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AULA 7: Juros Simples e Compostos
1. PORCENTAGEM
..............................................................................................................................
2
2. JUROS SIMPLES
...............................................................................................................................
6
2.1. Frmula de juros simples
......................................................................................................................
7 2.2. Cuidados na aplicao da frmula de juros simples
............................................................................
9 2.3. Questes em que no necessria a converso
..................................................................................
10 2.4. Converses de prazo
...........................................................................................................................
13
2.5. Juros exatos, bancrios e
comerciais..................................................................................................
17
2.6. Taxas equivalentes em juros
simples...................................................................................................
23 2.7. Capital, taxa e prazo mdio
................................................................................................................
29
3. DESCONTO SIMPLES
.....................................................................................................................
35
3.1. Desconto racional simples
..................................................................................................................
35
3.2. Desconto comercial simples
................................................................................................................
40
3.3. Relao entre desconto comercial e racional
.....................................................................................
50 4. TAXA EFETIVA EM EMPRSTIMOS COM VALORES RETIDOS
ANTECIPADAMENTE ...................... 53
5. JUROS COMPOSTOS
.....................................................................................................................
58
5.1. Frmula de juros compostos
...............................................................................................................
58 5.2. Taxa nominal e efetiva
........................................................................................................................
66 5.3. Taxas equivalentes em juros compostos
..............................................................................................
70 5.4. Conveno linear e conveno exponencial
.......................................................................................
80
6. DESCONTO COMPOSTO
...............................................................................................................
85
6.1. Desconto racional composto
...............................................................................................................
86
6.2. Desconto composto comercial
............................................................................................................
92 7. INFLAO
.....................................................................................................................................
97
7.1. Perda do poder de compra
..................................................................................................................
97
7.2. Juros reais e juros aparentes.
.............................................................................................................
98 8. CAPITALIZAO CONTNUA
.......................................................................................................
103
9. QUESTES APRESENTADAS EM AULA
........................................................................................
109
10. GABARITO
..............................................................................................................................
125
11.
RESUMO...............................................................................................................................
125
12. TABELAS EXTRADAS DA PROVA DA ESAF
..............................................................................
127
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Carssimos,
Mil perdes, mas ainda no consegui concluir a segunda lista de
reviso, com questes referentes s aulas 3, 4, 5 e 6. Ela est com 78
exerccios, todos de Esaf. J devo ter resolvido algo em torno de 50.
Peo ento ainda mais alguns dias para terminar, ok?
Hoje iniciamos o terceiro bloco da matria: matemtica financeira.
Para alguns tipos de exerccio que julgo interessantes no encontrei
questes da Esaf. Por isso, aumentei um pouco a proporo de questes
de outras bancas. As demais questes de Esaf, que eu no utilizei,
deixo para a 3 lista de reviso.
1. PORCENTAGEM
Ns j estudamos porcentagem na aula 3. Vimos que o smbolo %
significa que o nmero est dividido por 100. Exemplo:
5% =5
100= 5 0,01 = 0,05
Vimos tambm como a porcentagem serve para dar a noo de parte e
de todo. At tivemos o seguinte resumo:
TOME NOTA!!!
Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo:
[parte]
[todo]=[percentual]
Dado o percentual, para achar a quantidade referente parte,
basta multiplicar o percentual pelo todo.
[parte]=[todo][percentual]
Estudamos tambm os aumentos e as redues percentuais.
Vimos que aumentar algo em 1% o mesmo que multiplicar por 1,01.
Ou que aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,20.
Analogamente, diminuir algo em 15% o mesmo que multiplicar por
(1 0,15).
Como nessa aula vamos voltar a usar bastante a porcentagem,
trago mais alguns exerccios, para aquecermos os motores. Desde que
j usamos todas as questes de Esaf que eu tinha separado, vamos
agora usar questes de algumas de outras bancas.
Questo 1 SEFAZ SP 2009 [FCC]
Em toda a sua carreira, um tenista j disputou N partidas, tendo
vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda v disputar,
antes de se aposentar, mais X partidas, e que vena todas elas. Para
que o seu percentual de vitrias ao terminar sua carreira suba para
90%, X dever ser igual a
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(A) N.
(B) 1,2 N.
(C) 1,3 N.
(D) 1,5 N.
(E) 2 N.
Resoluo:
O tenista venceu 70% das partidas que disputou.
Ou seja, dividindo o nmero de vitrias por N, obtemos 70%.
vitorias
= 70% = 0,7 vitorias=0,7
O tenista j venceu 0,7N partidas.
Se o percentual de vitrias 70%, ento sabemos que ele perdeu 30%
das partidas que disputou.
Com isso, conclumos que ele j perdeu 0,3N partidas.
Resumindo, na situao inicial ele tem 0,7N vitrias e 0,3N
derrotas.
Em seguida, o tenista disputa mais X partidas, e vence todas
elas.
Aps as partidas adicionais, ele ter vencido 0,7 + partidas e
perdido 0,3N. Com isso, o total de partidas ser:
+ Dividindo a quantidade de vitrias pelo total de partidas,
temos o percentual de vitrias.
0,7 + + = 90%
0,7 + + = 0,9
Multiplicando cruzado:
+ 0,9 = 0,7 + 0,9 + 0,9 = 0,7 +
0,9 0,7 = 9 0,2 = 0,1 = 2
Gabarito: E
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Questo 2 MPU 2010 [CESPE]
Em determinado rgo do Poder Executivo, foram alocados R$
110.000,00 no oramento para a aquisio de 1.000 cadeiras de
escritrio. Com a previso de realizao de um concurso para provimento
de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300
cadeiras, alm das 1.000 j previstas. Com base nas informaes da
situao hipottica apresentada, julgue os itens a seguir.
124. Para a aquisio das 300 unidades adicionais, a verba
suplementar dever ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde
que no haja mudana no preo das cadeiras.
125. Se houver aumento de 20% no preo para as 300 cadeiras
adicionais, a verba suplementar para aquisio dessas cadeiras ser
igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisio das 1.000
cadeiras iniciais.
Resoluo:
Item 124.
Inicialmente so 1.000 cadeiras pelo valor R$ 110.000,00.
Com isso, conclumos que cada cadeira custa:
110.000
1.000= 110,00
Cada cadeira custa R$ 110,00.
Se este preo for mantido, o preo para adquirir as 300 unidades
adicionais ser:
300 110 = 33.000,00
Pergunta-se: quantos por cento esta verba adicional representa
em relao verba inicial?
Para encontrar o percentual, basta dividir os dois valores:
33.000
110.000= 30%
A verba suplementar ser 30% da verba inicial. O item est
errado.
Para resolver a questo no era necessrio fazer todas as contas
acima. Dava para responder a questo de forma bem mais rpida.
Como o preo unitrio mantido, s o que influencia no preo total
das cadeiras a quantidade comprada.
Assim, para compararmos a verba suplementar com a verba inicial,
poderamos ter tomado apenas as quantidades de cadeiras.
A quantidade suplementar 300. A quantidade inicial 1.000.
300
1.000= 30%
Isso j suficiente para concluirmos que a verba suplementar 30%
da verba inicial. Item errado.
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Item 125.
O preo unitrio de cada cadeira, inicialmente, de R$ 110,00.
Para as 300 cadeiras adicionais, o preo unitrio ser aumentado em
20%. J vimos que aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por
1,2.
O novo preo unitrio ser:
110 1,2 = 132
A cadeira agora custa 132,00.
Embora tenhamos feito a conta, nossa soluo ser facilitada se, em
vez de escrevermos 132, deixarmos indicado o produto de 110 por
1,2.
Isto porque, l na frente, teremos 110 no numerador e 110.000 no
denominador. Assim poderemos simplificar a frao.
Novo preo unitrio:
110 1,2
As 300 cadeiras adicionais custaro:
300 110 1,2
Para saber a quantos por cento da quantia inicial corresponde a
verba suplementar, basta dividir:
verba suplementar
verba inicial=
300 110 1,2
110.000=
300 1,2
1.000= 36%
Item certo.
Gabarito: errado, certo
Questo 3 TCE RN 2009 [CESPE]
Se o preo original de um produto sofrer reajustes sucessivos de
15% e de 20%, ento o percentual de aumento no preo desse produto em
relao ao preo original ser de 38%.
Resoluo
Considere que o preo inicial do produto R$ 100,00.
O preo original sofre um aumento de 15%. Ou seja, ele
multiplicado por 1,15.
O novo preo unitrio ser:
100 1,15 = 115
O produto agora custa 115,00.
Em seguida, ele sofre um aumento de 20%. Ou seja, ele
multiplicado por 1,2.
Assim, o novo preo unitrio ser:
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115 1,2 = 138
O preo unitrio passa a ser 138,00.
Ou seja, em relao ao preo inicial, o aumento foi de R$ 38,00 em
um universo de R$ 100,00.
O aumento total foi de 38%.
Outra forma de resolver considerar os dois aumentos de uma s
vez.
So dois aumentos: 15% e 20%. Ento basta multiplicar por 1,15 e
depois por 1,2.
100 1,15 1,2 = 100 1,38
Note que o preo inicial (R$ 100,0) est sendo multiplicado por
1,38.
J sabemos que aumentar algo em 38% o mesmo que multiplicar por
1,38.
Conclumos que o preo inicial est sendo aumentado em 38%.
