PROFESOR: Enrique Elorza Rodríguez 2009U U N N I I V V E E R R S S I I D D A A D D D D E E G G U U A A N N A A J J U U A A T T O O FACULTAD DE MINAS, METALURGIA, GEOLOGÍA Y AMBIENTAL N NO T T A AS SO B B RRE E M MATE M M Á Á T T I ICAS ( ( P P A ARRA AE E X X A A M ME E N N DE E C CO N NOC C I I M MI I E E N NT TOS ) )
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DEPARTAMENTO DE INGENEIRÍA EN MINAS, METALURGIA Y GEOLOGÍA PROPEDEÚTICO: MATEMÁTICAS
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MATEMÁTICAS
INTRODUCCIÓN
Conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán George Cantor dio su
primer tratado formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los másfundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puedeencontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras yaplicadas.
DEFINICIONES:
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos delconjunto.
S1 → Conjunto S1 S1= {2, 4} 2 Є S1 3 S1
Є = Pertenece a
= No Pertenece a
Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, yasea de forma explicita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una forma,regla o proposición que los describa.
S1= {3, 4, 5, 6} = {los elementos mayores o iguales a 3 y menores o iguales a 6}
S3= {x | x2-6x+11 ≥ 3}
S4= {Todos los varones vivos llamados Juan}
SUBCONJUNTO Y SÚPER CONJUNTO:
Sea: S= {2, 4, 6, 8, 10} y R= {4, 6, 8}
Como todo elemento de R pertenece a S entonces R es un subconjunto de S es decir R S( = subconjunto de).
Pero también podemos decir que S es un superconjunto de R ó S R ( superconjuntode).
UNIÓN E INTERSECCIÓN
Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o aambos forman otro subconjunto de S unión de A y B, escrito A B. Los elementos
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comunes de A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escritoA B. Si A y B no tienen ningún elemento común su intersección no tiene ningúnelemento común, y es conveniente representar esta intersección como otro conjunto, este sedenomina conjunto vació o nulo y se representa con el símbolo Ø.
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Si A es un subconjunto del conjunto I, el conjunto de los elementos que pertenecen a I perono a A, es decir, I-A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a I), lo quese escribe I-A=A1 ( que también puede aparecer como , A Ã ó ~ A).
Si A, B y C son subconjuntos de un conjunto I, entonces las siguientes propiedades secumplen:
1. A B = B A2. A B = B A
3. (A B) C = A (B C)4. (A B) C = A (B C)5. A Ø = A6. A Ø = A7. A I = I8. A I = A9. A (B C) = (A B) (A C)10. A (B C) = (A B) (A C)
11. A A1 = I12. A A1 = Ø
13. (A B)1
= A1
B1
14. (A B) 1 = A1 B1 15. A A = A A = A16. (A1) 1 =A17. A-B = A B1 18. (A-B)-C = A-(B C)19. Si A B = Ø → (A B)-B = A20. A-(B-C) = (A-B) (A-C)
NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
INTRODUCCIÓN
Número (En Matemáticas), palabra o símbolo utilizado para designar cantidades oentidades que se comportan como cantidades. Los números se agrupan en conjuntos; cadauno contiene al anterior y es más completo y con mayores posibilidades en sus operaciones.Estos conjuntos o estructuras son enumerados a continuación.
NÚMEROS NATURALES
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9,10, 11,…}
Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultadoes, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse nidividirse, esto porque el resultado no es número natural (ni 3-7, ni 7/4 son númerosnaturales).
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Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, su estructuramejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros no se puedendividir.
NÚMEROS RACIONALES
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto Q delos números racionales esta compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Sepueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esasoperaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
NÚMEROS REALES
A diferencia de los números naturales y de los enteros, los números racionales no estáncolocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. En otras palabras, no existe “elsiguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualquiera hay otrosinfinitos, de modo que si se representan éstos sobre una recta, ésta queda densamenteocupada por ellos.
