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Matematicas I
Instituto de Matematicas*
Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUnviersidad de
Antioquia
Medelln, 15 de noviembre de 2013
1. Sistemas numericos
Los numeros reales son utilizados en una gran variedad de
problemas matematicos para re-presentar cantidades discretas y
continuas como distancias, tiempos, velocidades,
aceleraciones,temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que
deseemos medir, podemos encontrar lossiguientes sistemas
numericos:
1.1. Numeros naturales
Los numeros naturales son 1, 2, 3, . . ., surgen de la necesidad
de contar o enumerar objetos,sirven para designar el numero de
elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento dela
aritmetica. El conjunto de los numeros naturales se denota con el
smbolo N:
N = {1, 2, 3, . . .} y N0 = {0, 1, 2, . . .} = N {0}El cero (0)
representa el numero de elementos del conjunto vaco y muchos
autores no lo consideranun numero entero.
b b b b b b b b
0 1 2 3 n n+ 1
1.2. Numeros enteros
Los numeros enteros estan formados por los numeros naturales 1,
2, 3, . . . y por sus inversosaditivos 1,2,3, . . . El conjunto de
los numeros naturales se denota por el smbolo (Z):
Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}A diferencia de lo que ocurre
en N, la resta de dos numeros enteros siempre es un numero
entero.Observemos que el conjunto de los numeros naturales es un
subconjunto del conjunto de lo numerosenteros, en smbolos: N Z.
b b b b b b b b b b b b b
n 3 2 1 0 1 2 3 n*Esta obra es distribuida bajo una licencia
Creative Commons Atribucion - No comercial 2.5 Colombia.
1
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2 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
Los numeros enteros se clasifican en enteros positivos (Z+) y en
enteros negativos (Z):
Z+ = {1, 2, 3, . . .} = NZ = {. . . ,3,2,1}
y Z = Z+ Z {0}.
1.3. Numeros racionales
Los numeros raciones se pueden representar como el cociente de
dos enteros, el termino racio-nal hace referencia a razon,
proporcion o fraccion:
Q ={mn
: m Z, n Z, n 6= 0}
Todo entero n se puede escribir como el numero racional n/1 y en
consecuencia Z Q.
b b b b b b b b
14
1 0 12
1 74
2 3
Los numeros racionales admiten una representacion decimal finita
o infinita pero periodica:
9
4= 2.25 y
177
55= 3.2181818 . . . = 3.218
1.3.1. Operaciones con fraccionarios
En los numeros racionales se difinen las siguientes
operaciones
Proposicion 1.1 (Operaciones con fracciones). Para todo a, b, c,
d Q se cumple que:
1. ab +cd =
ad+bcbd
2. ab cd = adbcbd
3. ab cd = acbd4. ab cd = adbc
Ejemplo 1.1.
2
3[(
1
2+
3
4
)(1
5 2
)]=
2
3[5
4 9
5
]=
2
3[2536
]= 25
54
1.4. Numeros irracionales
Los numeros que no son racionales se denominan numeros
irracionales. El conjunto de losnumeros irracionales se denota
mediante el smbolo Q. Ejemplos de numeros irracionales sonel numero
e (base del logaritmo natural), (la razon entre la circunferencia
de un crculo y sudiametro) y
2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) entre otros. Las
representaciones decimales
de estos numeros son siempre infinitas y no repetitivas:
1. = 3.1415926535897 . . .
2.2 = 1.4142135623731 . . .
3. e = 2.71828183 . . .
4. 4.12122122212222 . . .
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b b b
0 12 2 e 3 4
2
1.5. Numeros reales
El conjunto de los numeros reales esta constituido por todos los
numeros racionales e irracio-nales. As,
R = Q Q y N Z Q R.Los numeros reales los podemos considerar como
puntos sobre una recta infinita: a cada
punto de la recta le corresponde uno y solo un numero real y
recprocamente, a cada numero realle corresponde un punto de la
recta.
b b b b b b b b
R0 1 232e 3 4
1.6. Axiomas de campo
En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto () que
satisfacen las siguientespropiedades:
Propiedad 1.2 (Axiomas de campo). .
1. Para cada par de numeros reales a y b, la suma a+ b es un
numero real.
2. La suma es conmutativa: a+ b = b+ a
3. La suma es asociativa: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
4. Existe un numero real denotado por 0 (neutro aditivo) que
satisface a+ 0 = a
5. Para cada numero real a, existe un unico elemento denotado
por a (inverso aditivo) quesatisface a+ (a) = 0.
6. Para cada par de numeros reales a y b, el producto a b es un
numero real.7. La producto es conmutativa: a b = b a8. La producto
es asociativa: a (b c) = (a b) c9. 1 es el neutro multiplicativo y
satisface 1 a = a para todo a R.10. Si a 6= 0, a1 es el inverso
multiplicativo y satisface a a1 = 1 para todo a R.11. La producto
es distributiva sobre la suma:
a (b+ c) = a b+ a c y (a+ b) c = a c+ b c
Observacion 1 (Sobre axiomas de campo). .
1. A la propiedad (28.1) se le denomina axiomas de campo de los
numeros reales.
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4 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
2. Los axiomas (1)-(5) hacen referencia a las propiedades que
satisface la operacion suma
3. Los axiomas (6)-(10) hacen referencia a las propiedades que
satisface la operacion producto
4. El axioma (11) (propiedad distributiva), relaciona las
propiedades de la suma con el producto.
5. Si a 6= 0, su inverso multiplicativo a1 se denota por a1 = 1a
.6. En lugar de escribir a b, se acostumbra escribir ab.7. En lugar
de escribir a+ (b), se acostumbra escribir a b.
Ejemplo 1.2. Por la propiedad distribuitiva,
(a+ b)(c+ d) = a(c+ d) + b(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd.
Proposicion 1.3. Para todo a, b R se cumple que:1. a 0 = 02. si
ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.
El inverso aditivo de todo numero real satisface las siguientes
propiedades:
Proposicion 1.4 (Ley de los signos). Para todo a, b R se cumple
que:
1. (1)a = a2. (a) = a
3. (a)b = a(b) = (ab)4. (a)(b) = ab
El inverso multiplicativo o recproco a1 = 1a de un numero real a
6= 0 se caracteriza por ser elunico numero que satisface
a a1 = a(1
a
)= 1.
Por ejemplo,(45
)1= 54 porque
45 54 = 1 y en general(m
n
)1=
1
m/n=
n
m
1.7. Axiomas de orden
La representacion geometrica de los numeros reales como puntos
sobre una recta
Ra b
nos permite establecer de manera informal un orden en R: si a
esta a la izquierda de b, se diceque a es menor que b y se escribe
a < b. De manera analoga, si a esta a la derecha de b, se
diceque a es mayor que b y se escribe a > b.
Esta idea intuitiva de ser mayor que (>) o menor que ( b.
2. a < b = a+ c < b+ c.3. a > 0 y b > 0 = ab >
0.4. a > b y b > c = a > c.
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Observacion 2 (Sobre axiomas de orden). .
1. a > b significa lo mismo que b < a.
2. Un numero real x se dice que es positivo si x > 0 y
negativo si x < 0.
3. El numero cero no es positivo ni negativo.
4. Los numeros positivos estan ubicados a la derecha del cero y
los negativos a la izquierda.
5. El conjunto formado por todos los numeros positivos se donota
con el smbolo R+.
6. El conjunto formado por todos los numeros negativos se donota
con el smbolo R.
7. Del axioma (1) se infiere que todo numero real es positivo,
negativo o cero.
8. El axioma (3) nos dice que el producto de numeros positivos
es positivo.
9. Cuando tengamos que a < b y b < c escribiremos a < b
< c.
A partir de los axiomas de orden se pueden demostrar formalmente
enunciados intuitivamenteevidentes como por ejemplo que 1 > 0.
Otros enunciados que se pueden demostrar son:
Teorema 1.6. Para todo a, b, c R se cumple que:
1. a < b y c > 0 = ac < bc.2. a < b y c < 0 = ac
> bc.
3. a 6= 0 = a2 > 0.4. a < b y c < d = a+ c < b+
d.
De la propiedad (3) del teorema anterior (1.6), se deduce que NO
existe un numero real x talque x2 = 1. Existen numeros que
satisfacen esta propiedad, no son numeros reales y se
denominannumeros complejos. El conjunto de los numeros complejos se
denotada por C y tanto su definicioncomo sus propiedades seran
estudiadas mas adelante.
Teorema 1.7. Si a, b R y a < b, entonces b < a.
Teorema 1.8. Si a, b R y ab > 0, entonces una de las
siguientes condiciones se cumple:
1. a > 0 y b > 0. 2. a < 0 y b < 0.
El smbolo a b indica que a < b o a = b. Por ejemplo 1 3
porque 1 < 3 mientras que porque = . De manera similar se define
la relacion . La relacion satisface las siguientespropiedades:
Propiedad 1.9. Para todo a, b, c R se cumple que:1. Propiedad
reflexiva: a a.2. Propiedad antisimetrica: a b y b a = a = b.3.
Propiedad transitiva: a b y b c = a c.
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1.8. Axioma de completitud
Hasta ahora hemos estudiado varios sistemas numericos:
N Z Q R CCada uno de ellos posee propiedades bien definidas. Las
propiedades (axiomas) de campo y orden deR por ejemplo, son validas
tambien en Q. Sin embargo, existe una propiedad (axioma) adicional
quecaracteriza a los numeros reales y los diferencia de los otros
sistemas numericos: se trata del axiomade completitud. La
interpretacion intuitiva de este axioma dice que la correspondencia
biunvocaentre numeros reales y puntos de una recta que antes
mencionamos, llena completamente larecta sin que falten ni sobren
puntos. Con numeros racionales por ejemplo, no logramos llenar
larecta, quedan huecos como los puntos que corresponden a
2, , etc. Se dice entonces que R es
un campo ordenado y completo.
b b b b bbc bc bc
0 12 2 e 3 4
2
1.9. Exponentes y radicales
Definicion 1.1. Para todo a R y todo entero positivo n,
1. an = a a a n veces
. 2. a0 = 1, si a 6= 0. 3. an = 1an .
Ejemplo 1.3. .
1. 24 = 2 2 2 2 = 162. 43 = 4 4 4 = 64
3. 62 = 6 6 = 364. 32 = 132 =
133 =
19
Observacion 3. .
1. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar
una cantidad o expresion pors misma una o varias veces. Por
ejemplo, 16 es potencia de 2 porque 24 = 16.
2. La operacion cuya finalidad es hallar las potencias de un
numero se denomina potenciaciono elevacion a potencias.
3. a2 se lee a elevado al cuadrado, a3 se lee a elevado al cubo,
an se lee a elevado a la n.
4. En la expresion an = b, a es la base, n es el exponente y b
es la potencia.
Propiedad 1.10 (Leyes de los exponentes). Para todo a, b R y m,n
Z,
1. aman = am+n
2. (am)n = amn
3. (ab)n = anbn
4.(ab
)n= a
n
bn , b 6= 0.
5. am
an = amn, a 6= 0
6. am
an =1
anm , a 6= 0
Ejemplo 1.4. .
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1. a2 a5 = a2+5 = a3, con a 6= 0.
2.(b4
)5= b45 = b20 =
1
b20, con b 6= 0.
3. (3x)2 = 32 x2 = 9x2.
4.z3
z5= z3(5) = z2, con z 6= 0.
La operacion inversa a la potenciacion se denomina radicacion.
La radicacion nos permitecalcular la base de una potencia,
conociendo el exponente y la potencia.
Por ejemplo, la operacion inversa de elevar al cuadrado un
numero se denomina encontrar unaraz cuadrada del numero. Las races
cuadradas de 25 son 5 y 5 porque 52 = 25 y (5)2 = 25.
El smbolo
se utiliza para designar la raz cuadrada no negativa. As,25 =
5,
36 = 6,
etc. En general, definimos la raz n-esima como se indica a
continuacion:
Definicion 1.2 (Raz n-esima). Si n es un numero natural y a un
numero real, definimos na
de la siguiente forma:
Si a = 0, entonces na = 0
Si a > 0, entonces na = b, si, y solo si, bn = a y b >
0.