Gabarito: certo
2. JUROS SIMPLES
A situao a seguinte: algum possui dinheiro hoje, mas no precisa
ou no quer us-lo. Outra pessoa no possui dinheiro agora, mas quer
ou precisa usar uma graninha no momento atual. Quem tem o dinheiro
hoje pode ced-lo para a pessoa que precisa. Para tanto, ela cobra
um aluguel. Este aluguel so os juros.
Esta uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros
quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remunerao
para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para
poder us-lo s depois.
Na realidade, os juros so calculados com base em vrios fatores.
Veja alguns deles:
Risco: quem empresta o dinheiro est correndo um risco de no
receber o dinheiro de volta.
Despesas para emprestar: em alguns casos existem despesas para o
emprstimo. Imagine um banco emprestando. Ele tem algumas despesas
nesta operao, que certamente so cobradas de quem pegou o dinheiro
emprestado.
Perda de valor do dinheiro: sabemos que a inflao corri o poder
de compra do dinheiro. Obviamente, quem emprestou vai querer ter o
seu poder de compra preservado. Ele vai repassar este nus ao
emprestador.
Custo de Oportunidade: imagine que existam outras opes de
investimento. Pense, por exemplo, que, em vez de emprestar o
dinheiro, eu possa colocar na poupana. A poupana um investimento
muito seguro. S vou deixar de investir meu dinheiro nela (deixando
de auferir seus rendimentos), se o investimento pelo qual eu optar
me propiciar um retorno maior. Esse retorno maior tem que compensar
o custo de oportunidade que estou tendo (ou seja, o rendimento que
estou deixando de ganhar, ao no aplicar na poupana).
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2.1. Frmula de juros simples
Exemplo 1
Joo empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao ms
(juros simples). Qual o valor da dvida, depois de dez meses?
Resoluo:
Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemtica
financeira. A cobrana de juros. Este tipo de problema vai nos
acompanhar durante todas as aulas de matemtica financeira. A ideia
sempre a mesma. O que vai dificultando, aos poucos, so os clculos
envolvidos.
A ideia dos juros remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro
hoje, mas no tem este dinheiro. Joo tem o dinheiro, mas no precisa
dele agora. Assim, Joo empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra
uma remunerao por isto. Esta remunerao so os juros.
Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem
empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado.
O valor dos juros depende da taxa. Dizer que cobrada uma taxa de
1% significa que os juros cobrados so de:
= 1% 200 = 0,01 200 = 2 Portanto, os juros so iguais a R$
2,00.
Pois bem, passado o primeiro ms, Pedro j deve a Joo R$ 202,00.
Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente
emprestado, mais R$ 2,00 de juros.
Passa o segundo ms. Pedro continua usando o dinheiro de Joo.
Portanto, ter que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como
calcular os juros do segundo ms?
A partir do segundo ms, temos que saber se a taxa de juros
simples ou de juros compostos.
Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor
inicial.
Assim, os juros do segundo ms sero, novamente, iguais a R$
2,00.
Fica assim:
= 1% 200 = 2 Passa o terceiro ms. E o Pedro continua com o
dinheiro do Joo. Portanto, vai ter que pagar mais uma remunerao.
Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como so juros simples,
novamente esta taxa incidir sobre o valor inicialmente emprestado
(R$ 200,00).
Portanto, os juros do terceiro ms sero novamente de R$ 2,00.
E assim por diante, at o dcimo ms.
Ao final do dcimo ms, Pedro ter que devolver os R$ 200,00
iniciais mais R$ 2,00 reais para cada ms que passou.
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Assim, Pedro ter que devolver:
200 + 10 2 = 220
Resposta: depois de dez meses o valor da dvida de R$ 220,00.
Alguns nomes importantes.
A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome
importante: capital inicial (C).
A quantia final (=220,00) tambm recebe um nome importante:
montante (M).
Podemos dizer que o montante (M) igual ao capital (C) mais os
juros (J).
= + Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O
capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220.
Esta equao sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O
que vai mudar, conforme as taxas sejam simples ou compostas, a
forma de calcular os juros.
No caso de regime simples, os juros ficam:
= Nesta frmula temos:
J so os juros
n o nmero de perodos que passaram
i a taxa de juros
C o capital
E foi exatamente esta frmula que usamos no problema acima.
Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais.
Ou seja, Pedro teve que pagar juros de:
Ento esta a frmula que temos que saber para juros simples:
= Considerando que = + , podemos obter:
= + = +
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Colocando C em evidncia:
= (1 + )
TOME NOTA!!!
Frmulas para juros simples:
= + (vale sempre, mesmo que sejam juros compostos) = (vale s
para juros simples) = (1 + ) (decorrncia das duas anteriores, ento
s para juros simples)
Mais alguns comentrios sobre todas as parcelas vistas.
O capital a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponvel
para ceder a outra pessoa. Os problemas podem utilizar outros
nomes, de mesmo significado. So eles: principal, valor aplicado,
investimento inicial. A pessoa que cede o dinheiro o investidor.
Quem recebe o dinheiro o tomador.
A remunerao paga pelo emprstimo (ou ainda, pela cesso do
dinheiro) so os juros. Como j dissemos, para o tomador os juros so
uma despesa e para o investidor os juros so uma receita.
O montante o valor total da transao financeira, sendo
equivalente soma dos juros com o capital.
A taxa de juros representa a relao entre o juro e o capital
investido. No nosso exemplo, o capital investido foi de R$ 200,00 e
os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relao entre esses
dois valores:
2
200= 0,01 = 1%
Este valor acima justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa
de juros de 1% ao ms. Isto porque, a cada ms, sero pagos juros
correspondentes a 1% do capital.
2.2. Cuidados na aplicao da frmula de juros simples
De uma forma geral, o conhecimento das frmulas acima suficiente
para resolver todas as questes de juros simples. O cuidado que se
deve ter com as unidades. As unidades de tempo e da taxa tm que ser
coerentes. Assim, se a taxa est ao ms e o prazo est em anos, no
podemos sair aplicando a frmula. Antes, temos que garantir que as
unidades estejam condizentes.
Temos sempre duas opes:
podemos converter o prazo (passando-o de anos para meses, ou
para dias etc.);
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podemos converter a taxa (passando uma taxa que est ao dia para
outra ao ms, ao ano, ao semestre, ao bimestre etc.)
A converso de prazo sempre feita por regra de trs. J a converso
da taxa depende do regime de juros. No caso do regime de juros
simples, tambm basta a aplicao da regra de trs. Veremos este
assunto com mais detalhes nos itens seguintes.
TOME NOTA!!!
Converso de prazo: sempre aplicar regra de trs
Converso de taxa: no caso do regime simples, aplicar regra de
trs.
Inicialmente veremos questes que dispensam as converses, pois j
so dadas informaes na mesma unidade (coerncia entre a unidade da
taxa e do prazo).
Depois veremos questes em que as unidades so diferentes entre si
e a converso necessria.
2.3. Questes em que no necessria a converso
Questo 4 SEFAZ RJ 2009 [FGV]
O valor a ser pago por um emprstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa
de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, de:
a) R$ 6.255,00
b) R$ 5.500,00
c) R$ 6.500,00
d) R$ 4.855,00
e) R$ 4.675,50
Resoluo:
O capital de R$ 4.500,00, a taxa de juros simples de 0,5% ao dia
e o prazo de 78 dias. Pergunta-se o montante obtido.
Note que a taxa est ao dia e o prazo tambm est em dias. J
podemos aplicar a frmula.
= 1 + = 4.500 1 + 78 0,5
100
= 4.500 1,39 = 6.255 Gabarito: A
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Questo 5 SEFAZ PB 2006 [FCC]
Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a
juros simples. Aps 6 meses, resgata totalmente o montante de R$
10.900,00 referente a esta operao e o aplica em outro banco,
durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da
correspondente primeira aplicao. O montante no final do segundo
perodo igual a
(A) R$ 12.535,00
(B) R$ 12.550,00
(C) R$ 12.650,00
(D) R$ 12.750,00
(E) R$ 12.862,00
Resoluo:
Primeiro investimento: o capital de R$ 10.000,00, o prazo de
seis meses e o montante R$ 10.900. Precisamos calcular a taxa de
juros.
= = 10.900 10.000 = 900 Logo:
= 900 = 10.000 6
= 9006 10.000
=150
10.000= 1,5%
Como o prazo utilizado na frmula est em meses, esta taxa tambm
ao ms.
A taxa de 1,5% ao ms.
Segundo investimento: o capital de R$ 10.900,00, o prazo de
cinco meses, a taxa de 3% ao ms (o dobro da primeira aplicao).
Pergunta-se o montante.
= = 10.900 0,03 5 = 1.635
= + = 10.900 + 1.635 = 12.535 Gabarito: A
Questo 6 IRB 2006 [ESAF]
Um capital de 1000 unidades monetrias foi aplicado durante um ms
a 3% ao ms, tendo o montante ao fim do ms sido reaplicado no
segundo ms a 4% ao ms e o montante ao fim do segundo ms sido
reaplicado no terceiro ms a 5% ao ms. Indique o montante ao fim do
terceiro ms.
a) 1 170
b) 1 124,76
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c) 1 120
d) 1 116,65
e) 1 110
Resoluo:
So trs investimentos separados.
No primeiro, o capital inicial de 1.000, a taxa de 3% (ao ms) e
o prazo de 1 ms.
