UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso – Campus de Sinop - Departamento de Engenharia Civil - Notas de Aula CÁLCULO NUMÉRICO E-mail: [email protected]Página 1 Método Interativo de Gauss-Seidel Seja Sistema dado : O método interativo de Gauss-Seidel consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial , ,…, ; b) Calcule-se a sequência de aproximações , ,…, ... utilizando- se equações. Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios abaixo seja satisfeito Á â1 , número máximo de interações 25-03-11 Equações Algébricas Seja uma equação algébrica de grau nn 1: 1 ⋯10 Onde os coeficientes ai são números reais e 0 Teorema fundamental da Álgebra Uma equação algébrica de grau n tem exatamente raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo cm sua multiplicidade. Teorema- Se os coeficientes da equação algébrica (1) são reais complexas desta equação conjugados em pares, isto é se: 1 . Raiz de (1) de multiplicidade m, então o número 2 , também é uma raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade m. COROLÁRIO-Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no mínimo, uma raiz real. Método de Briott-Ruffini Sejam os polinômios: 1 ⋯10 1 ⋯21 Dividindo P(X) pelo binômino (x-c), obtém-se a igualdade. . Onde Q(x) é o polinômio quociente de grau n-1 e R é uma constate (resto) O resto da divisão de P(x) por (x-c) é o valor numérico de P(c): .
Notas de aula da disciplina de cálculo numérico professor Jean Lucas UNEMAT 2011/1
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Ls+ Li- Li+ Ls- a) 6,196 10 0,485 8 b) 12 -2,2 0,353 -0,50 c) 6 -26 0,5 -0,5 d) 15.35 - 0,722 -0,50 1/04/2011
Grau de Exatidão da Raiz.
Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b], passa-se a calculá-la através e métodos numéricos.
Estes métodos devem fornecer uma sequência {xi} de aproximação, cujo limite é a raiz exata ᶓ.
Teorema: Seja ᶓ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equação b��� � 0, com ᶓ e xn pertencentes ao intervalo [a,b] e |b′���| + e ( 0f#�## % � % �
Onde:
e � eí |b′�� �|# % � % �
|� � ᶓ| % |b�� �|e
O cálculo de m é muitas vezes trabalhoso e difícil de ser feito. Por esta razão, a tolerância Ԑ ´é , muitas vezes, avaliada por um dos três critérios :
Em cada aproximação � da raiz exata Ԑ usa-se um dos critérios e compara-se o resultado com a tolerância Ԑ pré-fixada.
Obs.: Se a raiz é da ordem da unidade, devemos usar o critério 2 (erro absoluto) caso contrário, usa-se o critério 3 (teste relativo do erro). Há casos em que a condição do critério 2 é satisfeita sem que o mesmo ocorra no critério q
Método da Bisseção
Seja b��� uma função contínua no intervalo [a,b] e b�#� � b��� � 0.
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se x0, havendo pois, dois subintervalos, [a,x0] e [x0,b], a ser considerados.
Se b��0� � 0, então Ԑ=x0; caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, se b�#�. b��0� � 0, então Ԑ ∈ �a, x0�; se nãob�#�. b��0� ( 0 então Ԑ ∈ �x0, b�. O novo intervalo [a,b] que contém Ԑ é divido ao meio e obtém-se o ponto x1. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata Ԑ, com tolerância Ԑ desejada.
Ex1 Calcule a raiz da equação b��� � �� �I� 2 � 1 com Ԑ % 10.�; Isolando-se a raiz, tem-se que Ԑ ∈ �1, 2�
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Na HP 50g nº A B X F(x) ∆x n Na Bn Xn F(xn) Ԑ 0 1 2 1,5 0,253 - 1 1 1,5 1,25 -0,386 0,25 2 1,25 1,5 1,375 -0,090 0,125 3 1,375 1,5 1,438 -0,075 0,063 4 1,375 1,438 1,407 0,007 0,031 5 1,407 1,438 1423 0,036 0,016
6 1,407 1,423 1,415 0,014 0,008 Método de Cordas (Secante)
Seja b��� uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo [a,b], sendo que b’�#�. b��� � 0 e que existe somente um número Ԑ ∈ �a, b� tal que b�Ԑ� � 0
No método das cordas ao invés de se dividir o intervalo, [a,b] ao meio, ele é dividido em
partes proporcionais à razão – q�D�q�r�, ou seja :
s1� � # � � b�#��b�#� - b��� Isto conduz a um valor aproximado da raiz ,
�1 � # - s1
�1 � # � b�#�b��� � b�#� . �� � #� Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém Ԑ�ta, x1uoutx1, bu�, obtém-se uma nova aproximação x2 da raiz.
O método das cordas equivale a substituir a curva x � b��� por uma corda que passa através dos pontos �t#, b�#�u�yt�, b���u. Quatro situações são possíveis :
a) O ponto fixado(a ou b) é aquele no qual o sinal da função b��� coincide com o sinal da sua derivada b”���. b) a aproximação sucessiva xn se faz do lado da raiz Ԑ, onde o sinal da função b���é o oposto ao sinal de sua derivada segunda b”���. Com base no exposto, tem-se a equação geral o cálculo de raiz de equeação pelo método de cordas.
Seja b��� uma função contínua n intervalo [a,b] e Ԑ o seu único zero neste intervalo: as derivadas b’��� �b’��� 1 0��b"��� devem também ser contínuas. Encontra-se uma aproximação � ara a raiz Ԑ é feita uma expansão em série de Taylor para b��� � 0
A equação do Método de Newton será deduzida a partir do caso I, embora todo as os casos forneçam a mesma equação.
A fim de se obter uma melhor aproximação, a1 da raiz Ԑ, traça-se, a partir do pnto B0[x0,f(x0], uma reta tangente à curva y=f(x), que intercepta o eixo do x no ponto x1. Do ponto b1[x1,f(x1)], traça-se outra reta tangente à curva que corta o eixo dos x no ponto x2, sendo este ponto uma melhor aproximação da raiz. O processo se repete até que se encontre Ԑ=xn com a tolerância Ԑ requerida.
Pela figura vê-se que o traçado a tangente a partir do ponto �t�0, b��0�u pode-se encontrar um ponto �’1∄t#, �u e o método de Newton pode não convergir.
Por outro lado escolhendo-se � � �00 processo convergirá.
É condição suficiente para a convergência do método de Newton que: b’��� e “b��� sejam não nulas e preservem o sinal em �#, �� e �0 seja tal que b��0�. b”��0� ( 0
A equação de Newton fica então :
� - 1 � � � b�� �b’�� �; � 0,1,2…Onde:
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Seja o ,�� � � x´� b��, x�;x��0� � x0 � � , n dado (1)
Desejam-se aproximações x1, x2, . . . x para as soluções exatas x�1�, x��2�, . . . ¤� �. Vai-se, primeiramente, com auxílio da figura, procurarx1
Como se desconhece o valor x��1�, toma-se x1 como aproximação para x��1�. Para isso toca-se a tangente T à curva x��� no ponto. ��0�, x��0�0, suja equação é :
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