Apresentação UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis AGeometria Descritiva, desenvolvida no século XVIII pelo matemático francês Gaspard Monge, é a ferramenta básica para o domínio do espaço tridimensional. Todo o DesenhoTécnico, no que se inclui o DesenhoArquitetônico, o Desenho Mecânico,o Desenho Industrial e o Desenho Topográfico, como exemplos, têm como base os conceitos da geometria descritiva. Todo processo de representação de uma edificação busca, nas projeções mongeanas, sua base conceitual. Se o arquiteto, no exercício de sua profissão, que tem como uma de suasmais importantes atribuições, a de criar espaços, sem o domínio das três dimensões, isto se torna extremamente difícil. Mesmo que hoje, com os recursos da informática, através de diversos softwares, existam mais facilidades para o processo representação gráfica, os profissionais das áreas de arquitetura, engenharia e matemática não podem prescindir do conhecimento e perfeito domínio do espaço tridimensional, o que, sem os conceitos da Geometria Descritiva, se torna superficial e insuficiente. Esta versão de Notas de Aula de Geometria Descritiva, constitui parte do material desenvolvido em 1985 pelos professores Antonio Augusto Bitencourt de Oliveira, Geraldo Browne Ribeiro Filho, Luiz Fernando Reis, Rogério Fuscaldi Lélis, do antigo Setor de Arquitetura e Urbanismo e Virgílio da Silva Andrade, do Setor de Estruturas do Departamento de Engenharia Civil. Foi atualizada e modificada pelo professor Luiz Fernando Reis. Espera-se que, com este material, os acadêmicos das áreas acima citadas, tenham o seu aprendizado facilitado. Viçosa, MG, março de 2007 Luiz Fernando Reis Emmanoel de Moraes Barreto
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Transcript
Anotações
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Apresentação
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Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
AGeometria Descritiva, desenvolvida no século XVIII pelo matemático francês Gaspard Monge, é a ferramenta básica para o domínio do espaço tridimensional. Todo o DesenhoTécnico, no que seinclui o Desenho Arquitetônico, o Desenho Mecânico,o Desenho Industrial e o Desenho Topográfico, como exemplos, têm como base os conceitos da geometria descritiva. Todo processo derepresentação de uma edificação busca, nas projeções mongeanas, sua base conceitual. Se o arquiteto, no exercício de sua profissão, que tem como uma de suasmais importantes atribuições, ade criar espaços, sem o domínio das três dimensões, isto se torna extremamente difícil.
Mesmo que hoje, com os recursos da informática, através de diversos softwares, existam mais facilidades para o processo representação gráfica, os profissionais das áreas de arquitetura,engenharia e matemática não podem prescindir do conhecimento e perfeito domínio do espaço tridimensional, o que, sem os conceitos da Geometria Descritiva, se torna superficial e insuficiente.
Esta versão de Notas de Aula de Geometria Descritiva, constitui parte do material desenvolvido em 1985 pelos professores Antonio Augusto Bitencourt de Oliveira, Geraldo Browne Ribeiro Filho,Luiz Fernando Reis, Rogério Fuscaldi Lélis, do antigo Setor de Arquitetura e Urbanismo e Virgílio da Silva Andrade, do Setor de Estruturas do Departamento de Engenharia Civil. Foi atualizada emodificada pelo professor Luiz Fernando Reis.
Espera-se que, com este material, os acadêmicos das áreas acima citadas, tenham o seu aprendizado facilitado.
Viçosa, MG, março de 2007Luiz Fernando Reis
Emmanoel de Moraes Barreto
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Bibliografia
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Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
1. CHAHLY, A. T. Descriptive geometry. Moscow: Higher School Publishing House, 1968.
2. FILHO, Oscar Guimarães. Geometria descritiva III: caderno de serviço. Juiz de Fora: UFJF/ICE, 1983.
3. GOLUBOV, Jayme Kerbel. Estudos de geometria descritiva. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1976.
4. GRANT, Hiram E. Geometría descriptiva pratica. Madrid: del Castillo, 1969.
5. HERRERO, Miguel Bermejo. Geometría descriptive aplicada. Sevilla, Universidad de Sevilla e Urmo Ediciones, 1978.
6. PINHEIRO, Virgílio Athayde. Noções de geometria descritiva, v I. Rio de janeiro: Ao Livro Técnico, 1978.
8. RODRIGUES, Álvaro J. Geometria descritiva. Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1941.
088
Anotações
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Sumário
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Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
Capítulo 1 - Projeções
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Capítulo 5 - Estudo dos Poliedros
Bibliografia
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e UrbanismoSetor de Representação Gráfica e Tecnologia�� �’s ��’ ��’������ (u)
Capítulo 1 - Projeções
0013
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Anotações
21
Projetante
(A)
Ponto Objetivo
Superfície de Projeção
Projeção
Capítulo 1 - Projeções
A representa um Sistema de Projeções, onde:. (A) é o Ponto Objetivo em posição original no espaço;. a trajetória do ponto (A) até sua interseção com a Superfície de
Projeção ( ) é denominada de projetante de (A);. a superfície de projeção ( ) é onde se determinam as projeções
dos Pontos Objetivos. a interseção da Projetante com a Superfície de Projeção é
denominada de projeção de (A)
A representa o Sistema de Projeção Reta-Plano, onde a Projetanteé uma reta e Superfície de Projeção é um Plano.
A apresenta o Sistema de Projeções Cônicas. Esta denominação sedá por estar o Centro de Projeções (também denominado de Pólo deProjeções), de onde se originam as projetantes, a uma distância finita doPlano de Projeções.
figura 1
figura 2
figura 3
� � Reta Projetante
Plano de Projeção
Projeção
Ponto Objetivo
(A)
(O)
(A)
(B)( C )
Centro de Projeções
Plano deProjeções
Ponto ObjetivoProjeção
002
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Anotações
21
(A)
(B)
( C )
( d )
(O)(O Centro de Projeçõesfoi deslocado para o Infinito)
Direção dasProjetantes
(A)(B)
( C )
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Anotações
21Capítulo 1 - Projeções
A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, onde:
. O Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma única direção (d), aqual, neste caso específico, é oblíqua ao Plano ( ). O ângulo de incidência das projetantes, neste caso será qualquer um, diferente de 0 , 90 e 180 .
A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, onde:
Assim como no caso anterior, o
figura 1
figura 2
� o o o
Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma únicadireção (d), a qual, neste caso específico, é ortogonal ao Plano ( ). Dessa forma, o ângulo de incidência das projetantes será, neste caso de 90 .
O Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais é mais comumente conhecido com Sistema de Projeções Ortogonais, ou simplesmente ProjeçõesOrtogonais. Este Sistema será utilizado pela Geometria Descritiva, ou Sistema Mongeano de Projeções. Sua utilização também se faz presente no DesenhoTécnico (Desenho Mecânico, Desenho Topográfico e Desenho Arquitetônico).
� o
003
Anotações
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Capítulo 1 - Projeções
Exercícios
I - Complete:
01. Ponto Objetivo é:_________________________________________________________________________________________________________
05. No sistema de projeção reta-plano, a projetante é uma _______________ e a superfície de projeção é um ___________________.
06. O Sistema de Projeções utilizado pela Geometria Descritiva é o __________________________________________________________________
07. Centro de Projeções é: ______________________________________________________
08. Na Projeção Cônica, o Centro de Projeções está a uma distância __________________ do ______________________________
09. Na Projeção Cilíndrica, o Centro de Projeções está a uma distância ________________ do ______________________________. Portanto, todas as
_________________________ são paralelas.
10. Existe um tipo de Projeção Cilíndrica em que não é necessário indicar a direção das projetantes, posto que todas elas são perpendiculares ao Plano de
Projeções. Este tipo é denominado de _______________________________________________________________.
004
Anotações
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Capítulo 1 - Projeções
Exercícios
II - Responda
01. Utilizando-se o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, pode-se afirmar que a projeção de um segmento possa vir a ter maior comprimento que o
segmento objetivo? Explique.
