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TEMAS DE MATEMTICAS(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 1EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.
1. Introduccin.2. Construccin de .
2.1. Definicin Axiomtica.2.2. Forma Constructiva.
3. Adicin de Nmeros Naturales.3.1. Definicin.3.2.
Propiedades.
3.2.1. Asociativa.3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.3.2.3.
Conmutativa.
4. Producto de Nmeros Naturales.4.1. Definicin.4.2.
Propiedades.
4.2.1. Distributiva del Producto respecto de la Adicin.4.2.2.
Existencia de Elemento Absorbente.4.2.3. Existencia de Elemento
Neutro.4.2.4. Conmutativa.4.2.5. Asociativa.
4.3. Conclusiones.5. Orden en .6. Otras propiedades de .7.
Conjuntos Finitos.8. Divisin Eucldea.9. Sistemas de Numeracin.
9.1. Cambio de sistemas de numeracin.Bibliografa.
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TEMA 1
EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.
1. INTRODUCCIN.
Los nmeros naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el
hombre decontar. Un nmero cualquiera como el 5 es una abstraccin,
es una determinadapropiedad de algunos conjuntos.
Podemos construir los nmeros naturales de dos maneras:
a) Desde el punto de vista axiomtico.b) De manera constructiva,
con ayuda de la Teora de Conjuntos.
2. CONSTRUCCIN DE .
2.1. Definicin Axiomtica.
Construimos con un nmero infinito de elementos, todos ellos
distintos, llamadosnmeros naturales.
={0, 1, 2, 3, 4,}
Cada uno de los smbolos anteriores, excepto el que figura en
primer lugar, es elsiguiente de aquel que le precede.
Se verifican los siguientes axiomas, llamados postulados de
Peano:
Axioma 1: 0
Axioma 2: A cada nmero a se le asigna un siguiente s(a)=a* que
tambin esnatural y se verifica:
a; a S(a) / a; a b; b, si a=b S(a)=S(b)
Axioma 3: No existe ningn natural cuyo siguiente sea el 0.
a; a S(a)0
Axioma 4: a, b S(a)=S(b) a=b
Axioma 5 (de induccin matemtica o induccin completa):
K, K / 0K y a, aK S(a)K K=
Tambin es posible establecer el uno 1 como primer nmero natural,
siendo laconstruccin la misma.
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PROPIEDADES
1) a, b, si ab a*b* (axioma 4)
2) a aa* (axioma 5)
Construimos K={a / a y aa*}
Veamos que K. Por el axioma 3: 0K.
Supongamos que aK a*(a*)* a*K K
3) a y a0 b / a=b*
Construimos K={0}{a; b a=b*}
K0, ya que 0K. Supongamos aK, como K contiene todos los
siguientes,a*K K=
2.2. Forma Constructiva.
DEF Si K es un conjunto, llamamos siguiente de K al conjunto
K*=K{K}
A partir de este momento designaremos al conjunto por el smbolo
0.
= 00* = 0{0} = {0} = 11* = 1{1} = {0, 1} = 22* = 2{2} = {0,
1}{2} = 3
Hemos de asegurarnos de que este proceso puede continuar de
forma indefinida yque llegamos a obtener un determinado conjunto
infinito. Para ello necesitamos elAxioma del Infinito.
AXIOMA DEL INFINITO
Existe al menos un conjunto K0 que cumple:
a) 0K0b) aK0 a*K0
(Decimos que K0 es recurrente)
Sea ahora K la familia de todos los conjuntos que verifican el
axioma anterior(conjuntos recurrentes) y llamamos =K con KK.
es no vaco, ya que al menos existe un conjunto recurrente. es
recurrente (es trivial su comprobacin).
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es el conjunto recurrente ms pequeo, ya que si K es un conjunto
recurrente, pordefinicin de se tiene que verificar que NK.
El conjunto definido anteriormente verifica los axiomas de Peano
vistosanteriormente.
Por la construccin de , los axiomas 1, 2 y 5 son evidentes.
El axioma 3 se verifica si tenemos en cuenta que n*=n{n}=,
entonces {n}= yde aqu n, lo que no tiene sentido.
Para poder comprobar el axioma 4 necesitamos de unos resultados
previos:
DEF Un conjunto K es Transitivo a (aK aK)
LEMA Todo nmero natural es transitivo
dem.
Vamos a realizar la demostracin por induccin.
Llamamos C={n / n es transitivo}
1) 0C, porque 0 es vaco y se cumple la condicin por vacuidad.2)
Supongamos que nC, entonces
mn mnn* mn*mn* n*C C= c.q.d.
m=n m=nn* mn*
Podemos Probar ya el Axioma 4.
Supongamos m*=n* y supongamos mn
Entonces mm*=n*=n{n}, lo que implica mn pues mn y
tambinnn*=m*=m{m}, lo que implica nm
Se tiene mn y nm y como ambos son transitivos se verifica que nm
y mny por tanto m=n, lo cual es una contradiccin.
3. ADICIN DE NUMEROS NATURALES.
3.1. Definicin.
Sea f:x tal que (x,y)x, f(x,y) verificando:
1) f(x,0)=x, x2) f(x,y*)=[(f(x,y)*] x,y
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Esta aplicacin existe y es nica.
dem.
1) Existencia
Sea M={x / fx :{x}x, verificando fx(x,0)=x, fx(x,y*)=[fx(x,y)]*,
y}
0M, ya que f0 :{0}x / f0(0,y)=y, y.
f0(0,0)=0, f0(0,y*)=y*=(f0(0,y))*, y
Supongamos que xM, x*M?
fx*:{x*}x / fx*(x*,0)=x*, fx*(x*,y*)=[ fx*(x*,y)]*
Esta fx* ser fx*(x*,y)=[ fx(x,y)]* x*M, por tanto M=
Como esto se verifica x, podemos garantizar que f:x
2) Unicidad
Supongamos Mx={y / f(x,y)=g(x,y)}, x con f y g satisfaciendo
lascondiciones 1) y 2).
0Mx?, f(x,0)=g(x,0)=x
Si yMx, y*Mx?
f(x,y*)=[f(x,y)]*=[g(x,y)]*=g(x,y*) y*Mx
Luego Mx=, y como esto es x f=g
Por tanto, (x,y) podemos obtener f(x,y). A esta aplicacin se le
conoce con elnombre de adiccin de nmeros naturales. Se simboliza
por +.
Definicin axiomtica:
La aplicacin de nmeros naturales es una aplicacin +:x tal
que(x,y) x existe un nico nmero, llamado x+y=+(x,y) tal que:
1) +(x,0)=x+0=xx,y
2) +(x,y*)=x+y*=(x+y)*
Se Verifica:
1) x, x+1=x*
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2) x+y=0 x=0y=0
3.2. Propiedades.
3.2.1. Asociativa.
a,b,c, se tiene :(a+b)+c=a+(b+c)
Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos
los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que
M=
Sea M={x / (a+b)+x=a+(b+x) a,b}
0M, ya que (a+b)+0=a+b=a+(b+0)
Supongamos que xM (a+b)+x*=((a+b)+x)*=(a+(b+x))*=a+(b+x*)Luego
x*M M=
3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.
0 / x x+0=0+x=x
Sea el conjunto M={x / x+0=0+x}0M, trivialmente.si xM
Comprobemos que x*M
x*+0=x*=(x+0)*=(0+x)*=0+x* x*M y por tanto M=
3.2.3. Conmutativa.
a,b se verifica: a+b=b+a
Sea el conjunto A={x / x, x+1=1+x}
0A, trivialmente.si zA z*+1=(z+1)+1=(1+z)+1=1+(z+1)=1+z* A=
Sea el conjunto B=={x / x, x+a=a+x}
0B, ya que 0 es el elemento neutro.Comprobemos que
z*Ba+z*=a+(z+1)=(a+z)+1=(a+z)*=(z+a)*=(z+a)+1=z+(a+1)=z+(1+a)=
=(z+1)+a=z*+a B=
Con estas tres propiedades tenemos que (,+) es semigrupo aditivo
de los nmerosnaturales.
Para ser un grupo le falta tener la propiedad de Elemento
Opuesto.
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4. PRODUCTO DE NMEROS NATURALES.
4.1. Definicin.
Sea f:x / (x,y)x, f(x,y), verificando:
a) f(x,0)=0, xb) f(x,y*)=f(x,y)+x, x,y
Esta aplicacin existe y es nica.
dem.
1) Existencia.
Sea M={x / fx :{x}x, verificando fx(x,0)=0, fx(x,y*)=fx(x,y)+x,
y}
0M, pues si definimos fx como la aplicacin nula f0, verifica las
condiciones.
Supongamos que xM y vamos a comprobar que x*M
fx*:{x*}x / fx*(x*,0)=0, fx*(x*,y*)=fx*(x*,y)+x*
Esta fx* ser fx*(x*,y)=fx(x,y)+y; As definida veamos que cumple
las doscondiciones para pertenecer a M
1) fx*(x*,0)=fx(x,0)+0=fx(x,0)=02) fx*(x*,y*)=fx(x,y*)+y*=
fx(x,y)+x+y*= fx(x,y)+x+(y+1)=
fx(x,y)+(x+1)+y= fx(x,y)+x*+y= fx(x,y)+y+x*= fx*(x*,y)+x*
Por tanto x*M lo cual implica que M=
2) Unicidad.
Supongamos que existen f y g dos funciones verificando las dos
condiciones delproducto.
Sea M={y / fx(x,y)=gx(x,y) x} Comprobemos que M=
0M ya que fx(x,0)=0=gx(x,0) x
Supongamos que yM y veamos que y*M
fx(x,y*)=fx(x,y)+x=gx(x,y)+x=gx(x,y*)
Por tanto M= lo cual significa que f=g
Se simboliza por
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Definicin Axiomtica de multiplicacin de nmeros naturales:
A cada par x e y se le asocia uno y slo un nmero natural, que
designaremospor xy=(x,y) y que se llama producto de x por y, y
verifica:
a) x0=0 xb) xy*=xy+x, x,y
Se verifica que x1=x x
4.2. Propiedades.
4.2.1. Distributiva de la multiplicacin respecto de la
adicin.
Distributiva por la derecha (a+b)c=ac+bca,b,c
Distributiva por la izquierda c(a+b)=ca+cb
Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos
los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que
M=
Sea el conjunto M={x / x, (a+b)x=ax+bx}
0M ya que (a+b)0=0=a0+b0
Supongamos que zM, comprobemos que z*M
(a+b)z*=(a+b)z+(a+b)=az+bz+a+b=az+a+bz+b=az*+bz*
Por tanto M= (anlogamente por la izquierda).
4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente en ( ,)
El cero 0 es el elemento absorbente de (,) pues
b se verifica b0=0=0b
ab+0=ab=(a+0)b=ab+0b 0b=0 Como b0=0 b0=0b
Una demostracin alternativa puede ser:
b0=b(0+0)=b0+b0 b0=0
Anlogamente para 0b=0
4.2.3. Existencia de Elemento Neutro en ( ,).
El uno 1 es el elemento neutro ya que verifica a1=a=1a
Para comprobarlo definimos M={x / 1x=x}
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0M, ya que es el elemento neutro: 10=0
Supongamos que zM y comprobemos que z*M
1z*=1(z+1)=1z+1=z1+1=z+1=z*
Por tanto z*M M=
4.2.4. Conmutativa.
ab=ba a,b
Sea M={x / ax=xa a}
0M, trivialmente.
Supongamos que zM
az*=a(z+1)=az+a=a+az=a+za=(1+z)a=z*a
Entonces M=
4.2.5. Asociativa.
(ab)c=a(bc) a,b,c
Sea M={x / (ab)x=a(bx)}
Como (ab)0=0= a(b0)=a0 0M
Supongamos que xM. Veamos que x*M
(ab)x*=(ab)(x+1)=(ab)x+ab=a(bx)+ab=a(bx+b)=a(b(x+1))=a(bx*)
Entonces x*M
Por lo tanto M=
Teniendo en cuenta las propiedades de la adicin y la
multiplicacin de nmerosnaturales, podemos decir que (,+,) es un
semianillo conmutativo con elementounidad.
4.3. Conclusiones.
1) En (,) no existen divisores de cero.
m0 y n0 mn0
2) Ley de Simplificacin.
