Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка ...probability.univ.kiev.ua/userfiles/yamnenko/Discrete.Mathematics... · Практичне

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса ШевченкаМеханiко-математичний факультетДискретна математика 2017/2018 н.р., 2 семестр

Практичне заняття 1. Основнi правила комбiнаторики

А1.1 Учнi вивчають 10 предметiв. У понедiлок 6 урокiв, причому всi уроки попарнорiзнi. Скiлькома способами можна скласти розклад на понедiлок?

А1.2 Скiльки є k-значних чисел у системi числення за основою n?

А1.3 Скiльки iснує п’ятизначних чисел, якi дiляться на 5?

А1.4 Скiльки iснує п’ятизначних чисел, що дiляться на 3?

А1.5 З точки проведено n променiв. Скiльки кутiв вони утворюють?

А1.6 Скiльки є натуральних чисел, менших вiд 100, цифри яких iдуть у зростаючомупорядку?

А1.7 Скiльки натуральних дiльникiв має число pα11 · p

α22 · ... · pαr

r , де p1, p2, . . . , pr —попарно рiзнi простi числа?

А1.8 Скiльки натуральних дiльникiв має число 1250?

А1.9 Скiлькома способами n людей можуть стати в коло?

А1.10 Скiльки iснує камiнцiв у грi домiно? Скiлькома способами можна обрати двакамiнцi, якi можна прикласти один до одного?

А1.11 Скiлькома способами можна розмiстити на шаховiй дошцi 8 тур так, щоб вони немогли бити одна одну?

А1.12 Скiлькома способами можна поставити двi тури на шахову дошку так, щоб вонине били одна одну?

А1.13 Скiлькома способами можна поставити два слони на шахову дошку так, щоб вонине били один одного?

А1.14 Скiлькома способами можна з 7 осiб вибрати комiсiю, яка складається з 3 осiб?

А1.15 У скiлькох точках перетинаються дiагоналi опуклого n-кутника, якщо жоднi три зних не перетинаються в однiй точцi?

А1.16 Скiльки можна зробити перестановок iз n елементiв, у яких данi 2 елементи стоятьпоруч?

А1.17 Скiлькома способами можна розставити 10 книг на полицi так, щоб певнi 3 книгине стояли поруч?

Д1.1 Скiльки є парних шестизначних чисел?

Д1.2 Скiльки є п’ятизначних чисел, у яких кожна наступна цифра бiльша за попередню?

Д1.3 На залiзничнiй станцiї n семафорiв, кожен з яких може перебувати в одному з 3положень. Скiльки можна дати рiзних сигналiв одночасно?

Д1.4 Скiльки дiльникiв має число 65 · 104?

Д1.5 Скiльки натуральних дiльникiв має число 2255?

Д1.6 Скiльки є способiв скласти намисто iз k рiзних предметiв?

Д1.7 Скiлькома способами можна поставити двох коней на шахову дошку так, щоб вонине били один одного?

Д1.8 Скiлькома способами можна поставити двi ферзi на шахову дошку так, щоб вонине били один одного?

Д1.9 На однiй iз бiчних сторiн трикутника взято n точок, на другiй m точок. Кожнувершину при основi трикутника сполучено прямими з точками на протилежнiйсторонi. На скiльки частин подiлиться трикутник цими прямими?

Д1.10 На площинi дано n точок, причому m точок лежать на однiй прямiй. Скiлькиiснує невироджених трикутникiв зi стороною, що лежить на цiй прямiй?

Д1.11 У чемпiонатi з футболу беруть участь 16 команд. Говоритимемо, що результатидвох чемпiонатiв з футболу тотожнi, якщо в результатi цих чемпiонатiв однаковiкоманди отримують золоту, срiбну, бронзову медалi й покидають вищу лiгу (4команди). Скiльки є рiзних нетотожних чемпiонатiв?


Практичне заняття 2. Бiномiальна теорема

А2.1 З колоди, в якiй 52 карти, вибрали 10 карт.

a) У скiлькох випадках серед цих карт є хоча б один туз?

b) У скiлькох випадках серед цих карт був рiвно один туз i двi карти бубновоїмастi?

c) У скiлькох випадках — не менше двох тузiв?

А2.2 У розкладi (1 + x)n коефiцiєнти при x5 i x12 рiвнi. Знайдiть n.

А2.3 Скiльки рацiональних доданкiв мiстить розклад

(√

3 +4√

5)100?

А2.4 Чому дорiвнює коефiцiєнт у розкладi (x+ y2)15

a) при x6y18;

b) при x8y16;

c) при x7y16?

А2.5 Для довiльних натуральних n, k доведiть рiвнiсть:(−nk

)= (−1)k

(n+ k − 1

k

).

А2.6 Доведiть, що для довiльних натуральних n,m, k має мiсце рiвнiсть:(n+m

k

)=

k∑i=0

(n

i

)(m

k − i

).

А2.7 Доведiть, що для кожного допустимого натурального n має мiсце рiвнiсть:

a)n∑k=1

k

(n

k

)= n2n−1;

b)n∑k=2

k(k − 1)

(n

k

)= n(n− 1)2n−2;

c)n∑k=0

1

k + 1

(n

k

)=

1

n+ 1(2n+1 − 1).

А2.8 Обчислiть суму(n

0

)+ 2

(n

1

)+ 3

(n

2

)+ 4

(n

3

)+ . . .+ (n+ 1)

(n

n

).

Д2.1 З колоди, в якiй 52 карти, вибрали 10 карт.

a) У скiлькох випадках серед цих карт є рiвно один туз?b) У скiлькох випадках серед цих карт є рiвно 2 тузи i рiвно 3 хрестовi карти?

