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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSES
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CINCIA DA COMPUTAO -
DECCDEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E DA TERRA - DCET
CURSOS: ENGENHARIA CIVIL E CINCIA DA COMPUTAO CLCULO NUMRICO
COMPUTACIONALCADERNO 1 Prof Eliani Retzlaff
e-mail: [email protected] santo ngelo - AGOSTO, 2014
DADOS DE IDENTIFICAO
CURSO:ENGENHARIA CIVIL E CINCIAS DA COMPUTAO
DISCIPLINA:CLCULO NUMRICO COMPUTACIONAL
DEPARTAMENTO:CETCDIGO: 10-415
PROFESSOR:ELIANI RETZLAFF
NMERO DE HORAS:60 h/aT: 45P: 15CRDITOS:04
EMENTA DA DISCIPLINA
Erros. Zeros de funes. Sistemas lineares. Interpolao polinomial.
Integrao numrica. Introduo a solues de equaes diferenciais
ordinrias.
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
GERAL:
Propiciar ao aluno metodologias/conhecimentos para a resoluo de
diversos problemas que envolvam a utilizao do computador como
ferramenta de clculo.
ESPECFICOS:
Entender, saber quando aplicar, como utilizar e como implementar
diversos mtodos numricos apropriados para: achar as razes de equaes
algbricas e transcendentes; resolver sistemas de equaes lineares;
fazer ajustes de curvas; fazer interpolao; realizar integrao
numrica.
CONTEDO PROGRAMTICO:
1. ERROS
1.1 Introduo
1.2 Mtodo Numrico
1.3 Clculo Numrico
1.4 Clculo Direto e Clculo Iterativo
1.5 Erros e Critrios de Arredondamento
1.6 Erros da Fase de Modelagem
1.7 Erros da Fase de Resoluo
1.8 Erros de Arredondamento
1.9 Erros de Truncamento
1.10 Propagao de Erros
2. ZEROS DE FUNES
2.1 Conceitos e definies
2.1.1 Zeros de uma Funo
2.1.2 Processo Iterativo
2.1.3 Determinao da Raiz
2.2 Localizao e Refinamento
2.2.1 Localizao de Razes Isoladas
2.3 Processos Iterativos
2.3.1 Mtodo da Dicotomia ou Bisseco
2.3.2 Mtodo de Newton, Newton-Raphson ou das Tangentes
2.4 Implementao Computacional de Mtodos
3. SISTEMAS LINEARES
3.1 Conceitos e Definies
3.2 Matrizes Associadas a um Sistema
3.3 Mtodo de Gauss e Gauss-Jordan
3.3.1 Algoritmo da Triangulao de Gauss
3.3.2 Algoritmo da Diagonalizao de Gauss-Jordan
3.4 Mtodos Iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel
3.5 Refinamento de Solues
3.6 Implementao Computacional de Mtodos
4. INTERPOLAO
4.1 Interpolao Linear
4.2 Interpolao Polinomial
4.3 Interpolao Quadrtica - Determinante de Vandermonde
4.4 Interpolao de Lagrange
4.5 Interpolao de Newton para diferenas divididas
4.6 Implementao Computacional de Mtodos
5. INTEGRAO NUMRICA
5.1 Introduo
5.2 Mtodo dos Trapzios
5.3 Mtodo de Simpson
5.4 Quadratura Gaussiana
5.5 Implementao Computacional de Mtodos
6. MTODOS NUMRICOS PARA EDO'S
6.1 Introduo
6.2 Mtodo de Euler
6.3 Mtodo de Runge-Kutta
6.4 Mtodo de Predio-Correo
6.5 Implementao Computacional de Mtodos
METODOLOGIA DE ENSINO
Os conceitos tericos sero expostos dentro de um contexto
aplicado. Ser utilizado o laboratrio de informtica, utilizando-se
da planilha Excel, bem como Implementao Computacional de Mtodos
Utilizando o MathCad, Scilab, ou Octave.
