[]-Đai Số Tổ Hợp-Nhị Thức Newton

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp

Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.

2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:1. n là số chẵn.2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.

5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.

9. (ĐH Hàng hải 1999)Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho:1. Bạn C ngồi chính giữa.2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.

10. (HV BCVT 1999)Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.

11. (ĐHQG HN khối B 2000)Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:1) phải có ít nhất là 2 nữ.2) chọn tuỳ ý.

14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

2


Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.

15. (ĐH Y HN 2000)Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?

16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.

17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.

19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.

20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau.

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.

23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.

24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

26. (ĐH GTVT 2000)Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.

27. (HV Quân y 2000)Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30. (CĐSP Nha Trang 2000)Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

32. (ĐH An ninh khối D 2001)Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.

4

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp33. (ĐH Cần Thơ 2001)

Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.

34. (HV Chính trị quốc gia 2001)Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.

35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

36. (ĐH Huế khối ABV 2001)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

37. (ĐH Huế khối DHT 2001)Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.

40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).

43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)

WWW.ToanCapBa.Net


Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?

44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

45. (ĐHSP HN II 2001)Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.

46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)Cho A là một hợp có 20 phần tử.1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?

47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.

48. (ĐH Văn Lang 2001)Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.

49. (ĐH Y HN 2001)Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?

50. (ĐH khối D dự bị 1 2002)Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2)Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1)

6


Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.

53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)1. Tìm số giao điểm tối đa của:a) 10 đường thẳng phân biệt.b) 6 đường tròn phân biệt.2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên.

56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.

57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245.

58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.

59. (ĐH khối B 2004)Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

60. (ĐH khối B 2005)Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.

64. (ĐH khối D 2006)Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

65. (CĐ GTVT III khối A 2006)Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.

66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?

67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó.

68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

BÀI GIẢI

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

1.

X AX 1 Y

1 XY 3,4,5,6,7,8

2 X.

Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64.Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A.

* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123.

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.

8


Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n

Tính m: Lập một số chẵn 5 4 3 2 1a a a a a gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2, a3, a4, a5

A, có nghĩa là:Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} có 4 cách

Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A có 47A = 7.6.5.4 = 840 cách

Do đó: m = 4.840 = 3360.

Tính n: Lập một số chẵn 2 1123a a bắt đầu bởi 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2

Lấy a1 từ {4,6,8} có 3 cáchLấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} có 4 cáchDo đó: n = 3.4 = 12Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.

2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cáchBước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:Nhóm sách Toán: 2! cáchNhóm sách Văn: 4! cáchNhóm sách Anh: 6! cáchKết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.

3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:

A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A BGiai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.

WWW.ToanCapBa.Net


Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B.Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách.

4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)1. Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e {0,2,4,6}, vì là số chẵn.

Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: 47A = 840

Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.

Ta loại những số có dạng 0bcde . Có 3 cách chọn e, và 36A cách chọn b, c, d từ

X \ {0,e}. Vậy có 3. 36A = 360 số chẵn có dạng 0bcde .

Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.2. n = abcde* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vị trí cho 1. Sau đó

chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có 47A cách.

Như thế: có 3. 47A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.

* Xem các số hình thức 0bcde . Có 2 cách chọn vị trí cho 1. Chọn chữ số khác

nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là 36A .

Như thế: có 2. 36A = 240 số hình thức dạng 0bcde .

Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: 415C = 1365.

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 14 5 6C C C = 180



Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

10


Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách. Vậy có 2.6 = 12 cách.* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.

7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 01. Vì số tạo thành là số lẻ nên f {1, 3, 5}. Do đó: f có 3 cách chọn

a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)b có 4 cách chọn (trừ a và f)c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)

Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f {0, 2, 4}.* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số* Khi f {2, 4} thì:

f có 2 cách chọna có 4 cách chọn

WWW.ToanCapBa.Net


b có 4 cách chọnc có 3 cách chọnd có 2 cách chọne có 1 cách chọn

Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.

8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).

Vậy: có tất cả 49

9!A

5! = 6.7.8.9 = 3024 số.

9. (ĐH Hàng hải 1999)1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.

10. (HV BCVT 1999)* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:

6 510 10A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080

* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:69A = 9.8.7.6.5.4 = 60480

* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:

6 59 9A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760

12


Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.

11. (ĐHQG HN khối B 2000)* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)

Có 34A khả năng chọn 3 chữ số cuối.

Có 4. 34A = 4.4! = 96 số.

* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:

Nếu chữ số tận cùng là 0: có 34A = 24 số

Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có 23A = 6 khả

năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 sốDo đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.

Vậy số cách tặng là 69A = 60480

2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.

Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: 612A = 665280

Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: 56A .7 = 5040

Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: 4 26 8A .A = 20160

Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: 3 36 9A .A = 60480

Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 57960013. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam có 2 415 30C .C cách

WWW.ToanCapBa.Net


hoặc * 3 nữ, 3 nam có 3 315 30C .C cách



hoặc * 6 nữ có 615C cách

Vậy: có 2 415 30C .C + 3 3

15 30C .C + 4 215 30C .C + 5 1

15 30C .C + 615C cách

2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: 645C .

14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0 hoặc abc2 hoặc abc4* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. Có 5.4.3 = 60 số* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.

Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5 .

* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b. Có 5.4 = 20 số* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b. Có 4.4 = 16 sốVậy có: 20 + 16 số cần tìm.3. Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 có 4 số* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử có 3! = 6 số.

14


Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.15. (ĐH Y HN 2000)

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 1 1 15 3 4C .C .C = 5.3.4 = 60

Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: 1 23 4C .C = 18

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 2 13 4C .C = 12

Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Xét số năm chữ số 1 2 3 4 5a a a a a1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp

Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 45A = 120 cách.

Vậy có 5.120 = 600 số.

2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có 25A cách.

Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 34A = 24 cách.

Vậy có 25A . 3

4A = 480 số.

17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C = 5400 cách.

2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách

* 3 nam và 2 nữ: có 3 210 10C .C = 5400 cách

* 4 nam và 1 nữ: có 4 110 10C .C = 2100 cách

Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn

7 cách chọn chữ số hàng nghìn

WWW.ToanCapBa.Net


7 cách chọn chữ số hàng trăm7 cách chọn chữ số hàng chục7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 4.

19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho 1 2 3 4a a a a . Có hai khả năng:

1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5

số có 5 chữ số 1 2 3 4 5a a a a a với tổng các chữ số là một số lẻ.

2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số

có 5 chữ số 1 2 3 4 5a a a a a với tổng các chữ số là một số lẻ.

Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ.

20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

1. Có: 25C cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

413C cách chọn ra 4 viên bi còn lại.

Vậy có: 25C . 4

13C = 7150 cách chọn

2. Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng có 3 39 5C .C cách

* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng có 2 2 29 5 4C .C .C cách

* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng có 1 1 49 5 4C .C .C cách

Vậy có tất cả: 3 39 5C .C + 2 2 2

9 5 4C .C .C + 1 1 49 5 4C .C .C = 3045 cách.

21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)Có 2 khả năng:1. Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn có 5!5! cách2. Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ có 5!5! cáchVậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.

16

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6.

Vậy có tất cả có: 8.7.6.5. 24C .1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.

