Nhị thức newton và ứng dụng

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

2

2

NH À

A. LÝ THUY

1. CÔNG TH Cho 2 s ,a b và s n thì:

0 1 1

0

0 1 1

0

...

1 ... 1

nn k n k n n n n n

n n n nk

nn k nk n k n n n n n

n n n nk

a b C a b C a C a b C b

a b C a b C a C a b C b

2. Tính Ch

a. S à 1n b. T a và b trong m c

th n n k n c. S à: 1

k n k kk nT C a b

( 1k trong khai tri na b )d. Các h ì be. 1 02 ...n n n

n n nC C C

f. 0 10 ... 1 n nn n nC C C

g. Tam giác Pascal: 0 11 1 12 1 2 1

..................................................

nnn

1

1

....................1..................

1 ......................1............................................................

m mk k

mk

n k C Cn k C

...........

V 11

m m mk k kC C C

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

1 #0

2

3 3...........................................................................

a b a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

3

3

3. M ay s

0 1

0

0 1

0

2 1 1 ...

0 1 1 1 ... 1

nnn k n

n n n nkn

n k nk nn n n n

k

C C C C

C C C C

0 1 1 0

01 ...

nn k n k n n

n n n nk

x C x C C x C x

0 0 1 1

01 1 ... 1

nn k nk n k n n

n n n nk

x C x C x C x C x

0 1 1 0

01 1 ... 1

nn k nk n k n n

n n n nk

x C x C C x C x

4. D

1. Khi c à có 1

nin

iC v i là các s

nhiên liên ti 2. Trong bi

11

nin

ii i C thì ta dùng àm i

Trong bi1

nin

ii k C thì ta nhân hai v kx , r àm.

Trong bi1

nk i

ni

a C thì ta ch x a thích h

Trong bi1

11

nin

iC

i thì ta l ên ;a b thích

h N bài toán cho khai tri

1 1

n nn n i i a n i iba b i a b in n

i ix x C x x C x

thì h mx là inC ình .a n i b i m có nghi i

inC MAX khi 1

2nk hay 1

2nk v n l

2nk v n ch

Vi ày s ên

– B. CÁC BÀI TOÁN V

1. Bài toán tìm h

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

4

4

Ví d 1.1: (D(H Th Khai tri à rút g9 10 141 1 ... 1Q x x x x

a th 140 1 14...Q x a a x a x

9a .

Gi H 9x 9 10 141 1 ... 1x x x l à: 9 5 9

9 10 14, , ...,C C C9 9 9

9 9 10 14...a C C C

1 1 1 11 10 10.11 10.11.12 .10.11.12.13 10.11.12.13.142 6 24 20

11 55 220 715 2002 3003

Ví d - 2000) Gi ình: 2 2 32

1 6 102 x x xA A C

xGi

x là s 3x Ta có: b ình

2 1 2 6 2 11 10

2 3!2 2 1 1 2 1 103 12 4

x x x xx x

xx x x x x xx x

Vì x 3x nên 3.4x

Ví d 1.3: Tìm h 16x trong khai tri102 2x x

Gi

Ta có: 10 10

100

102 2 22k kk

kx x xC x

10 1020 2 20

10 100 0

2 2k kk k k k k

k kC x x C x

Ta ch 20 16 4k k H 16x trong khai tri à: 4

10 3360C

Ví d 1.4: Tìm h 1008x trong khai tri2009

23

1xx

Gi S 1k trong khai tri

20092 4018 51 2009 20093

1 kkk k k

kT C x C xx

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

5

5

Ta ch 4018 5 1008 602k k H 1008x trong khai tri là 602

2009C Ví d 1.5 Tìm h c 8x trong khai tri

821 1x xGi

Cách 1: Ta có 8 8

2 28 8

0 0 01 1

kk ik k k i ik

k k if x C x x C x C x .

V 8x là 81 i k ikC C th

00 8

42 8

2,

3

ii k

kk i

ii k Nk

H 8x là: 24 0 3 24 3

08 8 231 81C C C C

Cách 2: Ta có:

3 4 83 2 4 2 808 8 8 8

2... ..1 .1 1f x C C x x C x x C x x

Nh 8x ch các s :

S h : 28

33 1C x x

S 28

44 1C x x

V 3 2 4 08 8 3 8 4 238A C C C C

Ví d 3x trong khai tri àm s

1021 2 3P x x x theo l x

Gi Ta có:

10 1021 2 3 1 2 3P x x x x x2 3 100 1 2 2 3 3 10 10

10 10 10 10 102 3 2 3 2 3 ... 2 3C C x x C x x C x x C x xNh 3x ch

2 210 10 10

2 3 32 3 3 2 3 3 310

44 122 3 2 3 9 2 3x x xC x xx C xC x x C

H 3x trong khai tri P x là: 2 310 1012 .8 540 960 1500C C

Ví d 1.7: Tìm h 16x trong khai tri

162 21 1f x x x

Gi

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

6

6

Xét khai tri16

2 2 216

1 01

n kki

i kf x C C x x

16 16

22 216 16

0 0 0 01 1 1

k kk i i k ik k i i k i

k kk i k i

C x C x C C x

V 16x là 1161 k k i

kC C th

0 80 16 1 7

8 2 6, 3 5

4 4

i ki k i k

k i i ki k N i k

i kVì v 16x à: 8 0 7 1 6 2 5 3 4 4

16 8 16 7 16 8 16 8 16 8 258570C C C C C C C C C C Ví d Tìm h c trong khai tri

Gi

Ta có: 200200200 200

2000

2 3 2 3 2 3k kk

kx y x y C x y

200

200 200200

01 .2 .3 . .k k k k k k

kC x y

Ta chon: 200 101

9999

kk

k

V ìm là: 99 99 99 99 99 99 99200 2001 .2 .3 .2 .3C C

Ví d

a) Tìm h 8x trong khai tri121x

x

b) Cho bi t 2 1n

x b 1024 . Hãy tìm

h a *a N c 12ax trong khai tri ) )

Gi

a) S 1k trong khai tri à: 12 12 212 12 0 121 kk k k k

ka C x C xx

k

Ta ch 12 2 8 2k k V 8x và có h à: 2

12 66C

b) Ta có: 2 2 22 1 12

0.1 ..

nk k k kn

nn

k

n

n nC x C C xCx x

V 1x thì: 0 12 ... 1024n nn n nC C C

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

7

7

10 102 2n n a (c 12x ) là: 6

10 210C c)

Ví d A- 2006) Tìm h 26x trong khai tri

th 74

1 n

xx

bi 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n

n n nC C C ( n nguyên

knC là t k c n ph

Gi T : 0 1 20

2 1 2 1 2 1... 2 1nn n nC C C

M : 2 12 1 2 1 , , 0 2 1k n k

n nC C k k n , nên: 0 1 0 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1... ... 22

n nn n n n n nC C C C C C

T nh c 2 11 1 :n suy ra 2 1 2 10 1 2 1

2 1 2 1 2 1... 1 1 2 3n nnn n nC C C

1 , 22 20

32 2 10n n

Ta có s10

107 4 7 11 4010 104

0 0

1 n nk kk k k

k kx C x x C x

xH 26x là 10

kC v k th ãn 11 40 26 6k kV h 26x là 6

10 210C Ví d 1. - 1998) Tìm h 5x trong khai tri

4 5 6 72 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x Gi

Ta xét các khai tri u:

4 54 4 5 5

4 50 0

6 76 6 7 7

6 70 0

2 1 2 ; 2 1 2

2 1 2 ; 2 1 2

k kk k

k k

k kk k

k k

x C x x C x

x C x x C x

Nh : S 5x c 42 1 là 0x

S 5x c 5 5052 1 là 2x C x

S 5x c 6 5162 1 là 2x C x

S 5x c 7 5252 1 là 2x C x

V c ìm là: 5 5 50 1 25 6 70 2 2 2 896C x C x C x

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

8

8

Ví d - 2003) V n là s 3 3na là h 3 3nx

trong khai tri 2 1 2n nx x . Tìm n 3 3 26na n Gi

Cách 1: Ta có 2 2 1 2 2 2 2 4

1 1 2 2 2

0

0

1 ...