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a) Si a+b=a+c b=c ab) Si ab=ac b=c a-{0}
3) Ley de Monotona
a) Si a=b a+c=b+c cb) Si a=b ac=bc c
5. ORDEN EN .
DEF Dados los nmeros naturales a y b, se dice que a es menor que
b y se escribea
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Para comprobar que es una relacin de orden hemos de comprobar
que severifican las propiedades reflexiva, antisimtrica y
transitiva.
1) Reflexiva: aa ya que a+0=0 a.
2) Antisimtrica:Como ab c / a+c=bComo ba d / b+d=aEntonces
a+c+d=a y por tanto c+d=0 lo que signifi-ca que c=d=0 y por tanto
a=b
3) Transitiva:Como ab d / a+d=bComo bc e / b+e=c
De ambas expresiones obtenemos a+(d+e)=cY como d+e ac
6. OTRAS PROPIEDADES DE .
PROP El conjunto con la relacion est bien ordenado. Es decir,
todo subconjunto Cde tiene elemento mnimo (Se entiende por elemento
mnimo mC / mc cC).
dem.
Tenemos C con C.
Podemos encontrarnos dos situaciones:
1) 0C. En este caso 0=minC2) 0C
Sea el conjunto A={x / x0 / x+d=c xc cC xC AC=
Luego A
0A, por tanto A es no recurrente
Debe existir a0A / ao* A
Como a0
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OBS La relacin de orden es compatible con las operaciones suma y
productodefinidas anteriormente:
1) ab a+c b+c c2) ab ac bc c
TEOREMA DEL EXTREMO
Toda parte A de no vaca y acotada superiormente tiene elemento
mnimo.
dem.
Sea S el conjunto formado por las cotas superiores de A.
Teniendo en cuenta la propiedad anterior,
s0S / s0=minS
Si s0=0 A={0} y 0=maxASi s00 s0=maxA ya que el anterior, r0, a
s0 no sera cota superior, lo
que significa que a0A / r0
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8. DIVISIN EUCLDEA.
PROP Dados D,d con d0, existen c,r nicos verificando D=dc+r con
r
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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIN.
Sea b con b>1. Entonces todo n se puede expresar de forma
nica comon=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp
con n0, n1, n2,,np, np0 y ni
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PROP Sea n=npnp-1n2n1n0 un nmero escrito en base b. Si
multiplicamos el nmeron por una potencia cualquiera de la base,
entonces
nbk= npnp-1n2n1n0000 con k ceros
dem.
Como n=npnp-1n2n1n0, escribiendolo de forma polinmica
tenemosn=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp
Si multiplicamos los dos miembros de la expresin por bk
queda:nbk=n0bk+n1bk+1+n2bk+2+n3bk+3++npbk+p
y completando el polinomio:
nbk=0+0b+0b2++0bk-1+n0bk+n1bk+1+n2bk+2+n3bk+3++npbk+p
volviendo a escribir n segn el convenio establecido, obtenemos
la expresinbuscada.
PROP n en base b tiene p+1 cifras bpn
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PROP Sean n y n dos nmeros en base b que tienen p y p cifras
respectivamente.Entonces p
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Tambin podemos calcular el valor del polinomio con slo obtener
el resto de ladivisin del polinomio por la base, utilizando para
ello la regla de Ruffini.
b) Dado un nmero en base 10, hallar su expresin en una base
cualquiera b.
Dado el nmero n en base 10, consiste en calcular los
coeficientes del polinomion=n0+n1b+n2b2+n3b3++npbp
Basta dividir el nmero sucesivamente hasta conseguir un cociente
que sea menorque b. El nmero en base b estar formado por el ltimo
cociente y la sucesin de restosobtenida en orden inverso.
c) Dado un nmero n en base b, hallar su expresin en otra base
b.
Este cambio se realiza pasando el nmero n en base b a base
decimal y luego debase decimal a base b.
9.2. Operaciones bsicas entre nmeros en una base cualquiera.
a) Suma.
En un sistema de base b, para sumar dos nmeros se procede de
forma anloga acomo se hace en el sistema decimal.
En cualquier base se usan las mismas reglas ya establecidas para
el sistemadecimal.
b) Producto.
Las reglas de la multiplicacin en una base cualquiera son
anlogas a las delsistema decimal. Es necesario saber las tablas de
multiplicar para los nmeros menoresque la base.
9.3. Sistemas de Numeracin ms utilizados.
El sistema binario (base 2) es el ms utilizado como lenguaje
interno de losordenadores (cdigo mquina). Los smbolos que utiliza
son 0 y 1.
Debido a la cantidad de dgitos que se requieren para representar
en binario lainformacin en un ordenador, se recurre a usar los
sistemas octal y hexadecimal.
El sistema octal es el sistema de numeracin en base 8 y utiliza
por tanto ochosmbolos para representar las cantidades. Los smbolos
utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y7. Cada cifra octal corresponde
a tres dgitos binarios.
El sistema hexadecimal es el sistema de numeracin en base 16 y
utiliza dieciseissmbolos para representar las cantidades. Los
smbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E y
F. Cada cifra hexadecimal corresponde a 4 dgitos binarios.
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Bibliografa.
Matemticas Bsicas, curso de acceso. UNEDEstructura y tecnologa
de Computadores I. UNED.Anlisis Matemtico I. Aut: J. A. Fernndez
ViaAnlisis Matemtico. Aut. Julio Rey Pastor, Pedro Pi, Cesar Trejo.
Ed. KapeluszAnlisis Matemtico I. Aut. Jess Fernndez Novoa. Ed.
UNED
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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)
TEMA 2
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS.DIAGRAMAS EN
ARBOL.
1. Introduccin.2. Definicin de grafo.
2.1. Grafo Simple.2.2. Grafo General.2.3. Grafo Orientado.2.4.
Grafo Nulo.2.5. Grafo Completo.2.6. Grafo Regular.2.7. Grafo
Bipartido.
3. Operaciones entre Grafos.3.1. Isomorfismos y
homomorfismos.3.2. Combinaciones.3.3. Supresiones y
Contracciones.3.4. Complementos.
4. Trayectorias. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos.4.1.
Trayectorias.4.2. Los puentes de Knigsberg.4.3. Grafos
Eulerianos.4.4. Grafos Hamiltonianos.
5. Matrices y Grafos.5.1. Matriz de Adyacencia.5.2. Matriz de
Incidencia.
6. Planaridad y dualidad.6.1. Grafos Planares.6.2. Grafos
Duales.
7. Diagramas en rbol.7.1. La enumeracin de rboles.
8. Coloreado de Grafos.9. Aplicaciones de la teora de
Grafos.
9.1. El teorema matrimonial de Hall.9.2. El teorema de
Menger.9.3. La teora de matroides.
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TEMA 2
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DE LA TEORIA DE GRAFOS.DIAGRAMAS EN
ARBOL.
1. INTRODUCCIN.
La teora de grafos, que naci como una rama de la Topologa, se ha
convertido hoyen da en una herramienta matemtica indispensable en
campos tan diversos como lainvestigacin operativa, la lingstica, la
qumica, la fsica, la gentica, la teora de redeso la teora de la
decisin.
Es por ello, que para casi cualquier rama de la ciencia, se hace
indispensable elconocimiento, a travs de conceptos globales, de las
ideas bsicas que sustentan a ladenominada teora de grafos.
Este tema tiene por objetivo introducir al lector en estos
conocimientos bsicos atravs de una breve pero, esperamos, clara
exposicin de las lneas generales de estateora.
2. DEFINICIN DE GRAFO.
Se denomina grafo G al par (V(G), E(G)), en el que V(G) es un
conjunto no vacode elementos denominados vrtices (tambin llamados
nodos o puntos) y E(G) es unconjunto finito de pares no ordenados
de elementos de V(G) denominados aristas(igualmente lneas). Al
conjunto de elementos de V(G) se le denomina conjunto devrtices y
al conjunto de elementos de E(G) conjunto de aristas.
As, sea el conjunto de vrtices V(G)={u, v, w, z} y el conjunto
de aristasE(G)={{u, v}, {u, w}, {w, z}}, se dice que {u, v} es la
arista que une los puntos u y v, yse le designa de forma abreviada
por uv. Si u=v la arista recibe el nombre de lazo. Larepresentacin
de dicho grafo es la siguiente:
Se dice que dos vrtices u y w de un grafo G sonadyacentes si el
grafo contiene una arista que los une.Se dice tambin que los
vrtices son incidentes endicha arista. Anlogamente, se dice que dos
aristasson adyacentes si tienen, al menos, un vrtice encomn.
Se denomina grado de un vrtice v de G al nmero de aristas que
inciden en v, y sedesignar g(v) (un lazo en v contribuye de manera
doble al grado de v). A un vrtice degrado 0 se le denomina vrtice
aislado. A un vrtice de grado 1 se le denomina vrticeterminal o
extremo.
Un subgrafo de un grafo G, es un grafo cuyos vrtices pertenecen
a V(G) y cuyasaristas pertenecen a E(G).
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En los siguientes apartados de este punto se expone la tipologa
ms comn de losgrafos.
2.1. Grafo Simple.
Se denomina grafo simple al grafo G={V(G), E(G)} que verifica
que para todo u, vperteneciente a V(G), existe a lo sumo una nica
arista {u, v} de E(G) que los une.
Grafo Simple [u, vV(G) !{u, v}E(G)]
Ejemplos de grafos simples seran los siguientes:
2.2. Grafo General.
Se denomina grafo general o simplemente grafo, al grafo G=(V(G),
E(G)), conV(G) conjunto de vrtices y E(G) conjunto de aristas.
De esta forma, un grafo general puede representar dos vrtives
unidos por ms deuna arista. Igualmente, una arista no tiene porque
unir dos vrtices diferentes,pudindose hablar de la arista {u, u}. A
la arista que une un vrtice consigo mismo se ledenomina Lazo.
La representacin grfica de estetipo sera:
2.3. Grafo Orientado.
Un grafo orientado D, tambin denominados redes o digrafos, se
define como unpar (V(D), A(D)), donde V(D) es un conjunto finito no
vaco de elementos llamadosvrtices, y A(D) es una familia finita de
pares ordenados de elementos de V(D)llamados arcos (o aristas
orientadas o di-aristas). En base a la existencia o no de
lazos,podremos hablar de digrafos generales o digrafos simples.
A continuacin se muestra el diagrama del digrafo general (V(D),
A(D)), conV(D)={u, v, w, z} y A(D)={uv, vv,uw, vw, wv, wu, wz}
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2.4. Grafo Nulo.
Se denomina grafo nulo a un grafo dondeE(G) es vaco, es decir,
el conjunto de aristases el conjunto vaco. Obviamente en este
tipode grafo todo vrtice es aislado.
2.5. Grafo Completo.
Un grafo completo es un grafo simple enel que cualquier par de
vrtices sonadyacentes. Un grafo completo de n vrticestiene 2
)1(2
=
nnn aristas. El resultado se
obtiene por combinaciones de n vrticestomados de dos en dos.
2.6. Grafo Regular.
Se llama grafo regular a un grafo cuyos vrtices tienen todos el
mismo grado. Si elgrado de cada vrtice es r, se tiene un grafo
regular de grado r.
Todo grafo nulo es un grafo regular de grado 0. Todografo
completo con n vrtices es un grafo regular degrado n-1.
Especial mencin merece un tipo de grafo regular llamado grafo
platnico, grafosformados por los cinco slidos regulares (tetraedro,
cubo, octaedro, dodecaedro eicosaedro).
2.7. Grafo Bipartido.
Sea un grafo G y sea su conjunto de vrticesV(G) que puede ser
expresado como la unin disjuntade dos subconjuntos de vrtices V1 y
V2 de forma quecada arista de G une un vrtice de V1 con otro de
V2,entonces se dice que G es un grafo bipartido y seescribe G(V1,
V2).
3. OPERACIONES ENTRE GRAFOS.
3.1. Isomorfismo y Homomorfismo.
Se dice que dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existe una
correspondenciabiunvoca entre los vrtices de G1 y los de G2, con la
propiedad de que el nmero dearistas que unen cada dos vrtices de G1
es igual al nmero de aristas que unen losvrtices correspondientes
de G2.
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Veamos el ejemplo siguiente, donde G1 tiene el conjunto de
vrtices {u, v, w, x, y,z} y G2 tiene {l, m, n, p, q, r}. G1 y G2
son isomorfos bajo la correspondencia ul,vm, wn, xp, yq, zr
Dos grafos son homomrficos (o idnticos salvo vrtices de grado 2)
si ambospueden ser obtenidos a partir del mismo grafo insertando
nuevos vrtices de grado dosen sus aristas.
