ANALISIS VARIANSI
ANALISIS VARIANSI KLASIFIKASI SATU ARAH
(ONE WAY ANOVA)Andaikan kita mempunyai k buah populasi yang akan dibandingkan rata-ratanya. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran nk. Misalkan pula k populasi tersebut
saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata k ,,, 21
Akan ditentukan cara untuk menguji hipotesis :
samatidakratarataduakurangnyasekurangH
H k
:
:
1
210
Emirul Bahar - Perencanaan Eksperimen
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Seluruh mean populasi adalah sama Tak ada efek PERLAKUAN
Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda ADA PENGARUH PERLAKUAN TERHADAP
RESPON Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa
pasang mungkin sama)
k3210 μμμμ:H
samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:
ANOVA 1 Arah
Bila Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar
(Tak ada efek treatment)
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA seluruhidak
321 μμμ
Emirul Bahar - Perencanaan Eksperimen
ANOVA 1 Arah
Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA semuaidak
321 μμμ 321 μμμ
or
(sambungan)
Dilakukan percobaan untuk mengetahui apakah ada pengaruh formula pembuatan tablet ekstrak buah merah pada sifat fisik granul.
Ada berapa variabel dalam percobaan tersebut?
Hasil pengamatan sifat fisik granul adalah sebagai berikut :
Contoh Masalah
Contoh Masalah
FORMULA I FORMULA II FORMULA III
20 18 19
19 17 20
17 20 17
17 20 19
19 21 18
Data sifat fisik Granul berdasarkan jenis formula
Struktur data
Populasi Total
1 2 ……
i ……
k
x11 x21 ……
xi1 ……
xk1
x12 x22 ……
xi2 ……
xk2
x1n x2n ……
xin ……
xkn
Total T1. T2. ……
Ti. ……
Tk. T..
RASIONAL DIBALIK ANALISIS VARIANSI
Perhatikan bahwa data tersebut di atas bervariasi baik data di dalam suatu formula maupun antar formula. Secara logis, mestinya data dalam satu formula yang sama mestinya relatif seragam (tidak bervariasi) dibandingkan dengan data antar formula yang berbeda, karena perbedaan formula menyebabkan perbedaan sifat fisik granul. Argumen tersebut menjadi landasan dalam penarikan kesimpulan, yaitu bahwa bila variansi data antar (between) formula relatif lebih besar dari pada variansi data dalam (within) formula maka dapat disimpulkan ada pengaruh formula pada sifat fisik granul.
Oleh karena itu, dalam analisis variansi (ANOVA) pengujian perbedaan rata-rata antara beberapa kelompok/ perlakuan/ populasi menggunakan informasi perbandingan antara variansi dalam kelompok dan variansi antar kelompok.
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis1.Rumuskan Hipotesis
samatidakratarataduakurangnyasekurangH
H k
:
:
1
210
2. Tentukan tingkat signifikansi3. Ujilah homogenitas variansi Dari k buah
populasi dengan Levene’s Test . (bila tidak homogen, ANOVA tidak bisa dilanjutkan).4. Statistik uji:
5. Tentukan wilayah kritik : Ho ditolak bila )]1(,1[ nkkff ahitung
Catatan: Bila asumsi homogenitas variansi tidak dipenuhi, maka analisisData dapat menggunakan metode non parametrik KRUSKAL WALLIS yangTidak tercakup dalam materi kuliah ini.
22
21
var
var
S
s
kelompokdalamiansi
kelompokantariansifhitung
6. Menghitung statistik f hitung
b. Jumlah Kuadrat Kelompok =
JKK =
nk
T
n
Tk
i
i2
..
1
2.
c. Jumlah Kuadrat Galat = JKG = JKT – JKK
Untuk menentukan f hitung, perlu dihitung dahulu Jumlah kuadrat-jumlah kuadrat dengan formula berikut : a. Jumlah Kuadrat Total = JKT =
nk
Tx
k
i
n
jij
2..
1 1
2
7. Buatlah Tabel ANOVA berdasarkan perhitungan di atas sebagai berikut :
121
k
JKKs
)1(22
nk
JKGs
22
21
s
s
Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Rata-rata Jumlah Kuadrat
f hitung
Kelompok
Galat
JKK
JKG
k-1
k(n-1)
Total JKT nk-1
6. Buatlah kesimpulan
7. Buatlah Tabel ANOVA berdasarkan perhitungan di atas sebagai berikut :
121
k
JKKs
)1(22
nk
JKGs
22
21
s
s
Sumber Keragaman
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Rata-rata Jumlah Kuadrat
f hitung
Kelompok
Galat
1.7333
23.200
2
12
Total 24.9333 14
6. Buatlah kesimpulan
Welcome to Minitab, press F1 for help. One-way ANOVA: akurasi versus kelompok
Source DF SS MS F Pkelompok 3 8.667 2.889 5.78 0.021Error 8 4.000 0.500Total 11 12.667
Lakukan langkah-langkah di atas untuk data contoh yang diberikan.Pergunakan kalkulator anda secara efisien, karena kalkulatortelah menyediakan menu yang memungkinkan menghitung nilai-nilaiyang diperlukan dengan mudah.
