Operácie s mocninami s celočíselným mocniteľom

Operácie s mocninami

s celočíselným mocniteľom

pre žiakov 8. a 9. ročníka ZŠ

Obsah: Mocnina s prirodzeným mocniteľ

om Sčitovanie a odčítavanie mocnín Násobenie mocnín Delenie mocnín Umocňovanie mocnín Preskúšaj sa Niekoľko zaujímavostí o mocniná

ch

Mocnina s prirodzeným mocniteľom Príklad :

Súčin n rovnakých činiteľov a zapisujeme v tvare an.

n činiteľov

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

7

2

1

výraz skrátený zápisvýrazu

6.6 26zzz .. 3z

4,0.4,0.4,0.4,0.4,0 54,0xxxxxxxxxxx .......... 11x

a.a.a.a............a.a an

Výraz an je n-tá mocnina ľubovoľného čísla a, kde n je prirodzené číslo.

namocniteľ

mocninyzáklad

ačíslamocninatán

(exponent)

Vlastnosti mocnín s prirodzeným mocniteľom

Každá prirodzená mocnina nuly sa rovná nule.Ak a=0, potom platí: 01=02=03= ........ 0n=0.

Ak a>0, potom mocnina je kladné číslo.Napríklad 26=2.2.2.2.2.2=64; 0,53=0,5.0,5.0,5=0,125.

Ak a<0, potomnapríklad (-3)2=(-3).(-3)=+9; (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)=+625

(-3)3=(-3).(-3).(-3)=-27; (-5)5=(-5).(-5).(-5).(-5).(-5)=-3 125ak n je párne, mocnina je kladné číslo,

ak n je nepárne, mocnina je záporné číslo.

Úlohy na precvičovanie:

2x.2x.2x.2x.2x.2x =(-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) =(x+1).(x+1).(x+1) =

75 =(-0,4a)4 =(2+x)2 =Napíšte mocninu, ktorá má základ -0,1 a exponent 5.

Výsledok mocniny (3-2.5)6 bude kladný alebo záporný?

Zapíšte súčin v tvare mocniny:

Zapíšte mocninu v tvare súčinu:

Sčitovanie a odčítavanie mocnín Sčitovať a odčitovať môžeme iba tie

mocniny, ktoré majú rovnaký základ aj rovnakého mocniteľa, a to tak, že sčítame ich koeficienty.

Príklad:

Sčítance vhodne

zoskupíme

5x2 – 3 + 6x + 7x2 + 2 = (5x2+7x2)+6x+(-3+2) =

= (5+7)x2 + 6x + (-1) =

= 12x2 + 6x - 1koeficienty spočítame

Vzorové riešenie úloh:

4x2 +2y3 -5z -10x2 -2y3 +7z =

= (4x2-10x2)+ 0+2z= -6x2

zoskupíme sčítancevypočítameodstránime zátvorky

zoskupíme sčítance

vypočítame

(2y3-2y3)+(-5z+7z) =

4a2 -7b - 5(3a2 - b) =

= (4a2 - 15a2) + (-7b +5b) =

= -11a2 + (- 2b ) =-11a2 - 2b

4a2 -7b -15a2 + 5b =


7a2-6a+11a2+5a =13m3-12m2+11m-9m2-7m3 =

36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2 =8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n =11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) =12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) =4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) =

5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] =

Násobenie mocnín Príklad :

Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom mocniteľov.

an.am = an+m

m,n N

43.aa )...).(..( aaaaaaaaaaaaaa ......

43a7a


5d2.(-7d ) =

vynásobíme koeficienty

vynásobíme mocniny s rovnakým základom

5.(-7) d2+1 = -35d3

0,8x y2z3.10x2y z = 0,8.10 x1+2 y2+1 z3+1 =

= 8x3y3z4

(12-6m)x(12-6m)2y = (12-6m)x+2y

vynásobíme koeficienty



1

1 1 1


6y2.y3 =3x2y.5xy2 =

a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)=0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) =

-3xy3.(-4x5) =Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť:

x.53 = 57

38.3x = 310

23.x4 = 27

Delenie mocnín Príklad :

Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom mocniteľov.

am : an = am-n

m,n N, a≠0

35 : aa 3

5

a

a aaa

aaaaa

..

.... 2a35a

Mocniteľ nula

Ak m = n a súčasne x≠0, platí:

teda

Každé číslo (rôzne od nuly) umocnené na nultú sa rovná jednej.

a0 = 1 a ≠ 0

44 : xx 44x 0x

4

4

x

x

xxxx

xxxx

...

...1

44 : xx0x 1

, ale aj

,

.

Záporný mocniteľ Ak m < n a súčasne x≠0, platí:

teda

Mocnina so záporným mocniteľom sa dá zapísať

ako zlomok:

a≠0,s N

53 : xx53x 2x

5

3

x

xxxxxx

xxx

....

..2

1

x

53 : xx

2x 2

1

x

ss

aa

1

, ale aj

,

.


18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5

(-0,2x7y8z9) : (-0,04x6y z9) =

= [(-0,2):(-0,04)] x7-6 y8-1 z9-9 = 5x1y7z0 = 5xy7

vydelíme koeficienty

vydelíme mocniny s rovnakým základom

z0 = 1



x1 = x

1

7c5 : (-2c8) = [7:(-2)] c5-8 =

= -3,5c-3 = -3,5. 3

1

c 3

5,3

c



33 1

cc


91x5:(-7x4) =18m7n8:9m5n3 =

6k3:3k7 =0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) =12c3d2:(-15c5d3) =

Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť:38:3x = 35

10x:1000 = 10

(-24k8h3):36k7h5 =

Umocňovanie mocnín Príklad:

Mocninu umocníme tak, že základ umocníme súčinom mocniteľov.