Д2.2 У розкладi (1 + x)n коефiцiєнти при x6 i x9 рiвнi. Знайдiть n.

Д2.3 Скiльки рацiональних доданкiв мiстить розклад

(3√

2 +4√

3)120?

Д2.4 Чому дорiвнює коефiцiєнт у розкладi (x3 + y2)12

a) при x15y14;b) при x12y22;c) при x9y18?

Д2.5 Доведiть, що для довiльних натуральних n, k має мiсце рiвнiсть:(n

k

)=

n−1∑i=0

(i

k − 1

).

Д2.6 Доведiть, що для кожного допустимого натурального n має мiсце рiвнiсть:

a)n∑k=0

(2k + 1)

(n

k

)= (n+ 1)2n;

b)n∑k=0

(−1)k

k + 1

(n

k

)=

1

n+ 1;

c)n∑k=1

(−1)k−1

k

(n

k

)= 1 +

1

2+ . . .+

1

n.

Д2.7 Обчислiть суму(n

1

)− 2

(n

2

)+ 3

(n

3

)− 4

(n

4

)+ . . .+ (−1)nn

(n

n

).


Практичне заняття 3. Мультимножини

А3.1 Скiльки рiзних слiв можна отримати, переставляючи лiтери слова “комбiнаторика”?

А3.2 Скiлькома способами можна розкласти в 6 рiзних ящикiв 6 чорних, 7 бiлих i 7синiх куль?

А3.3 6 ящикiв занумеровано вiд 1 до 6. Скiлькома способами можна розкласти по цихящиках 20 однакових куль (деякi ящики можуть бути порожнiми)?

А3.4 6 ящикiв занумеровано числами вiд 1 до 6. Скiлькома способами можна розкластипо цих ящиках 20 однакових куль так, щоб жоден ящик не виявився порожнiм?

А3.5 Скiлькома способами 12 монет вартiстю 25 копiйок кожна можна розкласти по5 рiзних гаманцях так, щоб жоден гаманець не виявився порожнiм? Скiлькомаспособами це можна зробити, щоб при цьому в першому гаманцi було рiвно 7монет?

А3.6 Скiлькома способами можна розрiзати намисто, що складається з 30 рiзних нами-стинок, на 8 частин?

А3.7 У поштовому вiддiленнi продаються листiвки 10 видiв. Скiлькома способами мо-жна купити в ньому:

a) 12 листiвок;

b) 8 листiвок;

c) 8 попарно рiзних листiвок?

А3.8 У гаманцi лежить 60 монет вартiстю 10, 25 i 50 копiйок по 20 кожної вартостi.Скiлькома способами можна вибрати з них 20 монет? Скiльки є способiв цезробити так, щоб хоча б 10 вибраних монет мали вартiсть 50 копiйок?

А3.9 Скiлькома способами можна розкласти в 6 рiзних ящикiв 4 чорнi, 4 бiлi й 4 синiкулi?

А3.10 Скiлькома способами можна викласти в ряд 5 червоних, 5 синiх i 5 зелених куль?Для скiлькох з них жоднi двi синi кулi не лежать поряд?

А3.11 Група студентiв складається з 28 осiб: 16 дiвчат i 12 хлопцiв, а в аудиторiї 15двомiсних парт.

a) Скiлькома способами можна розсадити студентiв за партами?

b) Скiлькома способами можна розсадити їх так, щоб кожен хлопець сидiв здiвчиною?

c) Скiлькома способами можна розсадити студентiв так, щоб жоден хлопець несидiв iз дiвчиною?

Д3.1 Скiльки рiзних слiв можна отримати, переставляючи лiтери слова “математика”?

Д3.2 Скiлькома способами можна розкласти в 5 рiзних ящикiв 5 чорних, 5 бiлих i 5синiх куль?

Д3.3 Скiльки невiд’ємних цiлих розв’язкiв має рiвняння

x1 + . . .+ xm = n, m, n ≥ 1?

Д3.4 В 9 рiзних лузах розташували 7 бiлих i 2 чорнi кулi (деякi лузи можуть бутипорожнiми). Скiлькома способами можна здiйснити такий розклад? Скiльки будеспособiв, якщо вiдомо, що обидвi чорнi кулi опиняться в однiй лузi?

Д3.5 У квiтковому магазинi пiд кiнець робочого дня залишилося 7 троянд бiлого кольо-ру, 8 червоного i по 9 рожевого i жовтого. Скiлькома способами можна скластибукет iз 5 квiтiв, якщо троянди одного кольору не вiдрiзняються? Скiлькома спосо-бами можна скласти букет iз 7 квiтiв, щоб у ньому було рiвно 3 бiлi троянди?

Д3.6 Є кубики червоного, помаранчевого, бiлого i синього кольорiв. Скiлькома спосо-бами дитина може скласти башту з 6 кубикiв?

Д3.7 Скiлькома способами 3n рiзних предметiв можуть бути подiленi мiж трьома лю-дьми так, щоб кожен отримав по n предметiв?

Д3.8 Скiлькома способами з колоди з 52 карт можна вибрати 6 карт так, щоб булинаявнi всi мастi?

Д3.9 Скiлькома способами за круглим столом можна посадити 5 англiйцiв, 5 французiвi 5 нiмцiв так, що нiякi спiввiтчизники не сидiтимуть поруч?


Практичне заняття 4. Формула включень-вилучень

А4.1 Скiльки є натуральних чисел, менших за 10000, якi взаємно простi з числом 30?

А4.2 Нехай n = 30m для деякого натурального m. Доведiть, що кiлькiсть чисел, небiльших за n i якi не дiляться на жодне з чисел 6,10 i 15, рiвна 22m.

