Page 1
kinematika (grč. kinema = pokret, gibanje)
- proučava geometriju gibanja ne tražeći uzroke koji su doveli do gibanja
gibanje – vremenska promjena položaja tijela u prostoru
temeljni zadatak kinematike je određivanje osnovnih kinematičkih veličina:
• puta s(t)
• brzine v(t)
• ubrzanja a(t)
kao funkcija vremena za svaku točku tijela.
kinematika materijalne točke kinematika krutog tijela
- sve točke tijela opisuju isto gibanje
- dimenzije tijela nisu bitne pri analizi gibanja
1
Uvod
Kinematika
Page 2
položaj tijela: određen koordinatama u odabranom
koordinatnom sustavu (tijelo ne može imati istodobno dva
položaja),
putanja, trajektorija, trag kretanja tijela: skup svih točaka
kroz koje prolazi tijelo, svakoj točki putanje odgovara drugo
vrijeme,
pomak tijela: razlika konačnog i početnog položaja tijela u
određenom vremenskom intervalu, vektorska veličina,
prijeđeni put: duljina puta (putanje) koje tijelo pređe u
određenom vremenskom razdoblju, skalarna, pozitivna
veličina, monotono rastuća funkcija.
2
Uvod
Page 3
Jednadžba gibanja, zakon gibanja, zakon puta –
funkcija ovisnosti koordinata točaka tijela o vremenu.
Načini zadavanja jednadžbe gibanja:
vektorski: vektorom položaja,
parametarski: sustavom skalarnih jednadžbi,
prirodni: prirodnim koordinatnim sustavom.
3
Uvod
Page 4
mktzjtyitxtr
mrrrtr zyx
)()()()(
)(
4
Kinematika materijalne točke
Zadavanje gibanja vektorom položaja
Page 5
sin)( )(
sincos)( )(
coscos)( )(
0)(
)(
sin)( )(
cos)( )(
)(
)(
)(
rt , zrad t
rt , yrad t
rt x , m tr
k.s.u polarni prelazimo tzza
mtz
t y,m t
t, xrad t
mtz
mty
mtx
Parametarsko zadavanje gibanja
- sustav skalarnih jednadžbi u odabranom koordinatnom sustavu:
- Kartezijev koordinatni sustav:
- cilindrični koordinatni sustav:
- sferni koordinatni sustav:
5
Kinematika materijalne točke
Page 7
- svakoj točki putanje pripadaju
tri međusobno okomita pravca:
• tangenta,
• glavna normala i
• binormala
koji tvore prirodni koordinatni
sustav,
- pravac tangente i glavne
normale tvore oskulatornu
ravninu koja sadrži:
• vektor brzine,
• vektor ubrzanja i
• središte zakrivljenosti.
Prirodno zadavanje gibanja
7
Kinematika materijalne točke
Page 8
srednja(e) brzina:
- vektorska srednja brzina
- skalarna srednja brzina
u općem slučaju:
vvvvv
smdt
ds
t
sv
smvvvv
smdt
rd
dt
rd
dt
rdv
smdt
rd
t
rv
zyx
t
zyx
zyx
t
222
0
0
/lim
/
/
/lim
srsr
sr
sr
vv
smt
sv
smt
rv
/
/
trenutna brzina:
8
kinematika materijalne točke
Page 9
srednje ubrzanje: trenutno ubrzanje:
2
0
2 /lim/ smdt
vd
t
vasm
t
va
tsr
9
kinematika materijalne točke
Page 10
Kinematički dijagrami
– grafički prikaz vremenske promjene:
• puta s(t),
• brzine v(t) i
• ubrzanja a(t).
Za zadani dijagram puta s-t
dijagrami brzine v-t i ubrzanja a-t
vezani su prvom i drugom derivacijom.
10
kinematika materijalne točke
Page 11
Zadavanje gibanja
v-t ili a-t
dijagramima
1
0
t
vdts
2/
/:
smdt
dva
mCvdts
smv(t)zadano
- za određivanje konstante C
moramo poznavati put
u određenom trenutku,
najčešće je to t=0 (početni uvjet).
11
kinematika materijalne točke
Page 12
putanja: (općenito) bilo kakva prostorna krivulja
prema obliku putanje razlikujemo četiri osnovna gibanja:
pravocrtno krivocrtno
prostorno ravninsko
12
kinematika materijalne točke
Page 13
Za parametarski zadana gibanja:
odredite jednadžbe putanja.