02. Mesma pergunta, para o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais.
03. Quando a projeção cilíndrica ortogonal de uma reta é um ponto?
04. Mesma pergunda para o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas.
05. Qual é o resultado da projeção cilíndrico ortogonal de um segmento de reta paralelo ao plano de projeção?
005
Anotações
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Capítulo 2 - Estudo doPonto
0063
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Anotações
21
Plano Vertical deProjeções
Plano Horizontal deProjeções
Linha de Terra
2 Diedroo
1 Diedroo
3 Diedroo
4 Diedroo
AfastamentoCota
Abscissa
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Generalidades
Figura 1
Figura 3
Abscissa
- O Sistema Mongeano de Projeções é composto por dois planosortogonais entre sí. Estes planos são denominados de Plano Horizontal deProjeções e Plano Vertical de Projeções.Estes dois planos dividem o espaço em quartro regiões denominadasdiedros. Cada diedro é delimitado por um par de semi-planos, conformemostra o quadro a seguir:
- Por tratar-se de um sistema tridimensional, serão necessáriastrês coordenadas para que um ponto seja individualizado. Destamaneira,a distância do ponto objetivo a um plano lateral de projeções,ortogonal aos dois planos de projeções, definirá a terceira coordenadadescritiva, denominada de .
1 Diedroo
2o Diedro3 Diedroo
4 Diedroo
HAHPHPHA
VSVSVIVI
Figura 2 - A colocação de um ponto noSistema Mongeano fará com que este serefira aos dois planos de projeções. Estasreferências serão as distâncias deste
ponto ao Plano Vertical, denominada de e ao PlanoHorizontal, denominada de , as quais constituem-se em coordenadasde um ponto.
AfastamentoCota
Conforme o ponto objetivo esteja à frenteou atrás do Plano Vertical (PV) ou ( ’), eleterá afastamento positivo ou negativo,respectivamente.
Da mesma forma, conforme o ponto estejaacima ou abaixo do Plano Horizontal (PH)ou ( ), o ponto terá cota positiva ounegativa, respectivamente.
Estando sobre o Plano Vertical, ou sobre oPlano Horizontal, o Ponto terá,respectivamente, afastamento ou cotanulos.
O quadro a seguir resumirá o sinal dascoordenadas descritivas do ponto segundoa sua localização.
Por convenção:. a designação de umse faz por letra latina, maiúscula,
entre parênteses;. A designação da de
um ponto se faz por letra latina, maiúscula,sem parênteses.
��Observação:
PontoObjetivo
Projeção
Posição do Ponto
Cota
Afastamento4o3o2o1o VIVSHPHA LT
007
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Anotações
21
A’
A
O
x
y
z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Determinação da Épura e o Alfabeto do PontoFigura 1
Figura 2 Épura
A’ A Linha de Chamada
A’ A
- Ponto (A), colocado no 1 Diedro. Observe-se que a projeção vertical localiza-se sobre o ( ’s) e a projeção horizontal sobre o ( a), já que oponto possui, respectivamente afastamento e cota positivos.
- A transposição do sistema tridimensional para um sistema bidimensional, é denominada . Trata-se do rebatimento do plano horizontal ( ),sobre o plano vertical ( ’), através de um giro de 90 , em torno da Linha de Terra , de forma que sejam fechados os segundo equarto diedros.
Após este rebatimento, o semi-plano horizontal posterior ( p) coincidirá com o semi-plano vertical superior ( ’s), acima da linha de terra, assim como osemi-plano horizontal anterior ( a), coincidirá com o semi-plano vertical inferior ( ’i), abaixo da linha de terra.
Considerando-se que, por estar localizado no 1 diedro, o ponto tem projeção vertical sobre ( ’s) e horizontal sobre ( a) e, considerando, como já citadoacima, a localização de cada um destes semi-planos após o rebatimento, a épura do ponto (A) terá seu aspecto definitivo conforme mostrado ao lado daperspectiva da figura 2.
Os segmentos de retas que unem as projeções vertical e horizontal à linha de terra, recebem o nome de . Considerando-se que,na Geometria Descritiva utiliza-se o Sistema de Projeções Ortogonais, as linhas de chamada serão sempre perpendiculares à linha de terra.
A distância da projeção vertical , até a linha de terra representa a cota do ponto (A), assim como a distância da projeção horizontal até a linha de terrarepresenta o afastamento deste ponto. A abscissa do ponto (A), que corresponde no espaço, à distância do ponto objetivo até o plano lateral de projeções,será, em épura, rerpesentada pela distância dos pés das linhas de chamada das projeções do ponto, até a interseção do plano lateral com a linha de terra,ponto marcado arbitrariamente sobre a linha de terra.
o
o
o
� � �� � �� �� � � �(interseção de ( ) com ( ’)) As coordenadas descritivas de um pontoobjetivo serão sempre apresentadasconforme a ordem abaixo
Abscissa = x;Afastamento = y;Cota. = z.
Assim, para o ponto (A) do exemplo aolado, ter-se-á a seguinte notação:
(A) (x; y; z)
0083
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Anotações
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A’
A
O xy
z
A’
A
O x
y z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1 2 diedro
Figura 2 3 diedro
Figura 3 4 diedro
- Ponto localizado no , ou seja, atrás do plano vertical eacima do plano horizontal. Portanto, o ponto (A) possui afastamento negativoe cota positiva. A considerar-se a posição dos semi-planos após orebatimento dos mesmos para a obtenção da épura, as projeções de (A)apresentam-se como nesta figura, ou seja, ambas acima da linha de terra.
- Ponto localizado no , ou seja atrás do plano vertical eabaixo do plano horizontal. Neste caso (A) possui cota e afastamentonegativos.Em épura, a projeção vertical ficará abaixo da linha de terra e a horizontalacima.
- Ponto localizado no , ou seja, abaixo do plano horizontala à frente do plano vertical. Aqui, (A) possui cota negativa e afastamentopositivo. Em épura, ambas as projeções estarão localizadas abaixo da linhade terra.
o
o
o
0093 4
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Anotações
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A’
A
O x
y
A’
A
O x
y
A’
AO x
ZA’
AO x
Z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1
Figura 2
Além das localizações apresentadas nasfiguras anteriores, o ponto pode
, também, em cada um dossemi-planos de projeção. Neste caso, ou oafastamento ou a cota serão nulos.
- Ponto localizado no semi-planohorizontal anterior. A cota é nula. Oafastamento é positivo. Em épura, aprojeção vertical apresenta-se sobre alinha de terra e a horizontal abaixo destalinha.
- Ponto localizado no
estarlocalizado
semi-planohorizontal posterior. Aqui também a cota énula. O afastamento é negativo. Em épura,a projeção vertical apresenta-se sobre alinha de terra e a horizontal acima destalinha.
- Ponto localizado no semi-planovertical superior. Aqui o afastamento énulo. A cota é positiva. Em épura, aprojeção horizontal apresenta-se sobre alinha de terra e a vertical acima destalinha.
Ponto localizado no semi-planovertical inferior. Aqui também afastamentoé nulo. A cota é negativa. Em épura, aprojeção horizontal apresenta-se sobre alinha de terra e a vertical abaixo destalinha.
Para um ponto localizado na linha de terra,ambos, afastamento e cota, serão nulos.Dessa maneira, em épura, projeçõesvertical e horizontal localizar-seão sobre alinha de terra.
Figura 3
Figura 3 -
0103
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Anotações
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Plano BissetorÍmpar
Plano BissetorPar
Bissetor Ímpar ( i)�I’
I
O x
ZY
P’ P
O x
=
Y=zBissetor Par ( p)� Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Planos Bissetores
- Planos Bissetores são planos que contêm a linha de terra edividem os diedros em partes iguais. Estes planos formam ângulos de 45com cada um dos planos de projeção.
Os planos bissetores são em número de dois. Um atravessa o 1 e o 3diedros e é denominado de Bissetor Ímpar, ou ( i); o outro atravessa o 2 e o4 diedros e é denominado de Bissetor Par, ou ( p).
- Todo ponto pertencente ao bissetor ímpar tem cota e afastamentoiguais, em módulo e sinal. Em épura, suas projeções são simétricas emrelação à linha de terra.