Ejemplo: Sea el grafo G representado por el siguiente
diagrama:
G(V(G), E(G))V(G)={v1, v2, v3, v4}E(G)={v1v2, v1v3, v3v2,
v2v4}
Construimos dos grafos homomrficos entre s G1 y G2 a partir del
anterior grafo G.Para ello, y partiendo de G, tomamos algunas de
sus aristas y le insertamos un vrticede grado dos.
Construimos G1:
Sea la arista v1v2 del grafo G,insertamos un nuevo vrtice v de
grado2, de tal forma que el grafo G1resultante sera:
De igual manera construimos G2:
Sea la arista v1v3G, insertamos elvrtice v de grado 2 de tal
forma queel grafo resultante G2 es:
Se concluye que G1 y G2 son homomrficos.
3.2. Combinaciones.
Sean dos grafos G1=(V(G1); E(G1)) y G2=(V(G2), E(G2)) con V(G1)
y V(G2)disjuntos. Se define el grafo unin como G1G2 tal que
G1G2=(V(G1)V(G2), E(G1),E(G2)).
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Se dice que un grafo es conexo si no puede ser expresado como la
unin de dosgrafos, en caso contrario ser inconexo. Cualquier grafo
inconexo G puede verseexpresado como la unin de un conjunto finito
de grafos conexos.
Un grafo circuito es un grafo conexo regular de grado dos. El
grafo circuito de nvrtices es designado Cn.
Igualmente, sean los grafos G1 y G2, se define el grafo suma, y
se denota por G1+G2como la unin de ambos grafos, trazndose a
continuacin una arista entre cada vrticede G1 y cada vrtice de
G2.
Sean los grafos G1=(V(G1), E(G1)) con V(G1)={u, v, w, x, y, z} y
G2=(V(G2),E(G2)) con V(G2)={l, m, n} representados de la forma
siguiente:
Se representa el grafo G1G2 de la forma:
Y el grafo G1+G2 como:
3.3. Supresiones y Contracciones.
Sea F un conjunto de aristas del grafo G, se denomina G-F al
grafo que se obtienecuando se suprime en G el conjunto de aristas
F.
Anlogamente, sea H un conjunto de vrtices del grafo G, se
denomina G-H al grafoque resulta cuando se suprimen en G los
vrtices que hay en H y las aristas que incidenen ellos.
Sea el grafo G y en l la arista e, se denomina G/e al grafo
obtenido de contraer enl la arista e, es decir, eliminar la arista,
identificando a continuacin sus extremos v yw, de forma que el
vrtice resultante es incidente a aquellas aristas que
originalmenteeran incidentes a v y w (excepto la propia arista e).
En consecuencia, se llama
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contraccin de G a cualquier grafo que se obtiene a partir de G,
despus de efectuarcontracciones de algunas de sus aristas.
Sea el grafo G1=(V(G1),E(G1)) con V(G1)={u, v, w, x}y E(G1)={uu,
uv, vw, wu, wx,xv} y sea F={uw, xv}, serepresenta el grafo supresin
G-F de la forma siguiente:
3.4. Complemento.
Sea G un grafo simple, cuyo conjunto de vrtices es V(G), el
complemento(G) de G(denotado por G ) es el grafo simple que tiene a
V(G) como conjunto de vrtices, en elcual dos vrtices son adyacentes
si y slo si no son adyacentes en G.
Con el grafo G definido en elapartado anterior, se construye el
grafocomplemento de G de la siguienteforma:
4. TRAYECTORIAS. GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS.
4.1. Trayectorias.
Sea una secuencia de aristas v0v1, v1v2,..., vm-1vm, en la que
todas las aristas sondiferentes, entonces se le denomina cola. Si
adems los vrtices v0, v1,..., vm, sondiferentes (excepto el primero
y el ltimo que pudieran coincidir), la secuencia dearistas
resultante se llama trayectoria. Una trayectoria es cerrada si
v0=vm, y unatrayectoria cerrada que posee al menos un lado es
denominada circuito.
Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones:
Cola:
Trayectoria:
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Trayectoria cerrada:
Al vrtice v0 se le denomina vrtice inicial y al vm vrtice final.
La longitud de unasecuencia de aristas es el nmero de aristas que
posee.
TEOREMA: Si G(V1, V2) es un grafo bipartido, todo circuito en G
tiene longitudpar.
TEOREMA: Sea G un grafo simple de n vrtices, si G tiene k
componentes(subgrupos disjuntos) el nmero de aristas de G cumple la
siguiente relacin:
)1)((21
+ knknmkn m = nmero de aristas
Se denomina conjunto desconectador de un grafo conexo G al
conjunto de aristasde G cuya eliminacin desconecta a G. Un conjunto
corte ser un conjuntodesconectador del que ningn subconjunto suyo
es un conjunto desconectador.
Sea el grafo G, donde V(G)={v, w, x, y, z} y E(G)={vw, vx, wy,
yz, wx, wz, xy,xz}, el conjunto de aristas D={wy, wz, xy, xz} es un
conjunto desconectador de G, yaque si en G procedemos a la
eliminacin de las aristas de D queda el grafo inconexo quea
continuacin se expone.
4.2. Los Puentes de Knigsberg.
En el siglo XVIII, la ciudad de Knigsberg, en Prusia, tena dos
islas y siete puentessegn indica la figura:
El alcalde de la ciudad escribi aEuler plantendole la siguiente
cuestin:Es posible que una persona cruce lossiete puentes pasando
por cada uno deellos una sola vez?
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Euler prob que era imposible lo que el alcalde propona. Sustituy
la isla y lasorillas por puntos y los puentes por lneas que unan
dichos puntos, obteniendo as elsiguiente grafo:
El grafo ser recorrible si existe uncamino que contenga todos
los vrticesy que pase por cada arista exactamenteuna vez.
Supongamos que haya un camino que no empiece ni termine en un
vrtice u. Cadavez que el camino llegue a u debe de salir por otro
que no haya sido utilizado. De esamanera, las aristas del camino
incidentes con u deben aparecer de dos en dos, es decir, ues par.
As, si v es impar, el camino debe empezar y terminar en Q.
Basndose en ese razonamiento, se deduce que no puede haber ms de
dos vrticesque sean impares. El grafo anterior tiene cuatro vrtices
impares, por lo que no esrecorrible.
4.3. Grafo Euleriano.
Se denomina grafo euleriano, a un grafo conexo G que tiene una
cola cerrada queincluye todas las aristas de G.
TEOREMA de Euler: Un grafo es euleriano si y slo si cada vrtice
es de gradopar. Si tiene exactamente dos vrtices impares es
recorrible (la cola no ser cerrada) y sellama semieuleriano.
A continuacin se muestran ejemplos de grafos no eulerianos,
semieulerianos yeulerianos respectivamente.
4.4. Grafo Hamiltoniano.
Se denomina grafo hamiltoniano, si existe un camino cerrado que
contiene todoslos vrtices una sola vez (no tiene porque contener
todas las aristas). Un grafo que poseauna trayectoria que pase a
travs de cada vrtice es denominado semihamiltoniano.
Los siguientes ejemplos corresponden a un grafo no
hamiltoniano,semihamiltoniano y hamiltoniano respectivamente.
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5. MATRICES Y GRAFOS.
Dado un grafo G con m vrtices y n aristas, podemos asociar
matrices a G, muytiles para el clculo.
5.1. Matriz de Adyacencia.
Es la matriz A=(aij) de orden mxm definida por:
= contrariocasoenvaadyacenteesvsika jiij 0
donde k es el nmero de aristas queunen el vrtice vi con el
vj
La matriz de adyacencia es muy til para decidir cuestiones de
conexin, pues si Aes la matriz de adyacencia de un grafo con m
vrtices donde m>1, entonces el trminoaij de la matriz An nos da
el nmero de caminos de longitud n que van del vrtice vi alvrtice
vj. La demostracin se puede hacer por induccin en n.
5.2. Matriz de Incidencia.
Es la matriz M=(mij) de orden mxm tal que mij es 1 si el vrtice
vi es incidente con laarista ej y cero en caso contrario.
6. PLANARIDAD Y DUALIDAD.
6.1. Grafos Planares.
Se denomina grafo planar a un grafo trazado en el plano de forma
que ningn par dearistas se cortan geomtricamente, excepto en el
vrtice que ambas inciden.
Ejemplos de grafos planares son:
Igualmente se dice que un grafo es planar si puede ser empotrado
en el plano, esdecir, dibujado sin cruces.
A continuacin se exponen algunos teoremas y corolarios
referentes a la teora degrafos planos.
TEOREMA: El grafo K3,3 (grafo bipartido completo con seis
vrtices y nuevearistas) y el grafo K5 (grafo regular de grado
cuatro, cinco vrtices y diez aristas) son noplanares.
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La demostracin de este teorema (que omitiremos en este tema dada
sucomplejidad) se puede realizar de dos maneras distintas, por el
teorema de Jordan o porla frmula de Euler.
TEOREMA de Kuratowski: Un grafo es planar si y slo si no
contiene ningnsubgrafo que sea homomrfico a K5 y K3,3.
Frmula de Euler: el teorema o frmula de Euler, relaciona el
nmero de vrtices,aristas y caras de un grafo plano conexo G.
Sea un punto del plano x, se dice que x es disjunto de G si x no
representa ni unvrtice de G ni un punto que pertenezca a una arista
de G. En este contexto, se definecara de G que contiene a x como al
conjunto de todos los puntos del plano que puedenser alcanzados
desde x siguiendo una curva de Jordan, cuyos puntos sean
todosdisjuntos de G.
Dos puntos del plano x e y son equivalentes si ambos son
disjuntos de G y puedenser unidos por una curva de Jordan cuyos
puntos sean todos disjuntos de G. Estarelacin de equivalencia sobre
los puntos del plano disjuntos de G define clases deequivalencia a
las que se denominan caras de G.
TEOREMA: Si G es un grafo plano conexo, y sea n el nmero de
vrtices, m elnmero de aristas y f el de caras de G, se cumple la
siguiente relacin:
n-m+f=2 (vrtices aristas + caras = 2)
dem.
La demostracin de este teorema se hace por la tcnica matemtica
de lainduccin, en este caso sobre el nmero de aristas m.
Caso m=0
Sea el nmero de aristas m=0, y dado que G es conexo, se tiene
que el nmerode vrtices n=1 y f=1. Por tanto el teorema queda
demostrado para m=0.
Caso m-1
Hiptesis de induccin, suponemos ahora el teorema cierto para
todos los grafosplanos conexos tales que tiene m 1 aristas: n ( m
1) + (f 1) = 2
Caso m
Sea ahora G un grafo planar conexo, y e una arista contenida en
algn circuitode G. Entonces G e es un grafo planar conexo con n
vrtices, m 1 aristas y f 1caras, de forma que G e verifica:
n ( m 1) + (f 1) = 2 por la hiptesis de induccin.
De aqu se desprende que G cumple el teorema: n m + f = 2.
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COROLARIO: Si G es un grafo plano con n vrtices, m aristas, f
caras y kcomponentes, se cumple que:
n m + f = k +1
COROLARIO: Si G es un grafo planar conexo simple de n vrtices
(n3) y maristas, se cumple m 3n 6.
TEOREMA: Todo grafo planar simple contiene un vrtice cuyo grado
es a lo sumocinco.
dem.
Se supone, sin prdida de generalidad, que el grafo es plano y
conexo, y quecontiene al menos tres vrtices. Si todo vrtice tuviera
grado 6 como mnimo, setendra que 6n2m, con lo que se llega a una
contradiccin. Por tanto se tiene que elgrado es a lo sumo de
cinco.
6.2. Grafos Duales.
Sea G un grafo plano, se llama grafo dual de G y se denota por
G*, aquel construidode la siguiente manera:
a) Se elige un punto vi en cada cara Fi de G. Estos puntos son
los vrtices de G*.
b) Por cada arista eG se traza una lnea e* que atraviesa
nicamente la arista e, yse unen los vrtices vi pertenecientes a las
caras adjuntas a e. Estas lneas son lasaristas de G*.
