Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne
euclidiene
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Elipsoidul
Cadrul de lucru al acestui curs este un spatiu a�n euclidian 3-
dimensional E3 =(E ,−→E ,Φ
). Fie un reper ortonormat R = {O; i , j , k}.
Elipsoidul este locul geometric al punctelor P(x , y , z) ∈ E ale carorcoordonate (in raport cu R) veri�ca ecuatia
(E)x2
a2+
y2
b2+
z2
c2− 1 = 0 (1)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Elipsoidul
Observam ca elipsoidul este o �gura marginita, �ind inclusa in sfera
cu centrul in origine si raza egala cu max {a, b, c}.Pentru a studia aceasta cuadrica o vom intersecta cu plane paralele
cu planele de coordonate.
Fie de exemplu planul π : z = k , π ‖ (xOy). Atunci
E ∩ π :
{x2
a2+ y2
b2= 1− k2
c2
z = k .
Daca | k |< c , rezulta ca E ∩ π este o elipsa cu centrul in O,
cu axele de simetrie paralele cu Ox si Oy .
Daca k = c , atunci E ∩ π={C (0, 0, c)}, iar daca k = −c ,E ∩ π={C ′(0, 0,−c)}.Daca | k |> c , rezulta ca E ∩ π = ∅.
Analog, intersectia dintre elipsoid si un plan paralel cu (xOz),respectiv (yOz) este o elipsa, un punct dublu sau multimea vida.
Punctele A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0), B(0, b, 0), B ′(0,−b, 0),C (0, 0, c), C ′(0, 0,−c) se numesc varfurile elipsoidului.
Elipsoidul
Daca de exemplu a = b, intersectia dintre elipsoid si planele
paralele cu (xOy) sunt cercuri si E se obtine prin rotirea elipsei{x2
a2+ z2
c2= 1,
y = 0din planul (xOz) in jurul axei Oz . Analog pentru
a = c sau b = c , obtinem tot elipsoizi de rotatie.
Daca a = b = c elipsoidul este sfera de centruO si raza a.
Mai observam ca elipsoidul are ca plane de simetrie planele de
coordonate, ca axe de simetrie cele trei axe de coordonate si ca
centru de simetrie, originea reperului.
Amintim ca (xOy) e plan de simetrie pentru elipsoid deoarece
∀P(x , y , z) ∈ E , rezulta ca P ′(x , y ,−z) = S(xOy)(P) ∈ E .De asemenea, Ox este axa de simetrie pentru elipsoid deoarece
∀P(x , y , z) ∈ E ⇒ P ′′(x ,−y ,−z) = SOx(P) ∈ E .Iar originea e centru de simetrie pentru elipsoid deoarece
∀P(x , y , z) ∈ E ⇒ P ′′′(−x ,−y ,−z) = SO(P) ∈ E .Analog pentru celelalte doua plane de coordonate si doua axe de
coordonate.
Hiperboloidul cu o panza
Hiperboloidul cu o panza este locul geometric al punctelor
P(x , y , z) ∈ E ale caror coordonate (in raport cu R) veri�ca ecuatia
(H1)x2
a2+y2
b2− z2
c2− 1 = 0 (2)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Hiperboloidul cu o panza
Studiem mai intai intersectia dintre hiperboloidul cu o panza si un
plan paralel cu (xOy). Daca π : z = k atunci
H1 ∩ π :
{x2
a2+ y2
b2= 1 + k2
c2,
z = k ,deci H1 ∩ π este o elipsa cu axele
de simetrie paralele cu Ox si Oy .
Fie α : y = k un plan paralel cu (xOz). Obtinem
H1 ∩ α :
{x2
a2− z2
c2= 1− k2
b2,
y = k ,deci:
pentru | k |6= b, H1 ∩ α este o hiperbola cu axele paralele cu
Ox ,Oz ; observam ca daca | k |< b, atunci hiperbola H1 ∩ αare axa focala paralela cu Ox , iar daca | k |> b, atunci H1 ∩ αare axa focala paralela cu Oz ;
pentru | k |= b obtinem H1 ∩ α:
{( xa− z
c)( x
a+ z
c) = 0,
y = k ,
deci o pereche de drepte concurente.
Hiperboloidul cu o panza
Veri�cati ca intersectia dintre hiperboloidul cu o panza si un plan
paralel cu (yOz) este o hiperbola sau o pereche de drepte
concurente.