- Todo ponto pertencente ao bissetor par tem cota e afastamentoiguais em módulo, porém os sinais são opostos. Em épura, suas projeçõessão coincidentes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
o
o o
o��o
0113
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Anotações
21
(A)
(B)
( C )
(A)
(B)
(r)
A’
A=BO
B’
A
A’=B’
O
B
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 Tipos de Simetria
Casos de Simetria
Figura 2 - Simetria em relação ao Plano Horizontal de Projeções
coincidentessimétricas
Figura 3 - Simetria em relação ao Plano Vertical de Projeções
coincidentessimétricas
-. Se dois pontos ( simétricos em relação a um
terceiro ponto (B), este ponto é equidistante de (A) e de ( C);. Se dois pontos simétricos em relação a uma reta
(r), então a reta é a mediatriz do segmento formado pelos dois pontos;. Se dois pontos simétricos em relação a um plano
( ), o plano alfa é o mediador do segmento formado pelos dois pontos.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano horizontal de projeções,em épura as suas projeções horizontais são e as projeçõesverticais são em relação à linha de terra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeções, emépura as suas projeções verticais são e as projeçõeshorizontais são em relação à linha de terra.
A) e (C), são
(A) e (B), são
(A) e (B), são�
0123
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Anotações
21
O
A=B’
B=A’�� �P(A) A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�( p)�O
A
B
B’
A’
O
A
B
B’
A’�� �i(A)A’
(B)
A
B’
B
�� �i(A)A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�( a)�
O
A
B
B’
A’
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 - Simetria em relação ao Bissetor Ímpar
Figura 2 - Simetria em relação ao Bissetor Par
Figura 3 - Simetria em relação à Linha de Terra
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor ímpar, em épura assuas projeções de nomes contrários são simétricas em relação à linha deterra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor par, em épura as suasprojeções de nomes contrários são coincidentes.
Se dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, em épura assuas projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra.
013
Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
I - Complete
1. Todo ponto situado acima do plano horizontal de projeções, tem cota __________ e os situados abaixo do referido plano, tem cota ______.
2. Todo ponto situado à frente do plano vertical, tem afastamento __________ e os situados atrás do referido plano, tem afastamento ___________.
3.Baseado nas respostas anteriores, pode-se afirmar que todo ponto que esteja localizado em:
a) 1 diedro, tem cota (+) (-) e afastamento (+) (-);
b) 2 diedro, tem cota (+) (-) e afastamento (+) (-);
c) 3 diedro, tem cota (+) (-) e afastamento (+) (-);
d) 4 diedro, tem cota (+) (-) e afastamento (+) (-).
4. Desenhar a épura dos pontos abaixo, dados por suas coordenadas:
(A) (0;0;0)
(B) (2;1;3)
( C) (3;2;-2)
(D) (4;-3;-1)
(E) (5;-1;2)
o
o
o
o
0
== D’D
014
Anotações
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K
K’L’
L
M
M’
== N’N
== O’O
A
A’
B’
B
E’
E
J’
J
F’
F
G
G’
C’
C
T’
T
S
S’Q’
Q
Capítulo 2 -
Exercícios
II - Dadas as épuras dos pontos ao lado,
dê a localização de cada um deles:
(A): ___________________
(B): ___________________
(C): ___________________
(D): ___________________
(E): ___________________
(F): ___________________
(G): ___________________
(J): ___________________
(K): ___________________
(L): ___________________
(M): ___________________
(N): ___________________
(O): ___________________
(P): ___________________
(Q): ___________________
(R): ___________________
(S): ___________________
(T): ___________________
015
Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
III - Dar as coordenadas dos simétricos
dos pontos abaixo em relação a:
IIIa - Desenhar a épura de cada um dos
pontos e de seus simétricos no espaço ao
lado.
Observação:
(A) (0;0;0), simétrico de (F), em
relação a ( ’);
(B) (2;1;3), simétrico de (G), em
relação a ( );
(C ) (3;2;-2), simétrico de (J), em
relação ao ( i);
(D) (4;-3;-1), simétrico de (K), em
relaçao ao ( p);
(E) (5;-1;2), simétrico de (L), em
relação à Linha de Terra.
Utilizar uma única linha de
terra.
���� Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Capítulo 2 - Estudo daReta
0163
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21
4
B’
B
A’
A
r’
r
B’
B
A’
A
r’
r
B’
A’
A=B=r
r’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Definição de RetaFigura 1
(r) (A) (B) rr’
Figura 2 - Reta Vertical
- Descritivamente, uma reta fica bem definida quando sãoconhecidas as suas projeções vertical e horizontal. Neste caso específico, areta , definida pelos pontos e , fica determinada por suas projeçõese , definidas pelas projeções e .
As retas são classificadas segundo a sua posição em relação aos planos deprojeções, que lhe conferem características e propriedades específicas.
É a reta perpendicular ao plano horizontal de projeções e paralela ao planovertical de projeções.
Em épura:. abscissas e afastamentos constantes;. cotas variáveis;. sua projeção vertical é perpendicular à linha de terra;. projeção horizontal é um ponto;. projeção vertical em verdadeira grandeza;
AB A’B’
Classificação das retas
Figura 3 - Reta Frontal
Observações:
É a reta paralela ao plano vertical deprojeções e oblíqua ao plano horizontal deprojeções.
Em épura:. afastamento constante;. abscissa e cotas variáveis;. projeção horizontal paralela à
linha de terra;. projeção vertical oblíqua à linha
de terra;. projeção vertical em verdadeira
grandeza;. ângulo que a projeção vertical
faz com a linha de terra, apresenta averdadeira grandeza do ângulo que a retafaz com o plano horizontal de projeções.
a) . Uma reta é definida como odeslocamento contínuo de um ponto, numaúnica direção.
b) . Uma reta é determinada pordois pontos distintos, ou por um ponto euma direção conhecida.
c) . Descritivamente umaserá denominada por uma letra
latina, minúscula, entre parênteses e suasprojeções por letras latinas, minúsculas,sem perênteses.
RetaObjetiva
Anotações
0173
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Anotações
21
B’
B
A’
A
r’
r
B
A
r
B’A’ r’
B
A’=B=r’
r
A
Capítulo 3 - Estudo da Reta
ClassificaçãoFigura 1 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 2 - Reta Horizontal
É a reta paralela aos planos horizontal e vertical de projeções.
Em épura:. cotas e afastamentos constantes;. abscissas variáveis;. projeções vertical e horizontal paralelas à linha de terra;. projeções vertical e horizontal em verdadeira grandeza.
É a reta paralela ao plano horizontal de projeções e oblíqua ao planovertical de projeções.
Em épura:. cotas constantes;. abscissas e afastamentos variáveis;. projeção vertical paralela à linha de terra;. projeção horizontal oblíqua à linha de terra;. projeção horizontal em verdadeira grandeza;. ângulo que a projeção horizontal faz com a linha de terra,
apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta objetiva faz com oplano vertical de projeções.
Figura 3 - Reta de TopoÉ a reta perpendicular ao plano vertical deprojeções e paralela ao plano horizontal deprojeções.
Em épura:. abscissas e cotas constantes;. afastamentos variáveis;. projeção horizontal
perpendicular à linha de terra;. projeção vertical é um ponto;. projeção horizontal em
verdadeira grandeza.
018
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Anotações
21
A’
B
r
A
B’
r’
B’
B
A’
A
r’
r
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1 - Reta de Perfil
Figura 2 - Reta Qualquer
É a reta oblíqua aos planos de projeções e ortogonal à linha de terra.
Em épura:. abscissa constantes;. afastamentos e cotas variáveis;. projeções horizontal e vertical perpendiculares à linha de terra.
É a reta oblíqua aos dois planos de projeções.
Em épura:. abscissas, afastamentos e cotas variáveis;. projeções horizontal e vertical oblíquas à linha de terra.
019
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Anotações
I
V’
I’
H’V
H
P’
(V)
(H)
P
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1 - Pertinência entre Ponto e Reta
exceto para a reta deperfil
Figura 2 - Os traços notáveis de umareta
Traço horizontal (H)
Traço vertical (V)
Traço com o Bissetor Ímpar (I)
Traço com o Bissetor Par (P)
Um ponto pertence a uma reta quando aprojeção horizontal do ponto pertence àprojeção horizontal da reta e a projeçãovertical do ponto pertence à projeçãovertical da reta,
, reciprocamente, se as projeções deum ponto estão sobre as projeções demesmo nome da reta, o ponto pertence àreta.
Uma reta pode possuir até quatro traços,considerando-se os dois planos deprojeções e os dois planos bissetores.