Određivanje putanje (trajektorije) gibanja
mtymty
mtxmtx
mtymty
mtxmtx
sin2
cos2
sin10 cos21
cos10 sin23
22
32
3
3
13
kinematika materijalne točke
Page 14
Pravocrtno gibanje
putanja: pravac
os koordinatnog sustava postavljamo duž putanje gibanja, ishodište na
početak trajektorije
vektori brzine i ubrzanja poklapaju se s pravcem gibanja – nije
potreban vektorski zapis (pristup)
14
kinematika materijalne točke
Izvor: [3]
Page 15
1.Materijalna točka giba se pravocrtno prema zakonu gibanja
s(t)= t3-3t2+2 [m].
Odredite srednje brzine za prve četiri sekunde gibanja i vrijednost ubrzanja
u četvrtoj sekundi.
2. Materijalna točka giba se pravocrtno brzinom
v(t)= 0,9t2-0,63t [m/s].
Odredite zakone gibanja i ubrzanja te položaj točke u trenutku t=3 s, ako
je početni položaj točke s0=0.
15
kinematika materijalne točke
Zadatci:
Page 16
Posebni slučajevi gibanja po pravcu:
jednoliko gibanje po pravcu,
jednoliko ubrzano gibanje po pravcu,
jednoliko usporeno gibanje po pravcu,
harmonijsko gibanje.
16
kinematika materijalne točke
Page 17
Jednoliko gibanje po pravcu
mstvs
sCCvs
s, st
CtvCdtvs
Cvdts
smvCv
v, vt
Cadtv
sma
0
0
/
0
/ 0
00
02200
0
2020
2
01
0
1
2
17
kinematika materijalne točke
Page 18
Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu
msattvs
sCCavs
s, st
Cattvs
CdtvatCvdts
smvatv
vCCav
v, vt
CatCadtv
smkonsta
2
1
02
10
0
2
1
/
0
0
/ .0
0
2
0
022
2
00
0
2
2
0
202
0
0110
0
11
2
18
kinematika materijalne točke
Page 19
Jednoliko usporeno gibanje po pravcu
msattvs
sCCavs
s, st
Cattvs
CdtvatCvdts
smvatv
vCCav
v, vt
CatCadtv
smkonsta
2
1
02
10
0
2
1
/
0
0
/ .0
0
2
0
022
2
00
0
2
2
0
202
0
0110
0
11
2
19
kinematika materijalne točke
Page 20
3. Izračunajte brzinu kojom treba vertikalno baciti tijelo s visine od 40 [m]
da bi palo:
a) jednu sekundu ranije,
b) jednu sekundu kasnije
u odnosu na slobodni pad.
4. Automobil koji se kreće konstantnom brzinom 40 [km/h] počinje kočiti.
Nakon 4,6 [s] pređe put jednak dvostrukom putu prevaljenom u prvih
1,5 [s] kočenja. Koliko iznosi usporenje?
20
kinematika materijalne točke
Page 21
Primjer: jednostavno harmonijsko gibanje
Elementi modela:
elastična opruga krutosti k
tijelo mase m
Idealizacija modela:
zanemarujemo otpore gibanju
Zakon gibanja: harmonijska funkcija:
Putanja gibanja - pravac
Harmonijsko gibanje
,
sin)(
iR
mtRtx
21
kinematika materijalne točke
k [N/m]
m [kg]
x(t) [m] - konstante
Page 22
2/62
1sin
4
5)(/
62
1cos
2
5)(
62
1sin5)( smttasmttvmttx , ,
22
kinematika materijalne točke
Page 23
Jednostavno harmonijsko gibanje: fizikalno pojašnjenje
k
smjer motanja papira
ω=konst
m
x(t)
23
kinematika materijalne točke
Izvor: [8]
Page 24
Analiza gibanja u prirodnom
koordinatnom sustavu:
- vektor brzine:
/
/T
dsv m s
dt
v v i m s
Krivocrtno gibanje materijalne točke u ravnini
vektori položaja, brzine i ubrzanja nisu kolinearni
24
kinematika materijalne točke
Page 25
221
/T N T N T T N N
dv ds dv va i v i i i a i a i m s
dt dt dt
TT
T
T T N N
d v idv dv dia i v
dt dt dt dt
di d i i d i
dsd
Analiza gibanja u prirodnom koordinatnom sustavu: vektor ubrzanja
↙ ↘ mijenja iznos brzine mijenja smjer brzine
25
kinematika materijalne točke
Page 26
.r konst
Gibanje po kružnici
rdt
dr
dt
dsv
trts
26
kinematika materijalne točke
↓ ↓
obodna brzina kutna brzina
(m/s) (rad/s)
rdt
dr
dt
dva
rr
va
T
N
22
↓
kutno ubrzanje
(rad/s2)
TN aaa
Page 27
rra
rv
Vektorski smisao kutne brzine i kutnog ubrzanja:
27
kinematika materijalne točke
Page 28
Posebni slučajevi gibanja po kružnici:
jednoliko gibanje po kružnici,
jednoliko ubrzano gibanje po kružnici,
jednoliko usporeno gibanje po kružnici.