23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Số các số có 6 chữ số 1 2 3 4 5 6a a a a a a là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số 1 2 3 4 5 6a a a a a a ta lập được 5 số có 7 chữ số

1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a mà tổng các chữ số là một số chẵn.

Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số.24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.

Vậy số các số cần tìm là: 59

9!C

5!4! = 126.

25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Có tất cả: 3 2 4 2 2 49 6 9 5 9 7C .C C .C C .C = 1260 cách

26. (ĐH GTVT 2000)Có 2 khả năng:

* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 1 22 18C .C

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có 2 12 18C .C

Vậy số chọn là: 1 22 18C .C + 2 1

2 18C .C = 324 cách.

27. (HV Quân y 2000)1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số

cách xếp là 37A .

Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số

cách xếp là 34C .

Vậy số cách xếp khác nhau là: 37A . 3

4C = 840 cách.

2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vị là 3!Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:100008, 100017, 100035, …, 999999Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:u1 = 100017, 100035, …, un = 999999với công sai d = 18. Do đó:un = u1 + (n – 1)d 999999 = 100017 + (n – 1).18 n = 50000Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.

29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:

x = 1 2 3 4 5 6a a a a a a

Từ giả thiết a1 {5,6,7,8,9}, a6 {1,3,5,7,9}Có 2 khả năng:1. a1 lẻ:

* a1 có 6 cách chọn* a6 có 4 cách chọn

* sau khi chọn a1, a6, cần chọn 2 3 4 5a a a a , mỗi cách chọn ứng với một chỉnh

hợp chập 4 của 8 phần tử.

Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. 48A = 40320 số

2. a1 chẵn:* a1 có 2 cách chọn* a6 có 5 cách chọn

* 2 3 4 5a a a a có 48A cách chọn

Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. 48A = 16800 số

Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5

là: 5. 35A = 300

Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:45A = 120

Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chọn 3 em nam: có 39C cách

Chọn 2 em nữ: có 26C cách

Vậy có: 39C . 2

6C = 1260 cách.

32. (ĐH An ninh khối D 2001)Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

18


Thế thì:* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)

* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn 36C = 20 cách chọn vị trí cho 3 chữ

số 4.* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chọn cho 3 chữ số còn lại.Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.

33. (ĐH Cần Thơ 2001)Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.

34. (HV Chính trị quốc gia 2001)1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam số cách chia là: 3 2

6 4C .C = 120

2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: 56C = 6

* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: 4 16 4C .C = 60

WWW.ToanCapBa.Net


Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66.

35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Giả sử số cần tìm có dạng: A = 1 2 3 4 5 6a a a a a a .

+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7.

Vậy có 57A = 2520 số.

+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4)

sẽ chỉ còn 46A số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. 4

6A = 10800 số.

Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.36. (ĐH Huế khối ABV 2001)

Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a {1,2,3,..,9} có 9 số+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:

* a111 với a {2,3,4, …,9} có 8 số

* 1b11 với b {0,2,3,…, 9} có 9 số

* 11c1 với c {0,2,3,…, 9} có 9 số

* 111d với d {0,2,3,…, 9} có 9 số có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:

9 + 9.35 = 324 số Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.

37. (ĐH Huế khối DHT 2001)

* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: 513C = 1287

* Số cách chọn 5 em toàn nam là: 57C = 21

20


* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: 56C = 6

Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 126038. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai. Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.

* Có 25C = 10 cách chọn 2 học sinh khá.

* Có 58C = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.

Có: 3.10.56 = 1680 cách. Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.

* Có 35C = 10 cách chọn 3 học sinh khá.

* Có 48C = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.

Có: 3.10.70 = 2100 cách.Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.

39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5.

Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 35A

Số các số thu được là: 4.4. 35A = 960 số

Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5.

Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 45A

WWW.ToanCapBa.Net


Số các số thu được là: 5. 45A = 600 số.

Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy có 9.9.8 = 648 số.2. Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn

tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: 47A = 840

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.

Số các số tạo thành: 3.6. 36A = 2160

Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.

42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9.Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ.Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí còn lại là 6!.Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.

43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9.

22


Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.

44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a . Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2 đến a6:

có 5 cách xếp. Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này:

có 58A cách.

Vậy tất cả có: 5. 58A = 33600 cách.

2. Số được xét có dạng: 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a .

Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có 27C cách.

Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 35C cách.

Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2! 28C cách.

Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

27C . 3

5C .2! 28C = 11760 số.

Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.

Đối với các số 2 3 4 5 6 70a a a a a a :

* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có 26C cách.

* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có 34C cách.

* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách.

Như vậy loại này có: 26C . 3

4C .7 = 420 số.

Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.45. (ĐHSP HN II 2001)

Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Xét x = 1 2 3 4 5a a a a a X.

Nếu chọn a5 = 1 thì 1 2 3 4a a a a ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4,

5, 7, 8 có 45A số có chứ hàng đơn vị là 1.

Tương tự có 45A số có chứ hàng đơn vị là 3; …

Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x X là:

WWW.ToanCapBa.Net


(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). 45A = 3360.

Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x X là: 3360.10; …Vậy tổng tất cả các phần tử của X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960.

46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)

1. Số tập con của A là: 0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 220

2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:

T = 2 4 2020 20 20C C ... C

Ta có: 0 = (1 – 1)20 = 0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C

0 2 4 2020 20 20 20C C C ... C = 1 3 19

20 20 20C C ... C

0 1 2 2020 20 20 20C C C ... C = 2 0 2 4 20

20 20 20 20C C C ... C

T = 2 4 2020 20 20C C ... C =

20020

2C

2 = 219 – 1.

47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)1. Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c {1;2;3;4;5} = E.Vì x chẵn nên c {2;4} có 2 cách chọn c.

Với mỗi cách chọn c, có 24A cách chọn bc .

Vậy tất cả có: 2. 24A = 24 số chẵn.

2. Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ 4 thì x > 345.* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x =

abc < 345. Loại này có: 2. 25A = 40 số.

* Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345

b 1hoaëc 2; c E \ a,b

b 4; c 1hoaëc 2Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.

24

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp48. (ĐH Văn Lang 2001)

1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:

* 2 nam và 3 nữ: có 2 310 10C .C cách.


Vậy tất cả có: 2. 2 310 10C .C = 10800 cách.

2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:





Vậy tất cả có: 2. 1 410 10C .C + 2. 2 3

10 10C .C = 15000 cách.

49. (ĐH Y HN 2001)Ta xét các trường hợp sau:1. Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.2. Chữ số hàng đơn vị là 8:a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6 số.Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng50. (ĐH khối D dự bị 1 2002)

Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: 818C = 43758

Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn (số cách phải tìm).Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọn nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối).Bộ phận II có thể chia thành ba loại:

8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có 813C cách.



Vậy số cách phải tìm là: 818C – ( 8

13C + 812C + 8

11C ) = 41811 cách.

51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2)Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5. Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp. Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) = 192 số.

52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1)Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho có

dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a (ai {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj )

sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 a4 + a5 + a6 = 11 a1 + a2 + a3 = 10 (1)Vì a1, a2 a3 {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả năng sau: a1, a2, a3 {1; 3; 6} a1, a2, a3 {1; 4; 5} a1, a2, a3 {2; 3; 5}Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 . Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số.