- é a interseção dareta com o plano horizontal de projeções,portanto, um ponto comum à reta e aoplano horizontal de projeções, ou seja, umponto da reta com cota nula.
- é a interseção da retacom o plano vertical de projeções, portanto,um ponto comum à reta e ao plano verticalde projeções, ou seja,um ponto da retacom afastamento nulo.
- é ainterseção da reta com o plano bissetorímpar, portanto, um ponto comum à reta ea este plano, ou seja, um ponto da retacom projeções simétricas em relação àlinha de terra.
- é ainterseção da reta com o plano bissetorpar, portanto, um ponto comum à reta e aeste plano, ou seja, um ponto da reta comprojeções coincidentes.
B’
B
A’
A
r’
r
1
2
Bissetor Ímpar( i)�
0203
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Anotações
Capítulo 3 - Estudo da reta
Reta de Perfil
Figura 1
Figura 2
A posição que a reta de perfil ocupa, em relação aos planos de projeções,confere-lhe características especiais. Por esse motivo, nem sempre verifica-se a recíproca da relação de pertinência entre um ponto e uma reta, ouseja, “
”, o que leva à conclusão de quea simples verificação da épura de uma reta de perfil e de um ponto cujasprojeções estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, não ésuficiente para afirmar-se que este ponto pertença à referida reta.
Para solucionar este problema, utiliza-se a terceira projeção da reta de perfil,ou projeção lateral, onde torna-se possível esta verificação, bem como adeterminação da verdadeira grandeza da reta e dos ângulos que esta fazcom os planos de projeções.
- Aqui é mostrada uma reta de perfil, definida pelos pontos (A) e (B)e um ponto (C), que não lhe pertence. Observa-se que, em épura, asprojeções do ponto (C), estão sobre as projeções de mesmo nome da retade perfil, ainda que não exista pertinência entre aqueles dois elementos.
- A terceira projeção da reta, ou projeção lateral é obtida através dapassagem de um plano lateral de projeções, ortogonal aos dois planos deprojeção (também conhecido com plano de perfil), de forma que estecontenha a reta de perfil.
se as projeções de um ponto estão sobre as projeções de mesmonome da reta, então o ponto pertence à retaA’
A
B
B’
C’
C
21
A’
A
B
B’
A’’
B’’
A’A’’
C’ C’’
C
Este plano, denominado de ( ’’), sofreráum giro de 90 , no sentido anti-horário, emtorno de sua interseção com o planovertical de projeções, até que estes doisplanos se sobreponham. Após este giro,tem-se, então a terceira projeção da reta.
Assim, observa-se que o ponto (C), aindaque tenha as suas projeções sobre asprojeções de mesmo nome da reta, não lhepertence, já que a sua terceira projeçãonão está sobre a terceira projeção dareferida reta.
A relação de pertinência para um ponto euma reta de perfil pode ser definida daseguinte forma: “
- Nesta figura são mostradas asoperações descritas na figura anterior,agora em épura.
A determinação da terceira projeção se fazatravés do giro de 90º da projeçãohorizontal de cada ponto, em torno do péda linha de chamada destes pontos, nosentido anti-horário. A partir dali, traça-seuma perpendicular, buscando-seinterceptar a paralela à linha de terra queserá traçada a partir da projeção verticaldeste ponto. A interseção destas duasperpendiculares determinará a terceiraprojeção do referido ponto.
:A terceira projeção de um ponto serásempre denominada por letra latina,maiúscula, acompanhada do índice
�o
se um ponto pertence auma reta de perfil, a terceira projeção doponto pertence à terceira projeção dareta de perfil e reciprocamente.”Figura 3
Observação
“.
0213
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Anotações
21
A’
A
A’’
A’
A
A’’
A’A
A’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
As f , mostram pontos nos 2 , 3 e 4 diedros, além dasprojeções laterais de cada um deles.
Se a épura for dividida como que em quadrantes, tomando-se comoelementos divisores a linha de chamada e a interseção do plano ( ’) como plano vertical, as projeções laterais de pontos, após a suadeterminação, teriam a sua localização, a partir do diedro de origem,como no esquema abaixo:
iguras 1, 2 e 3 o o o �’
1 diedroo2 diedroo
4 diedroo3 diedroo
� �’’ ’
0221
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Anotações
2
A’
A
B
B’
A’’
B’’
(V)
H’’
V’
(H) H
H’ V
V’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figuras 1 e 2Traços Notáveis da Reta de PerfilTraços Horizontal e Vertical
V’’. V’V’’, V
V
HH’ V
H
Figura 2
Os traços da reta de perfil serão obtidos a partir da 3 projeção da reta.
A interseção da 3 projeção da reta com a interseção ’’ define a 3projeção do traço vertical, A projeção vertical , estará coincidente com
enquanto que a projeção horizontal estará sobre a linha de terra, jáque como todo traço vertical, a cota de ( ) é nula.
A interseção da 3 projeção com a linha de terra, determina a 3 projeção dotraço horizontal ( ), já que a cota deste traço é nula. Desta forma, aprojeção vertical , concidirá com a projeção horizontal , na linha de terra,enquanto que a projeção horizontal , será determinada através doalçamento feito a partir da sua 3 projeção, com um giro de 90 , no sentidohorário, conforme é mostrado na .
a
a a
a a
a
� �’,
o
023
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Anotações
2
BissetorÍmpar( i)� V’ V’’
H’ V
A’A’’
B’
H
B
A
P’ PP’’
I’I’’
I
�i
�p
B’’H’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1Traços Notáveis da Reta de PerfilTraços com os Bissetores
Traço com o Bissetor Ímpar
I I’’
Traço com o Bissetor Par
P P’’
Os traços da reta de perfil com os planosbissetores, à exemplo dos traçoshorizontal e vertical, são obtidos a partir da3 projeção da reta.
Neste caso, a interseção da 3 projeção dareta com a 3 projeção da interseção ( ’’ i)(plano lateral/bissetor ímpar), determinaráa 3 projeção de ( ), .As projeçõeshorizontal e vertical, simétricas em relaçãoà linha de terra, serão determinadasatravés do alçamento das mesmas.
À exemplo do caso anterior, a interseçãoda 3 projeção da reta com a 3 projeçãoda interseção ( ’’ p) plano lateral/bissetorpar), determinará a 3 projeção de ( ), .As projeções horizontal e vertical,coincidentes, serão determinadas atravésdo alçamento das mesmas.
a
a
a
a a
a
� �� � �a
0243
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Anotações
21
A’
A
B
B’
O’
O
r
r’
A’
A
r’
r
s’
s
r’
r
s’
s
A’
A
r’
r
s’
s
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Posição Relativa entre Retas
Retas Concorrentes
Figura 1
r sr’ s’ r s
Figura 2
Figura3
Figura 4
Duas retas são concorrentes quandopossuem um ponto em comum.A mostra o caso de concorrênciaentre duas retas. Descritivamente, se duasretas ( ) e ( ) são concorrentes, em épuraas projeções de mesmo nome e ; e ,são concorrentes.
A mostra um caso de concorrênciaem que as duas retas pertencem a umplano ortogonal a um dos planos deprojeções. Neste caso, como o plano que ascontêm é ortogonal ao plano horizontal, emépura as projeções horizontais das duasretas são coincidentes. As verticais sãoconcorrentes.
A presença de uma reta de perfil e outraque não o seja, conforme mostra a
, obriga à verificação se o ponto deconcurso é, de fato, um ponto comum àsduas retas. Aplica-se, então, a relação depertinência para a reta de perfil e para aoutra reta.
Para o caso de duas retas de perfil, aconcorrência somente existirá se as duasretas tiverem a mesma abscissa. Aindaassim é necessário verificcar se asprojeções laterais das duas retas sãoconcorrentes, já que para duas retas deperfil com a mesma abscissa, poderá haverparalelismo entre as mesmas.
A mostra dois casos onde não severifica a concorrência entre as duas retas.Para estas duas épuras, aplica-se o caso dereversibilidade entre as retas.
A’
A
r’
r
s’
s
4
0253
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Anotações
21
r’
s
s’
r
r’
r
s’
s
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Posição Relativa entre Retas
Retas Paralelas
Figura 1
Figuras 2 e 3
Duas retas paralelas, em geral têm as projeções de mesmo nome paralelasentre sí.