ATIVIDADES DISCENTES
Aplicao dos mtodos na resoluo de exerccios individuais e/ou em
grupo sem e com a utilizao de recursos tecnolgicos.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAO
Sero realizados: a) Exerccios programas constituindo uma nota
T;
b) duas provas constituindo as notas P1 e P2;
c) a nota de aprovao ser:
A prova ser realizada com consulta somente a um formulrio de uma
folha tamanho A4 (frente e verso) escrito mo a ser entregue junto
com a prova.
Em caso de perda de uma das provas o acadmico dever procurar o
professor at no mximo 2 dias teis aps a data de realizao da prova
para realizar a prova de reposio.
BIBLIOGRAFIA BSICA
BARROSO, L. C. Clculo Numrico com Aplicaes. 2 ed., So Paulo:
Harbra, 1987.
CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Clculo Numrico Computacional. 2
ed., So Paulo: Atlas, 1994.
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.da R. Clculo Numrico: Aspectos
Tericos e Computacionais. 2 ed., So Paulo: Makron Books, 1997.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de clculo. 5. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2002. 4 v.
HUMES, Ana Flora P. de Castro; MELO, Ins S. Homem; YOSHIDA,
Luzia Kazuko;MARTINS, WAGNER Tunis. Noes de Clculo Numrico. So
Paulo: Editora McGraw- Hill Ltda., 1984.
SANTOS, Vitoriano Ruas de Barros. Curso de clculo numrico. Rio
de Janeiro: LTC, 1974-1977.
SADOSKY, Manuel. Clculo Numrico e Grfico. Rio de Janeiro:
Intercincia, 1980.
BARROS, Ivan de Queiroz. Introduo ao clculo numrico. So Paulo:
Edgard Blcher, 1981.
ATENDIMENTO AOS ALUNOS
Quarta-feira das 14 s 17h.
Obs.: Os exerccios programa sero realizados em dupla, podendo-se
utilizar os programas Scilab, ou Octave, ou Mathcad.
1 ERROS EM PROCESSOS NUMRICOS
O conhecimento e controle sobre os possveis erros envolvidos no
processo de clculos eletrnicos ou mtodos numricos so muito
importantes para anlise de resultados obtidos, pois esta anlise
representa uma etapa fundamental no processo das solues
numricas.
1.1 Alguns Conceitos
Modelagem: a fase de obteno do modelo matemtico que descreve o
comportamento do sistema fsico.
Algoritmo: o conjunto predeterminado e bem definido de regras e
processos destinados soluo de um problema, com um nmero finito de
etapas, ou seja, um caminho para soluo de um problema.
O algoritmo tambm representa o rascunho para programas
(Software), pois sua linguagem intermediria linguagem humana e s
linguagens de programao, sendo ento, uma boa ferramenta na validao
da lgica de tarefas a serem automatizadas.
CARACTERISTICAS BSICAS DE TODO ALGORITMO Partir de um ponto
inicial e chegar a um ponto final;
No ser ambguo (ter dupla interpretao);
Poder receber dados externos e ser capaz de retornar resultados
aos mesmos;
Ter todas suas etapas alcanveis em algum momento do
programa.
FORMAS DE REPRESENTAO Pode-se representar um algoritmo de 3
formas distintas:
1 Forma: Descrio narrativa Faz-se uso da descrio narrativa,
quando se quer descrever um algoritmo de forma que o receptor da
informao entenda do assunto mesmo no conhecendo de algoritmos, porm
neste tipo de descrio temos uma impreciso e uma falta de
confiabilidade no entendimento do algoritmo alm de se ter uma
descrio muito grande para dizer pouca coisa.
Exemplo: Dobro de um nmero
Digitar um nmero;
Gravar em uma varivel;
Pegar o nmero e multiplicar por 2;
Gravar o resultado em outra varivel;
Mostrar o resultado da operao.
2 Forma: Fluxograma Desta forma faz-se o uso de smbolos
universais que ajudam a compreender o que o algoritmo quer dizer.