Repare que a taxa est ao ms e o prazo tambm est em meses. J
podemos aplicar a frmula para achar o montante:
= 1 + = 1.000 1 + 1 0,03 = 1.000 1,03 = 1.030
O montante obtido foi de R$ 1.030,00.
Encerrado o primeiro investimento, pegamos todo este valor
(1.030) e reaplicamos em um segundo investimento.
Portanto, para o segundo investimento, o capital inicial ser de
R$ 1.030,00. A taxa de 4% (ao ms) e o prazo de 1 ms.
O montante obtido com o segundo investimento :
= 1 + = 1.030 1 + 1 0,04 = 1.030 1,04 = 1.071,20
O montante obtido, ao final do segundo investimento, foi de R$
1.071,20.
Encerrado o segundo investimento, pegamos todo este valor
(1.071,20) e reaplicamos em um terceiro investimento. Portanto,
para o terceiro investimento, o capital inicial de R$ 1.071,20. A
taxa de 5% (ao ms). E o perodo de 1 ms. O montante ao final do
terceiro ms fica:
= 1 + = 1.071,20 1 + 1 0,05 = 1.124,76
Gabarito: B
Questo 7 AFRF 2002 [ESAF]
Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na
segunda-feira, dia 8. O no pagamento no dia do vencimento implica
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma
taxa de permanncia de 0,2% por dia til de atraso, calculada como
juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento
devido no dia 22 do mesmo ms, considerando que no h nenhum feriado
bancrio no perodo.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
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c) R$ 2.088,00
d) R$ 2.096,00
e) R$ 2.100,00
Resoluo:
Por enquanto, vamos esquecer a multa.
A taxa de juros de 0,2% (por dia til). O capital inicial de R$
2.000,00. Queremos saber o montante.
Note que aqui no temos nem emprstimo, nem um investimento. o
pagamento de uma conta em atraso. O pagamento deveria ser feito no
dia 8. S que atrasamos o pagamento. Ou seja, estamos retendo o
dinheiro de outra pessoa por um perodo indevido. Por conta disto,
esta pessoa cobra juros (de mora).
Para aplicar a frmula, precisamos do prazo. A taxa est ao dia
til. Temos que saber quantos dias teis se passaram.
Vamos montar um minicalendrio:
Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22
Em vermelho temos os dias de atraso. So 10 dias teis.
O montante fica:
= 1 + = 2.000 1 + 10 0,2% = 2.040
Portanto, o montante pago no dia 22 seria de R$ 2.040,00
Seria se no fosse por um detalhe.
Alm dos juros cobrados ao dia h uma multa. Esta multa de 2%
sobre o valor da conta.
A multa de:
2% de R$ 2.000,00 = 2% 2.000 = 40
Assim, no dia 22, pagaremos:
2.040 + 40 = 2.080
Gabarito: A
2.4. Converses de prazo
Como vimos, a aplicao da frmula de juros simples depende de uma
coerncia entre as unidades de tempo e da taxa. Se o prazo estiver
em meses e a taxa estiver ao ano, no podemos aplicar a frmula.
Antes, precisamos converter pelo menos uma das grandezas.
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Por hora, vamos nos concentrar no prazo. J vimos que para a
converso de prazo basta aplicar a regra de trs.
Exemplo 2
Joo empresta a Pedro R$ 1.000,00 durante um perodo de 12 meses a
uma taxa de 30% ao ano (juros simples). Qual o rendimento obtido
por Joo?
Resoluo:
O perodo de doze meses (n=12). A taxa de 30% (i=30%). E o
capital de R$ 1.000,00 (C=1000)
Aplicando a frmula:
= = 12 0,3 1.000 = 3.600
Certo???
Errado!!!
Repare que a taxa est ao ano e o prazo est em meses. Para
podermos aplicar a frmula, tanto a taxa quanto o prazo tm que estar
na mesma unidade.
Como a taxa est ao ano, vamos passar o prazo para anos.
Doze meses o mesmo que um ano.
Ficamos ento com um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 1 ano,
a uma taxa de 30% ao ano.
Pronto, agora a taxa est ao ano e o prazo tambm est em anos.
= = 1 0,3 1.000 = 300
Resposta: O rendimento (=juros) conseguido por Joo de R$
300,00.
Questo 8 ANCINE 2006 [CESPE]
O clculo financeiro relevante, tendo em vista as tarefas de
escolha de melhores opes de uso do dinheiro. Acerca de matemtica
financeira, julgue os itens seguintes.
114. 110% ao ano a taxa que, em 3 anos e 4 meses, far
quintuplicar de valor um capital aplicado a juros simples.
Resoluo.
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Observem que a taxa est ao ano e o prazo de 3 anos e 4
meses.
Para podermos aplicar as frmulas, as unidades devem
coincidir.
Vamos passar o prazo para anos.
Prazo: 3 anos + 4 meses.
Precisamos saber a quantos anos correspondem 4 meses. Basta
fazer regra de trs.
1 ano ---- 12 meses
x anos --- 4 meses.
Multiplicando cruzado:
4 1 = 12 = 4
12=
1
3
4 meses correspondem a 1/3 de ano.
3 anos + 1/3 anos = 10/3 anos
Assim, o prazo de dez teros de ano.
Agora sim, podemos aplicar a frmula:
= (1 + ) O montante cinco vezes o capital (informao dada na
questo):
5 = 1 + 103
5 = 1 +10
3
4 =10
3
= 3 410
= 1,2 = 120%
Gabarito: errado.
Questo 9 SEFAZ SP 2009 [FCC]
Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os
depsitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao
ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a
esta aplicao e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dvida nesse
valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante
um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms. No final do
perodo, o montante da segunda aplicao apresentou um valor igual a
R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicaes igual a
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(A) R$ 10.080,00
(B) R$ 8.506,80
(C) R$ 7.204,40
(D) R$ 6.933,60
(E) R$ 6.432,00
Pancada!!!
Resoluo:
No uma questo impossvel, mas bem chatinha de fazer l no dia da
prova, com o relgio jogando contra, mais a presso do momento.
Como so dois investimentos diferentes, vou diferenciar os
smbolos de capital, montante e taxa.
M1, C1, n1 e i1 so o montante, o capital, o prazo e a taxa para
o primeiro investimento.
M2, C2, n2 e i2 so o montante, o capital, o prazo e a taxa para
o segundo investimento.
Primeiro investimento: o capital desconhecido, a taxa de 12% ao
ano e o prazo de seis meses.
Note que a taxa est ao ano e o prazo est em meses. No podemos
aplicar a frmula ainda.
Antes, precisamos tornar as unidades do prazo e da taxa
coerentes entre si.
Vamos passar o prazo, que est em meses, para anos.
Um ano corresponde a doze meses.
Quantos anos correspondem a seis meses?
Basta fazer regra de trs:
1 ano ---- 12 meses
x anos ---- 6 meses
Multiplicando cruzado:
1 6 = 12 = 6
12= 0,5
O prazo de 0,5 anos.
Agora sim j podemos aplicar a frmula.
= 1 + = 1 + 0,5 0,12
= 1,06
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Passados os seis meses, a pessoa retira R$ 20.000,00 para pagar
uma dvida. A quantia restante :
1,06 20.000 Esta quantia aplicada durante um ano (=12 meses), a
uma taxa de 1,5% ao ms.
O montante assim obtido foi de R$ 28.933,60.
= 1 + 28.933,60 = (1,06 20.000) 1 + 0,015 12
28.933,60 = (1,06 20.000) 1,18 1,06 20.000 = 28.933,601,18 =
24.520
1,06 = 44.520 = 44.5201,06 = 42.000
Ou seja, a pessoa partiu de R$ 42.000,00 e obteve:
- R$ 20.000,00 usados para pagar a dvida
- R$ 28.933,60 que sobraram no final da aplicao.
Total: 48.933,60.
A diferena entre o valor total obtido e o capital inicial
corresponde ao juro obtido com as duas aplicaes.
= 48.933,60 42.000 = 6.933,60 Gabarito: D
2.5. Juros exatos, bancrios e comerciais
Quando a converso de prazo envolver a contagem de dias, a ns
temos uma srie de detalhes a que temos que nos atentar.
Considere a seguinte transformao: queremos converter um prazo de
1 ano em meses. Como fazer?
Bem, sabemos que 1 ano tem 12 meses. imediato. Sem dificuldades,
certo? Ok, isso aconteceu porque a converso no envolveu o nmero de
dias.
Considere agora outra situao. Queremos converter o prazo de 1 ms
em dias. De outro modo: quantos dias h em um ms?
Bom, agora as coisas mudam. Temos vrias opes. Um ms pode ter 30
dias. Pode tambm ter 31. Ou at mesmo 28. Assim como 1 ano pode ter
365 dias ou 366 (se for bissexto).
Quando a converso de prazo envolver o nmero de dias, podemos ter
diversas convenes. So elas:
juro exato: considera o ano civil (365 dias ou 366, se for
bissexto)
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juro comercial ou ordinrio: considera o ano comercial (360
dias); se o exerccio for omisso, consideramos juro comercial.
juro bancrio: mistura dos dois anteriores.
No juro exato, ns contamos os dias como se estivssemos olhando
um calendrio. O ano ter 365 dias (ou 366, se for bissexto). Os
meses de janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro e dezembro
tero 31 dias. Fevereiro ter 28 dias (ou 29, se o ano for bissexto).
Os demais meses tero 30 dias.