Jednoliko gibanje po kružnici:
2
. 0
.
0
.
T
N
N
konst
v r konst
a r
a ava konst
r
28
kinematika materijalne točke
Page 29
Jednoliko ubrzano gibanje po kružnici:
2
. i 0
.
. 0
.
T
N
konst
v r konst
a r konst
va konst
r
>
>
tangencijalno ubrzanje je u smjeru brzine,
vrijednost brzine se povećava
29
kinematika materijalne točke
Page 30
2
. i 0
.
. 0
.
T
N
konst
v r konst
a r konst
va konst
r
<
<
Jednoliko usporeno gibanje po kružnici:
tangencijalno ubrzanje je u suprotnom smjeru od
brzine, vrijednost brzine se smanjuje
30
kinematika materijalne točke
Page 31
0 0
2 2
0 0 0 0
0 0
2 2
0 0 0 0
+ t
1 1s=s + = +
2 2
t
1 1s=s + = +
2 2
T
T
T
T
v v a t
v t a t t t
v v a t
v t a t t t
Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja:
-jednoliko ubrzano:
-jednoliko usporeno:
31
kinematika materijalne točke
Page 32
32
kinematika materijalne točke
5. Materijalna točka giba se po putanji prikazanoj na slici ubrzanjem
a=0,2t m/s2. Odredite iznos ubrzanja u točki B.
6. Materijalna točka giba se po kružnici radijusa 90 m. Intenzitet brzine m.t.
raste od nule konstantnim ubrzanjem od 2,1 m/s2. Odredite vrijeme potrebno
da točka postigne ukupnu akceleraciju od 2,4 m/s2 i brzinu u tom trenutku.
Izvor: [3]
Izvor: [3]
Page 33
Kosi hitac: sastavljeno gibanje
- zadano: , otpor zraka zanemarujemo
2
0
0
2
1sin)(
sin)(
tgtvty
tgvtvy
tvtx
konstvvv xx
cos)(
.cos
0
,00
- jednoliko gibanje po pravcu (os x):
- jednoliko usporeno gibanje po pravcu
(os y):
,00 vv
33
kinematika materijalne točke
Page 34
- jednadžba putanje:
m
vgxtgxy
v
xg
v
xvy
tgtvty
v
xttvtx
2
0
2
2
00
0
2
0
0
0
cos
1
2
1
cos2
1
cossin
2
1sin)(
coscos)(
- parabola (ravninsko krivocrtno
gibanje)
34
kinematika materijalne točke
Page 35
- domet hica:
2sincossin2
cos2
cos
1
2
1
cos
1
2
10
cos
1
2
1
2
0
2
0
22
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
mg
v
g
vD
g
vtgD
vgDtgD
vgDtgD
vgxtgxy
- trajanje hica:
sg
vTTv
g
vD
TvD
tvtx
sin2
cos2sin
cos
cos)(
00
2
0
0
0
35
kinematika materijalne točke
Page 36
- maksimalna visina hica:
2
sin
cos
1
2
1
22
22
2sincos
0cos
1
cos
1
2
1
22
0
2
0
2
2
0
22
0
2
0
2
0
2
mg
v
vg
Dtg
DH
D
g
v
g
vtgx
vgxtg
dx
dy
vgxtgxy
36
kinematika materijalne točke
Page 37
Što ako zadržimo isti intenzitet početne brzine
ali promijenimo kut prema horizontali na β=90-α?
37
kinematika materijalne točke
Page 38
7. Lovac nišani majmuna na visini h i udaljenosti d.
Da li će zrno pogoditi majmuna ako u trenutku okidanja majmun
ispusti granu?
Odgovor: na žalost da.