2 2 2 ... 2

n n n n nn n n n

n n n n nn n n n

n

x C x C x C x C

x C x C x C x C

D 1, 2n n không th ãn ài toán. V 3n thì 3 3 2 3 2 2 1n n n n nx x x x x

Vì v 3 3nx trong khai tri 2 1 2n nx x là:

2

3 3

52 2 3 426 26 73 ( )

2n

nn n nn n

n La

oai

V 5n là giá tr ìm th ãn ài toán ( n . Cách 2: Xét khai tri

2 3 32 2

0

2

0

3

0

0

1 12 1 2

2

1 21k in nn n

nn n n k in n

k i

n nk k k i in n

k

n

i

C Cx

C x C x

x x xx x x x

x

Trong khai tri x là

03

3 3 2 311

ik

n i kik

Nên c h 3 3nx là: 2

3 3

52 2 3 426 26 73 ( )

2n

nn n nn n

n La

oai

V 5n là giá tr ìm th ãn ài toán ( n Ví d - 2002)Cho khai tri

111 1 1 10 1 13 3 3 32 2 2 22 . 2 ... . 2 2

n n nn nx x x xx x x xn n

n n n nx C x C x C x C

( n là s 3 15n nC C và sb 20n . Tính n và x .

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

9

9

Gi n N và 3n

Ta có: 3 1 ! !53!

53 ! 1 !n n

n nn

C Cn

21 25 3 28 0

6n n n

n n n

7n (Nh 4n (lo

V 7n ta có: 7 771 17

3 32 27

0

2 2kx xx x

k

kx C x

V ên là: 341

3 2 2327 2 35.2 .2

xxx xC x

K 2 2 235.2 .2 140 2 4 4x x x x

Ví d 1.14: Tìm x bi122 2

nxx có t 2 s

h 3 và th 5 b 135 , còn t 3 h c 3 s 22 Gi

T

2 1 2 22 42 1 2 4

2 1

2 2 92 .2 2 1351

1 2222 2

x xn nx x xn n

n n nn n n

C Cn n

nC C C

2 2

2 2 1

4 12 21 142 9 2 2 0 2 22 2

42 0 67 ( )

x

x

t x

t xt t t t xt

n n nn Loai

V 11,2

x là giá tr ìm.

Ví d 1.15: Tìm h tri1711

5x

Gi

Xét khai tri17 17

170

1 115 5

kkk

kx C x 1 0,1, 2,...,17

5

kk

ka x k

Ta có ka

11

17 17

11

17 17

1

1

1 15 5

max1 15 5

k kk k

k k

k kk k

k k

a a

C Ca

C

a

C

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

10

10

17! 17!5! 17 ! 1 ! 16 ! 5 5 17

2 317! 17! 18 55

! 17 ! 1 ! 18 !

k k k k k kk

k kk k k k

V i 2k thì h à: 2

217

1 5.445

C

V k thì h à: 3

317

1 5.445

C

V à: 3

317

1 5.445

C

T bài toán t Ví d 5.2 Tìm h na bx

Xét khai tri na bx có s k n k k knC a b x

, 0k n kk

knu k nC a b ãy s ku . Vi òn l ìm s

nh ãy ta làm nh

Gi ình 1

1k

k

uu

tìm 0 00 1 ...k k nk u u u

Gi ình 1

1k

k

uu

tìm 1 10 1 0...k kk u u u

T ãy là 0 1

max ,k ku u

Gi ình 1

01

k k

k k

u uk

u u

Suy ra h à 0 0 0k n k knC a b

Ví d 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai tri

10 1

2 112

2...1 2 a a x aP x x x

Tìm 0 1 2 12max , , ...,a a a a Gi

Cách 1: Xét khai tri 12 1212

120

21 2 1 k kk

kC xx

12 2 0,1, 2,...,12 1k kka C k

Xét b 1k ka a

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

11

11

11 1

12 1212!2 12!22 2

! 12 ! 1 ! 11 !

k kk k k kC C

k k k k

1 2 23 23 23 7 0 712 1 3 3

k k k k Zk k

Áp d 1 cho 0,1, 2,...,12k 0 1 7 8 9 12... ...a a a a a a8 18

0 1 2 12 8 12max , , ..., .2 126720a a a a a CCách 2: G ka là h n suy ra: 1k ka aT ình:

1 112 12

1 112 12

2 12 2 23 2512 1 8

1 2 3 32 212 1

k k k k

k k k k

C C k k k kC C

k k8 18

0 1 2 12 8 12max , , ..., .2 126720a a a a a C Ví d 1.17: Tìm h 4x trong khai tri à rút g

4 5 151 1 ... 1f x x x xGi

Vì t f x có 12 s ên ta có: 12 16 4

4 1 1 1 11

1 1x x x

f x xx x

H 4x là h 5x trong 161 x

V ìm là: 516 4368C

Bài toán tìm h kx trong t n s ên c T n s ên c 1q là:

2

1 2 11... 1.91n n

qS u u u uq

Xét t 1 21 1 ... 1m m m nS x bx bx bx n s

tiên c nhân v 11 1 mu bx và công b 1q bx

Áp d 1.9 1 1

1 1 1 1 11

1 1

n m n mm bx bx bx

S x bxbx bx

Suy ra h kx trong S x là tích gi 1b

và h

1kx trong khai tri 1 11 1 .m n mbx bx

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

12

12

Ví d : Tìm h s x và rút g2 11 2 1 ... 1 1 1n nS x x x n x n x

Gi Ta có: 2 11 1 2 1 ... 1 1 1n nS x x x n x n x

2 2 1

2 3 1

1 1 2 1 3 1 ... 1 1 1

1 1 1 ... 1 1

'

n n

n n

f x x x x n x n x

F x x x x x x

S x f x xf x

F x f x

Suy ra h x c S x b x và không

ch x c f x b x và hai l ch 2xc F x

T F x có n s ng 11 1 1 1

11 1

n nx x xF x x

x x

Suy ra h x c 21nF x C

Suy ra h 2x c 31nF x C

V ìm là: 2 31 1

1 2 12

6n n

n n nC C

2. Bài toán tìm s trong khai tri

Ví d 2.1: Tìm s 21trong khai tri 252 3x

Gi S 21 trong khai tri à: 2020 5 20 5 20 20

25 252 3 2 3C x C x

Ví d 2.2 Tìm s 28x trong khai tri103x xy

Gi S à:

103 30 21 10 10

k kk k k kkT C x xy C x y

S 28x 30 2 28 1k k V h ìm là: 1 29

10C x y Ví d a. Tìm s

213x xy

b. Tìm s

20

423

1x xxy

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

13

13

Gi a. Khai tri

203x xy có 21 1 s ên có hai s à sth 11 và 12

S 11: 11 1010 3 10 43 10

21 21C x xy C x y

S 12 : 10 1111 3 10 41 11

21 21C x xy C x y

b. Khai tri

20

423

1x xxy

có 20 1 21 s ên s à s

h 21 1 162

: 10 10 65 207 2

10 10 6 34 320 20C x xy C x y

( V x là ký hi n nguyên c x ngh à s ên l x ).