A mostra duas retas paralelas, conforme descrita na definiçãoacima.
Se as duas retas paralelas pertencem a um plano ortogonal a um dos planosde projeções, uma das projeções do par de retas retas será coincidente.Conforme é mostrado nas , o plano que contem as paralelas (r)e (s) é ortogonal ao plano horizontal de projeções. Assim, em épura asprojeções horizontais serão coincidentes, enquanto que as verticaisapresentar-se-ão paralelas.
026
Anotações
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rr’
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r’
r
r’r
r’r
r’
r
r’r
r’
r
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r’
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r’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
I - Dadas as retas por suas épuras,
classifica-las, segundo a sua posição em
relação aos planos de projeções
01 - ____________________________
02 - ____________________________
03 - ____________________________
04 - ____________________________
05 - ____________________________
06 - ____________________________
07 - ____________________________
08 - ____________________________
09 - ____________________________
10 - ____________________________
11 - ____________________________
12 - ____________________________
9
10
5 6
7 8
4
321
11 12
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027
Anotações
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Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
I - Dadas as retas por suas épuras,
classifica-las, segundo a sua posição em
relação aos planos de projeções
13 - ____________________________
14 - ____________________________
15 - ____________________________
16 - ____________________________
17 - ____________________________
r
13
r
r’
14
r
r’
15
r r’
16
r
r’
17
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r’
028
Anotações
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Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
II - Complete:
1. De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são __________________________ as_______________________ sobre os ______________________________________.
2. A projeção de uma reta apresenta a verdadeira grandeza desta reta, quando tal reta for ____________ ao plano sobre o qual ela seprojeta.
3. A Reta Horizontal é ________________ a ( ) e ___________________ a ( '). O ângulo que ela forma com ( '), apresenta a suaverdadeira grandeza no ângulo que a projeção __________________________ faz com a linha de terra. A Reta Horizontal possui_____________________ constante
4. A Reta Frontal é ________________ a ( ') e ______________ a ( ). A sua projeção _______________________apresenta a verdadeiragrandeza da reta e o ângulo que a reta faz com o plano ( ) é representado pelo ângulo que a projeção ____________________ faz com a linha deTerra. A Reta Frontal possui ____________________ constante.
5. A Reta Fronto-Horizontal é ________________ a ( ) e ______________ a ( '). Possui ______________ e _______________ constantes.Em épura, sua projeção horizontal é _________________ à linha de terra, assim com a projeção vertical.
6. A Reta Vertical é ____________________ a ( ) e _________________ a ( '). Possui afastamento e abscissa _________________. Emépura sua projeção vertical é _________________________ à linha de terra e a sua projeção horizontal é um ___________________.
7. A Reta de Topo é ____________________ a ( ') e _________________ a ( ). Possui cota e abscissa _________________. Em épurasua projeção horizontal é _________________________ à linha de terra e a sua projeção vertical é um ___________________.
8. A Reta Qualquer é _______________________ a ( ) e ___________________ a ( '). Em épura suas projeções são _______________em relação à linha de terra.
� � �� �� � �� �� �� �9. A reta de perfil é ________________________ a ( ), ______________________ a ') e ___________________ a ( ”). Por isso elapossui cota ________________, afastamento _______________________ a abscissa _______________________. Dessa forma, as projeçõeshorizontal e vertical são __________________ à linha de terra).
10. Geralmente, para poder-se trabalhar com a reta de perfil é necessário recorrer-se à ________________ projeção, onde esta retaapresenta a sua ______________________.
11. Se um ponto pertence a uma reta de perfil, então a ______________________ do ponto, pertence à _______________________ da reta.
12. Os pontos em que uma reta atravessa os planos de projeção, ou os planos bissetores, são denominados de _______________________da reta.
13. A cota do traço horizontal é igual ______________________. Por este motivo, a sua projeção vertical localiza-se na____________________________.
14. O afastamento do traço vertical é ____________________. Por este motivo, a sua projeção horizontal localiza-se na____________________________.
� �� �Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
029
Anotações
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Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
II - Complete:
15. O traço de uma reta no bissetor ímpar tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra.
16. O traço de uma reta no bissetor par tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra.
17. Toda a reta que pertence ao bissetor ímpar tem, em épura, projeções ________________ em relação à linha de terra, assim como, toda reta quepertence ao bissetor par tem, em épura, projeções _________________________.
18. Defina, com suas palavras as retas perpendiculares aos bissetores:
Reta perpendicular ao bissetor ímpar______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Reta perpendicular ao bissetor par______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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030
Anotações
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III -Dadas as retas definidas por doisde seus pontos, desenhar a épura decada uma delas.
1. (A) (2;3;5;)(B) (4;?;1)sendo (A)(B) frontal
2. ( C) (0;2;?)( D) (3;4;3)sendo ( C)(D) horizontal
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031
Anotações
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1. Complete a projeção vertical da retahorizontal, determinada pelos pontos (A) e (B).
A
B
A’
C
C’
2. Complete as projeções de um segmento de reta de topo (C) (D), quemede três cm. Sabe-se que o afastamento de (D) é maior que o de (C).
D
D’
3. Conduza pelas projeções do ponto (D), as projeções de um reta frontal,que forma 30 com o plano ( ).o �
I’
4. Construa as projeções de um segmento de reta vertical (I)(J), sabendoque (I) pertence ao ( i). Sabe-se, também, que a cota de (J) é menor que acota de (I).
�Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
015
Anotações
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032
Anotações
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5. Determinar a projeção vertical de um segmento de reta frontal (A) (B),que mede quatro cm, cuja projeção horizontal AB foi dada. Sabe-se que acota de (B) é menor que a cota de (A).
A’
A B
6. Conduza pelo ponto (M), uma fronto-horizontal (s).
M’
M
7. Complete as projeções do triângulo isósceles (A)(B)(C), tal que o lado(A)(B) seja frontal e o (A)(C) horizontal, formando 45 com ( ').o �
A’
B
B’
8. Determinar as projeções dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F), (G),sabendo-se que eles pertencem à reta de perfil definida pelos pontos(K) (-2;3;1)e (L) (?;-1;2).(A)(?;?;-3) (B)(?;2;?) (C)(?;1;?) (D)(?;-2;?)(E)(?;?;2) (F)(?;0;?) (G)(?;?;0)
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015
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015
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9. Nas projeções da reta de perfil definida pelos pontos (M) e (N), localize os seguintes pontos:
(A), de cota = 5 cm(D), de afastamento =3,5 cm(B), de cota = -1,5 cm(E), de afastamento = -2 cm(C), de cota = -2 cm(F), de afastamento = 0 cm
M’
M
N’
N
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015
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015
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10. Sendo (A) (3;2;8) e (B) (?;8;6), dois vértices de um losango de perfil (A)(B)(C)(D) e sabendo-se queo seu centro (O) tem 6 cm de afastamento e cota menor que a de (B), obter as suas projeções.
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015
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015
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11. Traçar a épura da reta de perfil (C) (D), sendo (C) (2;6;2), de modo quenenhum ponto da reta tenha razão da cota para o afastamento igual -5/2.Sabe-se que a cota de (D) = 4 cm.
035
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12. Determinar os traços das retas aseguir, dadas por suas projeções e indicara trajetória de cada uma delas.
r’
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r’
r
r’
r
r’
r
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037
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r’
r
r’
r
A’
B
B’
AA’
B
B’
A
12a. Determinar os traços das retas aseguir, dadas por suas projeções e indicara trajetória de cada uma delas.
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13. Construir a épura da reta (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1), conhecendo-se o traço(I) (5;?;-4), no bissetor ímpar e sabendo-se que ela não possui traço nobissetor par.
14. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;3;?) (B) (4;1;?), sabendo-seque este pertence ao bissetor ímpar
16. Desenhar as projeções do segmento (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1),conhecendo-se o seu traço (P) (5;?;-4), no bissetor par e sabendo-se queele não tem traço no bissetor impar.
15. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;1;?) (B) (5;3;?), sabendo-seque este pertence ao bissetor par
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s’
s
r
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039
Anotações
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17. Escreva nos lugares indicados o nomedas posições relativas dos pares de retasde cada uma das épuras a seguir.