Este mais utilizado, pois se trata de um padro mundial, alm de que
smbolos dizem muito mais que palavras, porm este complica-se na
medida que o algoritmo cresce. Levando-se em considerao o exemplo
anterior temos:
Legenda:
Clculo
Deciso
Entrada
Sada
Inicio/Fim
3 Forma: Linguagem Algortmica Consiste na representao em
linguagem de programao. Exemplo atravs da linguagem de estudo de
algoritmos o Turbo Pascal 7.0:
Program Calcula_Dobro; Uses crt; Var NUM: integer; DOBRO:
integer; Begin Write (Digite um nmero:); Read (NUM); DOBRO:= 2 *
NUM; Write (O dobro de , NUM, e , DOBRO); Readkey; End.
Programa: a formalizao de um algoritmo em uma determinada
linguagem de programao, segundo suas regras de sintaxe (conjunto de
regras que determinam quais construes so corretas) e semntica
(descrio de como as construes sintaticamente corretas so
interpretadas ou executadas), de forma a permitir que o computador
possa entender a seqncia de aes.
Resoluo: a fase de obteno da soluo atravs da aplicao de mtodos
numricos (este o objetivo de estudo do Clculo Numrico).
Clculo Numrico: Conjunto de ferramentas ou mtodos usados para se
obter a soluo de problemas matemticos de forma aproximada.
Mtodos numricos: se define como um algoritmo que vai produzir um
ou mais valores numricos, ou seja, so mtodos de convergncia que
apresentam uma seqncia de clculos simples, porm repetitivos.
Assim, os mtodos numricos:
Aplicam-se onde os mtodos exatos falham ou so trabalhosos
1) Um problema de Matemtica pode ser resolvido analiticamente,
mas esse mtodo pode se tornar impraticvel com o aumento do tamanho
do problema.
Exemplo: soluo de sistemas de equaes lineares.
2) A existncia de problemas para os quais no existem mtodos
matemticos para soluo (no podem ser resolvidos analiticamente).
Exemplos:
a) equaes transcendentes
b) certas integrais
c) equaes diferenciais parciais no lineares podem ser resolvidas
analiticamente s em casos particulares.
Primam pela simplicidade, sendo que o resultado possvel de
refinamento at obter-se a preciso desejada;
So conhecidos h muito tempo, mas atualmente encontram larga
aplicao valendo-se da evoluo dos processos computacionais.
Estas consideraes podem ser visualizadas no fluxograma:
Quando a soluo de um problema necessita ser obtida
numericamente, o processo tende a se apresentar da forma
seguinte:
Pesquisar:
1- Qual o objetivo do Clculo Numrico? 2- Apresente aplicaes nas
quais se torna necessrio (ou til) a produo de resultados numricos.
3- Sabendo que os mtodos numricos buscam solues aproximadas para as
formulaes matemticas, qual o problema inerente das solues obtidas
atravs da utilizao destes mtodos? 4- Quais os passos necessrios
para a obteno de uma soluo numrica utilizando o computador?1.2
Erros
Nos problemas reais, os dados so medidas e, como tais, no so
exatos. Uma medida fsica no um nmero, um intervalo, pela prpria
impreciso das medidas. Da, trabalha-se sempre com a figura do erro,
inerente prpria medio.
Ento, ao buscar-se solues atravs de mtodos numricos para resoluo
dos problemas das mais variadas reas, podem se chegar a resultados
no esperados.
Em todo o processo do esquema citado anteriormente podem ocorrer
erros:
de observao (no levantamento de dados);
de modelagem (na escolha do modelo adequado);
referente ao mtodo numrico escolhido;
devido capacidade de representao dos nmeros nas mquinas
(arredondamento ou truncamento);
resultante da propagao de outros erros.
1.2.1 Erros na fase de Modelagem
Erros causados por distores que existem entre os possveis
modelos que podem ser usados na descrio do comportamento de um
fenmeno fsico.
