完全楕円積分と楕円関数
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Transcript
完全楕円積分と楕円関数
( ) ( )( ) [ ) [ )
( ) ( ) ( )( ) [ )
∈∈−=
∈∈−−
= ∫
1,0,,0,,sn1:,cn
1,0,1,0,11
:,sn
2
0 222
1-
kkKzkzkz
kzk
dkzz
ξξξ
( )kz,sn ( )kz,cn
( ) ( )cn , sechk →・ ・Jacobi’s ｓｎ function
Jacobi’s elliptic functions sn(z,k) and cn(z,k):
プレゼンター
プレゼンテーションのノート
sn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, sn converges to sin. cn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, cn converges to sin.
( ) ( )( ) [ ) [ )
( ) ( ) ( )( ) [ )
∈∈−=
∈∈−−
= ∫
1,0,,0,,sn1:,cn
1,0,1,0,11
:,sn
2
0 222
1-
kkKzkzkz
kzk
dkzz
ξξξ
( )kz,sn ( )kz,cn
1),(sec),( →→ kaskzhkzcn
プレゼンター
プレゼンテーションのノート
sn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, sn converges to sin. cn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, cn converges to sin.
( ) ( )( ) [ ) [ )
( ) ( ) ( )( ) [ )
∈∈−=
∈∈−−
= ∫
1,0,,0,,sn1:,cn
1,0,1,0,11
:,sn
2
0 222
1-
kkKzkzkz
kzk
dkzz
ξξ
ξJacobi’s elliptic functions sn(z,k) and cn(z,k):
1/4 period of ).,(),,( kzcnkzsn
( )( )( )
12
2 20 02 2 2:
1 sin1 1
d dK kkk
πξ φ
φξ ξ= =
−− −∫ ∫
Complete elliptic integrals of the first kind
プレゼンター
プレゼンテーションのノート
sn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, sn converges to sin. cn is the Jacobi’s Elliptic function, that is an extension of sin. When k→0, cn converges to sin.
Notations: complete elliptic integrals
∈−+
=Π
∈−=
∈−
=
∫
∫
∫
20 222
20
22
20 22
)1,0[ ,sin1)sin1(
:),(
)1,0[ ,sin1:)(
)1,0[ ,sin1
:)(
π
π
π
ϕϕν
ϕν
ϕϕ
ϕ
ϕ
kk
dk
kdkkE
kkdkK
( ) ( )( ) [ ] [ )∫ ∈∈−−
=z
kzk
dkz0 222
1- 1,0, 1,0,11
:,snξξ
ξJacobi’s ｓｎ function
プレゼンター
プレゼンテーションのノート
厳密解に含まれる記号の説明をします。 上から順に、第一種、二種、三種完全楕円積分です。 ｓｎ関数は、逆数で定義されています。
( ) ∫ −= 2
0 22 sin1:
π
ϕ
ϕ
k
dkK ( ) ∫ −= 2
0
22 sin1:π
ϕϕ dkkE
( )( )
( ) ( ) 1as01,
20
2 ↑→−
∞→
=
kkKkkK
K π( )
( ) 112
0
=
=
E
E π
プレゼンター
プレゼンテーションのノート
ここで、完全楕円積分について説明します。 Kは、第1種完全楕円積分でした。K(0)=Pi/2,kを1に近づけたときのKの値は∞で、以下のような単調増加なグラフになります。 Eは、第2種完全楕円積分でした。E(0)=Pi/2,E(1)=1で、以下のような単調減少なグラフになります。
について ),( kνΠ
∫−+
=Π 20 222 sin1)sin1(
:),(π
ϕϕνϕν
kdk
5.0=ν のとき
Example.
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
2
shsshKshsEhhshshhs
s −−−−−Π−
=Π∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
shhhhKhhEhhshshhhs
h −−−−+Π−
=Π∂∂
は微分すると ),( hhsΠ )(),(),,( hEhKhhsΠ がでる.
),( hhsΠ
のとりあつかいについて
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
2
shsshKshsEhhshshhs
s −−−−−Π−
=Π∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
shhhhKhhEhhshshhhs
h −−−−+Π−
=Π∂∂
は微分すると ),( hhsΠ )(),(),,( hEhKhhsΠ がでる.
),( hhsΠ
),( hhsΠ
のとりあつかいについて
を消す方法あり！
)1)(1()()1()(),(
)1)(1(2shsss
hKshsEhhss
shss −−
−+−=
Π⋅
−−∂∂
( ))1)(1()1(
)()1()()1(),()1)(1(2
shsshhhKhhEshhs
sshs
h −−−−−−
=
Π⋅
−−∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
2
shsshKshsEhhshshhs
s −−−−−Π−
=Π∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
shhhhKhhEhhshshhhs
h −−−−+Π−
=Π∂∂
は微分すると ),( hhsΠ )(),(),,( hEhKhhsΠ がでる.
),( hhsΠ
),( hhsΠ
),()1)(1(2
hhss
shsΠ⋅
−−
のとりあつかいについて
を消す方法あり！
)1)(1()()1()(),(
)1)(1(2shsss
hKshsEhhss
shss −−
−+−=
−Π⋅
−−∂∂
( ))1)(1()1(
)()1()()1(),()1)(1(2
shsshhhKhhEshhs
sshs
h −−−−−−
=
−Π⋅
−−∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
2
shsshKshsEhhshshhs
s −−−−−−Π−
=−Π∂∂
)1)(1()()1()(),()1(
21),(
shhhhKhhEhhshshhhs
h −−−−+−Π−
=−Π∂∂
は微分すると ),( hhsΠ )(),(),,( hEhKhhsΠ がでる.
),( hhsΠ
),( hhsΠ
),()1)(1(2
hhss
shs−Π⋅
−−
のとりあつかいについて
を消す方法あり！
K.Kosugi, Y. Morita and Y. Yotsutani, DCDS 19(2007),
完全楕円積分 E/K の近似式について
0 1
0 10
0 1
0 10
0 1
)()(
hKhE
の上下からの評価式 )()(
hKhE
・・・
の上下からの評価式 )()(
hKhE
1g
0g
2g
)()(
hKhE・・
1g
0g
2g
)()(
hKhE・・
1
・・・
の上下からの評価式 )()(
hKhE
村井ー松本ー四ッ谷（2010） ガウス（1816）
1g
0g
2g
)()(
hKhE・・
1g
0g
2g
)()(
hKhE・・
1
証明
とおく.
命題 [この場合は直接証明が簡単にできる]
)(hf
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