1. _________________________
2. _________________________
3. _________________________
4. _________________________
5. _________________________
6. _________________________
7. _________________________
8. _________________________
9. _________________________
10. _________________________
11. _________________________
12. _________________________
s’
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A
B
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C’
C
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D’
2
12
8
9
7
1110
65
431
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040
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18. Dão-se duas retas (r) e (s) e a projeção horizontal (A) (B) de umaterceira reta que nelas se apóia. Determinar a projeção vertical A'B'.
s’
s
r
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A
B
19. Construir pelo ponto (O), a frontal (s) que se apóia na reta (r).
20. Apoiar nas retas (r) e (s), um segmento (A) (B), de projeções simétricasem relação à linha de terra.
21. Traçar por (C) a paralela (s), à reta (r).
r
r’
AO
O’
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C
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041
Anotações
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22. Nas horizontais (r) e (s), apoiar um segmento frontal (K) (L), decomprimento igual a 4 cm.
24. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;-3;?), pertence ao ( p) e (A) (8;1;?) (K) (?;4;0) lheé paralela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí apropriedade característica das paralelas ao ( p).
�� 23. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;3;?), pertence ao ( ) e (A) (9;6;3) (K) (?;?;0) lhe éparalela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí apropriedade característica das paralelas ao ( ).
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Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Capítulo 4 - Estudo doPlano
042
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Anotações
1
2
B’
B
A’
A
C’
C
A’
A
r’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Um plano pode ser definido:a) por três pontos não colineares,
conforme mostra a ;b) por um ponto e uma reta que
não contenha este ponto, conforme mostraa .
043
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Anotações
1
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A’
A
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r
s’
s
r’
s
s’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Ainda,um plano pode ser definido:c) por duas retas concorrentes,
conforme mostra a ;d) por duas retas paralelas,
conforme mostra a .
044
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Anotações
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Traços do Plano
Figura 1
Figura 2
Figura 3
É a interseção do plano com os planos deprojeções.
’ é a interseção de com ’;é a interseção de com .
Um plano pode possuir um ou dois traços.
Se possui dois traços ele podem seroblíquos à linha de terra, conforme mostra a
, onde ’e são oblíquos à linhade terra e se interceptam no ponto (T). Adefinição destes traços, por coordenadas,será feita a partir do ponto de concurso dosdois traços na linha de terra e o ângulo quecada destes traços faz com a referida linha,medidos segundo as convençõestrigonométricas.Para um plano que possui dois traços seinterceptando na linha de terra, um dessestraços poderá ser perpendicular a estalinha, como será visto adiante.
Os traços de um plano também poder serparalelos à linha de terra conformeapresentado na . A definição dostraços, por coordenadas, será feita atravésdo afastamento do traço horizontal e dacota do traço vertical. Os traços poderão,também, ser coincidentes com a linha deterra.
A mostra uma terceirapossibilidade onde o plano apresentaapenas um traço. Isto ocorre quando oplano é ortogonal a um dos planos deprojeções. Neste caso ele será,obrigatoriamente, paralelo ao outro plano.A definição do traço, neste caso, obedeceráo mesmo critério do caso anterior.
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0453
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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Anotações
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zCapítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Horizontal
Figura 2 - Plano Frontal
Figura 3 - Plano de Topo
Os planos são classificados segundo a sua posição em relação aos planos deprojeções e aos planos bissetores.
É o plano paralelo ao plano horizontal de projeções. Em épura seu único traço(vertical), é paralelo à linha de terra
É plano paralelo ao plano vertical de projeções. Em épura seu único traço(horizontal), é paralelo à linha de terra
É o plano perpendicular ao plano vertical de projeções e oblíquo ao planohorizontal de projeções. Em épura, seu traço horizontal é perpendicular à linhade terra e o traço vertical é oblíquo a esta linha.
0463
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Anotações
21
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���� Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Vertical
Figura 2 - Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 3 - Plano que contem a Linha de Terra
É o plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo ao planovertical de projeções. Em épura seu traço vertical é perpendicular à linha deterra e o traço horizontal é oblíquo a esta linha.
É o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeções.Em épura seus dois traços são paralelos à linha de terra.
Plano que contem a linha de terra é oblíquo aos dois planos de projeções.Para a definição dos traços (coincidentes com a linha de terra), é necessárioa definição de um ponto do plano que não pertença à linha de terra.
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Anotações
21
��� �’���� ����’����’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano de Perfil
Figura 2 - Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar
simétricos
Figura 3 - Plano Perpendicular ao Bissetor Par
É o plano ortogonal aos dois planos de projeções . Em épura seus traços sãoperpendiculares à linha de terra e coincidentes
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porémperpendicular ao ( i). Tem como característica os traços oblíquos à linha deterra e à esta linha.
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porémperpendicular ao ( p Tem como característica os traços oblíquos à linha deterra e coincidentes.
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0483
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Anotações
21
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��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Paralelo ao Bissetor Par
Figura 2 - Plano Paralelo ao BissetorÍmpar
Figura 3 - Plano Qualquer
É um plano paralelo à linha de terra comesta característica específica . Em épuraseus traços são paralelos e simétricos àlinha de terra.
É um plano paralelo à linha de terra comesta característica específica . Em épuraseus traços são paralelos e coincidentes.
É um plano oblíquo aos dois planos deprojeções e à linha de terra. Tem comocaracterística os traços oblíquos à linha deterra.O plano Qualquer não possui nenhumapropriedade específica.
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Anotações
1
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e PlanoFiguras 1 e 2- O plano é dado pelostraços
Uma reta pertence a um plano quando ostraços desta reta estão sobre os traços demesmo nome do plano e, reciprocamente,se os traços de uma reta estão sobre ostraços de mesmo nome de um plano, entãoesta reta pertence ao plano..
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Anotações
2
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e PlanoFiguras 1 e 2- O plano é definido porduas retas, concorrentes ou paralelas
Neste caso, uma reta pertence a um planoquando possuir pelo menos dois pontosdistintos sobre duas retas deste plano. Is tosignifica que esta reta deve estar apoiadaem duas retas distinstas do plano, empontos distintos.
Ainda, uma reta pertence a um planoquando apoiar-se em uma reta do plano efor paralela a outra reta que pertença aeste plano.
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Horizontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Topo
Figura 4 - Reta Horizontal
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0523
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Frontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta Frontal
Figura 4 - Reta Vertical
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Topo
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta Qualquer
Figura 4 - Reta Frontal
0543
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Anotações
21
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4
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Vertical
Figura 2 - Reta Vertical
Figura 3 - Reta Horizontal
Figura 4 - Reta Qualquer
0553
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0563
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano que contem a Linha deTerra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0573
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Perfil
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Vertical
0583
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Qualquer
Figura 2 - Reta Qualquer
Figura 3 - Reta Horizontal e Reta Frontal
Figura 4 - Reta de Perfil
059
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
As Retas Principais de um Plano
Horizontal de um Plano
Figura 2
Frontal de um Plano
Figura 3
São assim denominadas as frontais e ashorizontais. Sua larga aplicação naresolução de problemas lhes confere talimportância.
Define-se como , areta deste plano que é paralela ao planohorizontal de projeções - .
Define-se como , areta do deste plano que é paralela ao planovertical de projeções - .
Assim definidas, pode-se concluir que ahorizontal de um plano nem sempre é umareta horizontal, assim como a frontal de umplano nem sempre é uma reta frontal.
Como exemplo, ao considerar-se adefinição acima, para um plano de topo, asua horizontal será uma reta de topo, postoque, no caso deste plano, somente a estareta aplica-se tal definição.
0603
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Anotações
21
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4
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Figuras 1 e 2 - Reta de Máximo Declive
Reta de MáximaInclinação
É a reta do plano que faz o maior ângulopossível com o plano horizontal deprojeções. Este ângulo será o maiorquando a reta for perpendicular ao traçohorizontal do plano a ela pertence.
Figuras 3 e 4 -
É a reta do plano que faz o maior ângulopossível com o plano vertical de projeções.Este ângulo será o maior quando a reta forperpendicular ao traço vertical do plano aela pertence.
0613
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Reta e Plano
Figura 1
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 2 e 3
Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta desteplano
- (r) é paralela a ( ), porque (r) é paralela a (s) e (s) pertence a( ).
