie met behulp van matrices
gemodelleerd worden. Deze matrix wordt genoteerd als Ra(St, St+1) of Rd(St) indien de kost op
tijdstip t onafhankelijk is van de toestand waarin het systeem terechtkomt op tijdstip t+ 1. Zowel
de voorraadkost als de aankoopkost zijn inderdaad enkel afhankelijk van de huidige toestand en
de beslissing die genomen wordt in verband met het al dan niet bestellen. Als later in hoofdstuk
5 het model uitgebreid wordt door het introduceren van een stochastische lead time, zal ook de
kost van verloren vraag in het model opgenomen worden. Dit is de kost die gepaard gaat met de
situatie waarbij er vraag is maar hier niet aan voldaan kan worden omdat de voorraad uitgeput is.
Voorraadkost
Een eerste kost die onlosmakelijk verbonden is met voorraadbeheer is de ’holding cost’. Deze
is opgebouwd uit enerzijds de opportuniteitskosten van het vastgelegde kapitaal en anderzijds de
kosten voor de opslag en het interne transport van de goederen. In het vervolg van deze mas-
terproef wordt verondersteld dat het geheel van deze drie kosten omvat wordt door het begrip
’voorraadkosten’. Afhankelijk van het type product kan deze kost hoog oplopen, bijvoorbeeld in
het geval dat de goederen continu moeten gekoeld worden. Deze kost is onafhankelijk van zo-
wel het prijsniveau als de beslissing die genomen wordt en dus enkel afhankelijk van het huidige
voorraadniveau. Indien de voorraadkost per eenheid voorraad genoteerd wordt als ’Ch’ worden
kosten verkregen zoals weergegeven in onderstaande beknopt weergegeven matrix. Hierbij wordt
verondersteld dat deze voorraadkost recht evenredig is met het voorraadniveau.
V oorraad St+1
4 4 · Ch3 3 · Ch2 2 · Ch1 1 · Ch
44
Aankoopkost
De aankoopkosten zijn vanzelfsprekend enkel relevant in het geval een bestelling geplaatst wordt,
dus indien actie d2 of d3 gekozen wordt. Deze kosten omvatten enerzijds de vaste bestelkosten C0
en anderzijds de variabele aankoopkosten per eenheid of met andere worden de prijs.
In tegenstelling tot de voorraadkosten zijn de aankoopkosten wel afhankelijk van het prijsniveau
en van de beslissing die genomen wordt, maar niet van het huidige voorraadniveau. Met actie d1gaat geen aankoopkost gepaard en de bijhorende kostmatrix is bijgevolg gelijk aan de nulmatrix.
Bij acties d2 en d3 is deze kost uiteraard wel aanwezig. Deze is gelijk aan C0 + x · Pt waarbij
x gelijk is aan de bestelhoeveelheid en Pt de prijs op het ogenblik van bestellen voorstelt. De
verschillende mogelijkheden worden hieronder in matrixvorm weergegeven: