JEOFİZİKTE OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSİ NOTLARI
JEOFİZİKTE OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSİ NOTLARI
Yard. Doç. Dr. Petek SINDIRGI
1.İstatistiğin Mühendislikteki Önemi
Doğada karşılaşılan problemlerin birçoğunda olaya ait
değişkenlerin değerleri bilindiğinde kesin ve tek bir çözüm elde
edilebilir. Örneğin bir cismin kütlesi ve cisme etkiyen kuvvet
bilindiğinde cismin ivmesi hesaplanabilir. Bu gibi olaylarda
yasalar deterministik (gerekirci: rastgele olaylara bağlı olmayan
ve girdiye göre çıktısı tahmin edilebilen) anlamda bilinmektedir.
Ancak bazı olayların da sonuçlarını önceden bilmek mümkün değildir.
Ör: Zar atışı.
Mühendislikte doğal olaylardaki veya malzemelerdeki
belirsizliklerden dolayı sonuç önceden kestirilemeyebilir. Aşağıda
yerbilimlerinde sıkça karşılaşılan bu tür problemlere örnekler
verilmektedir:
· Bir petrol bölgesinde daha önce açılmış olan kuyulardan %35
inin boş çıktığı bilinmektedir. Bu bölgede açılması düşünülen yeni
30 kuyudan en çok 8 tanesinin boş çıkma olasılığı nedir?
· Volkanik bir kayacın kimyasal analizinden elde edilen SiO2
değerlerinden yola çıkarak bu kayaç için SiO2 değerlerinin alt ve
üst limitleri nelerdir?
· Bir kumtaşı örneğinden elde edilen porozite değerlerini
kullanarak bu kumtaşı için ortalama porozitenin belirlenmesi.
Belirsizliklerin etkisiyle problemler alışılagelen yöntemlerle
incelenemeyebilir. Bu durumda olasılık teorisi ve istatistik
bilimine başvurulur. Jeofizikte araziden toplanan veriler zamanın
ya da uzayın bir fonksiyonudur. Bu veriler, istatistiksel
yöntemlerle incelenerek, ait oldukları topluluğa ait parametreleri
daha sağlıklı bir biçimde saptanabilir.
2. Veri ve Veri Türleri
Veri, kısaca “araştırmacının ilgi alanına giren birimler
topluluğu” olarak tanımlanabilir.
2.1. Tanımsal (Deterministic) Veriler:
Matematiksel bağıntılarla belirlenebilen veya deneysel olarak,
yinelenerek üretilebilen verilerdir.
Örnek: Isıtılınca suyun sıcaklığının artması, bir sarkacın
periyodu, serbest düşen bir cismin ivmesi.
Tanımsal veriler, periyodik (dönemsel) ve periyodik olmayan
olarak sınıflandırılabilir.
Periyodik verilerin sinüsoidal ve karışık periyodik alt
sınıfları vardır.
2.2 Rastgele (Gelişigüzel) (Random, Stochastic,
Non-deterministic) Veriler:
Kesin bir matematiksel bağıntı ile verilemeyen ve deneysel
olarak oluşturulamayan verilerdir. Her gözlenen değer birçok
olasılığı olan gözlemlerden sadece biridir. Uygulamalı jeofizikte
gözlemsel verilere katılarak yorumlarını güçleştiren bozucu ve
istenmeyen gürültülerin birçoğu rastgele gürültü olarak modellenir.
Rastgele veriler kesikli ve sürekli olmak üzere iki çeşittir:
2.2.1. Kesikli Rastgele Veriler: Örnek uzayındaki eleman sayısı
sonludur ( Örn: Bir yıldaki yağışlı gün sayısı ).
2.2.2. Sürekli Rastgele Veriler: Örnek uzayındaki eleman sayısı
sonsuzdur ( Örn: Bir noktadaki rüzgar hızı ). Mühendislikte
karşılaşılan rastgele değişkenlerin çoğu süreklidir.
3. İstatistiksel Yöntemlere Giriş:
Uygulamalı bilimlerde gözlemler, bir büyüklüğün gerçek değerini
bulmak için yapılır. Birçok etkenlerin katkısı nedeniyle, gözlemsel
değerler gerçek değerlerden farklıdır. Gözlem sayısı arttıkça
gerçek değere o kadar yaklaşılır. Gözlemlerden elde edilen verileri
kullanarak bir araştırmacı kullandığı değerlerin gerçek değerlere
ne kadar yakın olduğunu bilmek zorundadır. Bir gözlemde saptanmaya
çalışılan gerçek bir büyüklük vardır ve gözlem sonucunda bu
büyüklüğe en yakın değer aranır. Uygulamalı bilimlerde gözlem yolu
ile elde edilen veriler genellikle çeşitli nedenlerle birbirinden
çok az farklı değerler taşırlar. Bunlardan bir bölümü kişisel ve
aletsel yanılgılardan ileri gelir. Gözlem değerleri bu durumda
saçılma gösterebilir. Yerbilimlerinde veri saçılmasının en önemli
etkilerinden biri ortamın tekdüze (homojen) ve yön bağımsız
(izotrop) olmamasıdır. Nedeni ne olursa olsun, jeofizikte gözlemsel
veriler tanımsal olmayan verilerdir. Tanımsal olmamaları nedeni ile
ancak istatistikî özellikleri ile belirlenebilirler. Belirli
güvenilirlik sınırları içinde olasılık dağılımları incelenebilir.
İstatistik yöntemler sadece veri saçılmaları karşısında gerçeğe
yakın sonuçlar aramak için kullanılmaz. İstatistik en çok
büyüklükler arasındaki karşılıklı ilişkilerin türünü, bunlara ait
yöntemleri aramakta kullanılır. Örneğin; olay zaman içinde
inceleniyorsa onun zaman bağlı olarak nasıl değiştiği istatistik
olarak incelenir. Bu amaca ulaşmak için gözlem sayılarından ve
gözlemlerin sayısal değerlerinden yararlanarak histogramlar
çizilir.
Şekil 3.1. MTA Genel Müdürlüğü Sondaj Çalışmaları (2004-2008)
ile ilgili histogram (MTA Sondaj Dairesi Bşk, 2008)
3.1. Ortalamalar
Aynı olaya ait ölçümler farklı değerler veriyorsa olayı temsil
edecek bir ortalama değerin bilinmesi gerekir. Farklı ortalama
değer tanımları vardır bunlar:
· Aritmetik ortalama
· Geometrik ortalama
· Harmonik ortalama
· Karekök ortalamadır.
3.1.1. Aritmetik Ortalama
Gözlem verileri toplamının gözlem sayısına bölümüdür.
å
=
=
N
1
i
i
A
x
N
1
X
(1)
Burada , N : Gözlem sayısı, xi : Gözlem değerleridir.
Örnek 3.1:
Bir kayaca ait tabaka eğimleri 39, 12, 43, 81, 30, 9, 86, 20
şeklinde ölçülmüştür. Ortalama tabaka eğimini hesaplayınız.
A
X
= 320/8 = 40
Aritmetik Ortalamanın Özellikleri:
1.
A
X
tüm gözlem değerleri kullanılarak hesaplanır.
2. Her bir gözlem değerinin otalamadan sapmalarının toplamı
sıfırdır.
A
i
i
X
x
X
ˆ
-
=
ise ;
å
=
=
N
1
i
i
0
X
ˆ
(2)
3. Bir toplamın ortalaması, ortalamalar toplamına eşittir. X=Y+Z
ise,
A
A
A
A
A
i
i
i
i
i
A
Z
Y
X
Z
Y
N
z
N
y
N
)
z
y
(
N
x
X
+
=
+
=
+
=
+
=
=
å
å
å
å
(3)
4. Eğer, x1, x2, ....., xN değerleri küme içinde f1, f2, .....,
fn sayısında yinelenmişse aritmetik ortalama;
N
2
1
N
N
2
2
1
1
A
f
......
f
f
x
f
.......
x
f
x
f
X
+
+
+
+
+
+
=
(4)
olarak da bulunabilir. Burada fi değerleri frekanstır.
Örnek 3.2: Aşağıdaki veri setinin aritmetik ortalamasını
bulunuz.
54, 58, 63, 54, 65, 58, 54, 58, 67, 54
5
.
58
1
1
1
3
4
67
.
1
65
.
1
63
.
1
58
.
3
54
.
4
X
A
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
5. Gözlem değerleri önemlerine uygun olarak belirli ağırlık
katsayıları ile çarpılırsa ağırlıklı ortalama elde edilir.
N
2
1
N
N
2
2
1
1
A
w
......
w
w
x
w
.......
x
w
x
w
X
+
+
+
+
+
+
=
(5)
Burada wi değerleri ağırlık katsayılarıdır.
Örnek 3.3:
Bir öğrencinin ödev değerlendirmesi 68, ara sınav 36 ve finali
ise 48 dir. Sınıf geçmeye etki eden ağırlık katsayıları ise w1 = 2,
w2 = 3, w3 = 5 dir. Öğrencinin sınıf notunun aritmetik ortalamasını
bulunuz.
4
.
48
10
484
5
3
2
48
.
5
36
.
3
68
.
2
X
A
=
=
+
+
+
+
=
6. Aritmetik ortalama en büyük ve en küçük değerlerden büyük
ölçüde etkilenir. Bu nedenle başka ortalamalar kullanılabildiği
gibi iki uç değer atılabilinir.
Örnek 3.4:
Örnek 3.1’de bir kayaca ait tabaka eğimleri 39, 12, 43, 81, 30,
9, 86, 20 idi. En büyük ve en küçük değerleri atarak aritmetik
ortalamayı yeniden hesaplayınız.
9 ve 86 veriden çıkarılarak;
5
.
37
6
225
X
A
=
=
3.1.2. Geometik Ortalama
Seriyi oluşturan verilerin çarpımının, veri sayısına eşit
dereceden köküdür.
N
N
2
1
G
x
.....
x
.
x
X
=
(6)
N
N
1
i
i
G
x
X
Õ
=
=
(7)
Örnek 3.5: 2, 4, 9, 20, 36 serisinin geometrik ortalamasını
hesaplayınız.
G
X
=
77
.
8
51840
36
.
20
.
9
.
4
.
2
5
5
=
=
Veri sayısının aşırı artması geometrik ortalamanın
hesaplanmasını zorlaştırır. Bu durumda her iki tarafın logaritması
alınır;
å
=
=
N
1
i
i
G
x
log
N
1
X
log
(8)
Ters logaritma alınarak geometrik ortalama bulunur.
Örnek 3.6: Örnek 3.5’deki verilerin geometrik ortalamasını
logaritma alarak hesaplayınız.
G
X
log
=
942932
.
0
)
36
log
20
log
9
log
4
log
2
(log
5
1
=
+
+
+
+
G
X
=8.77
Geometrik Ortalamanın Özellikleri:
1.
G
X
tüm gözlem değerleri kullanılarak hesaplanır.
2. Seriyi oluşturan değerler içinde sıfır veya negatif değerin
bulunması durumunda geometrik ortalama hesaplanamaz.
3. Geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan
küçüktür.
4. Geometrik ortalama uç değerlerden aritmetik ortalama kadar
etkilenmez.
3.1.3. Harmonik Ortalama
Seriyi oluşturan verilerin terslerinin aritmetik ortalamasının
tersidir.
å
=
=
N
1
i
i
H
x
1
N
X
(9)
Örnek 3.7:
2, 4, 7, 8, 9 serisinin harmonik ortalamasını bulunuz.
H
X
=
9
1
8
1
7
1
4
1
2
1
5
+
+
+
+
= 4.5
Harmonik Ortalamanın Özellikleri:
1. Frekans dağılımlarında harmonik ortalama
å
å
=
+
+
+
+
+
+
=
i
i
i
N
N
2
2
1
1
N
2
1
H
f
x
1
f
f
x
1
...
f
x
1
f
x
1
f
......
f
f
X
(10)
bağıntısı ile hesaplanır.
2. Seriyi oluşturan değerlerden biri sıfır ise harmonik ortalama
sıfıra eşit olur.
3. Eğer seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama
anlamsız sonuçlar verir.
3.1.4. Karekök (Root Mean Square) Ortalama
Seriyi oluşturan değerlerin karelerinin ortalamasının
kareköküdür.
N
x
X
2
i
K
å
=
(11)
olarak ifade edilir.
Örnek 3.8:
3, 5, 5, 7, 13 serisinin karekök (RMS) ortalamasını bulunuz.
K
X
=
44
.
7
4
.
55
5
13
7
5
5
3
2
2
2
2
2
=
=
+
+
+
+
Karekök Ortalamanın Özellikleri:
1. Frekans dağılımlarında karekök ortalama
å
å
=
=
+
+
+
+
+
+
=
i
N
1
i
2
i
i
N
2
1
2
N
N
2
2
2
2
1
1
K
f
x
f
f
......
f
f
x
f
......
x
f
x
f
X
(12)
bağıntısı ile hesaplanır.
2. Karekök ortalama en çok fiziksel uygulamalarda
kullanılır.
3.2. Diğer Parametreler
Dağılımın merkezini tanımlamakta serinin tüm değerlerini
içermeyen parametreler de kullanılır. En çok kullanılanları “tepe
değeri (mod)” ve “orta değer (medyan)”dır.
3.2.1. Tepe Değeri (Mod)
Bir örnek yada toplumda en çok rastlanan değere (en büyük
frekansa sahip sınıf değerine) “tepe değeri (mod)” denir. M0 ile
gösterilir.
Örnek 3.9:1,1,2,2,2,6,6,7,8,9,10 serisinin tepe değeri (modu)
nedir? M0 = 2 dir.
Örnek 3.10:1,1,2,2,2,6,7,7,7,10 serisinin tepe değeri (modu)
nedir?
M0 = 2 ve M0 = 7 dir, gözlem grubu iki tepelidir.
Örnek 3.11: 3,5,5,5,6,6,6,7,9,9,9 serisinin tepe değeri (modu)
nedir?
En çok tekrarlanan değerler yan yana olduğunda bu değerlerin
aritmetik ortalaması tepe değer olarak alınır.
(5+6)/2= 5.5
Serinin tepe değerleri 5.5 ve 9 dur.
3.2.2. Orta Değer (Medyan)
Düzenli ve eleman sayısı tek olan serilerde gözlemlerin
ortasındaki, çift sayılı düzenli serilerde ortada kalan iki gözlem
değerinin aritmetik ortalamasıdır. Çok sayılı verilerde orta değer
hesaplaması zorlaşır. Bu durumda frekans analiz çizelgesi
düzenlenerek orta değer hesaplanır. Orta değer Md ile
gösterilir.
Matematiksel olarak, x1, x2, x3, ……, xN gözlem değerleri
büyüklüklerine göre artan sırada düzenlenmişlerse Md;
EMBED Equation.3
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
ise
çift
N
2
x
x
ise
tek
N
x
M
1
2
N
2
N
1)/2
-
(N
d
(13)
Örnek 3.12: 2, 3, 8, 12, 20, 18, 5, 9, 7 serisinin orta değeri
(medyanı) nedir?
4
4
3
4
4
2
1
4
3
4
2
1
4
4
20
18,
12,
9,
8,
,
7
5,
3,
2,
Md: 8 dir.
Örnek 3.13: 5, 14, 21, 6, 9, 12, 15, 3 serisinin orta değeri
(medyanı) nedir?
3, 5, 6, 9, 12, 14, 15, 21 Md = (9+12)/2 = 10.5
Ödev 1:
Aşağıdaki veri setinin aritmetik, geometrik ve harmonik
ortalamalarını, mod ve medyan değerlerini bulunuz.
2, 7, 21, 14, 5, 9, 9
3.3. Ortalama Değer Etrafındaki Saçılmalar
Bir veri kümesini en iyi temsil edebilecek büyüklük olan
ortalama değer, dağılımı karakterize etmek için yeterli değildir.
Bu nedenle frekans dağılımlarını ortaya koymada ortalama değer
yanında, bu dağılımların ortalama değer etrafındaki saçılmalarının
derecesi de önemlidir. Bu saçılmaları açıklayabilmek için bazı
tanımların yapılması gereklidir.
3.3.1. Aralık (Range)
Bir serideki en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır. AR
ile gösterilir.
AR = xmax – xmin
(14)
Örnek 3.14:
a) 6, 5, 4, 3, 8, 2, 30, 15
b) 4, 35, 17, 19, 28, 41, 6
Yukarıda verilen iki serinin aralıklarını bulunuz.
a) AR = 30 - 2 = 28 b) AR = 41 – 4 = 37
3.3.2. Ortalama Sapma
Verilen ortalama veya orta değerden sapmaların mutlak
değerlerinin ortalamasıdır. Aritmetik ortalamaya göre
hesaplanırsa;
N
x
x
.
S
.
O
N
1
i
A
i
å
=
-
=
(15)
olarak verilir. Orta değere göre hesaplanırsa;
N
M
x
.
S
.
O
N
1
i
d
i
å
=
-
=
(16)
Örnek 3.15:
1, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 17 serisinin ortalama sapmasını
a) aritmetik ortalama ve
b) orta değere göre hesaplayınız.
a)
6
8
48
8
17
10
7
6
4
2
1
1
x
A
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
b) Md = (4+6) / 2 = 5
4
8
32
8
6
x
.
S
.
O
8
1
i
i
=
=
-
=
å
=
4
8
32
8
5
x
.
S
.
O
8
1
i
i
=
=
-
=
å
=
Ortalama sapmanın aritmetik ortalama ve orta değere göre
hesaplanması sonucu eşit çıkması zorunlu değildir.
Frekans serilerinde ortalama sapma;
x1, x2, x3, ……, xN verilerinin yenilenme sayıları (frekansları)
f1, f2, f3, ……, fN ise ortalama sapma,
å
å
=
=
-
=
N
1
i
i
N
1
i
i
A
i
f
f
x
x
.
S
.
O
(17)
ve
å
å
=
=
-
=
N
1
i
i
N
1
i
i
d
i
f
f
M
x
.
S
.
O
(18)
olarak hesaplanır.
Ödev 2:
xi=10, 11, 13, 14, 17, 20 ve fi = 2, 8, 6, 4, 4, 1 serisinin
ortalama sapmalarını
A
x
ve Md ‘e göre hesaplayınız.
3.3.3. Değişinti (Varyans)
Gözlemsel veriler az ya da çok saçılma gösterirler. Verilerin
ortalama değer çevresinde saçılmalarını sayısal olarak göstermek
için değişintiden yararlanılır. Ortalama sapma veya saçılmaların
bir ölçüdür. Gözlemsel verilerin her birinin ortalama değerden olan
farklarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır.
(
)
2
N
1
i
i
2
x
x
N
1
å
=
-
=
s
(19)
bağıntısı ile verilir.
Ortalama değer çevresindeki saçılmayı sayısal olarak belirtmek
için değişinti yerine standart
sapma kullanılır ve değişintinin karekökü olarak ifade
edilir.
(
)
2
N
1
i
i
x
x
N
1
å
=
-
=
s
(20)
Pratikte sayısal hesaplamaları kolaylaştırmak için standart
sapma aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.
2
A
N
1
i
2
i
x
N
x
-
=
s
å
=
(21)
Örnek 3.16: 2, 5, 6, 8, 9 verisinin standart sapmasını
bulunuz.
6
x
A
=
dır.
449
.
2
5
)
6
9
(
)
6
8
(
)
6
6
(
)
6
5
(
)
6
2
(
2
1
2
2
2
2
2
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
s
3.3.3.1. Durağanlık Sınırı
Bir veri grubu içinde ortalama değerden olan farkların standart
sapmanın (2, (3 katı veya daha büyük olan veriler veri grubundan
çıkartılarak işlemler yinelenebilir. Bu durumda veri kümesinin
sınırları daraltılarak yanılgılar içerenler atılarak veri
iyileştirilmiş olur. Bu sınır durağanlık sınırı olarak adlandırılır
ve
s
±
£
-
n
)
x
x
(
A
i
0 < n < 3
(22)
bağıntısı ile verilir.
Örnek 3.17:
2, 5, 6, 8, 9 verisinin n = ( 2 olarak seçildiğinde durağanlık
sınırlarını saptayınız ve bu sınırlar içine girmeyen verileri
bulunuz.
6
5
9
8
6
5
2
x
A
=
+
+
+
+
=
45
.
2
5
)
6
9
(
)
6
8
(
)
6
6
(
)
6
5
(
)
6
2
(
2
/
1
2
2
2
2
2
=
þ
ý
ü
î
í
ì
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
s
9
.
4
45
.
2
x
2
.
2
=
=
s
1
6)
-
(5
4
)
6
2
(
=
=
-
4 < 4.9 1< 4.9
0
)
6
6
(
=
-
2
)
6
8
(
=
-
3
)
6
9
(
=
-
Tüm veriler durağanlık sınırı içindedir.
0 < 4.9 2 < 4.9 3 < 4.9
3.3.3.2. Değişinti ve Standart Sapmanın Özellikleri
1. Dağılımdaki her bir veriye sabit bir değer eklendiği veya
çıkarıldığı zaman değişinti ve standart sapma değişmez.
2. Dağılımdaki her bir veri, sabit bir değer ile çarpıldığında
değişinti bu sabitin karesi kadar büyür.
3. x ve y gibi iki serinin toplamı durumunda değişinti :
(
)
(
)
N
y
y
x
x
2
N
1
i
A
i
A
i
2
y
2
x
2
y
x
å
=
+
-
-
+
s
+
s
=
s
(23)
x ve y gibi iki serinin farkları durumunda değişinti:
(
)
(
)
N
y
y
x
x
2
N
1
i
A
i
A
i
2
y
2
x
2
y
x
å
=
-
-
-
-
s
+
s
=
s
(24)
3.3.3.3. Ortak değişinti (Kovaryans)
İki veri setinin ortak ortalamaları etrafında beraberce
gösterdikleri değişimin bir ölçüsüdür. (23) ve (24) bağıntılarından
yararlanarak,
)
y
y
)(
x
x
(
1
N
1
KV
A
i
A
N
1
i
i
xy
-
-
-
=
å
=
(25)
Kovaryans değeri, +( ile – ( arasındadır.
Kovaryansın Yorumu:
· Kovaryans iki rastgele değişken arasında istatistiksel bir
ölçüdür. Kovaryans iki değişkenin birlikte hareketini ya da
değişiminin yönünü gösterir.
· Kovaryans(+)=>iki rastgele değişken aynı yönde hareket
etmektedir.
· Kovaryans(-)=>iki rastgele değişken zıt yönde hareket
etmektedir.
· Kovaryans(0)=> iki rastgele değişken arasında doğrusal bir
ilişki yoktur
3.3.3.4. İlişki Katsayısı (Korelasyon)
İki veri setinin ortak değişintisinin, serilerden her birinin
standart sapmalarının çarpımına oranıdır. İki rastgele değişken
arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel
istatistiksel kullanımda ilişki katsayısı, bağımsızlık durumundan
ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.
y
x
xy
xy
KV
R
s
s
=
(26)
Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde ilişki
katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde
ise ilişki katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer
tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer
arasında olacaktır. Katsayı +1'e veya -1'e ne kadar yakınsa
ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.
Değişkenler istatistiksel olarak bağımsız ise ilişki 0'dır fakat
bunun tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı yalnızca
doğrusal olan ilişkiyi belirler.
Bir seri (x, y) noktalar ve her set için x ile y arasındaki
ilişki katsayısı değeri.
Yukarı sıradan görüldüğü gibi korelasyon bir doğrusal ilişkinin
yönünü ve
rastgele yayılımını yansıtır. Orta sıradan anlaşılmaktadır ki
korelasyon
ilişkinin eğiliminden etkilenmez. Son sıranın amacı ilişkinin
doğrusal
olmayan bağlantılardan da etkilenmediğini göstermektir.
3.3.3.5. Standart Yanılgı
A
x
, xi gözlemsel değerlerinin aritmetik ortalaması ve ( da
standart sapması ise
A
x
’nın standart yanılgısı;
N
s
=
a
(27)
olarak verilir ve uygulamada
A
x
( ( olarak belirtilir.
Herhangi bir f(x1, x2, …xn) fonksiyonun standart yanılgısı;
2
1
2
n
2
n
2
2
2
2
2
1
2
1
x
f
.......
x
f
x
f
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
+
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
=
a
3.3.3.5. Normalleştirme (Standartlaştırma) İşlemi
Dağılımdaki birimlerin etkilerinin yok edilmesi ve dağılımın
karşılaştırılmasına elverişli hale getirilmesi işlemidir.
s
-
=
A
i
i
x
x
z
(28)
ile verilen normalleştirme işleminin aritmetik ortalaması sıfır,
standart sapma ve değişintisi 1’dir.
Örnek 3.18:
Bir yerde yapılan gözlemlerden yerçekimi ivmesi için, g = 980.1,
980.3, 978.9 değerleri ölçülmüştür. Yöredeki yerçekimi ivmesini
yanılgısı ile beraber hesaplayınız.
A
g
= 979.76
62
.
0
=
s
36
.
0
3
62
.
0
N
=
=
s
=
a
36
.
0
76
.
979
g
±
=
Örnek 3.19:
Sismik yansıma uygulamasında bir ara yüzey derinliği h = V.to
ile verilir. V ara yüzeye kadar olan hız, to sismik dalganın ara
yüzeye gidiş-geliş süresinin yarısıdır. Yapılan bir çalışmada V=
2500 ( 50 m/sn ve zaman to = 0.5 ( 0.004 sn olduğuna göre, arayüzey
derinliğini bulunuz.
h = V.to = 2500 x 0.5 = 1250 m.
Herhangi bir f(x1, x2, …xn) fonksiyonun standart yanılgısı;
2
1
2
n
2
n
2
2
2
2
2
1
2
1
x
f
.......
x
f
x
f
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
+
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
=
a
idi.
[
]
2
1
2
t
2
2
V
2
o
2
1
2
t
2
o
2
V
2
o
o
V
t
t
h
V
h
a
+
a
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
a
[
]
.
m
93
.
26
004
.
0
2500
50
5
.
0
2
1
2
2
2
2
=
+
+
+
=
a
EMBED Equation.3
m
27
@
h = 1250 ( 27 metredir.
4. Frekans Dağılımları ve Histogramlar
Pek çok mühendislik dalında ve jeofizikte yapılan gözlemleri
sınıflara ayırmak ve her gruptaki veri sayısını bilmek önemlidir.
Bu aşamada her gruptaki veri sayısına frekans denir.
Eldeki örneğin analizi ile rastgele değişkenin olasılık
dağılımının tahminine frekans analizi denir. Gözlem toplumunun
tümünü gözlemek mümkün olmadığından olasılık dağılımının eldeki
örneğin analizi ile elde edilen frekans dağılımına eşdeğer olduğu
kabul edilir.
N elemanlı bir gruptaki xi verisi ni defa görülüyorsa bu verinin
frekansı:
N
n
)
x
(
f
i
i
=
(29)
olarak tanımlanır. Bu şekilde hesaplanan
)
x
(
f
i
değerleri xi’ye göre sütun diyagram olarak grafiklendiğinde
frekans grafiği elde edilir. Her bir frekans değeri bir sonraki ile
toplanarak, yani üst üste yığılarak eklenik (kümülatif, yığınsal)
frekans dağılımı elde edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır:
)
x
(
f
N
n
)
x
(
F
i
1
j
j
i
1
j
j
i
å
å
=
=
=
=
(30)
Her sınıfın ve grubun alt ve üst sınırları vardır. Alt ve üst
sınırlar arasında kalan yere sınıf veya grup aralığı denir.
Örneğin; ögrencilerin ağırlıklarının en küçük değeri 38 kg, en
büyük değeri 68 kg ise ağırlık aralığı 68-38=30 kg’dır.
Frekans dağılımlarını grafik üzerinde incelemek daha kolaydır ve
böylece değişik sınıflara ilişkin frekansları kolayca karşılaştırma
olanağı elde edilir. Bu tür grafiklere histogram denir. Bir başka
ifadeyle frekans dağılımının grafik gösterimi histogram eğrisidir.
Histogramlarda yatay eksende sınıf aralıkları, düşey eksende de
frekanslar gösterilir.
Örnek 4.1:
Büyüklükleri aşağıdaki gibi verilen depremleri sınıflara
ayırarak histogramını ve frekans
dağılım grafiğini çiziniz. Veri aralığını bulunuz.
1.2
3.1
2.1
2.3
3.1
1.7
1.8
1.9
3.2
4.1
2.2
1.8
1.5
1.6
2.2
3.2
3.3
4.1
2.2
2.8
4.1
4.2
3.1
3.2
4.4
Xmax = 4.4
Xmin = 1.2
Veri aralığı = Xmax – Xmin = 4.4 - 1.2 = 3.2
1 = xi<2 (7 adet)
2 = xi<3 (6 adet)
3 = xi<4 (7 adet)
4 = xi<5 (5 adet)
Toplam 7+6+7+5=25 veri
Histogramlar kimi zaman aşağıdaki şekildeki gibi poligon
biçiminde gösterilebilir. Bunlara frekans dağılım eğrisi (poligonu)
adı verilir. Frekans dağılım eğrilerinde en büyük frekansla meydana
gelen olaya frekans dağılımının modu adı verilir.
Ödev 3:
90 öğrencinin bulunduğu bir sınıfta yapılan bir sınavda notların
dağılımı aşağıdaki gibidir. (29) ve (30) denklemleri ile
frekansları ve eklenik frekans dağılımlarını hesaplayarak
grafiklerini çiziniz.
i
x
3
4
5
6
7
8
9
10
i
n
1
2
5
12
19
25
18
8
)
x
(
f
i
)
x
(
F
i
4.1.Çarpıklığına göre frekans dağılımları:
Çarpıklık, bir dağılıma ilişkin ölçme sonuçlarının nasıl
dağıldığı hakkında bilgi verir.
Çarpıklık katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanır:
Çarpıklık katsayısı (ÇK) =
s
-
)
M
x
(
3
d
A
ÇK>0 ise sağa çarpık dağılım, ÇK=0 ise normal dağılım,
ÇK<0 ise sola çarpık dağılım
4.1.1. Simetrik (Normal) Dağılım
– Mod, medyan ve aritmetik ortalama birbirine eşittir (
A
d
0
x
M
M
=
=
).
– Çarpıklık değeri sıfırdır.
– Merkezi eğilim ölçülerine göre normal bir dağılımdır.
4.1.2. Sağa Çarpık Dağılım
–
A
d
0
x
M
M
<
<
ise dağılım sağa çarpıktır.
– Çarpıklık değeri pozitiftir.
– Örneğin başarısız bir sınıfın dağılımıdır.
4.1.3. Sola Çarpık Dağılım
–
A
d
0
x
M
M
>
>
ise dağılım sola çarpıktır.
– Çarpıklık değeri negatiftir.
– Örneğin başarılı bir sınıfın dağılımıdır.
Örnek 4.2:
9 öğrencinin jeofiziğe giriş dersinden aldığı notlar şu
şekildedir:
100, 90, 80, 75, 60, 50, 20, 90, 10
Bu notların modunu, meydanını, aritmetik ortalamasını ve Ç.K.’nı
hesaplayarak dağılım grafiğini çiziniz, sınıfın başarı durumunu
değerlendiriniz.
Çözüm:
Öncelikle verileri sıralayalım:
10, 20, 50, 60, 75, 80, 90, 90, 100
Mod : 90, En fazla frekansa sahip (2 kez tekrar eden) dağılımın
modudur.
N=9 tek olduğundan medyan değeri : 75 tir.
A
x
= 63.8
( = 31,8
Çarpıklık katsayısı (ÇK)=
s
-
)
M
x
(
3
d
A
=
-1.05
Buna göre
A
d
0
x
M
M
>
>
, Sola çarpık bir grafiktir. Sınıf başarılıdır.
5. Momentler
Frekans dağılımlarını ortalama ve saçılmalar temsil eder,
Bununla birlikte frekans dağılımlarının özellikleri belirlenirken
serinin simetrik durumdan ne kadar uzaklaştığının ölçülmesi
gerekir. Bu da istatistik momentlerle hesaplanır. Kısacası
değişkenin belli bir değerden veya aritmetik ortalamadan
sapmalarının değişik kuvvetlerinin beklenen değerine moment adı
verilir.
Bir x değişkeni N adet değer alıyor ise bunun sıfır etrafındaki
r’ninci momenti;
N
x
x
N
1
i
r
i
r
å
=
=
(31)
Aritmetik ortalama etrafındaki r’ninci moment ise,
N
)
x
x
(
m
r
N
1
i
A
i
r
x
å
=
-
=
(32)
şeklinde hesaplanır. r = 2 alındığında (32) bağıntısı (19) nolu
değişinti (varyans) bağıntısı ile aynı olur. Bu durumda Standart
sapma 2. momentin kareköküdür denilebilir.
Friedman (1978), sedimentlerin tane boyu analizlerinde
kullanılan parametreleri hesaplamada moment ölçümlerini
kullanmıştır.
Örnek 5.1:
11
,
9
,
6
,
6
,
5
,
2
,
2
,
1
x
i
=
tane boyu değerleri serisinin sıfır etrafındaki birinci ve
ikinci, ortalama etrafındaki ikinci momentlerini bulunuz.
i
x
2
i
x
x
x
i
-
x
(
x
x
i
-
)2
1
1
-4.25
5.25
18.0625
2
4
-3.25
10.5625
2
4
-3.25
10.5625
5
25
-0.25
0.0625
6
36
0.75
0.5625
6
36
0.75
0.5625
9
81
3.75
14.0625
11
121
5.75
33.0625
42
308
87.5000
N=8 dir ve sıfır etrafında birinci ve ikinci momentleri;
25
.
5
8
42
N
x
x
N
1
i
i
1
=
=
=
å
=
5
.
38
8
308
N
x
x
N
1
i
2
i
2
=
=
=
å
=
Aritmetik ortalama etrafındaki ikinci moment ise,
9375
.
10
8
5
.
87
N
)
x
x
(
m
2
N
1
i
A
i
2
x
=
=
-
=
å
=
6. Olasılık Teorisi
6.1. Rastgele Değişken ve Rastgele Olay
Rastgele Değişken gelecekte bir gözlemde alacağı değer önceden
kesinlikle bilinemeyen bir değişkendir. Örneğin zar atışında
gelebilecek sayı önceden bilinemez. Bir depremin herhangi bir
gündeki büyüklüğü de önceden bilinemez. Belirsizlik doğal
olaylardaki değişimlerden kaynaklanabileceği gibi olay hakkındaki
bilgilerimizin eksikliğinden de ileri gelebilir. Böyle değişkenleri
deterministik bir yaklaşımla incelemek mümkün değildir. Bunun
yerine probabilistik (olasılıkçı) bir yaklaşım gerekir.
Değişkenin gelecekte alacağı değer kesin olarak bilinemeyeceğine
göre ancak değişkenin belli bir değeri alma şansı hesaplanabilir.
Bir rastgele değişkenin bir gözlem sırasında belli bir değeri
almasına rastgele olay denir. Böylece herhangi bir rastgele olayın
görülme şansını belirlemek mümkündür. Örneğin bir zar atışında 1
ile 6 arasında seçilen herhangi bir sayının görülme şansı
belirlenebilir.
6.2. Küme Kavramı
Küme kavramı: Kesin bir şekilde tanımlanmış elemanlardan
oluşur.
Küme adı büyük harfle, elemanları küçük harfle gösterilir.
Örnek:
S =
{
}
ü
,
u
,
ö
,
o
,
i
,
ı
,
e
,
a
ya da
S =
{
}
harf
sesli
bir
deki
'
Türkçe
:
s
Bir kümenin elemanı olma : a
Î
S,
Elemanı olmama : z
Ï
S
Hiçbir elemanı olmayan küme : boş küme ((),
Alt küme (A
Ì
C) : Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de
elemanları ise ilk küme ikinci kümenin bir alt kümesidir.
Venn diyagramı : Küme- alt küme ilişkilerini açıklamak için
kullanılan grafikleme.
Kesişim(A
)
B
Ç
Birleşim(
B
A
È
)
Ayrık kümeler.
6.3. Olasılık Kavramı
Bir rastgele olayın meydana gelme şansı olasılık (probabilite)
adı verilen bir büyüklükle ifade edilir. Olasılık teorisinde her
rastgele olayın, değeri 0 ile 1 arasında değişen bir olasılığı
vardır. X rastgele değişkeninin bir gözlem sırasında aldığı değer
xi ise, bu olayın olasılığı şu şekilde gösterilir:
P( X = xi ) = pi
(33)
i
p
olasılık değeri 0 ile 1 arasında değişebilir. Olasılığın 0
olması olayın hiç bir zaman meydana gelmeyeceğini, 1 olması ise,
kesinlikle (her gözlemde) meydana geleceğini gösterir.
Aşağıda örnek olarak, çeşitli faylar için hazırlanmış, 2030
yılından önce M ( 6.7 olan en az bir deprem olma olasılıkları
verilmektedir (USGS Open-File Report 99-517, Earthquake
Probabilities in the San Francisco Bay Region: 2000 to 2030—A
Summary of Findings, 1999).
Fay Sistemi
Olasılık
San Gregorio
0.10
San Andreas
0.21
Hayward-Rodgers Creek
0.32
Calaveras
0.18
Concord-Green Valley
0.06
Greenville
0.06
Mount Diablo
0.04
Örnek 6.1:
Bir zar atışında 1 ve 7 gelme olasılığı nedir? 1 ile 6 arasında
herhangi bir sayı görülme olasılığı nedir?
P( X = 1 ) = 1/6 = 0.166 , zarda 7 olmadığından olasılığı P( X =
7 ) = 0
1 ile 6 arasında herhangi bir sayı görülmesi kesin olduğundan bu
olayın olasılığı 1’dir.
P( X = 1
È
X = 2
È
X= 3
È
X = 4
È
X = 5
È
X = 6) =1
Mühendislikte karşılaşılan problemler bu kadar basit değildir,
bu nedenle olasılıklar o olaylın oluş frekansına ( fi = ni / N )
bağlı olarak hesaplanır. Gözlem sayısı arttıkça fi hızlı olarak
pi’ye yaklaşır. Bu nedenle hesaplanan fi’lere o olayın olasılığı
gözü ile bakılır.
N
/
n
lim
p
i
N
i
¥
¾
®
¾
=
(33)
6.4. FAKTÖRİYEL, PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON
6.4.1. FAKTÖRİYEL
1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyel” denir
ve n! şeklinde gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3= 6
4!=1.2.3.4 = 24
n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
6.4.2. PERMÜTASYON :
r ve n pozitif doğal sayılar ve r
£
n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’
lilerine A kümesinin r’li permütasyonları denir. n elemanlı A
kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı,
P(n,r)= n! / (n−r)!
(35)
denklemi ile bulunur.
Örnek 6.2:
5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.
a) Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı
şekilde sıralanabilir?
c) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı
şekilde sıralanabilir?
Çözüm :
a) 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
b) Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz
konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca
bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu
8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde
sıralanabilir.
c) Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların
3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için
bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı,
8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
6.4.3. KOMBİNASYON
r ve n pozitif doğal sayılar ve r
£
n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt
kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, C(n,r), C
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
r
n
ya da
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
r
n
ile gösterilir.
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C (n, r) =
r)!.r!
-
(n
n!
(36)
formülü ile bulunur. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark
şöyledir. Permütasyonda sıralama veya diziliş söz konusudur,
seçimden çok, seçilmiş olunan nesnelerin sıralanışı veya dizilişi
önemlidir. Kombinasyonda ise, seçim veya seçme söz konusudur.
Sıralama ve diziliş yoktur, nesneleri seçmiş olmak yeterlidir.
Kombinasyonun özellikleri:
1.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
y
n
x
n
ise x = y veya x+y = n dir.
2.
1
0
n
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dir.
3.
n
1
n
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dir.
4.
1
n
n
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
dir.
Örnek 6.3: (2008-KPSS)
1
2
3
4
5
6
Ayşen elindeki değişik renkteki 8 boya kalemini kullanarak
yukarıdaki şekilde verilen altı kareyi, 3 ve 6 numaralı kareler
aynı renkte diğer kareler de bu karelerden ve birbirinden farklı
renklerde olmak koşuluyla boyamak istiyor. Ayşen bu boyama işini
kaç farklı biçimde yapabilir?
A) 6720 B) 6048 C) 3024 D) 336 E) 56
Çözüm:
Ayşen elindeki 8 kalemden 1 tanesini
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
8
ile seçer ve seçtiği bu kalemle 3 ve 6 numaralı kareleri boyar.
Diğer kareler bu karelerden ve birbirinden farklı renklerde
olacağından, kalan 7 kalemden 4 tanesini
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4
7
ile seçer ve seçtiği bu 4 kalemle 1, 2, 4 ve 5 numaralı kareleri
boyar. Ancak bu 4 kalemde herhangi bir sıra zorunluluğu
olmadığından, bu 4 renk kendi arasında 4! yer değiştirebilir. Sonuç
olarak
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
8
.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4
7
. 4! = 8.
EMBED Equation.3
6720
1
.
2
.
3
.
4
1
.
2
.
3
.
4
4
.
5
.
6
.
7
=
Ödev 4:
Bir lokantada 3 çeşit çorba, 5 çeşit etli yemek, 3 çeşit tatlı
bulunmaktadır. Lokantadaki bir müşteri kaç çeşit sıralı, kaç çeşit
sırasız menü yiyebilir? (Bir menü 1 çeşit çorba, 1 çeşit etli
yemek, 1 çeşit tatlıdan oluşmaktadır.)
7. Olasılık Dağılımları
Mühendislikte örneklere uygulanacak analiz yöntemleri veri
toplumuna göre değiştiğinden toplum tiplerinin belirlenmesi
gerekir. Toplumların dağılımları bazı fonksiyonlarla iyi ifade
edilebilmekte ve mühendisler üzerinde çalıştıkları rastgele
değişkenler için bu fonksiyonlardan birini seçip
kullanmaktadır.
Olasılık dağılımları veri türlerine göre iki şekilde
olabilir:
a) Ayrık olasılık dağılımı:
Sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan
pozitif olasılıklar var ise bu dağılım ayrık olasılık
dağılımıdır.
b) Sürekli olasılık dağılımı:
Bir sürekli olasılık dağılımı değerleri bir sürekli olan
açıklıkta tanımlar ve tek bir değer için olasılık sıfıra eşittir.
Örneğin bir okçuluk sahasında atılan bir okun hedef tahtasında tek
bir noktaya düşmesi olasılığı sıfırdır; çünkü geometri kuramına
göre bir noktanın ne eni ne de boyu bulunmaktadır ve hedef
üzerindeki varsayılan nokta sonsuz küçüklüktedir.
Uygulamada en çok kullanılan dağılımlar; Binom, Poisson, Normal
(Gauss), Lognormal, Gumbel ve Weibull dağılımlarıdır.
7.1. Binom Dağılımı
7.1.1. Değişken Tanımları:
· Bağımsız değişken: Başka bir değişkeni tahmin etmek için
kullanılan değişken çeşididir.
· Bağımlı değişken: Bağımsız değişkenin değişimlerinden
etkilenen ve onun verileri ile tahmin edilmeye çalışılan
değişkendir.
· Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin birbirlerine göre aldıkları
değerleri gösteren grafik dağılım grafiğidir. Bu grafiklerde genel
olarak x ekseninde bağımsız değişken ve y ekseninde bağımlı
değişken değerleri yer alır.
Bir rastgele değişken için her gözlemde sadece iki olaydan
birinin olması probleminde, olayın olma olasılığı (başarı) p ve
olmama olasılığı (başarısızlık) q olarak tanımlanan dağılımdır.
Burada q = 1 - p dir. En iyi örnek olarak zar atışı
verilebilir.
Denemede r başarı, N-r başarısızlık olasılığı,
P( r ) =
r
N
r
r
N
r
q
p
)
r
,
N
(
C
q
p
)!
r
N
(
!
r
!
N
-
-
=
-
(37)
bağıntısı ile verilir. Buna Binom dağılımı denir.
N
r
C
katsayısı, r = 0, 1, 2, 3, 4, …., N için
å
=
=
+
=
-
N
0
r
r
N
r
N
1
q
p
)
r
,
N
(
C
)
q
p
(
(38)
N
2
2
N
1
N
N
N
p
)
N
,
N
(
C
.......
p
q
)
N
,
2
(
C
p
q
)
N
,
1
(
C
q
)
N
,
0
(
C
)
p
q
(
+
+
+
+
=
+
-
-
(39)
Şeklinde ifade edilir ve buradaki 1,
)
N
,
1
(
C
,
)
N
,
2
(
C
, ..…. , 1 değerleri Binom katsayılarıdır.