А4.3 Про групу студентiв iз 30 осiб вiдомо, що 19 студентiв вивчають математику, 17

— музику, 11 — iсторiю, 12 — математику i музику, 7 — iсторiю та математику,5 — музику та iсторiю, 2 — математику, iсторiю та музику. Скiльки студентiввивчає iсторiю, але не вивчає математику?

А4.4 Вiдомо, що кожен учень школи вивчає принаймнi одну iноземну мову. 28 учнiввивчають англiйську, 23 учнi вивчають французьку, 23 — нiмецьку, 12 — англiй-ську та французьку, 11 — англiйську та нiмецьку, 8 — французьку та нiмецьку,5 — всi три мови. Скiльки учнiв вчиться в школi?

А4.5 В групi “любителiв приходити на першу пару вчасно” соцiальної мережi “Спино-зошит” всього 25 хлопцiв i 20 дiвчат. З них отримують стипендiю 30 осiб, середяких 16 хлопцiв. Серед учасникiв групи 28 також входять в групу “послiдовникiвяблуневого бiнома”, з яких 18 хлопцiв i 17 отримують стипендiю. Чи може кiль-кiсть хлопцiв, якi отримують стипендiю, i є учасниками обох груп, бути рiвною15?

А4.6 (Задача Льюiса Керола) В жорстокому бою не менше як 70% пiратiв втратилиодне око, не менше як 75% — одне вухо, не менше як 80% — одну руку тане менше як 85% — одну ногу. Яка мiнiмальна кiлькiсть бiйцiв, що втратиливодночас i око, i ногу, i вухо, i руку?

А4.7 Є n конвертiв з адресами i n листiв. Листи навмання кладуть у конверти. Скiль-кома способами це можна зробити так, що хоча б одна людина отримає свiй лист?

А4.8 Група з 20 студентiв в один i той самий час розпочала складати залiк з комбiнато-рики та iспит з теорiї графiв двом рiзним викладачам. Вiдповiдь кожного студентаi на залiку, i на iспитi триває 5 хвилин. Жоден студент не може одночасно скла-дати iспит i залiк. Скiлькома способами студенти можуть органiзувати чергу дляскладання залiку та iспиту?

А4.9 6 людей вибрали з 6 пар рукавиць по лiвiй i правiй кожна. У скiлькох випадкахжодна людина не отримала пари?

Д4.1 Скiльки є натуральних чисел, менших 10000, якi взаємно простi з числом 42?

Д4.2 Доведiть, що для кожного натурального n ≥ 6 в множинi {n + 1, . . . , n + 30}мiститься не бiльше восьми простих чисел.

Д4.3 У трансконтинентальному лiтаку перебувають: 9 хлопчикiв, 5 українських дiтей,9 дорослих чоловiкiв, 7 iноземних хлопчикiв, 14 українцiв, 6 українцiв чоловiчоїстатi та 7 iноземок жiночої статi. Скiльки всього осiб в лiтаку?

Д4.4 З колоди 52 карт витягли навмання 6 карт. У скiлькох випадках будуть наявнi всiмастi?

Д4.5 Пустелею iде караван верблюдiв. Пiсля перепочинку верблюдiв переставили так,щоб попереду кожного верблюда йшов верблюд, вiдмiнний вiд того, що ранiше.Скiлькома способами можна це зробити?

Д4.6 Коли в залi театру згасло свiтло, залишалося n вiльних мiсць, якi мали зайнятиглядачi, що спiзнилися. В темрявi цi глядачi почали займати вiльнi мiсця випадко-вим чином. У скiлькох випадках принаймнi два глядачi, що запiзнилися, потраплятьна свої мiсця?

Д4.7 6 людей вибрали з 9 пар рукавиць по лiвiй i правiй кожна. У скiлькох випадкахжодна людина не отримала пари?


Практичне заняття 5. Числа Стiрлiнга. Лiнiйнi рекурентнi спiввiдношення.

А5.1 Обчислiть {n

0

},

{n

1

},

{n

2

},

{n

n− 1

},

{n

n

}.

А5.2 Доведiть, що [n

k

]≥{n

k

}, n ≥ k ≥ 0.

Коли нерiвнiсть буде строгою?

А5.3 Доведiть, що

xn =n∑k=0

{n

k

}(x)k.


(x)n =n∑k=0

[n

k

](−1)n−kxk.

А5.5 Доведiть, що кiлькiсть цiлочисельних векторiв (a1, . . . , an) таких, що 0 ≤ ai ≤n− i, 1 ≤ i ≤ n, в яких рiвно k координат рiвнi 0, становить

[nk

].

А5.6 Доведiть, що кiлькiсть способiв розмiщення n рiзних предметiв по m рiзних ко-робках при умовi, що p коробок зайнятi, а m− p — порожнi, дорiвнює

m(m− 1) . . . (m− p+ 1)

{n

p

}.

А5.7 Доведiть, що {n+ 1

m+ 1

}=

n∑k=m

(n

k

){k

m

}.

А5.8 Доведiть, що [n+ 1

m+ 1

]=

n∑k=m

[n

k

](k

m

).

А5.9 Знайдiть явний вигляд елементiв послiдовностi, заданих лiнiйним рекурентнимспiввiдношенням

a) an+2 − 2an+1 + 2an = 0, a0 = 0, a1 = 1;

b) an+3 + 2an+2 − 5an+1 − 6an = 0, a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1.

А5.10∗ Доведiть, що для кожного n ≥ 1 число(3 +√

17

2

)n

+

(3−√

17

2

)n

є цiлим i непарним.

А5.11 Для кожного натурального n знайдiть кiлькiсть n-значних натуральних чисел, якiзаписуються за допомогою цифр 1, 2, 3 i в яких перша та остання, а також будь-якiдвi сусiднi цифри рiзнi.

