OLASILIK VE İSTATİSTİK I

OLASILIK VE İSTATİSTİK I

Öğr. Gör. Berk Ayvaz

İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım

FakültesiEndüstri Mühendisliği

Bölümü

1. Hafta:

İstatistik kelimesi günlük hayatımızın her aşamasında sıkça duyduğumuz bir kavram haline gelmiştir.

Bu kavrama farklı manalar yüklenmesi de kaçınılmaz olmuştur. Örnek olarak borsa istatistikleri, hava durumuna ilişkin istatistikler, medya kanallarına

ilişkin takip edilme istatistikleri, finansal göstergelere ilişkin istatistikler vs. Bu durumda, istatistik kavramına sayı anlamı verilmektedir. Fakat burada sayı anlamına gelen istatistikler sıradan sayılar değil bilimsel yöntemlerle

tespit edilen sayıları ifade etmektedir. İstatistik; ‘Araştırmanın amacına yönelik olarak var olan bir problemin belirlenmesi,

istatistik birimlerinin tanımlanması ve bunlara ilişkin değişkenlerin belirlenmesi, değişkenlere ilişkin verilerin toplanması, bu verilerin seriler ve tablolar yardımıyla gösterilmesi, serilerin çözümlenmesi ve yorumlanması sürecini içeren bir yöntemler bilimidir.’

İstatistik, veri toplama, özetleme ve yorumlama, sonuçları ortaya koyup çizelgelere yansıtma vs. süreçleri için bir prensip ve metodoloji sağlayan bir kavramdır (Johnson and Bhattacharyya, 2010).

İstatistik Nedir ?

İstatistik Bilimi

İnsanoğlu hayatının her anında bir karar verme süreci ile karşı karşıyadır. Bu kararları verirken sahip olduğumuz bilgileri kullanır ve bu bilgileri

düşünme ya da fikir sürecinden geçirerek bir sonuç elde etmeye çalışırız. SORU: “Karar aşamasında sahip olduğumuz bilgiler acaba yeterli mi? …..Bu

bilgileri nasıl elde ediniriz?” v.b. sorulara vereceğimiz cevaplar bizi istatistiğe yönlendirecektir. İhtimallerin ve belirsizliklerin bu kadar çok olduğu bir hayatta elbetteki

alınacak kararların, içinde bulunulan şartların en iyi biçimde analiz edilip değerlendirilmesi ile alınması gerekmektedir.

Bu değerlendirme sürecinde en güçlü yardımcı araçlardan birisi istatistiktir.

İstatistik Bilimi

İstatistik bilimi; verilerin toplanması, düzenlenmesi, özetlenmesi, takdimi, analizi ve bu analizler vasıtasıyla elde edilen sonuçların yorumlanması ve bir karara bağlanması ile ilgilenir.

İstatistik Bilimi

İstatistik

Tasviri (Tanımlayıcı)

Tahlil (Açıklayıcı)

1. Frekans dağılımları2. Yer ölçüleri: aritmetik ort., geometrik

ort., harmonik ort., kareli ort., mod, medyen vs.

3. Dağılma ölçüleri: ortalama sapma, standart sapma, varyans, değişim aralığı

4. Çarpıklık ve Basıklık

1. Örnekleme teorisi2. Hipotez testleri3. Regresyon analizi4. Korelasyon analizi

Anakütle ve Örneklem: Bir istatistiki araştırmada araştırmaya konu olan bütün birimlere anakütle denir.

Örneğin; 2013-2014 öğretim yılında İTİCÜ öğrencilerinin kitap okuma alışkanlığı üzerine yapılacak bir araştırmada, İTİCÜ öğrencilerinin her biri istatistik birimi iken bu öğrencilerin tümünün oluştur duğu topluluğa anakütle denir.

Nüfus sayımı için anakütle Türkiye’dir. Anakütle bazen tek tek sayılamayacak kadar çok büyük olabilir. Bundan dolayı büyük anakütleler için araştırmalar; zaman, maliyet, personel, ulaşım, vb.

nedenlerden dolayı tüm birimler yerine daha az sayıdaki örneklemler seçilerek yürütülür. Bu örneklemlerden elde edilen sonuçlar tüm anakütleye teşmil edilir. Örneklem anakütlenin alt kümesidir.

Kavramlar : Anakütle ve Örneklem

• Bir üniversitede yapılacak olan bir araştırmada tüm öğrenciler anakütle iken anakütle içinden seçilecek olan 100 kişilik bir grup ise örneklem olarak adlandırılır.

Araştırma sorusu: Su kaç derecede kaynar?

Anakütledeki bütün birimler üzerinden hesaplanan ölçülere parametre denir. Anakütleyi temsil eden bir örneklemdeki verilerden hesaplanan ölçülere ise istatistik denir. İstatistik hesaplamaları tasviri (tanımlayıcı) istatistiğin konusudur. Eldeki istatistik değerlerini kullanarak anakütle parametreleri hakkında bir kısım yargılara

varmak tahlili (Açıklayıcı) istatistik veya istatistik analizin konusunu teşkil eder. Ana kütle ya da örneklemde yer alan her birime gözlem ya da denek denir.

Parametre ve İstatistik

parametre istatistik ANAKÜTLE

Gözlem (ya da denek) sayısı aşağıdaki biçimde simgeleştirilmektedir.Ana Kütledeki Gözlem Sayısı : NÖrneklemdeki Gözlem Sayısı: nÖrnek: Parametre ( AnakütleOrtalaması, AnakütleVaryansı)İstatistik (Örneklem Ortalaması, Örneklem Varyansı)

The major objectives of statistics are:1. To make inferences about a population from an analysis of information contained in sample data. This includes assessments of the extent of uncertainty involved in these inferences.2. To design the process and the extent of sampling so that the observations form a basis for drawing valid inferences.

İstatistik birimlerin sahip oldukları ve farklı değerler alabilen, diğer istatistik birim lerinden ayırt edilmesini sağlayan özelliklere değişken denir. Değişkenin aldığı de ğerlere de gözlem veya ölçüm değerleri denir.

Sayısal (kantitatif) veya sayısal olmayan (kalitatif) bir özellikte belirgin bir şekilde görülen farklılıklar değişken ile gösterilebilir.

Örneğin; İhracat-İthalat Değerleri , Cari Fiyat, kalite kontrol oranları vs… Sayısal değişkenler de kesikli ve sürekli olmak üzere iki kısma ayrılırlar. Sürekli değişkenler belirli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabilen değişkendir. Kesikli değişkenler sadece belirli tamsayı değerleri alabilen değişkenlerdir. Ölçülen ve tartılan değişkenler sürekli, sayılabilen değişkenler ise kesikli

değişkendir. Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları (sürekli değişken), bir sınıftaki kız ve

erkek öğrenci sayısı (kesikli değişken)

Veri Türleri

Sayısal KantitatifNicel

Sayısal OlmayanKalitatifNitel

Değişken Türleri

İstatistiki araştırmaya konu olan veriler aşağıdaki 4 ölçekten biri ile ölçülmektedir:1. Sınıflama (Nominal) Ölçeği2. Sıralama Ölçeği3. Aralık Ölçeği4. Oran Ölçeği

1. Sınıflama Ölçeği : Bir cisim veya olayı belirli bir isme göre diğer bir cisim veya olaydan ayırmaya yarar.

Sınıflama ölçeğinde değişkenlerin aldığı değerler sayısal bir büyüklük ifade etmezler. Bu sayı ve simgeler arasında bir büyüklük veya küçüklük söz konusu olmadığından

matematiksel işlemler yapılamaz. Bu değerler değişkenlere ait bazı özellikleri tanımlarlar. Örneğin Cinsiyet değişkeni için “1” değeri “Kadın”ları, “2” değeri “Erkek”leri temsil

edebilir. Bu çerçevede Medeni Durum, Meslek, Doğum Yeri gibi değişkenlere ait ölçümler için

sınıflama ölçeğinin kullanımı uygun olacaktır.

Ölçek Türleri

Sınıflama ölçeğinde değişkenlerin aldığı değerler önem derecesi ya da üstünlükleri baz alınarak sıralanır. Kullanım yerleri şu şekildedir.