Exemplo: Para determinar a altura de um edifcio dispondo apenas
de uma bolinha de metal, um cronmetro e a seguinte frmula , uma
pessoa sobe ao topo e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar
no solo que de 3 segundos.
d = 44,1 m (no confivel)
Preciso do cronmetro?
Velocidade do vento?
Resistncia do ar?
Foras?
2.2.2 Erros na fase de Resoluo
Para a obteno da soluo de determinados modelos matemticos muitas
vezes necessria a utilizao de instrumentos de clculo que necessitam
aproximaes e com isso podem gerar erros, como exemplo, os
computadores, que tem capacidade limitada para armazenar os dgitos
significativos de valores numricos utilizados nas operaes
elementares (+, - , x, ).
1.2.2.1 Erros na Converso de Bases:
SISTEMAS DE NUMERAO E SUA REPRESENTAO:Uma das primeiras
tentativas de registro de quantidades sob a forma escrita foi o
sistema de numerao indo-arbico, do qual derivado o atual sistema de
numerao decimal. Um sistema de numerao formado por um conjunto de
smbolos utilizados para representao de quantidades (alfabeto) e as
regras que definem a forma de representao.
Quando falamos em sistema decimal, estamos estabelecendo que a
nossa base de contagem o nmero 10, pois o sistema decimal possui um
alfabeto de 10 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este
conjunto de smbolos do alfabeto define o que chamado de base do
sistema de numerao. Assim, se temos 10 smbolos, estamos trabalhando
sobre a base 10. Um sistema de numerao determinado fundamentalmente
pela sua base.
Os Sistemas de numerao podem ser divididos em 2 grupos: os
sistemas no-posicionais e os sistemas posicionais.
SISTEMAS NO-POSICIONAIS: So aqueles em que o valor atribudo a um
smbolo no se altera, independentemente da posio em que ele se
encontre no conjunto de smbolos que est representando um nmero.
Exemplo: O sistema de numerao romano. Neste sistema temos os
smbolos I, V, X, L, C, D e M. Em qualquer posio dentro de um
conjunto destes smbolos, eles no alteram seus valores (I _ 1, V _
5, X _ 10, L _ 50, C _ 100 e M _ 1000), o que se altera a sua
utilizao para a definio da quantidade representada (porm
individualmente eles continuam representando a mesma quantidade), a
partir das regras definidas pelo sistema: Cada smbolo colocado
direita de um maior adicionado a este.
Ex.: XI _ 10 + 1 = 11;
Cada smbolo colocado esquerda de um maior tem o seu valor
subtrado deste.
Ex.: IX _ 10 1 = 9;
Assim, o nmero XXI representa 21 em decimal (10 + 10 + 1),
enquanto que XIX representa 19 (10 + 10 1).
SISTEMAS POSICIONAIS: So aqueles em que o valor atribudo a um
smbolo depende da posio em que ele se encontra no conjunto de
smbolos que est representando um nmero.
Exemplo: O sistema de numerao decimal, com smbolos de 0, 1,..,
9. Neste sistema, por exemplo, o smbolo 5 pode representar o valor
5, o valor 50, como em 57 (50 + 7), o valor 500, como em 503 (500 +
3), e assim por diante. Isto , a regra vlida para o sistema decimal
que quanto mais esquerda do nmero o smbolo est, mais ele vale. Na
verdade, a cada posio mais esquerda, o smbolo vale 10 vezes
mais.
Se representarmos o nmero 245 assinalando um smbolo a cada casa,
indicando o valor de cada casa, teremos:
Valor da casa10001001010,10,01
Dgitos024500
O significado de cada dgito em determinada posio o valor da casa
multiplicado pelo valor do dgito e a quantidade representada a soma
de todos os produtos.
x = (245)10 = 2.102 + 4.101 + 5.100
Exemplo: O nmero 3547,21, pode ser representado da seguinte
forma:
x = (3547,21)10 = 3.103 + 5. 102 + 4.101 + 7. 100 + 2. 10-1 + 1.