8/23.5 4.5
7/2 9/2
Irracionales Racionales
R= Números RacionalesI= Números irracionales
R I = N R (NR = Números racionales)
Los números reales, racionales o irracionales, pueden expresarse en forma decimalmediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal coninfinitas cifras no periódicas. Los números reales (racionales o irracionales) se puedenrepresentar sobre una recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, o bienmediante aproximaciones decimales. Cada punto de la recta corresponde a un número real ycada número real tiene uno y solo un lugar en la recta (correspondencia biunívoca).
P Q R S T U V W X Y Z
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
a) 29 T
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b) 32 Wc) primeros tres números pares Q, S y U
NÚMEROS COMPLEJOS
En su forma general, un numero complejo se representa como a+bi, donde a y b sonnúmeros reales. El conjunto de los números complejos esta formado por todos los númerosreales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el diagrama de Argand, como puntos de unplano. Así el número complejo a+bi es aquel punto del plano con abscisa “a” y ordenadaigual a la parte imaginaria “b”.
Fórmula rectangular:
Adición de (1-4i) y (2-2i), se consideran los vectores a partir de “0” y se hace la sumagrafica: (3+2i).
Forma polar: dado que los puntos del plano se pueden definir en función de suscoordenadas polares r y θ, todo número comple jo z se puede escribir de la forma:
Z= r (cos θ + i sen θ)r = Distancia del punto al origen θ = Ángulo entre Z y el eje de las x.
Z= r (cos θ + i sen θ)W= s (cos φ+i sen φ)ZW = rs (cos (θ +φ)+ i sen (θ +φ))
XX´
ZW
w
z
1+4i (1,4)
2 - 2i (2,-2)
Parte real Parte imaginaria
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Propiedades:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Suma
(a + bi) (c + di)= (a c - bd) + (ad+ bc) i Multiplicación
El conjugado de Z = a + bi Z = a – bi
El valor absoluto del modulo de Z es igual a: | Z |= 22ba
Para el número complejo 1+ 4 i:
Su conjugado es: 1- 4i
Y su modulo es: 1741 22
INTERVALO
El intervalo (matemáticas), se define como una porción de recta con ciertas características,y corresponde con un conjunto de números. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados osemiabiertos).
INTERVALO CERRADO: [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} Los [ ] indican inclusión de a y b.
INTERVALO ABIERTO: (a, b) = {x / a < x < b}Los ( ) excluyen los valores de a y b.
INTERVALO SEMIABIERTO: (a, b] = {x / a < x ≤ b}
Los intervalos que incluyen todos los números reales o conjuntos infinitos se expresancomo intervalos semiabiertos.
(- ∞, b] = {x / x ≤ b} ( a, ∞ ) = {x / x > a}
OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES
¿QUÉ ES EL ALGEBRA? Es la rama de la matemática que estudia la cantidad consideradadel modo más general posible.
ARITMÉTICA: Las cantidades se representan por números y estos expresan valoresdeterminados.
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ALGEBRA: Las cantidades se representan por letras, las cuales pueden representar todoslos valores.
NOTACIÓN ALGEBRAICA:
Números y letras: se emplean los primeros para representar cantidades conocidas y lassegundas para representar cantidades conocidas o desconocidas.
Cantidades conocidas: por las primeras letras del alfabeto: a, b, c,… Cantidades desconocidas: Por las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y,…
Fórmulas: Consecuencias de la generalización que implica la representación de lascantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas.
A= b x h Área rectángulo= Base x Altura
Signos del algebra: (+), (-), (x), (÷) ó ( / ), a
2
, √a Signos de relación: (=) (igual), (>) (mayor que), (<) (menor que)Signos de agrupación: ( ) paréntesis ordinario, [ ] paréntesis angular o corchete, { }llaves y la barra o vinculo. Estos signos indican que la operación colocada entreellos debe realizarse primero.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo termino, como 3ª, -5b,x2y/4n3.
Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como a+b, a+x-y,x3+3x2+x+7. Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como: a+b, x-y. Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c.
