1 Numeri razionali Il modo più semplice (spero) di vedere una frazione n d è quello di considerarla come un operatore che, applicato ad una grandezza, la divide in d parti e ne prende n. Ad esempio, i 3 4 di un'asta di legno si ottengono dividendo l'asta in 4 parti e prendendone 3. I numeri naturali n e d sono chiamati rispettivamente numeratore e denominatore della frazione, o anche termini della frazione. Un altro metodo per introdurre le frazioni è quello di collegarle all'operazione di divisione: le due scritture n d e n:d sono due modi diversi di esprimere il rapporto tra i numeri n e d. Possiamo quindi associare ad ogni frazione un numero decimale, e viceversa. Nelle spiegazioni useremo entrambi i metodi, a seconda della convenienza. Rinfreschiamo qualche vecchia definizione. Una frazione: • si dice propria se il numeratore è minore del denominatore, e in tal caso rappresenta un numero minore di 1. Nell'esempio precedente, 3 4 è una frazione propria, ed equivale ad una parte dell'asta di legno minore dell'unità. Inoltre 3 : 4=0,751 . • si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore , e rappresenta un numero maggiore di 1. Ad esempio, 5 3 è una frazione impropria: 5 3 AB equivale a 1 AB 2 3 AB , che è maggiore dell'unità. Inoltre 5 : 3=1, 61 . • una frazione impropria si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore, nel qual caso la frazione è equivalente ad un numero intero. Ad esempio, 12 3 è una frazione apparente: 12 3 AB equivale a 4 AB , ovvero 12 : 3=4 . Fig. 1 - Frazione propria Fig. 2 - Frazione impropria Fig. 3 - Frazione apparente
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Numeri razionali - Tiscali Webspaceweb.tiscali.it/appunti.matematica/numeri_razionali.pdf · Frazioni equivalenti Diciamo che due frazioni sono equivalenti se, applicate ad una stessa
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Numeri razionali
Il modo più semplice (spero) di vedere una frazione nd è quello di considerarla come un
operatore che, applicato ad una grandezza, la divide in d parti e ne prende n.
Ad esempio, i 34 di un'asta di legno si ottengono dividendo
l'asta in 4 parti e prendendone 3.
I numeri naturali n e d sono chiamati rispettivamente
numeratore e denominatore della frazione, o anche termini
della frazione.
Un altro metodo per introdurre le frazioni è quello di collegarle all'operazione di divisione: le due
scritture nd e n: d sono due modi diversi di esprimere il rapporto tra i numeri n e d. Possiamo
quindi associare ad ogni frazione un numero decimale, e viceversa.
Nelle spiegazioni useremo entrambi i metodi, a seconda della convenienza.
Rinfreschiamo qualche vecchia definizione. Una frazione:
• si dice propria se il numeratore è minore del denominatore, e in tal caso rappresenta un numero
minore di 1. Nell'esempio precedente, 34 è una frazione propria, ed equivale ad una parte
dell'asta di legno minore dell'unità. Inoltre 3 : 4=0,751 .
• si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore, e
rappresenta un numero maggiore di 1.
Ad esempio, 53 è una frazione impropria: 5
3AB equivale a
1 AB 23
AB , che è maggiore dell'unità. Inoltre 5 :3=1,61 .
• una frazione impropria si dice apparente se il numeratore è
multiplo del denominatore, nel qual caso la frazione è equivalente ad
un numero intero. Ad esempio, 123 è una frazione apparente:
123
AB equivale a 4 AB , ovvero 12 :3=4 .
Fig. 1 - Frazione propria
Fig. 2 - Frazione impropria
Fig. 3 - Frazione apparente
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Osserva i seguenti casi particolari:
• una frazione avente denominatore zero è priva di significato.
Esempio: 30=3 :0 non ha significato (non posso dividere una grandezza in zero parti).
• una frazione avente numeratore zero (e denominatore diverso da zero) è uguale a zero.
Esempio: 04=0 (se divido una torta in 4 parti e ne prendo zero ho zero grammi di torta).
• una frazione avente per denominatore l'unità è uguale al numeratore.
Esempio: 51=5 :1=5 .
• una frazione avente il numeratore uguale al denominatore è uguale all'unità.
Esempio: 77=7 :7=1 .
Frazioni equivalenti
Diciamo che due frazioni sono equivalenti se, applicate ad una stessa
grandezza, danno risultati uguali, ovvero se danno luogo allo stesso
numero decimale.
