NOTA DE AULA_OPERAÇÕES DE DESCONTOS PROFESSORA GECIARA CARVALHO. BIBLIOGRAFIA PARA CONSULTA: 1. SAMANEZ,C.P. Matamática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos.3ª ed. São paulo:Makron. 2. ASSAF, A.N. Matemática financeira e suas aplicações. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 2003. Atividade Proposta: Lista de exercícios II OPERAÇÕES DE DESCONTOS Em matemática financeira, descontar é retirar juros ou descontos de valor futuro para obter valor presente. Assim, descontar é trazer o valor presente. (ou seja, o valor presente atual). As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos e, podem realizadas tanto sob o regime de capitalização simples como nos juros compostos. Desconto (D) corresponde a diferença entre o Valor Nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento. Representa os juros associados a operação. Valor Nominal (= Valor Futuro VF) refere-se ao valor de resgate definido para um título em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operação. Valor Descontado (= Valor Presente, valor líquido ou VP) é o valor atual na data do desconto. As operações de descontos podem ser de dois tipos : Racional (ou “por dentro”) ou Comercial ( ou “por fora”, bancário). D= VF - VP
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NOTA DE AULA_OPERAÇÕES DE DESCONTOS
PROFESSORA GECIARA CARVALHO.
BIBLIOGRAFIA PARA CONSULTA:
1. SAMANEZ,C.P. Matamática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos.3ª ed. São paulo:Makron.
2. ASSAF, A.N. Matemática financeira e suas aplicações. 8ª ed. São Paulo: Atlas, 2003.
Atividade Proposta: Lista de exercícios II
OPERAÇÕES DE DESCONTOS
Em matemática financeira, descontar é retirar juros ou descontos de valor
futuro para obter valor presente. Assim, descontar é trazer o valor presente. (ou
seja, o valor presente atual).
As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou
pagamento) de valores futuros, representados por títulos e, podem realizadas
tanto sob o regime de capitalização simples como nos juros compostos.
Desconto (D) corresponde a diferença entre o Valor Nominal de um título e o
seu valor atualizado apurado n períodos antes do seu vencimento. Representa
os juros associados a operação.
Valor Nominal (= Valor Futuro VF) refere-se ao valor de resgate definido para
um título em sua data de vencimento, ou seja, o montante da operação.
Valor Descontado (= Valor Presente, valor líquido ou VP) é o valor atual na
data do desconto.
As operações de descontos podem ser de dois tipos : Racional (ou “por
dentro”) ou Comercial ( ou “por fora”, bancário).
D= VF - VP
DESCONTO RACIONAL NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
O desconto racional simples incorpora os conceitos e relações básicas dos
juros simples.
No regime de capitalização simples, os juros incidem sobre o Valor Presente.
As operações de desconto racional, ou por dentro, representam a aplicação da
fórmula abaixo para encontrar o valor presente:
Então o Desconto pode ser apresentado como:
ni
niVF
ni
VFniVF
ni
VFVFVPVFD
.1
..
.1
.1
.1
A partir desta fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de
um determinado valor nominal, a uma taxa simples de juros e a determinado
prazo de antecipação.
Exemplo: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano,
que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a
a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor
descontado desta operação.
42% a.a = 3,5% a.m
ni
VFVP
.1
ni
VFVFVPVFD
.1
VF 4000,00
0 9 12
Desconto
10,380
3.035,01
40004000
.1
ni
VFVFD =
Valor descontado
D = VF – VP
380,10 = VP – 4000
VP = 4000 – 380,10 = VP = 3619,90
Do ponto de vista do devedor, R$ 380,10 representa o valor que está deixando
de pagar por saldar a dívida antecipadamente (3 meses antes do vencimento).
O valor líquido do pagamento é R$ 3619,90.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.000,00, 3 meses antes
de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%
a.a, qual o desconto e quanto vai obter?
Solução: VF = 5.000,00
n = 3 meses
i = 40% a.a = 0,4/12
Desconto = 500,00
3 0,4/12 1
3 0,4/12 5.000
.1
..
ni
niVFD
Valor descontado = VF – D = 5.500 – 500 = R$ 5.000,00
2. Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado
60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a
R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
Solução: n = 2 meses = 60 dias
VF= 26.000,00
C = 24.436,10
Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor
atual do título, ou seja, sobre o capital liberado, então:
D = C.i.n
032,020,872.48
90,1563
2.10,436.24
10,436.24000.26
..
nVP
VPVF
nVP
Di
ou 3,2%a.m.
3. Qual é o desconto racional que um capital de R$ 10.000,00 sofre ao
ser descontado 4 meses antes do seu vencimento à taxa de 5% a.m.?
Solução:
67,666.1$
166667,0000.1020,01
20,0000.10
405,01
4.05,0000.10
.1
..
RD
D
ni
niVFD
4. Qual é o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um
título de R$ 30.000,00, vencível em 3 meses e 15 dias, descontado à
taxa de 45% a.a?
3 meses e 15 dias = 105 dias, (considerar um ano= 360 dias)
26.519,34
131250,1
000.30
131250,01
000.30
1
VP
ni
VFVP
=
D = VF – C = 30.000,00 – 26.519,34 = 3.480,66
Ou de outra forma temos:
3.480,66
360
105.45,01
360
105.45,0.000.30
.1
..
ni
niVFD =
D = VF – C = 3.480,66 = 30.000 – C
C= 26.519,34
5. Num título de R$ 50.000,00 vencível em 30/11 e descontado em 22/08
à taxa de 3,6% a.m., determinar o valor do desconto racional e
respectivo valor atual.
VF = 50.000,00
n = 100 dias ( 9 + 30 + 31 + 30) = 100/30 meses
5.357,14
30
100.036,01
30
100.036,0.000.50
.1
..
ni
niVFD
C = VF – D = 50.000 – 5.357,14 = 44.642,86
DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO OU “POR FORA” NO REGIME
DE CAPITALIZALÇÃO SIMPLES
Os juros incidem sobre o Valor Futuro da operação, proporcionando maior
volume de encargos financeiros efetivos nas operações. È amplamente
utilizada no mercado em operações de crédito bancário e comercial a curto
prazo.
No regime de juros simples, o desconto comercial é determinado pelo produto
do Valor Nominal ou Futuro, da taxa de desconto por fora ou comercial (id) e
do prazo da antecipação (n).
O valor líquido ou valor presente poderá ser expresso como:
niVFniVFVFDVFVPdd.1..
Para melhor avaliar as diferenças entre os tipos de descontos será
desenvolvido o mesmo exemplo utilizado no desconto “por dentro”.
Exemplo: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano,
que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a,a
a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor
descontado desta operação.
42% a.a = 3,5% a.m
VF 4000,00
0 9 12
Valor do desconto
00,420
3035,04000
..
D
D
niVFDd
Valor descontado
niVFDd..
00,3580
3.035,014000
.1
VP
VP
niVFVPd
Torna-se evidente que o devedor do título, descontado pelo desconto “por fora”
assume encargos maiores que se fosse descontado pelo desconto “por dentro”.
Exemplo:
Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto por fora igual a 4% a.m,
calcule o valor do desconto e o valor líquido de uma operação com as