(Not:
)
N
,
0
(
C
=
)
N
,
N
(
C
= 1 dir.)
Binom ortalaması:
p
.
N
x
=
Binom dağılımının değişinti ve standart sapması:
q
.
p
.
N
2
=
s
ve
Npq
=
s
Örnek 7.1: Yazı-tura atışında tura gelmesi başarı sayıldığına
göre, 4 atışta;
a) Hiç tura gelmemesi olasılığı,
b) Bir kez tura gelmesi olasılığı,
c) En az iki kez tura gelmesi olasılığını bulunuz.
Çözüm:
a) p =q = 1/2
P(r) =
r
4
r
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
)!
r
4
(
!
r
!
4
-
-
r = 0, 1, 2, 3, 4
r = 0 → P(0) =1/16
b) P(1) =
16
/
4
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
)!
1
4
(
!
1
!
4
1
4
1
=
-
-
c) P( r ( 2) = P(2) + P(3) + P(4) =1 – [P(0) + P(1)] =1-
(1/16+4/16) = 11/16
Örnek 7.2: Yazı-tura atışında 6 atışta en az 4 kez tura
getirebilme olasılığı nedir?
P(en az 4 tura) =
34
%
2
1
2
1
)
6
,
6
(
C
2
1
2
1
)
5
,
6
(
C
2
1
2
1
)
4
,
6
(
C
0
6
1
5
2
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
Örnek 7.3: Bir yüklenici firma geçmiş yıllarda katıldığı 20
ihalenin 4’ünü kazanmıştır. Bu firmanın 2012 yılında teklif vermeyi
planladığı 5 ihaleden en çok 3’ünü kazanma olasılığı nedir?
Firmanın kazanmayı beklediği ihale adedi nedir?
Başarı olasılığı: p = 4/20 = 0.2 q = 1-p = 1-0.2 = 0.80
P(r ( 3 ) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
P(r) =
r
5
r
)
8
.
0
(
)
2
.
0
(
)!
r
5
(
!
r
!
5
-
-
P(0) = 0.328 P(1) = 0.410 P(2) = 0.205 P(3) = 0.051
P(r ( 3 ) =0.328 + 0.410 + 0.205 + 0.051 = 0.994
p
.
N
x
=
= 5. (0,2) = 1 ihale
7.2. Poisson Dağılımı
Deneme sayısı (N) çok büyük ve başarı olasılığı (p) çok küçük
olduğu zaman Binom dağılımı limitte Poisson dağılımı adını
alır.
N→
¥
p→0 olduğunda :
Lim(np) = m = sabit olur.
N→
¥
p→0
Bununla birlikte p = m / n de Binom dağılımında yazılarak limit
alındığında;
P( r ) =
!
r
e
.
m
m
r
-
(40)
bulunur.
Bu bağıntı Poisson bağıntısı olarak bilinir. Burada e =
2.71828’dir.Uygulamada p ( 1 olduğunda Poisson dağılımı kullanılır.
m değeri küçüldükçe Poisson Binom dağılımına, çok büyürse Normal
(Gauss) dağılıma yaklaşır.
Poisson ortalaması:
p
.
N
m
x
=
=
Poisson dağılımının değişinti ve standart sapması:
p
.
N
m
2
=
=
s
ve
Np
m
=
=
s
Örnek 7.4:
Bir makinenin ürettiği maddelerin bozuk olma olasılığı 0,1 dir.
Bu üretimden rastgele seçilen 10 tanesinden en fazla 1 tanesinin
bozuk olma olasılığı nedir? Hem Binom hem de Poisson dağılımı ile
çözünüz.
Binom dağılımı ile:
P(en fazla 1 bozuk) = C(10,0) (0,1)0 (0,9)10 + C(10,1) (0,1)1
(0,9)9 = 0,7361
Poisson dağılımı ile:
m = n.p = 0,1x10 = 1
P(r = 0) =
3679
,
0
e
e
!
0
e
m
1
m
m
0
=
=
=
-
-
-
P(r = 1) =
3679
,
0
e
!
1
e
m
1
m
=
=
-
-
P(r ( 1) = P(r = 0) + P(r = 1) =0,3679 + 0,3679 = 0,7358
Görüldüğü gibi p çok küçük olduğu için Binom ve Poisson
dağılımları çok yakın sonuçlar vermiştir.
Örnek 7.5:
Bir jeotermal ısı merkezi 100 yılda bir görülen büyük depreme
göre inşa edilmiştir. Isı merkezinin planlanan hizmet süresi 50
yıldır.
a) Isı merkezinin planlanan hizmet süresi içinde projede
kullanılan deprem büyüklüğündeki depreme maruz kalma olasılığı
nedir?
b) Aynı olasılığı Binom dağılımı ile hesaplayınız.
Çözüm:
p = 1/100 = 0.01
p
.
N
m
x
=
=
=50 x 0.01 = 0.5
Isı merkezinin planlanan hizmet süresi içinde projede kullanılan
deprem büyüklüğündeki depreme bir ya da birden çok defa maruz kalma
olasılığı :
P(r ( 1) = 1- P(r < 1) = 1 – P( r = 0 )
P( r = 0 ) =
607
.
0
e
!
0
e
)
5
.
0
(
5
.
0
5
.
0
0
=
=
-
-
P(r ( 1) = 1- 0.607 = 0.393
b) Binom dağılımı ile : p = 0,01 q = 1- 0,01= 0,99 N=50 olmak
üzere
P(r = 0) =
605
.
0
)
99
.
0
(
)
01
.
0
(
)!
0
50
(
!
0
!
50
0
50
0
=
-
-
P(r ( 1) = 1- 0.605 = 0.395
Örnek 7.6:
Bir torbada üzerinde 1,2,3,….,10 rakamları yazılı olan 10 top
bulunmaktadır. Torbadan çekilen her top torbaya tekrar geriye
atıldığına göre;
a) Bir çekilişte 3 nolu topun çıkma olasılığı nedir?
b) Bir çekilişte 3’ten daha büyük bir sayı çıkması olasılığı
nedir?
Çözüm:
a) Her topun çekilme şansı aynıdır: P(r = 3) = 1/10
b) Bir çekilişte 3 ya da daha küçük bir topun çıkma
olasılığı;
P(r ( 3) = P(r = 1) + P(r = 2) + P(r = 3) = 3/10
P(r > 3 ) = 1 - P(r ( 3) = 1 – 3/10 = 7/10
Ödev 5: Bir petrol bölgesinde yapılan sondajların %2’sinde
petrol çıkmaktadır. Bu bölgede yapılacak sondajların 50 tanesinden
4’ünde petrol çıkma olasılığını,
A)Binom dağılımı
B) Poisson dağılımı ile bulunuz. Sonuçları tartışınız.
7.3. Normal (Gauss) Dağılımı
Diğer dağılımlardan farkı sürekli oluşudur. Binom dağılımından
yola çıkarak sınıf aralıklarının ikiye ve daha çok aralığa
bölünmesi esasına dayanır. Normal dağılım eğrisinin şekli standart
sapma tarafından kontrol edilir.
Normal dağılımın bağıntısı,
2
2
/
)
x
x
(
2
1
e
2
1
y
s
-
-
p
s
=
ile verilir.
(41)
Burada (; standart sapma,
x
; ortalama değerdir.
z = (x -
x
) / ( dönüşümü yapıldığında (41) bağıntısı,
2
z
2
1
e
2
1
Y
-
p
=
(42)
Normal dağılımın standart biçimi adını alır. Verilen iki
aralıktaki Normal dağılım olasılık değeri, eğrinin altında kalan
alanın hesaplanmasıyla bulunur.
ò
p
=
-
1
2
2
z
z
z
2
1
dz
e
2
1
Y
(43)
Dağılımın toplam alanı 1’e eşittir.
Standart normal dağılım eğrisi şu özelliklere sahiptir:
1. Mod = Medyan = Aritmetik ortalama birbirine eşittir.
2. Mod, medyan ve aritmetik ortalama grubu tam ortadan ikiye
ayırır.
3. Normal dağılım eğrisinin içinde standart sapmaların
arasındaki alanlar hesaplanmıştır.
4. Çarpıklık Katsayısı= 0’dır.
5. Normal dağılım eğrisinin ortalaması 0 ve standart sapması 1’e
eşittir.
Örnek 7.7: (Gamgam s.76)
Standart normal değişkeninin 1.06’dan daha küçük değerler alma
olasılığı nedir?
Çözüm:
Tablodaki 1. sütundan, 1 değeri yatayda 0.06 ile çakıştığı
yerdeki değerdir.
P(z < 1.06) = 0.8554
Olur.
Örnek 7.8: (Spiegel,s.203)
Standart normal değişkeninin z = 0.81 ve z = 1.94 arası değerler
alma olasılığı nedir?
Çözüm:
İstenilen alan = (z =0 ile z = 1.94 arası alan ) – (z =0 ile z =
0.81 arası alan )
= 0.4738-0.2910 = 0.1828
8. İstatistiksel testler; Ki-Kare ve T (Student) testi.
İstatistikte gözlemsel dağılımlarla kuramsal dağılımlar
arasındaki uyumu incelemek için değişik test yöntemleri
geliştirilmiştir.