Grado: el grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. El gradoabsoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.
x4+5x3+x2-3x
x4 Mayor potencia y por lo tanto el grado del polinomio es de cuarto grado.
a6
+a6
x2
-a2
x4
a6 6to grado con respecto a “a” y 4to grado con respecto a “x”.
CLASES DE POLINOMIOS
Polinomio entero, cuando ninguno de sus términos tiene denominador.x2 +5x-6
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Polinomio fraccionario, cuando alguno de sus términos posee denominador.
82
c
b
b
a
Polinomio racional, cuando ninguno de sus términos contiene radicales.
ca
c
a5
8
22
Polinomio irracional, cuando alguno de sus términos contiene radicales.
cab xa 2
Polinomio homogéneo, cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto.3223 654 babbaa
Polinomio heterogéneo, cuando alguno de sus términos no es del mismo grado
absoluto. 623 x x x
Polinomio complejo, con relación a una letra es el que contiene todos los exponentessucesivos de dicha letra. 432234 babbabaa (completo con respecto a “a” y“b”)
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS
SUMA: Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben una a continuación de lasotras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
: , 2 3 , 4 5
2 3
4 5
7 7
SUMAR a b a b c a b
ba b c
a b
a b c a b c
: 9 , 15
9 ( 15 ) 6
: , 8 ,4
( ) ( 8 ) (4 ) ( ) ( 4 )
SUMAR ab ab
ab ab ab
SUMAR m n n
m n n m n
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MUTIPLICACIÓN : Es una operación que tienen por objeto, dadas dos cantidadesmultiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que searespecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de
la unidad positiva.
Reglas para la multiplicación:a) El orden de los factores no afecta el producto → ab es igual a ba.b) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.→ abad=a x (bcd)
= (ab)x(cd)c) Signos iguales dan (+) y signos diferentes dan ( – ).
Multiplicar: (am + 2 – am – 2am+1)(a2 – 2a) am + 2 – am – 2am+1 a2 – 2a
am + 4 – 2am+3 – am+2 – 2am+ 3 + 4am+2 + 2am+1
am + 4 – 4am+ 3 + 3am+2 + 2am+1
DIVISIÓN : Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores(dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Reglas de la división:
a) La ley de signos es la misma que en la multiplicación:
b) Ley de los exponentes en el caso de la división las bases a diferentes potencias se
restan: 235
3
5
aaa
a
Dividir: 4a3b2 entre – 2ab2ab
b4a23
= – 2a3-1 b2-1= – 2a2 b
4a3b2 (Dividendo o Númerador)
– 2ab (Divisor o Denominador)
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Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a+b)(a+b) ó (a+b)2; es igual al cuadrado de laprimera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de lasegunda cantidad.
(a+b)2 = a2 + 2ab +b2 Cuadrados de la Diferencia de dos cantidades: (a – b)(a – b) ó (a – b)2 ; es igual al cuadradode la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más elcuadrado de la segunda cantidad.
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
Producto de la Suma por la Diferencia de dos cantidades: (a + b)(a – b) ó (a – b)(a + b)
(a + b)(a – b) ó (a – b)(a + b) = a2 – b2
Cubo de un binomio: (a + b)3 ó (a – b)3; el cubo de la suma de dos cantidades es igual alcubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por
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la segunda cantidad, más el triple producto de la primera cantidad por el cuadrado de lasegunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Producto de binomios de la forma: (x + a) (x + b), (a) El primer termino del producto es elproducto de los primeros términos de los binomios, (b) El coeficiente del segundo terminoes la suma algebraica de los productos cruzados y (c) El tercer termino es el producto de lossegundos términos de los binomios.
(x + a) (x + b) x2 + (xa + xb) + ab x2 + (a +b)x + ab
Ya que hemos abordado el tema de la división sintética, hablemos de su utilidad paradeterminar las raíces racionales de una función de cualquier orden. Para esto se procede de
la siguiente manera:
Sea la función:3 24 6 0 x x x
El dividendo era de 5 to grado,así que al dividir por x – 4, elcociente es de 4 to grado.