A continuacin se ilustra este procedimiento de construccin con
un ejemplo:
Como teoremas significativos dentro de la teora de grafos
duales, se comentan lossiguientes:
TEOREMA: Si G es un grafo plano de n vrtices, m aristas y f
caras, y su dual G*tiene n* vrtices, m* aristas y f* caras, se
cumplen las siguientes relaciones:
n* = f m* = m f* = n
dem.
La demostracin de las dos primeras expresiones salen
directamente a partir dela aplicacin de la definicin de dualidad.
Para demostrar la tercera expresin, se hade sustituir las dos
primeras en la denominada frmula de Euler.
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7. DIAGRAMAS EN RBOL.
La teora de rboles fue enunciada y elaborada por Cayley.
Un grafo que no posee ningn circuito se denomina bosque, si
adems es un bosqueconexo, se denomina rbol.
Como ejemplos representativos derboles se tienen los
siguientes:
Algunas de las propiedades caractersticas de los rboles son las
siguientes:
TEOREMA: Sea T un grafo con n vrtices. Los siguientes enunciados
sonequivalentes:
1) T es un rbol.2) T no contiene ningn circuito, y posee n 1
aristas.3) T es conexo y tiene n 1 aristas.4) T es conexo y cada
arista es un istmo.5) Cada dos vrtices de T estn conectados por una
nica trayectoria.6) T no contiene ningn circuito, pero la adicin de
cualquier nueva arista crea
exactamente un circuito.
dem.
Si n = 1 los seis enunciados son triviales. Supondremos, por
tanto, que n2.
Para la demostracin del teorema, demostraremos las
implicacionesconsecutivas, es decir, 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1).
1) 2)
T es rbol y por definicin no contiene ningn circuito. Esto
conlleva quela eliminacin de cualquier arista va a dividir a T en
dos grafos. Cada uno deestos grafos es un rbol. Por ello, y por
induccin, el nmero de aristas en cadauno de los rboles es menor, en
una unidad, que el nmero de vrtices que tieneel grafo total. Por
tanto, el nmero total de aristas de T es n 1.
2) 3)
Si T fuera inconexo, entonces cada componente de T sera un
grafoconexo sin ningn circuito y, por tanto, segn se ha demostrado
antes, el nmerode vrtices de cada componente excedera en 1 del
nmero de aristas. Por tanto,el nmero total de vrtices de T excedera
en al menos 2 del nmero total dearistas. Hemos llegado a una
contradiccin, pues T tiene n 1 aristas. Esto esporque se parte de
una premisa falsa, es decir, el hecho de que T fuera inconexo.Por
tanto T es conexo.
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3) 4)
La eliminacin de cualquier arista dara lugar a un grafo con n
vrtices yn 2 aristas, que ser inconexo.
4) 5)
Como T es conexo, se sigue que cada par de vrtices han de
estarconectados por al menos una trayectoria. Dados dos vrtices, si
estos estuvieranconectados por dos trayectorias, entre ellos habra
un circuito, contradiccin conque toda arista es un istmo.
5) 6)
Por reduccin al absurdo, si T tuviese un circuito, cualquier par
devrtices incluidos en el circuito estaran conectados por, al
menos, dostrayectorias, lo que es una contradiccin con las
premisas. Si aadimos unaarista e a T, se crear un circuito ya que
los vrtices incidentes a e ya estnconectados en T.
6) 1)
Supongamos que T no es un rbol, por tanto es inconexo. Si le
aadimoscualquier arista que una un vrtice de una componente a un
vrtice de otra, no secrear ningn circuito. Sin embargo, por el
punto 6) se tiene que al aadir unanueva se crea un circuito, por
tanto tenemos una contradiccin.
COROLARIO: Un bosque G con n vrtices y k componentes tiene n k
aristas.
TEOREMA: Todo rbol G tiene al menos un vrtice de grado 1.
dem.
Sean los vrtices del rbol v1, v2,...,vn. Partiendo de v1 vamos a
su vecino v2. Siel grado de v2 es 1, ya est probado el teorema. En
cualquier otro caso, vamos alvrtice v3 a travs de otra arista. De
esta forma se puede obtener el camino v1v2v3...en el que ninguno de
los vi son iguales por la definicin de rbol. Como el nmerode
vrtices es finito, el camino tiene un ltimo vrtice vj.
Evidentemente, stetendr grado 1, ya que se ha llegado a l y no se
puede dejar.
TEOREMA: Existe un nico camino entre dos vrtices cualesquiera v
y w de unrbol.
TEOREMA: Sea G un grafo conecto (dos vrtices cualesquiera se
encuentranunidos por un camino) de n vrtices y n 1 aristas,
entonces es un rbol.
7.1. La enumeracin de rboles.
La enumeracin de grafos tiene por objeto encontrar el nmero de
grafos noisomorfos que poseen una propiedad determinada.
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En general, se denomina grafo etiquetado de n vrticesa un grafo
a cuyos vrtices se le asignan nmeros enterosde 1 a n, es decir, se
trata de una aplicacin biunvoca delconjunto de vrtices de G sobre
el conjunto {1, 2, 3,..., n}.El grafo etiquetado se designa
(G,&) donde & es eletiquetado.
Ejemplo de rbol etiquetado:
TEOREMA: El nmero de rboles en los cuales el vrtice vi tiene
grado di+1, v2tiene grado d2+1,..., vn tiene grado dn+1 viene
determinado por el nmero combinatorio:
!!...!)!2(
,...,,2
2121 nn dddn
dddn
=
dem.
Como el grado de cada vrtice es por lo menos 1, di son enteros
no negativos. Sise aaden los grados de cada vrtice y se cuentan
cada una de las n 1 aristas dosveces, se tiene
(d1+1)+(d2+1)+...+(dn+1) = 2(n 1)
A partir de aqu se tendr la demostracin del teorema.
Ejemplo: Nmero de rboles con grado para el primer vrtice 3, para
el segundo 3 ydel tercero al sexto 1.
Como d1=d2=2 y d3=d4=d5=d6=0, entonces el nmero de rboles
es6!2!2
!40,0,0,0,2,2
4==
Dichos rboles son:
TEOREMA de CAYLEY: Existen nn 2 rboles etiquetados diferentes de
nvrtices.
Existen varios mtodos de demostracin para este teorema. Uno de
ellos debidoa Prufer y Clarke, y es:
Se establece una correspondencia biunvoca entre el conjunto de
rbolesetiquetados de orden n y el conjunto de todos los smbolos
ordenados (a1, a2,..., an-2)
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donde ai est definido como entero entre 1 y n. Dado que existen
nnnn (n 2veces) de tales smbolos, la demostracin se tiene casi
inmediata.
8. COLOREADO DE GRAFOS.
Se dice que un grafo G sin lazos es k-coloreablesi puede
asignarse a cada uno de sus vrtices unode k colores dados de forma
que ningn par devrtices adyacentes tengan el mismo color. Si
escoloreable de grado k pero no de grado k 1,entonces G es
k-cromtico. Como ejemplo, sea elsiguiente grafo 4-cromtico.
TEOREMA: Un grafo G cuyo mximo grado de vrtice es &,
entonces es (&+1)-coloreable.
dem.
Utilizaremos la induccin sobre el nmero de vrtices. Si G tiene n
vrtices, si sesuprime un vrtice, el mayor grado para ste ser &.
Por hiptesis de induccin, estegrafo es (&+1)-coloreable.
TEOREMA: Si G es un grafo simple conexo no completo, si el mayor
de losgrados de sus vrtices es & (3), entonces es
&-coloreable.
TEOREMA: Todo grafo planar es 5-coloreable.
9. APLICACIONES DE LA TEORA DE GRAFOS.
Son varias las aplicaciones y usos que las distintas ciencias o
reas hacen de lateora de grafos. La aplicacin ms importante dentro
de la matemtica moderna seencuentra en el campo de la
combinatoria.
Veamos algunos de los ejemplos ms importantes:
9.1. El Teorema Matrimonial de Hall.
Sea un conjunto finito de muchachos, cada uno de los cuales
conoce a varias chicas.En qu condiciones se pueden formar los
matrimonios de tal forma que cada uno de losmuchachos se case con
la chica que conoce?
TEOREMA de Hall
Una condicin necesaria y suficiente para la solucin del problema
matrimonial esque cada conjunto de k jvenes conozca colectivamente
k chicas al menos (1km).
9.2. El teorema de Menger.
Determinacin del nmero de trayectorias que unen dos vrtices
dados u, v de ungrafo G.
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TEOREMA de Menger.
El nmero mximo de trayectorias de vrtices disjuntos que conectan
dos vrticesdiferentes no adyacentes v y w de G es igual al nmero
mnimo de vrtices de unsubconjunto separador vw.
TEOREMA: El teorema de Menger implica el teorema de Hall.
9.3. La teora de Matroides.
Aplicacin de ciertos resultados de la teora de grafos a la teora
transversal, dondeaparece el concepto de matroide como un conjunto
dotado de una estructura deindependencia.
Bibliografa.
Algoritmos en Grafos y Redes. Aut. Blas Pelegrn, Lzaro Cnovas.
Edit. P.P.U.Matemtica Discreta y Combinatoria. Aut. Ralph Grimaldi.
Edit. Addison-WesleyIberoamericana.Lecciones de Optimizacin. Aut.
Juan Jos Salazar. Edit. Universidad de La LagunaGraphs and
Algorithms. Aut. M. Gondron, M. Minoux. Edit.
Wiley-Intercience.Algebra y Matemtica Discreta. Aut. J.A. Aledo
Snchez, J.C. Valverde Fajardo. Edit.Popular Libros.
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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)
TEMA 3
TCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.
1. Introduccin.2. Tcnicas de Recuento.3. Variaciones.
3.1. Variaciones Ordinarias.3.2. Variaciones con Repeticin.
4. Permutaciones.4.1. Permutaciones Ordinarias.4.2.
Permutaciones con Repeticin.
5. Combinaciones.5.1. Combinaciones Ordinarias.5.2. Nmeros
Combinatorios.5.3. Combinaciones con Repeticin.
6. Combinatoria Clsica y algunas tendencias actuales de la
combinatoria.Bibliografa Recomendada.
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TEMA 3
TCNICAS DE RECUENTO. COMBINATORIA.
1. INTRODUCCIN.
El Anlisis Combinatorio, o Combinatoria, estudia las diferentes
formas en quepodemos ordenar o agrupar unos elementos dados
siguiendo unas determinadas reglasestablecidas. Se prescinde de la
naturaleza de los elementos u objetos, pero no delorden. Es por
ello que resulta necesario distinguir entre si los objetos del
mismoconjunto, ya que no son equivalentes.
La combinatoria nos va a permitir contestar a preguntas del
tipo:
Cuntos nmeros de dos cifras se pueden formar con los dgitos 0,
1, 2 y 3? Cuntas clasificaciones distintas se dan entre cinco
equipos de futbol?
Resumiendo, la combinatoria nos proporciona algoritmos para
averiguar la cantidadde agrupaciones que, bajo determinadas
condiciones, se pueden formar con loselementos de un conjunto.
Segn las caractersticas de los grupos y la naturaleza de los
elementos, nospodemos encontrar con variaciones, permutaciones y
combinaciones.
2. TCNICAS DE RECUENTO.
Las tcnicas de recuento tratan del estudio de las ordenaciones
de los elementos deun conjunto.
A lo largo de las distintas situaciones que pueden darse, son
dos los tipos deproblemas que nos podemos encontrar. Por un lado
tenemos los llamados problemas deexistencia, que analizan la
posibilidad de la existencia de las agrupaciones pedidas. Porotro
lado, los problemas de enumeracin que nos van a permitir determinar
el nmerode clasificaciones posibles.
Las tcnicas de recuento ms utilizadas son:
a) Paridad.
Esta tcnica nos permite resolver los problemas de existencia
nombradosanteriormente. Un conjunto puede tener un nmero par o
impar de elementos. Siprobamos que tiene un nmero impar, estamos en
condiciones de afirmar que almenos hay uno. Quedara as demostrada
su existencia.
b) Correspondencia uno a uno.
Tcnica utilizada para el recuento de elementos dentro de un
conjunto. Se tratade conseguir establecer una aplicacin biyectiva
entre el conjunto de estudio yuna seccin S(n) de . En caso de que
podamos establecerla, diremos que el
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conjunto tiene n elementos, o lo que es lo mismo, el cardinal
del conjunto(Card(A)) es n.
c) Regla del producto.