8.1. Ki-kare ((2 )testi:
Gözlemsel ve beklenen frekanslar sırasıyla gi ve bi olarak
tanımlanırsa, bunlar arasındaki uyuşmazlığın derecesi;
n
n
n
b
b
g
b
b
g
b
b
g
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
)
(
....
)
(
)
(
-
+
+
-
+
-
=
c
(44)
olarak tanımlanır. (2 = 0 ise gözlemsel ve beklenen frekanslar
birbirleri ile tam uyumludur.
(2 > 0 ise uyum yoktur. Bu durumda örnek sayısının bir eksiği
olan serbestlik derecesine göre (2 güvenirlilik sınırları
tablolarına bakılır. Bulunan (2 değeri tablo değerinden küçük ise
söz konusu yüzdelik içerisinde bir güvenirlilik vardır. Hata oranı
azaldıkça güvenirlik artar.
Ki-kare testi ayrıca, örneklerin standart sapmalarından
yararlanarak belirli güvenirlilik düzeyinde veri topluluğunun
standart sapma sınırlarının belirlenmesinde de kullanılır.
Genellikle %95 güvenirlilik düzeyi kullanılır. Bu durumda Ki-kare
eğrisinin altında kalan alanın her iki yanından (100-95)/2 = 2.5,
%2.5’luk kısım atılacak demektir.
Ki-kare dağılımı,
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
1
2
2
s
=
-
+
+
-
+
-
=
c
Ns
x
x
x
x
x
x
n
/
)
(
.....
)
(
(45)
dir. Burada s2 örneklerin değişintisini, (2 de veri topluluğunun
değişintisidir. %95 lik güvenirlilik sınırı içinde (2,
2
975
0
2
2
2
025
0
.
.
c
á
s
á
c
Ns
buradan da;
025
0
975
0
.
.
c
á
s
á
c
N
s
N
s
(46)
olur. Böylece örnek sayısı (N) ve örneklerin standart sapması
(s) bilindiğinde veri topluluğunun standart sapmasının (()
sınırları kolaylıkla bulunabilir.
Örnek 8.1:
Bir kumtaşından alınan örneklerin poroziteleri aşağıda yüzdelik
olarak verilmiştir. Ki-kare testini uygulayarak %95 güvenirlilik
düzeyinde,
a) Standart sapmanın sınırlarını,
b) beklenen porozite değerlerinin sınırlarını belirleyiniz.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Porozite
16
10
14
19
12
22
18
13
25
21
Çözüm:
a) xA=17
S2=
21
2
=
-
å
N
x
x
A
i
)
(
s = 4.5826
Serbestlik derecesi : ( = N-1 = 10-1 = 9
025
0
2
95
0
1
2
1
.
.
=
-
=
c
975
0
025
0
1
2
2
.
.
=
-
=
c
19
2
975
0
=
c
.
7
2
2
025
0
.
.
=
c
036
4
975
0
.
.
=
c
64
1
025
0
.
.
=
c
56
3
975
0
1
.
.
=
c
=
s
N
s
84
8
025
0
2
.
.
=
c
=
s
N
s
84
8
6
3
.
.
á
s
á
b) xA=17, Standart sapma max.
m
%8.84 arasında değişecektir. Porozite değeri (() sınırları
xA - (max < ( < xA + (max
17 - 8.84 < ( < 17 + 8.84
% 8.16 < ( < % 25.84
Örnek 8.2:
Aşağıdaki x değerleri bir bölgedeki sondajlardan elde edilen
katman sayılarını göstermektedir. Bu değerlere % 95 güvenle
standart sapma sınırlarını ve katman sayısının alt ve üst
sınırlarını ki-kare testini uygulayarak bulunuz.
x = 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 9
Çözüm:
83
6
6
41
.
=
=
A
x
N
x
x
s
A
i
2
)
(
-
=
å
36
1
6
1
11
.
.
=
=
5
1
6
1
=
-
=
-
=
u
N
91
0
831
0
58
3
8
12
025
0
2
025
0
975
0
2
975
0
.
.
.
.
.
.
.
.
=
c
®
=
c
=
c
®
=
c
025
0
975
0
.
.
c
á
s
á
c
N
s
N
s
91
0
6
36
1
58
3
6
36
1
.
.
.
.
á
s
á
Þ
66
3
93
0
.
.
á
s
á
Katman sayısının alt ve üst sınırları (
)
max
s
m
A
x
:
6.83 - 3.66 < K < 6.83 + 3.66
3.17 < K < 10.49
8.2. T (Student) testi
T testi, ortalama değeri
x
olan bir veri topluluğu içinden alınan N adet örneğin ortalama
değeri ( olmak üzere;
s
-
m
=
/
)
(
x
N
t
(47)
ile tanımlanır. Burada (, seçilen N adet örneğin standart
sapmasıdır. Çeşitli güven sınırları için bu test yapılabilir.
T testinin önemli bir uygulaması da veri topluluğunun ortalama
değerinin incelenmesidir. Belirli bir güvenirlilik düzeyi içinde
ortalama değerin sınırları,
N
t
x
N
t
c
c
s
+
m
á
á
s
-
m
(48)
ile hesaplanır. Burada tc, t’nin verilen güvenirlilik sınırları
için kritik değeridir. Örneğin % 95 güvenirlilik için tc, t0.975
olarak alınır.
Örnek 8.3:
Ortalama 100 gr. ürün veren bir fabrikada rastgele alınan 10
paketi gramajları aşağıda verilmiştir. Makinelerin % 95
güvenirlilikle çalışmasını ve ürün toleransını bulunuz.
98, 105, 108, 96, 100, 98, 97, 102, 106, 99
Çözüm:
9
100
.
=
m
EMBED Equation.3
94
3
2
.
)
(
=
-
=
s
å
N
x
x
i
x
=100
s
-
m
=
/
)
(
x
N
t
=
722
0
94
3
100
9
100
10
.
.
)
.
(
=
-
9
1
10
1
=
-
=
-
=
u
N
için
26
2
975
0
.
.
=
t
975
0
.
t
t
<
(0.722<2.26) koşulunu sağladığı için makineler % 95
güvenirlilik sınırı içinde çalışıyor demektir.
Ürün toleransı (alt ve üst sınırları);
N
t
x
x
N
t
c
c
s
m
=
Þ
s
-
m
=
m
/
)
(
10
94
3
26
2
9
100
10
94
3
26
2
9
100
.
.
.
.
.
.
+
<
<
-
x
82
2
9
100
82
2
9
100
.
.
.
.
+
<
<
-
x
x
= 100.9 ( 2.82bulunur.
9. Korelasyon ve Regresyon Analizi
Eğer x ve y iki değişken iseler, dik koordinat sisteminde (x,y)
noktaları bir noktalar bulutu halinde görülür ( Bakınız Bölüm
3.3.3.4 ).
Korelasyon analizi; iki yada daha çok değişken arasında ilişki
olup olmadığını, ilişki varsa yönünü ve gücünü inceleyen analiz
yöntemidir. Regresyon analizi ise, değişkenlerden birisi belirli
bir birim değiştiğinde, diğerinin nasıl bir değişim gösterdiğini
inceleyen analiz yöntemidir.
9.1. Korelasyon Analizi
9.1.1. Negatif Korelasyon (Ters Orantılı İlişki):
x değişkeni artarken y değişkeni azalıyorsa veya x değişkeni
azalırken y değişkeni artıyorsa bu iki değişken arasında negatif
korelasyon var demektir. Örneğin, Enflasyon arttıkça vatandaşın
alım gücü düşer.
9.1.2. Pozitif Korelasyon (Doğru Orantılı İlişki):
Bir A değişkeni artarken B değişkeni de artıyorsa ve A değişkeni
azalırken B değişkeni de azalıyorsa bu iki değişken arasında
pozitif korelasyon var demektir. Örneğin Ders çalışma arttıkça
sınavdan yüksek puan alma artar.
9.1.3. Sıfır (Nötr) Korelasyon: İki değişken arasında bir ilişki
yoktur. Örneğin çok yemek yeme ile çok gülmek arasında bir ilişki
yoktur.
9.1.4. Korelasyon(İlişki) Katsayısı
Korelasyon katsayısı ilişkinin büyüklüğünü gösterir. Korelasyon
katsayısı iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü gösterir. x ve y
arasındaki (–1,00) büyüklüğündeki korelasyon iki değişkenin en
yüksek düzeyde ilişki olduğuna işaret eder. Yine A ve B
değişkenleri arasındaki (+1,00) büyüklüğündeki korelasyon bu iki
değişkenin en yüksek düzeyde ilişkili olduğunu gösterir. (0,00)
korelasyon ise iki değişken arasında ilişkinin olmadığını, yani
ilişki büyüklüğünün sıfıra eşit olduğunu gösterir. Değişkenler
arasındaki ilişkinin büyüklüğüne bakılırken korelasyonun (–) veya
(+) olması dikkate alınmaz. Mutlak değer olarak en büyük korelasyon
en yüksek veya en güçlü ilişkiyi gösterir.
