Nilai Dan Vektor Eigen-ES

5/20/2018 Nilai Dan Vektor Eigen-ES

1/29

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai dan Vektor Eigen


2/29


Mengingat kembali: perkalian matriks

Diberikan matriksA2x2dan vektor-vektor u, v, dan w

Hitunglah Au,Aw,Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektoryang sejajar dengan vektor semula

2 0 1 0 5

4 1 4 4 4A v w u

2 0 1 2 12 2

4 1 4 8 4Av v

2 0 5 104 1 4 24

untuksemua

Au k u

k R

2 0 0 01.

4 1 4 4Aw w

vdanAv sejajarJawab:

wdanAw sejajar

udanAu TIDAK sejajar


3/29


Mengingat kembali: SPL homogen dan

determinan1. Aadalah matriks nxndan SPL Ax= 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.

Apa kesimpulanm tentang A?

2. Aadalah matriks nxn dan SPL Ax= 0 mempunyai penyelesaian TIDAK

trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?

Jawaban:

Amempunyai inverse. Det(A) 0

Jawaban:

Atidak mempunyai inverse.

Det(A) = 0


4/29


Ax

Perkalian vektor dengan matriks

A x = x

x

Ax

x

xdanAxsejajar


5/29


Perkalian vektor dengan matriks

y

x

1

4

y

x

y

x

28

0

4

1

4

= 22 0

4 1

1

4

2 0

4 1

0

4

= 10

4

2 0

4 1

5

4

=

10

24

5

4

k

5

4

10

24

Au= 2u Av= v Aw kw


6/29


Definisi: Nilai dan Vektor Eigen

Definisi:

Diberikan matriksAnxn, vektor tak nol v diRndisebut vektor eigen

dariAjika terdapat skalar sedemikian hingga

Av= v.

disebut nilai eigen, xadalah vektor eigen dariA yang

bersesuaian dengan .

Syarat perlu: v 0

(1) 1 (2) 0 1 (3) -1 0 (4) - 1


7/29


Masalah Vektor Eigen

Diberikan matriks persegiA,

Temukan semua vektor tidak nol xsedemikian hinggaAx

adalah kelipatan skalar x(Axsejajar dengan x).

atau

Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hinggaAx = x

untuk suatu skalar

A x sejajar x

A x = x


8/29


Masalah Nilai Eigen

Diberikan matriks persegiA.

A =

Temukan semua skalar sedemikian hinggaAx = x untuk suatu

vektor tak nolx.

atau

Temukan semua vektorskalar sedemikian hingga persamaan

Ax = xmempunyai penyelesaian tak nol

x x

xvektor tak nol

Ax = x


9/29


Pernyataan-pernyataan ekuivalen

JikaAmatriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen

1. nilai eigenA

2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hinggaAx= x

3. SPL (A I)x= 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)

4. adalah penyelesaian persamaan det(A I) = 0

Mencari nilai eigenAsama saja mencari penyelesaian

persamaan det(I-A) = 0


10/29


Persamaan Karakteristik

Jika diuraikan, det((A - I) merupakan suku banyak berderajat ndalam ,

p() = n+ cn-1n-1+cn-2n-2+ +c1+ c0 suku banyak karakteristik

Persamaan det((A - I) = n+ cn-1n-1+cn-2

n-2+ +c1+ c0= 0 disebut

persamaan karakteristik

Persamaan dengan derajat nmempunyai paling banyak npenyelesaian, jadi

matriks nxnpaling banyak mempunyai nnilai eigen.

A-Idet + cn-1n-1+cn-2n-2+ +c1+ c0

IA -

= = 0

persamaan

karakteristik

A-I=


11/29


Contoh

Mencari semua nilai eigenA=2 0

4 1

Mencari semua penyelesaian persamaan

Mencari penyelesaian persamaan karakteristik

Nilai eigenA adalah 1

2

2,

1

det2 - 0

= 04 1 -

( )( ) = 0

2 -

1 - 4

0

2 - 1 -


12/29


Prosedur: menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegiA.

Nilai-nilai eigenAdapat diperoleh sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - I) = 0

tuliskanAdan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi

2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan

sukubanyak karakteristik:

n+ cn-1n-1+cn-2

n-2+ +c1+ c0= 0

3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen

merupakan penyelesaian persamaan tersebut.