No juro comercial, consideramos que qualquer ms ter 30 dias
(mesmo que seja fevereiro). E consideramos que qualquer ano ter 360
dias.
Vejamos como fica por meio de um exemplo.
Exemplo 3
Um capital de R$ 13.140,00 investido a uma taxa de juros simples
de 10% ao ano, do dia 21/3/5 ao dia 9/6/5. Qual o montante obtido,
considerando:
a) juros exatos
b) juros comerciais
c) juros bancrios
Resoluo:
a) Nos juros exatos, contamos os dias como se estivssemos
consultando um calendrio. Assim, temos:
21.3.5 a 31.3.5 10 dias
1.4.5 a 30.4.5 30 dias
1.5.5 a 31.5.5 31 dias
1.6.5 a 9.6.5 9 dias
Total 80 dias
Agora podemos fazer a regra de trs.
Dias Ano
365 1
80 x
365
80=
1
Multiplicando cruzado:
365 = 80 = 80
365
Esse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula:
= 1 +
-
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= 13.140 1 + 80365
0,10 = 13.248
b) Nos juros comerciais, consideramos que todos os meses tm 30
dias e o ano tem 360 dias. Esta a contagem usual. Se o exerccio no
disser nada, pode supor que se trata de juros comerciais.
21.3.5 a 30.3.5 9 dias
1.4.5 a 30.4.5 30 dias
1.5.5 a 30.5.5 30 dias
1.6.5 a 9.6.5 9 dias
Total 78 dias
Agora podemos fazer a regra de trs.
Dias Ano
360 1
78 x
360
78=
1
360 = 78
= 78360
Esse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula:
= 1 + = 13.140 1 + 78
360 0,1 = 13.424,70
c) Nos juros bancrios, ns fazemos o seguinte. Ns contamos os
dias como se estivssemos olhando num calendrio. exatamente a mesma
contagem que vimos l nos juros exatos. Fica assim:
21.3.5 a 31.3.5 10 dias
1.4.5 a 30.4.5 30 dias
1.5.5 a 31.5.5 31 dias
1.6.5 a 9.6.5 9 dias
Total 80 dias
Ok, at aqui, sem novidades. O detalhe que, na hora de fazer a
regra de trs, consideramos que o ano tem 360 dias. Estranho no?
Pois . Ficou uma mistura dos dois mtodos anteriores.
Fazendo a regra de trs:
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Dias Ano
360 1
80 x
360
80=
1
360 = 80
= 80360
Esse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula:
= 1 + = 13.140 1 + 80
360 0,1 = 13.432
Observem que os juros bancrios forneceram o maior montante. Isto
ocorre porque esse mtodo d um jeito de esticar o prazo. Ele coloca
no denominador o menor nmero possvel (360). E no numerador coloca o
maior nmero possvel (aquele resultante da contagem no
calendrio).
Com isso, o prazo em anos ser maior que o obtido pelos demais
mtodos (salvo uma rarssima exceo em que a contagem de prazo passe
pelo final de fevereiro, de modo que a contagem dos dias no
calendrio ser menor que a contagem do ano comercial).
Questo 10 SEFAZ-RJ 2008 [FGV]
Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples
ordinrio de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00.
Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos,
:
a) R$ 6.500,00
b) R$ 7.850,00
c) R$ 8.017,00
d) R$ 8.820,00
e) R$ 8.000,00
Resoluo:
O exerccio nos d o prazo em dias e a taxa em anos. Dessa forma,
no podemos aplicar de cara a frmula para juros simples. Temos que
colocar o prazo e a taxa nas mesmas unidades.
Vemos tambm que o exerccio nos diz que se trata de juros simples
ordinrio. Isto significa que devemos considerar que todos os 12
meses possuem 30 dias cada um e que o ano possui 360 dias.
Vamos transformar o prazo de dias para anos.
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Dias Ano
360 1
120 x
360
120=
1
= 120360
= 13
Ento nosso prazo de 1/3 de ano e a taxa de 15% ao ano. Agora
podemos aplicar a frmula dos juros simples. Vejam que nos foi dado
o valor do Montante (o valor final) e nos foi pedido o valor do
Capital aplicado (o capital inicial).
= 1 + 8400 = 1 + 1
3 0,15
8400 = 1,05 = 8400
1,05= 8.000
Portanto, o capital inicial foi de R$ 8.000,00.
Gabarito: E.
Questo 11 SEFAZ/CE 2006 [ESAF]
Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms
rende R$ 1.608,00 em 100 dias?
a) R$ 20.000,00.
b) R$ 20.100,00.
c) R$ 20.420,00.
d) R$ 22.000,00.
e) R$ 21.400,00.
Resoluo:
Diante da omisso da questo, vamos usar os juros comerciais.
Sabemos que a taxa de 2,4% ao ms, o juro de R$ 1.608,00 e o
prazo de 100 dias.
Repare que o prazo est em dias e a taxa est ao ms. Ainda no
podemos aplicar a frmula. Vamos passar o prazo para meses.
Fazendo a regra de trs:
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Dias Meses
30 1
100 x
30
100=
1
30 = 100 1 = 103
Pronto, agora o nosso prazo, em meses, de 10/3.
Aplicando a frmula, temos:
= 1608 =
10
3 2,4%
= 1608 310 2,4%
= 20.100
Gabarito: B.
Questo 12 SEFAZ PB 2006 [FCC]
Certas operaes podem ocorrer por um perodo de apenas alguns
dias, tornando conveniente utilizar a taxa diria e obtendo os juros
segundo a conveno do ano civil ou do ano comercial. Ento, se um
capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias taxa de juros
simples de 9,3% ao ms, em um ms de 31 dias, o mdulo da diferena
entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos :
a) R$ 7,50
b) R$ 15,00
c) R$ 22,50
d) R$ 30,00
e) R$ 37,50
Resoluo:
Contagem pelos juros exatos:
1 ms ---- 31 dias
x meses ---- 5 dias
Multiplicando cruzado:
31 = 5 = 5
31
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Contagem pelos juros comerciais:
1 ms ---- 30 dias
y meses --- 5 dias
30 = 5
= 5
30
A diferena entre os prazos :
5
30
5
31= 5 1
30
1
31
= 5 31 3030 31
= 530 31
=1
186
A diferena entre os juros corresponde incidncia da taxa de 9,3%
ao ms, durante o prazo de 1/186 meses.
9,3% 15.000 1
186=
1.395
186= 7,5
Gabarito: A
2.6. Taxas equivalentes em juros simples
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo
capital, durante um mesmo perodo, produzem os mesmos juros (ou os
mesmos montantes).
a equivalncia de taxas que nos permite passar uma taxa que est
ao ano para outra, ao semestre (ou ao ms, ao bimestre, etc). Quando
mudamos a unidade da taxa, temos que garantir que a nova taxa
obtida seja equivalente que lhe deu origem, de forma a no alterar o
montante final.
No caso do regime simples, para achar tachas equivalentes, basta
a aplicao da regra de trs.
Exemplo 4
Uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre equivale a qual taxa
trimestral?
Resoluo:
Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo
capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais.
Vimos que, no caso de juros simples, vale a regra de trs.
Em 2 meses (=1 bimestre), a taxa de 4%.
Em trs meses (=1 trimestre), a taxa de x
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Taxa Meses
4% 2
x 3
4%
=2
3
2 = 3 4% = 6% Conclumos que a taxa de 4% ao bimestre equivale
taxa de 6% ao trimestre.
Vamos fazer um teste?
Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante um ano, num investimento que
rende 4% ao bimestre (juros simples). Qual o rendimento
conseguido?
O prazo est em anos e a taxa est ao bimestre. Ainda no podemos
aplicar a frmula.
Podemos considerar que 1 ano o mesmo que 6 bimestres.
Ficamos com:
= = 6 0,04 1.000
= 240 Ok, agora vamos fazer outro investimento. Aplicamos R$
1.000,00, durante 1 ano, em um investimento que rende 6% ao
trimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido?
O prazo est em anos e a taxa ao trimestre. Ainda no podemos
aplicar a frmula.
Podemos considerar que 1 ano igual a 4 trimestres.
= = 4 0,06 1.000
= 240 Os dois investimentos, a partir de um capital de R$
1.000,00, aplicado durante 1 ano, produzem o mesmo rendimento.
Exatamente por este motivo a taxa de 4% ao bimestre equivalente
taxa de 6% ao trimestre.
Antes de entrarmos nos exerccios, importante dizer que muito
comum as questes escreverem os perodos das taxas assim:
1% a.m. = 1% ao ms;
2% a.a. = 2% ao ano;
3% a.b = 3% ao bimestre;
4% a.t. = 4% ao trimestre;
5% a.s. =5% ao semestre.
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Questo 13 BANCOP 2007 [CESPE]
Suponha que um capital C aplicado por 12 meses taxa de juros
simples de i% ao ms se transforme em um montante de R$ 37.000,00.
Esse mesmo capital aplicado mesma taxa, no mesmo regime de juros,
mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa
situao, a taxa anual equivalente taxa de i%
A inferior a 37%.
B superior ou igual a 37% e inferior a 40%.
C superior ou igual a 40% e inferior a 43%.
D superior ou igual a 43% e inferior a 46%.
E superior ou igual a 46%.
Resoluo.
O montante conseguido ao final de 6 meses de 31.000,00.
O montante conseguido ao final de 12 meses de 37.000,00.