Si a < 0 y n es impar, entonces na = b, si, y solo si, bn = a
y b < 0.
Si a < 0 y n es par, entonces na no es un numero real.
Ejemplo 1.5. .
1. 532 = 2, porque 25 = 32 y 2 > 0.
2.8 = 2, porque (2)3 = 8 y 2 < 0.
3.9 no es un numero real.
Propiedad 1.11 (Propiedades de la raz n-esima). Para todo a R y
n N,
1. ( na)
n= a si n
a es un numero real
2. nan = a si a 0
3. nan = a si a < 0 y n es impar
4. nan = |a| si a < 0 y n es par
Observacion 4. .
1. Afirmar quex2 = x para todo numero real x es falso.
2.x2 = |x| para todo numero real x.
Ejemplo 1.6. .
1. 3(5)3 = 5 2. (5)2 = | 5| = 5 3. 52 = 5
Propiedad 1.12 (Propiedades de la radicacion). Para todo a, b R
y m,n N,
1.nab = n
a
nb
2. na
b=
na
nb
3.m
na = mn
a
Ejemplo 1.7. .
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8 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
1.x2y =
x2y = |x|y 2. 4
x6y3 = 4
x4x2y3 =
4x4 4x2y3
1.10. Exponentes racionales
Definicion 1.3 (Exponentes racionales). Para todo a R y todo par
de enteros positivos m yn, con n 2 para el cual na existe,
definimos:
1. a1/n = na. 2. am/n = n
am = ( n
a)
m. 3. am/n = 1
am/n.
Ejemplo 1.8. . (32
243
)2/5=
(5
32
243
)2=
5(
2
3
)52 = (23
)2=
4
9
2. Expresiones polinomiales
Una expresion algebraica es una expresion que contiene letras,
numeros y operaciones aritmeti-cas. Muchas expresiones del lenguaje
habitual las podemos las podemos enunciar por medio deexpresiones
algebraicas. Es comun usar la notacion y la terminologa de la Teora
de Conjuntospara describir relaciones matematicas.
Para denotar los conjuntos se usan letras mayusculas A, S, . . .
Las letras minusculas son usadaspara representar los elementos de
los conjuntos.
Notacion Significadoa T a es un elemento del conjunto T
a pertenece al conjunto TS T Todo elemento de S esta en T
S es un subconjunto de T
Una letra o smbolo que represente un elemento especfico se
denomina constante. Por ejemplo,5, son constantes.
Una letra o smbolo que represente a cualquier elemento de un
conjunto se denomina variableo incognita.
Ejemplo 2.1. En la expresion Sea x un numero real, x esta
representando a cualquier elementode los numeros reales.
Si x es una variable, entonces:
Monomio en x es una expresion de la forma axn, donde a R y n es
un entero no-negativo.Binomio es una suma de dos monomios.
Trinomio es una suma de tres monomios.
Polinomio en x es una suma de cualquier numero de monomios en
x.
Un Polinomio en x es una suma de la forma
anxn + an1xn1 + + a1x+ a0
donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente ak es un
numero real. Cuando an 6= 0 decimosque el polinomio tiene grado
n.
El coeficiente ak de la potencia mas alta de x es el coeficiente
principal del polinomio.
Ejemplo 2.2. .
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Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 9
En el polinomio 8x4 + 5x2 + x 3, el coeficiente principal es 8 y
el grado es 4.La expresion x+2x21 no es un polinomio (es una
expresion fraccionaria).
Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de terminos de
la forma axmyn, dondea R y m y n son enteros no-negativos.Por
ejemplo, 2x3y + 5xy4 es un polinomio en la variables x y y de grado
3 para x y de grado 4para y.
Ejemplo 2.3 (operaciones entre polinomios). .
Suma de polinomios: (x2 + y) + (8y 3x2) = 2x2 + 9yResta de
polinomios: (x2 + y) (8y 3x2) = 5x2 7yMultiplicacion de
polinomios
(6w 3z2)(5z + 2w2) = (6w)(5z) + (6w)(2w2) (3z2)(5z) (3z2)(2w2)=
30wz + 12w3 15z3 6z2w2
Division de un polinomio entre un monomio:
15x4y5 + 2x3y6 3x10y86x2y3
=15x4y5
6x2y3+
2x3y6
6x2y3 3x
10y8
6x2y3
=5
2x2y2 +
1
3xy3 1
2x8y5
2.1. Formulas de algunos productos de polinomios
(x+ y)(x y) = x2 y2
(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2
(x y)2 = x2 2xy + y2
(x y)3 = x3 3x2y + 3xy2 y3
Ejemplo 2.4. .
(3a 2b)3 = (3a)3 3(3a)2(2b) + 3(3a)(2b)2 (2b)3= 27a3 3 9 2 a2b+
3 3 4 ab2 8b3= 27a3 54a2b+ 36ab2 8b3
2.2. Factorizacion
La factorizacion es el proceso de expresar una suma de terminos
como un producto. Por ejemplo
x2 25y2 = (x+ 5y)(x 5y)es la factorizacion del polinomio x2 25y2
en dos factores (x+ 5y) y (x 5y).
Proposicion 2.1. Algunas formulas de factorizacion:
1. Diferencia de cuadrados:x2 y2 = (x+ y)(x y)
2. Diferencia de dos cubos:a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)
3. Suma de dos cubos:a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)
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10 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
2.3. Ecuaciones lineales y cuadraticas
Un problema registrado en una antigua tablilla babilonica
dice:
Un anciano dejo al morir 65 monedas de oro, que deban repartirse
entre sus 5 hijosde modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que
el hermano que le antecede.
Problemas como estos los podemos enunciar matematicamente por
medio de variables que re-presentan las incognitas del problema y
que pueden ser combinadas para formar expresiones al-gebraicas que
podemos relacionar a traves de ecuaciones. Las ecuaciones que
consideraremos enesta seccion son ecuaciones algebraicas. En
matematicas existen otro tipo de ecuaciones que notrataremos
aqu.
Definicion 2.1. Una ecuacion es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas, que involucrauna o varias cantidades
desconocidas, llamadas incognitas. A un valor de la incognita que
verifiquela igualdad le llamaremos solucion o raz de la
ecuacion.
Ejemplo 2.5.
1. En la ecuacion2y 3 = 6, (1)
y representa la incognita y la igualdad se verifica para y = 92
porque
y =9
2 2y 3 = 2 9
2 3 = 9 3 = 6
Por otra parte, y = 1 no verifica la igualdad y por tanto no es
solucion porque
y = 1 2y 4 = 2 1 3 = 1 6= 6
2. La ecuacionx2 2 = 0 (2)
se verifica para x =2 y x = 2 porque
x =2
(2)2 2 = 0 y x =
2
(2)2 2 = 0
3. La ecuacionz2 + 4 = 0 (3)
se verifica para z = 2i y z = 2i porque
z = 2i z2+4 = (2i)2+4 = 4+4 = 0 y z = 2i z2+4 = (2i)2+4 = 4+4 =
0
4. La ecuacion2x 3y = 4 (4)
se verifica para x = 2, y = 0 y tambien para x = 1, y = 23 .
Observacion 5. La ecuacion (1) posee soluciones en Q y no posee
soluciones enteras. La ecuacion(2) tiene dos soluciones
irracionales (no posee soluciones en Q). La ecuacion (3) no tiene
solucionesen R, sus soluciones son complejas. Finalmente, la
ecuacion (4) es una ecuacion en dos variablesy posee infinitas
soluciones.
Las ecuaciones presentadas en los ejemplos anteriores se
denominan ecuaciones polinomicasporque las expresiones algebraicas
que las componen son polinomios. Como ejemplos de
ecuacionesalgebraicas que no son polinomicas podemos citar los
siguientes:
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Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 11
1.x 3x = 1 2. 2
y+ yx = 2 3. 2x+ 5
x2 3 3x = 1
Las ecuaciones polinomicas se clasifican de acuerdo al grado del
polinomio que la forman, comolineales, cuadraticas, cubicas, etc.
La pregunta que surge ahora es:
Como hallar las soluciones de ecuaciones como las presentadas en
el ejemplo (2.5)?
Definicion 2.2. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las
mismas races o soluciones.
Por ejemplo, las ecuaciones x2 x = 6 y 2x2 2x = 12 son
equivalentes, ya que ambas tienenlas mismas soluciones: x = 3 y x =
2 (verificar).
Una ecuacion difcil de resolver la podemos convertir en una
facil de resolverpor medio dela serie de pasos explicados en el
siguiente teorema.
Teorema 2.2 (Ecuaciones equivalentes). .
1. Si cualquier expresion de una ecuacion se sustituye por una
expresion igual, la ecuacionobtenida es equivalente a la
original.
2. Si a los dos miembros de una ecuacion, se les suma o se les
resta una expresion igual, laecuacion obtenida es equivalente a la
original.
3. Si los dos miembros de una ecuacion se multiplican o dividen
por una cantidad distina decero, la ecuacion resultante es
equivalente a la original.
Ejemplo 2.6. Las ecuaciones (5) y (9) son equivalentes.
x
2+x 13
= 4 (5)
6 (x
2+x 13
)= 6 4 (6)
6 x2+ 6 x 1
3= 6 4 (7)
3x+ 2 (x 1) = 24 (8)5x 2 = 24 (9)
De la ecuacion (5) a la (6) utilizamos la parte (3) del teorema
(2.2); para el resto de pasosutilizamos la parte (1).
Otra propiedad importante ya vista de los numeros reales que nos
permitira resolver ecuacioneses la siguiente
Teorema 2.3. Para todo par de variables P y Q,
PQ = 0 P = 0 o Q = 0
2.3.1. Ecuacion lineal
Definicion 2.3. La ecuacionax+ b = 0, a 6= 0 (10)
se llama ecuacion lineal o ecuacion de primer grado en la
variable x.
Es importante resaltar que la ecuacion (5.15) tiene solo una
solucion y esta dada por x = ba .
Ejemplo 2.7. Resuelva la ecuacion 5x+ 3 = 25 + x.Solucion
5x+ 3 = 25 + x ecuacion original5x = 28 + x sumamos 3 a ambos
lados4x = 28 sumamos x a ambos ladosx = 7 dividimos entre 4 a ambos
lados
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12 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
2.3.2. Ecuacion cuadratica
Definicion 2.4. La ecuacionax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 (11)
donde a, b, c son numeros reales, se llama ecuacion cuadratica o
ecuacion de segundo gradoen la variable x.
Es importante mencionar que la ecuacion cuadratica (25), a
diferencia de la ecuacion lineal(5.15), puede tener hasta dos
soluciones y a continuacion mostraremos como hallarlas.
2.4. Solucion por factorizacion
Este metodo lo podemos aplicar a ecuaciones polinomicas (no solo
cuadraticas) para las cualesel polinomio que las forma es posible
factorizarlo y se basa en el teorema (2.3).
Ejemplo 2.8. Resuelva la ecuacion cuadratica x2 = 11x
30.Solucion
x2 = 11x 30 (12)x2 11x+ 30 = 0 (13)(x 6)(x 5) = 0 (14)
por lo cual
(x 6)(x 5) = 0 x 6 = 0 o x 5 = 0 (15) x = 6 o x = 5 (16)
La ecuacion tiene entonces dos soluciones: x = 6 y x = 5
(verificar).Del paso (66) al (14) factorizamos el polinomio; el
paso (15) es por la propiedad de los numeros
reales que te presentamos en el teorema (2.3).
Observacion 6. El proceso de factorizacion que realizamos en el
paso (14), lo podemos expresaren general como
x2 + bx+ c = (x+ r1)(x+ r2) (17)
donde r1 y r2 son dos numeros enteros tales que r1 + r1 = b y r1
r1 = c (por que?).
