Nokta (Skaler) Çarpım - DEUkisi.deu.edu.tr/burak.felekoglu/statik3.pdf1 Nokta (Skaler) Çarpım • Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya

1

Nokta (Skaler) Çarpım•

Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması

gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri

ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır.

•

Skaler

çarpım, iki vektörün çarpımı

için özel bir yöntemdir.

•

A

ve B

vektörlerinin skaler

çarpımı, AB

şeklinde yazılır ve A

skaler

çarpım B

diye okunur. A ve B’nin

büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı

olarak tanımlanır.

oo

BABA1800

cos

2

•

Bu çarpıma skaler

çarpım veya nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları

:

–

Değişme özelliği (komütatiflik

)–

Skaler

ile çarpım

–

Dağılma kuralı

(distributiflik)

)()()(

)()()(

DABADBA

BaABAaBAa

ABBA

3

Kartezyen vektör formülasyonu

cosBABA Formülünü

kullanarak kartezyen

birim vektörlerin çarpımını

bulmak için kullanılabilir.

Örneğin:

0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ

jkkikkjj

jiii oo

4

Uygulamalar •

Skaler

çarpımın mekanikte iki önemli uygulama

alanı

vardır:–

1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı

cosBABA

1800)(cos 1 ABBA

zzyyxx BABABABA

5

Uygulamalar •

2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması:

Aa

: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü

de denir. a-a’nın doğrultusu ua

birim vektörüyle belirlenmişse, Aa

vektörünün şiddeti skaler

çarpımla bulunabilir.

.

coscos)1(

bulunurşeklindeuAA

AAuuuAA

aa

a

aaa

6

•

A vektörünün dik bileşeni:

.'

sincos

)cos(

22

1

bulunurdenAAA

veyaAAAuA

uAAAAAAAA

a

a

aaa

1800)(cos 1 ABBA

7

ÖRNEK 6

Şekilde verilen F kuvvetinin AB çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz.

A (0; 0; 0) B (2; 6; 3) kjirB ˆ3ˆ6ˆ2

80ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ

jkkikkjj

jiii oo

9

Noktasal Cismin Dengesi

Bölüm 3

Bu bölümde;

Kuvvetleri bileşenlerine ayırma ve kartezyen

vektör

şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemlerin çözümünde kullanılacaktır.

10

Noktasal Cismin Dengesi•

Denge Koşulu: Bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa maddesel nokta dengededir.

•

Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir.

•

“denge”

veya “statik denge”

ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır.

11

•

Denge durumunu korumak için Newton’un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir: bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir.

•

Bu formül denge için gerekli koşul olmakla kalmayıp, aynı zamanda yeterli koşuldur. Bu durum Newton’un ikinci

hareket kanunu ile ortaya konur.

•

Parçacık sabit hızla hareket etmekte veya durmaktadır

0F

00 aamamF

12

Serbest Cisim Diyagramı

•

Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmak gerekir. Bunun için parçacığı

çevresinden soyutlanmış

ve serbest olarak gösteren bir şema çizilir.

•

Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösteren bu çizime “serbest cisim diyagramı” denir.

•

Serbest cisim diyagramını

çizerken kullanılan iki bağlantı tipi :

–

Yaylar–

İpler ve makaralar

13

Yaylar •

Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı

olarak değişir.

•

Yayların elastikliğini tanımlayan : yay sabiti (k)

0llsksF

NmmmNksFNmmmNksF

mlmlmNkml

100)4.02.0)(/500(100)4.06.0)(/500(

2.06.0/5004.00

14

İpler (Kablolar) ve Makaralar

•

Tüm kabloların ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu kabul edilecektir.

•

Kablolar sadece çekme kuvveti taşırlar ve bu kuvvet daima kablo doğrultusunda etki eder.

•

Şekilde herhangi bir açısında, kablo uzunluğu

boyunca sabit T gerilmesi oluşmaktadır.

15

Serbest Cisim Diyagramı

Çizme Yöntemi

Öncelikle yapılması

gereken;

Uygun bir parçacık belirlendikten sonra buna etkiyen kuvvetleri gösterebileceğimiz serbest cisim diyagramını

basit bir şekilde çizmektir.

16

•

1.adım: parçacık çevresinden soyutlanarak, serbest kaldığı düşünülerek genel hatlarıyla çizilir.