Sea P un conjunto con n elementos y Q otro conjunto con m
elementos. Elnmero de elecciones distintas de un elemento de P y
otro de Q es mn. Estaregla se puede extender a ms de dos conjuntos.
Puede resultar til cuando elconjunto del cual queremos hallar su
cardinal no est ordenado o no resultasencillo establecer una
biyeccin con alguna seccin de .
3. VARIACIONES.
3.1. Variaciones Ordinarias.
DEF Sea A un conjunto con m elementos, A={a1, a2,, am}.
Llamaremos variacionesn-arias (de orden n) de los m elementos del
conjunto A a todo conjunto ordenadoformado por n elementos
cualesquiera elegidos entre ellos sin elegir ms de una vez
unelemento. Consideraremos distintas dos variaciones si difieren en
algn elemento o, siteniendo los mismos elementos, difieren en el
orden de colocacin de los mismos.
Al nmero de variaciones n-arias formadas por m elementos
cualesquiera, lorepresentaremos por Vm,n o nmV
Ejemplo: Si un aula tiene 5 sillas en primera fila y entran 25
nios, De cuntas formasdistintas podemos componer esa primera
fila?
Sol:
Aqu nos encontramos con variaciones ordinarias de 25 elementos
tomados de 5en 5. Sera V25,5 o 525V
Veamos ahora como podemos calcular ese nmero.
PROP El nmero de variaciones n-arias o de orden n que se pueden
formar con mobjetos cualesquiera, es igual al nmero de variaciones
de orden n-1 que se puedenformar con los m objetos multiplicando
por m-n+1.
Vm,n = (m-n+1)Vm,n-1dem.
Sea A el conjunto formado por los m elementos A={a1, a2,, am}.
Vamos arealizar la demostracin por induccin en n.
Para n=1 Est claro que existen m formas diferentes de elegir 1
slo elementoentre m. Luego Vm,1=m
Para n=2 Para conseguir todas las variaciones de orden 2 basta
aadir a las deorden 1 un nuevo elemento del conjunto A elegido
entre los m-1 no
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usados. Como para la eleccin del primer elemento tenemos m
objetos ypara elegir el segundo m-1, segn la regla del producto,
obtendremosm(m-1) variaciones binarias. Luego Vm,2=m(m-1) que es lo
mismo queVm,2=Vm,1(m-1)
Supongamos cierto para n-1
Para n Anlogo al caso n=2. Para conseguir todas las variaciones
de orden nbasta aadir a las variaciones de orden n-1 un nuevo
elemento delconjunto A elegido entre los m-n+1 no utilizados. Por
tanto Vm,n=Vm,n-1(m-n+1)
PROP El nmero de variaciones de orden n de m elementos es
Vm,n=m(m-1)(m-2)(m-n+1)dem.
Como por la proposicin anterior tenemos que
Vm,n=Vm,n-1(m-n+1) Variaciones n-ariasVm,n-1=Vm,n-2(m-n+2)
Variaciones (n-1)-arias Vm,2=Vm,1(m-1) Variaciones binariasVm,1=m
Variaciones unitarias.
Sustituyendo reiteradamente obtenemos:
Vm,n=m(m-1)(m-2)(m-n+1)
Ejemplo: Dados cuatro amigos: Juan, David, Ivan y Alberto,
deciden hacer untorneo de Ping-Pong. Obtener las diferentes
clasificaciones que se pueden dar para lostres primeros
puestos.
Para obtener las variaciones de orden 3 siguiendo el mtodo de la
proposicin,hay que obtener primero las de orden 2. Y para conseguir
stas, hemos de partir de lasde orden 1.
Variaciones deorden 1
Variaciones de orden 2 Variaciones de orden 3
Juan, David, IvanJuan, David Juan, David, AlbertoJuan, Ivan,
DavidJuan, Ivan Juan, Ivan, AlbertoJuan, Alberto, David
Juan
Juan, Alberto Juan, Alberto, IvanDavid, Juan, IvanDavid, Juan
David, Juan, AlbertoDavid, Ivan, Juan
David
David, Ivan David, Ivan, Alberto
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David, Alberto, JuanDavid, Alberto David, Alberto, IvanIvan,
Juan, DavidIvan, Juan Ivan, Juan, AlbertoIvan, David, JuanIvan,
David Ivan, David, AlbertoIvan, Alberto, Juan
Ivan
Ivan, Alberto Ivan, Alberto, DavidAlberto, Juan, DavidAlberto,
Juan Alberto, Juan, IvanAlberto, David, JuanAlberto, David Alberto,
David, IvanAlberto, Ivan, Juan
Alberto
Alberto, Juan Alberto, Ivan, David4 43 432M m(m-1)
m(m-1)(m-2)
PROP Sean los conjuntos A=S(n) (con S(n)={1, 2, , n}) y B={b1,
b2,,bm} tal queCard(A)=n y Card(B)=m con 1nm. El nmero de
aplicaciones inyectivas entre A y Bcoincide con el nmero de
variaciones de orden n de m elementos.
dem.
Recordemos que f:AB en inyectiva siempre que se verifique que
a1,a2Acon a1a2 f(a1)f(a2).
Es decir, a elementos distintos en A, imgenes diferentes en
B.
Vamos a realizar la demostracin por induccin en Card(A)=n
Para n=1 f:{1}{b1, b2,,bm}.Podemos tomar como imagen del 1,
f(1)=bi con i:1,,mPor tanto obtenemos m aplicaciones inyectivas
diferentes.Nmero de aplicaciones inyectivas = m = Vm,1
Hiptesis de induccin. Sea f:{1, 2, , n-1}{b1, b2,,bm}
Inyectivas.Supongamos que el nmero de aplicaciones f inyectivas es
Vm,n-1.
Para n tenemos f:{1, 2, , n}{b1, b2,,bm} inyectiva.Para calcular
su nmero basta tener en cuenta que las imgenes deelementos {1, 2,
,n-1} se pueden elegir de Vm,n-1 maneras distintas(hiptesis de
induccin) y que una vez elegidas estas imgenes quedan enel conjunto
B m-(n-1) elementos que no son imagen de ningn elementodel conjunto
{1, 2, , n-1}. Por tanto, la imagen del elemento n se puedeelegir
de m-n+1 formas distintas. Luego el nmero de aplicacionesinyectivas
f distintas sera Vm,n-1(m-n+1) que es lo mismo que Vm,n.
-
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3.1 Variaciones con Repeticin.
DEF Dado un conjunto A con m elementos, A={a1, a2,, am},
llamamos variacionescon repeticin n-arias a los distintos conjuntos
ordenados que se pueden formar con nelementos, considerando que
cada elemento puede figurar cualquier nmero de veces enuna misma
variacin.
Al nmero de variaciones con repeticin n-arias que se pueden
formar con melementos se representa por VRm,n.
PROP El nmero de variaciones con repeticin n-arias que se pueden
formar com mobjetos cualesquiera es igual al nmero de variaciones
con repeticin de orden n-1 quese pueden formar con m objetos,
multiplicando por m.
VRm,n=VRm,n-1mdem.
La demostracin es anloga a la de variaciones ordinarias. Vamos a
realizar lademostracin por induccin en n.
Para n=1 Trivialmente VRm,1=m
Para n-1 Por hiptesis de induccin VRm,n-1=VRm,n-2m
Para n Supongamos ya formadas las variaciones con repeticin de
orden n-1.Para obtener las variaciones con repeticin de orden n
bastar con aadira cada una de ellas un elemento cualquiera de entre
los m quedisponemos. As, por cada variacin con repeticin de orden
n-1obtenemos m variaciones con repeticin de orden n. Las
variaciones n-arias as formadas son todas, ya que si hubiera una
que no estuviese,quitndole el ltimo elemento obtenemos una
(n-1)-aria y como elelemento est entre los m a elegir, llegamos a
una contradiccin. Portanto, podemos afirmar que VRm,n=VRm,n-1m
PROP El nmero de variaciones con repeticin de orden n de m
elementos esVRm,n=mn.
dem.
Aplicando el resultado obtenido en la proposicin anterior:
VRm,1=mVRm,2=VRm,1mVRm,n=VRm,n-1m
Al final, sustituyendo en la expresin inferior la anterior a
ella, obtenemosVRm,n=mn
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Ejemplo. Dados cuatro amigos, Juan, David, Ivan y Alberto,
deciden jugar dos torneosde Ping-Pong. Obtener los posibles
campeones de ambos torneos.
En este caso hemos de calcular las variaciones con repeticin de
4 elementostomados de 2 en 2. Aplicando el procedimiento
constructivo de la proposicin anteriortenemos:
VR de orden 1 VR de orden 2Juan, JuanJuan, DavidJuan,
IvanJuanJuan, AlbertoDavid, JuanDavid, DavidDavid, IvanDavidDavid,
AlbertoIvan, JuanIvan, DavidIvan, IvanIvanIvan, AlbertoAlberto,
JuanAlberto, DavidAlberto, IvanAlbertoAlberto, Alberto
PROP Sean los conjuntos A=S(n) y B={b1, b2,,bm} tal que
Card(A)=n y Card(B)=m.El nmero de aplicaciones entre A y B coincide
con el nmero de variaciones conrepeticin de m elementos de orden n
VRm.n.
dem.
Vamos a realizar la demostracin contando el nmero de
aplicaciones distintas.
Sea f: {1, 2, , n} {b1, b2,,bm} aplicacin.
Para 1A, el nmero de posibles imgenes, f(1), puede ser m, ya que
f(1)=bjpara algn j: 1, , m.
Para 2A, tenemos que f(2) puede tambin tomar como valor
cualquier bj conj:1, , m. Al no requerir para f la inyectividad,
podemos permitir que 1 y 2 tengan lamisma imagen.
Lo mismo podemos decir para el resto de elementos de A. Por
tanto f(i)=bj coni:1,,n y j:1,,m
Como cada elemento de A tiene m posibilidades de elegir la
imagen y A tiene nelementos, resulta mn formas distintas de elegir
las imgenes para todos los elementosde A.
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El nmero total de aplicaciones entre A y B es mn=Card(B)Card(A)
y mn=VRm,n.
4. PERMUTACIONES.
4.1. Permutaciones Ordinarias.
DEF Llamaremos permutaciones ordinarias de n elementos a las
variaciones de nelementos de orden n. Lo representaremos por
Pn.
Las permutaciones ordinarias son un caso particular de las
variacionesordinarias.
OBS Dado un conjunto A={a1, a2, , an}, dos permutaciones de los
elementos de Aslo se diferencian en el orden de colocacin de sus
elementos ya que todas estarnformadas por todos ellos.
DEF Sea n. Se llama factorial de n, y se representa por n!, al
producto de los nprimeros nmeros naturales, comenzando en el 1.
n!=n(n-1)(n-2)321
DEF Definimos el factorial de 0 como 0!=1.
PROP Se verifica:1) n!(n+1) = (n+1)!2) n!(n+1)(n+2)m = m! con
m>n
dem.
Inmediata a partir de la definicin.
Con esta nueva notacin podemos expresar las variaciones de m
elementos deorden n de la siguiente manera:
)!(!
, nmmV nm
=
PROP El nmero de permutaciones de n elementos es n!.
dem.
Por definicin de permutaciones tenemos que
!!0!
)!(!
, nn
nnnVP nnn ==
==
Veamos ahora un mtodo constructivo para formar
permutaciones:
PROP Sea el conjunto A={a1, a2, , an}. Supongamos formadas todas
laspermutaciones con los n-1 elementos primeros. Para obtener todas
las permutaciones de
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orden n, tomaremos el elemento an, y en cada una de las
permutaciones de orden n-1colocaremos el elemento an de todas las
formas posibles.
dem.
Vamos a realizar la demostracin por induccin en n.
Para n=1 A={a1}. Como el conjunto A consta de un solo elemento,
existir unasola permutacin P1=1!=1
Para n=2 A= {a1, a2}. Dada la nica permutacin de orden 1, para
obtener las deorden 2 tendremos que colocar a2 en todas las
posiciones posibles conrespecto a a1: a1a2 y a2a1. P2=2!=2
Para n=3 Igualmente, partiendo de las dos permutaciones de orden
2, colocaremosa3 en todos los lugares posibles:
a1a2 a1a2a3 a1a3a2 a3a1a2a2a1 a2a1a3 a2a3a1 a3a2a1P3=3!=6
Para n Repetimos el proceso anterior. Partiendo de una
permutacin de orden n-1, colocamos an en todos los lugares
posibles, que son n sitios distintos.Luego por cada permutacin de
orden n-1 obtenemos n de orden n.