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De la cual deseamos conocer sus raíces, para ello tenemos que los numeradores de lasraíces están dados por el primer (denominadores) y último término (numeradores) de laecuación:
Numeradores 6, 3, 2, 1
Denominadores 1
Por lo tanto las posibles raíces son: 6, 3, 2, 1
SIN CAMBIAR SIGNOS AL RESTAR CAMBIANDO SIGNOS AL RESTAR
Por lo tanto las raíces son:
x = -1, x = 3 y x = 2
Comprobación:
2
2
3 2
2
3 2
1
3
3 32 3
2
2 3
2 4 6
4 6
x
x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x x
Por lo tanto las raíces son:(x+1) ó x = -1,(x-3) ó x = 3 y(x-2) ó x = 2
Comprobación:
2
2
3 2
2
3 2
1
3
3 3
2 3
2
2 3
2 4 6
4 6
x
x
x x x
x x
x
x x x
x x
x x x
En resumen se puede hacer de las dos maneras, lo que si es que hay que cuidar son lossignos que tienen en cada caso las raíces.
FACTORIZACIÓN
Factores: se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las entidadesalgebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.
1 -4 1 6 1-1 5 -6
1 -5 6 0 -33 -6
1 -2 0
1 -4 1 6 -1-1 5 -6
1 -5 6 0 33 -6
1 -2 0
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(a)(a+b) = a2 + ab Factores
Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el productoindicado de sus factores.
Factorización de un monomio: 15 ab = 3· 5 · a · b
Factorización de un polinomio: como en aritmética en el algebra hay números primos quesolo son divisibles por si mismos y por la unidad, lo que nos lleva a que no todo polinomiopodrá descomponerse en factor.
Caso I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Cuadrado perfecto 4a2 es perfecto porque (2a) (2a)= 4a2
Raíz cuadrada de un monomio 3ab2 es la raíz de 9a2b4 porque (3ab2)2 = 9a2b4 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: un trinomio ordenado con relacióna una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercero de los términos son cuadradosperfectos (o tienen raíz cuadrado exacta) y positivos, y el segundo termino es el dobleproducto de sus raíces cuadradas.
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+bx+c. (1) Factorizar: y2 + y – 30 ; el trinomio se descompone en dos binomios cuyo primertermino es la raíz cuadrada de y2 , o sea y:
y2 + y – 30 (y ) (y )
En el primer binomio después de y se pone el signo que tiene el segundo termino deltrinomio (+ y). En el segundo binomio se coloca el signo que resulta de multiplicar:(+y)( – 30) o sea ( – ).
y2 + y – 30 (y+ ) (y – )
Buscamos ahora dos números que sumados nos den (+1) y multiplicados nos den (30) y eneste caso dichas cantidades son (+6)( – 5).
Caso VIII: Cubo perfecto de binomios: En los productos notables vimos que:
(a+b) 3 = a3 +3a2b + 3ab2+ b3 (a – b) 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Para factorizar una expresión que se presume es el cubo de un binomio, debe primeramentedeterminarse si dicha expresión es el cubo de un binomio, veamos el siguiente ejemplo:
Factorizar: 64x3+240x2y+300xy2+125y3
4x 5y
3(4x) 2(5y) = 240x2y si es el cubo perfecto de un binomio.3(4x) (5y) 2= 300x y 2
(4x+5y) 3 Resultado Final
Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos; Para estos casos tenemos o sabemos:
2233
baba
ba
ba
22
33
baba
ba
ba
Factorar: 27a3 – b3 3a b (3a – b) (9a2 + 3ab + b2)
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Caso X: Suma o Diferencia de Dos Potencias iguales:
Casos:I) an – bn es divisible por (a – b) siendo n par o impar.II) an + bn es divisible por (a + b) siendo n impar.
III) a
n
– b
n
es divisible por (a + b) cuando n es par.IV) an + bn nunca es divisible por (a – b).