53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)

26


Có 3 khả năng:

5 nam và 1 nữ: có 5 15 7C .C cách



Vậy tất cả có: 5 15 7C .C + 4 2

5 7C .C + 3 35 7C .C = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách.

54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8. Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6

của 8 phần tử. Do đó có 68A số thuộc loại này.

Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu).

Vậy số các số loại này là: 4. 6 58 7A A .

Vậy tất cả có: 68A + 4. 6 5

8 7A A = 90720 số.

55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)1. a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm Số giao điểm tối đa của

10 đường thẳng phân biệt là 210C = 45 điểm.

b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm Số giao điểm tối đa của

6 đường tròn phân biệt là 2. 26C = 30 điểm.

2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường tròn có tối đa 12 giao điểm. Do đó số giao điểm tối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường tròn là: 10.12 = 120.Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:

45 + 30 + 120 = 195 điểm.56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần

tử Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là: 2nC

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo

2nC = n + 2n

n(n 1)2

= 3n n2 – n = 6n

n2 – 7n = 0

n 7

n 0 (loaïi)

Vậy n = 7.57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)

Gọi số cần tìm là: x = 1 2 3a a a

WWW.ToanCapBa.Net


Vì x < 245 nên a1 = 1 hoặc a1 = 2

a1 = 1: x = 2 31a a

a2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5

Có: 24A = 4.3 = 12 số

a1 = 2: x = 2 32a a

a2 có 2 khả năng:* a2 < 4 a2 {1, 3} a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại Có 2.3 = 6 số* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 a3 có 2 cách chọn Có 2 số

Có 6 + 2 = 8 số x = 2 32a a

Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a .

Chọn a4 từ {1, 5, 9} có 3 cách chọn.Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} có 3 cách chọn.Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} có 3 cách chọn.Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} có 2 cách chọn.Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài.

59. (ĐH khối B 2004)Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:

* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó có 2 2 115 10 5C .C .C đề.



Vậy tất cả có: 2 2 115 10 5C .C .C + 2 1 2

15 10 5C .C .C + 3 1 115 10 5C .C .C = 23625 + 10500 + 22750

28


= 56875 đề.60. (ĐH khối B 2005)

Có 1 43 12C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi

cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có 1 42 8C C cách

phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công

các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có 1 41 4C C cách

phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.

Vậy tất cả có: 1 43 12C C . 1 4

2 8C C . 1 41 4C C = 207900 cách phân công.

61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Gọi x = 1 2 3 4 5 6a a a a a a là số cần lập.

YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 a3, a4, a5 {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 {1, 2, 5} Có 6 cách chọn a1

Có 5 cách chọn a2

Có 3! cách chọn a3, a4, a5

Có 4 cách chọn a6

Có: 6.5.6.4 = 720 số x.b) Khi a3, a4, a5 {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x.Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x.

62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)Ta có các trường hợp:

3 nữ và 5 nam: có 3 55 10C C = 2520 cách.



Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

Cách 1: Gọi x = 1 2 3 4 5a a a a a là số cần lập.

Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có 25A = 20 cách.

WWW.ToanCapBa.Net


Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên. 4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai. 3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba.

Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số. Cách 2:

* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có 25A = 20 cách.

* Bước 2: có 35A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại.

Vậy có 20.60 = 1200 số.64. (ĐH khối D 2006)

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: 412C = 495

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau: Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.

Số cách chọn là: 2 1 15 4 3C C C = 120

Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:


Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:


Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:120 + 90 + 60 = 270

Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.65. (CĐ GTVT III khối A 2006)

Số cách chọn 2 học sinh khối C là: 25C = 10

Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là: 1325C = 5200300

Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: 4 915 10C C

30


Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: 3 1015 10C C

Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là: 4 915 10C C + 3 10

15 10C C = 13650 + 455 = 14105

Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

13 4 9 3 1025 15 10 15 10C C .C C .C = 5186195

Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

2 13 4 9 3 105 25 15 10 15 10C C C .C C .C = 51861950

66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)

Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có 24C cách.

Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách.Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách.

Vậy tất cả có: 24C .3. 2

8A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài.

67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Gọi ab là số tự nhiên phải tìm a ≠ 0

Do ab chẵn nên b {0, 2, 4, 6, 8}Có 2 trường hợp:* Nếu b = 0 thì a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có 9 cách chọn a. có 9 số a0* Nếu b ≠ 0 thì b {2, 4, 6, 8} có 4 cách chọn b.Khi đó có 8 cách chọn a. có 4.8 = 32 số abVậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm. Đặt S là tổng của 41 số đó.S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)

= 45.10 982

– 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.

68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Hai đỉnh thuộc d1, một đỉnh thuộc d2: có 210C .8 tam giác

Hai đỉnh thuộc d2, một đỉnh thuộc d1: có 28C .10 tam giác

Vậy tất cả có: 210C .8 + 2

8C .10 = 640 tam giác.

Phần II. BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

1. (CĐSP TPHCM 1999)

Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: k k 2 k 114 14 14C C 2C

2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)

Tính tổng: 6 7 8 9 1010 10 10 10 10C C C C C

WWW.ToanCapBa.Net


trong đó knC là số tổ hợp chập k của n phần tử.

3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

Tìm các số nguyên dương x thoả: 1 2 3 2x x xC 6C 6C 9x 14x

4. (ĐH Bách khoa HN 1999)

Tính tổng: S = 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) .nC

trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.5. (ĐHQG HN khối A 2000)

Chứng minh rằng: k k 1 1000 10012001 2001 2001 2001C C C C

(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)6. (ĐHQG HN khối B 2000)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

174 3

3 2

1x

x, x ≠ 0

7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)

Giải bất phương trình: 2 2 32x x x

1 6A A .C 10

2 x8. (ĐHSP HN khối A 2000)

Trong khai triển nhị thức

n283 15x x x , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào

x, biết rằng n n 1 n 2n n nC C C 79

9. (ĐHSP HN khối BD 2000)Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.

10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

Tính tổng: S =

0 1 2 nn n n n

1 1 1C C C ... C

2 3 n 111. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)

Chứng minh: n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 4 4 n n 1n n n n n2 C 2 C 2 C 2 C ... nC n.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Tìm hệ số của x31 trong khai triển của f(x) =

40

2

1x

x13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:

2 2 2 22 3 4 n

1 1 1 1 n 1...

nA A A A

32

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14.Hãy tính hệ số a9.

15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:

1. 0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2n

2. 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC C C ... C = 0 2 4 2n

2n 2n 2n 2nC C C ... C

16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)

Tính tổng: S = 0 1 2 20002000 2000 2000 2000C 2C 3C ... 2001C

17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12

Tìm max(a1, a2, …, a12).18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)

Tính tích phân: I = 1

2 n

0

x(1 x ) dx (n N*)

Từ đó chứng minh rằng:

n0 1 2 3 nn n n n n

1 1 1 1 ( 1) 1C C C C ... C

2 4 6 8 2(n 1) 2(n 1)19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)

Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7

20. (ĐH An Ninh khối A 2001)Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với

xn =

4n 4

n 2 n

A 143P 4P

(n = 1, 2, 3, …)

21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:

2 2 22 3 n

1 1 1...

A A A =

n 1n

.