Д5.1 Обчислiть [n

0

],

[n

1

],

[n

2

],

[n

n− 1

],

{n

n

}.

Д5.2 Доведiть, що [n+ 1

k

]= n

[n

k

]+

[n

k − 1

].

Д5.3 Користуючись рекурентними формулами, складiть таблицi значень чисел Стiрлiнгапершого та другого роду для множин, якi мiстять вiд 0 до 9 елементiв.

Д5.4 Доведiть, щоn∑

k=m

[n

k

]{k

m

}(−1)n−k = δnm.

Д5.5 Доведiть, щоn∑

k=m

{n

k

}[k

m

](−1)n−k = δnm.

Д5.6 Доведiть, що натуральне число, яке дорiвнює добутку n рiзних простих множникiв,можна зобразити у виглядi добутку m натуральних множникiв

{nm

}способами.

Д5.7 Нехай D — оператор диференцiювання, f(x) — n разiв диференцiйовна функцiя.Доведiть, що

(xD)nf(x) =n∑k=0

{n

k

}xkDkf(x).

Д5.8 Доведiть, що {n

m

}=

n∑k=m

(n

k

){k + 1

m+ 1

}(−1)n−k.

Д5.9 Доведiть, що [n

m

]=

n∑k=m

[n+ 1

k + 1

](k

m

)(−1)m−k.

Д5.10 Знайдiть явний вигляд елементiв послiдовностi, заданих лiнiйним рекурентнимспiввiдношенням

a) an+2 − 4an+1 + 3an = 0, a0 = 10, a1 = 16;

b) an+2 − 4an+1 − 5an = 0, a0 = 1, a1 = 0;

c) an+3 − 2an+2 − 5an+1 + 6an = 0, a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0.

Д5.11∗ Знайдiть першi сто знакiв пiсля коми у числа (5 +√

26)101.

Д5.12∗ Клiєнт поклав на рахунок у банк певну суму грошей i пiдписав контракт, за якимкожного разу, коли вiн дзвонитиме на гарячу телефонну лiнiю банку, грошi на йогорахунку будуть подвоюватися, але за це банк стягуватиме комiсiю, яка першогоразу становитиме 50 гривень, другого — 100 гривень, третього — 150 гривень iт.д. Пiсля 17 дзвiнкiв клiєнта виявилося, що вiн заборгував банку 360 гривень i72 копiйки. Яку суму клiєнт поклав на рахунок? Як змiнилася б ситуацiя, якбивiн поклав на одну копiйку бiльше?


Практичне заняття 6. Числа Фiбоначчi. Числа Каталана.

А6.1 Доведiть, що для чисел Фiбоначчi мають мiсце тотожностi

a)n∑k=1

Fk = Fn+2 − 1, n ≥ 1;

b)n∑k=1

F2k−1 = F2n, n ≥ 1;

c)n∑k=1

F 2k = FnFn+1, n ≥ 1;

d) Fn+m = Fn−1Fm + FnFm+1, n,m ≥ 1.

А6.2∗ Доведiть, що для довiльних натуральних n, k число Fkn дiлиться на Fn.

А6.3∗ Доведiть, що для довiльного натурального n має мiсце рiвнiсть

Fn =

[n−12 ]∑

k=0

(n− k − 1

k

).

А6.4 Знайдiть кiлькiсть таких векторiв (a1, . . . , a2n), усi координати яких рiвнi 1 або−1, причому

k∑i=1

ai ≥ 0, 1 ≤ k ≤ 2n,2n∑i=1

ai = 0.

А6.5 Знайдiть кiлькiсть найкоротших шляхiв вздовж цiлочисельної решiтки на коорди-натнiй площинi з вершини (0, 0) у вершину (n, n), якi проходять не вище прямоїy = x.

А6.6∗ На колi зафiксували 2n точок. Скiлькома способами можна провести n хорд так,щоб кожна точка була кiнцем рiвно однiєї хорди i хорди попарно не перетинались?

А6.7∗ Скiльки iснує неспадних послiдовностей натуральних чисел довжини n, у якихкожне число не бiльше за його номер у послiдовностi?

А6.8∗ Скiльки iснує перестановок чисел 1, 2, . . . , 2n, якi одночасно задовольняють такимумовам:

a) всi непарнi числа зустрiчаються в зростаючому порядку;

b) всi парнi числа зустрiчаються в зростаючому порядку;

c) кожне непарне число зустрiчається ранiше наступного парного?

Д6.1 Доведiть, що для чисел Фiбоначчi мають мiсце тотожностi

a)n∑k=1

F2k = F2n+1 − 1, n ≥ 1;

b) Fn+1Fn−1 − F 2n = (−1)n, n ≥ 1;

c)2n−1∑k=1

FkFk+1 = F 22n, n ≥ 1.

Д6.2∗ Доведiть, що сума восьми послiдовних чисел Фiбоначчi не може бути числомФiбоначчi.

Д6.3 Скiлькома способами натуральне число n можна подати у виглядi суми натураль-них доданкiв, кожен з яких бiльший за 1.

Д6.4∗ Нехай НСД(n,m) = k. Доведiть, що НСД(Fn, Fm) = Fk.

Д6.5∗ Знайдiть limn→∞

Fn+1

Fn.

Д6.6 (Система числення Фiбоначчi) Доведiть, що для кожного натурального числа niснують i єдинi натуральне число M ≥ 2 та числа αk ∈ {0, 1}, 2 ≤ k ≤ M такi,що αkαk+1 = 0, 2 ≤ k ≤M − 1, i

n =M∑k=2

αkFk.

Д6.7 Знайдiть розклади перших двадцяти простих чисел у системi численнi Фiбоначчi.