Bir yarışa katılan koşucular, yarışı bitirme zamanlarına göre, birinciden sonuncuya kadar sıralanırken;

Belirli bir mamül hakkında tüketicilerin beğenileri « hiç beğenmedim, biraz beğendim, çok beğendim» gibi sıralanabilir.

Katılım Düzeyi (Kesinlikle Katılıyorum, Katılıyorum, Karasızım, Katılmıyorum, Kesinlikle Katılmıyorum),

Sıklık Düzeyi (Hiç, Nadiren, Genellikle, Her Zaman) Öğrenim Durumu (İlköğretim, Lise, Lisans, Yüksek Lisans), Yönetim Kademesi (Alt, Orta, Üst) vb. değişkenler için Sıralama (Ordinal)

Ölçeğinin kullanımı uygun olacaktır.

2- Sıralama Ölçeği

Servis kalitemizden memnun musunuz?o Hiç memnun değilimo Biraz memnunumo Oldukça memnunumo Çok memnunumo Fazlasıyla memnunum

Bu ölçme düzeyinde değişkenin aldığı sayısal değerler birimle ifade edilir ve sayı lar arasındaki farklar anlamlıdır.

Üzerinde durulan değişken belirli iki değer arasında sonsuz değer alabilir. Ancak bu ölçme düzeyi için kesin bir sıfır başlan gıç noktası yoktur. Bu

ölçekteki 0 değeri, ölçülen karakteristiğin olmadığını göstermez. Örneğin, sıcaklık değişkeni için birim, santigrat derece (°C) olduğundaki sıfır

başlangıç noktası (0°C) ile fahrenheit (°F) olduğundaki sıfır başlangıç noktası (0°F) farklı sıcaklık ölçümlerini verirler. Çünkü 0°C’ye karşı gelen değer 32°F dır.

Aynı şekilde ölçüm karakteristiklerinden birinin değeri diğer değişken değerinin katlarıyla ifade edilemez.

Buna verilecek en açık örnek ısı ölçümleridir. 4°C, 2°C’den 2 kat büyük değildir.

Sıcaklık, başarı, performans gibi sayısal değişkenleri ölçmek için kullanılır.

3- Aralık Ölçeği

Yukarıdaki ölçeklerin en hassas olanıdır. Ölçülen karakteristiğin 0 olması o karakteristiğin olmadığını gösterir. Ölçülen değişken değeri diğer değişken değerinin katları ile ifade edilebir. Bir cismin ağırlığının 0 kg olması onun olmadığını gösterirken, 10 kg gelen bir

cisim 2 kg gelen cismin 5 katı ağırlıktadır. Aylık gelir, ağırlık, uzunluk, hız gibi değişkenleri ölçmek için kullanılır. Bu ölçekte başlangıç “0” noktasıdır.

4- Oran Ölçeği

• Aralık ölçeğinin oran ölçeğinden temel farkı bir başlangıç noktasının bulunmamasıdır.

• Diğer bir ifade ile “0” değeri aralık ölçeğinde yokluk ifade etmez. • Örneğin termometrede görülen “0 °C” belirli bir anlam taşır. • Oysa oran ölçeğinde yer alan “0 Kg” bir yokluk ifadesidir.

6 çalışma grubu oluşturuldun. Bu gruplar ders kapsamındaki ödevleri beraber yapacaklar.

ÖDEV 1 Herbir grup birbirinden bağımsız olarak 4 ölçek için 4 örnek oluşturup

haftaya ders öncesinde sunum yapacak.

ÖDEV

Bir araştırmaya konu olan anakütledeki tüm verileri veya örneklemdeki verileri alt alta ya da yan yana dizdiğimizde basit bir seri elde etmiş oluruz.

Bu seriyi özetlemek ve daha anlaşılır hale getirmek istediğimizde sınıflandırma ya da gruplandırma yoluna gideriz. Sınıflandırmada serideki herbir değerin karşısına o değerin frekansını yani tekrarlanma sayısını yazarız.

