Kinematika - zadaci

Čestica se kreće brzinom konstantnog intenziteta v duž kardiode čija je

jednačina u polarnim koordinatama data sa r(φ)=2(1+cosφ ) gdje je

rastojanje r dato u metrima.Odrediti :

a) Izraziti φ preko intenziteta brzine

v2=r2+r2 φ2

r= drdφ

dφdt

= ddφ

[2(1+cosφ)] φ=−2 φ sinφ

v2=4 φ2 sin2φ+4 (2+cosφ )2 φ2

¿4 φ2 sin2φ+4(1+2cosφ+cos¿¿2φ) φ2 ¿ ¿8 φ2+8 φ2 cosφ=8 φ (1+cosφ )=4 φ22 (1+cosφ )

¿4 φ2 r→φ= v

√4 rb)Izraziti radijalnu komponentu ubrzanja preko intenziteta brzine

ar=r−r φ2

r=d rdt

=−2 ddt

( φ sinφ )=−2(φ sinφ+ φ2 cosφ)

φ= ddt ( v2√r )= v

2 (−12 )r−32 r= v

2r32

vsinφ

2 r12

= v2

4 r2sinφ

ar=−2 (φ sinφ+φ2 cosφ )−2 (1+cosφ ) v2

4 r

¿− v2

2 r2sin2φ− v2

2rcosφ− v2

4

¿− v2

4 r2(2sin2φ+2rcosφ )− v2

4

¿− v2

4 r2[2−2cos2φ+4 (1+cosφ ) cosφ ]− v2

4

¿− v2

4 r2(2+4cosφ+2cos2φ )− v2

4

¿− v2

8 r 24 (1+cosφ)2− v2

4=−v2

8− v2

4

ar=−3v2

8

c) Izraziti intenzitet ubrzanja čestice preko ugla φ .

a=√ar2+aφ

2

aφ=r φ+2 r φ=−3 v2

8sinφ1+cosφ

a=3v2

8 √ 21+cosφ

r=4 ,φ=0

a=3v2

8

Kretanje tačke u ravni zadato je tačkama u polarnim kordinatama

r=2t

φ=4 t t=12s

a) trajektorija tačke

rφ=8

b) brzina i ubrzanje tacke

r=( 2t )'

=−2t2

=−8 φ=4

r=(−2t2 )'

=−2 (t−2 )'=4 t−3= 4t3

=32 φ=0

v=√ r2+ (r φ )2=√(−8 )2+(16 )2=√64+256 v=8√5 a=√ ( r−r φ )2+ (r φ+2 r φ )2=¿ ¿√(32−4∗16)2+(4∗0+2∗4∗4)2

a=32√5

Tačka se krece u ravni konstantnom brzinom V=4 m/s pri cemu je

polarni ugao φ jednak uglu izmedju polarnog potega i brzine

tacke i mijenjaju se sa vremenom,po zakon φ=π6t

a) trajektorija tacke

sinφ=V φ

V φ=( π

6t )

'

V φ=Vsinφ φ=π6

r φ=Vsinφ

r=Vsinφφ

=4sin

π6t

π6

=24π

sinφ

b)polozaj tacke u trenutku t=0

r=24πsin

π6t

r=0

U t=0 tačka se nalazi u kordinatnom pocetku.c)ubrzanje tacke u proizvoljnom trenutku

r=24πcos

π6t ; r=−24

πsin

π6t a=√ar2+aφ

2

ar=r−r φ2=−43

πsinπ6t

aφ=r φ+2 r φ= 43πcos

π6t

a=√(−43

πsinπ6t)2

+( 43πcos

π6t)2

= 4π3

Klizac A kreće se naniže iz tačke D duž vertikalne vodice konstanom

brzinom v0 .Za klizač je vezano nerastezljivo,idealno savitljivo uže

koje je zatim prebačeno preko nepomicnog kotura O u cijem drugomkraju visi teret M.Rastojanje ose klizaca A od ose kotura

DO=b(const) .Naci brzinu i ubrzanje tereta M.Dimenzije kotura O

zanemariti.