Varfurile hiperboloidului cu o panza le obtinem intersectand axele
de coordonate cu cuadrica. Bineintele axa Oz nu taie cuadrica, deci
avem doar patru varfuri.
Hiperboloidul cu o panza are planele de coordonate ca plane de
simetrie, axele de coordonate ca axe de simetrie si originea O ca
centru de simetrie.
Daca a = b observam ca H1 se obtine prin rotirea unei hiperbole
din planul (xOz) in jurul axei Oz .
Generatoarele hiperboloidului cu o panza
Hiperboloidul cu o panza este o cuadrica riglata, adica exista
o familie de drepte cu proprietatile:
1 orice dreapta din familie este situata pe cuadrica;2 prin orice punct al cuadricei trece cel putin o dreapta din
familie.
O astfel de familie se numeste sistem de generatoare
rectilinii pentru cuadrica respectiva.
(xa− z
c
) (xa
+ zc
)=(1− y
b
) (1 + y
b
)δλ :
{xa− z
c= λ
(1− y
b
)λ(xa
+ zc
)=(1 + y
b
)δ′λ :
{xa− z
c= λ
(1 + y
b
)λ(xa
+ zc
)=(1− y
b
) λ ∈ R ∪ {∞}
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Hiperboloidul cu doua panze
Hiperboloidul cu doua panze este locul geometric al punctelor din E
ale caror coordonate veri�ca ecuatia
(H2)x2
a2− y2
b2− z2
c2− 1 = 0 (3)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Hiperboloidul cu doua panze
Observam ca o conditie necesara ca P(x , y , z) sa apartina
hiperboloidului cu doua panze este ca | x |≥ a. Din acest motiv
rezulta ca H2 nu poate contine drepte, deci nu este o cuadrica
riglata.
Intersectia dintre H2 si un plan π : z = k , paralel cu (xOy), are
ecuatiile
{x2
a2− y2
b2= 1 + k2
c2,
z = k ,deci este o hiperbola cu axele
paralele cu Ox ,Oy .Analog, intersectia dintre H2 si un plan paralel cu (xOz) este tot o
hiperbola, cu axele paralele cu Ox , Oz .
Hiperboloidul cu doua panze
Intersectia dintre H2 si un plan α : x = k , paralel cu (yOz), este
data de ecuatiile
{y2
b2+ z2
c2= k2
a2− 1,
x = k ,deci se obtine
o elipsa cu axele paralele cu Oy ,Oz , pentru | k |> a;
un punct dublu (varfurile A(a, 0, 0), A′(−a, 0, 0)) pentru| k |= a;
multimea vida, pentru | k |< a.
Hiperboloidul cu doua panze are aceleasi elemente de simetrie ca si
cuadricele anterioare. Observam ca pana acum am discutat doar
despre cuadrice cu centru unic de simetrie, cu cate trei plane de
simetrie si trei axe de simetrie.
Paraboloidul eliptic
Paraboloidul eliptic este locul geometric al punctelor din E ale caror
coordonate in raport cu un reper dat veri�ca ecuatia
(Pe)x2
a2+y2
b2− 2z = 0 (4)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Paraboloidul eliptic
O conditie necesara ca M(x , y , z) ∈ Pe este ca z ≥ 0. Deci
paraboloidul eliptic nu poate contine drepte, deci nu este o cuadrica
riglata.
Intersectia dintre Pe si un plan π : z = k > 0 este o elipsa cu axele
paralele cu Ox ,Oy :
{x2
a2+ y2
b2= 2k ,
z = k ,iar Pe ∩ (xOy) = {O} este
un punct dublu.
Intersectia dintre paraboloidul eliptic si un plan α : x = k , paralel
cu (yOz), este o parabola cu axa de simetrie paralela cu Oz :{y2
b2− 2z = −k2
a2,
x = k .
Analog, intersectia paraboloidului eliptic cu un plan paralel cu
(xOz) este tot o parabola cu axa de simetrie paralela cu Oz .
Observam ca Pe are doar doua plane de simetrie, si anume (yOz) si
(xOz), o singura axa de simetrie, axa Oz si nu are centru de
simetrie.