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más expresiones algebraicas es la expresiónalgebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenidaexactamente en cada una de ellas.
Para las expresiones: 8 a3n2, 24 an3 y 40 a3n4p
(8)(1) (8)(3) (8)(5) m.c.d. 8an
2
Para las expresiones: 38 a2x6y4, 76 mx4y7 y 95 x5y4
(19)(2) (19)(4) (19)(5)
19
2
1
19
38
19
2
2
1
19
38
76
19
5
1
19
95
m.c.d. 19x4y4
Para las expresiones: 28 a2b3c4, 35 a3b4c5 y 42 a4b5c6
(4)(7) (5)(7) (6)(7)
7
2
2
1
7
14
28
7
5
1
7
35
7
3
2
1
7
21
42
m.c.d. 7a2b3c4
M.C.D. DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Regla: Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.d. es elproducto de los factores comunes con su menor exponente.
Encontrar el m.c.d. de x2 – 2x – 8, x2 – x – 12 y x3 – 9x2 + 20 x
x2 – 2x – 8 (x – 4)(x+2) Dos números sumados(2) y multiplicados (8)
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x (2)(4)
x2 – x – 12 (x – 4)(x+3)
x3 – 9x2 + 20 x x (x2 – 9x + 20) x ( x – 4)( x – 5)
2x2=4 5x1=5 – 4 – 5= – 9 m.c.d. ( x – 4)
M.C.D. DE POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS
Hallar el máximo común divisor de los polinomios x3 – 2x2 – 5x + 6, 2x3 – 5x2 – 6x +9 y2x2 – 5x – 3.
Primero encontramos el m.c.d. de los dos polinomios:
3 2
3 2
2
2 4 10 12
2 5 6 9
4 3
x x x
x x x
x x
9652 23 x x x
2 4 3 x x
El máximo común divisor de los primeros polinomios es x2 – 4x+3, tomaremos ahora elotro polinomio y lo dividiremos por este.
342 x x
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Común múltiplo: antes de ir más adelante es conveniente definir algunos conceptosrelacionados con las operaciones de fracciones, así tenemos que el común múltiplo de dosexpresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cadauna de las expresiones dadas.
5
2
2
1
5
10
20
0
9123
9123
682
9652
2
2
23
23
x x
x x
x x x
x x x
Divisor pasa a serdividendo y residuala divisor
2
x – 1
2 3 x
2
2
2 5 3
2 8 6
3 9
x x
x x
x
3 x 2
2
4 3
3
3
3
0
x x
x x
x
x
Dividido por 3, para poder hacer ladivisión.
El M.C.D. es (x-3)
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8a3b2 es común múltiplo de 2a2 y 4a3b; esto porque 8a3b2 es exactamente divisible
por 2a2 y 4a3b. 2
2ab
2a
ba4
8 23
2b ba
ba3
4
8 23
Mínimo común múltiplo (m.c.m.): de dos o más expresiones algebraicas es la expresiónalgebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamentepor cada una de las expresiones dadas.
4a y 6a2, tienen como mínimo común múltiplo (4a) (3a) (2a)
12a2
REGLA PARA ENCONTRAR m.c.m. de monomios se halla el m.c.m. de los coeficientesy a continuación de éste se escriben las letras distintas, sean o no comunes, dando a cadaletra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
2ab2, 4a2b, 8a3 23
3
22
8
)2)(4(
)2)(2(
))(2(2
ba
a8a
aabb4a
baab2ab
3
2
2
18a3, 24b2, 36ab3
33
322
23
332332
72
)3)(2(
)3)(2(
3232
ba
ab36ab
b24b
baa18a
3
2
3
REGLA PARA ENCONTRAR m.c.m. de polinomios, se descomponen las expresionesdadas en sus factores primos. El m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y nocomunes, con su mayor exponente.
