UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS DESENHO TÉCNICO / ICA 221 1. GEOMETRIA DESCRITIVA - DEFINIÇÃO Utiliza de projeções ortogonais para representar objetos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais. A visão para adotar o método construtivo na geometria descritiva precisa ser espacial. A Geometria Descritiva e importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma. Gaspar Monge (1746 a 1818), figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas em que são consideradas até 3 dimensões, por meio de traçados, que permitem a real utilização nas artes e nas indústrias dos princípios geométricos, como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. 2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO Esses traçados obtêm-se projetando sobre um plano dado, os diversos pontos de uma figura ou pelo menos, os necessários à sua determinação no espaço. A projeção de um ponto sobre um plano é a interseção com esse plano de uma reta que passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e pode ser traçada paralelamente a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo. Essas duas condições dividem as projeções em 2 grandes sistemas: a. Projeções cilíndricas b. Projeções cônicas a. Projeções cilíndricas ou paralelas Obtém-se a projeção cilíndrica ou paralela, quando o observador se encontra no infinito . Assim os raios visuais que passam do observador aos pontos de uma figura, se tornam paralelas tendo como projeção o mesmo tamanho da figura. Poderá a projeção cilíndrica ser ortogonal ou oblíqua conforme a posição do observador quanto à perpendicularidade.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS
DESENHO TÉCNICO / ICA 221
1. GEOMETRIA DESCRITIVA - DEFINIÇÃO
Utiliza de projeções ortogonais para representar objetos tridimensionais por meio de
desenhos bidimensionais. A visão para adotar o método construtivo na geometria descritiva precisa ser espacial. A Geometria Descritiva e importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma.
Gaspar Monge (1746 a 1818), figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço.
A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas em que são consideradas até 3 dimensões, por meio de traçados, que permitem a real utilização nas artes e nas indústrias dos princípios geométricos, como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado.
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
Esses traçados obtêm-se projetando sobre um plano dado, os diversos pontos de uma
figura ou pelo menos, os necessários à sua determinação no espaço. A projeção de um ponto sobre um plano é a interseção com esse plano de uma reta que
passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e pode ser traçada paralelamente a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo.
Essas duas condições dividem as projeções em 2 grandes sistemas:
a. Projeções cilíndricas b. Projeções cônicas
a. Projeções cilíndricas ou paralelas
Obtém-se a projeção cilíndrica ou paralela, quando o observador se encontra no infinito. Assim os raios visuais que passam do observador aos pontos de uma figura, se tornam paralelas tendo como projeção o mesmo tamanho da figura.
Poderá a projeção cilíndrica ser ortogonal ou oblíqua conforme a posição do observador quanto à perpendicularidade.
3. 4.
1. 2.
b. Projeções cônicas ou perspectivas Quando o centro de projeção encontra-se próximo ao plano de projeção. O ponto de
concorrência ou centro de projeção (O), pode estar situado em 4 posições diferentes. 1. Na zona oposta à da figura. Caso em que a projeção é reduzida
2. Situado entre a figura e o plano . Caso em que a projeção pode ser reduzida ou ampliada, dependendo da distância do ponto O ao plano;
3. Situado na mesma zona da figura e mais distante do plano do que a figura. Caso em que a projeção é ampliada.
4. Situado no plano . Caso em que a projeção da figura fica reduzida a um ponto.
3.ESTUDO DO PONTO Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares um
horizontal e um vertical (H / V). Considere os dois planos, limitados, perpendiculares entre si, cuja intersecção forma um eixo chamado LINHA DE TERRA (LT) conforme Figura 1. Os dois planos, formam quatro semi-planos, formando quatro regiões denominadas Diedros, numerados em sentido anti-horário.
FIGURA 1. Planos Horizontal e Vertical, cuja intersecção forma eixo chamado LINHA DE TERRA (LT), e assim quatro semi-planos denominados DIEDROS.
Os planos, horizontal e vertical são
divididos em semi-planos:
PHA: Semi-plano horizontal anterior
PHP: Semi-plano horizontal posterior
PVS: Semi-plano vertical superior
PVI: Semi-plano vertical inferior
LT
A representação bidimensional do objeto é obtida pela Épura. Para que se possam
representar no plano as figuras do espaço, faz-se o rebatimento (Figura 2) do plano vertical sobre o plano horizontal (no sentido anti-horário) que consiste em fazê-lo girar em torno da Linha de Terra, de modo que PVS venha ficar em coincidência com PHP e PVI com o PHA. Assim após o rebatimento, obtemos a representação da épura (Figura 3).