13/29


Contoh: Menentukan nilai eigen

Diberikan matriks persegi

1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - I) = 0

2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A

2

1 1 1

det( ) det 0 3 3

2 1 1

(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )

A I

2(1 ) (3 ) (3 ) 0

2(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0

( 2)(3 ) 0

Nilai-nilai eigenA:

1 = 0

2= 2

3= 3


14/29


Nilai eigen matriks diagonal

Diberikan matriks diagonal

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 0

0 0 0 1

A

Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal

utamanya.

Persamaan karakteristik:

Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1(merupakan entri diagonal utama)

2 0 0 0

0 5 0 0

0 0 6 00 0 0 1

A I

(2 )(5 )(6 )(1 ) 0


15/29


Bagaimana menentukan apakah suatu

skalar merupakan nilai eigen? Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigenA.

Jawab:

Bentuk det(A-I) untuk = 2, 0, 4. Jika det(A-I) 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigenA, 0 bukan nilai eigenA.

2 adalah nilai eigenA

0 bukan nilai eigenA

4 nilai eigenA

2 2 0

0 4 0

0 1 0

A

2 2 2 0

det( 2 ) det 0 4 2 0 0

0 1 0 2

A I

2 4 2 0

det( 4 ) det 0 4 4 0 0

0 1 0 4

A I

2 0 2 0

det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0

0 1 0 0

A I


16/29


Kelipatan skalar vektor eigen

Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigenAyang bersesuaian dengan nilai

eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5xjuga vektor-vektor eigenA

1 1 1

0 3 3 ,

2 1 1

A

1 1 1 4 80 3 3 6 12 2

2 1 1 2 4

Ax x

1 1 1 40 80(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )

2 1 1 20 40

A x x

1

2

2

3

1

x

4

6

2

x

20

5 30

10

x

40

10 60

20

x

Ax= 2x A(10x) = 2 (10x)

A =x x

A =(10) (10) xx


17/29


Kelipatan skalar vektor eigen

1 1 1

0 3 3 ,2 1 1

A

1 1 1 4 8

0 3 3 6 12 2

2 1 1 2 4

Ax x

1 12 2

1 1 1 2 4

( ) 0 3 3 3 6 2( )

2 1 1 1 2

A x x

1

2

2

3

1

x

4

6

2

x

Ax= 2x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)

A =x x

Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalahvektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

A =(1/2) (1/2) xx


18/29


Menentukan semua vektor eigen E

Diberikan vektor matriksAdan salah satu nilai eigennya, misalnya . Tentukan semua

vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Vektor-vektor eigenAyang bersesuaian dengan = 3 dapat diperoleh dengan

menyelesaikan SPL (A-I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A- I)

Null(A- I)

Null(A- I)-{0}

Himpunan semua penyelesaian

SPL (A-I)x = 0

Himpunan semua vektor eigen

bersesuaian dengan0


19/29


Ruang Eigen

0

Ruang penyelesaian SPL (A-I)x = 0

Null(A-I)x

Ruang Eigen

E

Ruang eigenAyang bersesuaian dengan terdiri atas semua

vektor eigen yang bersesuaian dengan danvektor nol

Null(A-I) = E

Menentukan Esama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL(A-I)x =0


20/29


Menentukan ruang eigen E

Diberikan vektor matriksAdan salah satu nilai eigennya, misalnya = 3. Tentukan

semua vektor eigen yang bersesuaian dengan= 3.

1 2 3

3

1 2 3

2 0

3 0

2 2 0

x x x

x

x x x

1

2 ,

0

a a R

1

2

3

1 3 1 1 0

( 3 ) 0 3 3 3 0

2 1 1 3 0

x

A I x x

x

SPL (A- 3I)x = 0

Penyelesaian 1

2

3

2

0

x a

x a

x

Himpunan vektor eigen Abersesuaian dengan =3 :

Himpunan penyelesaian

1

2 , 0,

0

a a a R

1 3 1 1

0 3 3 3

2 1 1 3

A I

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A


21/29


Nilai eigen matriks pangkat

Nilai eigen dariAadalah 0, 2, dan 3.