2a2+2a, 3a2 – 3a, a4 – a2
2424
222
222
666
16116
111
13
12
aaaa
aaaaa
aaaaaaa
aa3a3a
aa2a2a
24
2
2
El m.c.m. es 6(a4-a2)FRACCIONES ALGEBRÁICAS
Una fracción algebraica, como en aritmética, es el cociente indicado por dos expresionesalgebraicas.
Contenido ya
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Fracción algebraica entera a, x+y, ½ a + ⅔ b
1
a Idem
Fracción algebraica mixta a + (b/c) y x – (3/ x – a)
Principios fundamentales de las fraccionesMultiplicación por una cantidad (o división):
5b
a
b
a5;
b
a
b
a
55
1
5
5
b
a
b
a
b
a
5
5;
b
a
b
a
b
a
2
12
1
2
12
1
Cambiando de signos:
mb
a m
b
a
; m
b
a
m
b
a
mb
a
ó m
b
a
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
3
2
3
2
3
2
La fracción
xy
abpuede ser escrita:
y x
ab
y x
ba
y x
ba
xy
ab
Reducir una fracción: es cambiar su forma sin cambiar su valor.
Simplificar una Fracción Algebraica: es convertirla en una fracción equivalente cuyostérminos sean primos entre si. Simplificación de Fracciones Simples:
abba
a
4
1
8
22
y x
a
y x
ax25
3
44
xya y xa
y x2432
32
24
9
24
9
Simplificación de Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios:
y x
y x
y x y x
y x y x
y xy x
y x
22
22
2
OPERACIONES CON FRACCIONESSuma:
1. Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
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Multiplicación: 1. Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que se
van a multiplicar.2. Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y
denominadores.
3.
Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores después desimplificar, y este producto se parte por el producto de las expresiones que quedenen los denominadores.
Hallar el producto de:
1
1
22
4
1
24
44
2
44
482
16
222
2
23
2
2
2
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
Hallar el producto de:
3
81
25
62
3
x x
x
x x x
3
15
55
19
3
54
55
19
3
833
25
62522
2
33
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x x
x
x x x x
35
119
x x
x x
División:Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
a)2 2 3 2 3
2 3 2 2
2
3 3 2 6 6
x x x y x y xy
y y y x xy
b)3 2 3
3 3 3 2
1 1 2 1 1 2 1 11
2 1 2 1 2 1
x x x x x x
x x x x x x x
11111
1111
211
12111
23323
2
x x x x x
x x x
x x x
x x x x x x x
FRACCIONES COMPLEJAS:
Definición: Una fracción compleja es una fracción en la cual el númerador o eldenominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas.
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TEORÍA DE LOS EXPONENTES
Exponente Cero: proviene de: 102222 aaaa (Toda cantidad a la cero es la unidad)
Exponente Fraccionario: Proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente
de la cantidad subradical no es divisible por el índice de la raíz.2
1
aa 32
3 2 aa
Exponente Negativo: provienen de dividir dos potencias de la misma base cuando elexponente del dividendo (numerador) es menor que el exponente del divisor(denominador).
1
3
2 a
a
a 4
7
3 x
x
x
Hallar: 3222
2
2
y x yy x y
y x
2
3
422
12
1524
21
12
254
254
21
12
xnm xnm xnm
xnm
xnm
xnm
RADICALIZACIÓN
Radical, en general, es toda raíz indicada de una cantidad.
Radicales Semejantes: son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidadsubradical.
32 , 35 y 321 (Radicales semejantes.)
Simplificar: x y y x y x y x y x 333381 21
21
88
84
84
8 8448 84
Introduciendo Cantidades a Radicales:
211
21
1
21
1282642424
2
3 53 233 233 2
x x x
x x
x
x x
mmmmmmm
81 3
27 3
9 3
3 3
1
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Reducción de radicales al Mínimo Común Índice: para esto se halla el m.c.m. de losíndices, que será el índice común, y se eleva cada cantidad subradical a la potencia queresulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.
x5 , 3 24 y x y 6 37 ba
2
1
3
1
6
1y el m.c.m. de índices
6
1
3
1
2
1
6
1 6 36 3
12555 x x x
2
1
3
1
6
1 6 246 223 2 1644 y x y x y x
16
1
6
1 6 36 3 77 baba
Suma y Resta de Radicales: se simplifican los radicales dados; se reducen los radicalessemejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.