Д6.8 Перевiрте, що

Cn =

(2n

n

)−(

2n

n− 1

), n ≥ 1.

Д6.9 Обчислiть числа Каталана Cn, 0 ≤ n ≤ 10.

Д6.10∗ Скiльки iснує таких послiдовностей (a1, . . . , an) цiлих чисел, що a1 = 0 i 0 ≤ak ≤ ak−1 + 1, 1 < k ≤ n?

Д6.11∗ Скiлькома способами опуклий (n + 2)-кутник можна розбити на трикутники,провiвши n−1 дiагоналей, якi не перетинаються всерединi заданого многокутника.


Практичне заняття 7. Поняття графа.

А7.1 Нехай задано граф Γ = (V,E), де

V = {1, 2, 3, 4}, E = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2)}.

Зобразiть цей граф, вкажiть його матрицi сумiжностi та iнцидентностi.

А7.2 Скiльки ребер мiстить повний граф з n вершинами?

А7.3 Як за матрицею сумiжностi графа визначити:

a) чи iнцидентнi двi заданi вершини;

b) чи буде граф простим;

c) кiлькiсть його ребер;

d) степенi його вершин;

e) чи буде граф повним?

А7.4 Вкажiть деяку невiд’ємну квадратну матрицю розмiру 4 × 4 i зобразiть орграф,нею визначений. Якi властивостi має цей орграф?

А7.5 Для кожного n ≥ 3 вкажiть простий граф з n вершинами, в якого знайдетьсяn− 1 вершина з попарно рiзними степенями.

А7.6 Запишiть матрицю сумiжностi заданого графа i знайдiть її власнi значення, вка-жiть його матрицю iнцидентностi:

a)

b)

Д7.1 Нехай задано граф Γ = (V,E), де

V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 5), (1, 4), (2, 4), (3, 5), (5, 2)}.

Зобразiть цей граф, вкажiть його матрицi сумiжностi та iнцидентностi.

Д7.2 Чому дорiвнює степiнь кожної вершини у повному графi з n вершинами?

Д7.3 Вкажiть деяку симетричну невiд’ємну квадратну матрицю розмiру 4×4 i зобразiтьграф, нею визначений. Якi властивостi має цей граф?

Д7.4 Якi властивостi графа можна перевiрити за допомогою його матрицi iнцидентностi?

Д7.5 Доведiть, що в будь-якому простому графi, який має принаймнi двi вершини,знайдуться рiзнi вершини з рiвними степенями.

Д7.6 Запишiть матрицю сумiжностi заданого графа i знайдiть її власнi значення, вка-жiть його матрицю iнцидентностi:

a)

b)


Практичне заняття 8. Iзоморфiзм графiв.

А8.1 Доведiть, що простi графи iзоморфнi тодi й лише тодi, коли iзоморфнi їх доповне-ння.

А8.2 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi орграфи

a) з 2 вершинами i 2 стрiлками;

b) з 2 вершинами i 3 стрiлками;

c) з 3 вершинами i 2 стрiлками.

А8.3 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi простi графи з 4 вершинами. Вкажiть їх ма-трицi сумiжностi та iнцидентностi.

А8.4 Скiльки iснує попарно неiзоморфних простих графiв з 6 вершинами, у яких набiрстепенiв вершин є такиим: (2, 2, 3, 3, 3, 5)?

А8.5 Скiльки iснує попарно неiзоморфних простих графiв з 6 вершинами i 11 ребрами?

Д8.1 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi простi орграфи

a) з 3 вершинами i 3 стрiлками;

b) з 3 вершинами i 4 стрiлками;

c) з 4 вершинами i 3 стрiлками.

Д8.2 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi простi графи з 5 вершинами.

Д8.3 Скiльки iснує попарно неiзоморфних простих кубiчних графiв з 6 вершинами?

Д8.4 Скiльки iснує попарно неiзоморфних простих графiв з 7 вершинами i 18 ребрами?

Д8.5 У повному графi з 5 вершинами знайдiть усi цикли довжини 3, 4, 6. Якi з нихбудуть простими?

Д8.6 Чи iснує простий граф з 6 вершинами, у якого набiр степенiв вершин є такиим:(2, 2, 2, 4, 5, 5)?


Практичне заняття 9. Шляхи в графах.Всi графи, якi розглядаються, є скiнченними i простими.

А9.1 Доведiть, що простий зв’язний граф є циклом тодi й лише тодi, коли всi йоговершини мають степiнь 2.

А9.2 Доведiть, що в непорожньому регулярному дводольному графi долi мiстять одна-кову кiлькiсть вершин.

А9.3 Доведiть, що граф є дводольним тодi й лише тодi, коли всi його цикли маютьпарну довжину.

А9.4 Нехай в графi є рiвно двi вершини непарного степеня. Доведiть, що iснує ланцюг,який їх з’єднує.

А9.5 Доведiть, що в будь-якому графi, який має принаймнi двi вершини, знайдутьсядвi вершини з рiвними степенями.

А9.6 Нехай в простому графi нiякi двi вершини однакового степеня не з’єднанi ланцю-гом довжини 2. Доведiть, що в цьому графi iснує висяча вершина.

В наступних задачах розглядається простий, зв’язний, скiнченний граф Γ.

Д9.1 Доведiть, що d(a, b) + d(b, c) = d(a, c) тодi й лише тодi, коли b лежить на одномуз найкоротших шляхiв з a до c.

Д9.2 Доведiть, що розмах L(a, b) (тобто найбiльша довжина простого шляху мiж вер-шинами a та b) задовiльняє нерiвностi трикутника L(a, c) ≤ L(a, b) + L(b, c).