İlgilenilen değişkenin almış olduğu farklı değerlerin küçükten büyüğe sıralanması ve bu değerlerin karşısına kaç kez tekrar ettiğinin (frekansı) yazılmasıyla oluşturu lan istatistik serisine “frekans serisi” denir,

Mesela Ali ismi, bir seride 10 kez geçiyorsa bu değerin frekansı 10’dur. Farklı birimlerin çok olması halinde yani gözlem sayısı çok olduğu durumlarda sınıflandırma

işlemi verilerin özetlenmesine kafi gelmez. Bu gibi durumlarda gruplandırma yoluna gidilir.

Frekans Dağılımları

Gruplar frekans

5.00-7.757.75-10.5010.50-13.2513.25-16.00

620105

Gruplandırılmış seriSınıflandırılmış seri

X frekans

56

1020

1428

Gruplamada hesap kolaylığı açısından aralıklar genellikle eşit alınır. Gruplandırılmış seride matematiksel işlemler yapabilmemiz için, herbir sınıfı bir sayı ile temsil etmemiz gerekir.

İlgilenilen değişken değerlerinin, belirlenen gruplara (aralıklara) ayrılması ve bu sı nıflara giren gözlem sayısının ayrı bir sütuna yerleştirilmesiyle oluşan seriye “grup landırılmış seri” denir,

Frekans serisini, gruplandırılmış seri haline dönüştürürken sınıf aralığı büyüklüğü Sturges Kuralı ya da araştırmacının görüşüne bağlı olarak belirlenir.

Sınıf aralığının key fî olarak belirlenmesinde göz önüne alınması gereken kriter birbirine yakın gözlem de ğerlerinin bir araya getirilmesidir. Genellikle, en az 5 en fazla 20 sınıf sayısı önerilir.

Sturges kuralı yardımıyla sınıf sayısı ve buna bağlı olarak da sınıf aralığı büyük lüğü belirlenir.

Gruplandırılmış seride her sınıfın en küçük değerine alt sınır değe ri, en büyük değerine de üst sınır değeri denir.

Her bir sınıftaki üst sınır ile alt sı nır arasındaki farka da sınıf aralığı yada büyüklüğü (genişliği) denir.

Gruplandırılmış seri

1. Sturges KuralıXb = En büyük gözlem değeri Xk = En küçük gözlem değeri N= Gözlem sayısık = Sınıf Sayısı h = Sınıf Aralığı Büyüklüğük = 1 + (3,322) * log(N)Sınıf büyüklüğü = h= ( Xb - Xk) / k

2. Genel olarak 5 k 20 seçilmesi benimsenir.

Sturges kuralı

• Eşit aralıklı k sınıflı gruplandırılmış bir seri oluşturmak için serideki en büyük değerden en küçük değer çıkarılarak k sayısına bölünür. Elde edilen değer sınıf büyüklüğüdür.

• Bu değer k adet sınıf oluşturuluncaya kadar serideki en küçük değere kümülatif olarak eklenir.

Örnek 1

26,4034,4535,3361,62

136,74154,24160,26173,23177,12177,60261,68273,38293,00351,95366,76414,32

Tabloda gösterilen sıralanmış seriyi sınıf sayısı k= 4 olacak şekilde gruplandırılmış seri haline getiriniz.

Çözüm

26,4034,4535,3361,62

136,74154,24160,26173,23177,12177,60261,68273,38293,00351,95366,76414,32

Sınıf sayısı k: 4 olsun.

h= = 96,98Sınıf büyüklüğü =

1 26,4 123,38

2 123,38 220,36

3 220,36 317,34

4 317,34 414,32

26,4 +96,98

Aylık Harcamalar (t) Frekanslar (ft)200 1250 1300 1320 2380 3400 5420 5500 7535 4550 4600 10650 12700 8750 15800 10820 8840 1875 10900 6950 3980 2

1000 11050 1

Toplam Frekans 120

120 Öğrencinin Aylık Harcamaları (Frekans Serisi)

Örnek 2

Tablo’da verilen sınıflandırılmış seri gruplandırılmış seriye dönüştürülmek istendiğinde;

k = 1 + (3.322) * log(N)Xb =1050 Xk= =200 N=120k = 1 + (3.322) * log(120) k = 1 + (3.322) * (2.079) k = 1 + 6.906 = 7.906k~ 8