000.3712 =M
000.316 =M
A diferena entre ambos justamente o juro que se consegue no
perodo de 6 meses. Logo, num perodo de 6 meses o juro obtido
de:
000.6000.31000.376 ==J
O enunciado informa que este capital, aplicado a uma taxa i ao
ms, durante 6 meses, se transforma em um montante de R$
31.000,00.
?=C ; 6=n ; ?=i ; 000.31=M J vimos que, neste perodo de 6 meses,
o juro de 6.000. Com isso, podemos achar o capital:
JCM += 000.25000.6000.31 =+= CC
Agora, aplicamos a frmula dos juros:
CinJ = 6000.25000.6 = i
%4251
==i
A taxa de 4%. Como o prazo trabalhado foi de 6 meses, ento a
taxa ao ms.
Dizemos que a taxa de juros de 4% ao ms. Outra forma de
representar isso escrevendo 4% a.m.
S que o exerccio pergunta sobre a taxa anual equivalente.
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Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo
capital, durante o mesmo perodo de tempo, produzem o mesmo
montante.
Em juros simples, para achar taxas equivalentes, basta aplicar
regra de trs.
Isto ocorre porque, em juros simples, a taxa proporcional ao
nmero de perodos.
Temos:
4% correspondem a 1 ms
Qual a taxa que corresponde a 12 meses (=1 ano)?
Fazendo a regra de trs:
taxa nmero de meses
4% 1
x 12
As grandezas so diretamente proporcionais. Logo:
%48121%4
== xx
(ao ano)
Dizemos que a taxa de 4% ao ms equivalente taxa de 48% ao
ano.
Vamos checar se elas so mesmo equivalentes.
Para tanto, considere um capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa
de 4% ao ms, durante 12 meses. O montante obtido ser:
)1( niCM += 48,1)1204,01(1 =+=M
Agora, considere o mesmo capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa
de 48% ao ano, durante 1 ano. O montante obtido ser:
)1( niCM += 48,1)148,01(1 =+=M
O montante foi o mesmo, nos dois casos.
Por isso dizemos que as taxas em questo so equivalentes.
Aplicamos o mesmo capital de R$ 1,00, durante o mesmo perodo de um
ano (=12 meses) e obtivemos o mesmo montante.
Gabarito: E
Questo 14 GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA]
Uma empresa aplicou, em uma instituio financeira, R$ 50.000,00,
resgatando R$ 54.000,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa
que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta
aplicao.
(A) 6% ao trimestre.
(B) 4% ao quadrimestre.
(C) 22 % ao ano.
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(D) 10% ao semestre.
(E) 1,5% ao ms.
Resoluo.
Dados da questo:
= 50.000,00; = 54.000,00; = 4 (meses)
Ficamos com:
= 1 + 54.000 = 50.000 1 + 4
1,08 = 1 + 4 0,08 = 4 = 0,02
Como o prazo utilizado est em meses, a taxa obtida mensal.
Resposta: a taxa de 2% ao ms.
Olhando as alternativas, vemos que no h qualquer uma com 2% ao
ms. Cada alternativa apresenta um perodo diferente. Vamos ter que
testar uma a uma.
A letra e diz que a taxa de 1,5% ao ms. Isto est errado. J vimos
que a taxa ao ms de 2%.
(A) 6% ao trimestre.
(B) 4% ao quadrimestre.
(C) 22 % ao ano.
(D) 10% ao semestre.
(E) 1,5% ao ms.
Vamos agora calcular a taxa ao trimestre.
Basta fazer uma regra de trs.
Para agilizar as contas, vamos pensar assim. Quando passamos de
um ms para um trimestre, o intervalo de tempo triplicado.
Assim, a taxa aumentar na mesma proporo (grandezas diretamente
proporcionais). A taxa tambm ser triplicada.
Logo, a taxa ao trimestre ser de:
2% 3 = 6%(ao trimestre)
A taxa de 6% ao trimestre, valor expresso na letra A.
Gabarito: A
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Apesar de j sabermos a resposta correta, vamos testar as demais
alternativas.
Para achar a taxa ao quadrimestre, basta multiplicarmos a taxa
mensal por 4. A taxa ao quadrimestre de:
4 2% = 8%
A letra B est errada pois afirma que a taxa ao quadrimestre de
4%.
Para achar a taxa ao semestre, basta multiplicarmos a taxa
mensal por 6. A taxa ao semestre de:
6 2% = 12%
Finalmente, para achar a taxa ao ano, basta multiplicar por
12:
2% 12 = 24%
Questo 15 AFRFB 98 [ESAF]
Indique, nas opes abaixo, qual a taxa unitria anual equivalente
taxa de juros simples de 5% ao ms.
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5,0
Resoluo:
Temos uma taxa de juros simples de 5% ao ms. Queremos converter
esta taxa para anual.
Como so juros simples, basta fazer a regra de trs.
Em 1 ms, a taxa de 5%
Em 12 meses, a taxa de X
1 ----- 5%
12 ---- X
Multiplicando cruzado:
1 = 5% 12 = 60% Ou seja, a taxa de 60%.
A vamos ns e marcamos letra A.
Certo???
Errado!!!
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60% no a mesma coisa que 60.
Lembrem-se que o smbolo % indica que o nmero est sendo dividido
por 100.
Portanto:
60% =60
100= 0,6
Gabarito: D.
Tanto faz, escrever 60% ou 0,6. Quando escrevemos 60%, dizemos
que a taxa est escrita na forma percentual. Quando escrevemos 0,6
(sem o smbolo de porcentagem), dizemos que a taxa est na forma
unitria.
Questo 16 SEFAZ SP 2009 [ESAF]
Um capital unitrio aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao
fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de
aplicao deste capital?
a) 4%
b) 10%
c) 60%
d) 54%
e) 48%
Resoluo:
O prazo de 2,5 meses (=2 meses e meio), o capital unitrio, o
montante igual a 1,1. Ficamos com:
= 1 + 1,1 = 1 1 + 2,5
2,5 = 1,1 1 = 0,1
2,5
Multiplicando numerador e denominador por 4:
= 0,410
= 4%
A taxa mensal de 4%.
A taxa anual, portanto, de 4% 12 = 48%
Gabarito: E
2.7. Capital, taxa e prazo mdio
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Considere que tenhamos vrios investimentos. Cada um deles feito
a uma dada taxa de juros, durante um dado prazo, a partir de
capitais diferentes.
Existem situaes em que estamos interessados em descobrir qual a
taxa mdia de juros que estamos conseguindo em nossos investimentos.
O que seria essa tal taxa mdia? uma taxa que poderia substituir
todas as taxas iniciais, de forma que o total dos juros no se
altere. Assim, se aplicarmos todos os nossos investimentos a uma
taxa igual taxa mdia, o juro total no se altera.
Com raciocnios semelhantes, alm da taxa mdia, podemos pensar
tambm em capital mdio e prazo mdio.
Assim, poderamos substituir todos os capitais acima referidos
por um capital nico, que v produzir o mesmo juro da situao inicial.
Este o capital mdio.
Por fim, podemos substituir todos os prazos por um prazo nico,
de tal forma que o juro no se altera. Este seria o prazo mdio.
Vamos ver como fica, por meio de um exemplo.
Antes de entrarmos no exemplo, vamos relembrar o que uma mdia
ponderada.
Mdia ponderada
A mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que
se trata por meio de um exemplo.
Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia
dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7,
6.
A nota final fica:
84
67910=
+++=NF
Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica
normal.
Esse mesmo aluno faz outro curso, em que so aplicadas apenas
duas provas. Suas notas so: 9,5 e 7,5.
A mdia aritmtica dessas notas fica:
5,82
5,75,9=
+
S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada
simplesmente por meio da mdia aritmtica. Isso porque a primeira
prova de mltipla escolha. A segunda discursiva. Como a segunda
prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso
trs. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa
isso?
Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova
vale trs vezes mais.
A nota final, nesse segundo curso, igual a:
84
5,735,91' =
+=NF
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como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos,
na verdade, fazendo uma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5;
7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.
A nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas
das duas provas.
Ok, visto isso, vamos ao exemplo de taxa mdia, capital mdio e
prazo mdio.
Exemplo 5
Considere os dois investimentos abaixo (todos aplicados num
regime de juros simples):
R$ 100,00 aplicados durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao ms;
R$ 200,00 aplicados durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao ms;
Calcule:
a) a taxa mdia
b) o capital mdio
c) o prazo mdio
Resoluo:
O primeiro passo calcular qual o juro obtido com os dois
investimentos. No primeiro investimento, temos:
= 100 0,02 2 = 4 No segundo investimento, temos:
= 200 0,01 3 = 6 Assim, o juro total obtido de R$ 10,00.
( )5,735,9141
' +=NF
primeira notasegunda nota
peso da primeira nota peso da segunda nota
soma dos pesos(=1+3)
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a) Vamos substituir todas as taxas por uma taxa i. Esta taxa i
ser a taxa mdia. Ela produzir, a partir dos capitais iniciais,
durante os prazos estabelecidos, o mesmo juro de R$ 10,00.
No primeiro investimento, agora temos um capital de 100,00,
aplicado durante 2 meses, a uma taxa i. O novo juro fica:
= 100 2 No segundo investimento, agora temos um capital de
200,00, aplicado durante 3 meses, a uma taxa i.
= 200 3 Para que a i seja a taxa mdia, o juro total produzido
deve permanecer igual a 10,00.