•

2.adım: parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetler gösterilir. Bu kuvvetler cismi hareket ettirmeye çalışan “aktif kuvvetler”

ve/veya hareketi önleme eğilimi olan kısıtlamalar ve mesnetlerin neden olduğu “tepki (reaktif) kuvvetleri”dir.

•

3.adım: bilinen kuvvetler uygun büyüklük (şiddet) ve doğrultularla (yön) işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin şiddet ve yönü

ise harfle gösterilir.

•

Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor, ancak yönü

ve şiddeti bilinmiyorsa, kuvvet yönünü

tanımlayan “ok ucu”

varsayıma

göre seçilir. Doğru yön şiddet bulunduktan sonra işaretlenir. Tanım gereği şiddet daima pozitiftir, çözüm negatif bir skaler

verirse eksi işareti kuvvetin ucunun veya yönünün başta varsayılanın tersi yönde olduğunu gösterir.

17

Örnek 7

•

C noktasının serbest cisim diyagramını

çiziniz.

18

Düzlemsel Kuvvet Sistemleri

•

x-y düzleminde bulunan kuvvetlerin dengede olması

için vektörel

toplamın “sıfır” olması

gerekir.

•

Bu vektörel

denklemin sıfıra eşit olması

için x ve y

bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır.

•

Bu iki denklem en çok iki bilinmeyen kuvvetin bulunması

için kulanılır.

•

Denklemlerde kuvvetlerin yönleri de dikkate alınmalıdır.

00

0ˆˆ0

yx

yx

FF

jFiFF

19

Skaler

gösterim•

Bileşenlerin gösteriminde skaler

notasyon

kullanılacaktır.

Her bir bileşenin yönü

serbest cisim diyagramında bileşenin ok yönüne karşı

gelen bir cebirsel işaret ile

ifade edilir. Bir kuvvet bileşeninin işareti bilinmiyorsa, alınan yön pozitif olur, çözüm negatif çıkarsa kuvvet yönünün ters olduğu anlaşılır.

•

Örneğin,

NFFFx 100100

20

Örnek 8•

D silindiri 60 kg’dır. BA ve BC kablolarında oluşan çekme kuvvetlerini bulunuz.

21

22

Örnek 9•

8 kg’lık

lambanın şekildeki

gibi taşınabilmesi için AC kablosunun uzunluğu ne olmalıdır?

•

l’AB

=0.4 m (deforme olmamış

boy)

23

24

•

Şekilde gösterilen kablolarda 0.5 kN’un

üzerinde çekme kuvveti oluşmaması

için asılı

olan kovanın ağırlığını

(W)

bulunuz.

Ödev 7

W

25

Üç

Boyutlu Kuvvet Sistemleri•

Parçacık dengesinin sağlanması

için:

•

Parçacık üzerine etkiyen kuvvetler i, j, k bileşenlerine ayrılırsa:

Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını

göstermektedir, “0”dır.

Bu denklemler ile en fazla 3 bilinmeyen kuvvet bulunabilir.

26

Örnek 10

40 N’luk

sandığı

taşımak için kullanılan kablolarda oluşan kuvvetleri bulunuz.

27

28

Kuvvet Sistemleri•

Bir kuvvetin bir nokta veya eksene göre momentinin bulunması

•

Bir noktadan geçmeyen kuvvet sistemlerinin bileşkelerinin bulunması

•

Kuvvet çiftinin oluşturduğu momentin bulunması•

İki ve üç

boyutlu kuvvetler için moment hesaplanması

•

Moment bir cismi döndürmeye çalışır, denge ise cismin dönmemesini gerektirir.

•

Bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cismi etki çizgisinin dışında bir nokta etrafında döndürmeye çalışır. Bu döndürme eğilimine “tork”

veya daha sık kullanıldığı

şekliyle “moment”

denir.

29

Bir kuvvetin momenti•

Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti (M), kuvvetin cismi o nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsünü

gösterir.

•

Momentin şiddeti, F kuvvetinin şiddeti ile orantılıdır ve F kuvvetine dik olan

moment kolu d ile

orantılıdır. •

(b)’de moment kolu daha kısa !

d’=dsin

(d’<d)•

(c)’de =0 d’=0 M=0

M0

= F . d

30

•

Moment daima F ve d’yi

içeren düzleme dik bir eksen etrafında etkimektedir. Ve bu eksen düzlemi, “O”

noktasında kesmektedir.