Giải hệ phương trình:

y yx x

y yx x

2A 5C 90

5A 2C 80

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)

1. Tính tích phân: I = 1

6

0

(x 2) dx

WWW.ToanCapBa.Net


2. Tính tổng: S = 6 5 4 3 2

0 1 2 3 4 5 66 6 6 6 6 6 6

2 2 2 2 2 2 1C C C C C C C

1 2 3 4 5 6 724. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)

Chứng minh rằng với mọi số x ta có: xn =

n

k knn

k 0

1C (2x 1)

2 (n N) (*)

25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:

S =

0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

1 1 1 1C C .2 C .2 C .2 ... C .2

2 3 4 n 126. (ĐH Hàng hải 2001)

Chứng minh: 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3 2 (2 1)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

1 n 1 2 n 2 3 n 3 nn n n nC .3 2.C .3 3.C .3 ... n.C = n.4n–1

28. (ĐHSP HN khối A 2001)

Trong khai triển của

101 2x

3 3 thành đa thức:

a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak R)hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).

29. (ĐH Vinh khối AB 2001)

Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng knC lớn nhất nếu k là

số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n 12

.

30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)Chứng minh rằng:

0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:

2n n n

2n k 2n k 2nC .C C

32. (ĐH khối A 2002)Cho khai triển nhị thức:

n n n 1x xx 1 x 1 x 10 13 32 2 2n n

n 1 nx xx 1n 1 n3 32n n

2 2 C 2 C 2 2 ...

C 2 2 C 2

34


(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 3 1n nC 5C và số hạng thứ

tư bằng 20. Tìm n và x.33. (ĐH khối B 2002)

Cho đa giác đều A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n. Tìm n?

34. (ĐH khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho:

0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C = 243

35. (ĐH dự bị 2 2002)

Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: 3 n 2n nA 2C ≤ 9n.

36. (ĐH dự bị 4 2002)Giả sử n là số nguyên dương và:

(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho k 1 k k 1a a a

2 9 24.

Hãy tính n.37. (ĐH dự bị 6 2002)

Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau:(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.

Hãy tính hệ số a5.38. (ĐH khối A 2003)

Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n5

3

1x

x, biết rằng:

n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3) (n nguyên dương, x > 0).

39. (ĐH khối B 2003)Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

2 3 n 10 1 2 nn n n n

2 1 2 1 2 1C C C ... C

2 3 n 140. (ĐH khối D 2003)

Với n là số nguyên dương, gọi a3n–3 là hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n–3 = 26n.

41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2)Tìm số tự nhiên n thoả mãn:

2 n 2 2 3 3 n 3n n n n n nC C 2C C C C = 100

42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:

1 3 5 2n 1 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C ... C C C C ... C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)

WWW.ToanCapBa.Net


1. Giải phương trình: 1 2 3x x xC 6C 6C = 9x2 – 14x

2. Chứng minh rằng: 1 3 5 17 1920 20 20 20 20C C C ... C C = 219

44. (CĐ khối AD 2003)Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1

45. (CĐ Giao thông II 2003)Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có:

n 1n0 1 nn n n

2 2C C ...C

n 146. (CĐ Giao thông III 2003)

1. Tính tổng:S = 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) nC (n > 2)

2. Tính tổng:T =

0 1 2 nn n n n

1 1 1C C C ... C

2 3 n 1biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:

n n 1 n 2n n nC C C 79

47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003)

Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 2 k 2 k

2 n 2 2 n 2 2 n 2 nC C C C C C C

(với n, k Z+;n ≥ k + 2)48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)

Giải bất phương trình: 3 n n nn 2n 3n(n!) C .C .C 720

49. (CĐ Công nghiệp HN 2003)Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003. Khai triển đa thức đó dưới dạng:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003

Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: 3 2n nA 2C 16n

51. (CĐ Nông Lâm 2003)Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của:

151 2x

3 3.

52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng minh rằng:

1 3 2n 1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n1C 3C ... (2n 1)C 2C 4C ... 2nC

53. (ĐH khối A 2004)Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8.

54. (ĐH khối D 2004)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:

36


73

4

1x

xvới x > 0

55. (ĐH khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho:

1 2 2 3 3 4 2n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1).2 C = 2005

56. (ĐH khối D 2005)

Tính giá trị của biểu thức: M =

4 3n 1 nA 3A(n 1)!

biết 2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C = 149.

57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2)Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n, trong đó n là số nguyên

dương thoả mãn: 1 3 5 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 102458. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)

Tìm k {0; 1; 2; …; 2005} sao cho k2005C đạt giá trị lớn nhất.

59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2)

Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6 2 2n n nA P A = 12.

60. (ĐH khối A 2006)Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n7

4

1x

x, biết rằng: 1 2 n 20

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

61. (ĐH khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)

Giải hệ phương trình:

x xy y 2

x xy y

1C :C

31

C :A24

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)

Tìm số tự nhiên n sao cho: n n n4 5 6

1 1 1

C C C

64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)

Tính tổng S =

0 1 2 nn n n n

1 1 1 11 2 3 n 1

1.C 2.C 3.C (n 1).C...

A A A A

Biết rằng: 0 1 2n n nC C C 211

WWW.ToanCapBa.Net

Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)

Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng:a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n2

3

1x

x, biết rằng:

1 3n nC C 13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0).

67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)

Tìm n N sao cho: 0 2 4 2n4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 256

68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006)

Cho A =

20 103

2

1 1x x

xx. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A

sẽ gồm bao nhiêu số hạng?69. (CĐ KT Y tế I 2006)

Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau: 0 2 2 2k 2k 2n 2 2n 2 2n 2n 15 16

2n 2n 2n 2n 2nC C 3 ... C 3 ... C 3 C 3 2 (2 1)70. (CĐ Xây dựng số 2 2006)

Chứng minh: 0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C

71. (CĐ KT Y tế 1 2005)

Giải bất phương trình: 2 2x 1 x2C 3A 20 0

72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của (x3 – xy)15.

73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.

BÀI GIẢI

1. (CĐSP TPHCM 1999) k k 2 k 1

14 14 14C C 2C (0 ≤ k ≤ 12, k N)

14! 14! 14!2

k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!

1 1 12

(14 k)(13 k) (k 1)(k 2) (k 1)(13 k) (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)

38


k2 – 12k + 32 = 0 k = 4 hoặc k = 8Vậy: k = 4 hoặc k = 8

2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)

S = 6 7 8 9 1010 10 10 10 10C C C C C

= 0 1 9 10 1010 10 10 10 10

1 1C C ... C C C

2 2= 10 5

101 1

.2 C2 2

= 386.

3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

1 2 3 2x x xC 6C 6C 9x 14x (x N, x ≥ 3)

x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x

x(x2 – 9x + 14) = 0

x 0 (loaïi)

x 2 (loaïi)

x 7 (nhaän)Vậy: x = 7

4. (ĐH Bách khoa HN 1999)

S = 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) .nC (n > 2)

Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được:

p(x) = (1 – x)n =

n

k k kn

k 0

( 1) C .x

Suy ra: – p(x) = n(1 – x)n–1 =

nk 1 k k 1

nk 1

( 1) .kC .x

Cho x = 1 ta được: 0 =

nk 1 k

nk 1

( 1) .kC

= 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) .nC = S

Vậy: S = 05. (ĐHQG HN khối A 2000)

Ta sẽ chứng tỏ:

0 2001 1 2000 2 1999 1000 10012001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001C C C C C C ... C C

Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ: k k 12001 2001C C (1) với k = 0, 1, 2, …, 999.