Ou seja:
100 2 + 200 3 = 10 800 = 10 = 1,25%
Resposta: a taxa mdia de 1,25%. uma taxa que substitui todas as
outras, produzindo o mesmo juro total.
Se, em vez de substituirmos os valores, tivssemos mantido as
expresses originais at o final, teramos obtido a seguinte expresso
para a taxa mdia:
= 100 2 2% + 200 3 1%100 2 + (200 3) Ou seja, a taxa mdia
simplesmente uma mdia ponderada das taxas individuais. E os pesos
de ponderao so os produtos .
b) Vamos substituir todos os capitais por um capital nico, igual
a C, de tal forma que o juro total no se altere. Este capital C ser
o capital mdio.
No primeiro investimento, ficamos com um capital C, investido
durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao ms.
= (0,02 2) No segundo investimento, ficamos com um capital C,
aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao ms.
= (0,01 3) Para que C seja o capital mdio, o juro total deve se
manter.
0,04 + 0,03 = 10 = 10
0,07 142,88
O capital mdio de R$ 142,88.
Se tivssemos mantido as expresses originais at o final, teramos
obtido o seguinte valor para o capital mdio:
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= 0,02 2 100 + 0,01 3 2000,02 2 + (0,01 3)
O capital mdio uma mdia ponderada dos capitais individuais. Os
pesos de ponderao so os produtos . c) Vamos agora ao prazo mdio.
Vamos substituir todos os prazos por um prazo n, de tal forma que o
juro total no se altere. Esse ser o prazo mdio. Os juros ficam:
= 100 0,02 = 2 = 200 0,01 = 2
Para que o juro total no se altere, devemos ter:
2 + 2 = 10 = 10
4= 2,5
O prazo mdio de 2,5 meses.
Se tivssemos mantido as expresses originais, teramos chegado
a:
= 0,02 100 2 + 0,01 200 30,02 100 + (0,01 200)
O prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos individuais, onde os
pesos de ponderao so os produtos .
Questo 17 AFRF 2003 [ESAF]
Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$
3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas
mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia
mensal de aplicao destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
Resoluo.
A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas originais. Os pesos de
ponderao so os produtos . = 6% 2.500 + 4% 3.500 + 3% 4.000 + 1,5%
(3.000 )
2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000 Podemos dividir o denominador e o
numerador por n:
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= 6% 2.500 + 4% 3.500 + 3% 4.000 + 1,5% (3.000)2.500 + 3.500 +
4.000 + 3.000
= 150 + 140 + 120 + 4513.000
= 45513.000
= 3,5%
A taxa mdia de 3,5%.
Gabarito: E
Questo 18 SEFAZ PA 2002 [ESAF]
Trs capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$
4.000,00 so aplicados respectivamente s taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao
ms, durante o mesmo nmero de meses. Obtenha a taxa mdia mensal de
aplicao destes capitais.
a) 3,5%
b) 4%
c) 4,25%
d) 4,5%
e) 5%
Resoluo:
A taxa mdia uma mdia das taxas individuais. Os pesos de ponderao
so os produtos .
= 5,5% 1.000 + 4% 2.000 + 4,5% 4.000 1.000 + 2.000 + 4.000
Dividindo numerador e denominador por n:
= 5,5% 1.000 + 4% 2.000 + 4,5% 4.0001.000 + 2.000 + 4.000
= 55 + 80 + 1807.000
=315
7.000= 4,5%
Gabarito: D
Questo 19 AFRF 2002-1 [ESAF]
Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$
3.500,00 so aplicados taxa de 4% ao ms, juros simples, durante
dois, trs, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo
mdio de aplicao
destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias
c) trs meses e vinte e dois dias
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d) dois meses e vinte dias
e) oito meses
Resoluo:
O prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos individuais. Os pesos
de ponderao so os produtos Como as taxas so todas de 4%, no final
das contas, os pesos de ponderao sero apenas os capitais.
= 2.000 2 + 3.000 3 + 1.500 4 + 3.500 62.000 + 3.000 + 1.500 +
3.500
= 4
O prazo mdio de 4 meses.
Gabarito: A
3. DESCONTO SIMPLES
Quando estudamos porcentagem, vimos como calcular uma reduo
percentual.
Exemplo: se um produto custa 100,00 e conseguimos uma reduo de
10%, o produto passa a custar 90,00.
Este procedimento est intimamente relacionado ao clculo do
desconto: trata-se da reduo de um determinado valor. No caso, este
tipo de clculo acima descrito corresponde ao desconto comercial
simples.
Aqui veremos dois tipos de desconto: o desconto comercial
simples e o desconto racional simples.
Embora no nosso dia a dia o desconto comercial seja o mais
comum, veremos que o desconto racional que merece maior ateno. Ele
mais importante, digamos assim, pois sua frmula guarda
correspondncia com a frmula dos juros simples.
3.1. Desconto racional simples
Geralmente ns associamos o desconto reduo do preo de uma
mercadoria em virtude de um pedido do cliente (barganha, choro,
pechincha). Este, sem dvidas, um possvel entendimento. Aqui,
contudo, o sentido em que estamos interessados outro.
Para gente, o desconto ainda vai significar a reduo de um valor
(de uma dvida, por exemplo). Mas a reduo est associada ao pagamento
antecipado da dvida. Podemos pensar que o desconto corresponde ao
juro que se deixa de pagar, devido antecipao de pagamento.
A este tipo de desconto, que corresponde aos juros que se deixam
de pagar, chamamos de desconto racional. Se o regime for simples,
teremos juros simples correspondendo ao
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desconto racional simples. Se o regime for composto, teremos
juros compostos correspondendo ao desconto racional composto.
Alm destes, h o desconto comercial (que pode ser simples ou
composto). O desconto comercial, por sua vez, no guarda
correspondncia com os juros, como veremos mais adiante.
Exemplo 6
Pedro pegou um dinheiro emprestado com Joo. Os dois combinaram
que a dvida seria quitada em 15/12. O valor da dvida, nesta data,
seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros. Contudo, em
15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar
a dvida com Joo. Os dois acertam uma taxa de desconto racional
simples de 2% ao ms. Nestas condies, qual o valor que quita a
dvida, em 15/10?
Resoluo.
Este um problema tpico de desconto. Aqui temos uma situao
contrria vista com os juros. No problema de juros visto l no comeo
da aula (Exemplo 1 fl. 7), Pedro usou o dinheiro de Joo por um
certo tempo. Por conta disto, pagou juros. O juro uma remunerao
pelo dinheiro emprestado.
Aqui, novamente, Pedro est com o dinheiro de Joo. Portanto, est
pagando juros. O total da dvida, em 15/12, ser de R$ 1.300,00.
Contudo, Pedro consegue dinheiro para quitar a dvida j em
outubro, com dois meses de antecedncia.
Ora, se Pedro est pagando antes, ento ele vai ficar menos tempo
com o dinheiro de Joo. Portanto, ter o direito de pagar menos
juros. Da vem o desconto. Desconto o juro que se deixa de
pagar.
Na verdade, no regime simples esta afirmao no realmente
verdadeira. Ela quase verdadeira No regime composto (juros e
descontos compostos) ela j se torna 100% correta. Quando estudarmos
o desconto composto, falaremos mais a respeito.
Ento isso. Pedro vai pagar com dois meses de antecedncia.
Portanto, vai pagar menos, pois est ficando menos tempo com o
dinheiro de Joo.
Alguns nomes especiais. O valor final da dvida (se ela fosse
paga na data inicialmente combinada, ou seja, 15/12) costuma
receber o nome de Valor Nominal ( N ).
A quantia paga em 15/10 recebe o nome de Valor Atual ( A ).
A diferena entre o Valor Nominal e o Valor Atual o Desconto ( D
)
A frmula envolvida :
= 1 +
Onde:
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A o valor atual (valor da dvida em 15/10; neste exemplo, o valor
que queremos calcular)
N o valor nominal (valor da dvida em 15/12; neste caso, igual a
R$ 1.300,00).
n o nmero de perodos de antecipao (o pagamento antecipado em
dois meses; portanto n = 2)
i a taxa de desconto (neste exemplo, igual a 2%, ou 0,02)
Substituindo os valores ficamos com:
= 1 +
= 1.3001 + 0,02 2
=1.300
1,04= 1.250
Portanto, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.250,00.
Vamos calcular o desconto conseguido por Pedro.
= = 1.300 1.250 = 50
Pedro consegue um desconto de R$ 50,00, por ter feito o
pagamento antecipado.
Acima vimos a frmula do valor atual. Ela mais conhecida, pois,
em geral, a grandeza que seja deseja calcular justamente o valor
atual. Mas nada impede de isolarmos o valor nominal:
= 1 +
= (1 + ) A partir da frmula do valor nominal podemos chegar em
outra frmula para o desconto:
= = 1 + = +
= O desconto racional tambm pode ser chamado de desconto por
dentro.
Mais alguns comentrios sobre os termos que acabamos de
estudar.
O valor nominal a quantia devida ao final do prazo pactuado, na
data de vencimento da operao. Quando a operao envolve o resgate de
um ttulo, o valor nominal tambm pode ser chamado de valor de
face.
O valor atual a quantia devida em instante anterior data de
vencimento da operao. Tambm pode ser chamado de valor presente.
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O desconto a quantia que deve ser deduzida do valor nominal para
a obteno do valor atual. Ele ocorre justamente em funo do pagamento
antecipado da dvida (ou do resgate antecipado de um ttulo).