Bölüm 3.3.3.3. te kovaryans ve ilişki katsayısı;
)
y
y
)(
x
x
(
1
N
1
KV
A
i
A
N
1
i
i
xy
-
-
-
=
å
=
y
x
xy
xy
KV
R
s
s
=
(49)
olarak verilmiştir.
9.2. Regresyon Analizi (Doğrusal (Lineer) Regresyon)
Iki değişken arasında belirgin bir ilişki varken, bu ilişki
dağılım grafiğindeki noktalar arasından geçen uygun bir doğru ile
tanımlanabilir. Bu doğruya regresyon doğrusu denir ve matematiksek
olarak bir bağıntı ile tanımlanabilir. Buna da regresyon bağıntısı
denir. Bu bağıntı ile herhangi bir bağımsız değişkene karşılık
gelen bağımlı değişken hesaplanabilir. Iki değişken arasında tam
bir ilişki varsa yani R=(1 ise, dağılımdaki bütün noktalar
regresyon doğrusu üzerine düşer. Regresyon doğrusu genelde En Küçük
Kareler Yöntemi ile hesaplanır.
9.2.1 En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Regresyon Doğrusunu
Hesaplanması
Regresyon doğrusunun denklemi, y = ax+b’ dir. Burada y bağımlı,
x bağımsız değişken, a doğrunun y eksenini kestiği nokta, b ise
doğrunun eğimi olan regresyon katsayısıdır. N adet nokta( xi, yi )
çifti için y ve y.x denklemleri,
å
å
å
å
å
+
=
+
=
2
x
b
x
a
xy
x
b
aN
y
(50)
şeklindedir.
Buradan regresyon katsayısı (b) çekildiğinde,
(
)
N
x
x
N
y
x
xy
b
2
2
å
å
å
å
å
-
-
=
(51)
Bulunur. Tüm x ve y değerlerinin aritmetik ortalamaları alınır.
Bulunan değerlere göre EKK denklemi,
x
b
a
y
+
=
(52)
şeklini alır. Buradan
x
b
y
a
-
=
(53)
olur. Bulunan a ve b değerleri doğru denkleminde yerlerine
yazılır. Regresyon doğrusu,
x
ve
y
noktalarının kesişimi ve a değeri bilindiğinden kolaylıkla
çizilebilir.
EKK Yöntemi gerçek y değerleri ile
y
ler arasındaki farkların karelerinin toplamının en küçük olması
esasına dayanır:
å
=
-
enküçük
y
y
i
i
2
)
(
(54)
İstatistikte doğrusal olmayan ilişkiler de vardır. Bunlar
genellikle parabol denklemine uydurularak ya da doğrusallaştırma
işlemi yapılarak çözülür.
9.2.1.1. Tahminin Standart Hatası
2
2
-
-
=
å
N
y
y
S
hes
yx
)
(
(55)
şeklinde hesaplanır. Gözlem sayısının çok olduğu durumlarda
2
2
-
-
-
=
å
å
å
N
xy
b
y
a
y
S
yx
(56)
olur.
Örnek 9.1:
(1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8), (14, 9)
verilerine EKK yöntemi regresyon analizi uygulayınız. Regresyon
doğrusunu bulup çiziniz.
Çözüm:
x
y
xy
1
1
1
top
56
40
3
2
6
topxy
364
4
4
16
topx2
524
6
4
24
8
5
40
9
7
63
11
8
88
14
9
126
7
5
:ort
x*x
1
b=0.63636
9
a=5-0.63636*7=0.54545
16
36
64
81
121
196
1; 1
3; 2
4; 46; 4
8; 5
9; 7
11; 8
14; 9
y = 0.6364x + 0.5455
R2 = 0.9545
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0246810121416
veri
EKK regresyon doğrusu
Ödev 6:
Aşağıdaki satış verilerine EKK yöntemi regresyon analizi
uygulayınız. Regresyon doğrusunu bulup çiziniz. Tahminin standart
hatasını hesaplayınız.
Sürekli
Kesikli
Periyodik Olmayan
(Non-periodical)
Periyodik
(Periodical)
Rastgele
(Non-deterministic or Random)
Tanımsal
(Deterministic)
Verilerin Sınıflandırılması
Alım
Gücü
Enflasyon
Yüksek Puan Alma
Ders
Çalışma
Çok Gülmek
Çok Yemek yeme
Çalışma
_1358332364.unknown
_1360588260.unknown
_1364127169.unknown
_1390391851.unknown
_1390638368.unknown
_1390644895.unknown
_1390820337.unknown
_1390821858.unknown
_1391868212.unknown
_1391949939.unknown
_1391950066.unknown
_1390821877.unknown
_1390821463.unknown
_1390821606.unknown
_1390821008.unknown
_1390645473.unknown
_1390645535.unknown
_1390645227.unknown
_1390645321.unknown
_1390645139.unknown
_1390644538.unknown
_1390644828.unknown
_1390644863.unknown
_1390644728.unknown
_1390638441.unknown
_1390638459.unknown
_1390638379.unknown
_1390638031.unknown
_1390638093.unknown
_1390638269.unknown
_1390638343.unknown
_1390638059.unknown
_1390392012.unknown
_1390637785.unknown
_1390391886.unknown
_1390391310.unknown
_1390391672.unknown
_1390391745.unknown
_1390391781.unknown
_1390391773.unknown
_1390391714.unknown
_1390391608.unknown
_1390391631.unknown
_1390391501.unknown
_1390383615.unknown
_1390385420.unknown
_1390390300.unknown
_1390388635.unknown
_1390388712.unknown
_1390385465.unknown
_1390384751.unknown
_1364195052.unknown
_1364195249.unknown
_1364128114.unknown
_1361966952.unknown
_1363604948.unknown
_1363605004.unknown
_1364126877.unknown
_1363604973.unknown
_1361967518.unknown
_1361968945.unknown
_1363000012.unknown
_1361966969.unknown
_1361022677.unknown
_1361184421.unknown
_1361966355.unknown
_1361964028.unknown
_1361964097.unknown
_1361184614.unknown
_1361022780.unknown
_1361023900.unknown
_1361023309.unknown
_1361022732.unknown
_1361022626.unknown
_1361022652.unknown
_1361022620.unknown
_1359359619.unknown
_1359379144.unknown
_1359546316.unknown
_1359546448.unknown
_1359550921.unknown
_1359550937.unknown
_1359547392.unknown
_1359550893.unknown
_1359547157.unknown
_1359546437.unknown
_1359546345.unknown
_1359546405.unknown
_1359379583.unknown
_1359379652.unknown
_1359464132.unknown
_1359544822.unknown
_1359546248.unknown
_1359544911.unknown
_1359464635.unknown
_1359381444.unknown
_1359464068.unknown
_1359379662.unknown
_1359379636.unknown
_1359379379.unknown
_1359379559.unknown
_1359379288.unknown
_1359361604.unknown
_1359361664.unknown
_1359361673.unknown
_1359370750.unknown
_1359361612.unknown
_1359361543.unknown
_1359361575.unknown
_1359359648.unknown
_1358337047.unknown
_1358857771.unknown
_1359359483.unknown
_1359359588.unknown
_1358857804.unknown
_1358857724.unknown
_1358857737.unknown
_1358337553.unknown
_1358334998.unknown
_1358336573.unknown
_1358337022.unknown
_1358335040.unknown
_1358332465.unknown
_1358334945.unknown
_1358334969.unknown
_1358332387.unknown
_1349526497.unknown
_1353760259.unknown
_1357476525.unknown
_1358331219.unknown
_1358331321.unknown
_1358331381.unknown
_1358331239.unknown
_1358331282.unknown
_1358330873.unknown
_1358331116.unknown
_1358329880.unknown
_1357467256.unknown
_1357473926.unknown
_1357476496.unknown
_1357473914.unknown
_1357466646.unknown
_1357466660.unknown
_1353760367.unknown
_1353750875.unknown
_1353752283.unknown
_1353754834.unknown
_1353755713.unknown
_1353752675.unknown
_1353751606.unknown
_1353751631.unknown
_1353751463.unknown
_1353751506.unknown
_1353751438.unknown
_1350908564.unknown
_1353750440.unknown
_1353750833.unknown
_1350908789.unknown
_1350911401.unknown
_1350908759.unknown
_1349526909.unknown
_1350905916.unknown
_1349526887.unknown
_1349089159.unknown
_1349098240.unknown
_1349521549.unknown
_1349526289.unknown
_1349526429.unknown
_1349525975.unknown
_1349526142.unknown
_1349522248.unknown
_1349098523.unknown
_1349521530.unknown
_1349098404.unknown
_1349090489.unknown
_1349097528.unknown
_1349098231.unknown
_1349090495.unknown
_1349089183.unknown
_1349090478.unknown
_1349089175.unknown
_1347183787.unknown
_1349088049.unknown
_1349088319.unknown
_1349088297.unknown
_1349088311.unknown
_1347370120.unknown
_1347370406.unknown
_1347369802.unknown
_1347104153.unknown
_1347177761.unknown
_1347178130.unknown
_1347104170.unknown
_1347103457.unknown
_1347103465.unknown
_1347103442.unknown