•

Şiddeti “M0 = F . d ”

olan momentin doğrultusu sağ

el kuralı

kullanılarak

belirlenir.•

Momentin birimi; Nm, kNcm

31

Bileşke Moment•

Bir kuvvet sistemi x-y düzleminde yer alırsa, her bir kuvvetin O noktasına göre momenti z ekseni yönünde olacaktır.

•

Sistemin bileşke momenti, bütün kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı

alınarak

bulunabilir, çünkü

bütün moment vektörleri aynı

doğrultudadır.

•

Moment saatin tersi yönündeyse (+), saat yönündeyse (-)•

Sağ

el kuralına göre baş

parmak sayfa düzleminin dışına

doğru (+z ekseni) ise (+), içine (-z ekseni) doğruysa (-)

32

Örnek 11

33

Örnek 12Etkiyen dört kuvvetin O noktasında oluşturduğu bileşke momentin değerini bulunuz.

Pozitif moment yönü, +k yönünde, yani saatin tersi yönünde olduğu kabulü

ile:

34

•

F kuvveti her zaman dönme etkisi yaratmayabilir. F kuvveti A noktasında MA

=F.dA

momenti kadar döndürmeye çalışıyor, ancak gerçek döndürme etkisi B mesnetinin

kaldırılması

halinde oluşur.

•

Çiviyi çıkarmak için FHkuvvetinin O noktasında yaratmış

olduğu momentin,

FN

çivi kuvvetinin yaratmışolduğu momentten büyük olması

gerekir.

35

Vektörel

çarpım (çapraz çarpım)

•

Bir kuvvetin momenti, kartezyen

vektörler kullanılarak ifade edilebilir. Bundan önce vektör çarpımında kullanılacak olan çapraz çarpıma bakalım. A ve B vektörlerinin vektörel

(çapraz) çarpımı

sonucu C

vektörü

elde edilir.

•

C vektörünün şiddeti de şu şekilde bulunabilir:

BAC

sinABC

36

•

YÖN: C vektörünün yönü, A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Sağ

el kuralı

ile belirlenir.

•

C vektörünün yönü, uc

birim vektörüyle karakterize edilebilir.

•

Parmaklarımızı

A’dan

B’ye doğru kıvırdığımızda

başparmağımızın gösterdiği yön C vektörünün yönünü

gösterir.

cuABBAC )sin(

sinABC

37

Vektör çarpım kuralları

her durumda şiddet aynı

doğrultu aynı

Distributif

özellik

asosiyatif

özellik

38

Kartezyen vektör formülasyonu•

Kartezyen birim vektörlerinin çapraz çarpımlarını

bulmak için:

•

A ve B vektörlerinin vektörel

çarpımı

:

•

Bu terimler düzenlenirse :

39

•

Vektörel

çarpım, determinant formunda da ifade edilebilir. Bu determinant (3 satır ve 3 kolona sahip) üç

minör

kullanılarak hesaplanır.

Kartezyen vektör formülasyonu

Determinant hesabı

için minörlerin bulunması

Bu üç bileşen

toplanır ve determinant

bulunur :

40

Bir kuvvetin momenti: Vektör formülasyonu

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti

FrM

0

O noktasında F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörü

Vektörel

çarpım ile belirlenen moment doğru şiddet ve doğru yöne sahip olacaktır.

41

Şiddet

FdrFrFMFrM )sin(sin00

= r ve F vektörleri arasındaki açı d = dik mesafe

YönSağ

el kuralına göre

momentin yönü

belirlenir.

42

Taşınabilirlik (Transmisibilite) ilkesi

FrFrFrM

3210

Vektörel

çarpım işlemi, üç

boyutlu problemlerde

sıklıkla kullanılır. Çünkü kuvvetin etki çizgisinden

O noktasına olan dik mesafeyi bulmaya gerek yoktur. O noktasından F

kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine ölçülen r vektörü

moment hesabı

için kullanılabilir.

F kuvveti etki çizgisinin herhangi bir yerine etkiyebilir, ve O noktasında aynı

moment etksini

yaratır.

43

Momentin kartezyen

vektör formülasyonuna

göre bulunması

+

+

Konum vektörü

bileşenleri

Kuvvet vektörü

bileşenleri

44

Bir kuvvet sisteminin bileşke momenti

•

Bir kuvvet sisteminin O noktasına göre bileşke momenti şöyle bulunur:

i

iir FrM

0

45

•

O noktasında oluşan moment değerini ve yönünü

bulunuz.

Örnek 13

46