O Metodo Simplex e Analise de Sensibilidade

O MÉTODO SIMPLEX E

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Modelo de PL em forma de equação

Todas as restrições são equações cujos lados

direitos são não-negativos

Todas as variáveis são não-negativas

Conversão de desigualdades em

equações

Uma desigualdade do tipo

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + aNxN ≤ b

É equivalente a uma igualdade do tipo

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + aNxN + s = b

s ≥ 0

Exemplo (Reddy Micks)

A desigualdade

6x1 + 4x2 ≤ 24

É equivalente à igualdade

6x1 + 4x2 + s1 = 24

s1 ≥ 0

Em

x1 = 3, x2 = 1

6.3 + 4.1 = 22 ≤ 24, ou

s1 = 24 – 22 = 2 ≥ 0

Exemplo (Problema da Dieta)

A desigualdade

x1 + x2 ≥ 800

É equivalente à igualdade

x1 + x2 – s1 = 800

s1 ≥ 0

Em

x1 = 300, x2 = 600

300 + 600 = 900 ≥ 800, ou

s1 = 900 – 800 = 100 ≥ 0

Não negatividade do lado direito

A restrição

-x1 + x2 ≤ -3

É equivalente

-x1 + x2 + s1 = -3

s1 ≥ 0

Mas também a

x1 - x2 - s1 = 3

s1 ≥ 0

Exercícios

No problema da Reddy Micks, verifique se a

solução

x1 = 2, x2 = 3

é viável e determine as variáveis de folga.

Variáveis irrestritas

Em um problema de alocação de mão de obra, a

quantidade requerida em um momento i+1 é igual

à quantidade requerida no momento anterior i mais

(ou menos) uma variação

xi+1 = xi + yi+1

A variável yi+1 deve ser irrestrita para que a

quantidade de mão de obra possa aumentar ou

diminuir ao longo do tempo.


Como conciliar essa necessidade com a segunda

condição?

yi+1 = y+i+1 – y–

i+1

y+i+1 ≥ 0

y–i+1 ≥ 0

Desta forma, a contratação de um empregado

seria feita quando

y+i+1 = 1

y–i+1 = 0


A demissão seria feita quando

y+i+1 = 0

y–i+1 = 1

A não alteração do quadro resulta em

y+i+1 = 0

y–i+1 = 0

A forma como opera o método Simplex impede

que as duas variáveis tenham valor positivo

simultaneamente.

Transitando da forma gráfica para a

algébrica

Considere o problema

Maximizar z = 2 x1 + 3 x2

Sujeito a

2 x1 + x2 ≤ 4

x1 + 2 x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0


algébrica

As restrições

2 x1 + x2 ≤ 4

x1 + 2 x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0

Podem ser reescritas

2 x1 + x2 + s1 = 4

x1 + 2 x2 + s2 = 5

x1, x2, s1, s2 ≥ 0


algébrica

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Ótima (x1 = 1, x2 = 2)

s2 = 0

s1 = 0


algébrica

Na forma gráfica verificamos que o problema tem

infinitas soluções porque existe uma área em que

todas as restrições são atendidas.

Na forma algébrica, vê-se que o sistema tem

m = 2 equações

n = 4 incógnitas

É portanto indefinido, tem infinitas soluções

Determinação algébrica de pontos

extremos

Se, em um sistema em que

n ≥ m

Faz-se com que

n – m variáveis assumam o valor 0

A solução resultante

Se for única

É denominada solução básica

E corresponde a um ponto extremo


extremos

Há portanto, no máximo

soluções extremas para o problema

)!(!

!

mnm

nC n

m


extremos

No exemplo,

m = 2

n = 4

Há portanto no máximo 6 pontos extremos

61.2

3.4

)!24(!2

!4

)!(!

!

mnm

nC n

m


algébrica

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Ótima (x1 = 1, x2 = 2)

s2 = 0

s1 = 0

F

B

A

C

D E


algébrica

Variáveis

não básicas

Variáveis

básicas

Solução

básica

Ponto

Extremo

Viável? Valor da

função obj

x1, x2 s1, s2 4; 5 A S 0

x1, s1 x2, s2 4; -3 F N -

x1, s2 x2, s1 2, 5; 1,5 B S 7,5

x2, s1 x1, s2 2; 3 D S 4

x2, s2 x1, s1 5; -6 E N -

s1, s2 x1, x2 1; 2 C S 8

O Método Simplex

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Ótima (x1 = 1, x2 = 2)

s2 = 0

s1 = 0

F

B

A

C

D E


Ponto

Extremo

Variáveis

Básicas

Variáveis

(Zero)

Não Básicas

A s1, s2 x1, x2

B x2, s1 x1, s2

C x1, x2 s1, s2

Exercício

Suponha que apenas a função objetivo do

problema anterior tenha sido alterada.

Qual percurso do método simplex?

Identifique as variáveis básicas e não básicas que

definem esse caminho.