Ví d 2.4 Tìm s 3x trong khai tri10

1 1x x Gi

Cách 1: Xét khai tri 2 3 100 1 2 2 3 3 10 10

10 10 10 10 10

101 1 1 1 ...1 1x C C x x C x x C x x C xx x

Nh 3x ch S 22 2 2 2 3 4

10 101 2C x x C x x x

S 33 3 3 3 4 5 610 101 3 3C x x C x x x x

V ìm là: 2 3 3 3 310 102 210C x C x x

Cách 2: S ai tri à: 10 1 kk kC x x

S 3x 2 3k V 2k 22 2

10 1C x x nên s 3x là: 2 3102C x

V k 33 310 1C x x nên s 3x là: 3 3

10C xV ìm là: 2 3 3 3 3

10 102 210C x C x x Ví d - 2004) Tìm s x trong khai tri

73

4

1f x xx

v 0x

Gi

S 7 77

3 3 121 7 74

1 , 7k

k kk kkT C x C x k N k

x

x ta có: 7 7 0 43 12

k k

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

14

14

V x trong khai tri f x là: 47 35C

Ví d Tìm h x trong khai tri n: 17

34

3 201 x x

x

Gi S

172 33 4

1 17

k kk

kT C x x V 0 17,k k Z

3 2 34 17 344 3 3 12 3

17 17

k k kk kC x C x

ìm k sao cho 17 34 0 812 3

k k

V c ìm là s 9 trong khai tri à có giá tr à: 817 24310C

Ví d – TH&TT- - 2004) S ,a b và có s

trong khai tri21

33

a bb a

Gi

Ta có s21 211 1 1 1

3 6 6 233

. .a b a b a bb a

21 3 21 63 42121 213 6 6 6 32

21 210 0

. . .k k k k kk

k k

k kC a b a b C a b

a và b b 3 21 63 4 846 6

k k k

V a và b có s b là: 2112 293930C

Ví d Trong khai tri28

3 15 0n

x x xx . Hãy tìm

s ào x , bi 1 2 79n n nn n nC C C

Gi

T 1 2 179 1 79

2n n nn n n

n nC C C n

2 156 0 12n n n

Ta có s28

3 15

12

x x x là:

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

15

15

28 4 28 4812 16 163 5 3 15 1512 12 12.

k k k kkk k kC x x x C x C x

S ày không ph ào 4816 0 515

x k k

V ìm là: 512 792C

Ví d Tìm s 6 trong khai tri2 2

*32 2 , , 0,

nx y x y n Ny x

Bi c c ày b 4096Gi

ìm n thông qua gi ã cho: Có th ình bày theo hai cách sauCách 1: Ta có: 0 11 ... 4096 *n n

nx xx a a a kk na C

V 120 1 ... 40961 1 2 122n

na a a nxCách 2: T à:

0 1 0 12

0

0 12 12 12

0

... 4079 2

1 .1 2 1 1 2 12

nn

n n n nk

nn k nk n

nk

C C C C

C n

V 6 trong khai tri12

2 23

2 2

x yy x

là:

32572 2 35 312 2 2 792x y xC

y x y Ví d - 2001) Cho khai tri

109 10

0 1 9 101 2 ...3 3

x a a x a x a x .

Hãy tìm s ka l

Gi

Ta có: 10

1010 1010 10 10

0

1 2 1 1 11 2 2 23 3 3 3 3

nkk k k

kk

x x C x a C

Ta có ka 11 1

1

1

0 101 1

10 10

2 2max

2 2k k

k k

k k k k

k k k k

C CC

a aCa a

2 10! 2 10! 1 2! 10 ! 1 ! 9 ! 19 2210 1

2 2 3 32 10! 2 10!11! 10 ! 1 ! 11 !

k k

k k

k k k k k k k

k kk k k k

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

16

16

7 , 0,10k k N k

V7

77 1010

2max3ka a C

Ví d - 4)Tìm s 10001 0,2Gi

Ta có: S k : 11 11000 10001

10.25

kk kk kT C C

S 1k : 1 100015

kk kT C

S 1k : 21 10002

15

kk kT C

11000 1000

1

1 211000 1000

1000! 1 1000!1 .1 ! 1001 ! 5 ! 1000 !5

1 1 1000! 1000!.5 5 1 ! 1001 ! 2 ! 1002 !

k k

k k

k kk k

C C k k k kT TT T C C

k k k k

1 11002 5 51001 5 1001 1007 1671 5 1001 6 61002

5 1

k kk kk k

k kkk

V 1661000166

1max5kT C

Ví d Tìm s10

31 52

Gi

S

101110 32

3 3210

1 1 1 2 55 2 5322 2

kkkC

S (s trong khai tri02 , 0 106

3

k N kk N k

k kN

V 0k s à 010

1 132 32

C

V 6k s à 3 210

1 26252 .532 2

kC

V ìm là: 2625 1à2 32

v

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

17

17

S àm rp qn k n k k k

n na b C a b C a b ( ,a b là ht

Gi ình 0, 0

m Np

k N k n kr Nq

S ìm là: 0 0 0k n k knC a b

Ví d Trong khai tri 10

43 5 có bao nhiêu s

GiS g t

124 1241 1 1 1124 12410 624 2 4 2 4 2 4124 124

0 0

3 5 3 5 3 . 5 1 3 .5k k k k

kk k

k kC C

S

622

0 1240 124 0 31 0,1,...,31

44 44

0 124

k Ni N i Nkk N k i ik Nk i k ik N

k

V 32 s

Ví d Có bao nhiêu s ên trong khai tri36

3 57 96

Gi V 0 36k ta có s ên t

36 123 5 3 536 367 . 96 7 .2

k kk kk k kC C

S ên 15

12 , 0 36 0,15,303 5

kk k N k k

k Z

Bài T Áp D

Bài 1 - 2002) G 1 2 11, , ... ,a a a là các h ong khai tri

11 10 91 2 111 2 ...x x x a x a x a .

Hãy tính h 5a Bài 2: Tìm h nh sau:

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

18

18

a) H 8x trong khai tri12

524

1 xx

b) H 16x trong khai tri162 21 1x x

c) H 5x trong khai tri 5 1021 2 1 3x x x x (Kh - 2007)

d) H 9x trong khai tri 3 23 2n

x x . Bi4

3 41

2423

nn

n n

AA C

e) H ch 3x trong khai tri 3 4 221 2 1 2 ... 1 2f x x x x

f) H 5 3 6 6x y z t trong khai tri 20x y z t ( “TH&TT”- 2003)Bài 3: - -2009- Th Tìm h 8x trong khai

tri 2 2n

x , bi 3 1 28 49n n nA C C

Bài 4:( - -2009- Th Tìm h c 6x trong kh2 1

nx x mãn:

1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1.n

n n nC C CBài 5 2009- Chuyên Phan B - Ngh Xác nh h s a 11x trong

khai tri c 2 32 3 1n n

x x bi t: 2 2 1 22 2 2

2 023 ... 1 3 ... 3 1024kn n k n k

n n n nnC C C C

Bài 6 Tìm các s

a) S 13 trong khai tri17

34

3 2

1 , 0x xx

b) S 3 trong khai tri 22n

x . Bi 0 1 1 2 23 3 3 ... 1 nn n n nn n n nC C C C

Bài 7 Tìm h ào x trong các khai tri

a) 50

3

3 2

1xx

b)12

332

1 x xx

c) 16

3

24

11 xx

Bài 8 Tìm các s x trong các khai tri :

a) 60

12

1xx

b) 12

34

1xx

c) 82 41 x x

d) 1 n

xx

Bi s 35

Bài 9 72 41 x x x = 28

0 1 28...a a x a x

a) Tính: 3a b) Tính: 0 1 2 28...S a a a a

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

19

19

c) Tính: 0 1 2 28...S a a a a

Bài 10:(LAISAC) Khai tri 32

12

n

P x xx

3 3 5 3 100 1 2 ...n n nP x a x a x a x Bi 0 1 2, ,a a a l ành m

c 4x

Bài 11: Trong khai tri200

42 3 có bao nhiêu s ó h à h

Bài 12: Tìm h

a) 10011 0.0001 b) 211 2x c) 11

1 22 3

x

C. ÁP D C VÀ TÍNH

T I. Thu

D u hi n

nk k kC a b thì ta s ùng tr

tin

n k n k kn

k 0

(a b) C a b . Vi òn l à khéo léo ch

Ví d I.1: Tính t 16 0 15 1 14 2 16

16 16 16 163 C 3 3 ... CC C

Gi D àng th t ên có d êu trên. Ta s -t ên s 16 16(3 1) 2

Ví d 2: Ch 0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... C 13 2 2

Gi ùng nh a 1, b 3 :