TOME NOTA!!!
Frmulas para o desconto racional simples (ou desconto por
dentro)
= 1 + (vale s para desconto racional simples)
= (vale para qualquer tipo de desconto) = (decorrente das duas
anteriores, vale s para desconto
racional simples
Exemplo 7
Vamos dar continuidade ao problema anterior. Suponha que Pedro
pagou os R$ 1.250,00 ao Joo, no dia 15/10, s 10 horas da manh,
quitando assim sua dvida. Pois bem, nesse mesmo dia, tarde, Mrio, o
irmo de Pedro, foi preso. Pedro teve que ir pagar a fiana. Por
coincidncia, a fiana era exatamente de R$ 1.250,00. s 16 horas
Pedro liga para Joo e pede emprestado os R$ 1.250,00 que acabara de
lhe entregar. Joo empresta o dinheiro. Os dois combinam uma taxa de
juros simples de 2% ao ms. Em 15/12, Pedro quita sua nova dvida com
Joo. Pergunta: qual o valor que, em 15/12, quita a dvida?
Resoluo:
Agora o problema no mais de desconto. de juros. Pedro ficou com
o dinheiro de Joo por dois meses e, por conta disto, tem que pagar
juros.
Os juros pagos so de:
= = 2 0,02 1.250 = 50
Portanto, o montante ao final dos dois meses ser igual ao
capital inicial (=1.250,00) mais os juros de 50,00.
= + = 1.250 + 50 = 1.300 A dvida ficou, em 15/12, novamente
igual a R$ 1.300,00
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Observe a correspondncia entre juros simples (visto neste
exerccio) e o desconto racional simples (visto no exerccio
anterior).
Um valor nominal de 1.300, sofrendo um desconto racional simples
de 2% ao ms, durante dois meses, resulta num valor atual de
1.250.
E um capital de 1.250, rendendo juros simples de 2% ao ms,
durante dois meses, resulta em um montante de 1.300.
Por isso dizemos que as frmulas de juros simples e desconto
racional simples so correspondentes. Para deixar mais claro,
observem o procedimento a seguir.
Vamos partir da frmula do montante de uma aplicao sob juros
simples:
= 1 + Agora vamos trocar os nomes.
No lugar do montante, colocamos o valor nominal. Ambos se
referem quantia de dinheiro l em 15/12.
No lugar do capital, colocamos o valor atual. Ambos se referem
quantia de dinheiro em 15/10.
Ficamos com:
= 1 + Isolando o valor atual:
= 1 +
Que a mesma frmula vista no exerccio anterior.
Devido a esta correspondncia entre juros e desconto racional, a
taxa de juros praticada no desconto racional tambm chamada de taxa
efetiva. Em outras palavras, a taxa efetiva a taxa de juros que faz
com que um capital de valor A se transforme em um montante de valor
N.
TOME NOTA!!!
A taxa praticada no desconto racional tambm chamada de taxa
efetiva.
Ou ainda: a taxa efetiva aquela que incide sobre o valor atual e
o transforma no valor nominal.
300.150250.1 =+Capital Juros Montante
V.atual Desconto V. nominal
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3.2. Desconto comercial simples
Este outro tipo de desconto, tambm chamado de desconto por
fora.
Ao contrrio do desconto racional, a frmula do desconto comercial
no guarda correspondncia com a frmula de juros simples.
A frmula do valor atual (no caso de desconto simples comercial)
fica:
= (1 ) A partir disso, podemos obter a frmula do desconto.
= = 1
= + =
Como j dissemos, os problemas de descontos (sejam comerciais,
sejam racionais) estaro relacionados com a antecipao de valores.
Pode ser o pagamento de uma dvida de forma antecipada, o resgate
antecipado de um ttulo, no importa. Sempre haver o fator tempo.
Sempre haver uma antecipao!
Alm desse tipo de desconto, temos aquele do dia a dia do
comrcio. Aquele fruto da barganha, da pechincha. Esse desconto ns
no estudamos aqui em matemtica financeira. Melhor dizendo: at pode
haver questes abordando este assunto, mas isso no o foco da
matemtica financeira: aqui s nos interessamos pelo estudo do
dinheiro no tempo (antecipao de dvidas, financiamentos,
refinanciamentos, sries de pagamentos etc)
Apesar disso, devemos destacar que o clculo do desconto
comercial idntico ao clculo desse desconto do dia a dia. Falamos
mais sobre isso no exemplo a seguir.
TOME NOTA!!!
Frmulas para o desconto comercial simples (ou desconto por
fora)
= (1 ) (vale s para desconto comercial simples) = (vale para
qualquer tipo de desconto)
= (decorrente das duas anteriores, vale s para desconto
comercial simples
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Exemplo 8
Pedro pegou um dinheiro emprestado com Joo. Os dois combinaram
que a dvida seria quitada em 15/12. O valor da dvida, nesta data,
seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros.
Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais,
suficiente para quitar a dvida com Joo. Os dois acertam uma taxa de
desconto comercial simples de 2% ao ms.
Nestas condies, qual o valor que quita a dvida, em 15/10?
Resoluo:
Questo muito semelhante ao Exemplo 6. A nica coisa que mudou foi
a forma de se calcular o desconto: de racional para comercial.
Aplicando a frmula do valor atual:
)1( inNA = )02,021(1300 =A
1248=A
E o desconto fica:
5212481300 ==D
Assim, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.248,00. E o
desconto obtido foi de R$ 52,00.
Exemplo 9
Um ttulo de valor de face de R$ 110,00 vence dentro de 1 ms.
Considerando uma taxa de desconto de 10% ao ms, calcule o valor
atual deste titulo nas seguintes situaes:
a) considerando desconto comercial
b) considerando desconto racional
Resoluo:
a) Aplicando a frmula:
)1( inNA = 99)1,01(110 ==A
Podemos pensar que foi dado um desconto de 10%, percentual este
que incide sobre o valor nominal. Assim, desde que %10 de 110 igual
a 11, ento o desconto dado foi de 11 reais.
Este talvez seja a forma de clculo de desconto mais usual no
nosso dia a dia. a forma a que estamos acostumados. Se chegarmos
numa loja em que o produto custa 110,00 e
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pedirmos um desconto de 10%, naturalmente, consideramos que este
percentual vai incidir sobre os R$ 110,00.
Assim, dizemos que, no desconto comercial, o percentual de
desconto incide sobre o valor nominal.
b) Aplicando a frmula:
)1( inNA
+=
100)1,1(110
==A
Agora a situao mudou. Foi dado um desconto de 10%, percentual
este que incide sobre o valor atual. Logo, se o valor atual igual a
100, ento o desconto conseguido de 10,00 (que corresponde a 10% de
100).
Esse tipo de desconto talvez no seja assim to usual para gente.
Mas, em matemtica financeira, o mais importante, pois o desconto
que guarda correspondncia com os juros.
Agora, algumas dicas para lembrarmos dos nomes.
L nos problemas de juros, geralmente estvamos interessados em
calcular o montante (obtido ao final de uma aplicao, por exemplo).
Por isso foram dadas frmulas para o clculo do montante. evidente
que um problema poderia fornecer o montante e pedir o valor do
capital. Isso perfeitamente possvel. Mas, de forma geral, dizemos
que o grande interesse o clculo do montante.
Aqui, em descontos, a coisa muda. De forma geral o interesse no
clculo do valor atual. Temos um ttulo que vence em data futura e
queremos saber qual o valor dele na data de hoje. Queremos,
portanto, seu valor atual. Por isso as frmulas fornecidas so para
clculo do A.
Pois bem, analisemos estas frmulas.
No desconto racional, a frmula do valor atual :
)1( inNA
+=
O valor atual obtido a partir de uma diviso, que em matemtica
sinnimo de razo. Da podemos lembrar do nome: desconto racional.
J no desconto comercial, a frmula :
)1( inNA = Aqui no tem razo alguma. No h qualquer diviso. No um
desconto racional. Pelo contrrio: esse o desconto que mais usual no
dia a dia, no comrcio. Acaba correspondendo ao clculo do desconto
conseguido quando a gente barganha com o vendedor. Da: desconto
comercial.
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Vamos comparar os dois descontos. Na primeira situao, o valor
nominal de 110,00. Ele pode ser separado em duas partes: uma de 99,
referente ao valor atual; outra de 11, referente ao desconto.
A figura acima representa os R$ 110,00 e suas duas partes, de
tal modo que:
DAN +=
1199110 +=
Note que o desconto de 10%, percentual que incide sobre o valor
nominal, ou seja, o valor maior, o valor de fora. Da: desconto por
fora.
Na letra b, o valor nominal de R$ 110,00 decomposto assim:
Agora, temos:
DAN +=
10100110 +=
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Note que o desconto de 10%, percentual que incide sobre o valor
atual, ou seja, o valor menor, o valor de dentro. Da: desconto por
dentro.
Questo 20 MTE 2010 [ESAF]
Um ttulo sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00
cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao
ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo?
a) R$ 60.000,00.
b) R$ 46.157,00.
c) R$ 56.157,00.
d) R$ 50.000,00.
e) R$ 55.000,00.
Resoluo:
No desconto simples racional (ou por dentro) a taxa de desconto
incide sobre o valor atual:
= 10.000 = 5 0,04 = 10.000
0,2= 50.000
Tendo o valor atual e o desconto, podemos calcular o valor
nominal.