Reducir o Simplificar: 726
148
4
318
3
112
2
1
3
2
2
1
3
6
12
3
3
2
1
3
9
18
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
3
3
2
2
2
1
3
9
18
36
72
3423323
326
132
4
332
3
132
2
1 23422
Multiplicación de Radicales: (Igual Índice)
212 5 10 10
x x a a a x
a a
axa
x
xa
xa
xa xa
x
13
331
2
323
2
3
2
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(Diferente Índice)
3 2425 baa
1 1 1. . .
2 3 6m c m
6 36 3
85252 aaa
6 26 2666 276 246 33 2
6 246 223 2
21022512851685425
1644
abaabababaabaa
bababa
División de Radicales:
Igual índice: se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí,colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
aaa
aaa
2
38
4
3
2
16
4
3245163
3 332
53 23
Diferente índice: Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen comoradicales del mismo índice:
Hallar: 9 23 4 273 mm
99 1092
12
9 129 343 4
27
27
2733
mmmm
m
mmm
Hallar: 4 3226 543 318 z y x z y x
12 212
966
1086
12 96612 33224 322
12 108612 25436 543
1227
324
2733
3241818
z y z y x
z y x
z y x z y x z y x
z y x z y x z y x
Potenciación de Radicales: nm
mm
nm
n baabba
1
Radicación: mnm n aa ; mnm
nm n aaa11
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Racionalización: es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracciónequivalente cuyo denominador sea racional.
Caso I: x
x
x
x
x x 2
23
2
2
2
3
2
3
Caso II: El denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado. En estecaso el problema se resuelve multiplicando ambos miembros por el conjugado deldenominador:
12421
241
21
22323
21
21
21
232
2
Ecuaciones con Radicales: Se resuelven aislando el radical, elevando enseguida ambosmiembros a la potencia reciproca del radical y finalmente se resuelve para la incógnita:
282582522592573
333 x x x x x
NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo está formado por dos partes, una cantidad real y una cantidadimaginaria. La cantidad imaginaria la constituyen las raíces indicadas pares de cantidadesnegativas.
Cantidades Imaginarias Puras: toda cantidad de la forma n a donde “n” es par y – a es
una cantidad negativa, es una imaginaria pura. Toda raíz imaginaria puede reducirse a laforma de una cantidad real multiplicad por la unidad imaginaria 1 .
2 2 ( 1) 1 ( 1 )b b b bi i
38 2 ( 1) 2 2. 1 2 2 i
Suma de Cantidades Complejas: se suman las partes reales y las imaginarias de formaindependiente y se expresa el resultado como una cantidad imaginaria.
(2 3 ) (5 2 ) 2 3
5 2
7
i i i
i
i
Resta de Cantidades Complejas:
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( 7 3) (8 7) 7 3
8 7
15 10
i
i
i
Multiplicación de Cantidades Complejas:
(3 2) (5 2) 3 2
5 2
15 5 2
3 2 ( 2)
15 2 2 2 17 2 2
i
i
i
i
i i
División de Cantidades Complejas: para dividir cantidades complejas, se expresa elcociente en forma de fracción, y se racionaliza el denominador de esta fracciónmultiplicando ambos términos de la fracción por el conjugado del denominador.
2
2
(8 5 ) (7 6 ) 56 35 48 30 26 83(8 5 ) (7 6 )
(7 6 ) (7 6 ) 49 36 85
i i i i i ii i
i i i
2
2
(5 3 1) (3 4 1)
(5 3 1) 3 4 1 15 9 1 20 1 12( 1) 13 29 1 13 29
25 25(3 4 1) 3 4 1 9 16( 1)
i
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