Pn=Pn-1n=(n-1)!n=n!Comprobemos que son todas.Sea a1a2an una
permutacin cualquiera de orden n. Eliminando elelemento a1
obtenemos una permutacin de orden n-1. Sabiendo loanterior, si
tenemos dos permutaciones de orden n que proceden de lamisma
permutacin de orden n-1, al eliminar an obtendramos lapermutacin de
orden n-1 de la que parten. Luego para que laspermutaciones de
orden n-1 sean distintas, tienen que diferir en el lugarde
colocacin de an.
Para la proposicin siguiente hemos de tener en cuenta este
resultado, que novamos a demostrar.
LEMA Dados dos conjuntos finitos y no vacios A y B, que tienen
el mismocardinal (Card(A)=Card(B)=n con n), se verifica para f: A B
que f es biyectiva siy slo si es inyectiva.
PROP Sean A y B dos conjuntos finitos y con el mismo cardinal n.
El nmero deaplicaciones biyectivas f: A B coincide con el nmero de
permutaciones de orden n.
dem.
Por el resultado anterior, al ser A y B finitos y con el mismo
cardinal n, elnmero de aplicaciones biyectivas entre A y B coincide
con el nmero de aplicacionesinyectivas entre los mismos conjuntos.
Pero ese nmero coincide con las variaciones deorden Card(A) de
Card(B) elementos. Pero como ambos cardinales son iguales, esas
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variaciones son permutaciones de orden n. Por tanto obtenemos
como resultado lo quequeramos probar.
Con este resultado podemos dar una nueva definicin de
permutacin.
DEF Sea A={a1, a2, , an}, un conjunto con n elementos, n.
Llamaremospermutacin de los elementos del conjunto A a cada una de
las biyecciones del conjuntoA en si mismo.
DEF Dadas dos permutaciones distintas p1 y p2 de los elementos
del conjunto A={a1,a2, , an}, diremos que los elementos ai y aj
forman inversin en la permutacin p1 conrespecto a p2 si el orden en
el que figuran en ambas es inverso. En caso contrario se diceque
forman permanencia.
Ejemplo. Sea A={a1, a2, a3, a4, a5} y sean dos permutaciones
p1=a1a4a3a2a5 yp2=a1a2a3a5a4
Pares que forman inversin: (a4, a3), (a4, a2), (a4, a5), (a3,
a2)Pares que forman permanencia: (a1, a4), (a1, a3), (a1, a5), (a3,
a5), (a2, a5)
DEF Se llama ndice de la permutacin pi con respecto a la
permutacin pj al nmerototal de inversiones de la primera con
respecto a la segunda.
DEF Se dice que dos permutaciones son de la misma clase cuando
el ndice de una deellas con respecto a la otra es cero o nmero
par.
DEF Una permutacin es de Clase Par cuando el nmero de
inversiones de sta conrespecto a otra, tomada como referencia, es
cero o un nmero par. En caso contrario sedice que es de Clase
Impar.
OBS Suele ser comn tomar como permutacin de referencia aquella
que sigue elorden de los nmeros naturales.
DEF Se llama Caracterstica de una permutacin con respecto a otra
al nmero (-1)isiendo i el ndice de la primera permutacin con
respecto a la segunda.
DEF Si en una permutacin se cambian entre s dos elementos
cualesquiera paraobtener una nueva permutacin, se dice que se ha
efectuado una trasposicin.
PROP Si dada una permutacin, realizamos una trasposicin, la
nueva permutacincambia de clase con respecto a la primera.
dem.
Caso 1: Los elementos que permutamos son consecutivos.
Supongamos que la permutacin ya tiene k inversiones con respecto
a lade referencia. Si entre los elementos que permutamos ya haba
inversin, stadesaparece, quedando k-1 inversiones. Si no la haba,
generamos una nueva,quedando k+1 inversiones. En ambos casos, al
variar slo en una unidad el
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nmero de inversiones, la clase de la nueva permutacin es par si
la inicial eraimpar o al revs.
Caso 2: Los elementos que permutamos no son consecutivos.
Sea la permutacin (, ai, , aj, ). Queremos intercambiar ai y
ajsabiendo que entre ellos hay k elementos.
Realizando k+1 inversiones situamos aj inmediatamente antes de
ai (,aj, ai, ).
Realizando k inversiones situamos ai en el sitio inicial de aj
volviendo asituar entre ambos k elementos.
En total hemos realizado 2k+1 inversiones.Si la permutacion
inicial ya tuviese m inversiones con respecto a la de
referencia, la nueva permutacin tendra m+2k+1 inversiones.Si m
es par m+2k+1 es imparSi m es impar m+2k+1 es parEn cualquier caso,
la permutacin cambia de clase.
OBS Dado el conjunto A={a1, a2, , an}, existe el mismo nmero de
permutacionesde clase par que de impar.
4.2. Permutaciones con Repeticin.
DEF Llamaremos permutaciones de n elementos entre los que hay r1
iguales entre s,r2 iguales entre s, , rp iguales entre s con
r1+r2++rp = n a los distintos conjuntosordenados que se pueden
formar con los n elementos entre los que figuran repetidos r1,r2, ,
rp elementos. Se denotar por prrrnP ,...,, 21 .
OBS Consideraremos distintas dos permutaciones cuando difieran
en el orden decolocacin.
PROP El nmero de permutaciones distintas que se pueden formar
con n elementosdonde existe uno de ellos repetido r veces es !
!rnPrn = .
dem.
Sean a1, a2, , an los n elementos de los cuales a1, a2, , ar con
r
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Tendremos !!
rn clases o, lo que es lo mismo, !
!rn permutaciones distintas.
Entonces !!
rnPrn = .
PROP El nmero de permutaciones distintas que se pueden formar
con n elementosdonde existen r1 elementos iguales entre s, r2
iguales entre s, y rp iguales entre s es
nrrrconrrr
nP pp
rrrn
p =+++= ...!!...!!
2121
,...,, 21
dem.
Realizando el mismo razonamiento que en la proposicin anterior,
tendremosque intercambiando entre s el elemento que se repite ri
veces (i:1,..,p) obtendremos ri!permutaciones iguales. Por tanto,
el nmero de permutaciones totales tendr que serdividido por ri!
i:1,,p para obtener el nmero de permutaciones distintas que
hay.Dividir n! por r1!, y luego por r2! y as sucesivamente hasta
llegar a rp! es lo mismo quedividir n! por el producto de los ri!.
Queda, por tanto, lo que queramos demostrar.
PROP El nmero de permutaciones con repeticin del conjunto B={b1,
b2, , bp} conel elemento bi repetido ri veces i: 1, , p coincide
con el nmero de aplicacionessuprayectivas f:S(n) B verificando que
cada bi tiene ri antiimgenes y quen=r1+r2++rp
5. COMBINACIONES.
5.1. Combinaciones Ordinarias.
DEF Dado un conjunto A={a1, a2, , an} de n elementos, llamaremos
combinacionesde n elementos tomados de k en k a todos los
subconjuntos de k elementos que sepueden formar con los n
elementos. Consideraremos dos combinaciones diferentescuando los
conjuntos que las forman sean distintos, es decir, cuando difieran
en algnelemento. Las representaremos por Cn,k.
OBS En las combinaciones, al igual que en los conjuntos, no
influye el orden de suselementos. Por tanto, consideraremos a
partir de ahora que los elementos de lossubconjuntos estn en el
mismo orden que los del conjunto inicial.
PROP Dado el conjunto A={a1, a2, , an}, obtendremos las
combinaciones de kelementos a partir de las de k-1 elementos, sin
ms que colocar, uno a uno, todos loselementos que siguen, segn el
orden del conjunto A, al ltimo de la combinacin dek-1 elementos
considerada.
dem.
Para k=1 Son las combinaciones de n elementos tomadas de uno en
uno o, pordefinicin, los subconjuntos de un elemento. Como hay n
sunconjuntosdistintos de 1 elemento, ser n el nmero de
combinaciones Cn,1.
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Para k=2 Son las combinaciones de n elementos tomados de 2 en 2.
Paraobtenerlas, partimos de las combinaciones unitarias y agregamos
a cadaelemento, uno a uno, los siguientes a l.A partir de {a1} {a1,
a2}, {a1, a3}, , {a1, an}A partir de {a2} {a2, a3}, {a2, a4}, ,
{a2, an}Y as sucesivamente.
El mismo proceso se sigue para obtener las combinaciones de n
elementos de ken k.
A partir de {a1, a2, , ak-1} {a1, a2, , ak-1, ak}, {a1, a2, ,
ak-1, ak+1}
PROP El nmero de variaciones de orden k que se pueden formar con
n elementos,A={a1, a2, , an}, es igual al nmero de combinaciones
k-arias que se pueden formarcon los n elementos, multiplicando por
el nmero de permutaciones de orden k, con1kn.
Vn,k = Cn,k Pkdem.
La demostracin es evidente sin ms que tener en cuenta que a
partir de cadacombinacin (conjunto no ordenado de k elementos)
obtenemos k! conjuntos ordenadosescribiendo sus elementos de todas
las formas posibles (permutaciones de k elementos).As conseguimos
todas las variaciones de n elementos tomados de k en k
(recordemosque la definicin de variacin nos deca que eran
subconjuntos de k elementosordenados).
COROLARIO El nmero de combinaciones de n elementos tomados de k
en k es
)!!(!
, knknC kn
=
dem.
Segn la proposicin anterior Vn,k = Cn,k Pk
Por tanto )!!(!
!)!(
!,
, knkn
kkn
n
PVC
k
knkn
=
==
5.2. Nmeros Combinatorios.
DEF A los nmeros )!!(!
knkn
se les llama nmeros combinatorios. Se representan
por
kn y se lee n sobre p. El nmero n recibe el nombre de base y el
nmero p de
orden.
OBS Segn esta nueva notacin
= k
nC kn, .
-
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PROP 110 =
=
nnyn
dem.
1!1!
)!0!(0!
0 ===
nn
nnn
1!0!!
)!!(!
==
=
nn
nnnn
nn
PROP
=
kn
knn
dem.
=
=
=
kn
kknn
knnknn
knn
!)!(!
))!()!((!
PROP nnnynn =
=
11
dem.
nnnn
nnn
=
=
=
)!1(1)!1(
)!1!(1!
1
y por la proposicin anterior nnnn
=
=
11
PROP
+
=
kn
kn
kn 1
11
dem.
=
+
=
+
+
=
+
)!!())!(1(
)!!()!1(
)!1!()!1(
)!11)!(1()!1(1
11
knkknn
knkkn
knkn
knkn
kn
kn
[ ]
=
=
+=
+= k
nknk
nknk
knknknk
knnkn)!!(
!)!!(
)()!1()!!(
))!(1()!1(
-
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PROP
+
++
+
+
=
11
1...13
12
11
kk
kk
kn
kn
kn
kn
dem.
Aplicando el resultado de la proposicin anterior, tenemos
+
=
kn
kn
kn 1
11
+
=
kn
kn
kn 2
121
+
=
kn
kn
kn 3
132
+
=
+
kk
kk
kk
11
Si sumamos miembro a miembro todas las ecuaciones anteriores, y
teniendo encuenta que
=
kk
kk
11 obtenemos la frmula a demostrar.
OBS Si escribimos por filas los nmeros combinatorios, situando
en cada fila los quetengan la misma base y en la fila de debajo los
de base una unidad mayor, resultar quecada nmero combinatorio es
suma de los dos que tiene encima de l (aplicando lapenltima
proposicin) quedando de la siguiente manera:
11
01
22
12
02
33
23
13
03
Los nmeros combinatorios de los extremos, segn la primera
proposicin,valen 1.
Esta distribucin en forma de tringulo recibe el nombre de
tringulo deTartaglia (en honor de Ncola de Fontana, que lo llamaban
Tartaglia debido a sutartamudez), siendo tambin conocido como
tringulo de Pascal.
Sustituyendo los nmeros combinatorios por sus valores,
quedara
-
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1 11 2 1
1 3 3 1
A partir del tringulo de Tartaglia, obtenemos los coeficientes
del desarrollo dela potencia del binomio (a+b)n, llamado Binomio de
Newton.