2.5. Solucion por completacion de cuadrados
Este metodo aparece registrado en una antiguo pergamino
babilonio; actualmente se le conocecomo metodo de completacion de
cuadrados y lo aplicamos cuando el polinomio que forma laecuacion
no lo podemos factorizar. El metodo consiste en sumarle a ambos
lados de la ecuacion
x2 + bx+ c = 0
la cantidad (b/2)2, esto hace que el polinomio resultante se
pueda factorizar y as podemos aplicarel metodo de factorizacion
(2.4) como mostraremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.9. Utilice el metodo de completacion de cuadrados para
resolver x2 4x 1 = 0.Solucion
Observemos que no existen dos enteros r1 y r2 tales que r1 + r1
= 4 y r1 r1 = 1 y por tantoel metodo de factorizacion no nos sirve.
En este caso b = 4 y:
x2 4x 1 = 0 (18)x2 4x = 1 (19)
x2 4x+ (2)2 = 1 + (2)2 sumamos (b/2)2 (20)x2 4x+ 4 = 5 (21)
(x 2)2 = 5 (22)x 2 =
5 (23)
x = 25 (24)
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 13
Las soluciones de la ecuacion vienen dadas entonces por x = 2 +5
y x = 25 (verificar).
Observacion 7. En el paso (19) aislamos las variables a la
izquierda del igual y en el paso(20) sumamos la cantidad que hace
que la expresion del lado izquierdo se convierta en un
cuadradoperfecto.
La cantidad a sumar (b/2)2 se aplica a la ecuacion x2 + bx + c =
0. Que ocurre con el casogeneral ax2 + bx+ c = 0 con a 6=
1?Actividad 2.4. Resuelva la ecuacion 3z2 + z 12 = 0.
2.6. Formula general
La ecuacion cuadraticaax2 + bx+ c = 0 , a 6= 0 (25)
admite tres posibles tipos de soluciones (o races): dos numeros
reales diferentes; un numero realdoble, o dos numeros complejos
conjugados, dependiendo de que su discriminante
= b2 4ac
sea positivo, cero o negativo respectivamente. A continuacion
utilizamos el metodo de comple-tacion de cuadrados para encontrar
las soluciones de (25). En el caso a = 0, (25) se reduce a
laecuacion lineal (5.15). Si a 6= 0, dividimos entonces ambos lados
de (25) entre a
x2 +b
ax+
c
a= 0 ,
pasamos a restar el termino independiente
x2 +b
ax = c
a
y sumamos a ambos lados de la ultima igualdad la mitad del
coeficiente que acompana a x elevadoal cuadrado (completamos el
cuadrado):
x2 +b
ax+
(b
2a
)2= c
a+
(b
2a
)2(26)
El lado izquierdo de (26) es un cuadrado perfecto,
x2 +b
ax+
(b
2a
)2=
(x+
b
2a
)2(27)
y para el lado derecho de (26) tenemos
ca+
(b
2a
)2= c
a+
b2
4a2=4ac+ b2
4a2=
b2 4ac4a2
(28)
Al igualar (27) y (28) obtenemos (x+
b
2a
)2=
b2 4ac4a2
luego
x+b
2a=
b2 4ac4a2
= b2 4ac2a
y por tanto
x = b2ab2 4ac2a
=bb2 4ac
2a
-
14 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
Teorema 2.5. Las soluciones de la ecuacion cuadratica
ax2 + bx+ c = 0 (29)
con a 6= 0 estan dadas por
x =b+b2 4ac
2ay x =
bb2 4ac2a
(30)
y van a depender del signo del discrimante = b2 4ac:Si = b2 4ac
> 0, la ecuacion tiene dos soluciones reales y distintas.Si = b2
4ac = 0, la ecuacion tiene solo una solucion que es real.Si = b2
4ac < 0, la ecuacion tiene dos soluciones complejas.
Ejemplo 2.10. Resuelva la ecuacion
x+ 1
3x+ 2=
x 22x 3
Solucion
x+ 1
3x+ 2=
x 22x 3 ecuacion original
(x+ 1)(2x 3) = (x 2)(3x+ 2) pasamos a multiplicar los
denominadores2x2 x 3 = 3x2 4x 4 desarrollamos los productosx2 3x 1
= 0 pasamos todo al lado izquierdo
Al aplicar (30) a la ultima ecuacion con a = 1, b = 3 y c = 1
obtenemos las soluciones
x =3 +
13
2y x =
3132
.
Finalizamos esta seccion con un teorema que establece la
relacion que existe entre los coeficientesa, b y c de la ecuacion
(29) y las races (soluciones) de la misma.
Teorema 2.6. Si r1 y r2 son las races de la ecuacion
cuadratica
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, (31)
entonces
r1 + r2 = ba
y r1 r2 = ca
(32)
3. Solucion de problemas
Las siguientes son algunas recomendaciones para la solucion de
problemas.
1. Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la
cantidad desconocida (o incogni-ta).
2. Relacione los datos conocidos con la incognita a traves de
una ecuacion.
3. Resuelva la ecuacion y compruebe las soluciones
obtenidas.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 15
3.1. Problemas que conducen a ecuaciones lineales
Ejemplo 3.1. Dos ciudades A y B estan separadas entre s 9 Km.
Dos autos parten en el mismoinstante de cada una de las ciudades y
van uno hacia el otro. El que sale de A va a 9 Km/h y elde B a 5
Km/h. Determine la distancia recorrida por el que salio de A hasta
el punto P en el quese encuentran.
Solucion
1. Identificamos los datos e incognitas del problema:
VA : Velocidad (Km/h) del auto que sale de A.
VB : Velocidad (Km/h) del auto que sale de B.
x : Distancia (Km) recorrida por el auto que sale de A hasta que
se encuentran.
2. Relacionamos los datos e incognitas del problema:
Distancia (Km) de A a P = x
Distancia (Km) de B a P = 9 xTiempo =
distancia recorrida
velocidad
x x9-
9 KmA B
P
3. Planteamos la ecuacion y la resolvemos:
Tiempo empleado de A a P = Tiempo empleado de B a P
x
VA=
9 xVB
x
9=
9 x5
5x = 9(9 x)5x = 81 9x14x = 81
x =81
14
Por tanto, la distancia recorrida por los autos hasta el punto
de encuentro es de x = 8114 5.7857Km.
3.2. Problemas que conducen a ecuaciones cuadraticas
Ejemplo 3.2. Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados
de 3 cm en las esquinas de unapieza rectangular de hojalata, cuya
longitud es el doble de su ancho. Cuales son las dimensionesde la
lamina para hacer una caja que tenga un volumen de 60 cm3?
Solucion
1. Identificamos los datos e incognitas del problema:
Ancho = L cm
Largo = 2L cm
Cortes = 3 cm
-
16 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
2. Relacionamos los datos y las incognitas a traves de una
ecuacion:
Volumen de la caja = base altura
3. Relacionamos los datos y las incognitas a traves de una
ecuacion:
3(2L 6)(L 6) = 60L2 9L+ 8 = 0
(L 8)(L 1) = 0
y entonces L = 8 o L = 1. Con L = 1 no es posible construiruna
caja con las dimensiones pedidas, mientras que conL = 8 s. La
solucion es por tanto L = 8.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 17
4. Ejercicios
1. Realizar las siguientes operaciones.
a)27+
521
17
b)(1 12
) (2 + 12) 74c) 2 + 12
[1 ( 12 + 1)]
d)( 15+
23 )( 34 16 )
( 67 14 )+( 14 614 )
2. Exprese el numero de la forma ab con a y b enteros.
a) 24 + 31
b)( 32)4 24
c) 52
23
d) 64 3
2 + 6432
e) (0.008)23
f )(32
)4 24
g) 34
(73
(25
)2) 1h) 12
(42 + 71
)2i) 4
[3(2)2 4(4)3]
j )2(6)(6( 27 ))
74 38
k)
[8(2 13 )
] 26
3. Si el 17% de un numero n es igual al 51% de 2500, cuanto es
el valor de n?
4. En una eleccion uno de los candidatos obtuvo el 65% de los
votos y saco 1500 votos mas queel otro candidato. Cuantos fueron
los votos?
5. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de
peces designadas como A y Brespectivamente. Al cabo de exactamente
un ano se ha hecho un censo de ambas especies yse encontro que
mientras la poblacion de A se incremento en el 20% la de B
disminuyo enel 10% y el numero de peces de ambas especies resulto
al final igual. Cual es la razon entrelas poblaciones iniciales de
la especie A, con relacion a la especie B?
6. Cuando a un estanque le falta llenar el 30% de su capacidad
contiene 10800 litros de aguamas que cuando estaba lleno al 30% de
su capacidad. Cual es la capacidad total del estanqueen litros?
7. Resuelva lo siguiente (en (e) multiplique y simplifique).
a) 42(3 22 3 23)
b) 6 (4 (2 7 (52 5)+ 6))c) 5
(4 (5 (3 42)+ 4(3 7)))
d) 2 (2 (42 (8 + 5) 1)+ 23(1 4))e)
(2 3) (2 + 5)
f )1 +
1 + 23
g) 34 58
8. Simplifique la siguientes expresiones.
a)(2y3)(3y2)
(y2)3
b)(13x
4y3)2
c)(3x
12
)(2x
52
)d)
(x3y2)4
(y6x4)2
e)(
4a3ba2b3
)(3b2
2a2b4
)f )
(2x3)(3x2)(x2)3
g)(16a
5) (3a2) (4a7)
h)(8x4y3
) (12x
5y2)
i)(c4
16d8
) 34
-
18 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
j )(
3x5y4
x0y3
)2k)
(2r2s)5 (3r1s3)2l)(13x
4y3)2
m)(3y3)(2y2)
2
(y4)3
(y3)0
n)(
23
34h2
)(34
516h4t
)n)
3
16x3y8z436y4z3
o)(24
) n+1( 428n82n )29. Dados los polinomios
P (x) = 4x2 1 S(x) = 12x2 + 4Q(x) = x3 3x2 + 6x 2 T (x) = 32x2 +
5R(x) = 6x2 + x+ 1 U(x) = x2 + 2
Calcular
a) P (x) +Q(x)
b) P (x) U(x)c) P (x) +R(x)
d) 2P (x)R(x)e) S(x) +R(x) + U(x)
f ) S(x)R(x) + U(x)
10. Multiplicar:
a)(x4 2x2 + 2) (x2 2x+ 3)
b)(3x2 5x) (2x3 + 4x2 x+ 2)
11. Indica cuales de estas divisiones son exactas.
a)(x3 5x 1) : (x 3)
b)(x6 1) : (x+ 1)
c)(x4 2x3 + x2 + x 1) : (x 1)
d)(x10 1024) : (x+ 2)
12. Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores
los que se indican.
a)(x3 5x 1) tiene por factor (x 3)
b)(x6 1) tiene por factor (x+ 1)
c)(x4 2x3 + x2 + x 1) tiene por factor (x 1)
d)(x10
)tiene por factor (x+ 2)
13. Factorizar las siguientes expresiones sobre
a) 25x5 65x4 + 1415x2 =
b) xy 2x 3y + 6c) 25x2 1d) 36x6 49e) x2 2x+ 1f ) x2x+ 9
g) x2 20x+ 100
h) x2 + 10x+ 25
i) x2 + 14x+ 49
j ) x3 4x2 + 4xk) 3x7 27xl) x2 11x+ 30
m) 3x2 + 10x+ 3
n) 2x2 x 1
14. Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 kx+ 2 por (x
2) de de resto 4.15. Determinar el valor de m para que 3x2 +mx+ 4
admita x = 1 como una de sus races.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 19
16. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2
4 y se anule para x = 3 yx = 5.
17. Calcule el valor de a para que el polinomio x3 ax+ 8 tenga
la raz x = 2, y calcular lasotras races.
18. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 4x 3 = 5x+ 6b) 6(2y + 3) 4(y 5) = 0c) 15x+ 4 = 5 27xd) 53x 1
= 4 + 23xe) 3+5x5 =
4x8
f ) 13+2x4x+1 =34
g) 6 5x = 4 + 3xh) (3x 2)2 = (x 5)(9x+ 4)i) 4 53x7 = 4j ) 12x1
=
48x4
k) 32x+3 +5
2x3 =4x+64x29
l) (x 3)2 = 17
19. Resuelva la ecuacion por factorizacion.
a) 6x2 + x 12 = 0b) x(3x+ 10) = 77
c) xx+3 +1x 4 = 9x2+3x
d) 3xx2 +1
x+2 =4x24
20. Determine el valor o los valores de d que completen el
cuadrado para la expresion x2+9x+d
21. Resuelva usando la formula cuadratica.
a) 6x2 x = 2 b) 5w2 10w + 2 = 0 c) 3xx2+9 = 2
22. Resuelva la ecuacion.
a) y32 = 5y
b)7 5x = 8
c) 4 + 31 5t = 0
d) x = 4 +4x 19
e)11 + 8x+ 1 =
9 + 4x
f ) 3x23 + 4x
13 4 = 0
23. Resolver las siguientes ecuaciones.
a) y2 + 4y = 21
b) x2 + 4x+ 2 = 0
c) 2t2 = 1 2td) x+ 2
x 3 = 0
e) 3 +3z + 1 = z
f )3x+ 7 +
x+ 2 = 1
g) 4 + 1x 1x2 = 0h) 23x
2 x 3 = 0i)10 + 3
t =
t
j ) x32 3x
12 = 0
k) x4 5x2 + 4 = 0l) x2 12x 316 = 0
m) x2 x = 0n) x2 +
3x 3 = 0
n) (p+ 2)2 + 7(p+ 2) + 12 = 0
o)(
mm+1
)2+ 2mm+1 = 8
p) r12 4r
14 + 4 = 0
24. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen
solucion.
a)y + 1 =
y
b)z 1 = z + 1
-
20 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
c) x+1x1 + 4 =4x2
x21 +x1x+1
25. Resolver los siguientes problemas.
a) El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho.
Si el largo se aumenta en40m y el ancho en 6m, el area se duplica.
Encontrar las dimensiones del rectangulo.
b) Dos grifos llenan un tanque en 6 horas. Cuanto tiempo
necesitara cada grifo, parallenarlo solo, sabiendo que uno de ellos
tarda 5 horas mas que el otro?
c) Si $I se invierten a un interes compuesto del r% anual, al
final de dos anos el capitalsera C = I(1 + r)2. A que interes $100,
aumentara a $144 despues de dos anos?
d) Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25 por
ciento de alcohol. Cuantoslitros de alcohol deben anadirse para
obtener una mezcla que contenga el 50 por cientode alcohol?
e) Un objeto se dispara verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 20 ms .La distancia s, medida en metros, del
objeto al suelo despues de t segundos es s =4.9t2 + 20t.1) Cuando
estara el objeto por encima del suelo?
2) Cuando llegara al suelo?
3) Llegara el objeto a 100m de altura?
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 21
5. Funciones
El concepto matematico de funcion expresa la idea intuitiva
acerca de una cantidad (variableindependiente, valor de entrada)
que determina por completo a otra cantidad (variable depen-diente,
valor de salida). Una funcion asigna a cada valor de entrada un
unico valor de salida.Este tipo especial de relacion lo podemos
encontrar en diversas situaciones de la vida diaria comopor ejemplo
en un supermercado, cuando a cada producto (variable independiente)
se le asigna sucosto (variable dependiente).
Las funciones estan presentes en toda la matematica y son
esenciales para la formulacion derelaciones fsicas que surgen en
las ciencias naturales. Pero, como se llego a esto?
Como termino matematico, el concepto de funcion fue acunado por
Leibniz en una carta escritaen 1673 en la que relacionaba una
cantidad a una curva. Las funciones consideradas por
Leibniz,actualmente se conocen como funciones diferenciables. En
1718 J. Bernoulli considero una funcioncomo una expresion
constituida de variables y constantes, y Leonar Euler a mediados
del sigloXVIII utilizo la palabra funcion para describir una
expresion o formula que involucrara variables,constantes y
operaciones matematicas que las relacionara. A finales del siglo
XIX se inicio unproceso de formalizacion en las matematicas por
medio del concepto de conjunto y se atribuye almatematico aleman
Johann Gustav Dirichlet (figura ??), la introduccion de la nocion
moderna delconcepto de funcion.
Las funciones generalizan la nocion comun de formula matematica.
Por medio de funciones seestablecen relaciones especiales entre
elementos de conjuntos. Una funcion asocia a cada elementox de un
conjunto, un unico elemento f(x) de otro conjunto. Esto puede
realizarse por medio deuna formula, un diagrama de flechas, una
regla de asociacion, una tabla de datos, etc.
x
xf )(
f
Los cientficios e ingenieros utilizan modelos matematicos con el
ob-jetivo de comprender y explicar fenomenos y procesos que se
presentanen el mundo real. Un modelo matematico es una descripcion
matematicade un sistema. Los modelos matematicos emplean un tipo de
formulis-mo matematico para expresar relaciones entre variables,
parametros yentidades.
Las relaciones que se plantean en un modelo matematico se
enun-cian por medio de funciones. La idea de funcion que mas
adelante en laseccion (5.2) te presentaremos en detalle, la podemos
ilustrar esquemati-camente como se muestra en la figura: la funcion
f la podemos considerar como una maquinaen la cual un objeto x de
un conjunto X es transformado en un objeto f(x) de un conjunto Y
.
Antes de iniciar el estudio de las funciones, presentaremos
algunas ideas relacionadas con lasdesigualdades que son utilies
para hallar el dominio de algunas funciones particulares y con
lainformacion que por medio de graficas una ecuacion nos puede
proporcionar.
5.1. Desigualdades
Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o
expresiones no son necesariamenteiguales. Como ejemplos podemos
citar x < 2, a b+ c, 3x2 x+ 5 > 0, etc.
Al sustituir las variables de una desigualdad por numeros
podemos obtener expresiones verda-deras o falsas. Por ejemplo, al
sustituir x = 2 en 4x 1 > 0 obtenemos la proposicion verdadera7
> 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemos la proposicion
falsa 1 > 0.
Si al sustituir un numero en una desigualdad obtenemos una
proposicion verdadera, se dice quedicho numero es una solucion de
la desigualdad. Resolver una desigualdad signfica encontrartodas
sus soluciones.
Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x2 <
0 no posee soluciones realesporque todo numero real al cuadrado es
mayor o igual a cero. Otras desigualdades como 1 < x <
3poseen infinitas soluciones, a saber, todo numero real x entre 1 y
3. Al conjunto formado por todaslas soluciones de esta desigualdad
lo denotamos por (1, 3) y se le denomina intervalo abierto.
Si a y b son numeros reales tales que a < b, los siguientes
son otros posibles tipos de intervalos:
-
22 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
(a, b) = {x R : a < x < b}.[a, b] = {x R : a x b}.[a, b) =
{x R : a x < b}.(a, b] = {x R : a < x b}.(a,) = {x R : x >
a}.
[a,) = {x R : x a}.
(, b) = {x R :< x < b}.
(, b] = {x R :< x b}.
(,) = {x : < x a+ b.c > 0 y a < b = ac < bc.c < 0
y a < b = ac > bc.
a > 0 = 1a> 0.
a < 0 = 1a< 0.
Ejemplo 5.1. Resuelva la desigualdad
x2 x 61 x 0 .
Solucion:
Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a
(x+ 2)(x 3)(1 x) 0 .
La imagen presentada a continuacion muestra como cambian los
signos para cada una de lasexpresiones que componen la
fraccion.
La solucion esta dada por el conjunto
(,2] (1, 3]Recordemos que el valor absoluto de un numero real x
esta dado por
|x| ={
x si x 0x si x < 0
Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las
desigualdades.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 23
Proposicion 5.2 (Desigualdades con valor absoluto).
|x| a a < x < a
|x| a x a o x a
Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de
desigualdades con valor absoluto.
Ejemplo 5.2. Encuentre los valores de x que satisfacenx+ 4x 2
< 2 (33)
Solucion:
La primera propiedad de la proposicion (5.2) nos permite
escribir (33) como
2 < x+ 4x 2 < 2
que equivale a
2 < x+ 4x 2 y
x+ 4
x 2 < 2
y resolvemos cada una de estas desigualdades con el metodo
grafico mostrado en el ejemplo anterior.La solucion total sera la
interseccion de las soluciones de cada una de las
desigualdades.
Para la primera desigualdad tenemos
0 < 2 +x+ 4
x 2 = 0 0 y verticalmente hacia abajo si k < 0.
x
y
a b
y = f(x)1
1
y = g(x)
12
y = h(x)
y = f(x)
a x b
y = g(x) = f(x) + 2
a x b
y = h(x) = f(x) 12
a x b
5.10. Traslaciones horizontales
Si h R, la grafica de y = f(xh) es igual a la grafica de y =
f(x) trasladada horizontalmentea la derecha si h > 0 y
horizontalmente a la izquierda si h < 0.
x
y
a b
y = f(x)
1
1
y = g(x)y = h(x)
y = f(x)
a x b
y = g(x) = f(x 3
2
)a x 3
2 b
a+ 32
x b+ 32
y = h(x) = f(x+ 3
2
)a x+ 3
2 b
a 32
x b 32
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 33
5.11. Alargamientos y encogimientos verticales
Si a R, la grafica de y = af(x) es igual a la grafica de y =
f(x) alargada verticalmente sia > 1 y encogida verticalmente si
0 < a < 1.
x
y
a b
y = f(x)
y = g(x)
y = h(x)
y = f(x)
a x b
y = g(x) = 2f(x)
a x b
y = h(x) = 12f(x)
a x b
5.12. Alargamientos y encogimientos horizontales
Si c R, la grafica de y = f(cx) es igual a la grafica de y =
f(x) alargada horizontalmente si0 < c < 1 y encogida
horizontalmente si c > 1.
x
y
a b
y = f(x)
1
1
y = g(x)
y = h(x)
y = f(x)
a x b
y = g(x) = f (2 x)
a 2 x b12a x 12b
y = h(x) = f(1
2 x)
a 12 x b2a x 2b
-
34 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
5.13. Funciones inversas
1
2
3
a
bc
X Yf Dada una funcion f : X Y , estudiaremos el siguiente
problema: si
conocemos el valor de salida y Y , como determinar el valor
deentrada x X para el cual y = f(x)? La relacion que nos
permiteresponder a este interrogante se llama funcion inversa de f
y para poderladefinir, la funcion f debe cumplir ciertos requisitos
como lo muestra elejemplo de la figura.
El primer inconveniente que se presenta con esta funcion es que
para el valor de salida c Yno existe un valor de entrada x X para
el cual f(x) = c. La otra dificultad es que para elvalor de salida
b Y existen dos valores de entrada x = 2 y x = 3 para los cuales
f(x) = b.La primera dificultad se presenta porque f no es
sobreyectiva, la segunda porque f no es inyectiva.Para poder
definir la inversa de una funcion f necesitamos que esta sea
biunvoca.
Definicion 5.10 (Funcion inversa). Considera f : X Y biunvoca.
La funcion inversa de f ,denotada por f1, es la funcion f1 : Y X
definida por:
f1(y) = x y = f(x) (42)
Ejemplo 5.14. La funcion f : R R, dada por f(x) = 2x es biunvoca
y su inversa es la funcionf1 : R R, dada por f1(x) = 12x porque
y = f(x) = 2x x = 12y = f1(y)
En particular, f1(4) = 2 porque f(2) = 2 2 = 4.Observacion 8.
Considera f : X Y biunvoca.
1. f1 : Y X.2. Dominio de f1 = rango de f .
3. Rango de f1 = dominio de f .
Si nos dan una funcion f : X Y biunvoca, como determinar su
inversa?. El siguienteteorema nos puede resultar util para
verificar que una funcion g : Y X es la inversa de f .Teorema 5.5.