Д9.3 Доведiть, що коли p i q — такi простi шляхи, що L(p) = L(q) = L(Γ), то вонимають спiльну вершину.

Д9.4 Нехай l — довжина найдовшого простого шляху в графi Γ). Доведiть, що e(a) ≥[(l+1)/2] для довiльної вершини a (e(a) — довжина найдовшого простогоо шляхуз початком в a), причому коли досягається рiвнiсть, то a належить кожномунайдовшому простому шляху в графi Γ.

Д9.5 Нехай вершина b є початком деякого найдовшого простого шляху в графi Γ iρ(b) > 1. Тодi b належить деякому простому циклу, довжина якого не менша заρ(b) + 1.


Практичне заняття 10. Ойлеровi та гамiльтоновi графи, дерева.Всi графи, якi розглядаються, є скiнченними.

А10.1 Побудуйте три попарно неiзоморфнi графи з вiсьмома вершинами, у кожному зяких iснує ойлеровий цикл.

А10.2 Чи будуть ойлеровими (гамiльтоновими) графи “вiдкритий конверт”, “заклеєнийконверт”?

А10.3 Доведiть, що повний граф з n (n ≥ 3) вершинами є гамiльтоновим. Скiлькигамiльтонових циклiв iснує в цьому графi?

А10.4 Озарактеризуйте графи, котрi одночасно є ойлеровими i гамiльтоновими.

А10.5 Якi з платонових графiв є ойлеровими, гамiльтоновими?

А10.6 Доведiть, що кожне дерево має принаймнi два листки.

А10.7 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi дерева з 2, 3 i 4 вершинами.

А10.8 Доведiть, що кожне дерево з рiвно двома листками є простим ланцюгом.

А10.9 Нехай Γ — граф з n вершинами та n − 1 ребром. Доведiть, що такi умовирiвносильнi:

a) Γ є деревом;

b) Γ ациклiчний;

c) Γ зв’язний.

А10.10 Доведiть, що для довiльного натурального числа n набiр натуральних чисел(d1, . . . , dn) є набором степенiв вершин деякого дерева тодi й лише тодi, коли

n∑i=1

di = 2n− 2.

Д10.1 Наведiть приклад ойлерового, але не гамiльтонового графа.

Д10.2 Наведiть приклад гамiльтонового, але не ойлерового графа.

Д10.3 Наведiть приклад простого ойлерового графа з 6 вершинами i максимально (мi-нiмально) можливою кiлькiстю ребер.

Д10.4 Доведiть, що граф Петерсена

не є гамiльтоновим.

Д10.5 Доведiть, що кожне дерево є дводольним графом.

Д10.6 Побудуйте всi попарно неiзоморфнi дерева з 5 i 6 вершинами.

Д10.7 Доведiть, що зв’язний граф є деревом тодi й лише тодi, коли кожне його ребро ємостом.

Д10.8 Нехай максимальний степiнь вершини деякого дерева не менший за k. Доведiть,що це дерево має принаймнi k листкiв.


Практичне заняття 11. Бiнарнi вiдношення

А11.1 Нехай M = {1, 2, 3, 4, 5}. Для заданого бiнарного вiдношення ρ на множинi Mвизначте Pr1ρ, Pr2ρ, ρ−1, ρ ◦ ρ, ρ ◦ ρ−1 i ρ−1 ◦ ρ:

a) ρ = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 4)};b) ρ = {(2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (5, 2)}.

Побудуйте їх транзитивнi, рефлексивнi й симетричнi замикання.

А11.2 Для бiнарного вiдношення ρ на множинi N такого, що

ρ = {(m,n)| n дiлиться на m}

визначте Pr1ρ, Pr2ρ, ρ−1, ρ ◦ ρ, ρ ◦ ρ−1 i ρ−1 ◦ ρ, ρ. Перевiрте, чи буде цевiдношення рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, антисиметричним,асиметричним, транзитивним.

А11.3 Доведiть, що для довiльного бiнарного вiдношення ρ на множинi M

a) Pr1ρ = ∅⇔ ρ = ∅⇔ Pr2ρ = ∅;b) Pr2ρ = Pr1ρ

−1;

c) Pr1ρ = Pr2ρ−1.

А11.4 Якi з бiнарних вiдношень на множинi Z(m,n) ∈ ρ1 ⇔ m− n парне число;

(m,n) ∈ ρ2 ⇔ m+ n парне число;

(m,n) ∈ ρ3 ⇔ m− n ≤ 2014;

(m,n) ∈ ρ4 ⇔ m− n непарне число;

(m,n) ∈ ρ5 ⇔ m+ n непарне число;

є рефлексивними, антирефлексивними, симетричними, антисиметричними, асиме-тричними, транзитивними?

А11.5 Доведiть, що добуток ρ1 ◦ ρ2 двох антирефлексивних бiнарних вiдношень ρ1 i ρ2на множинi M може не бути антирефлексивним вiдношенням.

А11.6 Доведiть, що для симетричних бiнарних вiдношень ρ1 i ρ2 на множинi M симе-тричними будуть також вiдношення ρ1 ∪ ρ2, ρ1 ∩ ρ2, ρ1−1, ρ1 ◦ ρ1−1.

А11.7 Наведiть приклад бiнарного вiдношення на деякiй множинi, яке було б одночасно:

a) симетричним, транзитивним, не рефлексивним;

b) рефлексивним, антисиметричним, не транзитивним;

c) не симетричним, не антисиметричним.

А11.8 Скiльки рефлексивних вiдношень iснує на n-елементнiй множинi? Скiльки середних симетричних?