Ta có: (1)

2001! 2001!k!(2001 k)! (k 1)!(2000 k)! (k + 1) < 2001 – k 2k < 2000 k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.

Vì vậy: k 10002001 2001C C ,k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức

k 1000

k 1001)

và: k 1 10012001 2001C C , k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức

k 999

k 1000)

WWW.ToanCapBa.Net


k k 1 1000 10012001 2001 2001 2001C C C C (đẳng thức k = 1000)

6. (ĐHQG HN khối B 2000)Số hạng tổng quát của khai triển là:

17 3417 k k k2 3 3 12 3

k k3 4 417 17C x x C x

(k N, 0 ≤ k ≤ 17)

Để số hạng không chứa x thì 17 34

k 012 3

k = 8

Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng 817C .


Điều kiện:

x N

2 2x x N

2 x x 3

3 x

Ta có: 2 2 32x x x

1 6A A .C 10

2 x

12

.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤

6 x(x 1)(x 2)

. 10x 1.2.3

x2 ≤ x2 – 3x + 12 x ≤ 4Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4.


* Xác định n: n n 1 n 2n n nC C C 79 1 + n +

n(n 1)2

= 79

n 12

n 13 (loaïi)

* Ta có:

12 k 12 k28 4 2812

k3 15 3 1512

k 0

x x x C x x =

48 11212 kk 15 512

k 0

C x

Số hạng không phụ thuộc x 48 112

k 015 5

k = 7.

Vậy số hạng cần tìm là: 712C = 792

9. (ĐHSP HN khối BD 2000)

Ta có: (x2 + 1)n = n

k 2kn

k 0

C x (1)

Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn phương trình: x12 = x2k k = 6.

40


Trong (1) cho x = 1 thì n

kn

k 0

C = 2n

Từ giả thiết n

kn

k 0

C = 1024 2n = 1024 n = 10

Vậy hệ số cần tìm là: 610C = 210.

10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

* Ta có: I =

11 n 1 n 1n

0 0

(1 x) 2 1(1 x) dx

n 1 n 1

* I = 1

0 1 n nn n n

0

(C C x ... C x )dx =

12 n 1

0 1 nn n n

0

x xC x C ... C

2 n 1

=

0 1 2 nn n n n

1 1 1C C C ... C

2 3 n 1 = S

Vậy: S =

n 12 1n 1

.

11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)

Ta có: (1 + x)n = 0 1 2 2 3 3 4 4 n nn n n n n nC C x C x C x C x ... C x

Lấy đạo hàm hai vế:

n(1 + x)n–1 = 1 2 3 2 4 3 n n 1n n n n nC 2C x 3C x 4C x ... nC x

Thay x = 12

, ta được:

n 11 2 1 3 2 4 3 n n 1n n n n nn 1

3n C 2C .2 3C 2 4C .2 ... nC 2

2

n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 4 4 n n 1n n n n n2 C 2 C 3.2 C 4.2 C ... nC n.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

40

2

1x

x =

40 k40

k k40 2

k 0

1C x .

x =

40

k 3k 8040

k 0

C x

Hệ số của x31 là k40C với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 k = 37

Vậy: hệ số của x31 là 37 340 40

40.39.38C C

1.2.3 = 40.13.19 = 9880.

13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

* Với n = 2, đpcm 222

2

1 1A 2

2A đúng

WWW.ToanCapBa.Net


* Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có:

2 2 2 22 3 4 k

1 1 1 1 k 1...

kA A A A

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1.

Thật vậy,

2 2 2 2 2 22 3 4 k k 1 k 1

1 1 1 1 1 k 1 1...

kA A A A A A =

k 1 1

k (k 1)k

=

2(k 1) 1 k(k 1)k k 1

Vậy:

2 2 2 22 3 4 n

1 1 1 1 n 1...

nA A A A, n ≥ 2

14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

a9 = 1 + 9 9 9 9 910 11 12 13 14C C C C C

= 1 + 1 2 3 4 510 11 12 13 14C C C C C

= 1 + 10 + 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10

2 6 24 120= 3003

15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)

1. (1 + x)n = 0 1 2 2 n nn n n nC C x C x ... C x

Cho x = 1 0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2n

2. (1 – x)2n = 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x ... C x

Cho x = 1 đpcm.16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)

Có (x + 1)2000 =

2000i i2000

i 0

C x (1)

Trong (1) cho x = 1 ta được

2000i2000

i 0

C = 22000

Đạo hàm 2 vế của (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 =

2000i i 12000

i 1

i.C x

Cho x = 1 ta được:

2000i2000

i 1

i.C = 2000.21999 = 1000.22000

Do đó: S =

2000 2000

i i2000 2000

i 0 i 1

C i.C = 1001.22000.

17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12

42


ak = k k12C .2 ; ak < ak+1 k <

233

8i 8 12

i 1,12max(a ) a C = 126720

18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính I bằng 2 cách:

* Đổi biến: t = 1 – x2 dt = –2xdx

I =

0n

1

1t dt

2 =

1n

0

1t dt

2 =

1n 1

0

1 1t

2(n 1) 2(n 1)

* Khai triển nhị thức:

x(1 – x2)n = x 0 1 2 2 4 3 6 n n 2nn n n n nC C x C x C x ... ( 1) C x

I =

12 4 6 8 2n 2

0 1 2 3 n nn n n n n

0

x x x x xC . C . C . C . ... ( 1) C .

2 4 6 8 2n 2

=

n0 1 2 3 nn n n n n

1 1 1 1 ( 1)C C C C ... C

2 4 6 8 2(n 1)Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)Hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7

là: 5 5 55 6 7C C C = 1 +

6! 7!5!1! 5!2!

= 28

20. (ĐH An Ninh khối A 2001)Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:

xn =

4n 4

n 2 n

A 143P 4P

< 0 (n + 3).(n + 4) – 1434

< 0

4n2 + 28n – 95 < 0 19 5

n2 2

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 các số hạng âm của dãy là x1, x2.21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)

Ta có:

2n

n!A

(n 2)! = n(n – 1)

2n

1 1 1 1n(n 1) n n 1A

Thay n lần lượt bằng 2, 3, … ta được:

2 2 22 3 n

1 1 1...

A A A=

1 1 1 1 1 1 1 n 1

... 11 2 2 3 n 1 n n n

(đpcm)


WWW.ToanCapBa.Net


Đặt u = yxA ; v = y

xC

2u 5v 90 u 20

5u 2v 80 v 10

Mà u = y!v y! = 2 y = 2

2x

x!A x(x 1) 20

(x 2)! x2 – x – 20 = 0

x 5

x 4 (loaïi)

Vậy

x 5

y 2

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)

1. I = 1

6

0

(x 2) dx =

17 7 7

0

(x 2) 3 27 7

2. Ta có:

I = 1

6

0

(x 2) dx =

= 1

0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 66 6 6 6 6 6 6

0

C .2 C 2 x C 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x dx

=

16 5 4 3 20 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 76 6 6 6 6 6 6

0

2 2 2 2 2 2 1C x C x C x C x C x C x C x

1 2 3 4 5 6 7

= 6 5 4 3 2

0 1 2 3 4 5 66 6 6 6 6 6 6

2 2 2 2 2 2 1C C C C C C C

1 2 3 4 5 6 7 = S

Vậy: S = 7 73 27

24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)Đặt u = 2x – 1, ta được:

(*)

n n

k knn

k 0

u 1 1C u

2 2 (u + 1)n =

n

k kn

k 0

C u . Đẳng thức đúng.