Bu örnek için sınıf aralığı büyüklüğü (h);h= ( Xb - Xk) / kh= (1050-200)/8h =106.25~ 107

120 Öğrencinin Aylık Harcamaları için oluşturulan gruplandırılmış seri

Aylık Harcama (t) Frekanslar (f t )200 - 307’den az 3

307 - 414’den az 10

414 - 521’den az 12

521 - 628’den az 18

628 - 735’den az 20

735 - 842’den az 34

842 - 949’dan az 16

949 - 1056’dan az 7Toplam 120

Çözüm 2

Sürekli gruplandırılmış bir seride her sınıfın alt ve üst değerlerine sınıf sınırları denir.

Bu rakamlardan küçük olan alt sınır, büyük olan ise üst sınır olarak adlandırılır.

Gruplandırılmış Seri

26,40 178,25178,25 330,10330,10 481,95481,95 633,80

sınıf sınırları

Kesikli gruplandırılmış bir seride bir üst sınıfın alt sınırından bir alt sınıfın üst sınırı çıkarılıp ikiye bölünerek, bu değer üst sınıf değerinden çıkarılır ve alt sınıf değerine eklenerek sınıf uçları sınıf sınırlarına dönüştürülür.

26,40 178,25

179 330,10

331 481,95

482 633,80

= = 0,375 1. Sınıf için üst sınıf hesabı: 178,25+ 0,375 = 178,6252. Sınıf için alt sınıf hesabı: 179- 0,375 = 178,625

Gruplandırılmış bir seride her sınıfın ilk rakamı alt sınıf ucu, son rakamı ise üst sınıf ucudur.

Sürekli gruplandırılmış serilerde sınıf uçları sınıf sınırlarına eşittir. Daha önce belirtildiği gibi bir sınıfın üst ve alt sınırları arasındaki farka sınıf

büyüklüğü denir. Sınıf büyüklüğü :178,25-26,40=151,85 Sınıf değeri, alt ve üst sınıf uçlarının veya alt ve üst sınıf sınırlarının toplanıp

ikiye bölünmesiyle elde edilir. Sınıf değeri: (26,4+178,25)/2=102,32


26,40 178,25

178,25 330,10

330,10 481,95

481,95 633,80

Serideki herbir frekansın toplam frekansa bölünmesiyle nisbi frekanslar elde edilir.

Bu frekanslar nisbi frekans dağılımını teşkil eder.


Gruplar Frekans

5.00-7.757.75-10.5010.50-13.2513.25-16.00

620105


41

Nisbi frekans

6/4120/4110/415/41

41/41

Kümülatif frekans

6263641

Bir üniversite kampüsünün başka bir lokasyona taşıması ile ilgili öğretim üyeleri ile anket yapılmıştır. 152 öğretim üyesi kampüsün taşınması fikrini desteklerken, 77 öğretim üyesi tarafsız kalmakta ve geriye kalan 51 öğretim üyesi bu fikre karşı çıkmaktadır. Buna göre ankete verilen cevapların frekansını ve nisbi frekanslarını hesaplayınız.

Örnek 3

Aşağıdaki tabloda bir fabrikanın kalite kontrol departmanı tarafından tespit edilen hatalı ürün sayıları gösterilmektedir. Bu tablodaki verileri sıralı seri olarak gösteriniz. Frekans ve nisbi frekansları hesaplayınız.

Örnek 4

Çözüm

Değer Frekans Nisbi Frekans

1 7 7/30

2 9 9/30

3 6 6/30

4 5 3/30

5 3 5/30

Toplam 30 1

Örnek 5

Yukarıdaki tablo için 12-14, 15-17, 18-20, 21-23 ve 24-26 aralıkları için frekans ve nisbi frekans değerlerini bulunuz.

Aralıklar Frekans Nisbi Frekans

12-14 2 2/40

15-17 8 8/40

18-20 11 11/40

21-23 10 10/40

24-26 9 9/40

Toplam 40 1

Çözüm

Bir dikdörtgenler dizisidir. Bu dikdörtgenlerin tabanları gruplandırılmış serideki

herbir sınıfın büyüklüğünü, yükseklikleri ise sınıf frekansını gösterir.