O Método Simplex

O problema da Reddy Micks


Sujeito a

1. 6x1 + 4x2 ≤ 24

2. x1 + 2x2 ≤ 6

3. - x1 + x2 ≤ 1

4. x2 ≤ 2

5. x1 ≥ 0

6. x2 ≥ 0

O Método Simplex

O problema da Reddy Micks, reescrito na forma de

equações

Maximizar z = 5 x1 + 4 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4

Ou z - 5 x1 - 4 x2 = 0

Sujeito a

1. 6x1 + 4x2 + s1 = 24

2. x1 + 2x2 + s2 = 6

3. - x1 + x2 + s3 = 1

4. x2 + s4 = 2

5. x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

O Método Simplex

Base z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Solução

z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 linha z

s1 0 6 4 1 0 0 0 24 linha s1

s2 0 1 2 0 1 0 0 6 linha s2

s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 linha s3

s4 0 0 1 0 0 0 1 2 linha s4

variáveis básicasvariáveis não básicas

coeficiente mais negativo entra na base

O Método Simplex

Base x1 Solução Razão

s1 6 24 24/6 = 4

s2 1 6 6/1 = 6

s3 -1 1 1/(-1) = -1

s4 0 2 2/0 = ∞

mínimo

negativo, ignorar

razão infinita, ignorar

Conclusão: entra x1 e sai s1

A variável de menor razão não

negativa sai da base

sai da base

A escolha da variável que sai da base é determinada pela primeira restrição encontrada

quando se aumenta o valor da variável que entra na base.

O Método Simplex

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

s1 = 0

s2 = 0s3 = 0

24/6 = 41/(-1) = -1

s4 = 0

A B

6/1 = 6

A escolha da variável que sai da base é determinada pela

primeira restrição encontrada quando se aumenta o valor da

variável que entra na base.

O Método Simplex


z 1 -5 -4 0 0 0 0 0

s1 0 6 4 1 0 0 0 24

s2 0 1 2 0 1 0 0 6

s3 0 -1 1 0 0 1 0 1

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

sai

entra

linha do pivô

coluna do pivô

O Método Simplex


z 1 -5 -4 0 0 0 0 0

x1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 1 2 0 1 0 0 6

s3 0 -1 1 0 0 1 0 1

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

+5x

O Método Simplex


z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

s1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 1 2 0 1 0 0 6

s3 0 -1 1 0 0 1 0 1

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

-1x

O Método Simplex


z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

s1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2

s3 0 -1 1 0 0 1 0 1

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

+1x

O Método Simplex


z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

s1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2

s3 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

+0x

O Método Simplex


z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

x1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2

s3 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

coeficiente mais negativo entra na base

coluna do pivô

O Método Simplex

Base x2 Solução Razão

x1 2/3 4 4/(2/3) = 6

s2 4/3 2 2/(4/3) = 3/2

s3 5/3 5 5/(5/3) = 3

s4 1 2 2/1 = 2

mínimo

Conclusão: entra x2 e sai s2

A variável de menor razão não

negativa sai da base

sai da base

O Método Simplex

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

s1 = 0

s2 = 0s3 = 0

s4 = 0

AC

B

A escolha da variável que sai da base é determinada pela

primeira restrição encontrada quando se aumenta o valor da

variável que entra na base.

O Método Simplex


z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20

x1 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4

s2 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2

s3 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5

s4 0 0 1 0 0 0 1 2

sai linha do pivô

coluna do pivô

entra na base

O Método Simplex


z 1 0 0 3/4 1/2 0 0 21

x1 0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3

x2 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2

s3 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2

s4 0 0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2

Nenhum dos coeficientes é negativo: a solução é ótima

Resultados

Variável

de Decisão

Valor

Ótimo

Recomendação

x1 3 Produzir 3 t diárias de tintas para exteriores

x2 3/2 Produzir 1,5 t diárias de tintas para interiores

z 21 Lucro diário é de $ 21.000

Resultados - Restrições

Recurso Valor da Folga Situação

Matéria-prima M1 s1 = 0 Escasso

Matéria-prima M2 s2 = 0 Escasso

Limite de mercado s3 = 5/2 Abundante

Limite da demanda s4 = 1/2 Abundante

O método Simplex fornece mais que uma solução ótima: permite que se analise o cenário,

observando por exemplo que restrições influenciaram na fixação do ótimo. Variáveis de

folga com situação abundante indicam restrições inativas, as que, na situação analisada,

não influenciaram na solução do problema.