38
kinematika materijalne točke
Page 39
zrno - kosi hitac majmun – slobodni pad
2
0
0
2
1sin)(
cos)(
tgtvty
tvtx
z
z
2
2
1)(
)(
tghty
dtx
m
m
- odredimo jednadžbe gibanja zrna i majmuna,
- ishodište koordinatnog sustava stavljamo na položaj topa:
- mjesto i vrijeme susreta:
)(cos2
1
cos2
1
cossin
2
1sin)(
cos2
1
2
1)(
coscos
)(
cos)(
2
0
2
00
0
2
0
2
0
2
0
0
0
Tyv
dgh
v
dg
v
dvTgTvTy
v
dghTghTy
v
dTdTv
dtx
Tvtx
m
z
m
m
z
39
kinematika materijalne točke
Page 40
8. Igrač baca loptu početnom brzinom od 15 m/s pod kutem α prema
zidu koji se nalazi na udaljenosti od 18 metara.
Odredite vrijednost kuta α ako je strop dvorane na visini od 6 m.
Na kojoj će visini lopta udariti zid?
α
40
kinematika materijalne točke
Izvor: [3]
Page 41
Horizontalni hitac:
2
2
1)(
)(
tgty
tgtvy
tvtx
konstvvvx
0
00
)(
.0cos
- jednoliko gibanje po pravcu (os x):
- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):
00 v
2
2
02x
v
gy
- putanja:
41
kinematika materijalne točke
Page 42
Vertikalni hitac:
2
0
0
2
1)(
)(
tgtvty
tgvtvy
- jednoliko usporeno gibanje po pravcu (os y):
900 v
- visina:
g
v
g
vg
g
vvH
g
vttgvtvy
22
1
0)(
2
0
2
000
00
- trajanje do pada:
g
vTTgTv 02
0
2
2
10
42
kinematika materijalne točke
Page 43
Složeno gibanje materijalne točke
cpr aaaa
Gibanje materijalne točke u sustavu koji se i sam giba.
Razlikujemo:
apsolutno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na nepomični sustav,
prijenosno gibanje - gibanje pomičnog sustava u odnosu na
nepomični,
relativno gibanje - gibanja m.t. u odnosu na pomični sustav.
• Brzina materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:
apsolutna brzina:
• Ubrzanje materijalne točke u odnosu na nepomični sustav:
apsolutno ubrzanje:
komponenta ubrzanja koja se javlja kada prijenosno gibanje sadrži rotaciju
(Coriolisovo ubrzanje)
pra vvv
43
kinematika materijalne točke
Page 44
Kinematika krutog tijela
Dva osnovna gibanja krutog tijela:
translacija
rotacija oko nepomične osi
Ravninsko (komplanarno, planarno) gibanje
translacija + rotacija oko trenutne osi
Gibanje oko nepomične točke (sferno gibanje)
Opće gibanje slobodnog krutog tijela u prostoru
53
kinematika krutog tijela
Page 45
Translacija krutog tijela
- gibanje pri kojem spojnica bilo koje dvije točke tijela uvijek ostaje
paralelna svom prvobitnom (početnom) položaju,
- prema obliku putanje spojnice kroz prostor razlikujemo:
pravocrtnu translaciju i krivocrtnu translaciju
45
kinematika krutog tijela
Page 46
Translacija krutog tijela
↓
sve točke tijela opisuju sukladne putanje i gibaju se
međusobno jednakim brzinama i ubrzanjima
↓
potrebno je poznavati kinematiku jedne (bilo koje)
točke tijela da opišemo njegovo gibanje
↓
kinematika materijalne točke
AB
AB
ABAB
aa
vv
rrrdt
d
0
//
46
kinematika krutog tijela
Page 47
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
47
kinematika krutog tijela
Izvor: [3]
Page 48
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
- sve točke tijela opisuju kružne putanje
sa središtem na istom pravcu
↓
osi rotacije,
- putanje su koncentrične kružnice ili se
nalaze u međusobno paralelnim ravninama,
- nije nužno da os rotacije prolazi kroz tijelo.
48
kinematika krutog tijela
Izvor: [3]
Page 49
sradt
radtt
sraddt
d
sraddt
d
/
2
1
/
/
0
2
00
2
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
- za konstantnu vrijednost kutnog ubrzanja:
ra
ra
rv
N
T
2
vrijednosti se mijenjaju linearno
s udaljenošću od osi vrtnje
49
kinematika krutog tijela
Page 50
rra
rra
rrv
rr
pp
p
p
sin
50
kinematika krutog tijela
Rotacija krutog tijela oko nepomične osi
Izvor: [3]
Page 51
1. primjer: Disk rotira konstantnim kutnim ubrzanjem e=6 [rad/s2].