- Se são conhecidos um ponto e duas retas reversas,para passar-se pelo ponto, um plano paralelo às referidas retas, esteserá definido por duas concorrentes que passam pelo ponto e sãoparalelas às duas retas conhecidas.
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0623
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismoentre Reta e Plano
Figuras 1 e 2Se são conhecidas duas retas reversas,para passar-se um plano por cada umadelas paralelo à outra reta, a reta queconcorre com uma delas é paralela à outraque define o plano procurado.
Figuras 3 e 4As distâncias de duas reversas a um planoserão iguais, se o plano for paralelo àsretas e passar pelo ponto médio dequalquer segmento que una as duas retas.
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063
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2Toda reta paralela a dois planos secantes, é paralela à interseção dosreferidos planos.
0643
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismoentre Planos
Figuras 3 -
Figuras 4 -
Figuras 1 e 2Dois planos paralelos têm, pelo menos,dois pares de retas paralelos entre sí.Em épura, os traços de mesmo nome dedois planos paralelos, serão paralelos.
Conduzir, pelo ponto (O), umplano paralelo ao plano definido por (r) e(s).
Construir os traços do plano( ), paralelo ao plano ( ) e que passa por(P).� ����’P’
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0653
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismoentre Planos
Figuras 3 e 4 -
Figuras 1 e 2 - Dados dois pontos (A) e(B) e uma reta (r), distinta destes pontos,para conduzir-se pelos pontos, planosparalelos e equidistantes da reta, basta-sedeterminar o plano que contem o pontomédio do segmento resultante da uniãodos dois pontos (A) e (B), dados e a reta(r) dada, para, em seguida passar-se porestes pontos planos paralelos àquele.
Dados três pontos nãocolineares (A), (B) e (C) e uma reta (s), acondução pelos pontos, de três planoseqüidistantes entre sí e paralelos à retaconhecida, será feita definindo-se umdeles pelo ponto intermediário (B) e poruma reta paralela à reta dada e quecontem o ponto médio do segmentolimitado pelos pontos (A) e (C). Os demaisplanos serão paralelos a este e conterãoos extremos (A) e (C).
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066
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2Por quatro pontos (A), (B), ( C) e (D) não coplanares, a condução, porestes pontos, de quatro planos eqüidistantes, será determinada definindo-se a divisão do segmento resultante da união dos pontos exteriores (A) e(D) em três partes iguais, unindo-se os 2 pontos divisores aos pontosinternos (B) e ( C) dados, definindo-se, em seguida, os planos interiores e,posteriormente, passando-se pelos pontos exteriores, dois planosparalelos aos planos já definidos.
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067
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Figuras 1 e 2
Dois planos secantes determinam entre sí uma reta comum a eles.
As projeções da reta determinada pela interseção de dois planos, éimediata, se um dos planos secantes for definido por duas retas e o outrofor um plano projetante a um ou aos dois planos de projeções, tais comoos planos:
. Horizontal;
. Frontal;
. Vertical;
. Topo;
. Perfil.
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
A determinação da reta interseção de dois planos secantes fica mais oumenos trabalhoso, em função dos elementos fornecidos pelo problema.
Em todos os casos, determina-se dois pontos da referida reta, ou apenasum ponto se a direção desta reta for conhecida.
Cada ponto da interseção é determinado utilizando-se planos auxiliares,que, dependendo-se dos elementos conhecidos, podem ser:
. Planos de projeções;
. Planos paralelos aos planos de projeções;
. Planos perpendiculares a um ou aos dois planos de projeções.
Quando dois planos secantes são dados por seus traços e estesconcorrem em pontos distintos, dentro dos limites da épura, utilizam-se osplanos de projeções ( ) e ( ’), como planos auxiliares para a determinaçãoda reta interseção dos dois planos.
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2Quando dois dos traços de mesmo nome dos dois planos, foremconcorrentes dentro dos limitres da épura e os outros dois forem paralelos,utiliza-se apenas um dos planos de projeções como plano auxiliar, já que areta interseção será paralela ao par de traços paralelos.
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Figura 3
Se dois dos traços homônimos concorremdentro dos limites da épura e dois delesconcorrem fora deste limite, utiliza-se umplano de projeções e outro que lhe sejaparalelo, como planos auxiliares.
Este mesmo artifício se aplica quando ospares de traços concorrem no mesmoponto da linha de terra, ou quando umdos planos contem a linha de terra.
3
071
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2Se os dois planos secantes são paralelos à linha de terra, utiliza-se um planoperpendicular a um ou aos dois planos de projeções, como plano auxiliar.Neste caso, sabe-se que a reta interseção de dois planos paralelos à linha deterra é uma fronto-horizontal, portanto necessita-se de apenas um ponto paraa sua determinação, já que a sua direção é conhecida.
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2Se os traços homônimos concorrem fora dos limites da épura, utilizam-sedois planos paralelos a um dos planos de projeções (plano vertical ou planohorizontal), como planos auxiliares.
Este mesmo procedimento será aplicado para os casos em que um dosplanos secantes é definido por um par de concorrentes, ou um par deparalelas, ou, ainda, quando os dois planos secantes, o forem assimdefinidos.
A escolha de planos auxiliares paralelos ao plano vertical de projeções, ouao plano horizontal de projeções, será determinada em função dascaracterísticas do problema, levando-se em consideração as facilidades quea escolha de um ou de outros possibilitem.
Estas facilidades estão relacionadas à posição dos traços, ou das retas quecompõem o problema.
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Interseção de Reta e Plano
Figuras 1 e 2A interseção de uma reta com um plano que não seja projetante, se fazatravés da passagem, por esta reta, de um plano auxiliar que seja projetantea um dos planos de projeções. Em seguida, determina-se a interseção desteplano com o plano dado. A reta resultante da interseção entre os dois planosterá um ponto em comum com a reta dada. Este ponto será o ponto deinterseção procurado.
Se o plano dado for projetante, a determinação da interseção será feita deforma direta.
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015
Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
I - Dados os planos por seus traços,
classifica-los.
01 - ____________________________
02 - ____________________________
03 - ____________________________
04 - ____________________________
05 - ____________________________
06 - ____________________________
07 - ____________________________
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09 - ____________________________
10 - ____________________________
11 - ____________________________
12 - ____________________________
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075
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
II - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinaros seu traços.
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
III - Dados os planos por seus traços,
determinar a outra projeção da reta (r),
que lhe pertence.
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
IV - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar a outra
projeção da reta (t), que lhe pertence.
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078
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
V - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar a outra
projeção do ponto (M), que lhe pertence.
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
VI - Dados os planos por seus traços,
determinar a outra projeção do ponto
(M), que lhe pertence. �� ��’M’ ��’
M’����’M’ ����’
M’
079
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
015
Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
VII - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar as projeções de
uma horizontal e de uma frontal de cada
plano, passando pelo ponto (B).
r
A’
s’
r’
s
A
B’
B
080
r
s
s’ r’==
B’
B
r
A’
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A
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B’
B r
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B
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B
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B
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UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e UrbanismoSetor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’M’ ��’
M’����’M’ ����’
M’
081
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
VIII - Dados os planos definidos por seus
traços , determinar as projeções de uma
horizontal e de uma frontal de cada
plano, passando pelo ponto (M), do
plano).
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
IX - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinar as projeções de
uma reta de máximo declive e de uma reta
de máxima inclinação de cada plano,
passando pelo ponto (B), que lhes
pertence.
r
A’
s’
r’
s
A
B’
B
083
r
s
s’ r’==
B’
B
r
A’
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A
s’ r’==
B’
B r
A’
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B’
B
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B’
B
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UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e UrbanismoSetor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’M’ ��’
M’����’M’ ����’
M’
084
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Exercícios
X - Dados os planos definidos por seus
traços , determinar as projeções de uma
reta de máximo declive e de uma reta de
máxima inclinação de cada plano,
passando pelo ponto (M), do plano).
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Capítulo 5 - MétodosDescritivos - Mudanças
0163
Notas de Aula de Geometria DescritivaLuiz Fernando Reis
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21
4
Capítulo 5 - Mudança de Plano
Definição de Mudança de Plano
Figura 1
Figura 2 -
A mudança de plano consiste em girarsobre um eixo vertical o plano verticalou sobre um eixo de topo
de projeção.