10-2 = 3000 + 500 + 40 + 7 + 0,2 + 0,01Os computadores atuais
representam os nmeros internamente no formato binrio, como sequncia
de zeros e uns.
No sistema binrio, os smbolos 0 e 1, representam os valores
numricos, onde, cada casa vale 2 vezes mais que aquela que est
imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que est a sua
esquerda. Desta forma, teremos que, se o valor da primeira casa da
direita for 20, a segunda valer 20 x 2 = 21, e assim
consecutivamente para a esquerda. Os valores das casas ficam claros
no seguinte esquema:
Se b0, b1, b2, etc., so os valores (0 ou 1) que se coloca em
cada posio, a quantidade representada valer:
+ b424 + b323 + b222 + b121 + b020 + b-12-1 + ...
Para evitar a representao mediante o somatrio, adota-se a
conveno de separar mediante vrgulas as casas 20 e 2-1, de tal modo
que a representao fique:
... b4 b3 b2 b1 b0, b-1 b-2
Em que bi = 0 ou 1.
Exemplo: o nmero binrio 10011,01 representa a quantidade:Valor
da casa24=1623=822=421=220=12-1=1/22-2=1/4
Dgitos1001101
x = (10011,01)2 = 1.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 +
0.2-2 = 16 + 2 + 1 + 1/4 = 19,25A tabela seguinte apresenta alguns
sistemas de numerao:
DecimalHexadecimalBinrioOctal
0000
1111
22102
33113
441004
551015
661106
771117
88100010
99100111
10A101012
11B101113
12C110014
13D110115
14E111016
15F111117
Exerccio 1: Represente os nmeros nas respectivas bases:a.
(347)10 =b. (1059,7)10 =c. (10111)2 =d. (11,101)2 =CONVERSO DE
BASES: o processo de converter valores de um sistema de numerao
para outro. BASE QUALQUER EM DECIMAL: Basta fazer a representao do
nmero pelo
Teorema Fundamental de Numerao (T.F.N.):
ann +...+ a22 + a11 + a00 + a-1-1+...
de forma simplificada:
e cada ai um inteiro no negativo e n um valor que representa a
posio mais esquerda do nmero, ou posio mais significativa do nmero.
Esta representao de X nica e chamada de representao de X na base B,
representada como (X)B.
Exemplo: (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 +
0 + 0 + 1 = (25)10
Exerccio 2: Converta os seguintes nmeros de base binria para
base decimal:
a. (101111)2 =b. (11,01)2 =
c. (101101)2 =d. (11010,101)2 =e. (0,1101)2 = DECIMAL EM BINRIO:
Para a parte inteira mediante divises inteiras sucessivas por dois,
tomando-se os restos das divises no sentido ascendente.Exemplo:
Converta o nmero de base decimal 197,125 para base binria. Para
inteiros: Dividir at que o ltimo quociente seja menor que a
base.(197)10 = (11000101)2Para no inteiros usa-se o mtodo das
multiplicaes sucessivas.
Algoritmo:
Passo 0:
x1 = x; k = 1
Passo 1:
Calcule 2.xk
Se 2.xk = 1, faa: dk = 1
Caso contrrio, faa: dk = 0
Passo 2:
Faa xk+1 = 2xk - dk,
Se xk+1 = 0, pare.
Caso contrrio:
Passo 3:
k = k+1
Volte ao passo 1
E ento: 0,d1d2d3...dkDo exemplo anterior:
KXk2.XkdkXk+1= 2.Xk - dk
10,1250,2500,25 0 = 0,25
20,250,500,5 0 = 0,5
30,51,011,0 1 = 0 (pare!)
Ou:
0,125*2 = 0,25*2 = 0,5*2 = 1
(0,125)10 = (0,d1d2d3)2 = (0,001)2 e
(197,125 )10 = (11000101,001)2Observao: um nmero real entre 0 e
1 pode ter representao finita no sistema decimal, mas infinita no
sistema binrio.