0 1 1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 20012001 2001 2001 2001 2001 2001

2001C 3 C 3 3 3 .... 3 (3C C C 1) 4C ìm ch k

2001C v ên ta phcác s a 1,b 3 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001

2001 2001 2001 2001 2001 20012001C 3 C 3 3 3 .... 3 (3C C C 1) 2C

ìm là 2001 2001

2000 20014 2 22

2 1

T ài toán t Ví d . - 2000) Ch

0 2 2 4 4 2n 2n 1 2n2n 2n 2

2nn 2nC 3 C 3 C ... 2 13 2C

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

20

20

Gi 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2

2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2

1 ... 1

1 ... 2

n n n n nn n n n n

n n n n nn n n n n

x C x C x C x C x C x

x C x C x C x C x C x

L 1 2 2 2 0 2 2 2 22 2 21 1 2 ...n n n n

n n nx x C C x C x

Ch 3x suy ra: 2 2 0 2 2 2 22 2 24 2 2 3 ... 3n n n n

n n nC C C 4 2

0 2 2 2 22 2 2

2 20 2 2 2 22 2 2

2 1 2 0 2 2 2 22 2 2

2 2 3 ... 32

2 2 13 ... 3

22 2 1 3 ... 3

n nn n

n n n

n nn n

n n n

n n n nn n n

C C C

C C C

C C C

PCM Ví d 0 11 1 1 10 2 2 9 3 9 2 10 9 1 11

2009 2009 2009 10 102 3 2 3 2 3 ... 2 3 2 3S C C C C CGi

b 2 gi 11 1, b 3 1 11 vì v ta cgi 2 à 3v trong m 1V 100 10 0 2 8 2 9 1 9 9 0 10 10

2009 2009 10 102.3 2 3 2 3 ... 2 3 2 3 6 2 3 6.5S C C C CVí d I.5 : Tính t

0 2009 1 2008 1 2 2007 2 2008 1 2008 20092009 2009 2009 20093 3 4 3 4 ... 3 4 4S C C C C

Gi Ta có: 2008 2008

1 2008 20081 3 4 3 4k k k k k k kkT C C

2009 2009 200920092009

13 4 3 4 1 1kk k

kS C

Ví d I.6: Cho n là s11 1 1 2... (*)

1! 1 ! 3! 3 ! 1 !1! !

n

n n n n

Gi Ta có: 0 1 2 31 1 ... 1n n n

n n n n nC C C C C

Vì n ch n N nên 11 n

Suy ra : 0 1 2 3 ... 0 (**)1 n nn n n n nC C C C C

Ta có: 1

1 3 1 1

! ! !(*) ... 21! 1 ! 3! 3 ! 1 !1!

C C C 2

n

n nn n n

n n nn n n

T0 1 2 3 1

0 1 2 3 1

... 0*

... ( )

n nn n n n n n

n n nn n n n n n

C C C C C C iC C C C C C ii

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

21

21

L i tr ( )ii 1 3 1..2 2. n nn n nC C C

1 3 1 1... 2 22

nn n

n n nC C C PCM

Ví d Ch ên ncó: 3 5 2 1 0 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 21 ... ...n n

n n n n n n n nC C C C C C C C

Gi Ta có khai tri 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2

2 2 2 21 ...n n n n nn n n nx C x C x C x C

Ch 1x 0 2 1 2 22 2 2 2 2

3 ...0 n nn n n n nC x C C C C

3 5 2 1 0 2 4 22 2 2 2 2 2 2 21 PCM... ...n n

n n n n n n n nC C C C C C C CCh 2 20n c m

Ví d –Kh -2002) Ch1 3 5 19 1920 20 20 20... 2C C C C

Gi Cách 1:Ta có:

20 0 1 220 20 2

2 19 19 20 20200 201 ... x xx C C x C x C C

Ch 1x 0 1 220 20 200 2 120

19 2020 20

20 3 1920 220 0 020 2... ...

0 ...C C C C CC C C C C C

A B v 0 220 20120 20

2020

3 1920

...(1)

...

C C CC CB C

A

M 20 0 1 220 20 2

2 19 19 20 20200 201 ... x xx C C x C x C C

Ch 1x cho ta: 20 0 1 220 20 20

19 2020 20.2 ..C C C C C

202 (2)A b

T 1 à 2v suy ra: 20

192 2 PCM2

A

Cách 2: Áp d 11

k k kn n nC C C và 0 1nC

219 19

191 3 5 19 1 3 18 19 1920 20 20 2 10 19 19 9. 1 1 2.. ...C C C C C C C C C

Ví d Rút g

2006 1 2004 3 3 2002 5 5 2007 20072007 2007 2007 20073 .2. 3 .2 . 3 .2 . ... 2 .S C C C C

Gi Ta có các khai tri

2007 2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2007 2007 20072007 2007 2007 2007 2007

2007 2007 0 2006 1 2005 2 2 2006 2007 2007 20072007 2007 2007 2007 2007

3 2 3 3 .2. 3 .2 . ... 3.2 . 2 . *

3 2 3 3 .2. 3 .2 . ... 3.2 . 2 . **

C C C C C

C C C C CTr * và ** :

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

22

22

2006 1 2004 3 2 2006 2007 2007 2007 20072007 2007 2007 20072 3 .2. 3 .2 . ... 3.2 . 2 . 1C C C C

V2007 1

2S .

Ví d -M- 2004) Ch2004

0 2 1 2004 20042004 2004 2004

1... 2 .2

C C C

Gi Ta có:

20042004

2004 20042004 20040

200420042004 0

20040

0 2 22004 2004

11 1

1

..

k k

kk k k

k kk

k

x C xx x C x x

x C x

C C x 2004 20042004. C x

V 2x ta có: 2004

0 2 2 2004 20042004 2004 2004

3 12 ... 22

C C C

Ví d I.11: Ch 1 1 1 1 ... ...p p p p q q p pa a b a b a b b a bC C C C C C C C C

Gi ,p a b

Ta có: 2 2

2

0 1

0 1

1 1 1 1

2

1 ...

1 ...

1 ... . . (*).p p p p q q pa a b

a a aa a a a

b b bb b b b

a b pa b a b b

x C C x C x C x

x C C x C x C x

x C C C C C C C xCM

V à m px M 0 11 .. (*. . ).. *a b p p a b a b

a b a b a b a bx C C x C x C x

ng nh (*) à (**)v cho ta PCM

II. S àm c 1. àm c D Khi hn,…,3,2,1 t k

nkC ho k n k k 1nkC a b thì ta có th àm

c n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n

n n n n n(a x) C a C a x C a x C a ... Cx xL àm hai v n 1 1 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n n 1

n n n nn(a x) C 2C a 3C a x ... nC xa 1 ìm.

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

23

23

Ví d II.1.1:( - 1999) Tính t 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) nC

Gi Ta th òn l a 1, x 1 ta tính

Cách khác: S k k 1

n n 1kC nC 0 1 2 3 n 1 n 1 n 1

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1nC nC nC nC ... ( 1) nC n(1 1) 0Dùng cách này có th

àm ho àm. Ví d II.1.2:Tính t 1 2 2 2 n n 1

n n n n2C 2.C 2 3C 2 ... nC 2

Gi

Xét: 0 1 2

01 ...

nnk k n

n n n n nk

f x C x x C C C C

11 1 2 1

0

1

' 1 2 ...

