Nilai dan Vektor Eigen - Gunadarma Universityishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43832/Nilai+dan+Vektor... · Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent

Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai dan Vektor Eigen



Mengingat kembali: perkalian matriks

• Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w

• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula

2 0 1 0 5

4 1 4 4 4A v w u

2 0 1 2 12 2

4 1 4 8 4Av v

2 0 5 10

4 1 4 24

untuksemua

Au k u

k R

2 0 0 01.

4 1 4 4Aw w

v dan Av sejajar Jawab:

w dan Aw sejajar

u dan Au TIDAK sejajar



Mengingat kembali: SPL homogen dan

determinan

1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.

Apa kesimpulanm tentang A?

2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK

trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?

Jawaban:

A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0

Jawaban:

A tidak mempunyai inverse.

Det(A) = 0



Ax

Perkalian vektor dengan matriks

A x = x λ

x

Ax

x

x dan Ax sejajar



Perkalian vektor dengan matriks

y

x

1

4

y

x

y

x

2

8

0

4

1

4

= 2 2 0

4 1

1

4

2 0

4 1

0

4

= 1 0

4

2 0

4 1

5

4

= 10

24

5

4

k

5

4

10

24

Au = 2u Av = v Aw ≠ kw



Definisi: Nilai dan Vektor Eigen

Definisi:

Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen

dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga

Av = λv.

λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan λ .

Syarat perlu: v ≠ 0

(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1



Masalah Vektor Eigen

Diberikan matriks persegi A,

Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax

adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).

atau

Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx

untuk suatu skalar λ

A x sejajar x

A x = x λ



Masalah Nilai Eigen

Diberikan matriks persegi A.

A =

Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu

vektor tak nol x.

atau

Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan

Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol

x λ x

x vektor tak nol

Ax = λx



Pernyataan-pernyataan ekuivalen

Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen

1. nilai eigen A

2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x

3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)

4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0

Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian

persamaan det(I-A) = 0



Persamaan Karakteristik

Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ,

p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ

n-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik

Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ

n-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut

persamaan karakteristik

Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi

matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.

A-λI det λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ

n-2 + …+ c1λ+ c0

λI A -

= = 0

•persamaan

karakteristik

A-λI =



Contoh

Mencari semua nilai eigen A= 2 0

4 1

Mencari semua penyelesaian persamaan

Mencari penyelesaian persamaan karakteristik

Nilai eigen A adalah 1

2

2,

1

det 2 - λ 0

= 0 4 1 - λ

( )( ) = 0

2 - λ

1 - λ 4

0

2 - λ 1 - λ



Prosedur: menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi A.

Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0

tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ

2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan

sukubanyak karakteristik:

λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λ

n-2 + …+ c1λ+ c0 = 0

3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen

merupakan penyelesaian persamaan tersebut.



Contoh: Menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi

1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0

2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A

2

1 1 1

det( ) det 0 3 3

2 1 1

(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )

A I

2(1 ) (3 ) (3 ) 0

2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0

( 2)(3 ) 0

Nilai-nilai eigen A:

λ1 = 0

λ2 = 2

λ3 = 3



Nilai eigen matriks diagonal

Diberikan matriks diagonal

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 0

0 0 0 1

A

Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal

utamanya.

•Persamaan karakteristik:

•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1

(merupakan entri diagonal utama)

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 0

0 0 0 1

A I

(2 )(5 )(6 )(1 ) 0



Bagaimana menentukan apakah suatu

skalar merupakan nilai eigen? • Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.

Jawab:

Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,

maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.

2 adalah nilai eigen A

0 bukan nilai eigen A

4 nilai eigen A

2 2 0

0 4 0

0 1 0

A

2 2 2 0

det( 2 ) det 0 4 2 0 0

0 1 0 2

A I

2 4 2 0

det( 4 ) det 0 4 4 0 0

0 1 0 4

A I

2 0 2 0

det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0

0 1 0 0

A I



Kelipatan skalar vektor eigen

• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai

eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A

1 1 1

0 3 3 ,

2 1 1

A

1 1 1 4 8

0 3 3 6 12 2

2 1 1 2 4

Ax x

1 1 1 40 80

(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )

2 1 1 20 40

A x x

12

2

3

1

x

4

6

2

x

20

5 30

10

x

40

10 60

20

x

Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)

A = x λ x

A = (10) λ (10) x x



Kelipatan skalar vektor eigen

1 1 1

0 3 3 ,

2 1 1

A

1 1 1 4 8

0 3 3 6 12 2

2 1 1 2 4

Ax x

1 12 2

1 1 1 2 4

( ) 0 3 3 3 6 2( )

2 1 1 1 2

A x x

12

2

3

1

x

4

6

2

x

Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)

A = x λ x

Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

A = (1/2) λ (1/2) x x



Menentukan semua vektor eigen Eλ

• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua

vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

• Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan

menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)

Null(A - λ I)

Null(A - λ I)-{0}

Himpunan semua penyelesaian

SPL (A - λ I)x = 0

Himpunan semua vektor eigen

bersesuaian dengan λ 0



Ruang Eigen

0

Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

Null(A - λ I)x

Ruang Eigen

Eλ

Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua

vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol

Null(A - λ I) = Eλ

Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0



Menentukan ruang eigen Eλ

• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan

semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.

1 2 3

3

1 2 3

2 0

3 0

2 2 0

x x x

x

x x x

1

2 ,

0

a a R

1

2

3

1 3 1 1 0

( 3 ) 0 3 3 3 0

2 1 1 3 0

x

A I x x

x

SPL (A - 3 I)x = 0

Penyelesaian 1

2

3

2

0

x a

x a

x

Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :

Himpunan penyelesaian

1

2 , 0,

0

a a a R

1 3 1 1

0 3 3 3

2 1 1 3

A I

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A



Nilai eigen matriks pangkat

• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.

• Tentukan nilai eigen untuk

• Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya.

Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga

Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A

A.Ax = A λx

A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx

A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2

• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn

adalah nilai eigen An

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A

2 13 20

1 5 5

6 12 12 , ,

4 2 1

A A A



Nilai eigen matriks singular

• Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A.

Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:

dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0.

Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.

Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

• Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0.

Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.

Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;

= 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.

0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A

tidak mempunyai inverse.



Nilai eigen matriks transpose

Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A,

maka det(A- I)= 0

Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,

maka det(A- I)T= 0

Karena (A- I)T = (AT- I) ,

maka det(AT- I)= 0

Jadi, adalah nilai eigen dari AT

A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama

det(B) = det(BT)

(A- I)T = (AT- I)

A dan A-1 mempuyai nilai

eigen yang sama



Diagonalisasi

Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang

mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.

5 6

3 4A

Contoh:

1 1 1

1 2P

2 1

1 1P

2 0

0 1D

P-1AP= 2 1

1 1

1 1

1 2

5 6

3 4

Matriks

diagonal

A dapat didiagonalkan



Kapan matriks A dapat didiagonalkan?

• Teorema:

Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:

1. A dapat didiagonalkan

2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier

Bukti (1) (2)

Diberikan A

Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse

Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p pP

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

AP=PD

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

1

2

0 0

0 0

0 0 n

D

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p



Kapan matriks A dapat didiagonalkan?

(lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1,

AP = PD

AP = PD, jadi

Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse)

Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman.

1

2

0 0

0 0

0 0 n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aAP

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p pPD

p p p

1 1 2 2 n np p p

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p

1 2 nAp Ap Ap

1 1 1 2 2 2 n n nAp p Ap p Ap p



Prosedur mendiagonalkan matriks

• Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

Prosedur

1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn

3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya

adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk

j = 1, 2, 3, …, n



Contoh: mendiagonalkan matriks

• Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

Prosedur

1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya

yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian

dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2

berturut-turut

2 1

1 1P

1 1 1

1 2P

5 6

3 4A

1

2

1p

2

1

1p

2 0

0 1D



Masalah Diagonalisasi dan masalah

vektor eigen

• Masalah vektor eigen

Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor

eigen?

• Masalah diagonalisasi

Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P

sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?

Teorema:

Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas

linier.

Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn.

Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi

Nilai dan Vektor Eigen - Gunadarma Universityishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43832/Nilai+dan+Vektor... · Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor

Documents