Considera una funcion f : X Y biunvoca. Una funcion g : Y X es la
inversade f si, y solo si se cumplen las dos siguientes
condiciones:
1. g(f(x)) = x para todo x X2. f(g(y)) = y para todo y YDel
teorema anterior se deduce que
Corolario 5.6. Si f : X Y es biunvoca, su inversa f1 : Y X
satisface1. f1(f(x)) = x para todo x X2. f(f1(y)) = y para todo y
Y
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Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 35
En terminos de la operacion composicion de funciones vista en el
taller 4, el corolario anteriorqueda
f1 f = f f1 = idonde i es la funcion identidad i(x) = x. En el
ejemplo (5.14), f(x) = 2x, f1(x) = 12x y
f1(f(x)) = f1(2x) =1
2 2x = x y f(f1(x)) = f(1
2x) = 2 1
2x = x
Los anteriores resultados nos proporcionan herramientas para
hallar la inversa de una funcionf : X Y en algunos casos (no
siempre es posible). A continuacion escribimos una serie de
pasosque nos pueden ayudar a encontrar la inversa de una
funcion:
1. Comprueba que f es biunvoca.
2. Despeja x de la ecuacion y = f(x) en terminos de y para
obtener una ecuacion de la formax = f1(y).
3. Verifica las condiciones del corolario (5.6):
a) f1(f(x)) = x para todo x X b) f(f1(y)) = y para todo y Y
Ejemplo 5.15. Determinemos (si es posible) la inversa de la
funcion f(x) = 2x+ 1. La funcionf es biunvoca como demostramos en
el ejemplo (2.5) del Taller 4. Procedamos ahora a despejar xde y =
2x+ 1:
y = 2x+ 1 2x = y 1 x = y 12
.
Como x = f1(y), obtenemos
f1(y) =y 12
(43)
El smbolo y que denota a la variable independiente en (43) no
tiene importancia, lo podemoscambiar por x,z,a,b,. . .Como se
acostumbra denotar a la variable independiente con elsmbolo x, la
inversa la escribimos
f1(x) =x 12
Finalmente verificamos las condiciones del corolario (5.6):
f1(f(x)) = f1(2x+ 1)
=2x+ 1 1
2
=2x
2= x
f(f1(x)
)= f
(x 12
)
= 2 (x 12
)+ 1
= (x 1) + 1 = xEjemplo 5.16. En este ejemplo vamos a hallar la
inversa de la funcion f(x) = x2, x 0. Comof es biunvoca (por que?),
procedamos a despejar x de y = x2:
y = x2 = x = y = +y pues x es no-negativo.Como x = f1(y),
obtenemos
f1(y) =x
Continuando con la tradicion y cambiando el smbolo y por x
obtenemos
f1(x) =x
Finalmente verificamos las condiciones del corolario (5.6):
1. f1 (f(x)) = f1(x2)=x2 = |x| = x porque x 0.
2. f(f1(x)
)= f (
x) = (
x)
2= x.
-
36 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
6. Graficas de funciones inversas
En esta seccion estudiamos la relacion que existe entra la
grafica de una funcion f y la graficade su inversa f1.
Por la definicion (58) de funcion inversa
f1(b) = a b = f(a),
y por tanto el punto de coordenadas (a, b) perte-nece a la
grafica de f si, y solo si el punto (b, a)pertenece a la grafica de
f1. As, la grafica def1 es la misma que la de f excepto que los
rolesde los ejes x e y se cambian.
Observemos que los puntos (a, b) y (b, a) sonsimetricos respecto
a la recta y = x y por tantolas graficas de f y f1 son simetricas a
dicharecta.
f
f1
a b
b
a(b, a)
(a, b)
x
y
y=x
Ejemplo 6.1. A continuacion graficamos las funciones inversas de
los ejemplos (5.15) y (5.16)as como la inversa de f(x) = x3.
1
-1
-2
1-1-2
f
f1
y=x
Figura 12: f(x) = 2x+ 1
1
-1
-2
1-1-2
f
f1
Figura 13: f(x) = x2, x 0.
1
-1
-2
1-1-2
f
f1
Figura 14: f(x) = x3
6.1. Composicion de funciones e inversas
Teorema 6.1. Si f : X Y y g : Y X tienen inversas, entonces la
funcion compuestag f : X Y tambien tiene inversa y esta dada por (g
f)1 = f1 g1.
X Y X
g(f(x))
g
xf(x)
f
(g f)1 = f1 g1
Ejemplo 6.2. Consideremos las funciones f(x) = 1x y g(x) = x+ 1.
Entonces
h(x) = (g f) (x) = g(f(x)) = g(1
x
)=
1
x+ 1 = h1(x) = 1
x 1Por otra parte,
f1(x) =1
x, g1(x) = x 1 = (f1 g1)(x) = f1(g1(x)) = f1(x 1) = 1
x 1
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 37
7. Ejercicios
1. Determinar los siguientes conjuntos y graficar en la recta
real.
a) {x R : x > 3} {x R : x < 5}b) {x R : x < 2} {x R : x
> 7}c) {x R : x < 2} {x R : x > 7}d) ({x R : x < 10} {x
R : x < 2}) {x R : x 9}e) ({x R : x 10} {x R : x < 4}) {x R :
x 9}f ) ({x R : x 11} {x R : x 7}) ({x R : x 1} {x R : x <
14})
2. Encontrar el conjunto solucion de las siguientes
inecuaciones.
a) 3x 27 > 0b) 2(x 3) + 5 < 5 xc) x3 2d) 4 95x+ 32 68e) 24
23 (x 5) < 36f ) x34 1 > x2g) x 2 < 2x 3 < x+ 2h) x3
x22 x4 4i) 13x5 + x14 x127 x > ( 13x5 (2x+ 5))
3. Encontrar el conjunto solucion de las siguientes
inecuaciones.
a) x+2x3 < 0
b) x(x 1)2 > 0c) 2x2 18 > 0d) (3x 1)(4x+ 5) 0e)
x 2 < 2x+ 1
f ) x2 + x 20 < 0g) x2 8x+ 16 0h) x3 x2 > 0i) x(x 8) 10j )
x2 < 10 3xk) 3x2 2x+ 5 17l) x(x+5)x3 0
m) x4 + 36 13x2
n) 6x2 + x < 1
n) 10x > x2 + 25
o) x2254x2 0
p) 7xx2 16 0
q) x+1x+3 2r) 32x+3 0t) |3x 7| 5u) 13 |6 5x|+ 2 1v) 2| 11 7x| 2
< 10w)
2x+53
< 1x ) 2|2x+3| 5y) 2 < |2x 1| 3
4. Demuestre que x2 + bx+ c 0, sic =
(b2
)2con (b, c, x R)
5. Si a, b y c > 0 y a+ b+ c = 1, demostrar que:
(1
a 1)(1
b 1)(1
c 1) 8.
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38 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
6. Si f(x) = x2 x 4, encuentre f(2), f(0) y f(4).7. Si f(x) = x3
x2 + 3, encuentre f(3), f(0) y f(2).8. Si f(x) =
x 2 + 3x, encuentre f(3), f(6) y f(11).
9. Si f(x) = xx3 , encuentre f(2), f(0) y f(3).10. Encuentre el
dominio de las siguientes funciones.
a) f(x) =16 x2
b) f(x) = x+1x39x
c) f(x) = 4x6x2+13x5
d) f(x) =2x5
x25x+4
e) f(x) =4x3x2
f ) f(x) = 1(x3)x+3
g) f(x) =
x
x+23x2x
h) f(x) =x 22x+ 1
i) f(x) =x+ 3 +
3 x
j ) f(x) =(x 2)(x 6)
11. Si a y h son numero reales, encuentre para las funciones del
numeral anterior.
a. f(a)
b. f(a)c. f(a)
d. f(a+ h)
e. f(a) + f(h)
f. f(a+h)f(a)h
12. Una empresa constructora esta tratando de decidir cual de
dos modelos de grua comprar.El modelo A cuesta $100000 y requiere
$8000 por ano para su mantenimiento. El modelo Btiene un costo
inicial de $80000 y su mantenimiento cuesta $11000 por ano. Durante
cuantosanos debe usarse el modelo A antes de que sea mas economico
que B?
13. De una pieza rectangular de carton que tiene dimensiones de
20cm y 30cm, se ha de construiruna caja abierta al cortar una
cuadrado identico de area x2 de cada esquina y voltear haciaarriba
los lados. Exprese el volumen V en funcion de x.
14. Para ninos entre 6 y 10 anos, la estatura y (en pulgadas) es
frecuantemente una funcion linealde la edad t en anos. La estatura
de cierto nino es de 48 pulgadas a los 6 anos de edad y
50.0pulgadas a los 7.
a. Exprese y como funcion de t.
b. Trace la recta del inciso (a) e interprete la pendiente.
c. Prediga la estatura del nino a la edad de 10 anos.
15. Un tanque de acero parangas propano se va a construir en
forma de cilindro circular recto de10 pies de altura, con una
semiesfera unida a cada extremo. El radio r esta por
determinarse.Exprese el volumen V (en pies3) del tanque como
funcion de r ( en pies).
16. Trace la grafica de las siguientes funciones lineales
a. y = x+ 3
b. y = x+ 1
c. y = x+ 1
d. y = 2x 1e. y = 2x+ 3f. y = 12x+ 3
17. Encuentre la ecuacion de la recta que satisface las
siguientes condiciones
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Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 39
a. A(1, 4); pendiente 25b. A(4,5); que pase por B(3, 6)c. A(1,
6); interseccion con el eje x en 5d. A(3,1); paralelo a la recta 5x
2y = 4e. A(7,3); perpendicular a la recta 2x 5x = 8f. Interseccion
con eje x en 6, interseccion con el eje y en 1
18. Encuentrar las forma general de na ecuacion para la
medistriz del segmento AB
a. A(3,1), B(2, 6)b. A(4, 2), B(2,6)
19. La salinidad del oceano se refiere a la cantidad de material
disuelto encontrado en una muestrade agua de mar. La salinidad S se
puede estimar a partir de la cantidad C de cloruro en aguade mar
usando S = 0.03 + 1.805C, donde S y C son medidos por peso en
partes por millon.Aproxime C si S es 0.35.
20. Un estudiante universitario recibe un prestamo sin intereses
de $8250 de un familiar. Elestudiante pagara $125 al mes hasta
pagar la deuda.
a. Exprese la cantidad P (en dolares) pendiente de pago en
terminos del tiempo t(en meses).
b. Despues de cuantos meses el estudiante debera $5000?
c. Trace en el plano tP , una grafica que muestre la relacion
entre P y t para la duraciondel prestamo.
21. El propietario de una franquicia de helados debe pagar a la
casa matriz $1000 por mes mas5% de los ingresos mensuales R. El
costo de operacion de la franquicia incluye un costofijo de $2600
por mes por conceptos como utilidades y mano de obra. El costo de
helados yabasecimientos se 50% del ingreso.
a. Exprese el gasto mensual E del propietario en terminos de
R.
b. Exprese la utilidad mensual P en terminos de R.
c. Determine el ingreso mensual necesario para no perder ni
ganar.
22. (a) Exprese f(x) en la forma a(x h)2 + k. (b) Use la formula
cuadratica para hallar losceros de f . (c) Encuentre el valor
maximo o mnimo de f(x). (d) Trace la grafica.
a. f(x) = x2 6xb. f(x) = x2 6xc. f(x) = 12x2 + 11x+ 15d. f(x) =
6x2 + 7x 24e. f(x) = 9x2 + 24x+ 16
f. f(x) = 4x2 + 4x 1g. f(x) = x2 + 4 + 9
h. f(x) = 3x2 6x 6i. f(x) = 2x2 + 16x 26j. f(x) = 2x2 4x 11
23. Encuentre la ecuacion estandar de una parabola que tiene las
siguientes caractersticas.
a. Vertice (0,2), que pasa por (3, 25).b. Vertice (3, 1),
intersecta en 0 el eje x.
c. Vertice (4,7), intersecta en 4 el eje y.d. Intersecta el eje
x en 3 y 5, el punto mas alto tiene coordenada y en 4.e. Intersecta
el eje x en 8 y 0, el punto mas bajo tiene coordenada en y en
48.
