Operace s mocninami s celočíselným mocnitelem Souhrnný přehled učiva + řešené i neřešené příklady.
Jan 01, 2016
Operace s mocninami s celočíselným
mocnitelem
Souhrnný přehled učiva + řešené i
neřešené příklady.
Obsah: Mocnina s přirozeným mocnitele
m Sčítání a odčítání mocnin Násobení mocnin Dělení mocnin Umocňování mocnin Přezkoušej se Několik zajímavostí o mocninách
Mocnina s přirozeným mocnitelem Příklad :
Součin n stejných činitelů a zapisujeme ve tvaru an.
n činitelů
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
7
2
1
výraz zkrácený zápisvýrazu
6.6 26zzz .. 3z
4,0.4,0.4,0.4,0.4,0 54,0xxxxxxxxxxx .......... 11x
a.a.a.a............a.a an
Výraz an je n-tá mocnina libovolného čísla a, kde n je přirozené číslo.
namocnitel
mocninyzáklad
ačíslamocninatán
(exponent)
Vlastnosti mocnin s přirozeným mocnitelem
Každá přirozená mocnina nuly sa rovná nule.Když a=0, potom platí: 01=02=03= ........ 0n=0.
Když a>0, potom mocnina je kladné číslo.Například 26=2.2.2.2.2.2=64; 0,53=0,5.0,5.0,5=0,125.
Když a<0, potomnapříklad (-3)2=(-3).(-3)=+9; (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)=+625
(-3)3=(-3).(-3).(-3)=-27; (-5)5=(-5).(-5).(-5).(-5).(-5)=-3 125Když n je sudé, mocnina je kladné číslo,
Když n je liché, mocnina je záporné číslo.
Úlohy na procvičování:
2x.2x.2x.2x.2x.2x =(-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) =(x+1).(x+1).(x+1) =
75 =(-0,4a)4 =(2+x)2 =Napište mocninu, která má základ -0,1 a exponent 5.
Výsledek mocniny (3-2.5)6 bude kladný nebo záporný?
Zapište součin ve tvaru mocniny:
Zapište mocninu ve tvaru součinu:
Sčítání a odčítání mocnin
Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele, a to tak, že sčítame jejich koeficienty.
Příklad:
Sčítance vhodně seskupíme
5x2 – 3 + 6x + 7x2 + 2 = (5x2+7x2)+6x+(-3+2) =
= (5+7)x2 + 6x + (-1) =
= 12x2 + 6x - 1koeficienty spočítáme
Vzorové řešení úloh:
4x2 +2y3 -5z -10x2 -2y3 +7z =
= (4x2-10x2)+ 0+2z= -6x2
seskupíme sčítancevypočítámeodstraníme závorky
seskupíme sčítance
vypočítame
(2y3-2y3)+(-5z+7z) =
4a2 -7b - 5(3a2 - b) =
= (4a2 - 15a2) + (-7b +5b) =
= -11a2 + (- 2b ) =-11a2 - 2b
4a2 -7b -15a2 + 5b =
Úlohy na procvičování:
7a2-6a+11a2+5a =13m3-12m2+11m-9m2-7m3 =
36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2 =8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n =11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) =12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) =4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) =
5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] =
Násobení mocnin Příklad :
Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem mocnitelů.
an.am = an+m
m,n N
43.aa )...).(..( aaaaaaaaaaaaaa ......
43a7a
Vzorové řešení úloh:
5d2.(-7d ) =
vynásobíme koeficienty
vynásobíme mocniny se stejným základem
5.(-7) d2+1 = -35d3
0,8x y2z3.10x2y z = 0,8.10 x1+2 y2+1 z3+1 =
= 8x3y3z4
(12-6m)x(12-6m)2y = (12-6m)x+2y
vynásobíme koeficienty
vynásobíme mocniny se stejným základem
vynásobíme mocniny se stejným základem
1
1 1 1
Úlohy na procvičování:
6y2.y3 =3x2y.5xy2 =
a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)=0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) =
-3xy3.(-4x5) =Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost:
x.53 = 57
38.3x = 310
23.x4 = 27
Dělení mocnin
Příklad :
Mocniny se stejným základem dělíme tak, že základ umocníme rozdílem mocnitelů.
am : an = am-n
m,n N, a≠0
35 : aa 3
5
a
a aaa
aaaaa
..