Exerccio 3: Converter (0,1)10 na base 2. Resp.:
(0,0001100110011...)2Como visto, um nmero pode ter representao
finita em uma base e no-finita em outra. Assim, os dados de entrada
so enviados ao computador pelo usurio no sistema decimal; toda esta
informao convertida para o sistema binrio, e as operaes todas sero
efetuadas neste sistema. Os resultados finais sero convertidos para
o sistema decimal e, finalmente, sero transmitidos ao usurio. Todo
este processo de converso uma fonte de erros que afetam o resultado
final dos clculos.
Exerccios 4:
1) Converta os seguintes nmeros de base decimal para base
binria:
a. =
b. =
c. =
d. =
e. =
f. =
2) Determine o inteiro positivo x que verifica a igualdade
(10101)x =(651)10Programa de converso - no MathcadDados de entrada:
b: base d: dgitos presentes no nmero
n: nmero de dgitos presentes no nmero
i: ordem do dgito, comeando por i = 0 (linha zero)
De (101111)2 para base 10:
Algoritmo:
Dados de sada:
1.2.2.2 Erros de Representao dos NmerosNa memria de um
equipamento, cada nmero armazenado em uma posio que consiste em um
sinal que identifica se o nmero positivo ou negativo e um nmero
fixo e limitado de dgitos significativos.
Aritmtica de Ponto Flutuante:Um computador ou calculadora
representa um nmero real (inteiro ou no-inteiro) num sistema
denominado aritmtica de ponto flutuante, pois o ponto da frao
flutua conforme o nmero a ser representado e sua posio expressa
pelo expoente e.
Definio:
Um sistema de ponto flutuante um subconjunto dos nmeros reais
cujos elementos tem a forma:
Onde:
base em que a mquina opera (binria, decimal, hexadecimal,
etc..);
preciso t da mquina (nmero de algarismos da mantissa);
limites do expoente de ();
di: so nmeros inteiros contidos no intervalo 0 di < ; i = 1,
2, ..., t; d1 0;
Se d1 0, diz-se que o nmero est normalizado.
A mantissa fracionria nesta representao (
x + y = 0,9383.104 = 9383
c) x.y efetuando truncamento;
x.y = 0,937.104 . 0,1272.10 = (0,1191864).106
x.y = (0,1191 + 0,0000864).104
x.y = (0,1191 + 0,864.10-4).104 = 0,1191.104 + 0,864.100
fx.y = 0,1191 e gx+y = 0,864logo: x.y = 119100d) x.y efetuando
arredondamento.
como gx.y = 0,864 >
x.y = 0,1192 . 104 = 119200Exerccios:1) Considere o sistema
F(10,3,-5,5) e x = 234.56, calcule fx e gx.2) Com as operaes em
F(10,2,-5,5). Sejam x = 4,32 e y= 0,064, calcular x + y, com
truncamento e com arredondamento.
3) Considere uma aritmtica de ponto flutuante F(10,2,-5,5).
Sejam x = 875 e y =3172. Calcular x + y e tambm x * y.4) Suponhamos
que as operaes indicadas nos itens a. e b. sejam processadas numa
mquina com 4 dgitos significativos. Fazendo-se: x1 = 0.3491104 e x2
= 0,2345100, tem-se:a. (x2 + x1) x1b. x2 + (x1 x1)Resolver:
1- Exerccio 3 e 9 da pgina 22 - livro de Clculo Numrico da Mrcia
Ruggiero e Vera Lopes2 ZEROS DE FUNES
Em muitos problemas prticos de aplicao matemtica de Cincias e
Engenharia, por exemplo: clculo de valores extremos de uma funo
indicativa de um fenmeno fsico, como temperatura, energia, etc., ou
as razes de um polinmio caracterstico para a obteno dos autovalores
e autovetores de uma matriz, extremamente importantes na anlise do
comportamento dos sistemas dinmicos; h a necessidade de se
determinar um nmero xr para o qual:
raiz de f(x)
Equaes Algbricas (ou Polinomiais):
A varivel aparece submetida a operaes algbricas, repetidas um
nmero finito de vezes. Se x esta varivel, tem-se:
onde:
Equaes Transcendentes:
A varivel aparece submetida a operaes no algbricas em pelo menos
um termo da equao. Nestas equaes, em pelo menos um termo, aparecem
funes como: exponenciais, logartmicas, trigonomtricas,
etc.Aplicao:
Equilbrio de Mecanismos:
2.1 RESOLUO DE EQUAES ALGBRICAS E TRANSCENDENTESAs equaes
algbricas de 1 e 2 Graus, certas classes de 3 e 4 graus e algumas
equaes transcendentes podem ter suas razes calculadas exatamente
por mtodos analticos, mas para polinmio de grau posterior a quatro
e para a grande maioria das equaes transcendentes o problema s pode
ser resolvido por mtodos que aproximam as solues.