-
40 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
24. Una compana vende zapatos deportivos a distribuidores a
razon de $40 elpar si su pedidoes de menos de menos de 50 pares. Si
un distribuidor solicita 50 0 mas pares (hasta 600), elprecio por
par se reduce a razon de 4 centavos por el numero pedido. De que
cantidad debeser el pedido para producir la maxima cantidad de
dinero para la compana?
25. Una empresa de television por cable actualmente presta
servicio a 8000 familias y cobra $50por mas. una encuesta de
marketing indica que cada reduccion de $5 en el cobro
mensualresultara en 1000 nuevos clientes. Con R(x) denote el
ingreso mensual total cuando el cobromensual es de x dolares.
a. Determine la funcion de ingreso R.
b. Trace la grafica de R y encuentre el valor de x que resulte
en el maximo ingreso mensual.
26. Encuentre dos numeros reales positivos cuya suma sea 40 y
cuyo producto sea un maximo.Encuentre dos numeros reales positivos
cuya diferencia sea 60 y cuyo producto sea un mnimo.
27. Un objeto es proyectado verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de v0ft/s ysu distancia s(t) en pies sobre el
suelo despues de t segundos esta dada por la formulas(t) = 16t2 +
v0ta. Si el objeto choca contra el suelo despues de 12 segundos,
encuentre su velocidad inicial
v0.
b. Encuentre su distancia maxima sobre el suelo.
28. Encontrar (f + g)(x), (f g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x) y su
respectivo dominio y rango, si f yg estan dados por:
a. f(x) = x2 + 2, g(x) = 2x2 1b. f(x) =
x+ 5, g(x) =
x+ 5
c. f(x) = 2xx4 , g(x) =x+ 3
d. f(x) = xx2 , g(x) =7xx+4
e. f(x) = x2 4, g(x) = 3xf. f(x) =
x2 4x, g(x) = 2x5x
29. Encontrar (a) (f g)(x), y su dominio y rango. (b) (g f)(x),
y su dominio y rango, si fy g estan dados por:
a. f(x) = |x|, g(x) = 7x2b. f(x) = x2 3x, g(x) = x+ 2c. f(x)
=
x 2, g(x) = x+ 5
d. f(x) = x3 + 5, g(x) = 3x 5
e. f(x) = x2, g(x) = 1x3
f. f(x) = x+2x1 , g(x) =x5x+4
30. Resuelva la ecuacion (f g)(x) = 0.
a. f(x) = x2 2, g(x) = x+ 3b. f(x) = x2 x 2, g(x) = 2x 5
c. f(x) =x 3, g(x) = 2x14x7
31. Determinar si f es par, impar o ninguna de estas y realizar
la grafica correspondiente.
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Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 41
a) f(x) = 5x3 + 2x
b) f(x) = |x| 8c) f(x) = 5x4 + x2 1d) f(x) = 5x7 + 9x5
e) f(x) = 7x3 4x2f ) f(x) = 3
11
g) f(x) =7x2 + 7
h) f(x) = 4x2 4x+ 9i) f(x) = 3
x5 x
j ) f(x) = x3 1xk) f(x) = |x 2|l) f(x) = x+ 3
32. Trace, en el mismo plano cartesiano, las graficas de g para
los valores dados de k (Haga usode simetra, desplazamiento,
elongacion, compresion y elongacion). Verifique sus
resultadosgraficando en http://graph.tk/.
a) f(x) = |x|+ k; k = 3, 1, 3b) f(x) = |x k|; k = 3, 1, 3c) f(x)
= 2
x+ k; k = 3, 0, 2
d) f(x) =9 x2 + k; k = 3, 0, 2
e) f(x) = 12x c; k = 3, 0, 4
f ) f(x) = 15 (x c)2; k = 3, 0, 4g) f(x) = (x+ k)3; k = 2, 1,
2h) f(x) = kx3 + 1; k = 1, 1, 4i) f(x) =
kx 1; k = 1, 19 , 4
j ) f(x) = 16 (kx)2; k = 1, 12 , 4k) f(x) = x k ; k = 2, 12 ,
4l) f(x) = 25 x+ k; k = 3, 56 , 5
33. Trace la grafica de las siguientes funciones por tramos.
a) f(x) =
{3 si x 12 si x > 1
b) f(x) =
3 si x < 2x+ 1 si |x| 24 si x > 2
c) f(x) =
x+ 2 si x 1x3 si |x| < 1
x+ 3 si x 1
d) f(x) =
x 3 si x 2x2 si 2 < x < 1x+ 4 si x 1
34. Un corral se compone de cinco rectangulos congruentes, como
se muestra en la siguente figura:
a. Exprese la longitud y en funcion de la longitud x.
b. Si los lados tienen un costo de $10 por pie lineal, exprese
el costo C del corral en funcionde la longitud x
35. Suponga que le costo de conducir un automovil es una funcion
lineal del numero x de millasrecorridas y que la gasolina cuesta $3
por galon. Cierto automovil actualmente rinde 40 millaspor galon y
una afinacion que mejorara el 10% de su rendimiento cuesta
$120.
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42 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
a. Exprese el costo C1 de conducir sin una afinacion en terminos
de x.
b. Exprese el costo C2 de conducir con una afinacion en terminos
de x.
c. Cuantas millas debe recorrer el auto movil despues de
afinarlo para que le costo de laafinacion se justifique?
36. El punto de congelacion del agua es de 0oC o 32oF , y el
punto de ebullicion es de 100oCo 212oF
a. Exprese la temperatura Fahrenheit F como una funcion lineal
de la temperatura CelciusC.
b. Que aumento de temperatura en grados F corresponde a un
aumento en la temperaturade 1oC ?
37. Hace seis anos, una casa fue comprada en $179000. Este ano
fue valorada en $215000. Supongaque el valor V de la casa es una
funcion lineal del tiempo t(anos).
a. Exprese V en terminos de t.
b. Cuantos anos despues de la fecha de compra la casa vala
$193000?
38. Determine si la funcion f es biunvoca.
a. f(x) = 2x+ 5
b. f(x) = 1x2c. f(x) = x2 5d. f(x) = x2 + 3
e. f(x) =x
f. f(x) = 3x
g. f(x) = |x|h. f(x) = 3
i. f(x) =4 x2
l. f(x) = 2x3 4k. f(x) = 1x
l. f(x) = 1x2
39. Use el teorema sobre funciones inversas para demostrar que f
y g son funciones inversas unade la otra, y trace las graficas de f
y g en el mismo plano coordenado.
a. f(x) = 3x 2, g(x) = x+23b. f(x) = x2 + 5, x 0; g(x) = x 5, x
5c. f(x) = x2 + 3, x 0; g(x) = 3 x, x 3c. f(x) = x3 4; g(x) = 3x+
4
40. Encuentre la funcion inversa de f .
a. f(x) = 7 2xb. f(x) = 1x+3
c. f(x) = 4xx2d. f(x) = 5x2 + 3, x 0e. f(x) = x3 + 2
f. f(x) =x+ 4
g. f(x) = 3x 4
h. f(x) = (x3 + 1)5 + 3
i. 9 x2, 3 x 0j. x2 4x+ 3, x 2
41. La ventilacion es una forma eficiente de mejorar la calidad
del aire en interiores. En restau-rantes donde no se permite fumar,
las necesidades de circulacion de aire (en ft3/min) estandadas por
la funcion V (x) = 35x, donde x es el numero de personas en el area
de comedor.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 43
a. Determine las necesidades de ventilacion para 23
personas.
b. Encientre V 1(x). Explique el significado de V 1.
c. Use V 1, para determinar el numero maximo de personas que
deben estar en un res-taurante que tenga capacidad de ventilacion
de 2350ft3/min
-
44 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
8. Funcion exponencial
En el primer modulo vimos que. . .
Para todo a R y todo entero positivo n,
1. an = a a a n veces
. 2. a0 = 1, si a 6= 0. 3. an = 1an .
Para exponentes racionales vimos que. . .
Para todo a R y todo par de enteros positivos m y n, con n 2
para el cual na existe,
1. a1/n = na. 2. am/n = n
am = ( n
a)
m. 3. am/n = 1
am/n.
Por lo anterior, sabemos lo que significa la expresion ax cuando
el exponente es un numeroracional x = m/n, pero que significa la
expresion ax cuando x no es racional? Por ejemplo,
sabemos que no existen enteros m,n tales que2 = mn . Que
significa entonces 2
2? Una manera
de responder a esta pregunta es aproximando2 = 1.414213562373 .
. . por medio de numeros
racionales:21.4, 21.41, 21.414, 21.4142, 21.41421, 21.414213, .
. . (44)
A medida que el exponente racional x se aproxima a2, la
expresion 2x se aproxima a 2
2 (ver
ejercicio (??)):
2x 22 cuando x
2. (45)
Realizaremos una tabla de valores para graficar y = 2x con
algunos cuantos valores racionalesy utilizaremos la idea de
aproximacion expuesta en (45) para bosquejar la grafica de f(x) =
2x
con x R (no solo racional). A esta funcion se le llama funcion
exponencial de base 2.
x f(x) = 2x
-10 210 = 11024 0.0009-3 23 = 18 = 0.125
-2 22 = 14 = 0.25
-1 21 = 12 = 0.5
0 20 = 1
1 21 = 2
2 22 = 4
3 23 = 8
10 210 = 1024
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3-1-2-3-4-5
b
b
b
b
b
b
b
x
y
(-3,1/8) (-2,1/4)(-1,1/2) (0,1)
(1,2)
(2,4)
(3,8)
Observacion 9. Notemos que a medida que x crece (x ), los
valores de la funcion y = 2xse incrementan arbitrariamente (y ).
Por otra parte, a medida que x decrece (x ), losvalores de la
funcion decrecen hasta volverse casi cero (y 0). En este caso se
dice que el eje x,es decir la recta y = 0, es una asntota
horizontal.
Consideremos ahora la funcion exponencial g(x) =(12
)xde base 12 . Realizaremos el mismo
procedimiento empleado para la funcion exponencial de base
2.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 45
x g(x) =(12
)x-10
(12
)10= 1024
-3(12
)3= 8
-2(12
)2= 4
-1(12
)1= 2
0(12
)0= 1
1(12
)1= 12
2(12
)2= 14
3(12
)3= 18
10(12
)10= 11024
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3-1-2-3-4-5
b
b
b
b
b
b
b x
y
(3,1/8)(2,1/4)(1,1/2)
(0,1)
(-1,2)
(-2,4)
(-3,8)
Observacion 10. Notemos que a medida que x aumenta (x ), los
valores de la funciony = 2x decrecen hasta volverse casi cero (y
0). A medida que x decrece (x ), los valoresde la funcion y =
(12
)xaumentan arbitrariamente (y ). En este caso el eje x, la recta
y = 0,
es una asntota horizontal.
Definicion 8.1 (Funcion exponencial de base a). La funcion f : R
R+ dada por f(x) = axcon 0 < a < 1 o a > 1 se denomina
funcion exponencial de base a.
Observacion 11. .
1. En la definicion de funcion exponencial, requerimos que la
base a sea un numero positivopara evitar que surgan races de
numeros enteros negativos, por ejemplo (1)1/2.
2. Excluimos que la base sea a = 1 pues en ese caso f(x) = 1x =
1 no tiene inversa por no serinyectiva y necesitamos que la funcion
exponencial sea biyectiva, pues su inversa nos va apermitir definir
funciones logartmicas mas adelante.
3. El rango de la funcion exponencial es R+ por lo cual f(x) =
ax > 0 para todo x R. Esdecir, la funcion exponencial nunca se
anula o toma valores negativos.
4. Si a > 1, la grafica de f(x) = ax crece a medida que x
aumenta. Se dice que la funcioncrece exponencialmente.
5. Si 0 < a < 1, la grafica de f(x) = ax decrece a medida
que x aumenta. Se dice que lafuncion decae exponencialmente.
6. El eje x es una asntota horizontal de la funcion exponencial:
la grafica se acerca al eje x amedida queda x crece (para 0 < a
< 1) o a medida que x decrece (para a > 1) pero nuncacruza el
eje x.