(a+b)1 = a+b 1 1(a+b)2 = a2+2ab+b2 1 2 1(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
1 3 3 1Por tanto ( )
=
=+
n
i
iinn bainba
0
Leibniz extendi este resultado a:
( ) =+++
=+++naaa
rp
rrrrrn
np
p
pp aaaPRaaa...
21,...,,
2121
2121 ......
5.3. Combinaciones con Repeticin.
DEF Sea A={a1, a2, , an}. Llamaremos combinaciones con repeticin
de los nelementos de A, a los distintos subconjuntos de k elementos
donde los elementos sepueden repetir hasta k veces, siendo dos
subconjuntos iguales cuando estn formadospor los mismos elementos y
repetidos el mismo nmero de veces. Se denota por CRn,k.
OBS El nmero k de elementos de cada subconjunto puede ser mayor
que n. Cuandoesto sucede, entre las combinaciones con repeticin se
encuentran las combinaciones sinrepeticin de n elementos tomados de
k en k.
PROP En nmero de combinaciones con repeticin de n elementos
tomados de k en kque se pueden formar con los elementos A={a1, a2,
, an} es
+= k
knCR kn1
,
dem.
Para k=1 Las combinaciones con repeticin de n elementos tomados
de uno en unocoinciden con las combinaciones sin repeticin y son
n.
Para k-1 Supongamos formadas para k-1, y colocados sus elementos
(en cadacombinacin) en el mismo orden que aparecen en el conjunto
A
Para k Para formar los de k elementos, partiendo de las
anteriores, aadiremos acada una el ltimo elemento que en ellas
aparece y, sucesivamente, cadauno de los que le siguen segn el
orden establecido en A. Obtenemos astodas las combinaciones con
repeticin.
-
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Para poder contarlas, ideamos la siguiente manera:
Vamos a establecer una biyeccin f: CRn,k Cn+k-1,k de tal forma
que a cadacombinacin con repeticin de CRn,k le hacemos corresponder
la combinacin sinrepeticin obtenida colocando como subndice de cada
elemento el nmero que tenaincrementado en tantas unidades como
elementos le preceden.
As f es biyectiva y
+= k
knCR kn1
,
Ejemplo. Queremos calcular CR3,6 (combinaciones con repeticin de
3 elementos de 6en 6). Dados los siguientes elementos, sus imgenes
en C8,6 son:
a1a1a2a2a3a3 a1a2a4a5a7a8
Al primer elemento no le sumamos nada a su subndice ya que no
tieneelementos a su izquierda, al segundo le sumamos 1, al tercero
2, al cuarto 3 y assucesivamente.
6. COMBINATORIA CLSICA Y ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES DELA
COMBINATORIA.
Se entiende por Combinatoria o Anlisis Combinatorio a la parte
de las matemticasque trata del estudio y determinacin de las
distintas agrupaciones que pueden formarsecon un nmero finito de
elementos siguiendo unas determinadas reglas.
La Combinatoria estudia las propiedades de los diversos grupos
que puedenformarse, incidiendo de forma especial en hallar la regla
que permita formar todos losgrupos y su nmero.
El inters por la combinatoria surge en la India, donde el
matemtico Bhaskara (S.XI-XII) escribe sobre la utilidad de hallar
variaciones de los diferentes metros en laversificacin. Este inters
viene debido a que sus obras (sobre lgebra o aritmtica entreotras)
estn escritas siguiendo la tradicin india, en verso.
En Europa aparece la combinatoria poco despus, desarrollndose en
la Edad Mediadebido a los estudios judos sobre la Cabala. El motivo
hay que buscarlo en lasespeciales caractersticas del idioma Hebreo.
Sus palabras carecen de vocales y lasbsicas estn formadas por tres
letras. Cuando dos palabras tienen las mismas letraspero en orden
diferente es que existe algn tipo de relacin conceptual entre
ellas. Enesta propiedad se basa el primero de los mtodos
cabalsticos, la Temur, o arte de laspermutaciones y combinaciones
de letras.
Tambin el filsofo y telogo Ramn Llul (nacido en Palma de
Mallorca en 1233)trat la combinatoria en su obra Ars Magna. Parte
de la combinacin de trminossimples. Establece unas tablas en las
cuales aparecen una serie de trminos susceptiblesde combinacin:
nueve trminos absolutos, nueve relativos, nueve cuestiones,
nuevesujetos, nueve virtudes y nueve vicios. Filsofos y matemticos
se han fijado en estaobra del mallorqun, entre ellos Leibniz.
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18/18
La combinatoria moderna aparece con Blaise Pascal (1623-1662).
Cientfico yfilsofo francs, estudi en 1654 la expresin
kn , desarrollando la teora de las
combinaciones. En ella trata los nmeros combinatorios, el
tringulo de Tartaglia y eldesarrollo de la potencia de un
trinomio.
Pero fue Jacobo Bernouilli (1654-1705) en su obra Ars
Conjectandi (arte de laconjetura) el mayor impulsor de la
combinatoria en el siglo XVII. Consigui obtener ydemostrar el
desarrollo del binomio (x+a)n siendo n un nmero natural.
Actualmente, nos encontramos con problemas de combinatoria que
tienen que vercon grafos, dando lugar a la Teora de Grafos. En el
tema 2 se ha visto el problema delos Puentes de Knigsberg.
Otros problemas de combinatoria se mezclan con Geometra, dando
lugar a laGeometra Combinatoria.
BIBLIOGRAFA RECOMENDADA.
Introduccin a la Probabilidad y la Medida. Aut. Procopio Zoroa,
Noem Zoroa. Ed.PPU
Introduccin a la Teora de la Estadstica. Aut. Alexander M. Mood,
Franklin A.Graybell. Ed. Aguilar.
-
1/35
TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)
TEMA 4
NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.
1. Introduccin.2. Los Nmeros Enteros.
2.1. Construccin de 9.2.2. El Grupo Aditivo de los Nmeros
Enteros.2.3. El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.2.4.
El Anillo de los Nmeros Enteros.2.5. Ideales en el Anillo de los
Nmeros Enteros.
3. Divisibilidad.3.1. Divisibilidad de Nmeros Enteros.3.2.
Divisibilidad en el Anillo de los Nmeros Enteros.3.3. Mximo Comn
Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.
4. Nmeros Primos.5. Congruencias.6. Criterios de
Divisibilidad.Bibliografa Recomendada.
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TEMA 4
NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.
1. INTRODUCCIN.
Este tema se divide en cinco partes fundamentales. La primera
parte son LosNmeros Enteros. Comenzaremos definiendo el conjunto de
los nmeros enteros.Definiremos en l la operacin de suma, que lo
convertir en grupo abeliano. Luego laoperacin producto,
constituyendo un grupo multiplicativo abeliano con elementounidad.
Ambas operaciones nos crearn el anillo de los nmeros enteros. Y al
finaltrataremos de los ideales en el anillo, que se caracterizan
por ser subconjuntos formadospor los mltiplos de un nmero
entero.
La segunda parte es la Divisibilidad. La divisibilidad en el
anillo de los nmerosenteros se define de forma precisa en trminos
de ideales. Por ltimo veremos laexistencia y unicidad del Mximo
Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.
En la tercera parte definiremos los nmeros primos y veremos sus
propiedades.Aqu hemos de resaltar el teorema fundamental de la
aritmtica.
En la cuarta parte trataremos con congruencias y en la ltima
veremos los criteriosde divisibilidad ms importantes.
2. LOS NMEROS ENTEROS.
En el tema 1 definimos el conjunto de los nmeros naturales, el
cual tiene estructurade Semianillo conmutativo. Ahora tenemos que
ampliar dicho conjunto. El motivo esque ecuaciones del tipo x+m=n
donde se verifica que m>n no tendran solucin. Portanto, hemos de
construir un nuevo conjunto en el cual esas ecuaciones siempre
tengansolucin. Ese conjunto ha de estar dotado de una operacin
interna (suma) que seaextensin de la operacin interna de y que
verifique que todo elemento tienesimtrico.
2.1. Construccin de 99 .
DEF Sea el conjunto x={(a,b) / a, b}. Sobre este conjunto
definimos larelacin R
(a,b)R(c,d) a+d = b+c
PROP La relacin R es una relacin de equivalencia.
Dem.
Para que R sea una relacin de equivalencia, debe verificar las
propiedadesreflexiva, simtrica y transitiva.
a) Reflexiva. a+b=b+aya que es conmutativo (a,b)R(a,b)
-
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b) Simtrica (a,b)R(c,d) a+d=b+c b+c=a+d
Aplicando la conmutatividad c+b=d+a (c,d)R(a,b)
c) Transitividad
(a,b)R(c,d) a+d=b+c(c,d)R(e,f) c+f=d+e
Sumando ambas expresiones miembro a miembro
a+d+c+f=b+c+d+e a+f=b+e (a,b)R(e,f)
Por tanto R es una relacin de equivalencia.
COROLARIO La relacin R sobre x define un conjunto cociente cuyos
elementosson las clases de equivalencia [(a,b)] donde
[(a,b)]={(m,n)x / (m,n)R(a,b)}
DEF Se define el conjunto de los nmeros enteros, y lo
representamos por 9, como elconjunto cociente x/R. Es decir
9=x/R
OBS Sabemos que toda clase de equivalencia queda determinada
dando unrepresentante cualquiera de la misma. Por convenio, los
representantes de las clases deequivalencia sern aquellos pares
ordenados que tengan al menos una de suscomponentes nula.
Se pueden dar tres casos, dado (a,b)x
1) a>b
En este caso existe m tal que a=b+m. Entonces se verifica
(a,b)R(m,0).Todos los elementos de [(m,0)] son de la forma
[(m,0)]={(b+m,b) / b}.
Al representante de [(m,0)] lo denotaremos con el smbolo +m, o
simplemente,m. El conjunto 9+={[(m,0)] / m} lo llamaremos conjunto
de los nmerosenteros positivos.
2) a
-
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3) a=b
Se verifica que (a,b)R(0,0). Todos los elementos de [(0,0)] son
de la forma[(0,0)]={(a,a) / a}.
Al representante de [(0,0)] lo denotaremos con el smbolo 0.
Ahora ya estamos en condiciones de afirmar que 9=9+{0}9-
PROP El conjunto 9 es una extensin de .
Dem.
Basta ver que 9 lo cual es evidente ya que 0 09
n-{0} [(n,0)]9+9
2.2. El Grupo Aditivo de los Nmeros Enteros.
Vamos a definir en 9 la suma para dotarlo de estructura de
grupo.
DEF Definimos la suma en 9 como
+: 9x9 9
con (a,b)x(c,d)9x9, entonces +((a,b),(c,d))=(a+c,b+d)
Notacin: La expresin +((a,b),(c,d)) se representa por
(a,b)+(c,d).
PROP La suma as definida no depende del representante
elegido.
Dem.
Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)
Para ver que [(a,b)+(c,d)]=[(a,b)+(c,d)]
tendremos que probar que ((a,b)+(c,d))R((a,b)+(c,d))
(a,b)R(a,b) a+b=a+b(c,d)R(c,d) c+d=c+d
sumando ambas expresiones miembro a miembro
a+c+b+d = a+c+b+d (a+c,b+d)R(a+c,b+d)
((a,b)+(c,d)) R ((a,b)+(c,d))
-
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PROP La operacin de suma definida anteriormente verifica las
siguientes propiedades:1) Asociativa:
[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]2) Conmutativa:
[(a,b)]+[(c,d)]=[(c,d)]+[(a,b)]3) Elemento Neutro: [(0,0)], ya que
[(a,b)]+[(0,0)]=[(a,b)]=[(0,0)]+[(a,b)]4) Elemento Opuesto: [(a,b)]
[(b,a)] tal que [(a,b)]+[(b,a)]=[(0,0)]
Dem.
1) [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]) = [(a,b)]+([(c+e,d+f)]) =
[(a+(c+e),b+(d+f))] =
= [((a+c)+e,(b+d)+f)] = [(a+c,b+d)]+[(e,f)] =
([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]
2) [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)] = [(c+a,d+b)] =
[(c,d)]+[(a,b)]
3) [(a,b)]+[(0,0)] = [(a+0,b+0)] = [(a,b)]
[(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)] = [(a,b)]
Por lo tanto [(0,0)] es el elemento neutro y se representa por
0
4) [(a,b)] [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,b+a)] = [(0,0)]
Luego el opuesto de [(a,b)] es [(b,a)]
Es el llamado elemento simtrico con respecto a la operacin de
suma.