Exercício

Determine a solução ótima para o problema de

otimização

Maximizar z = 2 x1 + x2 – 3 x3 + 5 x4

Sujeito a

x1 + 2 x2 + 2 x3 + 4 x4 ≤ 40

2 x1 – x2 + x3 + 2 x4 ≤ 8

4 x1 – 2 x2 + x3 – x4 ≤ 10

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Exercícios

Repita o exercício anterior com as seguintes funções

objetivo

Maximizar z = 8 x1 + 6 x2 + 3 x3 – 2 x4

Maximizar z = 3 x1 – x2 + 3 x3 + 4 x4

Minimizar z = 5 x1 – 4 x2 + 6 x3 – 8 x4

Observação: no problema de minimização, a coluna do pivô

é escolhida pelo maior coeficiente positivo

Solução Inicial Artificial

Apenas se todas as restrições são do tipo ≤, a

solução xi = 0 leva a uma solução básica

envolvendo as variáveis de folga.

Restrições do tipo = ou ≥ necessitam outros

mecanismos para gerar uma solução inicial.

O método do M-Grande

O método de duas fases

Método do M-grande (“big M”)

Variáveis artificiais são adicionadas às restrições

do tipo = e ≥

Tais variáveis são incluídas na função objetivo com

coeficientes punitivos (o grande M), que

eventualmente as levarão a ficar fora da base.

O coeficiente será, em problemas de

Maximização – M

Minimização + M


Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 ≥ 6

x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2 ≥ 0


Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Min z=4x1+x2+MR1+MR2

sujeito a

3 x1 + x2 + R1 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 + R2 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4, R1, R2 ≥ 0

Quão grande deve ser M?

Tão grande quanto necessário para que não faça parte da base.


Base x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solução

z -4 -1 0 100 100 0 0

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4



z 696 399 -100 0 0 0 900

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4



z 0 167 -100 -232 0 0 204

x1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3



z 0 0 1/5 -492/5 -501/5 0 18/5

x1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

x2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 3/5 6/5

x4 0 0 1 1 -1 1 1



z 0 0 0 -491/5 -100 -1/5 17/5

x1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5

x2 0 1 0 -11/15 0 0 9/5

x3 0 0 1 1 -1 1 1

Solução: x1= 2/5, x2 = 9/5 e z = 17/5

Método das duas fases

O big M pode introduzir erros de arredondamento

No método das duas fases

Fase I tenta localizar uma solução básica viável

Fase II resolve o problema original

Fase I

O problema é expresso na forma de equações

São introduzidas as variáveis artificiais

Encontra-se a solução básica que minimiza a soma

das variáveis artificiais

Se a função objetivo final

tem valor positivo, o problema não tem solução viável

tem valor menor ou igual a zero, passa-se para a

segunda fase

Fase I

Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 ≥ 6

x1 + 2 x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2 ≥ 0

Fase I

Min z = 4 x1 + x2

sujeito a

3 x1 + x2 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Min z = R1 + R2

sujeito a

3 x1 + x2 + R1 = 3

4 x1 + 3 x2 - x3 + R2 = 6

x1 + 2 x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4, R1, R2 ≥ 0

Fase I


r 0 0 0 -1 -1 0 0

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4

Fase I


r 3 1 0 0 -1 0 3

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4

Fase I


r 7 4 -1 0 0 0 9

R1 3 1 0 1 0 0 3

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4

Fase I


r 7 4 -1 0 0 0 9

R1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 4 3 -1 0 1 0 6

x4 1 2 0 0 0 1 4

Fase I


r 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2

R1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Fase I


r 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2

x1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Fase I


r 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2

x1 1 1/3 0 1/3 0 0 1

R2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Fase I


r 0 0 0 -1 -1 0 0

x1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

x2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

x4 0 0 1 1 -1 1 1

O mínimo igual a zero indica que há uma solução básica viável com

x1 = 3/5, x2 = 6/5 e x4 = 1

Fase II

Na segunda fase, usa-se a solução viável da

primeira fase como solução inicial para o problema

original

Fase I

Base x1 x2 x3 x4 Solução

z -4 -1 0 0 0

x1 1 0 1/5 0 3/5

x2 0 1 -3/5 0 6/5

x4 0 0 1 1 1

Fase I


z 0 -1 4/5 0 12/5

x1 1 0 1/5 0 3/5

x2 0 1 -3/5 0 6/5

x4 0 0 1 1 1

Fase I


z 0 0 1/5 0 18/5

x1 1 0 1/5 0 3/5

x2 0 1 -3/5 0 6/5

x4 0 0 1 1 1

Fase I


z 0 0 0 -1/5 17/5

x1 1 0 0 -1/5 2/5

x2 0 1 0 3/5 9/5

x3 0 0 1 1 1

Solução: x1= 2/5, x2 = 9/5 e z = 17/5

Retirada das variáveis artificiais

Só podem ser retiradas as colunas das variáveis artificiais não básicas

Se uma ou mais variáveis artificiais permanecer na base

Etapa I selecione uma dessas variáveis (artificiais e básicas) para sair da

base

selecione uma variável não-artificial não-básica para entrar na base

realize uma iteração do Simplex.

Etapa II remova da tabela a coluna da variável artificial que saiu da

base

O Metodo Simplex e Analise de Sensibilidade

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