18
Contoh 1Sebagai manager produksi, anda ingin melihat kulitas mesin pengisi dilihat rata-rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti di samping. Pada tingkat signifikansi 0.05 adakah perbedaan rata-rata waktu pengisian antar ketiga mesin?
ASUMSIKAN VARIANSI WAKTU PENGISIAN ANTAR MESIN HOMOGEN
Mesin1 Mesin2 Mesin325.40 23.40 20.0026.31 21.80 22.2024.10 23.50 19.7523.74 22.75 20.6025.10 21.60 20.40
19
Penyelesaian Hipotesa :
H0: 1 = 2 = 3
H1: Ada rata-rata yang tidak sama
Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2
dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka f(0.05;2;12) = 3.89.
Jadi daerah penolakannya: H0 ditolak jika F > 3.89
20
Data
Populasi
Total
1 2 3
25.40 23.40 20.00
26.31 21.80 22.20
24.10 23.50 19.75
23.74 22.75 20.60
25.10 21.60 20.40
Total 124.65 113.05 102.95 340.65
21
Jumlah Kuadrat Total
2172.5835
65.340
40.2060.2075.1920.2200.20
60.2175.2250.2380.2140.23
10.2574.2310.2431.2640.25
nk
TxJKT
2
22222
22222
22222
k
1i
n
1j
22ij
22
Jumlah Kuadrat Perlakuan danJumlah Kuadrat Galat
0532.111640.472172.58
1640.47 35
65.340
5
95.10205.11365.124
2222
21
2
JKG
nk
T
n
TJKK
k
ii
23
Tabel Anova dan Kesimpulan
Sumber Variasi
Derajat Bebas
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Rata-rata
Statistik F
Antar Mesin
(Kelompok)3-1=2 47.1640 23.5820 F = 25.60
Dalam mesin (Galat)
15-3=12
11.0532 0.9211
Total15-
1=1458.2172
Karena Fhitung = 25.60 > 3.89 maka H0 ditolak. Jadi ada rata-rata yang tidak sama. Mesin berpengaruh pada lamanya waktu pengisian.
Telah kita pelajari ANOVA dengan ukuran sampel tiap kelompok sama, yaitu n.Bagaimana halnya bila ukuran sampel antar kelompok tidak sama? Prosedur dan langkah analisis sama, perbedaannya adalah pada rumus hitung jumlah kuadratnya.
25
Rumus Hitung Jumlah KuadratUntuk ukuran sampel yang TIDAK SAMA
JKKJKTJKG
N
T
n
TJKK
N
TxJKT
k
i i
i
k
i
n
jij
i
2
1
2
1 1
22
Jumlah Kuadrat Total =
Jumlah Kuadrat Kelompok=
Jumlah Kuadrat Galat =
k
1iinNdengan
26
Tabel Anova Untuk ukuran sampel yang berbeda
Sumber Variasi
Derajat bebas
JK RJK Statistik F
Kelompok k – 1 JKK
JKK/(k – 1 )F =
Galat N – k JKGJKG/(N - k)
Total N – 1 JKT
22
21
S
s
27
Contoh 2 Dalam Sebuah percobaan biologi 4
konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup.
Apakah ada beda pertumbuhan rata-rata yang nyata yang disebabkan oleh keempat konsentrasi bahan kimia tersebut. Asumsikan VARIANSI HOMOGEN
Gunakan signifikasi 0,05.
Konsentrasi
1 2 3 4
8.2 7.7 6.9 6.8
8.7 8.4 5.8 7.3
9.4 8.6 7.2 6.3
9.2 8.1 6.8 6.9
8.0 7.4 7.1
6.1
28
Penyelesaian Hipotesa :
H0: 1 = 2 = 3= 4
H1: Ada rata-rata yang tidak sama
Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 3
dan df2 = derajat bebas galat = 16, maka f(0.05;3;16) = 3.24.
Jadi daerah penolakannya: H0 ditolak jika F > 3.24
29
Data
Populasi
Total
1 2 3 48.2 7.7 6.9 6.8
8.7 8.4 5.8 7.3
9.4 8.6 7.2 6.3
9.2 8.1 6.8 6.9
8.0 7.4 7.1
6.1
Total 35.5 40.8 40.2 34.4 150.9
30
Jumlah Kuadrat Total
350.1920
9.1501.79.63.63.78.61.6
4.78.62.78.59.60.81.8
6.84.87.72.94.97.82.8
N
TxJKT
2222222
2222222
2222222
k
1i
n
1j
22ij
i
31
Jumlah Kuadrat Perlakuan danJumlah Kuadrat Galat
888.3462.15350.19
462.15 20
9.150
5
4.34
6
2.40
5
8.40
4
5.35
22222
2
1
2
JKG
N
T
n
TJKK
k
i i
i