25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)

Có

2 2k k k k 1 k kn n n

0 0

1 1 1C .2 C .x C x dx

k 1 2(k 1) 2

S =

0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

1 1 1 1C C .2 C .2 C .2 ... C .2

2 3 4 n 1

=

2 2n n n

k k k k k kn n n

k 0 k 0 k 00 0

1 1 1C .2 C x dx C x dx

k 1 2 2 =

44


=

22 n 1n

0 0

1 1 (x 1)(x 1) dx .

2 2 n 1 =

n 13 12(n 1)

26. (ĐH Hàng hải 2001)

Ta có: (1 + 3)2n = 0 1 1 2 2 2n n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3

(1 – 3)2n = 0 1 1 2 2 2n n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:

42n + 22n = 2 0 2 2 2n 2n2n 2n 2nC C .3 ... C .3

Từ đó ta được: 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3 2 (2 1)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)

Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = 0 n 1 n 1 n nn n nC 3 C .3 x ... C .x

Ta có: f(x) = n(x + 3)n–1 = 1 n 1 2 n 2 n n 1n n nC .3 2C .3 x ... nC x

Cho x = 1, ta được:

f(1) = n.4n–1 = 1 n 1 2 n 2 3 n 3 nn n n nC .3 2.C .3 3.C .3 ... n.C (đpcm)


Ta có: ak–1 ≤ ak k 1 k 1 k k10 10C .2 C .2

1 2

(k 1)!(11 k)! k!(10 k)!

k ≤ 2(11 – k) k ≤ 223

Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = 7 71010

1.C .2

3.

29. (ĐH Vinh khối AB 2001)

Ta có: knC =

n!

k!(n k)! và k 1

nC =

n!(k 1)!(n k 1)!

kn

k 1n

C n k 1kC

.

Do đó: knC > k 1

nC

n k 1

1k

k < n 12

Bảng biến thiên:

k 1 n

knC

n 12

knC lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá

n 12

.

30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)

WWW.ToanCapBa.Net


Ta có: (x + 1)2001 =

2001k k2001

k 0

C .x

(–x + 1)2001 =

2001

k k2001

k 0

C .( x)

Cộng lại ta được:(x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =

= 2 0 2 2 4 4 2000 20002001 2001 2001 2001C x C x C ... x C

Cho x = 3 ta được:

42001 – 22001 = 2 0 2 2 4 4 2000 20002001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C

0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)

Đặt ak = n n2n k 2n kC .C với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng:

a0 > a1 > … > an (1)Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với 0 ≤ k ≤ n – 1 (2)

(2n k)! (2n k)! (2n k 1)! (2n k 1)!. .

n!(n k)! n!(n k)! n!(n k 1)! n!(n k 1)!

2n k 2n k 1n k n k 1

(2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)

2nk + n > 0Ta được BĐT đúng (2) đúng (1) đúng.

Do đó: ak = 2n n n

2n k 2n k 2nC .C C = a0

Dấu “=” xảy ra k = 0.32. (ĐH khối A 2002)

Từ 3 1n nC 5C ta có n ≥ 3 và

n! n!

53!(n 3)! (n 1)!

n(n 1)(n 2)

5n6

n2 – 3n – 28 = 0

n 4 (loaïi)

n 7

Với n = 7 ta có: 3xx 13 327C 2 2

= 140 35.22x–2.2–x = 140

2x–2 = 4 x = 4.Vậy n = 7, x = 4.

33. (ĐH khối B 2002)

46


Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n là 32nC .

Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2…A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói

trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1, A2, …, A2n, tức 2nC .

Theo giả thiết thì:

3 22n n

(2n)! n!C 20C 20.

3!(2n 3)! 2!(n 2)!

2n(2n 1)(2n 2) n(n 1)

206 2

2n – 1 = 15 n = 8.

34. (ĐH khối D 2002)

Ta có: (x + 1)n = n

k kn

k 0

C x

Cho x = 2 ta được: 3n = n

k kn

k 0

C 2 3n = 243 n = 5.

35. (ĐH dự bị 2 2002)

BPT

n 3

n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) 9n

2

n 3

n - 2n - 8 0

3 ≤ n ≤ 4 n = 3 hoặc n = 4.36. (ĐH dự bị 4 2002)

Ta có: k 1 k k 1a a a

2 9 24 (1) (1 ≤ k ≤ n – 1)

k 1 k k 1n n nC C C

2 9 24

1 n! 1 n! 1 n!2(k 1)!(n k 1)! 9k!(n k)! 24 (k 1)!(n k 1)!

2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k

2(n k 1) 9k

9(n k) 24(k 1)

2n 2k

113n 8

k11

Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:3n – 8 = 2n + 2 n = 10.

37. (ĐH dự bị 6 2002)

WWW.ToanCapBa.Net


Ta có: (x + 1)10 = x10 + 1 9 2 8 3 7 910 10 10 10C x C x C x ... C x 1

(x + 1)10(x + 2) = x11 + 1 10 2 9 3 8 9 210 10 10 10C x C x C x ... C x x +

+ 10 1 9 2 8 3 7 910 10 10 102 x C x C x C x ... C x 1

= x11 + 1 10 2 1 9 3 2 810 10 10 10 10C 2 x C C .2 x C C .2 x ...

+ 9 8 210 10C C .2 x + 10 9

10 10C C .2 x + 2

= x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11

Vậy a5 = 5 410 10C 2C = 672.

38. (ĐH khối A 2003)

Ta có: n 1 n

n 4 n 3C C 7(n 3) n 1 n n

n 3 n 3 n 3C C C 7(n 3)

(n 2)(n 3)

2!= 7(n + 3) n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.

Số hạng tổng quát của khai triển là:

12 k5 60 11kk 3 k k2 212 12C (x ) x C x

Ta có: 60 11k2x = x8

60 11k2

= 8 k = 4.

Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là

412

12!C

4!(12 4)! = 495.

39. (ĐH khối B 2003)

Ta có: (1 + x)n = 0 1 2 2 n nn n n nC C x C x ... C x

2 2

n 0 1 2 2 n nn n n n

1 1

(1 x) dx C C x C x ... C x dx

22 2 3 n 1n 1 0 1 2 n

n n n n1 1

1 x x x(1 x) C x C C ... C

n 1 2 3 n 1

2 3 n 10 1 2 nn n n n

2 1 2 1 2 1C C C ... C

2 3 n 1 =

n 1 n 13 2n 1

40. (ĐH khối D 2003)

Ta có: (x2 + 1)n = 0 2n 1 2n 2 2 2n 4 nn n n nC x C x C x ... C

(x + 2)n = 0 n 1 n 1 2 2 n 2 3 3 n 3 n nn n n n nC x 2C x 2 C x 2 C x ... 2 C

Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.Với n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1

Do đó hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n(x + 2)n

48


là: a3n–3 = 3 0 3 1 1n n n n2 .C .C 2.C .C

a3n–3 = 26n

22n(2n 3n 4)

26n3

n 5

7n (loaïi)

2Vậy: n = 5.