FIGURA 2. Rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal
FIGURA 3. ÉPURA. A linha que liga a até a’ é a linha de chamada. Por convenção esta linha deve ser pontilhada.
Um objeto pode estar localizado em qualquer um dos quatro diedros, assim sendo terá
suas projeções horizontais e verticais, nos respectivos planos, horizontal e vertical. Conforme Figura 4, observe o posicionamento de um objeto em diferentes diedros.
FIGURA 4. Posicionamento de um objeto qualquer no 1 , 2 , 3 e 4 DIEDRO.
3.2 CONCEITOS PRINCIPAIS – método projetivo:
Diante de uma noção espacial, contamos com um sistema de coordenadas (X, Y, Z) onde,
X (abcissa) diz respeito à distância ao longo da Linha de Terra, Y (afastamento) é o afastamento a partir do Plano Vertical e, Z (cota) é a altura em relação ao Plano Horizontal.
Cota de um ponto é a distância desse ponto ao plano horizontal de projeção (eixo y) Afastamento é a distância do ponto ao plano vertical de projeção (eixo x) Linha de projeção (ou de chamada) é toda linha perpendicular à Linha de Terra, que une
as projeções de um mesmo ponto. (Conforme Figura 5)
FIGURA 5. Representação de um ponto no espaço por meio das coordenadas abcissas, afastamento e cota.
Sendo:
A – o ponto do espaço a’ – projeção vertical a – projeção horizontal
Na prática então:
Aa é cota Aa’ é o afastamento
Um ponto é representado em um diedro a partir das suas coordenadas (X, Y, Z). A partir dos pontos são definidas as retas, a partir das retas os planos e por fim os elementos sólidos. A
visualização correta das projeções no diedro é de grande importância. Imagine que cada diedro seja um apartamento, portanto só quem está em seu devido apartamento consegue ver a projeção do objeto na “parede” e no “chão”, ou no “teto”, se o observador estiver nos apartamentos do andar de baixo.
Projeções a e a’ do ponto A no 1º Diedro.
Projeções a e a’ do ponto A no 3º Diedro.
Os Diedros podem ser representados ora individualmente, como ilustrado ao lado, ora conjugados, simulando a idéia “quatro apartamentos” dispostos em “dois andares”, um andar inferior e outro superior.
3.3 POSIÇÕES DO PONTO NO ESPAÇO
Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes:
1ª POSIÇÃO – NO 1º DIEDRO
ÉPURA
2ª POSIÇÃO – NO 2º DIEDRO
ÉPURA
3ª POSIÇÃO – NO 3º DIEDRO
ÉPURA
4ª POSIÇÃO – NO 4º DIEDRO
ÉPURA
5ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VS
ÉPURA
6ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VI
ÉPURA
7ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HA
ÉPURA
8ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HP
ÉPURA
9ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA LINHA DE TERRA
ÉPURA
COORDENADAS POSITIVAS E NEGATIVAS
a) Cota positiva (+) – acima do plano
horizontal de projeção (1º e 2º diedros)
b) Afastamento positivo (+) – à direita do
plano vertical de projeção (1º e 4º diedros)
c) Cota negativa (-) – abaixo do plano
horizontal de projeção (3º e 4º diedros)
d) Afastamento negativo (-) – à esquerda do
plano vertical de projeção (3º E 2º diedros)
Na prática, o ponto é dado por suas coordenadas (ABCISSA, AFASTAMENTO E COTA) nessa ordem (X, Y, Z), por exemplo (Figura 6), Ponto A (2; 3; 1):
ÉPURA
FIGURA 6. Posicionamento de um ponto por meio da coordenadas (Abcissa; Afastamento ; Cota).
4.ESTUDO DA RETA
4.1. INTRODUÇÃO
A projeção de uma reta sobre o plano, é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano (Figura 7.).
FIGURA 7. Projeção de uma reta sobre o plano.
4.2 CASOS PARTICULARES
I. A projeção de uma reta sobre um plano, só
deixa de ser uma reta, quando lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto.