Д11.1 Нехай M = {1, 2, 3, 4, 5}. Для заданого бiнарного вiдношення ρ на множинi Mвизначте Pr1ρ, Pr2ρ, ρ−1, ρ ◦ ρ, ρ ◦ ρ−1 i ρ−1 ◦ ρ:

a) ρ = {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 1), (5, 4)};b) ρ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 5)}.

Побудуйте їх транзитивнi, рефлексивнi й симетричнi замикання.

Д11.2 Нехай k ≥ 2 — натуральне число. Для бiнарного вiдношення ρk на множинi Nтакого, що

ρk = {(m,n)| m− n дiлиться на k}

визначте Pr1ρk, Pr2ρk, ρ−1k , ρk ◦ ρk, ρk ◦ ρ−1k , ρ−1k ◦ ρk, ρk. Перевiрте, чи буде цевiдношення рефлексивним, антирефлексивним, симетричним, антисиметричним,асиметричним, транзитивним.

Д11.3 Доведiть, що для довiльного бiнарного вiдношення ρ на множинi M

a) (ρ ∪ ρ) ∩ ρ = ρ;

b) (ρ−1)−1

= ρ;

c) Pr1ρ = Pr2ρ−1.

Д11.4 Якi з бiнарних вiдношень на множинi Z(m,n) ∈ ρ6 ⇔ неповна частка вiд дiлення m на n парна;

(m,n) ∈ ρ7 ⇔ неповна частка вiд дiлення m на n непарна;

(m,n) ∈ ρ8 ⇔ mn парне число;

(m,n) ∈ ρ9 ⇔ mn непарне число;

(m,n) ∈ ρ10 ⇔ m− n є степенем числа 2;

(m,n) ∈ ρ11 ⇔ m i n не взаємнопростi;

є рефлексивними, антирефлексивними, симетричними, антисиметричними, асиме-тричними, транзитивними?

Д11.5 Наведiть приклад симетричних бiнарних вiдношень ρ1 i ρ2 на множинi M =

{1, 2, 3, 4}, для яких добуток ρ1 ◦ ρ2 не буде симетричним вiдношенням.

Д11.6 Наведiть приклад таких транзитивних вiдношень ρ1 i ρ2 на множинi M =

{1, 2, 3, 4}, що:

a) ρ1 ◦ ρ2 не транзитивне;b) ρ1 ◦ ρ2 транзитивне;c) ρ1 ◦ ρ2 6= ρ1;

d) ρ1 ◦ ρ2 = ρ1.

Д11.7 Наведiть приклад бiнарного вiдношення на деякiй множинi, яке було б одночасно:

a) рефлексивним, симетричним, не транзитивним;

b) рефлексивним, симетричним, транзитивним;

c) не рефлексивним, не антирефлексивним, несиметричним, транзитивним.

Д11.8 Скiльки антирефлексивних вiдношень iснує на n-елементнiй множинi? Скiлькисеред них антисиметричних?


Практичне заняття 12. Еквiвалентностi та порядки

А12.1 Нехай M — множина всiх прямих на площинi. Чи буде вiдношенням еквiвален-тностi на M вiдношення:

a) паралельностi прямих;

b) перпендикулярностi прямих?

А12.2 На множинi R усiх дiйсних чисел визначимо вiдношення ρ, поклавши

aρb ⇐⇒ a− b ∈ Q.

Доведiть, що ρ є вiдношенням еквiвалентностi, i опишiть його класи еквiвален-тностi.

А12.3 Чи завжди об’єднання вiдношень еквiвалентностi буде вiдношенням еквiвален-тностi?

А12.4 Доведiть, що вiдношення, обернене до вiдношення еквiвалентностi, також є вiд-ношенням еквiвалентностi.

А12.5 Доведiть, що множина всiх пiдмножин даної множини частково впорядкована завiдношенням включення.

А12.6 Нехай a ≤ b⇔ a, b ∈ N i a є дiльником b. Доведiть, що ≤ — частковий порядокна N.

А12.7 Побудуйте всi неiзоморфнi вiдношення часткового порядку на множинi

a) M = {a, b};b) M = {a, b, c};c) M = {a, b, c, d}.

А12.8 Вкажiть всi неiзоморфнi частково впорядкованi 6-елементнi множини з найбiль-шим i чотирма мiнiмальними елементами.


a) множина N з порядком 0 < 2 < 4... < 1 < 3 < 5... є цiлком впорядкованою;

b) множина N з порядком ...4 < 3 < 2 < 1 не є цiлком впорядкованою;

c) множина Z з порядком 1 < 2 < 3 < ... < 0 < −1 < −2 < −3 < ... є цiлкомвпорядкованою.

Д12.1 Доведiть, що вiдношення подiбностi на множинi усiх трикутникiв є еквiвалентнi-стю.

Д12.2 Доведiть, що на множинi N0 × N0 (де N0 — множина всiх невiд’ємних цiлихчисел) вiдношення ρ1 i ρ2 є вiдношеннями еквiвалентностi:

a) ((a, b), (c, d)) ∈ ρ1 ⇐⇒ a+ d = b+ c;

b) ((a, b), (c, d)) ∈ ρ2 ⇐⇒ (a · d = b · c для b 6= 0 i d 6= 0 ) або (a = c дляb = 0 i d = 0).

Опишiть класи еквiвалентностi цих вiдношень.

Д12.3 Доведiть, що перетин вiдношень еквiвалентностi є вiдношенням еквiвалентностi.

Д12.4 Наведiть приклад таких двох вiдношень еквiвалентностi ρ1 i ρ2 на множинi M =

{1, 2, 3, 4}, що добуток ρ1 ◦ ρ2 не є вiдношенням еквiвалентностi.