7. La funcion exponencial es biunvoca, en particualar:
ax1 = ax2 = x1 = x2.
8. Las propiedades estudiadas para exponentes racionales son
tambien validas para exponentesreales: para todo par x1, x2 R,
ax1 ax2 = ax1+x2 y ax1
ax2= ax1x2 .
-
46 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
Ejercicio 8.1. Resuelve la ecuacion 54x = 56x2.
Solucion. Por la inyectividad de la funcion exponencial f(x) =
5x tenemos que
54x = 56x2 = 4x = 6x 2 = x = 1.
Ejercicio 8.2. Resuelve la ecuacion 25x = 42x+1.
Solucion. En este caso, las expresiones que forman la ecuacion
no tienen la misma base y por tantono podemos aplicar la
inyectividad inicialmente.
25x = 42x+1
25x =(22)2x+1
25x = 24x+2
5x = 4x+ 2
x = 2.
Ejercicio 8.3 (Crecimiento poblacional). En un cultivo de
bacterias se observa que el numerode bacteras se duplica cada da.
Si inicialmente haban 1000 bacterias, al octavo da cuantasbacterias
habran?
Solucion. La poblacion de bacterias del problema crece
exponencialmente como veremos a conti-nuacion. Supongamos que t es
el tiempo en das y f(t) el numero de bacterias observadas en el
dat. Entonces
f(0) = 1000 (inicio)
f(1) = 1000 2 (da 1)
f(2) = (1000 2) 2 = 1000 22 (da 2)
f(3) =(1000 22) 2 = 1000 23 (da 3)
......
f(t) = 1000 2t (da t)
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 t
f(t)
Al octavo da el numero de bacterias es
f(8) = 1000 28 = 256000.
Observacion 12. En general, si inicialmente haban A bacterias,
el numero de bacterias en el dat esta dado por
f(t) = A 2t
Este modelo no es muy realista, pues por limitaciones de espacio
y alimentos, una poblacion debacterias no crece de manera
exponencial siempre, sin embargo es un primer ejemplo que nos
puedeayudar a plantear modelos mas realistas.
A diferencia del ejemplo anterior, existen otros fenomenos
observados en la naturaleza dondelas cantidades estudiadas decrecen
exponencialmente con el tiempo.
Ejercicio 8.4 (Decaimiento radioactivo). El polonio 210Po es un
isotopo o sustancia radioactivainestable que se va desintegrando a
medida que transcurre el tiempo. La vida media del polonioes de 140
das, es decir, cada 140 das, la cantidad de polonio que haba se
reduce a la mitad.Si inicialmente la cantidad de polonio es de N
miligramos, cual es la cantidad de polonio en eltiempo t?
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 47
Solucion. Suponiendo que t es el tiempo en das y f(t) es la
cantidad de polonio que queda en elda t. Entonces
f(0) = N (inicio)
f(1 140) = N 12
(da 140)
f(2 140) =(N 1
2
) 12= N 1
22(da 280)
f(3 140) =(N 1
22
) 12= N 1
23(da 420)
......
f(t 140) = N 12t
(da t 140)0 1 2 3
0
1
0.25
0.50
0.75
1.00
1 2 3
t 140
f(t)
Al transcurrir t das, la cantidad de polonio que queda es
f(t) = N 12t/140
= N 2t/140
9. Funcion exponencial (natural)
La funcion exponencial natural es una funcion exponencial que
tiene como base a un numeroque es muy utilizado en matematicas.
Este numero se denotada con la letra e, es irracional y esconocido
como numero de Euler (no confunidr con la constante de Euler).
Definicion 9.1 (Numero e). El numero e se define como el valor
al que se aproxima la expresion(1 +
1
n
)n(46)
cuando n se hace arbitrariamente grande (n).
En el ejercicio (??) estudiaremos un problema de interes
compuesto cuya solucion conduce a laexpersion (46). Por ahora
consideremos la tabla dada a continuacion, en esta se muestra el
valoraproximado del numero e.
n 1n
1 +1
n
(1 +
1
n
)n1 1 2 2
2 0.5 1.5 2.25
5 0.2 1.2 2.48832
10 0.1 1.1 2.59374246
100 0.01 1.01 2.704813829
1000 0.001 1.001 2.716923932
10000 0.0001 1.0001 2.718145927
100000 0.00001 1.00001 2.718268237
1000000 0.000001 1.000001 2.718280369
1000000000 109 1 + 109 2.718281828
As, tenemos que e = 2.718281828459 . . . Observemos que 2 < e
< 3.
-
48 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
Definicion 9.2 (Funcion exponencial natural). La funcion
exponencial natural es la funcionexponencial de base e =
2.718281828459 . . .
f(x) = ex (47)
para todo x R.
Observacion 13. .
1. La funcion exponencial es biunvoca:
ex1 = ex2 = x1 = x2.
2. e0 = 1.
3. ex1 ex2 = ex1+x2 .4. e
x1
ex2 = ex1x2 .
1
2
3
4
5
6
7
-1
1 2-1-2-3x
y
f(x) = ex
Ejercicio 9.1.
Utilice la grafica de la funcion exponencial f(x) = ex para
graficar:
1. f(x) = ex 2. f(x) = ex2 3. f(x) = ex 3 4. f(x) = 5 ex
Solucion. .
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3 4-1-2-3-4x
y
Figura 15: f(x) = ex
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3 4-1-2-3-4x
y
Figura 16: f(x) = ex2
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3 4-1-2-3-4x
y
Figura 17: f(x) = ex 3
La grafica de la figura 15 se obtuvo de reflejar la grafica de y
= ex respecto al eje y. La graficade la figura 16 se obtuvo al
desplazar horizontalmente 2 unidades hacia la derecha la grafica
dey = ex. Finalmente, la grafica de la figura 17 se obtuvo al
desplazar verticalmente 3 unidades haciaabajo la grafica de y =
ex.
10. Funcion logartmicas
En el Taller 10 estudiamos la funcion exponencial de base a dada
por dada por f(x) = ax con0 < a < 1 o a > 1. Entre las
propiedades estudiadas vimos:
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 49
1. f : R R+
2. Si a > 1, f(x) = ax crece a medida que xaumenta. Se dice
que la funcion crece exponen-cialmente.
3. Si 0 < a < 1, la grafica de g(x) = ax decrecea medida
que x aumenta. Se dice que la funciondecae exponencialmente.
4. La funcion exponencial es biunvoca, en parti-cualar:
ax1 = ax2 = x1 = x2.
1
2
3
-1
1 2 3-1-2-3
y = f(x)
y = g(x)
x
y
Figura 18: f(x) = ax con a > 1 yg(x) = ax con a < 1.
Por ser biunvoca, la funcion exponencial de base a, f(x) = ax
con 0 < a < 1 o a > 1 poseeinversa y esta es precisamente
la funcion que estudiaremos en esta clase.
Definicion 10.1 (Funcion logartmica). La funcion logartimica de
base a, con a > 0 y a 6= 1,es la funcion inversa de la funcion
exponencial de base a, se denota por y = loga x y satisface
y = loga x x = ay (48)
para todo x > 0 y todo numero real y.
Ejemplo 10.1. .
1. log2 8 = 3 porque 23 = 8
2. log6 1 = 0 porque 60 = 1
3. log9 3 =12 porque 9
1/2 = 3
4. log10 0 no existe porque . . . ?
Ejercicio 10.1. Resuelva la ecuacion log3(x 4) = 2.
Solucion.
log3(x 4) = 2 = x 4 = 32 = x = 13.
Observacion 14. .
1. La base a de la funcion logaritmo y = loga(x) debe ser
positiva y diferente de 1 (a > 0 ya 6= 1).
2. El dominio de la funcion logaritmo es R+ y por esto loga(x)
no esta definido para x 0.
3. El rango de la funcion logaritmo es R.
4. La funcion exponencial es biunvoca, en particualar
inyectiva:
loga(x1) = loga(x2) = x1 = x2.
10.1. Propiedades de las funciones logartmicas
Por la definicion de funcion inversa, f1(b) = a b = f(a), y por
tanto el punto (x0, y0)pertenece a la grafica de f(x) = ax si, y
solo si, el punto (y0, x0) pertenece a la grafica de f
1(x) =loga x. As, la grafica de f
1 es la misma que la de f excepto que los roles de los ejes x e
y secambian.
-
50 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
1
2
3
4
-1
1 2 3 4-1
y = loga x
y = ax
x
y
(a) y = loga x con a > 1.
1
2
3
4
-1
1 2 3 4-1-2
y = loga x
y = ax
x
y
(b) y = loga x con a < 1.
Figura 19
Observacion 15. Observemos que los puntos (x0, y0) y (y0, x0)
son simetricos respecto a la rectay = x y por tanto las graficas de
y = ax e y = loga(x) son simetricas a dicha recta.
Teorema 10.1 (Propiedades). Sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1
> 0 y x2 > 0; entonces:
loga 1 = 0 (pues a0 = 1)
loga a = 1 (pues a1 = a)
loga ax = x
(pues f(f1(x) = x))
aloga x = x(pues f1(f(x)) = x)
loga(x1x2) = loga x1 + loga x2
logax1x2
= loga x1 loga x2
loga xb = b loga x
loga x =logc x
logc a, con c > 0, c 6= 1
Observacion 16. Dos casos particulares de uso frecuente para la
funcion logartimo de base a sepresentan cuando la base es el numero
a = e y cuando la base es el numero a = 10.
Definicion 10.2 (Funcion logaritmo natural). La funcion
logartimica f(x) = loge x que tienecomo base al numero de Euler e,
se denomina funcion logaritmo natural y se denota por ln:
y = lnx x = ey (49)
para todo x > 0 y todo numero real y.
Definicion 10.3 (Funcion logaritmo natural). La funcion
logartimica f(x) = log10 x que tienecomo base al numero 10, se
denomina funcion logaritmo comun y se denota por log:
y = log x x = 10y (50)
para todo x > 0 y todo numero real y.
10.2. Ecuaciones exponenciales y logartmicas
En los siguientes ejemplos aplicamos las propiedades de los
logaritmos y de las funciones expo-nenciales.
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 51
Ejercicio 10.2. Encuentra las soluciones de las siguientes
ecuaciones.
1. 3x+1 = 81 2. 2x = 6 3. 3x+4 = 213x.
42. 4x 2x 12 = 0. 43. log x+ log(x+ 15) = 2. 44. log3 x+ log4 x
= 4.
Solucion. .
1. . 3x+1 = 81
3x+1 = 34
x+ 1 = 4
x = 3
2. . 2x = 6
ln 2x = ln 6
x ln 2 = ln 6
x =ln 6
ln 2 2.5850
42. . 3x+4 = 213x
ln(3x+4) = ln(213x)
(x+ 4) ln 3 = (1 3x) ln 2x ln 3 + 3x ln 2 = ln 2 4 ln 3x[ln 3 +
3 ln 2] = ln 2 4 ln 3
x =ln 2 4 ln 33 ln 2 + ln 3
1.1646
43. . 4x 2x 12 = 0
(22)x 2x 12 = 0(2x)2 (2x) 12 = 0(2x 4)(2x + 3) = 0.
Luego, 2x 4 = 0 o 2x + 3 = 0, es decir2x = 4 o 2x = 3 pero como
2x > 0, en-tonces solo consideramos 2x = 4 y la unicasolucion
posible es x = 2.
42. . log x+ log(x+ 15) = 2
log[x(x+ 15)] = 2
10log[x(x+15)] = 102
x(x+ 15) = 100
x2 + 15x 100 = 0(x+ 20)(x 5) = 0.
As, las soluciones son x = 20 o x = 5pero como en la ecuacion
inicial se tiene laexpresion log x, entonces x > 0; luego,
launica solucion posible es x = 5.
43. . log3 x+ log4 x = 4
lnx
ln 3+
lnx
ln 4= 4
lnx
[1
ln 3+
1
ln 4
]= 4
lnx =4[
1
ln 3+ 1
ln 4
] = 2.4516 . . .x = e2.4516...
x 11.6069
Ejercicio 10.3. La altura h (en pies) de un arbol de edad t (en
anos) esta dada por
h =120
1 + 200e0.2t(51)
1. Determina la altura del arbol a los 10 anos.
2. A que edad el arbol medira 50 pies?
Solucion. .