Tentukan nilai eigen untuk

Diberikan sembarang matriksAdan diketahui bahwa adalah nilai eigennya.

Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga

Ax = x kalikan kedua ruas dengan matriksA

A.Ax=AxA2x= (Ax) substitusiAxdengan x

A2x = 2x jadi, 2merupakan nilai eigenA2

Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, nilai eigen matriksA, maka n

adalah nilai eigenAn

1 1 1

0 3 3

2 1 1

A

2 13 20

1 5 5

6 12 12 , ,

4 2 1

A A A


22/29


Nilai eigen matriks singular

Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dariA.

Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:

dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0.

Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.

Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0.JikaAtidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.

Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;

= 0 merupakan salah satu nilai eigen dariA.

0 adalah nilai eigenAjika dan hanya jikaA

tidak mempunyai inverse.


23/29


Nilai eigen matriks transpose

Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dariA,

maka det(A- I)= 0

Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,

maka det(A- I)T= 0

Karena (A- I)T= (AT-I) ,

maka det(AT- I)= 0

Jadi, adalah nilai eigen dariAT

AdanATmempunyai nilai eigen yang sama

det(B) = det(BT)

(A- I)T= (AT-I)

AdanA-1mempuyai nilai

eigen yang sama


24/29


Diagonalisasi

Definisi: Matriks persegiAdapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang

mempunyai inverse sedemikian hinggaP-1AP=Dadalah matriks diagonal.

5 6

3 4A

Contoh:

1 1 1

1 2P

2 1

1 1P

2 0

0 1D

P

-1AP=2 1

1 1

1 1

1 2

5 6

3 4

Matriks

diagonal

Adapat didiagonalkan


25/29


Kapan matriks Adapat didiagonalkan?

Teorema:

Jika Aadalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:

1. Adapat didiagonalkan

2. Amempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier

Bukti (1)(2)

DiberikanA

MisalkanAdapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse

Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p pP

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

AP=PD

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

1

2

0 0

0 0

0 0 n

D

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p


26/29


Kapan matriks Adapat didiagonalkan?

(lanjt)P-1AP=D, kalikan denganP-1,

AP = PD

AP = PD,jadi

Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol.Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka

1,

2,

3, ,

nmerupakan nilai-nilai

eigenA, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigenAyang bebas linier(karena P mempunya inverse)

Bukti untuk (2)(1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalampemahaman.

1

2

0 0

0 0

0 0 n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aAP

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

p p p

p p pPD

p p p

1 1 2 2 n np p p

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p

1 2 nAp Ap Ap

1 1 1 2 2 2 n n nA p p A p p A p p


27/29


Prosedur mendiagonalkan matriks

Diberikan matriksAnxn. Akan dicari P sedemikian hinggaPAP-1=D.

Prosedur

1. Tentukan n vektor eigenAyang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, , pn

2. Dibentuk matriksPyang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, , pn

3. MariksD = P-1APadalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya

adalah 1, 2, 3, ,n dengan j adalah nilai eigen bersesuaian denganpjuntuk

j = 1, 2, 3, , n


28/29


Contoh: mendiagonalkan matriks

Diberikan matriksAnxn. Akan dicari P sedemikian hinggaPAP-1= D.

Prosedur

1. Tentukan 2 vektor eigenAyang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya

yaitu 1= 2 dan 2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian

dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - I)x =0. Diperoleh

2. Dibentuk matriksPyang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

3. MatriksD = P-1APadalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah1, 2

berturut-turut

2 1

1 1

P

1 1 1

1 2

P

5 6

3 4A

12

1p

2

1

1p

2 0

0 1D

M l h Di li i d l h


29/29


Masalah Diagonalisasi dan masalah

vektor eigen Masalah vektor eigen

Diberikan matriksAnxn, apakah terdapat basis di Rnterdiri atas vektor-vektor

eigen?

Masalah diagonalisasi

Diberikan matriksAnxnapakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P

sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?

Teorema:

Anxndapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat nvektor eigen yang bebas

linier.

Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rnmerupakan basis Rn.

Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi

Nilai Dan Vektor Eigen-ES

Documents