(an)m = an.m

m,n N

23)(a 33.aa33a

2.3a 6a

Mocnina súčinu Príklad 1.:

Príklad 2.:

Súčin umocníme tak, že umocníme každého činiteľa.

(a.b)n = an.bn n N

xyxyxyxyxy ....5)(xyyyyyyxxxxx .........

55 yx

3)4( ab ababab 4.4.4bbbaaa ......4.4.4

3334 ba 3364 ba

Mocnina zlomku (podielu)

Príklad 1. :

Príklad 2. :

Zlomok umocníme tak, že umocníme čitateľa aj menovateľa zlomku.

b≠0, n N

5

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

ddddd

ccccc

....

....5

5

d

c

4

3

2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

3

2

3

2

3

2

3

2

yyyy

xxxx

3.3.3.3

2.2.2.244

44

.3

.2

y

x 4

4

3

2

y

x4

4

81

16

y

x

n

nn

b

a

b

a


(2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 8x6y9z3

(-3a5b7)2 = (-3)2 a5.2 b7.2 = 9a10b14

[(-3a2b )3.2b]2 = [(-3)3 a2.3 b1.3.2b]2 =

= (-27a6b3.2b )2 = [(-27.2)a6b3+1]2 =

= (-54a6b4)2 = 2916 a12 b8

umocníme činitele

vypočítame výraz v zátvorke

(-54)2 a6. 2 b4. 2 =

umocníme činitele

umocníme činitele

1

1

1


32

4

5a

(4a3b2)3 =(-5x2y3)2 =

(-2a5b)7 =

2

2

33

zy

x

4

3

2

1

1

y

x

Zapíšte ako mocninu so základom 2:

5

7

16

8

Zapíšte ako mocninu so základom 3:

3

4

27

3.81

PRESKÚŠAJ SA Nasleduje 20 úloh na overenie vedomostí o mocninách s celočíselným mocniteľom.

Pri každej úlohe sú ponúknuté štyri možnosti, ale iba jedna z nich je správna. Označ ju kliknutím na písmeno pred ňou.

Prajem veľa úspechov !

1.) Ktorý zo zápisov je správny ?

(A) y+y+y+y = y4

(B) 3x.3x.3x.3x = 3x4

(C) 2a+2a+2a+2a = 2a3

(D) 5k.5k.5k.5k = (5k)4

2.) 11a2-(-6a)+(-5a2)-(2a+3a2) =

(A) 3a2- 4a (B) 3a2+4a (C) 9a2+9a (D) 9a2- 4a

3.) Mocnina, ktorej základ je -4y a mocniteľ je 6 sa dá zapísať ako:

(A) - 4y6

(B) -(4y)6

(C) (- 4y)6

(D) (4y)6

4.) Ktorá z nasledujúcich rovností neplatí ?

(A) (-5)3 = -53

(B) -54 = (-5)4

(C) (53)2 = (52)3

(D) 5.53 = (52)2


(A) 2a.(-3ab2).4b = 24a2b3

(B) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b2

(C) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b3

(D) 2a.(-3ab2).4b = -24a3b2

6.) Ktoré z uvedených čísel je najmenšie ?

(A) 13,23

(B) (-500)3

(C) 5003

(D) (-13,2)3

7.) Výraz (-10x2y3)3 sa dá upraviť na tvar

(A) 100x6y3

(B) 1000x6y27

(C) -100x5y6

(D) -1000x6y9

8.) - 42x4y2:7x2y =

(A) -8x2y2

(B) 6x2y (C) -6xy2

(D) -6x2y

9.) Koľko je osmina z čísla 87 ?

(A) 17

(B) 81

(C) 77

(D) 86

10.)

4

53ba

32

2

ab

8

63ba

4

53ba

8

63ba

(A)

(B)

(C)

(D)

11.) Ktorý zo zápisov je nesprávny ? (A) (-17)2 = 172

(B)

(C) - 5,12 = (- 5,1)2

(D) - 43 = (- 4)3

2

22

5

3

5

3

12.) 13y2-(3y+6y2)-(-5y)+(-7y2) =

(A) 2y (B) 8y2-2y (C) 3y2+2y (D) 12y2+2y

13.) Ktorým výrazom musíme deliť 12a3, aby sme dostali -3a ? (A) 4a (B) - 4a2

(C) 4a2

(D) - 4a

14.) (-k2)3 =

(A) k5

(B) -k5

(C) -k6

(D) k6

15.) 4x2.(-5x3) =

(A) -20x6

(B) -20x5

(C) -20x (D) 20x5


(A) -30x4:6x = 5x3

(B) -30x4:6x2 = -5x2

(C) -30x4:(-6x) = 5x2

(D) -30x4:(-6x) = -5x3

17.)

2

4

3

5

4

b

abVýraz sa dá upraviť na tvar

6

52

25

4

b

ba

62

52

5

4

b

ba

8

32

25

16

b

ba

8

62

25

16

b

ba

(A)

(B)

(C)

(D)

18.) Ktorý zo zápisov je nesprávny ?

(A) 34.315 = 319

(B) 2x2.3x4 = 6x6

(C) 5a2y3.2ay5 = 10a3y15

(D) 15xy2.(-2x2y) = -30x3y3

19.) -10x3y4 : 2xy3 =

(A) -5x2y (B) -5xy (C) 5xy2

(D) -10x2y

20.)Výraz (-m5).(-7m3).(-m2).2m3 sa dá upraviť na tvar

(A) 14m19

(B) -14m90

(C) -14m13

(D) 14m13

Nippur

Autor : RNDr. Mária Székelyová Kontakt: [email protected] Použitá literatúra

Operácie s mocninami s celočíselným mocniteľom

Documents