Paraboloidul hiperbolic
Paraboloidul hiperbolic este locul geometric al punctelor din E ale
caror coordonate veri�ca ecuatia
(Ph)x2
a2− y2
b2− 2z = 0 (5)
-2 -1 0 1 2
-1-0.500.51
-1
0
1
2
3
-1-0.5
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Paraboloidul hiperbolic
Intersectia dintre paraboloidul hiperbolic si un plan π : z = k ,
paralel cu (xOy):
{x2
a2− y2
b2= 2k ,
z = k ,este:
o hiperbola cu axele de simetrie paralele cu Ox si Oy , daca
k 6= 0, mai exact
pentru k < 0 se obtine o hiperbola cu axa focala paralela cuOy ,pentru k > 0 se obtine o hiperbola cu axa focala paralela cuOx ,
o pereche de drepte concurente in O, daca k = 0.
Paraboloidul hiperbolic
Intersectia dintre paraboloidul hiperbolic si planul y = k , paralel cu
(xOz), este
{x2
a2− 2z = k2
b2,
y = k ,adica o parabola cu axa de simetrie
paralela cu Oz , iar intersectia cu planul x = k este{y2
b2+ 2z = k2
a2,
x = k ,deci tot o parabola (cu axa de simetrie paralela
cu Oz).
Paraboloidul hiperbolic are doua plane de simetrie, (yOz) si (xOz),o singura axa de simetrie, axa Oz si nu are centru de simetrie.
Generatoarele paraboloidului hiperbolic
Si paraboloidul hiperbolic este o cuadrica riglata, familiile de
generatoare obtinandu-se astfel:
(xa
+ yb
) (xa− y
b
)= 2z
dλ :
{xa
+ yb
= 2λ
λ(xa− y
b
)= z
λ ∈ R
d ′µ
{xa
+ yb
= µz
µ(xa− y
b
)= 2
µ ∈ R∗ ∪ {∞}
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindri patratici
Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper
ortonormat din spatiu prin{a11x
2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0,
z = 0, a211
+ a212
+ a222> 0.
De�nition
Locul geometric al punctelor dreptelor δ din spatiu, paralele cu axa
Oz a reperului considerat, care se sprijina pe conica (γ), senumeste cilindru patratic. Conica (γ) se numeste curba
directoare iar dreptele δ paralele cu Oz se numesc generatoarele
(rectilinii) ale cilindrului.
Ecuatia unui astfel de cilindru patratic este
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (6)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindrul eliptic
Cilindrul eliptic este locul geometric al punctelor din E ale caror
coordonate veri�ca ecuatia
(Ce)x2
a2+y2
b2− 1 = 0
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindrul eliptic
Pentru π : z = k obtinem Ce ∩ π :
{x2
a2+ y2
b2= 1,
z = k,deci o elipsa cu
axele de simetrie paralele cu Ox si Oy .
Pentru α : x = k obtinem Ce ∩ α :
{y2 = b2
a2(a2 − k2),
x = k,deci:
daca | k |< a, Ce ∩ α reprezinta doua drepte paralele, de ecuatii{y = b
a
√a2 − k2,
x = k,si
{y = − b
a
√a2 − k2,
x = k.
daca | k |= a, Ce ∩ α este o dreapta dubla de ecuatii
{y = 0,
x = k.
daca | k |> a, Ce ∩ α = ∅.
Cilindrul eliptic
Analog, intersectia dintre cilindrul eliptic si plane paralele cu (xOz)reprezinta o pereche de drepte paralele, o dreapta dubla sau
multimea vida.
Observam ca cilindrul eliptic are o in�nitate de centre de simetrie,
mai exact orice punct al axei Oz este centru de simetrie.
Plane de simetrie: (xOz), (yOz) si orice plan paralel cu (xOy).Axe de simetrie: Oz , dreptele ce se sprijina pe Oz si sunt paralele
cu Ox , respectiv Oy .
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindrul hiperbolic
Cilindrul hiperbolic este locul geometric al punctelor din E ale caror
coordonate veri�ca ecuatia
x2
a2− y2
b2− 1 = 0
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindrul hiperbolic
Veri�cati ca in exemplul precedent ca:
intersectia dintre cilindrul hiperbolic si un plan paralel cu
(xOy) este o hiperbola cu axele paralele cu Ox ,Oy , axa focala
�ind paralela cu Ox ;
intersectia dintre cilindrul hiperbolic si un plan paralel cu
(yOz) este o pereche de drepte paralele, sau o dreapta dubla,
sau multimea vida;
intersectia dintre cilindrul hiperbolic si un plan paralel cu
(xOz) este o pereche de drepte paralele.
Elementele de simetrie sunt identice cu ale cilindrului eliptic.
Cilindrul parabolic
Cilindrul parabolic este locul geometric al punctelor din E ale caror
coordonate veri�ca ecuatia
(Cp) y2 = 2px , p > 0.