= 10.000 = 50.000
= 60.000 Gabarito: A
Questo 21 SEFAZ PB 2006 [FCC]
Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um
ttulo de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe na
data da operao de desconto comercial simples o valor de R$
28.500,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a
operao de desconto comercial simples, descontando um ttulo de valor
nominal de R$ 24.000,00, 3 meses antes de seu vencimento,
receber
(A) R$ 22.500,00
(B)) R$ 22.200,00
(C) R$ 22.000,00
(D) R$ 21.000,00
(E) R$ 20.000,00
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Resoluo:
Na primeira situao, o desconto foi de:
= = 30.000 28.500 = 1.500 No desconto comercial simples, a taxa
incide sobre o valor nominal.
= 1.500 = 30.000 2 = 1.500
30.000 2= 2,5%
Na segunda situao, o valor nominal de R$ 24.000 e o prazo de
antecipao de 3 meses.
= 1 = 24.000 1 3 2,5% = 22.200
Gabarito: B
Questo 22 INFRAERO 2009 [FCC]
Um ttulo de valor nominal igual a R$ 20.000,00 descontado 3
meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$
18.800,00, segundo uma operao de desconto comercial simples. Um
outro ttulo de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2
meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operao de
desconto do primeiro ttulo, apresenta um desconto de valor igual
a
(A) R$ 1.500,00
(B) R$ 1.200,00
(C) R$ 1.000,00
(D) R$ 900,00
(E) R$ 750,00
Resoluo:
Primeira operao:
= = 20.000 18.800 = 1.200 Portanto:
= 1.200 = 3 20.000 = 1.200
3 20.000= 2%
Segunda operao:
=
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= 25.000 0,02 2 = 1.000 Gabarito: C
Questo 23 CVM 2001 [ESAF]
Um ttulo de valor de face de R$ 100.000,00 vence no dia 31 de
julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo ms,
a uma taxa de desconto de 6% ao ms.
a) R$ 4.000,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 1.500,00
e) R$ 1.000,00
Resoluo:
Valor de face o mesmo que valor nominal.
O ttulo vence em 31 de julho. Entretanto, o pagamento feito
antes do dia 31. O pagamento antecipado em 20 dias. Graas a esta
antecipao de pagamento a pessoa que paga o ttulo ter um
desconto.
A taxa de desconto de 6% ao ms.
Vamos aplicar a frmula do valor atual:
= 1 = 100.000 1 20 0,06
= 20.000
Certo???
Errado!!!
Observe que o prazo est em dias e a taxa est ao ms. No podemos
aplicar a frmula quando isto acontece.
Vamos passar o prazo para meses por meio de regra de trs.
1 ms corresponde a trinta dias.
X meses correspondem a 20 dias.
1 ----- 30
X ----- 20
Multiplicando cruzado:
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20 1 = 30 = 2
3
Assim, o pagamento foi feito com antecipao de dois teros de
ms.
Agora, a taxa est ao ms e o prazo est em meses.
J podemos aplicar a frmula:
= 1 = 100.000 1 2
3 0,06
= 100.000 1 2 0,02 = 100.000 0,96 = 96.000
= = 100.000 96.000 = 4.000 Gabarito: A
Questo 24 STN 2005 [ESAF]
Marcos descontou um ttulo 45 dias antes de seu vencimento e
recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de
60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo
da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao ms
b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao ms
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao ms
Resoluo:
Primeiro vamos calcular o valor nominal do ttulo.
Para aplicar a frmula, precisamos que a taxa e o prazo estejam
na mesma unidade.
Para tanto, fazemos a regra de trs. Como o exerccio nada disse
sobre a forma de contagem do prazo, consideramos que cada ms tem
trinta dias e o ano tem 360 dias.
1 ano corresponde a 360 dias.
X anos correspondem a 45 dias.
1 ---- 360
X ----- 45
Multiplicando cruzado:
360 = 1 45
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= 45360
=1
8
O prazo foi, ento de um oitavo de ano.
Aplicando a frmula do valor atual:
= (1 ) 370.000 = 1 1
8 0,6
370.000 = 8 0,68
370.000 = 7,48
= 370.000 8 7,4 = 400.000 J achamos o valor nominal. Ficamos
entre as alternativas b e d.
Agora precisamos calcular a taxa efetiva.
A taxa efetiva a taxa que praticada no desconto racional.
Vejamos qual seria esta taxa, aplicando a frmula do valor atual
quando o desconto racional.
O valor nominal 400.000. O valor atual de 370.000. O prazo de
1/8 de ano.
A taxa efetiva faz com que o valor atual (370.000) se transforme
no nominal (400.000).
400.000 = 370.000 1 + 400.000 = 370.000 1 + 1
8
1 +8
=400.000
370.000= 1,081
8
= 0,081
= 0,649 A taxa de 64,9%. Como o prazo utilizado est em anos,
esta taxa tambm ao ano. Portanto, a letra d est errada, pois afirma
que a taxa efetiva de 60% ao ano. A taxa de desconto racional
(=taxa efetiva) procurada de 64,9%.
A letra b traz uma taxa mensal. Vamos converter esta taxa anual
(=64,9%) para taxa mensal.
Como o regime simples, podemos aplicar regra de trs. Em um ano
(=12 meses) a taxa efetiva de 64,9%.
Em um ms a taxa efetiva de X.
12 meses ----- 64,9%
1 ms ----- X
Multiplicando cruzado:
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12 = 64,9 = 5,4% Gabarito: B
Questo 25 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]
Um ttulo sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00
quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5%
ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 17.500,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 27.500,00
Resoluo:
Temos aplicao direta da frmula:
= 2.500 = 0,025 4
2.500 = 0,1 = 2.500
0,1= 25.000
Gabarito: B
Questo 26 MP RS 2008 [FCC]
Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais
igual a R$ 22.000,00 so descontadas em um banco segundo uma operao
de desconto bancrio simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira
descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses
antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi
igual a R$ 1.680,00, ento o maior valor nominal das duplicatas, em
R$, igual a
(A) 15.000,00
(B) 18.000,00
(C) 12.000,00
(D) 14.000,00
(E) 16.000,00
Pancada!!!
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Resoluo:
Outra questo bem difcil.
O desconto bancrio um tipo de desconto comercial em que, alm da
taxa de juros usual, embutida uma taxa de despesas
administrativas.
Neste exerccio, a taxa de 36% ao ano. Portanto, a taxa mensal
:
36%
12= 3%
Sejam e os valores nominais das duplicatas e , os descontos
obtidos. Temos:
= 2 0,03 = 0,06 (equao I)
Para a segunda duplicada, tem-se:
= 3 0,03 = 0,09 (equao II)
O exerccio disse que a soma dos dois descontos 1.680,00.
Vamos somar as equaes I e II:
+ = 0,06 + 0,09 1.680 = 0,06 + 0,09
1.680 = 0,06 + 0,06 + 0,03 Colocando 0,06 em evidncia:
1.680 = 0,06 + + 0,03 A soma dos valores nominais 22.000.
1.680 = 0,06 22.000 + 0,03 1.680 = 1.320 + 0,03
0,03 = 1.680 1.320 = 360 = 3600,03 = 12.000
Como a soma dos valores nominais R$ 22.000,00 e uma das
duplicatas vale R$ 12.000,00, conclumos que a duplicata restante de
R$ 10.000,00.
Ou seja, as duplicatas so de R$ 10.000,00 e R$ 12.000,00.
Gabarito: C
3.3. Relao entre desconto comercial e racional
Fixado o valor nominal, e fixada a taxa de desconto i, ento os
descontos comercial (Dc) e racional (Dr) se relacionam do seguinte
modo:
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= 1 + Isso pode ser percebido do seguinte modo.
No desconto comercial, temos:
= No desconto racional, temos:
= Substituindo o valor de A:
= 1 + Dividindo os dois descontos:
=
1 +
=
1
1 + = 1 +
Que o resultado apresentado.
Alguns exerccios cobram justamente isso.
Questo 27 AFRF 2002-1 [ESAF]
Um ttulo sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 trs meses
antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms.
Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse
simples e racional.
a) R$ 9.810,00
b) R$ 9.521,34
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.200,00
e) R$ 9.000,00
Resoluo:
Basta aplicar a frmula que relaciona os dois descontos:
)1( inDrDc += )03,031(810.9 += Dr
)09,1(810.9 = Dr
000.909,1810.9
==Dr
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O desconto racional simples seria de R$ 9.000,00.
Gabarito: E
Questo 28 SEFAZ/PA 2002 [ESAF]
Uma nota promissria sofre um desconto simples comercial de R$
981,00, trs meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto
de 3% ao ms. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o
valor do desconto correspondente mesma taxa.
a) R$ 1.000,00
b) R$ 950,00
c) R$ 927,30
d) R$ 920,00
e) R$ 900,00
Resoluo:
Basta aplicar a frmula que relaciona os dois descontos:
)1( inDrDc += )03,031(81.9 += Dr
)09,1(81.9 = Dr
90009,181.9
==Dr
O desconto racional simples seria de R$ 900,00.
Gabarito: E
Questo 29 BACEN 2001 [ESAF]
Um ttulo deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00
trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou troca
do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o
novo desconto, considerando a taxa de 4% ao ms.
a) R$ 500,00
b) R$ 540,00
c) R$ 560,00
d) R$ 600,00
e) R$ 620,00