1. A los t = 10 anos, la altura aproximada del arbol es h =
120/(1 + 200e0.210
) 4.28 pies.
-
52 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
2. Cuando sustituitmos h = 50 en (51) obtenemos
50 =120
1 + 200e0.2t
50(1 + 200e0.2t
)= 120
5 + 1000e0.2t = 12
e0.2t =7
1000
0.2t = ln 71000
= 4.9618 . . .
t =4.9618 . . .
0.2
t 24.8 anos
Ejercicio 10.4 (Grafica de funcion logartmica usando
transformaciones). Determina el dominioy rango de la funcion f(x) =
ln(x 1) y utiliza la grafica de y = lnx para realizar la grafica
dey = f(x).
Solucion. . El dominio de f esta formado por todos los x R tales
que
x 1 > 0 x > 1.
La grafica de y = f(x) se obtiene al aplicar dos
transformaciones a la grafica de de y = lnx:
1
2
3
4
-1
1 2 3 4 x
y
(a) y = lnx.
1
2
3
4
-1
1 2 3 4 x
y
(b) y = ln(x 1).
1
2
3
4
-1
1 2 3 4 x
y
(c) y = ln(x 1).
Figura 20
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 53
La grafica de la figura (20b) se obtuvo al desplazar
horizontalmente 1 unidad hacia la derecha lagrafica de la figura
(23a). La grafica de la figura 23c se obtuvo al reflejar respecto
al eje x la graficade la figura (20b). Observemos que la recta x =
1 es una asntota vertical de f(x) = ln(x 1) yque el rango de f es
R.
-
54 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
11. Ejercicios
1. Trace la grafica de f :
a) f(x) =(25
)xb) f(x) = 5
(12
)x+ 3
c) f(x) = 3x + 9
d) f(x) = 2|x|
e) f(x) = 2(x+1)2
f ) f(x) = 3x 3x
2. Resuelva las siguientes ecuaciones para x :
a) 74x3 = 495x+6
b) 67x = 62x+1
c) 9x2
= 33x+2
d)(12
)8x= 2
e) 27x1 = 92x3
f ) 92x(13
)x+2= 27 (3x)2
g) 4x ( 12)3x = 8 (2x)2h) 10
x10x10x+10x =
13
i) Q = (1+S)n
1+(1+S)nx
j ) p = IR(I+R)x
(I+R)x1
k) abx
= (ab)x
l) 3x + 3x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 = 363
3. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) ex2
= e7x12
b) ex(x+ e) = 0
c) x2ex + 2xex = 0d) x3(4e4x) + 3x2e4x = 0
e) x2(2e2x) + 2xe2x + e2x + 2xe2x = 0
f ) (ex+ex)2(ex+ex)2
(ex+ex)2 = 0
4. Cambie a forma logartmica:
a) 57t = a+ba
b) (0, 7)t = 5, 3
c) 35 = 243
d) 32x = PFe) 95+2z = x
f ) e0,1t = x+ 2
5. Cambie a forma exponencial:
-
Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 55
a) log2m = 3x+ 4
b) logb 512 =32
c) log4 p = 5 xd) loga 343 =
34
6. Trace la grafica de f :
a) f(x) = log(x+ 10)
b) f(x) = ln |x 1|c) f(x) = ln(e+ x)
d) log 14x
7. Resuelva para x:
a) (x)x = (x)
x
b) log(7x12)log x = 2
c) A = P (1 + T )x
d)log x = log
x
e)3(100log x + 1) = 4(10log x)
f ) ln 12 ln(x 1) = ln(x 2)g) (0, 4)1+log
2 x = (6, 25)2log x3
h) 15log x +1
log x = 1
i) xlog x = 100x
j ) log x3 12log x = 5
k) log(x+1+1)
log 3x40 = 3
l) 8(9x) + 3(6x) 81(4x) = 0m) logx log x16 2 = log x64 2n)
log2(9
x1) = 2 + log3(3x1 + 1) +
log5(27x3)
8. Una suma I de dinero, se invierte a un interes compuesto a
una razon de r%. El capital Cal cabo de n anos o perodos viene dado
por C = I(1 + r)n.
a. Cuantos seran $1000 en 5 anos una razon igual a 6%?
b. Cual fue el interes compuesto?
c. Cuanto tiempo de requiere para que un cierto capital se
duplique si invierte a unarazon del 6% anual?
d. A que razon se debe colocar ciero capital para que se
duplique en 10 anos?
9. En ciertas condiciones, la presion atmosferica p (en
pulgadas) a una altitud de h pies esta dadapor p =
29e0.000034h.
a. Cual es la presion a una altitud de 40, 000pies?
b. Cual es la altura a una presion de 2312 pulgadas?
10. El modelo de Jenss es generalmente considerado como la
formula mas precisa para predecirla estatura de ninos de
preescolar. Si y es la estatura (en centmetros) y x es la edad
(enanos), entonces
y = 79.041 + 6.49x e3.2610.993x
para 1/4 x 6.Del calculo, la rapidez (en cm/ano) esta dada porR
= 6.39+0.993e3.2610.993x.Encontrar la estatura y rapidez de
crecimiento de un nino tpico de 1 ano de edad.
11. La relacion de Ehrenbergln(W ) = ln(2.4) + (1.84)h,
es una formula emprica que relaciona la estatura (en metros) con
el peso promedio W (enkilogramos) para ninos de 5 a 13 anos de
edad.
-
56 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
a. Exprese W como funcion de h que no contenga ln .
b. Estime el peso promedio de un nino de 8 anos de edad que mide
1.5 metros de estatura.
12. La energa E(x) de un electron despues de pasar por un
material de grosor x, esta dado porla ecuacion E(x) = E0e
x/x0 , donde E0 es la energa inicial y x0 es la longitud de onda
de laradiacion.
a. Exprese en terminos de E0, la energa de un electron despues
de pasar por un materialde grosor x0.
b. Exprese en terminos de x0, el grosor al que el electron
pierde el 99% de su energainicial.
13. Algunas instituciones de prestamos calculan el pago mensual
M sobre un prestamo de Ldolares a una tasa de interes r (expresada
como decimal) mediante la formula
M =Lrk
12(k 1) ,
donde k = [1 + (r/12)]12t y t es el numero de anos que el
prestamo esta en efecto.
a. Encuentre el pago mensual sobre una hipoteca de vivienda de
$250, 000 a 30 anos si latasa de interes es 8%.
b. Encuentre el interes total pagado en el prestamo del inciso
(a).
14. Si el interes se capitaliza continuamente a razon de 4% al
ano, aproxime el numero de anosnecesarios para que un deposito
inicial de $6000 crezca a $25000.
15. El crecimiento en altura de arboles se describe con
frecuancia con una ecuacion logstica.Suponga que la altura h (en
pies) de un arbol de edad t (en anos) es
h =120
1 + 200e0.2t,
.
a. Cual es la altura del arbol a los 10 anos de edad?.
b. A que edad tandra 50 pies de altura?.
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12. Polinomios
Definicion 12.1. Se dice que f es una funcion polinomial de
grado n, con coeficientes reales, si
f(x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0 con an 6= 0.
Ejemplo 12.1. .
1. f(x) = a0 con a0 6= 0 se conoce como la recta horizontal,
observe que el grado de f es 0.2. f(x) = a1x+ a0 corresponde a la
recta con pendiente a1 y el grado de f es 1.
3. f(x) = a1x2 + a1x+ a0 es una parabola con eje vertical, el
grado de f es 2.
Observacion 17. Todas las funciones polinomiales son funciones
continuas (no tienen cortes niinterrupciones).
12.1. Casos especiales
El comportamiento de la grafica de una funcion polinomial
dependera del grado de la funcion.Por ejemplo, para f(x) = axn
tendremos las siguiente s dependiendo que el grado n sea par o
impar.
Si n es un entero positivo impar (figura (21)), f es una funcion
impar y la grafica de f essimetrica con respecto al origen. Notemos
que conforme n aumenta, la grafica crece con masrapidez para x >
1.
Si n es un entero positivo par (figura (22)), f es una funcion
par y la grafica de f es simetricacon respecto al eje y. Observemos
que a medida que el exponente aumenta, la grafica se
aplanaalrededor del origen.
1
-1
1-1
f3
f5f7
y
x
Figura 21: f3(x) = x3, f5(x) = x
5, f7(x) =x7
1
-1
1-1
f2
f4
f6
y
x
Figura 22: f2(x) = x2, f4(x) = x
4, f6(x) =x6
12.2. Teorema del valor intermedio para funciones
polinomiales
Como la idea en esta seccion, es tratar de caracterizar las
funciones polinomiales, el siguienteresultado nos dice otra
propiedad importante de las mismas.
Teorema 12.1 (Teorema del valor intermedio). Si f es una funcion
polinomial y f(a) 6= f(b)para a < b, entonces f toma todo valor
entre f(a) y f(b) en el intervalo [a, b]. Es decir, si k
escualquier numero entre f(a) y f(b), por lo menos hay un numero c
entre a y b tal que f(c) = k,
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58 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia
Graficamente tenemos lo siguiente:
y
xa c b
f(a)
k
f(b)
y = k
Una consequencia del Teorema del valor intermedio es que si f(a)
y f(b) tienen signos contrarios(uno positivo y otro negativo), al
menos hay un numero c entre a y b tal que f(c) = 0, es decir,
ftiene un cero (o raz) en c.
b
b
y
xa c b
(a, f(a))
(b, f(b))
y = f(x)
b
b
y1
x1a c b
(a, f(a))
(b, f(b))
y1 = f(x1)
Ejemplo 12.2. La funcion f(x) = x4 + 3x3 2x + 1 tiene un cero
entre 2 y 3. Note que alsustituir x por 2 y 3, obtenemos que f(2) =
5 y f(3) = 5.
Ejemplo 12.3. Considera la funcion polinomial f(x) = x3 x2 12x y
encuentra los valores dex para los cuales f(x) > 0 y f(x) <
0. Ademas trazar la grafica de f .
SolucionNota que podemos factorizar a f(x) como
f(x) = x3 x2 12x= x(x2 x 12)= x(x+ 3)(x 4).
A partir de esta ecuacion vemos que los ceros, es decir los x
tales que f(x) = 0, son los puntos3, 0 y 4, as que estos puntos nos
dicen que podemos dividir el eje x en los intervalos (,3),(3, 0),
(0, 4) y (4,) y de la misma manera que en desigualdades podemos
resumir la situacioncon la siguiente tabla:
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f(x)intervalo
(,3) (3, 0) (0, 4) (4,)x + +
(x+ 3) + + +(x 4) +
Signo f(x) + +
Concluimos que f(x) > 0 en (3, 0) y (4,) y f(x) < 0 en
(,3) y (0, 4), lo cual representamosgraficamente como
y = x3 x2 12xy
x3 0 4
12.3. Propiedades de la division
Sean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor
de f(x), si f(x) es divisiblepor g(x).
Ejemplo 12.4. .
1. x4 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 9, entre x+ 3 y
entre x 3. (Producto notable)
2. x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 3x2 + 9.
(Producto notable)
3. 7x2 + 3x 10 es divisible entre x2 x+ 10. (Division
sintetica)
Teorema 12.2 (Algoritmo de la division para polinomios). Si f(x)
y p(x) son polinomios y sip(x) 6= 0, entonces existen polinomios
unicos q(x) y r(x) tales que
f(x) = p(x)q(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x).
El polinomio q(x) se conoce comoel cociente y el polinomio r(x) se
conoce como el residuo en la division de f(x) entre p(x).
A traves del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de
la division de polinomios.
Ejemplo 12.5. . Divide 3x4 + 2x3 x2 x 6 entre x2 + 1.
Solucion
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3x4 +2x3 x2 x 6 x2 + 13x4 3x2 3x2 + 2x 4
0 2x3 4x2 x 62x3 2x