' 2 3

nnk k n n

n n n nk

n

f x kC x n x C C x nC x

f nVí d II.1.3 - 2000) Ch

n n 1 1 n 2 2 n 2 2 n n 1n n n n2 x 1.2 C 2.2 .C 3.2 .C ... nC n3 1 n Z

Gi Cách 1: Ta có: n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n

n n n n2 x C 2 C 2 x C 2 x ... C x àm hai v theo bi x

n 1 1 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n nn n n nn 2 x C 2 2C 2 x 3C 2 x ... C n.x

V 1 1 1 2 2 3 31 3 2 2 .2 2 .3... PCMn n n n nn n n nx n C C C C n

Cách 2: Ta có: n 0 1 2 2 n nn n n n1 x C C x C x ... C x

àm hai v x n 1 1 2 n n 1n n nn 1 x C 2C x ... nC x

Ta ch1 1

1 23 2 ...1 1 12 2 2 2

n nn

n n nn C C nx C

1 1 1 2 2 3 33 2 2.2 3.2 ... PCMn n n n nn n n nn C C C nC

Ví d II.1.4: Tính t

S = n 1 0 n 2 1 n 3 2 2 n 1 n 1n n n nn2 C (n 1)2 .3.C (n 2)2 .3 .C ... 3 C

Gi Nh -1, …,3,2,1 nên ph à x: n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n

n n n n(x a) C x C x a C x ...a C a àm theo x: n 1 n 1 0 n 2 1 n 3 2 2 n 1 n 1

n n n nn(x a) nx C (n 1)x aC (n 2)x a C ... a C

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

24

24

n 1n5 Cách khác: Khéo léo s k k k 1

n n n 1n k

nC C ,kC nC ta có thph àm ph

n 1 n n 2 n 1 n 3 2 n 2 n 1 1n n n n

n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 2 n 3 n 1 0n 1 n 1 n 1 n 1

n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 2 n 3 n 1 0 n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1

S n2 C (n 1)2 3C (n 2)2 C ... 3 C

n2 C n2 n2 3 C ... n3 C

n 2 C 2 2 3 C ... 3 C n(2 3) n5

3

3C

3C

Ví d II.1.5: Tính t 0 1 2 2006 20072007 2007 2007 2007 20072008C 2007C 2006C ... 2C C

Gi H 2007 0 2007 1 2 2005 2006 2007

2007 2007 2007 2007 2000 6

72 0(x 1) x C x C x ... C x CC

Bây gi àm thì ch 0 200620072007C x

ph ên r àm:

2007

2006 2

2007 0 2008 1 2 2006 2006 2 20072007 2007 2007 2007 2007

0 1 206 20072007 2007 200

007 2007

7 2006

x(x 1) x C x C x ... C x C x

(x 1) (2008x 1) 2008C x 2007C x ... 2C x C

C

Thay x = 1 vào ta tìm c t à 20062009.2 Ví d II.1.6: Ch

: 2 11 32 3 .. 2. .n n nn n n n nC C C C x

b) 1 1 2 12 3 ... 1 ... 1 2 .2p n nn n n n nC C C p C n C n

Gia) Xét nh 0 1 2 21 ...n n n

n n n nx C C x C x C x L àm hai v x :

21 0 11 2 ...n n nn n nn x C C x nC x

Ch 1x 20 12 ... .2n nn n nC C C n

b) a ta nhân x cho 2 v àm.Ví d II.1.7: Rút g 0 1 23 4 5 ... 3 n

n n n nS C C C n CGi

Cách 1: Nh 1x thì ta có:

1 1

0 0 3

4

0 3

3 '

4 '

3 '

n n

n

n n

nn n

C C x

C C x

n C C x

Suy ra: 0 3 3 01 4 2 5 3 1 3 3 32... .3 .. 1n n n n n n n

nn n nn

nC x C x C x n C x x C C x xC x C x x

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

25

25

Xét hàm s 3 1 nf x x x

12 3' 3 1 1n nf x x x nx x

Kêt h 2 0 3 1 2 4 2' 3 4 5 ... 3 n nn n n nf x x C x C C x n x C

Ch 1x thì: 0 1 23 4 5 ... 3 nn n n nS C C C n C

1 13.2 2 2 6n n nn n 2. àm c D Khi h -1).n hay (n-1)n, …, 2.3 , 1.2 hay 2 2 21 , 2 ,..., n ( không k k n k

nk(k 1)C a hay tk n k knk(k 1)C a b thì ta có th

n 0 1 n 1 2 n 2 2 2 n 3 3 3 n n nn n n n n

3(a bx) C C a bx C a b C a bx ...x C b xàm hai v

n 1 1 n 1 2 2 3 n 3 3 2 n n n 1n n

nn n

2bn(a bx) C a a b x 3C a b x ... nCb xC b2àm l

n2 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n 2n n

2nb n(n 1)(a bx) 2.1C a b 3.2C a b x ... n(n 1)C b x (2)

Ví d toán chthích h

Ví d I.2.1: Ch

S= 2 3 4 n n 2n n n n2.1C 3.2C 4.3C ... n(n 1)C n(n 1)2

D àng th ên githay a b x 1 ã gi bài toán Chú ý: à ý t òn khi trình bày vào bài ki bài thi thì ta ph õ

n(1 x) r àm 2 l à thay x = 1 vào m Cách khác: Ta v k k 1

n n 1kC nC 2 l ên, cth

2 3 n 1n 1 n 1 n 1 n 1

0 1 2 n 2n 2 n 2 n 2 n

1

2n 2 n 2

S n1C n2C n3C ... n(n 1)Cn(n 1)C n(n 1)C n(n 1)C ... n(n 1)Cn(n 1)(1 1) n(n 1)2

c t -1 và n = 16

2 3 4 15 1616 16 16 16 161.2C 3.4C .2.3C .. 14.15C 15.16C

Ho k k 1n n 1kC nC

Ví d I.2.2 Rút g 2 1 2008 2 2 2007 2 3 2006 2 20092009 2009 2009 20091 C 2 2 C 2 3 C 2 ... 2009 C

Gi

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

26

26

V Ví d 2009 0 2009 1 2008 2 2007 2 2006 3 2009 2009

2009 2009 2009 2009 20093x C x(2 x) C 2 C 2 2 C 2 x ... C x

àm l 1 2008 2 2007 3 2006 2 2009 20082009 2009 2009 2

2000

0892.2009(2 x) 1C 2 2C 2 x 3C 2 x ... 2009C x

N àm l ì ch 2 22 ,3 ta ph êm hai v àm: 2008 1 2008 2 2007 2 2009 2009

2009 2009 20092009x(2 x) 1C 2 x 2C 2 x ... 2009C x2008 2007 2 1 2008 2 2 2007 2 2009 2008

2009 2009 20092009(2 x) 2009.2008x(2 x) 1 C 2 2 C 2 x ... 2009 C x Thay x = 1 ta rút g ên thành 20072011.2009.3

1 2 nn n n n

32.1C 3.2C 4.3C ... (n 1)nC ta ch k

nC nên ta ph àm 2 l Ví d – CS Kh Cho 1 , 2nf x x n Z

a) Tính '' 1f b) Ch

22 3 42.1 3.2 4.3 ... 1 ... 1 1 2n n nn n n n nC C C n nC n nC n n

Gi a) 1 2 2' 1 '' 1 1 '' 1 1n n nf x n x f x n n x f n x

b) Ta có: 0 1

1 21

n nn k k k k

n n n nk k

f x x C x C C x C x

1 2 2

1 1

2

2

2

2

2

'

'' 1

'

2.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2

' 1 1 2

;p

nk k

n nk

nk kn

kn

k nn

kn n

n n n n

f x C kC x

f x k k C x

f k k C

C C p C n nC n n

T b ta thay 1 1n n thì ta có m bài toán khác:

b’) Ch 1 2 22.1 3.2 ... 1 ... 1 1 2p n nn n n nC C n pC n nC n n

V bài toán này ta có th Xét nh 0 1 2 21 ...n n n

n n n nx C C x C x C xNhân hai v #0x àm c

1 2 1 1212 1 1 2 3.2 ... 1n n n nn n nn x x C x C x nx nCn n x

Cho 1x PCM

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

27

27

III. S D Ý t ào h

1 1 1

1 1

b

a

bk k

a

kkx ax

kbdx

k

T àng tìm

d1 1

1

k kkn

ba Ck

. C ( )nb

a

I c dx dx ta có th h.