.... 2a35a
Mocnitel nula
Když m = n a současně x≠0, platí:
tedy
Každé číslo (různé od nuly) umocněné na nultou se rovná jedné.
a0 = 1 a ≠ 0
44 : xx 44x 0x
4
4
x
x
xxxx
xxxx
...
...1
44 : xx0x 1
, ale také
,
.
Záporný mocnitel Když m < n a současně x≠0, platí:
tedy
Mocnina se záporným mocnitelem se dá zapsat
jako zlomek:
a≠0,s N
53 : xx53x 2x
5
3
x
xxxxxx
xxx
....
..2
1
x
53 : xx
2x 2
1
x
ss
aa
1
, ale také
,
.
Vzorové řešení úloh:
18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5
(-0,2x7y8z9) : (-0,04x6y z9) =
= [(-0,2):(-0,04)] x7-6 y8-1 z9-9 = 5x1y7z0 = 5xy7
vydělíme koeficienty
vydělíme mocniny se stejným základem
z0 = 1
vydělíme koeficienty
vydělíme mocniny se stejným základem
x1 = x
1
7c5 : (-2c8) = [7:(-2)] c5-8 =
= -3,5c-3 = -3,5. 3
1
c 3
5,3
c
vydělíme mocniny se stejným základem
vydělíme koeficienty
33 1
cc
Úlohy na provičování:
91x5:(-7x4) =18m7n8:9m5n3 =
6k3:3k7 =0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) =12c3d2:(-15c5d3) =
Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost:38:3x = 35
10x:1000 = 10
(-24k8h3):36k7h5 =
Umocňování mocnin Příklad:
Mocninu umocníme tak, že základ umocníme součinem mocnitelů.
(an)m = an.m
m,n N
23)(a 33.aa33a
2.3a 6a
Mocnina součinu Příklad 1.:
Příklad 2.:
Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele.
(a.b)n = an.bn n N
xyxyxyxyxy ....5)(xyyyyyyxxxxx .........
55 yx
3)4( ab ababab 4.4.4bbbaaa ......4.4.4
3334 ba 3364 ba
Mocnina zlomku (podílu)
Příklad 1. :
Příklad 2. :
Zlomek umocníme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele zlomku.
b≠0, n N
5
d
c
d
c
d
c
d
c
d
c
d
c
ddddd
ccccc
....
....5
5
d
c
4
3
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
3
2
3
2
3
2
3
2
yyyy
xxxx
3.3.3.3
2.2.2.244
44
.3
.2
y
x 4
4
3
2
y
x4
4
81
16
y
x
n
nn
b
a
b
a
Vzorové řešení úloh:
(2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 8x6y9z3
(-3a5b7)2 = (-3)2 a5.2 b7.2 = 9a10b14
[(-3a2b )3.2b]2 = [(-3)3 a2.3 b1.3.2b]2 =
= (-27a6b3.2b )2 = [(-27.2)a6b3+1]2 =
= (-54a6b4)2 = 2916 a12 b8
umocníme činitele
vypočítame výraz v závoce
(-54)2 a6. 2 b4. 2 =
umocníme činitele
umocníme činitele
1
1
1
Úlohy na procvičování:
32
4
5a
(4a3b2)3 =(-5x2y3)2 =
(-2a5b)7 =
2
2
33
zy
x
4
3
2
1
1
y
x
Zapište jako mocninu se základem 2:
5
7
16
8
Zapište jako mocninu se základem 3:
3
4
27
3.81
PŘEZKOUŠEJ SE Následuje 20 úloh na ověření
vědomostí o mocninách s celočíselným mocnitelem.
Při každé úloze jsou navrženy čtyři možnosti, ale jen jedna z nich je správná. Označ ji kliknutím na písmeno před ní.
Přeji mnoho úspěchů !