41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2)

Ta có: 2 n 2 2 3 3 n 3n n n n n nC C 2C C C C = 100

2 22 2 3 3

n n n nC 2C C C 100

22 3

n nC C 100 2 3n nC C 10

n(n 1) n(n 1)(n 2)

102 6

3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 (n2 – n)(n + 1) = 60 (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 n = 4.

42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)Ta có khai triển:

(x + 1)2n = 0 2n 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2nC x C x C x ... C x C

Cho x = –1 ta được:

0 = 0 1 2 3 4 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C ... C C

1 3 2n 1 0 2 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C ... C C C ... C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)

1. Điều kiện:

x 1

x 2 x 3

x 3 x N

x N

PT x +

x! x!6 6

2!(x 2)! 3!(x 3)! = 9x2 – 14x

x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x

x(x2 – 9x + 14) – 0

x 0 (loaïi)

x 7 (loaïi)

x 2 x = 2

2. Cách 1:

* Ta có: (1 – x)20 = 0 1 2 2 19 19 20 2020 20 20 20 20C C x C x ... C x C x

WWW.ToanCapBa.Net


Cho x = 1 ta có: 0 1 2 19 2020 20 20 20 20C C C ... C C = 0

0 2 20 1 3 1920 20 20 20 20 20C C ... C C C ... C

Đặt: A = 0 2 2020 20 20C C ... C ; B = 1 3 19

20 20 20C C ... C A = B (1)

* Ta có: (1 + x)20 = 0 1 2 2 19 19 20 2020 20 20 20 20C C x C x ... C x C x

Cho x = 1 ta có: 0 1 2 19 2020 20 20 20 20C C C ... C C = 220

A + B = 220 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A = 2022

= 219 (đpcm).

Cách 2: Áp dụng công thức k k 1 k

n 1 n nC C C và 0nC 1, ta được:

1 3 5 17 1920 20 20 20 20C C C ... C C =

= 0 1 2 3 16 17 18 1919 19 19 19 19 19 19 19C C C C C C C C

= (1 + 1)19 = 219.44. (CĐ khối AD 2003)

Cách 1:Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] =

= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!= (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1!= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1!= …..= 2! – 1.1! = 1

Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1. Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp:

* Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng.* Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có:

P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – 1* Ta cần ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1

Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm)

45. (CĐ Giao thông II 2003)

Do 0 nn nC C 1 nên ta có: 0 1 n 1 2 n 1

n n n n n nC C ...C C C ...C

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

n 11 2 n 11 2 n 1 n n nn n n

C C ... CC C ...C

n 1

50


Áp dụng khai triển (a + b)n =

n

k k n kn

k 0

C a b với a = b = 1, ta có:

0 1 2 nn n n nC C C ... C = 2n 1 2 n 1

n n nC C ... C = 2n – 2

Suy ra:

n 1n1 2 n 1n n n

2 2C C ...C

n 1 (đpcm).

46. (CĐ Giao thông III 2003)

1. Ta có: (1 + x)n = 0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x

Đạo hàm 2 vế, ta được:

n(1 + x)n–1 = 1 2 3 2 n n 1n n n nC 2C x 3C x ... nC x

Cho x = –1

0 = 1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) nC

Vậy S = 0.

2. Ta có: (1 + x)n = 0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x

1 1

n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n

0 0

(1 x) dx C C x C x C x ... C x dx

1 1n 10 1 2 2 3 n n 1n n n n

00

(1 x) 1 1 1C x C x C x ... C x

n 1 2 3 n 1

n 10 1 2 nn n n n

2 1 1 1 1C C C ... C

n 1 2 3 n 1

Do đó: T =

n 12 1n 1

Ta có: n n 1 n 2n n nC C C 79

n N, n 2

n(n 1)1 n 79

2

n = 12

Vậy: T = 132 1

13.

47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003)

Vế trái = k k 1 k 1 k 2

n 2 n 2 n 2 n 2C C C C = k k 1

n 1 n 1C C = knC .

48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)Điều kiện: n Z, n ≥ 0.

BPT 3 (2n)! (3n)!(n!) . . 720

n!n! (2n)!n! (3n)! ≤ 720

Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)!

WWW.ToanCapBa.Net


Do đó: BPT có nghiệm

0 n 2

n Z.

49. (CĐ Công nghiệp HN 2003)

P(x) = (16x – 15)2003 =

2003k 2003 k k2003

k 0

C (16x) ( 15)

=

2003k 2003 k k 2003 k2003

k 0

C (16) ( 15) x

Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = k 2003 k k2003C (16) ( 15)

Vậy: S =

2003 2003k 2003 k k

k 2003k 0 k 0

a C (16) ( 15) = (16 – 15)2003 = 1

50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)Điều kiện: n N, n ≥ 3.

PT n! n!

2 16n(n 3)! 2!(n 2)!

n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n

n2 – 2n – 15 = 0

n 5

n 3 (loaïi)

vậy: n = 5.51. (CĐ Nông Lâm 2003)

Ta có:

151 2x

3 3 =

15 k k15 15k k k k15 15 15

k 0 k 0

1 2 2C x C x

3 3 3Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển:

ak = k k1515

1C .2

3; k = 0, 1, 2, …, 15.

Xét sự tăng giảm của dãy ak:

ak–1 < ak k 1 k 1 k k15 15C .2 C .2 k 1 k

15 15C 2C

k < 323

, k = 0, 1,.., 15

Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10

Đảo dấu BĐT trên ta được:

ak–1 > ak k > 323

a10 > a11 > … > a15.

Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = 10 10

101515 15

2 2C 3003.

3 3.

52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)Ta có:

52


(1 – x)2n = 0 1 2 2 3 3 4 4 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x C x ... C x C x

Đạo hàm 2 vế theo x, ta có:–2n(1 – x)2n–1 =

= 1 2 3 2 4 3 2n 1 2n 2 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C x 3C x 4C x ... (2n 1)C x 2nC x

Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có:

0 = 1 2 3 4 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C 3C 4C ... (2n 1)C 2nC

Vậy: 1 3 2n 1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n1C 3C ... (2n 1)C 2C 4C ... 2nC .

53. (ĐH khối A 2004)

Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = 0 1 2 2 4 2 3 6 38 8 8 8C C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) +

+ 4 8 4 5 10 5 6 12 6 7 14 7 8 16 88 8 8 8 8C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x)

Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:

3 2 4 08 3 8 4C .C ; C .C

Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238.54. (ĐH khối D 2004)

Ta có:

73

4

1x

x =

k7 7 kk 3

7 4k 0

1C x

x =

28 7k7k 127

k 0

C x

Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn:

28 7k

012

k = 4

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: 47C = 35.