Tính tr11 1 ( )( ) ( )

1

bnn

a

b

a

c dxI c dx d c dxd d n

Ho0 0

b b

a

n nk n k k k k n k k kn n

k k a

I C c d x dx C c d x dx

1 1 1

0 01 1

bk k kn nk n k k k n k kn n

k ka

x aC c d C c dbk k

1 1 1

0

1 ( )1 1

bk k nnk n k kn

k a

a c dxC c dk d n

b

Tùy Ví d toán ta ch a, b, c, d thích h

Ví d II.1: CMR 2 3 1 1

0 1 22 2 2 3 12 ... ( .1)2 3 1 1

n nn

n n n nC C C C IIIn n

Gi Nhìn vào t àng tìm 0, 2a b . Tich 1c d

Chú ý: Khi trình bày bài thi ph õ tích phân 2

0

(1 )nx dx r

Cách khác: Ta có th ùng tích phân b

11

1 1

k kn nC C

k n. Vi không nh òn gi

khi làm bài:

1

1 2 2 3 3 1 11 1 1 1

1 (1 2) 1( .1) 2 2 2 ... 21 1

nn n

n n n nVT III C C C Cn n

õ s Ví d khác. Tính t

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

28

28

2 2 2 20 1 3

...1 2 3 1

nn n n nC C C CS

nRõ ràng dùng tích phân bài này gth ì l à m

2 2 2 21 2 3 11 1 1 12

1 ...( 1)

nn n n nS C C C C

n

Vi òn l à tính t ên chúng ta s ày trong ph “. Trra các Ví d toán ph 2, 3, 1, 1a b c d ta có:

2 2 3 3 2010 20102 3 2009

2009 200912009 2009

2 3 2 2 2 3..3 3 .1 2 3 2010

C C C C =20101 4

2010

Ví d II.2: Tính 2 3 4 2

0 1 21 1 12 2 2 2...2 3 4

12

nn

n n n nC C C Cn

Gi

M22

21k

knC

k nên ta ngh

m à 2k so v ên là 1k ích

phân (1 )nb

a

x dx b (1 )nb

a

I x x dx . D àng tìm

c ên là 2, c à 1. Th2 2

1

1

2

01

1

0 0

2 12

kn n nk k k k kn n n

k k k

dxI C x dx C x Ck

Vi òn l 22 1

1

1

2 2

1 1

1 (1 )( 1 1)(1 ) (1 ) (1 )2 1

n nn n n x xI x x dx x x dx

n n

V 0 1 2 31 1 1 1 ( 1)...

2 4 6 8 2 2

nn

n n n n nC C C C Cn

M òn m à “nh

2 2

knC

knên s

nguyên hàm là 2 1k knC x hay 2 .

kknC x x ã

à 2(1 )nx x dx ì d2 )(1 n xx x d . Vi ên là 1, c à

0. Th

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

29

29

2 2 1 2 1

0 0

1 1

0 0 0

1

0

( 1)(1 ( 1) ( 1)2 2

)k kn n n

n k k k k k k nn n

k k k

Cx x C x dx C x dxxk

d

Ph òn l Ví d 12 1

2 2 21 1

0 00

)) 1 1 (1(1 (12 2 1

) (1 )n

n ndx d x xx x xn

V àm ra ti t Ví d3 2

3 2 3

0

20

1 1

(1 ) (2 ) ), , ( 1)(1 ...n n nx dx x dx x x dxx x

Ví d II.3: Rút g1

1 2 11 1 ... ; (1 )2 3 1

nn

n n nS C C C n Zn

Gi Xét: 2 2 21 1 ... 1n n n n

n n nf x x C x C x C x 1 1 1 2 2 2

0 0

11 1 2

0

1 1 ... 1

1 11 ...

1 2 3 1

n n nn n n

n n nnn n

x dx C x C x C x

x CC Cn n

11 2 1...

2 3 1 1

nnn nn

C C nCn n

Ví d II.4: Ch 2 11 31 1 1 1 1 1... 11 2

1 ...3 2

n nn n n nC C C

n nC

Gi

Ta có: 1

2 1 10

0 0

1 11 11 1 0

n

n

n

kk knn n

kk kk

k k

xCC

xx x x

x x1

1 1

0 011 1 1 1

0 00 0

11 11

0 1 00

11

1 1

1 1

1 1

11

1

1 11

n nk kk k

nk k

n nk kk k

nk k

k kn nkk

nk k

k kn nk kn n

k k

x C x

x dx C x dx

x xCk k

C Ck k

2 11 31 1 1 1 1 1... 1 1 ...1 32 2

n nn n n n n

C C C Cn

.

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

30

30

IV. Công c Ý t

4 4 1 4 2 4 3,1 ,, 1k k k ki ii i i i v k NT 2 3

0 1 2 3 ...( ) nnf x a a x a x x a xa

4 4 1 40 1 2 3

2 4 3

, , ,i ii k i k i k i k

i iS a S a S a S a . Ta có:

0 2

0 2

1 30 2 1 3

0 2 1 3 0 2

1

1 3

3

(1) (

(1) ( 1)2) ( )

(1) ( 1)( 1) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ( ))

f fS SS S S

f fS Sf S S S Sf i S S S S i S S Re f i

S

f S

S Im f i

0

1

2

3

(1) ( 1) 2Re( ( )) (1)4

(1) ( 1) 2 Im( ( )) (2)4

(1) ( 1) 2Re( ( )) (3)4

(1) ( 1) 2 Im( ( )) (4)4

f f f iS

f f f iS

f f f iS

f f f iS

V Re( ( )), Im( ( ))f i f i l à ph à ph ( )f i

. Ví d IV.1: Rút g 0 2 4 4

1 4 4 4 4... nn n n nT C C C C .

Gi Rõ ràng 1 0 2S S S 4( ) (1 ) nf x x . M

0 2 1 3) (( ) ( )Sf i iS S S nên công vi ( )f i và ph

chính là t 1T c n tìm: 2 24 2( ) (1 ) (1 ) 2 4 ( 1)

n nn n nf i i i i . Ta c ã tìm ra

ình 4 ì th à gi à l1 3 5 4 14 4 4 4... 0n

n n n nC C C CVí d IV.2: Tính 1 3 8 1

2 8 8 83 ... (8 11 ) nn n nT C nC C

Gi ên ta ph

8 88 0 8 1 1

81 0

'( ) 8 (( ) (1 ) 1 )n n

n k k n k kn n n

k k

f x n xf x x C C x kC x

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

31

31

L8

8 1

0

( ) 8 (1 )n

n k kn

k

g x nx x kC x

Nh 2T chính là ph ( )g i : 8 1( ) 8 (1 ) 4 .16 4 .16n n ng i ni i n n i

2 4 .16nnT àm 2 l 2 2 2 4 2 6 2 8

8 8 8 82 4 6 ... (8 ) nn n n nC C C n C :

8 8 8

8 0 8 1 1 8 18 8 8 8

1 1 18 8

8 2 2 1 8 2 28 8

1 1

(1 ) 8 (1 )

(1 8 ) 8 (1 ) (1

8 (1 )

8 8 ) (( ) )1

n n nn k k n k k n k k

n n n nk k k

n nn k k n k k

n nk k

x C C x kC x nx x kC x

nx k C x nx x nx k C x

n

n f x

x

x

T à ph 8 2 1 2 2( ) 8 (1 ) (1 8 ) 16 128 .16n n nf i ni i ni n n i

V. M

Ví d Cho 0

, ,m k n

k m n Z.

Ch 0 1 1. . ... .k k k m m kn m n m n m m nC C C C C C C

Gi

Ta có:

0 1

0 1 1

0 1

1 ...

1 ... ...