DO=b(const)s=s (t)

V o=const x+√b2+s2=c x=c−√b2+s2 s=V ot x=c−√b2+(V ¿¿ o t)2¿

V m=dsdt

∗τ0 a=V 2

Rm+ dv

dt∗τ0

V m=dxdt

=c'−¿¿

¿0−12

¿¿

¿0−12

¿¿ ¿−¿¿

am=dVmdt

=(−V 0

2 t

√b2+ (V 0 t )2)2

=−V 02 t

'√b2+(V 0t )2−t(√b2+ (V 0 t )

2)'

b2+ (V 0t )2=¿

¿−V 021∗√b2+(V 0 t)

2− t∗12

(b2+(V 0t )2)−12 ∗(b2+ (V 0 t )

2)'

b2+ (V 0 t )2 =¿

¿−V 02

√b2+(V 0 t)2− t∗1

21

√b2+(V 0t )2∗(0+V 0

2∗2t )

b2+(V 0t )2=

¿−V 02

(√b2+(V 0t )2)2−t∗12

∗(V 022t )

√b2+(V 0 t )2

b2+(V 0 t )2=¿

¿−V 0

2b2+(V 0t )2− t∗1

2∗2V 0

2t

(b¿¿2+(V 0t )2)∗√b2+(V 0 t )2=−V 0

2 b2+(V 0 t )2−t∗V 0

2 t

(b¿¿2+(V 0t )2)∗(b2+(V 0 t )2)12=¿¿

¿

¿−V 02 b

2+(V 0t )2−V 02t 2

(b2+ (V 0 t )2)12+1

=−V 0

2b2

(b2+(V 0 t )2)32

Prava p se obrće u horizontalnoj ravni ravnomjerno oko se kroz tačku

O1 ,koja je upravna na ravan obrtanja.Obrtanjem prava dovodi u

kretanje prstenove A i B po nepokretnoj kruznici.Poluprecnik kruznice

je r,a rastojanje OO1=12r .Odrediti :a)odnos brzina prstenova A i B

(Va,Vb) u funkciji ugla φ , b) velicinu ugla φ pri kome je taj odnos

jednak 12

sA=r∗ψ=V a

V a=dsAdt

=r∗ψ

ψ=φ+ 1

√1−14 sin2φ ¿ 12cos φ∗φ

Va=r (φ+ cosφ∗φ

2√1−14 sin2φ)

Va=r∗φ(1+ cosφ

2√4−sin2φ)

1800−α−¿ sB=r∗α=Vb=dsbdt

1800−φ−¿ sin (φ−α )=O1 RO1 B

OC= r2sinφ=rsin (ψ−φ)

sinα=O1 rr2

12sinφ=sin (ψ−φ) sin

(φ−α )∗r2

= sinα∗r2

ψ−φ=arcsin (12sinφ) sin (φ−α )= rsinφ

2

ψ=φ+arcsin ( 12sinφ) sin (φ−α )= sinφ

2

α=φ−arcsin ( 12sinφ)

α=φ−

1

√1− 14 sin2φ∗1

2cosφ∗φ

Vb=

dsdt

=r∗α=r∗(φ−cosφ∗φ

2√1− 14 sin2φ )=r∗φ (1−cos φ

√φ−sin2φ)

VaVb

=r∗φ (1+ cosφ

2√4−sin2φ)

r∗φ(1− cosφ

√φ−sin2φ)= √3+cos2φ+cosφ

√3+cos2φ−cosφ

b) 12= √3+cos2φ+cosφ

√3+cos2φ−cosφ=√3+cos2φ−cosφ=2√3+cos2φ+2cosφ

√3+cos2φ=3cos φ ¿2=3+cos2φ=9cos2φ=¿¿ 8cos2φ=3

cos2φ=38

cosφ=arccos (±√ 38 )

Tačka M se kreće duž parabole čije jednačina u polarnim kordinatama

glasi: r=2 p cosφsin2φ

.Odrediti ubrzanje tačke M u trenutku kada je

t 1=π2k

,ako se φ mijenja po zakonu φ=kt (k-const)

r=2 p cosktsin2 kt

φ=kt φ=k φ=0

r=(2 p cos ktsin2kt

)'