55. (ĐH khối A 2005)

Ta có: (1 + x)2n+1 = 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C x C x C x ... C xĐạo hàm 2 vế ta có:

(2n + 1)(1 + x)2n = 1 2 3 2 2n 1 2n

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2C x 3C x ... (2n 1)C x

Thay x = –2, ta có:

1 2 2 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C ... (2n 1)2 C = 2n + 1

Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 n = 1002.56. (ĐH khối D 2005)

Điều kiện: n ≥ 3.

Ta có: 2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C = 149

(n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)!2 2 149

2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!

WWW.ToanCapBa.Net


n2 + 4n – 45 = 0

n 5

n 9 (loaïi)

Vậy: n = 5.57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2)

Ta có: (1 + x)2n+1 = 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C x C x C x ... C x

Cho x = 1 ta có: 22n+1 = 0 1 2 3 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C (1)

Cho x = –1 ta có: 0 = 0 1 2 3 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C (2)

Lấy (1) – (2) 22n+1 = 1 3 2n 1

2n 1 2n 1 2n 12 C C ... C

22n = 1 3 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C = 1024 2n = 10

Ta có: (2 – 3x)10 =

10k k 10 k k

10k 0

( 1) C 2 (3x)

Suy ra hệ số của x7 là 7 7 310C 3 2

58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)

k2005C lớn nhất

k k 12005 2005

k k 12005 2005

C C(k N)

C C

2005! 2005!k!(2005 k)! (k 1)!(2004 k)!

2005! 2005!k!(2005 k)! (k 1)!(2006 k)!

k 1 2005 k

2006 k k

k 1002

k 1003 1002 ≤ k ≤ 1003, k N.

k = 1002 hoặc k = 1003.59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2)

Ta có: 2Pn + 6 2 2n n nA P A = 12 (n N, n > 1)

2n! +

6.n! n!n! 12

(n 2)! (n 2)!

n!

(6 n!) 2(6 n!) 0(n 2)!

6 n! 0

n!2 0

(n 2)!

n! 6

n(n 1) 2 0

2

n 3

n n 2 0

n 3

n 2 (vì n 2)

Vậy: n = 2 hoặc n = 3.60. (ĐH khối A 2006)

54


Từ giả thiết suy ra: 0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2 (1)

Vì k 2n 1 k

2n 1 2n 1C C , k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:

0 1 2 n 0 1 2 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11

C C C ... C C C C ... C2

(2)

Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:

0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2 (3)

từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.

Ta có:

10 10 10k7 k 4 10 k 7 k 11k 40

10 104k 0 k 0

1x C (x ) x C x

x

Hệ số của x26 là k10C với k thoả mãn: 11k–40 = 26 k = 6

Vậy hệ số của x26 là 610C = 210.

61. (ĐH khối B 2006)

Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng knC . Từ giả thiết suy ra:

4 2n nC 20C n2 – 5n – 234 = 0 n = 18 (vì n ≥ 4)

Do

k 118k18

C 18 k1

k 1C k < 9, nên: 1 2 9

18 18 18C C ... C

9 10 1818 18 18C C ... C

Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)

ĐK: x N, y N*, x ≤ y.Từ phương trình thứ hai suy ra x = 4Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

y2 – 9y + 8 = 0

y 1(loaïi)

y 8. Vậy: x = 4; y = 8.

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)ĐK: n N, n ≤ 4

n n n4 5 6

1 1 1

C C C

n!(4 n)! n!(5 n)! n!(6 n)!4! 5! 6!

n2 – 17n + 30 = 0

n 15 (loaïi)

n 2

Vậy: n = 2.64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)

0 1 2n n nC C C 211

n N,n 2

n(n 1)1 n 211

2

WWW.ToanCapBa.Net


2

n N,n 2

n n 420 0 n = 20

k kkn nn1

k 1

(k 1).C (k 1)CC

(k 1)!Ak!

(k = 1, 2, …, n)

Do đó: với n = 20 ta có: S = 0 1 2020 20 20C C ... C = 220.

65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = k k knC ( 2) .x

Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 0 1 2n n nC 2C 4C 71

n N, n 2

n(n 1)1 2n 4 71

2

2

n N, n 2

n 2n 35 0 n = 7

Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là:

a5 = 5 57C ( 2) = – 672.

66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006)

Ta có: 1 3n nC C 13n

n(n 1)(n 2)n 13n

6

n2 – 3n – 70

n 10

n 7 (loaïi)

Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là:

Tk+1 = k 2 10 k 3 k k 20 5k10 10C (x ) (x ) C x

Tk+1 không chứa x 20 – 5k = 0 k = 4

Vậy số hạng không chứa x là: T5 = 410C = 210.

67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)

Cách 1: Ta có: 0 1 2 4n 2 4n 2

4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2

0 2 4 4n 2 4n 14n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2

0 2 4 2n 4n4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2

Vậy có: 24n = 256 n = 2

Cách 2: Đặt Sn = 0 2 4 2n4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C

Thì Sn+1 = 0 2 4 2n4n 6 4n 6 4n 6 4n 6C C C ... C

Vì 2k 2k4n 6 4n 2C C (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn dãy (Sn) tăng.

Khi n = 2 thì S2 = 0 2 410 10 10C C C = 256

Vậy Sn = 256 n = 2.

56

Traàn Só Tuøng WWW.ToanCapBa.Net Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006)

A =

20 103

2

1 1x x

xx

=

20 10k 10 k nk k 20 k 2 n n 3 120 10

k 0 n 0

( 1) C x x ( 1) C x x

=

20 10k nk 20 3k n 30 4n

20 10k 0 n 0

1 C x 1 C x

Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n 10 – n = 3(n – k)Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 10 có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau.Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm:

21 + 11 – 3 = 29 số hạng.69. (CĐ KT Y tế I 2006)

Ta có: 42n = (1 + 3)2n = 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3

22n = (1 – 3)2n = 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3

42n + 22n = 0 2 2 2n 2n2n 2n 2n2 C C 3 ... C 3

42n + 22n = 2.215(216 + 1) (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0 22n = 216 n = 8.

70. (CĐ Xây dựng số 2 2006)Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

(a + b)n = 0 n 1 n 1 n nn n nC a C a b ... C b

Với a = 3, b = – 1 2n = (3 – 1)n = 0 n 1 n 1 n nn n nC 3 C 3 ... ( 1) C

Với a = 1, b = 1 2n = (1 + 1)n = 0 1 nn n nC C ... C

Vậy: 0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C

71. (CĐ KT Y tế 1 2005)ĐK: x N, x ≥ 2

BPT

(x 1)! x!2 3 20 0

2!(x 1)! (x 2)!

x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 2x2 – x – 10 < 0 – 2 < x < 52

Kết hợp điều kiện x = 2.72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Số hạng tổng quát: k k 45 2k k15C ( 1) x y

WWW.ToanCapBa.Net


45 2k 29

k 8 k = 8

Vậy hệ số của x29y8 là: 815C = 6435.

73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = k k knC ( 2) x

Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 0 1 2n n nC 2C 4C = 71

n N, n 2

n(n 1)1 2n 4 71

2

2

n N, n 2

n 2n 35 0 n = 7.

58

[]-Đai Số Tổ Hợp-Nhị Thức Newton

Documents