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Cilindrul parabolic
Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul π : z = k este
parabola
{y2 = 2px ,
z = k,cu axa de simetrie paralela cu Ox .
Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul α : x = k are ecuatiile{y2 = 2pk,
x = k,deci este:
o pereche de drepte paralele, daca k > 0, de ecuatii{y =
√2pk,
x = k,
{y = −
√2pk,
x = k;
o dreapta dubla (Oz), daca k = 0;multimea vida, daca k < 0.
Intersectia dintre cilindrul parabolic si planul β : y = k are ecuatiile{x = k2
2p,
y = k,deci este o dreapta.
Planele de simetrie: (xOz) si orice plan paralel cu (xOy)Axele de simetrie: orice dreapta paralela cu Ox , care se sprijina de Oz .Cilindrul parabolic nu are centru de simetrie.
Conuri patratice
Se considera o conica (γ), reprezentata intr-un reper
ortonormat din spatiu prin{a11x
2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0,
z = k 6= 0.
De�nition
Locul geometric al punctelor dreptelor δ din spatiu, care se sprijina
pe conica (γ) si trec toate prin O, se numeste con patratic (cu
varful in O). Conica (γ) se numeste curba directoare iar dreptele
OM, M ∈ γ se numesc generatoarele (rectilinii) ale conului.
Ecuatia acestui con patratic este
a11k2x2 + a22k
2y2 + a00z2 + 2a12k
2xy + 2a10kxz + 2a20kyz = 0
Observam ca ecuatia unui con patratic este omogena de ordinul 2.Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Intr-adevar, �e M(x0, y0, z0) un punct arbitrar al lui γ. Rezulta ca{a11x
2
0+ 2a12x0y0 + a22y
2
0+ 2a10x0 + 2a20y0 + a00 = 0,
z0 = k 6= 0.(7)
Un punct oarecare P(x , y , z) apartine dreptei OM daca si numai
daca exista t ∈ R astfel incat
x = tx0,
y = ty0,
z = tk .
Inlocuind x0 = kxz, y0 = ky
z, in ecuatia (7) obtinem
a11k2x2
z2+ 2a12
k2xy
z2+ a22
k2y2
z2+ 2a10
kx
z+ 2a20
ky
z+ a00 = 0.
Inmultind aceasta ecuatie cu z2 6= 0, obtinem ecuatia conului
patratic.
Un exemplu de con patratic
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 0 (8)
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Intersectia dintre conul patratic de ecuatie (8) si planul (xOy) este
un punct dublu: originea.
Intersectia dintre con si un plan paralel cu (xOy) este o elipsa cu
axele paralele cu Ox si Oy .
Intersectia dintre con si planul (yOz) e o pereche de drepte
concurente in O, iar intersectia dintre con cu un plan paralel cu
(yOz) este o hiperbola cu axele paralele cu Oy ,Oz . Daca k < 0,
axa focala e paralela cu Oy , iar daca k > 0, axa focala e paralela
cu Oz .
Analog, intersectia dintre con si (xOz) este o pereche de drepte
concurente in O, iar intersectia dintre con cu un plan paralel cu
(xOz) este o hiperbola cu axele paralele cu Ox ,Oz .O este centru de simetrie, cele trei plane de coordonate si cele trei
axe de coordonate sunt respectiv plane si axe de simetrie.
Conicele ca sectiuni in conul de rotatie
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Concludem ca intersectia dintre un con de rotatie si un plan este
intotdeauna o conica:
daca planul este paralel cu o generatoare a conului si nu trece
prin varful conului, se obtine o parabola (1) ;
daca planul taie o singura panza a conului si nu este paralel cu
nici o generatoare, se obtine o elipsa (sau un cerc) (2);
daca planul taie ambele panze ale conului dar nu trece prin
varful acestuia, se obtine o hiperbola (3);
daca planul trece prin varful conului, se obtine o pereche de
generatoare concurente.
Cuadrice degenerate
O pereche de plane
(ax + by + cz + d)(a′x + b′y + c ′z + d ′
)= 0,
a2 + b2 + c2 > 0, a′2 + b′2 + c ′2 > 0
O dreapta dubla
x2 + y2 = 0
Un punct dublu
x2 + y2 + z2 = 0
O cuadrica vida
x2 + y2 + z2 + 1 = 0
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Gaudi
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene
Oana Constantinescu Cuadrice pe ecuatii canonice in spatii a�ne euclidiene