Bu dikdörtgenlerin üst kenarlarının orta noktaları birleştirilmek suretiyle elde edilen grafiğe frekans poligonu adı verilir.

Histogram

• Nisbi ya da kümülatif frekans dağılımlarına ait histogramları elde etmek için bu histogramdaki dikey eksene nisbi veya kümülatif frekanslar eklenmelidir.

Örnek 6

7,75 10,5 13,25 165 7,75 10,5 13,25

0

5

10

15

20

25

Gruplar Frekans 5.00-7.757.75-10.5010.50-13.2513.25-16.00

620105


Kesikli sayısal veriler ve sayısal olmayıp kategorilere ayrılabilen veriler de grafiklerde gösterilebilir.

TV izlenme oranları, partilerin oy oranları vs. grafiklerle gösterilmesi mümkündür.

Bu tip verileri çok farklı grafik türleri ile göstermek mümkündür…

Kategorik Verilerin Grafikle Gösterilmesi

Yatay eksek kategoriler, dikey eksen bunların frekanslarından oluşur. Sütunlar birbirine bitişik yada ayrık olabilir.

Sütun Grafiği

Eğitim durumu Kişi sayısıDoktora 5Y. Lisans 8Lisans 15

Önlisans 5

doktora y. Lisans lisans önlisans02468

10121416

Sütun Grafiği

Bu grafikte genellikle kategorilerin nisbi frekansları 360 ile çarpılarak daire içinde alacakları dilimin büyüklüğü belirlenir.

Daire Grafiği

Eğitim durumu Kişi sayısı Nisbi frekans Dilim büyüklüğüDoktora 5 5/33 (5/33)*360Y. Lisans 8 8/33 (18/33)*360

Lisans 15 15/33 (15/33)*360Önlisans 5 5/33 (5/33)*360

doktora15%

y. Lisans24%

lisans45%

önlisans15%

Çalışma Soruları

İstatistik Notları 657090695578845063615733952845339488706043

Yandaki grafikte 21 öğrencinin istatistik dersinden aldıkları notlar görülmektedir. Buna göre:

a) Notları değişim aralığını bulunuz.b) Notları basit bir seri haline getiriniz.c) Bu verileri sınıf büyüklüğü 10 olacak

şekilde gruplandırıp, herbir grubun frekansını bulunuz.

d) Her sınıfa ait sınıf değeri ve sınıf sınırlarını bulunuz.

e) C şıkkındaki değerleri dikkate alarak histogram çiziniz.

f) Bu verileri 5 grup olacak şekilde gruplandırdığımızda sınıf büyüklüğü değeri kaç olur?

Çalışma Sorusu 1

Hesapları denetlenen 692 Avustralya şirketinden alınan denetim dışı ücretlerin toplam denetici ödemeleri içindeki payları ilişikteki çizelgede gösterilmiştir.

Çalışma Sorusu 2

Toplam denetim ödemeleri

Şirket sayısı

0.00-0.05 840.05-0.10 1130.10-0.15 1120.15-0.20 850.20-0.25 770.25-0.30 580.30-0.40 750.40-0.50 480.50-1.00 40

Göreli sıklıkları ve birikimli nisbi sıklıkları bulup histogram çiziniz.

Bir ampül fabrikasında üretilen mamüller arasından tesadüfi olarak 400 tanesi seçilmiş ve bunların dayanma sürelerine ait frekans dağılımı aşağıda gösterilmiştir.

Çalışma Sorusu 3

Sınıf Dayanma süresi Ampül sayısı

1 3000-3999 142 4000-4999 463 5000-5999 584 6000-6999 765 7000-7999 686 8000-8999 627 9000-9999 488 10000-10999 229 11000-11999 6

400

Buna göre:a) Bütün sınıfların alt ve üst

sınırlarını,b) Bütün sınıfların sınıf değerlerini,c) Altıncı sınıfın nisbi frekansınıd) Dayanma süresi 6000 saate

çıkmayan ampüllerin yüzdesini,e) Dayanma süresi 9000 saat veya

daha fazla olan ampüllerin yüzdesini bulunuz.

OLASILIK VE İSTATİSTİK I

Documents