Embora esses mtodos no determinem as solues exatas, as razes
podem ser calculadas com a exatido que o problema determine, desde
que certas condies de f sejam satisfeitas.
2.1.1 Teorema de Bolzano
Para que uma funo seja contnua y = f(x) tenha no mnimo uma raiz
no intervalo [a, b], suficiente, que ele tenha valores de sinais
opostos nos limites deste intervalo, ou seja, f(x) assume valores
de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo fechado
[a,b].Observando o grfico seguinte:
Se , ento o intervalo conter no mnimo uma raiz (ou um n mpar de
razes).
Se , ento, a f(x) no tem nenhuma raiz real no intervalo ( ou o n
de razes ser par). A raiz x ser definida e nica se a derivada f`(x)
for contnua e conservar o sinal dentro do intervalo [a, b].
y = f(x)(
f(a).f(b) < 0
(
xr[a, b]f(xr) = 0
2.1.2 Refinamento
Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
2.1.2.1 Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o
menor possvel, que contenha uma e somente uma raiz da equao f(x) =
0;
Tcnicas de Isolamento de Razes:
Para isolar os intervalos que contenham razes, alm do Teorema de
Bolzano (procedimento analtico), podemos utilizar um recurso
grfico, ou o isolamento atravs de tabelas, ento:
Isolamento atravs de Tabelas:
Observamos as mudanas de sinais da funo f(x), quando for
atribudo valores para a varivel x. Verifique o exemplo, f(x) = x3
9x +3,
x-
-100-5-3-10123
Tem-se que, ( , ) , ( , ) e ( , )
Visualizao Grfica mtodo grfico: Se possvel a subdiviso da funo
dada em outras duas funes, pode simplificar muitas vezes a
representao grfica:
ou seja, os valores de x para os quais vale a igualdade de g(x)
e h(x), so aproximaes das razes de f(x), logo: o zero da funo se
encontra no ponto x da interseco das duas novas funes.
Do exemplo anterior:
Exerccio: Como visto, o Mtodo Grfico, consiste em traar o grfico
da funo f(x) com o objetivo de determinar o intervalo [a, b] que
contenha uma nica raiz, ento, encontre (isole) os intervalos onde
as razes da funo transcendente esto localizadas.
(lembrar que: para valores reais, calculadoras em rad)
Procedimento analtico:
Seja f(x) contnua em [a, b], ento:
Se f(a).f(b) < 0, um nmero mpar de razes neste intervalo;
Se f(a).f(b) > 0, ou um nmero par de razes neste
intervalo;
supondo que f(x) e f(x) sejam contnuas em [a, b] e que o sinal
de f(x) se mantenha constante, ento:
Se f(a).f(b) < 0 uma nica raiz em [a, b];
Se f(a).f(b) > 0 raiz real em [a, b];
Observao: o fato de f(x) manter o sinal constante em [a, b],
implica que f(x) poder ser crescente ou decrescente em [a, b].