=2 p(coskt )' sin2 kt−cos kt(sin2 kt)'

(sin2 kt)2

¿2 p∗−sin kt∗k∗¿ sin2 kt−cos kt∗2sin kt ¿¿¿¿¿

¿2 p∗−k∗sin3 kt−cos kt∗2sin kt∗cos kt∗ksin4 kt

¿2 p∗−k∗sinkt (¿ sin2 kt+2cos2 kt)

sin4 kt=2

p∗−k∗(sin2 kt+cos2 kt+cos2 kt )sin3 kt

¿

r=−2pk∗1+cos2 ktsin3 kt

=−2 pk1+cos2 k π

2k

sin3kπ2k

=−2 pk1+01

=−2 pk

r=−2pk∗(1+cos2kt )' sin3 kt−(1+cos2kt )(sin3 kt)'

sin6 kt

¿−2 pk∗(2coskt (cos kt)¿¿ ')sin3 kt−((1+cos2 kt )3sin2 kt (sin kt )')

sin6 kt¿

¿−2 pk∗2coskt ¿¿¿ ¿−2 pk∗−2k coskt∗sin4 kt−¿¿¿¿

¿−2 pk∗−k sin2 kt ¿¿

¿2 p k2∗2coskt sin2 kt−3coskt+3cos3 ktsin4 kt

¿2 pk2∗coskt (2sin2 kt−3+2cos2 kt+cos kt)

sin4 kt=2 p k2

cos kt(2−3+cos kt)sin4 kt

r=2 pk2coskt (cos kt−1)

sin4 kt=2 pk2

cos kπ2k

(cos k π2k

−1)

sin4 kπ2k

=2 pk 20(0−1)1

=0

ar=r−r φ2=0−0 k2=0

aφ=r∗φ+2 r φ=0+2 (−2 pk ) k=−4 pk 2

a=√ar2+aφ2=√0+(−4 p k2 )2=4 p k2

Prava OP obrće se oko svoje ose po zakonu φ=π4t2 i dovodi u kretanje

prsten M po nepomičnoj kružnici poluprečnika r.Rastojanje

OO1= r2

(r-cm,φ -rad).Odrediti brzinu i normalno ubrzanje prstena M u

momentu kada je φ1=π4

∆OO1K ∆O 1KM

sinφ=01k

r2

sinα=01kr

O 1k=sin φ∗r2

O 1K=sinα∗r

sinφ∗r2

=sinα∗r

sinα=sinφ

r2

r=sinφ

12

α=arcsin ¿ φ+α=ψ s=r∗ψ

ψ=φ+α v=dsdt

= ddt

¿

ψ=φ+arcsin ¿ v=r∗ψ ψ=¿¿

¿ φ+

1

√1−( 12sin φ)

2∗1

2cosφ∗φ=φ(1+

12cosφ

√1−(12 sinφ)2)=φ (1+ cosφ

√ 1−14 sin2φ14

)

ψ=φ(1+ cosφ

√4(1−14 sin2φ))=φ(1+ cosφ

√4−sin2φ)

φ1=π4→φ=π

4t2 φ=π

4t2

π4= π4t 2 φ=π

42t= π

2t=¿

t=1 s φ1=π2∗1=π

2

ψ1=φ (1+ cosφ

√4−sin2φ )=π2 (1+ cos

π4

√4−sin2 π4 )= π2 (1+

√22

√4−( √22

)2 )=¿

¿ π2 (1+ √2

2

√4−24 )=π2 (1+ √2

2

√ 144 )=π2 (1+ √2

2

√142

)=π2 (1+ √2

√14∗√14

√14 )=¿

ψ1=π2 (1+ √28

14 )=π2 (1+ 2√714 )=π

2 ( 14+2√714 )=π2 ( 2(7+√7)

14 )= π (7+√7)14

za t 1=1

V m=r∗ψ=rπ(7+√7)14

an=Vr

2

=r2π 2( 49+14√7+7

142)

r=r π2( 56+14 √7

142 )=r π2( 14 (4+√7 )142 )=r π 2( 4+√7

14)