1 ...

m m

n n n k k nn n n n

m

mm m m

n mm nm m n m n

nn

C C C

C C C C

C C C

x x x

x x x x

x x x

Suy ra h kx trong 1 . 1m nx x là: 0 1 1. . ...k k m k mm n n n m nC C C C C C

Và h kx trong 1 m nx là km nC

1 . 1m nx x = 1 m nx 0 1 1. . ... .m

k k k m k mm n m n n m nC C C C C C C P

Ví d Cho 0

,k n

k n Z. Ch

1 10 2 !... !

!.k k n k n

n n n n n n

nC C C C C C

n k n kGi

Ta có: 21 11 1 1 , 0n

n nnx x x

x x

0 1 0 1

0 12 2

2 22

1 1... ...

1 ...

n n nn n n n n n

n n n

n

n nn

C C C C C C

C

x xx x

x C xx

C

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

32

32

1

20 1 2 !

... !!.

k k n k n n kn n n n n n n

nC C C C C C C

n k n kV 0k ài toá

Ví d Rút g2 2 2 220 1

1 ... nn n n nS C C C C

Gi Cách 1: Ví d V.2 m k n 0 1 1 0

2 . . ... .nn n n

n n nn n n nC C C C C C C

2 20 1 2 22 ... n

n n n nC C C C

Cách 2: 21 1 1 1n n nx x x 0 1 2 2 0 1 2 2

0 1 1 2 2 1 1 0

1 ... ...

... ( ) ( )

n nn n n n n n n

n nn

n n n n n nn n n n n n n n n n

n

VT C C x C x C x C C x C x C x

C C C C C C C C C C x M x Sx M x

( )M x nx à h nx trong (1)VP nên 2

nnS C

T ìm h px (1 ) (1 ) (1 )n m n mx x x1 1 2 2 ... ...p p p p q q p p

n n m n m n m m n mC C C C C C C CC Cách 3: Xét công vi à n n

- k nam và n k n

2k n k kn n nC C C .Do k có th

t à theo quy t à t àm công vi ên.- M à n

2nnS C Ví d toán m

Ví d V.4 - TH&TT-2008)2 2 3 21 2 3

2 2 3 ... nn n n nCS C C n C , v n là

s ên l

Gi Cách 1: Ta có:

2 21 12 2 21 1 2 21 11 ...2 2

n nn n

n n n n nn nS C n C C C n C

2 2 21 12 ... nn n nC C Cn n

22 2 21 1...n nn n nC C Cn n

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

33

33

2 2 21 22 ...nn

n n nS Cn nC C

M22 0 1 2 2

2 2 2 21 ... ...nn n n n n

n n n nx C C x C x C x

h 2à (*)n nnx l C

0 01 1 0 11 ... ...n n n n nn n n n n nx C x C x C C C C x

h2 2 20 1à (**)n

n nn

nx l C C C

T2 2 21 2

2(*) à (**) 1 ...n n nn nn C C Cv C n

22n

n nnS C

Cách 2: Ta có: 0 1 2 2 3 3( ) (1 ) ... (1)n n nn n n n nf x x C C x C x C x C x

1 1 2 3 2 12 3 ..'( ( ) .) 1 n n nn n n nf x n x C C x C x nC x

1 1 2 2 3 3'( ) (1 ) 2 3 ...n n nn n n nxf x nx x C x C x xC x nC

Thay x b 1x

11 2 3

2 3

1 1 1 1 11 2 3 ... 2n

nn n n n n

n C C C nCx x x x x x

Nhân v 1 và 2 1

1 1 2 2 2 3 2 32 3

1 1 1 1 1 11 (1 ) 2 3 ...n

n n n nn n n n n n n n nx C xC C x C C x C nC x C M x

x x x x x xM x à tìm h

t11 11 1

nnx

x xta tìm 2 2 1

nnnCS

Cách 3: Xét công vi à n n à có m i à nam.

à n – k nì s à

2k n k kn n nkC C k C . Do k có th n và theo

quy t ng ta có s à 2S . M

1n ành m 12 2

nnnCS

Ví d0 ,

,k n

k n Z. Ch 1

1 1 10 ... n nk k k n k nC C C C

Gi 11 1 ... 1k k k nP x x x x

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

34

34

Nh th kx ên là: 0 11 ... n

k k k nC C C

M1 11 1 1 1 1

k n k k nx x x xP x

x x

Có h kx : 11 1k n n

k nkC C

11 1 1

0 ... PCMn nk k k n k nC C C C

Bài T

Bài t 1. Ch a) nn

nn

nn

nn

nn CCCC 97....7.2.7.22 2221110

b) nnnn

nn

nnn

nn CCCCCC ...)1(...33 10113

c) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1n n n nC 3 2C 3 3C 3 ... nC n4 - 2001)

d) 0 1 2 1 22...

3 4 4( 2) 2

3 ( 1)( 2)( 3)

n nn n n nC C C C

n n nn n

n

e) 0 1 2 12...

3 6 9 3( 1) (1

3 1)

nn n n n

nC C C Cn n

f) 2 1 2 2 2 21 2 ... 1 2n nn n nC C n C n n -TH&TT- 2008)

Bài t . Tính các t sau: a) 1 2 3 4 5 26 27 29

30 30 30 30 3028C 3.2 5.2 C ... 27.2 C 29.2 CC

b) 2 n 2 2 3 n 3 3 n 4 4 n n nn n

4n n2.1C 3 2 3.2C 3 2 4.3C 3 2 ... ( 1) n(n 1)C 2

c) 1 2

0 ... ( 1)2 3 1

nnn n n

nC C CC

n

d) 0 2 1 3 2 11 1 ( 1) 1 ( 1)2 2 2 ... 22 3 1 1

n nn n

n n n nC C C Cn n

e) 2 4 20022003 2003 2003 2000

31 1 1...3 5 1

S C C C Cn

TH&TT- 2004)

Bài T - - Th 1 2 161 3k k k

k nT C . Ch

minh: 3

10

n

kk

T

Bài T - - Th Tính T 1 3 2 5 3 7 1004 20092010 2010 2010 2007 20103 3 3 ... 3P C C C C C

Bài T Cho khai tri 2 10 2 20

0 1 2 20( ..) .3 1x x axx aa xa . Tính ta. 1 0 4 8 20...a a a aT b. 2 1 5 9 17...a a a aTc. 3 0 1 4 5 16 17...a aT a a a a d. 4 2 6 7 1 193 8...aT a aa a a

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

35

35

D. ÁP D B À

M ÀI TOÁN SVí d Cho 2 n Z . Ch

0 1 2 1.1

...nn

nn n nC C C

n

Gi

Ta có: 2 20 0 1

01 1 ...

nn n k n n

n n n n nk

kx C C C x C C xx x

Cho 1x 0

0

20 0 1

02 1 ...1

n nn n k n

n n n n n nk k

kC C C C C C

Áp d v n s 21 1 22 ...2 ...n n nn n n n

nn nC C C C Cn C

2 101 2 1.... ...1

Mnn

n nn n n n n nC C C C CC

n

Ví d - 1998) Cho: 0

,k n

k n Z. Ch

2

2 2 2.n n nn k n k nC C C

Gi V 0 ,k n k Z

Ta 2 2

1

2 ! 2 !.

! ! ! !

2 1 ! 2 1 !.

! 1 ! 1 !

.k

n nk n k n k

k

n k n kn n k n n k

n k n kn n k k

a

n n

a C Ca

.

ên ta c ãy ka gi b

1k ka a . 2 ! 2 ! 2 1 ! 2 1 !

. .! ! ! ! ! 1 ! 1 !