Ad esempio, le frazioni 23 e 4
6 sono equivalenti perché, applicate al segmento AB, producono
entrambe come risultato il segmento AP. Inoltre, 23=0,6 e 4
6=0,6 . Per praticità, anziché
introdurre un simbolo apposito per l'equivalenza tra frazioni, scriveremo semplicemente 23= 4
6 .
Come possiamo stabilire in maniera meccanica se due frazioni sono equivalenti, senza fare
complicati disegni? Vale la seguente proprietà:
Proprietà invariantiva delle frazioni: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il
denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene una
frazione equivalente a quella data.
Esempi: 35=3⋅2
5⋅2= 6
10 ; 64= 6⋅2
4⋅2=12
8 ; 25= 2⋅3
5⋅3= 6
15 ;
1827=18:3
27 :3=6
9 ; 64=6 : 2
4 : 2= 3
2 ; 5278=52 : 26
78 : 26= 2
3 .
Naturalmente, se divido numeratore e denominatore per uno stesso numero, quest'ultimo deve
essere un divisore comune dei termini della frazione.
Fig. 4 - Frazioni equivalenti
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Insieme dei numeri razionali
La proprietà invariantiva ci permette, partendo da una frazione, di ottenerne infinite, tutte
equivalenti tra loro.
Esempi: 12= 2
4=3
6= 4
8= 5
10=...=0,5 ; 3
5= 6
10= 9
15=12
20=15
25=...=0,6 .
Ciascun insieme formato dalle infinite frazioni equivalenti tra loro definisce un numero razionale.
Quindi le scritture 12 , 2
4 , 36 , ... 0,5 sono infiniti modi diversi di rappresentare un unico
numero razionale (dal latino "ratio", cioè "rapporto, quoziente"). In altri termini, un unico numero
razionale può essere rappresentato in infiniti modi diversi, sia sotto forma di frazione che di numero
decimale.
L'insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo ℚ (sempre da "quoziente"). In un certo
senso, l'insieme dei numeri razionali relativi comprende al suo interno quello dei numeri interi
relativi, in quanto posso scrivere ogni numero intero come una frazione avente denominatore uguale
all'unità: 3=31 , −5=−5
1 ; quindi: ℤ⊂ℚ .
Attenzione: ricordando la regola dei segni per il prodotto ed il quoziente tra numeri relativi,
dovrebbe essere semplice capire che le frazioni −34=−3
4= 3−4 sono equivalenti, e quindi
rappresentano lo stesso numero razionale. Tra queste, la prima è usata quasi sempre, la seconda
raramente, la terza quasi mai. Ricapitolando, di solito si mette il segno "meno" davanti alla linea di
frazione, ma è equivalente metterlo a numeratore; è invece meglio che il denominatore sia positivo.
Allo stesso modo, 34=−3−4 , ma la seconda scrittura non è quasi mai utilizzata.
Ridurre una frazione ai minimi termini
Abbiamo detto che esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale. Tra di
esse, però, ce ne sarà una "più semplice" delle altre: come la si può ottenere?
Data una frazione, quando applico la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore
per un loro divisore comune, dico anche che semplifico la frazione. Se poi continuo a dividere
numeratore e denominatore per tutti i loro divisori comuni, arrivo ad una frazione ridotta ai
minimi termini o irriducibile, cioè in cui numeratore e denominatore non hanno più divisori
comuni, e quindi sono primi tra loro, ovvero hanno MCD=1.
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Di solito, quindi, tra tutte le frazioni equivalenti tra loro, utilizzo per rappresentare un determinato
numero razionale quella ridotta ai minimi termini.
Per ridurre una frazione ai minimi termini possiamo seguire due procedimenti:
1° metodo. Dividiamo successivamente numeratore e denominatore per un loro divisore comune (in
genere un numero primo) fino a che i due termini della frazione siano primi tra loro.
Esempi:
i. 1734=17 :17
34 :17=1
2
ii. 96120= 96 : 2
120 : 2= 48
60= 48: 2
60 : 2=24
30= 24 : 2
30 : 2=12
15=12 :3
15 :3= 4
5
iii.72
108= 72 : 2
108 : 2=36
54=36 : 2
54 : 2=18
27=18 :3
27:3=6
9=6 :3
9 :3= 2
3
iv. 640360=640 : 2
360 :2=320
180=320 : 2
180 : 2=160
90=160 :2
90 : 2=80
45=80 :5
45 :5=16
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2° metodo (più elegante). Dividiamo direttamente numeratore e denominatore della frazione per il
loro MCD, che comprende il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni.
Esempi:
i. 36=22⋅32 ; 60=22⋅3⋅5 ⇒ MCD 36,60=22⋅3=12 ⇒ 3660=36 :12