II. Quando uma reta for paralela a um plano, a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta.
III. Comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. Quando a reta é perpendicular, temos 1 ponto, e quando é paralela temos o limite máximo, igual ao comprimento da reta.
4.3 DETERMINAÇÃO DE UMA RETA
De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as
projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais. Ao ser feito o rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal, temos a representação da Épura, ou seja, a representação bidimensional da reta AB
(tridimensional) através das suas projeções nos planos vertical e horizontal. Abaixo, os pontos A e B definem a reta AB localizada no 1º Diedro. Assim:
A tem suas projeções a e a’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. B tem suas projeções b e b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.
A reta AB tem suas projeções ab e a’ b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical.
ÉPURA
4.3.1 POSIÇÕES DA RETA
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais recebem nomes
particulares:
a) RETA QUALQUER De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as
projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais.
Épura
b) RETA HORIZONTAL
Reta paralela ao PH e oblíqua ao PV. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à LT e a horizontal oblíqua à essa mesma linha.
Épura
c) RETA FRONTAL OU DE FRENTE Reta paralela ao PV e oblíqua ao PH. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal
paralela à LT e a vertical, oblíqua à LT.
Épura
d) RETA FRONTO HORIZONTAL Reta paralela aos 2 planos de projeção. Essa reta é também paralela à LT e sua épura é caracterizada
por possuir ambas as projeções paralelas a LT.
Épura
e) RETA VERTICAL Reta perpendicular ao PH. Neste caso, ela será obrigatoriamente, paralela ao plano vertical. Sua
épura é caracterizada por ter a projeção horizontal reduzida a 1 ponto e a vertical perpendicular a LT.
Épura
f) RETA DE TOPO Reta perpendicular ao PV. Sua épura é caracterizada por ter a projeção vertical reduzida a um ponto e
a horizontal, perpendicular a LT.
Épura
g) RETA DE PERFIL
1. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: VERTICAL SUPERIOR...
Épura
2. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: VERTICAL INFERIOR... Épura: será invisível para o observador, colocado no primeiro diedro
Épura
3. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: HORIZONTAL POSTERIOR... Épura: será invisível para o observador, colocado no primeiro diedro.
Épura
4. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta pode estar situada em um dos semi planos: HORIZONTAL ANTERIOR...
Épura
ESTUDO DO PLANO
Chama-se traço de um plano, a intersecção desse plano com o plano de projeção. Um plano é
geralmente designado por seus traços que são representados por letras maiúsculas do alfabeto e na linha de
terra uma grega ou . Assim por exemplo o plano P P’, entende-se que:
P – traço horizontal
P’ – traço vertical E por convenção o traço horizontal é pronunciado em 1: lugar.
1.1 POSIÇÕES DO PLANO
a) PLANO QUALQUER O plano é oblíquo em relação aos 2 planos de projeção. OBS: o que caracteriza o plano qualquer é
que seus traços sejam oblíquos a XY. O ângulo pode chegar ao máximo a 89: (não pode chegar a 90:), e no mínimo a 1: (não pode chegar a 0:).
ÉPURA
b) PLANO HORIZONTAL
O plano é paralelo ao plano horizontal de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um traço, que é horizontal e paralelo a LT.
ÉPURA
c) PLANO FRONTAL
O plano é paralelo ao plano vertical de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um traço, que é horizontal e paralelo a LT.
ÉPURA
d) PLANO VERTICAL
O plano é perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao vertical. Sua épura é caracterizada por possuir o traço vertical perpendicular à linha de terra e o horizontal, oblíquo à mesma linha.
ÉPURA
e) PLANO DE TOPO O plano é perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao horizontal. Sua épura é caracterizada por
possuir o traço horizontal perpendicular à linha de terra e o vertical, oblíquo à essa mesma linha.
ÉPURA
f) PLANO DE PERFIL
O plano é perpendicular aos 2 planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir os 2 traços numa mesma perpendicular à linha de terra.
ÉPURA
g) PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA
Esse plano também é oblíquo aos 2 planos de projeção, porém paralelo a LT. Sua épura é caracterizada por possuir os 2 traços, paralelos a LT.
ÉPURA
h) PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA Neste caso, os seus traços confundem com a LT. Sua épura é caracterizada por coincidir com a LT.