1.) Který ze zápisů je správný ?
(A) y+y+y+y = y4
(B) 3x.3x.3x.3x = 3x4
(C) 2a+2a+2a+2a = 2a3
(D) 5k.5k.5k.5k = (5k)4
2.) 11a2-(-6a)+(-5a2)-(2a+3a2) =
(A) 3a2- 4a (B) 3a2+4a (C) 9a2+9a (D) 9a2- 4a
3.) Mocnina, které základ je -4y a mocnitel je 6 se dá zapsat jako:
(A) - 4y6
(B) -(4y)6
(C) (- 4y)6
(D) (4y)6
4.) Která z následujících rovností neplatí ?
(A) (-5)3 = -53
(B) -54 = (-5)4
(C) (53)2 = (52)3
(D) 5.53 = (52)2
5.) Který ze zápisů je správný ?
(A) 2a.(-3ab2).4b = 24a2b3
(B) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b2
(C) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b3
(D) 2a.(-3ab2).4b = -24a3b2
6.) Které z uvedených čísel je nejmenší ?
(A) 13,23
(B) (-500)3
(C) 5003
(D) (-13,2)3
7.) Výraz (-10x2y3)3 se dá upravit na tvar
(A) 100x6y3
(B) 1000x6y27
(C) -100x5y6
(D) -1000x6y9
8.) - 42x4y2:7x2y =
(A) -8x2y2
(B) 6x2y (C) -6xy2
(D) -6x2y
9.) Kolik je osmina z čísla 87 ?
(A) 17
(B) 81
(C) 77
(D) 86
10.)
4
53ba
32
2
ab
8
63ba
4
53ba
8
63ba
(A)
(B)
(C)
(D)
11.) Který ze zápisů je nesprávný ? (A) (-17)2 = 172
(B)
(C) - 5,12 = (- 5,1)2
(D) - 43 = (- 4)3
2
22
5
3
5
3
12.) 13y2-(3y+6y2)-(-5y)+(-7y2) =
(A) 2y (B) 8y2-2y (C) 3y2+2y (D) 12y2+2y
13.) Kterým výrazem musíme dělit 12a3, aby jsme dostali -3a ?
(A) 4a (B) - 4a2
(C) 4a2
(D) - 4a
14.) (-k2)3 =
(A) k5
(B) -k5
(C) -k6
(D) k6
15.) 4x2.(-5x3) =
(A) -20x6
(B) -20x5
(C) -20x (D) 20x5
16.) Který ze zápisů je správný ?
(A) -30x4:6x = 5x3
(B) -30x4:6x2 = -5x2
(C) -30x4:(-6x) = 5x2
(D) -30x4:(-6x) = -5x3
17.)
2
4
3
5
4
b
abVýraz se dá upravit na tvar
6
52
25
4
b
ba
62
52
5
4
b
ba
8
32
25
16
b
ba
8
62
25
16
b
ba
(A)
(B)
(C)
(D)
18.) Který ze zápisů je nesprávný ?
(A) 34.315 = 319
(B) 2x2.3x4 = 6x6
(C) 5a2y3.2ay5 = 10a3y15
(D) 15xy2.(-2x2y) = -30x3y3
19.) -10x3y4 : 2xy3 =
(A) -5x2y (B) -5xy (C) 5xy2
(D) -10x2y
20.)Výraz (-m5).(-7m3).(-m2).2m3 sa dá upraviť na tvar
(A) 14m19
(B) -14m90
(C) -14m13
(D) 14m13
Zajímavé vlastnosti mají druhé a třetí mocniny takových přirozených čísel, kterých desítkový zápis obsahuje pouze číslice 1 nebo 9.Čísla (nebo slova), které jsou stejné při čtení zprava nebo zleva, nazýváme PALINDRÓMY.Tuto vlastnost mají například druhé mocniny čísel složených ze samých jedniček:
Nippur
Autor : RNDr. Mária SzékelyováKontakt: [email protected]řeklad do českého jazyka : IP@RK ( hrbok8.seznam.cz)
Použitá literatúra