Kod zadanog kulisnog mehanizma krivaja OA krece se tako da ugao φ

mijenja po zakonu φ=ωt i dovodi u kretanje glavu B .odrediti :

max brzinu i ubrzanje glave B ako je OA=r = 15 cm . ω=2π s−1

vmax=ω∙r=2 πs

∙15=30 π cms

.

amax=ω2 ∙r=( 2πs )2

∙ r=60 π2 cms2

Kruzna ploca poluprecnika r obrće se oko ose kroz tacku O upravne

na ravan ploce pri cemu se ugao φkojeg gradi poteg OC sa pravom

ON mijenja po zakonu φ=π2t .Rastojanje tacke od sredista ploce

jeOC=b<r .Odrediti :a)zakon kretanja tacke M klizaca MN

b) odrediti brzinu i ubrzanje tacke M u trenutku t=2s

a¿X ¿M=0

Y M=OC cosφ+√r2−b2 sin2( π2 ) t

Y M=OC cosφ+√r2−((bsinφ))2

Y M=bcos φ+√r2−b2sin2φ

Y M=bcosπ2t+√r2−b2sin2

π2t

b¿ X ¿M=0 Y M=

dyM

dt=−bπ

2sin( π2 t)−b2

4sin (πt)

√r2−b2 sin2( π2 t)za t=2s

aXM=0 vYM=0

aY M=dvY M

dt=b π2

4 r(r−b)

Teret B dovodi u obrtanje vratilo poluprecnika r i zupčanik 1,poluprečnika r1koji je čvrsto spojen sa vratilom.Kretanje tereta počinje iz stanja mirovanjai vrši se konstantnim ubrzanjem a.Odrediti po kom će se zakonu obrtati,u

tom slučaju,zupčanik 2 poluprečnika r2,koje je spregnut zupčanikom 1.

v=ω∗r

a=d vdt

=[ d ωdt , r ]+[ω ,d rdt ]

a=[ ε , r ]+ [ ω , v ] a=√at2+an

2

a t=ε∗r∗sin∠ (ε , r ) a t=ε∗R an=ω∗v∗sin∠ (ω,v )

an=ω∗v=ω2r= v2

R

vn=ω1∗r1 a=dvdt

ω1=ω1

vn=ω2∗r2 dv=adt / ∫ atr

=ω2∗r2r1

/r

ω1∗r1=ω2∗r 2 ∫ dv=∫ adt at=ω2∗r2∗r

r 1

ω1=ω2∗r2r1

v=at+c

t=0 , c=0 , v=0 vm=vb=at

ω1 ¿vn

r=at

r

an=ω∗vn

an=ω∗ω1∗r1=ω∗atr

∗r=ω∗at

a t=ε1∗r1 ω1=atr∗r

a t=ε2∗r2 ω1∗r=at /t

ε 1∗r1=ε2∗r2 ω1t

∗r=a /r

ε 2=ε1∗r1r2

ω1t

=ar

ε 2=

ar∗r1

r2

ε 1=ar

ε 2=a∗r1r∗r2

Za koje rastojanje s=A0 A se pomjerio klizač A regulatora,ako je poznato

da su ubrzanja svake od lopti jednaka am

s2,i da je ugaona brzina konstantna

i jednaka ω s−1 ,a A0 položaj klizača pri a=0.Dužine štapova su l .

Rastojanje OO1 zanemariti.

a=d vdt

=[ d ωdt , r ]+[ω ,d rdt ]

v=d rdt

= [ω ,r ]

a=a t+an

a=√at2+an

2

a t=ε∗r∗sin∠ (ε , r ) a t=ε∗R=0

ε=dωdt

=0

an=R∗ω2

a=√at2+an2=√an2=¿R∗ω2¿

2 l=s+2 l∗cos α

s=2l−2l∗cosα sinα= Rl⇒R=sinα∗l

s=2l∗(1−cos α )

sinα= Rl=

a

ω2

l= aω2 l

s=2l∗(1−√1−sin2α )=2l∗(1−√1− a2

l2ω4 )=2 l∗(1−√ l2ω4−a2

l2ω4 ) s=2l ¿