Početna brzina diska iznosi w0=8 [rad/s]. Odredite iznos brzine i
ubrzanja točke B nakon što se disk okrene za dva puna kruga.
51
kinematika krutog tijela
Izvor: [3]
Page 52
2. primjer: Odredite brzinu i ubrzanje tereta B dvije sekunde nakon
početka gibanja ako se kutno ubrzanje mijenja prema izrazu:
e=0,6t2+0,75
52
kinematika krutog tijela
Izvor: [3]
Page 53
Ravninsko (komplanarno) gibanje
- sve točke krutog tijela maju putanje jednako udaljene u odnosu na neku
nepomičnu (referentnu) ravninu,
- vektori brzina i ubrzanja svih točaka tijela paralelni su s referentnom
ravninom,
- gibanje se sastoji od translacije i rotacije oko pomične osi,
- za opis gibanja potrebno je poznavati gibanje samo jednog presjeka
tijela koji je paralelan s referentnom ravninom.
53
kinematika krutog tijela
Page 54
54
kinematika krutog tijela
Page 55
↙ ↘ translacija rotacija
55
kinematika krutog tijela
ABv
rvv
vvv
AB
ABAB
ABAB
/
/
/
ABAB rdrdrd /
ABABAB
NABTABAB
ABAB
rraa
aaaa
aaa
//
,/ ,/
/
Vektori brzine i ubrzanja
kod ravninskog gibanja
Page 56
coscos coscos
/
/
ABAB
AB
ABAB
vvvv
v
vvv
56
kinematika krutog tijela
Odnos projekcija brzina kod ravninskog gibanja
Page 57
- trenutni pol brzina
/A Pr
/B Pr
coscos
//
/
AB
ABAB
ABAB
vv
rv
vvv
PBBPAA
ABBABA
ABB
ABABA
AB
rvrv
rvrv
rv
vrv
v
//
//
////
coscos
coscos
57
kinematika krutog tijela
Znamo da vrijedi:
Određivanje trenutnog pola brzina
Page 58
3. primjer: Štap AB klizi po horizontalnoj i vertikalnoj glatkoj podlozi
prema slici. U trenutku kada se štap nalazi se pod kutom od 60° u
odnosu na horizontalu podlogu brzina točke A iznosi vA=5 cm/s .
Odredite brzinu točke B.
58
kinematika krutog tijela
Izvor: [3]
Page 59
1
/
//
2
160cos
60cos
/66,860cos
30cos
30cos60cos
sr
v
rv
v
scmvv
vv
AB
A
ABA
AB
AB
AB
Određivanje brzina
59
kinematika krutog tijela
Page 60
Kotrljanje bez klizanja
translacija + rotacija
0 / m sv r brzina translacije i rotacije:
r- radijus diska/kugle
60
kinematika krutog tijela
Page 61
/
/
C C P
D D P
v r
v r
61
kinematika krutog tijela
Page 62
0
2
T
N
a r
a r
a r
0B T Na a a a
translacija + rotacija
komponente ubrzanja:
A Na a
62
kinematika krutog tijela
Page 63
kinematika krutog tijela
63
Što ako se podloga giba?
4. primjer: Odredite brzinu točke B na obodu cilindra koji se kotrlja bez
klizanja po pokretnoj traci prema slici.
5. primjer: Cilindar radijusa r=0,125 m kotrlja se bez klizanja između dvije
paralelne trake kako je prikazano na slici. Odredite brzinu središta
cilindra.
Izvor: [3]
Izvor: [3]
Page 64
64
Literatura:
[1] A.C. Chopra: Dynamics of Structures-Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, 3th
edition , 2007.
[2] N.Cindro: Fizika 1 mehanika-valovi-toplina, Školska knjiga, Zagreb, 1980.
[3] R.C.Hibbeler: Engineering Mechanics, Dynamics, Eleventh edition, Pearson Education, 2007.
[4] Inženjerski priručnik IP1 – temelji inženjerskih znanja, Školska knjiga, Zagreb 1996.
[5] S. Jecić: Kinematika krutih tijela, Udžbenici Sveučilišta u Zgb-u, Fakultet strojarstva i brodogradnje, 2002.
[6] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, II dio, Kinematika, PBI d.o.o., Zagreb , 1997.
[7] A. Kiričenko: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika, PBI d.o.o., Zagreb , 1998.
[8] C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Ruderman: Mehanika – udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu, prvi svezak, drugo
izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 1982.