PROP El simtrico de cada nmero es nico.
Dem.
Sea [(a,b)]. Supongamos que admite dos simtricos: [(b,a)] y
[(c,d)]
[(a,b)]+[(b,a)] = [(0,0)] = [(a,b)]+[(c,d)] [(a+b,b+a)] =
[(a+c,b+d)]
Y para que las clases sean iguales, sus elementos han de estar
relacionados:
(a+b,b+a) R (a+c,b+d)
lo que significa que a+b+b+d = b+a+a+c
Aplicando la ley de simplificacin en b+d = a+c
y eso es (b,a) R (c,d)
y por tanto [(b,a)] = [(c,d)]
y ambos elementos son el mismo.
-
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OBS En general n9, se designa a su simtrico por nComo conclusin,
la operacin suma definida junto con las operaciones que hemos
comprobado que verifica, nos indican que (9,+) es un Grupo
Abeliano.
Una consecuencia de la definicin de suma, y por ser (9,+) un
grupo, se verifica lapropiedad cancelativa en la suma de nmeros
enteros.
PROPp,q,r9. p+q=p+r q=r
Dem.
Como p9 (-p)9 / p+(-p)=0
p+q=p+r (-p)+(p+q) = (-p)+(p+r)
Aplicando la propiedad asociativa ((-p)+p)+q = ((-p)+p)+r
Aplicando la propiedad de existencia de opuesto 0+q = 0+r
Aplicando la propiedad de existencia de neutro q=r
Ahora que ya tenemos a (9.+) como grupo podemos afirmar:
1) Existe una operacin inversa a la adicin, que llamaremos
diferencia.
m,n9 m-n = m+(-n)
2) La ecuacin x+m=n con m,n9 es resoluble en 9, siendo la
solucin x=n+(-m)y es nica.
DEF Se define la sustraccin o resta de nmeros enteros como la
suma del primerocon el opuesto del segundo. m-n = m+(-n)
Esta operacin es interna en 9, pero no verifica las propiedades
conmutativa yasociativa.
Veamos que la suma de nmeros enteros se corresponde con la
construccin quehicimos de 9:
1) +m+n = [(m,0)]+[(n,0)] = [(m+n,0)] = +(m+n)
2) m+(-n) = [(0,m)]+[(0,n)] = [(0,m+n)] = -(m+n)
3) +m+(-n) = [(m,0)]+[(0,n)] = [(m,n)]
a) Si m>n [(m,n)] = +(m-n)
b) Si m
-
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2.3. El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.
Vamos a definir en 9 una operacin producto tal que (9,) sea un
semigrupoconmutativo con elemento unidad, prolongando el producto
definido en .
DEF Definimos la multiplicacin de nmeros enteros como:
: 9x9 9
con (a,b)x(c,d)9x9, entonces ((a,b),(c,d))=(ac+bd,ad+bc)
Notacin: La expresin ((a,b),(c,d)) se representa por
(a,b)(c,d).
PROP El producto as definido no depende de los representantes
elegidos.
Dem.
Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)
Para ver que [(a,b)(c,d)]=[(a,b)(c,d)]
tendremos que probar que ((a,b)(c,d))R((a,b)(c,d))
que es equivalente a ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd
Vamos a ver que se verifica esa igualdad en dos pasos:
Paso 1:
Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)
ac+bd+ad+bc = (a+b)c+(b+a)d =
Como (a,b)R(a,b) a+b=b+a
= (b+a)c+(a+b)d = ad+bc+ac+bd
Uniendo ambos extremos: ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd
Que es lo mismo que (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)
Paso 2:
Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)
La demostracin de este paso es anloga a la anterior.
Como la relacin R es transitiva, tenemos que:
(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d) y (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)
-
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(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)
que era lo que queramos comprobar.
PROP La multiplicacin de nmeros enteros cumple las siguientes
propiedades:
1) Asociativa: m,n,p9 (mn)p=m(np)
2) Conmutativa: m,n9 mn=nm
3) Elemento Neutro: e9 m9 me=m=em siendo e=1
Dem.
Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de [(c,d)], p de
[(e,f)] y e de [(e1,e2)]
1) (mn)p = ([(a,b)][(c,d)])[(e,f)] = [(ac+bd , ad+bc)][(e,f)]
=
= [((ac+bd)e+(ad+bc)f , (ac+bd)f+(ad+bc)e)] =
= [(ace+bde+adf+bcf , acf+bdf+ade+bce)] =
= [(a(ce+df)+b(de+cf) , a(cf+de)+b(df+ce))]
= [(a,b)][(ce+df , de+cf)] = [(a,b)]([(c,d)][(e,f)]) = m(np)
2) mn=[(a,b)][(c,d)]=[(ac+bd, ad+bc)]=[(ca+db,
da+cb)]=[(c,d)][(a,b)]=nm
3) me=m [(a,b)][(e1,e2)]=[(a,b)]
=+
=+
bbeaeabeae
12
21
Para resolver el sistema de ecuaciones multiplicamos la primera
por a y la segundapor b
=+
=+2
12
2
221
2
bebabeaabeea
restando ambas ecuaciones: a2e1-b2e1=a2-b2 e1=1
sustituyendo en la primera ecuacin obtenemos e2=0
Luego e=[(1,0)]=19
Por conmutatividad me=em
Ya estamos en condiciones de poder afirmar que (9,) es un
semigrupo conmutativocon elemento unidad.
-
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PROP Otras propiedades del producto de nmeros enteros son:1) Ley
de Simplificacin: m,n,p9-{0}, si mn=mp n=p
2) El cero es un elemento absorbente: m9 m0=0
3) 9 no posee divisores de cero: m,n9, si mn=0 m=0 n=0
Dem:
A demostrar por el lector
OBS Teniendo en cuenta la definicin que hemos dado de nmeros
enteros (tantopositivos como negativos) y la definicin de producto,
podemos obtener la Regla de losSignos:
1) +m+n=[(m,0)][(n,0)]=[(mn,0)]=+(mn)2)
+m(-n)=[(m,0)][(0,n)]=[(0,mn)]= (mn)3)
-m+n=[(0,m)][(n,0)]=[(0,mn)]= (mn)4)
-m(-n)=[(0,m)][(0,n)]=[(mn,0)]=+(mn)
PROP Propiedad distributiva del producto respecto de la
suma:
pnm ,, 9 1) m(n+p)=mn+mp (por la izq.)2) (m+n) p=mp+np (por la
der.)
Dem
Como ambas demostraciones son anlogas, slo haremos una:
1) Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de la clase
[(c,d)] y p de [(e,f)]
m(n+p)=[(a,b)]([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)][(c+e,d+f)]=
=[(a(c+e)+b(d+f), a(d+f)+b(c+e)]=[(ac+ae+bd+bf,
ad+af+bc+be)]=
=[(ac+bd+ae+bf, ad+bc+af+be)]=[(ac+bd, ad+bc)]+[(ae+bf,
af+be)]=
=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)]= mn+mp
PROP El conjunto 9, con las operaciones de suma y producto
definidas es unaextensin de , con sus dos operaciones de suma y
producto.
Dem
Definamos la aplicacin f: 9 con f(n)=+n
Es fcil comprobar que: f(m+n)=f(m)+f(n)
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y f(mn)=f(m)f(n) m,n
Basta tener en cuenta la definicin de suma y producto en 9.
2.4. Anillo de los Nmeros Enteros.
Como (9,+) es un grupo abeliano, (9,) es un semigrupo
conmutativo conelemento unidad y se verifica la propiedad
distributiva por ambos lados, entonces(9,+,) tiene estructura de
Anillo Conmutativo unitario.
Veamos algunas de las propiedades de (9,+,)
PROP El anillo de los nmeros enteros no posee divisores de cero.
Es decir:
m,n9 Si mn=0 m=0 n=0
DEF (9,+,) es un dominio de integridad, ya que es un anillo
conmutativo conelemento unidad y sin divisores de cero.
PROP El cero es un elemento absorbente. Es decir: a9 a0=0a=0
Dem
Sabemos que b9 se verifica que b+0=0+b=b
Teniendo en cuenta esto: ab=a(b+0)=ab+a0
Aplicando la ley simplificativa: 0=a0
De forma anloga para : 0=0a
PROP a,b9 a(-b)=-(ab)=(-a)b
Dem
Sabemos que b9 (-b)9 / b+(-b)=0
b+(-b)=0 a[b+(-b)]=a0 ab+a(-b)=0 a(-b)=-(ab)
De forma anloga se comprueba que (-a)b=-(ab)
PROP a9 (-a)(-b)=ab
2.5 Ideales en el Anillo de los Nmeros Enteros.
Sabemos que 9 es un anillo conmutativo unitario y adems es un
dominio deintegridad, ya que no posee divisores de cero.
Vamos a definir ahora el concepto de ideal.
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DEF Sea I un subconjunto de 9. Se dice que I es un ideal de 9 si
verifica:
a) I es un subgrupo aditivo de 9.
b) a9 xI se cumple axI
OBS El subgrupo de 9 formado por todos los mltiplos de un entero
cualquieram9 es un ideal de 9. La comprobacin es trivial.
El ideal lo representamos por (m).
Ya que los mltiplos de m coinciden con los de (-m), por
convenio, al hablar delideal (m) tomaremos un positivo.
Comprobemos que todo ideal de 9 es de la forma (m).
PROP Dado un ideal I de 9, se verifica que I=(m) para un entero
m convenientementeelegido.
Dem
Por ser I un ideal, se verifica I9.
Si I=(0), la proposicin queda demostrada.
Supongamos pues que I(0). Entonces I deber contener enteros
positivos. Sea m elmenor de los enteros positivos de I. Comprobemos
que I=(m), y lo haremos por dobleinclusin.
(m) I Como mI e I es un ideal (m) I
I(m) Supongamos que I(m) y llagaremos a una contradiccin.
Como I(m) a(m) / a(m)
Si dividimos a por p obtenemos: a=mq+r con r
-
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Los ideales (0) y (1) se llaman ideales impropios. Los
restantes, si existen, sellaman ideales propios.
DEF Sea I un ideal. Diremos que I es un ideal principal si est
engendrado por un soloelemento.
COROLARIO Todo ideal de 9 es un ideal principal.
DEF (a) es un subideal de (b) si (a)(b)
Con los ideales de 9 podemos definir las operaciones de suma e
interseccin deideales, dando como resultado un nuevo ideal.
PROP 1) (a)+(b)={p9 / p=m+n, m(a), n(b)} es un ideal
2) (a)(b)={p9 / z(a) y z(b)} es un ideal
Dem
1) Sean m,n(a)+(b) m=a1+b1 y n=a2+b2 con
a1,a2(a) y b1,b2(b)
m-n=(a1+b1)-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)
Como: a1-a2(a) y b1-b2(b) por ser (a) y (b) ideales se verifica
que:
m-n(a)+(b) (1)
Sea n(a)+(b) n=a1+b1 con a1(a) y b1(b)
c9 c.n=c(a1+b1) c.n=ca1+cb1
Se verifica que ca1(a) y cb1(b)
entonces: c.n(a)+(b) (2)
De (1) y (2) se deduce que (a)+(b) es un ideal.
2) Sean m,n(a)(b) m,n(a) y m,n(b) m-n(a) y m-n(b)
m-n(a)(b) (1)
Sea n(a)(b) y c9 Como n(a) y n(b) se verifica que:
n.c(a) y n.c(b) n.c(a)(b) (2)
De (1) y (2) se deduce que (a)(b) es un ideal.
-
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Veamos ahora algunos ideales especiales
DEF Diremos que un ideal I es primo si verifica:
1) I9
2) nnI mI nI.
PROP I=(m) es un ideal primo de 9 si y slo si m es un nmero
primo.
Dem
OBS Como 9 es un dominio de integridad, los ideales impropios
son primos y portanto los excluiremos de la demostracin.
Demostrar: (m) es ideal primo (m) es nmero primo.
Es equivalente a: m no es nmero primo (m) no es ideal primo.
Si m no es un nmero primo a,b9 / m=a+b con a1 y b1.
Podemos considerar a y b positivos, luego: m(m) y m=ab
Pero a(m) y b(m) ya que m es el entero positivo ms pequeo. Por
tanto (m) noes primo al no verificar la segunda condicin de la
definicin.
Sea m un nmero primo y ab(m) ab=rm
Como m