2 2 1 1 11 1

n k n k n k n kn n k n n k n n k n n k

n k n k n nn k n k n k n k

1k ka a dãy ka gi 0 1 01... k k ka a a a a a2

2 2 2.n n nn k n k nC C C

Ví d Ch và n 2n N thì: 1 2 31 2 3 ... !nn n n nC C C nC n

n1

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

36

36

Gi Xét khai tri 0 1 2 2 3 3(1 ) ...n n n

n n n n nx C C x C x C x C x L àm hai v x 1 1 2 3 12(1 ) 2 3 ...n n n

n n n nn x C C x C x nC xCh 1 1 2 31 2 2 3 ...n n

n n n nx n C C C nC 1 111 .2 ! 2 ! 2n nn n n

nVi òn l 2 , 2n N n

Cách 1: Ta có: 1! 1.2.3.4.... 2.2.2....2 2nn n ( 1n s 12 !n n 2 hay chúng ta có th ùng quy n

Cách 2: Ch V 1 3 13 ! 2 2 4nn n Gi 2 n k v 13 2kk k

V 1 11 ! 1 2 1 ! 2.2 2 vì 3 1 4k k kk k k k k k

V ên lí quy n 1! 2 3nn n “T qu ày ta có thgi ài toán Bài t ”

V 1 2 312 2 3 ... ! PCMnn n n nC C C nC n

n

Ví d - 2000) a) Cho 3 n Z . Ch 1 1 nnn n

b) 1 1 11 ... 31! 2! !n

c) Cho 2 n Z . Ch 12 1 3n

n

d) m n v ,m n .Ch 1 11 1m n

m n

Gi a) Ta có:

0 1 22

1 1 1 1 11 ...

1 1 1 1 22 1 1 1 ...2! 3!

1 1 2 1 1 11 1 .... 1 ...!

1

1!

nn n n n n

nnn n C C C C

n n n n

n n nk

k n n n n n

n n

2 1

2 11 .... 1

2 1 ... 1n

nn n

nsoá

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

37

37

b) Ta có: 11 21!

1 112! 21 1 12! 2 31 1 1 14! 3.4 3 41 1 1 15! 4.5 4 51 1 1 1! 11 nn n nn

C theo v 1 1 1 11 ... 3 31! 2! !n n

c) Xét khai tri 0 1 2 22 2

1 1 1 1 1 11 ... 2 ... 2n nn n n n n nn n

n

C C C C C Cn n n n n n

Mà: 1 ... 1! 2

! ! !kn

n n n knC k nk n k k

1 1 1 2 1 11 1 .... 1! !

knk

kCn k n n n k

Áp d b 1 1 1 12 1 2 ... 32! 3! !

n

n n

V 12 1 3n

n

d) Xét khai tri

0 1 22 1

2 3

1

1 1 1 1 11 ...

1 1 21 1 11 ...2! 3!

1 ....2 1 ....11 11 ! !

1 1

nn n

n

n n n n

n n

C C C Cn n n n n

n n n n nn

n n nn n n n

n n n n

1 1 1 1 2 1 1 2 11 1 1 ... 1 1 .... 1 *2! 3! !

nn n n n n n n

11 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 ...

2! 1 3! 1 1

n

n n n n

1 1 21 1 .... 1! 1 1 1

nn n n n

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

38

38

1 1 2 11 1 .... 1 1 **1 ! 1 1 1 1

n nn n n n n

So sánh gi * và ** suy ra: 1 11 1m n

m n Ví d Cho * *, 3N Nmn Ch

21

11

1 1 1 1...2m m m n

nC C C m

Gi

Ta có: 1

1 ! ! 1 ! 1 !1997 2

!1

! 2 !ki k

k i k ik k

i k i kC i

1

1 ! ! 1 ! 1 !2

! ! 2 !

1 1 ! 1 ! 2 2 !!1 !

1

!2

ki k

k m k mi k k

m k m k m

m m k m km m km k

C

1 2

1 1 2 1

1

10 1

12

1

1 1

1 1 1 11 1.2 2 2

k m m k

m k m

k k

m

k kk m k m

mm

m mm m m

C C

C C C CVí d Ch a) lim 1n

nn

b) N 0m thì lim lim 2n n

n nm n

Gi 1 0 ( 2)nm n n

2 2 2

0

11

2

kn k k

n nk

n nn m C m C m m

21 20 12 1

21 11

n

n

n nn m m n

n

nn

M 2lim 1 1 lim 11

n

x xn

n

S )a k ên lí k )b

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

39

39

Ví d Cho *

1 1xn N

. Ch 1 1 2n n nx x

Gi 0

0

1 02 .

1 0

nk knn n k n n n nnn n n

k

a xC a b C a C b ab b

b xa

1 1 2n n nx x

Ví d Cho , 0a b . Ch , 12 2

nn na b a b b Z

Gi Ta có: 0in i n i n n n i n iii ia b a b a b a b i nb a

M0 0

. .n n k n kn n

k k k kn n

k ka b Cb C a b a

0 02 . .n nn k n k n n

n nk k k kn n

k

n

kC a b b a ab ba b Ca

2 2

nn na b a b

Ví d

a) Ch minh r2000 2000

1001 1001 1 1001 1 là s ên chia h

cho 11.

b) 0 1 11 13 ... 1 , 33 3

nnn n nnC C C n Z

Gi

a) Ta có: 2000 2000 19990 1 2000 2000

2000 2000 20001001 1001 1001x C C x C x

V2000 2000 19990 1 2000

2000 2000 20001 1001 1 1001 1001 ...x C C C

V2000 2000 19990 1 2000

2000 2000 20001 1001 1 1001 1001 ...x C C C2000 2000 1 3 1999 1999

2000 2000 2000

2000 2000

1001 1 1001 1 2 1001 .1001 ... 1001

2 1001.

2 1001 1001 1 1001 1 2002 11.182 11

C C C

X X N

b) Ta có:

0 1 1 0 1 11 1 1 13 ... 1 3 1 1 ...3 3 3 3

1 23 1 3 2 8, 33 3

nn n n n nn n n n n nn n

n nn n n

C C C C C C

n n Z

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

40

40

Ví d a) Cho 2 p là s ên t , 1, 2,..., 1k

p pC k p

, 2n N p là s ên t pn n pGi

a) V 1, 2,..., 1k p và P là s ên t : 1 2 ... 1!

! ! 1.2.3.....kp

p p p p kpC qk p k k

Vì p là s ên t ên không chia

h k . M 1 2 ... 1 1.2....k

pC p p p pN k k

.k kp pp qC pC

b) pna n n

V 1 1 11 0p pna n n Pn a

Gi na v n k na P V 1n k : Xét

0 1 1 2 2 11

1 1 2 2 1

1 1 ... 1

... 1

p p p p p p pk k p p p p

p p p pp p p

k k C k C k C k C k k

C k C k C k k

a a

Áp d , 1, 2,..., 1kpa p k pC 1

1k k

kk

a a pa p

a pV ên lí nguyên n pn n p

Bài TBài 1: Cho 3 n Z Tính

a) lim , 0 2!

n

n

a an

b) lim ,!

n

n

a a Rn

Bài 2: Cho 0,1 ,a m n m n Z . Ch

a) 1 1m nn m b) 2001 2001 20011998 1999 2000

Bài 3: *n N . Ch 22 2

1!2! 2!3! ... ! 1 !2 !

1! ... !n

n

n nn

n n

Bài 4: Cho 1 2

1 2

..., ,..., 0

1

n

n

S a a aa a a

n Z Ch

2

1 21 1 ... 1 1 ...1! 2! !

n

nS S Sa a a

n

Bài 5: Ch2 3 1999200 2000 20002.1 3.2 ... 2000.1 399800999 0 2 ZC C nC

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com

Nh à

Thân T – ê H – 2009)

Nguy - Lê Hoàng Nam

41

41

M L .2A. LÝ THUYB. CÁC BÀI TOÁN VC. ÁP D C VÀ TÍNH T ……………………………………………………………………….20 D. ÁP D À M ÀI TOÁN S ………………………………………………………36 ________________________________________________________________________

TÀI LI

1. – Võ Giang Giai2. - Nguy nh3. T à Tu 4. - Olimpic 5. Các Di àn Toán h - k2pi.violet.vn- maths.vn-mathscope.org- diendantoanhoc.net………

www.vietmaths.com

www.vietmaths.com