- Descritivamente, o plano vertical( ’) foi girando sobre o eixo vertical,mantendo perpendicular ao planohorizontal ( ) de projeção.
Representação da épura peloposicionamento do plano ( ) que iradeterminar assim uma nova linha de terra( )( ’ ).
( ’)plano horizontal
( )
’
A representação do plano ( ’ )em relação ao ponto (A).
Esta representada a épura doponto (A) em relação a nova linha de terra,observe que a projeção horizontal é amesma enquanto a projeção verticalrecebeu um novo nome (A’ ) mantendo ovalor da cota.
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Anotações
21
A’1�� ��A’
A
+ A’1�� ��A’
A+
A’1
A’
A
+
�� ��A’1
A’
A
+
�� �� Figura1 - A representação da projeçãovertical do ponto (A) manteve a cotapositiva com o mesmo valor.
(A’ )
A mudança do plano foi feito demaneira que o ponto (A) pertença ao planovertical. A representação da projeçãovertical (A’ ) do ponto (A) manteve a cotapositiva com o mesmo valor. Enquanto aprojeção horizontal do ponto (A)coincidecom a linha de terra
A mudança do plano foi feito demaneira que o ponto (A) que pertencia aoprimeiro diedro, foi para o segundo diedro.A representação da projeção vertical (A’ )do ponto (A) manteve a cota positiva com omesmo valor.
A mudança do plano foi feito demaneira que o ponto (A) pertencente aosemi plano vertical superior. Nesta situaçãoa projeção horizontal do ponto (A) coincidecom a linha de terra.
1
1
1
Figura2 -
Figura 3 -
Figura 4 -
4
018
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Anotações
21
��� � �� �� �’ � �’ �
A1
A’
A
+
�� �’s3
Figura 1 - O plano horizontal foi em relação a um eixo de topo.É a reta perpendicular ao plano vertical de projeções e paralela ao planohorizontal de projeções.
Figura 2 -
Figura 3 -
Representação da épura pelo posicionamento do plano ( ) queira determinar assim uma nova linha de terra ( ’)( ).
Esta representada a épura do ponto (A) em relação a nova linhade terra, observe que a projeção vertical é a mesma enquanto a projeçãohorizontal recebeu um novo nome (A ) mantendo o valor do afastamento.
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1
1
1
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Capítulo 6 - PoliedrosSeção Plana
3
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Anotações
21
4
A’
A
C
D
E
V
V’
V
B’ C’E’ D’
A=A1
B=B1 C=C1
D=D1
E=E1
A’ B’ C’E’ D’
A ’1 B ’1 C ’1E ’1 D ’1
Capítulo 5 - Poliedros
Poliedros Regulares
Prisma
Pirâmide
Chama-se poliedro ao sólido limitado porplanos.
Esses planos, limitando-se mutuamente,determinam as arestas, as faces e osvértices do poliedro.
Dá-se aos poliedros nomes particularesem função do seu número de faces,conforme exemplos abaixo:
Um poliedro é convexo quando fica todosituado dum mesmo lado de cada uma desuas faces.
Os poliedros podem ser regulares ouirregulares. Entre os poliedros irregulares,se distinguem os prismas e as pirâmides.
É o poliedro no qual, duas faces,chamadas bases, estão situadas emplanos paralelos e as outras faces,denominadas faces laterais, sãoparalelogramos que têm um lado comumcom cada uma das bases. Quando asfaces laterais são retângulos, o prisma éreto, caso contrário é oblíquo.
É o poliedro no qual uma das faces,chamada base, é um polígono qualquer eas outras faces, denominadas faceslaterais, são triângulos que têm um ladocomum com o polígono da base econcorrem todos a um ponto, que é ovértice da pirâmide. A pirâmide é regularquando a base é um polígono regular e aaltura da pirâmide, perpendicular traçadado vértice ao plano da base, tem seu péno centro dessa base; no caso contrário éirregular ou oblíqua.
Base
Aresta
Face lateral
Vértice
Base
Aresta
Face lateral
Vértice
Prisma reto, de base pentagonal, assente no Plano Horizontal Pirâmide reta, de base pentagonal, assente no Plano Horizontal
B
083
3
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Anotações
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4
A’ B’ E’ C’ D’
V’
A
B C
D
E
V
A
B C
D
E
A’ B’ C’E’ D’
D ’1
C1
B1
A1
E1
D1
A
BC
D
A’
B’
C’
E’
D’
A ’1
EF
F’
A’
B’
E’
C’
D’
V’
A
B
C
D
E
V
Representação de prismas epirâmides
Representar um poliedro em épura édeterminar, pelo conhecimento de suasdefinição geométrica, as projeções deseus vértices, de suas arestas e de suasfaces; é distinguir, pelo desenhoconvencional, as partes vistas dasocultas.
As projeções ortogonais dos poliedrosconstroem-se fazendo a aplicação dosconhecimentos adquiridos ao longo doestudo da Geometria Descritiva, para asprojeções dos pontos, das retas e dosplanos. Realmente, seja qual for aposição que um poliedro ocuperelativamente aos planos de projeções,os vértices nunca deixarão de ser pontos,as arestas retas, e as faces, planos.
As projeções ortogonais dão uma idéianítida da visibilidade dos corpos, comoimagens do objeto visto pelo observadora uma distância infinita, de modo que osraios visuais se podem considerarparalelos entre si e perpendiculares acada um dos planos de projeções.
Nessas condições, chama-se contornoaparente horizontal de um sólido à figuratraçada, no plano horizontal, pelos raiosvisuais que limitam o sólido. Da mesmamaneira, contorno aparente vertical é olimite visual do sólido, no plano vertical.
Um poliedro sendo opaco, as arestas eos vértices são invisíveis quando o raiovisual, para atingi-los, tem que atravessaro corpo, ou por outra, se a projetante deum vértice de um poliedro atravessa opoliedro antes de chegar ao observador,esse vértice é oculto.
A observação atenta das duas projeçõesde um sólido permite reconhecer quaissão os elementos vistos em um e emoutra projeção.Prisma reto, de face
assente no Plano Horizontal Pirâmide reta, de face assente no Plano Horizontal
Pirâmide oblíqua, de base pentagonal, assente no Plano Horizontal
Prisma oblíquo, de base pentagonal,assente no Plano Horizontal
B1’
C1’D1’
E ’1
A1
B1
C1
D1
E1
084
3
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Anotações
21
4
Seções Planas nos Poliedros
As seções planas nos poliedros sãoobtidas a partir da passagem de umplano, qualquer que seja, de forma adeterminar, no poliedro, um polígono quelhes sejam comuns.
Este capítulo tratará das seções planasem poliedros, determinadas por planosprojetantes.
As ilustrações ao lado mostram asequência da determinação de umaseção plana determinada em umapirâmide reta, de base pentagonal,assente no plano horizontal, por umplano de topo.
V
E
D
C
BA
V’
E’ D’ C’B’A’
5 4
3
21
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3
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Anotações
21
4
Rebatimento e determinação daVerdadeira Grandeza de umaSeção Plana
O Método do Rebatimento, assim comoos das Rotação e das Mudanças deplanos, constituem ferramentas quepermitem determinar a verdadeiragrandeza de entes cujas projeçõesmongeanas não apresentam estapropriedade.
Este método consiste, basicamente, emttomar o plano de seção e girá-lo emtorno de sua interseção com com o planode projeções em relação ao qual ele nãoé projetante, até que este coincida com oreferido plano.
A figura 4 mostra este procedimento.
O plano projetante, de topo, contendo aseção plana da pirâmide será rebatidosobre o plano horizontal de projeções,girando em torno da sua interseção comeste plano. A épura da página a seguirmostra o mesmo procedimento.
( )�086
3
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Anotações
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V
E
D
C
BA
V’
E’ D’ C’B’A’
5 4
3
21
5’
4’
3’2’
1’
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V
E
D
C
BA
V’
E’ D’ C’B’A’
5
4
3
21
5’
4’
3’2’
1’
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51
41
31
2111
( )�087
Rebatimento e determinação daVerdadeira Grandeza de umaSeção Plana
A figura 3 mostra que a partir da projeçãovertical e horizontal dos pontosproveniente da interseção do plano detopo ( ) com a pirâmide, que foi possívela determinação da V.G da seção plana.