Se f(x) indica a direo da concavidade da curva:
Se f(x) > 0 concavidade voltada para cima;
Se f(x) < 0 concavidade voltada para baixo;
Exemplo de uma funo qualquer:
Com relao a primeira raiz:
As funes f(x) e f(x) so contnuas no intervalo x ( [-2; -1,5]
a = -2 e b = -1,5; f(a) = f(-2) ( 4,32 > 0 e f(b) = f(-1,5) (
- 0,388 < 0;
f(x) < 0, para x ( [a, b] ( o sinal de f(x) se mantm
constante e f(a).f(b) < 0: uma nica raiz em [a, b] = [-2;
-1,5]
f(x) > 0, para x ( [a, b] ( concavidade voltada para
cima.
Outros exemplos:
2.1.2.2 Melhorar o valor da raiz aproximada, isto , refin-la at
o grau de exatido requerido, atravs de mtodos iterativos, que so as
seqncias de instrues que so executadas passo a passo, algumas
repetidas em ciclos (iteraes).
2.1.2.2.1 Mtodos Iterativos para se obter Zeros de Funes
Algbricas e Transcendentes
So mtodos numricos para determinao de razes.
A. Mtodo da Bisseo (ou Dicotomia) Mtodo de quebraSeja f(x) uma
funo contnua no intervalo [a,b] e f(a).f(b) < 0. (Supor uma nica
raiz no intervalo) e = preciso.
Divide-se o intervalo [a,b] ao meio, obtm-se xo. Ento tem-se
dois sub-intervalos, [a , xo ] e [xo , b] a serem considerados.
Se f(xo) = 0, ento a , caso contrrio, a raiz estar no
sub-intervalo onde a f(x) tem sinais opostos nos pontos extremos,
ou seja, f(a) . f(xo) < 0, por exemplo.
O novo intervalo que contm a dividido ao meio novamente e
obtm-se o ponto x1 e assim sucessivamente at que se tenha uma
aproximao para a raiz com a margem de erro desejada.
A1. Interpretao geomtrica do mtodo:
( ( (
A2. Critrio de Parada:
1) |a-b|< (2) |xn xn-1|< (3) |f(xn)| < (4) Nmero de
iteraes
5) Erro relativo
A3. Algoritmo:
Dada funo f(x):
enquanto faa
se
ento:
; ( passa a ser b)
seno
; ( passa a ser a)
fim se;
fim enquanto;
Exemplo: Aplicao do mtodo da bisseo no clculo da raiz da funo
f(x) = ex - 3x, localizada no intervalo [0; 1], aplicando o critrio
de parada |a b| < 10-5.
nabxnf(a)f(b)f(xn)| a b | < erro
00,000001,000000,500001,00000-0,281720,148721,00000
10,500001,000000,750000,14872-0,28172-0,133000,50000
20,500000,750000,625000,14872-0,13300-0,006750,25000
30,500000,625000,562500,14872-0,006750,067550,12500
40,562500,625000,593750,06755-0,006750,029520,06250
50,593750,625000,609380,02952-0,006750,011160,03125
60,609380,625000,617190,01116-0,006750,002140,01563
70,617190,625000,621090,00214-0,00675-0,002320,00781
80,617190,621090,619140,00214-0,00232-0,000090,00391
90,617190,619140,618160,00214-0,000090,001030,00195
100,618160,619140,618650,00103-0,000090,000470,00098
110,618650,619140,618900,00047-0,000090,000190,00049
120,618900,619140,619020,00019-0,000090,000050,00024
130,619020,619140,619080,00005-0,00009-0,000020,00012
140,619020,619080,619050,00005-0,000020,000010,00006
150,619050,619080,619060,00001-0,000020,000000,00003
160,619050,619060,619060,000010,000000,000010,00002
170,619060,619060,619060,000010,000000,000000,00001
180,619060,619060,619060,000000,000000,000000,00000
Este resultado (0,61906) exato com 5 casas decimais. Observar
que quando os critrios de convergncia so atingidos, os valores de
a, b e xn so iguais com cinco casas decimais.
EXERCCIO:
Traar o grfico da funo f(x) com o objetivo de determinar o
intervalo [a,b] que contenha a raiz da e refine pelo mtodo da
bisseo com preciso