Д12.5 Визначимо на множинi R всiх дiйсних чисел вiдношення ρ так, що aρb тодi iтiльки тодi, коли a/(a2 + 1) ≤ b/(b2 + 1), a, b ∈ R. Доведiть, що

a) ρ не є вiдношенням часткового порядку на множинi R;b) ρ є вiдношенням часткового порядку на множинi дiйсних чисел з iнтервалу

(1,∞).

c) ρ є вiдношенням часткового порядку на множинi дiйсних чисел з iнтервалу(−∞,−1].

Д12.6 Вкажiть всi неiзоморфнi частково впорядкованi 5-елементнi множини з наймен-шим i найбiльшим елементами.

Д12.7 Побудуйте приклад частково впорядкованої множини, яка має

a) точно один мiнiмальний елемент, але не має найменшого елемента;

b) точно один максимальний елемент, але не має найбiльшого елемента;

c) один мiнiмальний i один максимальний елементи, але не має найменшого iнайбiльшого елементiв;

d) не має жодного мiнiмального i максимального елементiв та не має найменшогоi найбiльшого елементiв.


Практичне заняття 13. Булевi функцiї. ДДНФ та ДКНФ. Булевi многочлени.

А13.1 Знайдiть номер булевого вектора

a) (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1),

b) (1, . . . , 1︸︷︷︸100

, 0, 1, . . . , 1︸︷︷︸100

, 0, . . . , 0︸︷︷︸100

).

А13.2 Знайдiть булевий вектор мiнiмальної довжини, який має номер

a) 325,

b) 2325 − 2.

А13.3 Побудуйте таблицю значень булевої функцiї, заданої формулою

(x1 → ¬x3)↔ (x2 ∧ x3).

А13.4 Скiльки iснує булевих векторiв довжини n, булева сума координат кожного зяких рiвна 1?

А13.5 Перевiрте, чи буде тавтологiєю формула

a)(x1 → (x2 → x3))→ ((x1 → x2)→ (x1 → x3),

b)(x1 → x2)→ ((¬x1 → x2)→ x2).

А13.6 Побудуйте ДДНФ булевої функцiї, заданої формулою

(x1 → x2) ∧ (¬x3 ↔ ¬x1).

А13.7 Побудуйте ДКНФ булевої функцiї, заданої формулою

((x1 ⊕ x2)→ (x3 ∨ ¬x1))↔ (¬x2 ∨ x3).

А13.8 Вкажiть правило побудови ДДНФ булевої функцiї, заданої формулою F1 ↔ F2,якщо вiдомi ДДНФ булевих функцiй, заданих формулами F1, F2.

А13.9 Вкажiть булевий многочлен, котрий визначає булеву функцiю, задану формулою

(¬x3 ↔ x2)→ (x1 ∧ (x2 ∨ x3)).

А13.10 На скiлькох булевих векторах набуває значення 1 булева функцiя вiд 100 змiнних,визначена булевим многочленом ⊕

1≤i<j≤100xi ∧ xj?

Д13.1 Знайдiть номер булевого вектора

a) (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 9),

b) (0, 1, . . . , 1︸︷︷︸50

, 0, 0, 1, . . . , 1︸︷︷︸50

, 0, . . . , 0︸︷︷︸50

, 1).

Д13.2 Знайдiть булевий вектор мiнiмальної довжини, який має номер

a) 173,

b) 2173 − 3.

Д13.3 Побудуйте таблицю значень булевої функцiї, заданої формулою

(¬x1 ∨ ¬x3)⊕ ¬(x2 → x3).

Д13.4 Скiльки iснує булевих векторiв довжини n, булевий добуток координат кожногоз яких рiвний 0?

Д13.5 Перевiрте, чи буде тавтологiєю формула

a)((x1 → x3)→ (x2 → x3))→ ((x1 ∨ x2)→ x3),

b)(x1 → x2)→ ((x1 → x3)→ (x1 → (x2 ∧ x3))).

Д13.6 Побудуйте ДДНФ булевої функцiї, заданої формулою

(x1 ∧ (x2 → ¬x3))⊕ ((¬x3 ∨ x1)→ ¬x2).

Д13.7 Побудуйте ДКНФ булевої функцiї, заданої формулою

((¬x1 ∧ (x2 → ¬x3)) ∨ ((¬x2 → x1) ∨ (¬x1 ↔ x3)).

Д13.8 Вкажiть правило побудови ДКНФ булевої функцiї, заданої формулою F1 ∨ F2,якщо вiдомi ДКНФ булевих функцiй, заданих формулами F1, F2.

Д13.9 Вкажiть булевий многочлен, котрий визначає булеву функцiю, задану формулою

(x1 → ¬x2) ∧ (¬x3 ∨ x1).


Практичне заняття 14. Повнi системи булевих функцiй.

А14.1 Для всiх булевих функцiй вiд двох змiнних визначте, чи належить вона до ко-жного з класiв F0,F1,F2,F3,F4 з теореми Поста.

А14.2 Вкажiть всi двоелементнi повнi системи булевих функцiй вiд двох змiнних, якiне мiстять нi штрих Шеффера, нi стрiлку Пiрса.

А14.3 Знайдiть двi одноелементнi повнi системи, утворенi з булевих функцiй вiд трьохзмiнних.

А14.4 Виразiть через стрiлку Пiрса та штрих Шеффера заперечення, iмплiкацiю, ди-з’юнкцiю та кон’юнкцiю.

А14.5 Доведiть, що в кожнiй повнiй системi булевих функцiй iснує повна пiдсистема,яка мiстить не бiльше 4 функцiй.

А14.6 Вкажiть повну систему булевих функцiй, яка мiстить 4 функцiї i не має власнихповних пiдсистем.

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка ...probability.univ.kiev.ua/userfiles/yamnenko/Discrete.Mathematics... · Практичне

Documents