Nguyen Ly Xuong Thang

TRNG I HC S PHM H NIKHOA TON TIN

CHUYN 3 NGUYN L XUNG THANG

Ging vin : Thy Nguyn Quang LcNhm 13 : Nguyn Thnh Tt - K61C Nguyn Th Nh Mai K61B

Mc lc1. M u v nguyn l xung thang1.1 Lch s1.2 Nguyn l xung thang2. ng dng ca nguyn l xung thang2.1 Nguyn l xung thang vi phng trnh nghim nguyn 2.2 Nguyn l xung thang trong hnh hc2.3 Mt s bi tp 3. Bi tp t giiTi liu tham kho :- Gio trnh i s s cp (T/g : Dng Quc Vit m Vn Nh)- Bi tp i s s cp(T/g : Dng Quc Vit L Vn nh)

1. M u v nguyn l xung thang1.1. Lch s

Nguyn l xung thang c lch s t thi P. Fermat (1602 1655). Mt bi ton v i lm hao mn bit bao tr c ca cc nh ton hc sut my th k nay, l bi ton Fermat ln: Vi n3 khng tn ti b s nguyn no tha mn phng trnh , mc d Fermat qu quyt rng ng tm ra cch chng minh nh l ny nhng ng khng vit ra v khng ch. ng vit rng : Do nhng phng php bnh thng c trong cc sch khng chng minh nhng mnh kh v qua trng, v th ti hon thin mt cch c bt gii quyt nhng bi ton ny. Ti gi cch chng minh c bit ny l xung thang khng xc nh hoc l xung thang n v cng.Ban u ng ch dng phng php ny chng minh nhng mnh ph nh. V d: chng minh rng Khng tn ti mt tam gic vung c s o cc cnh l cc s t nhin, m s o din tch ca n l mt s chnh phng . chng minh mnh ny ng dng phng php sau : Nu tn ti mt tam gic vung c s o cc cnh l cc s t nhin m din tch ca n l mt s chnh phng, th tn ti mt tam gic khc c nh hn tam gic v cng c tnh cht . Nu tam gic th hai nh hn tam gic ban u v c cng tnh cht th lp lun tng t, tn ti tam gic th ba nh hn tam gic th hai v c cng tnh cht. Tip tc qua trnh ny, ta nhn c tam gic th 4, th 5,.... v gim n v cng. S o mt cnh ca tam gic vung xut pht l mt s t nhin, sau mi bc thc hin trn, s o cnh ny gim thnh mt s t nhin nh hn. Do , to ra mt dy gim cc s t nhin. Tuy nhin, dy s t nhin gim thc s khng th gim v hn ln. T suy ra khng tn ti tam gic vung c s o cc cnh l cc s t nhin m s o din tch ca n l mt s chnh phng.Sau , Fermat c ni rng c th ng dng phng php ny vo chng minh nhng mnh khng nh. V d nh Mi s nguyn t dng 4n+1 u biu din thnh tng ca hai s chnh phng. Nhng ng dng phng php ny vo vic chng minh mnh khc nh Mi s c th biu din thnh tng ca khng qu bn s chnh phng, th ng khng li chi tit ng dng phng php ny nh th no. Hn na, hng lot cc nh l ca ng c chng minh bng phng php ny cng khng li tnh ton, chng minh chi tit. Trong s c nh l ln Fermat cho tng hp n=3. Sau ny, Euler p dng c kt qu phng php ny vo bi ton gii phng trnh v dnh v t vic chng minh nh l ln Fermat cho n=3 c phc hi. Fermat khng inh phng php ny l ca mnh a ra ln u tin v trc khng c ai bit n phng php ny. Tuy nhin, nhng c gng chng minh rng lp phng ca mt s nguyn khng th phn tch thnh tng lp phng ca hai s nguyn c nghin cu khong nm 1000 phng ng vi cc nh ton hc Rp c ni ti phng php ny.Phng php xung thang thi hin i gi mt vai tr quan trng trong gii tch Diophant vi nhng cng trnh ca J.H.Poncar v A.Baile. Ngy nay, phng php ny vn cn c ng dng trong l thuyt s ca ton hc.1.2. Nguyn l xung thang

Gi s C l mt tp cc cu hnh, ta gi nh .Trn C ta trang b mt quan h th t, do ta c th ly ra c mt phn t cc tiu . Bng phng php xung thang, chng ta ch ra c sao cho .

Vy 2. ng dng ca nguyn l xung thang2.1 Nguyn l xung thang vi phng trnh nghim nguyn ( phng trnh Diophante) V d 1: Gii phng trnh nghim nguyn sau:

Gii

D thy phng trnh (*) c mt nghim tm thng .Ta chng minh (*) khng cn nghim no khc ngoi nghim tm thng.

Gi s (*) c nghim nguyn th (V nu d=0 th a=b=c=0)

Nhn xt: Nu l nghim ca (*) th cng l nghim ca (*), nn khng mt tnh tng qut, ta xt (a,b,c,d) vi a,b,c,d>0

Trong s cc nghim , ta chn vi

Mt khc

Thay vo (*) ta c

Tng t nh vy, ta suy ra l nghim ca (*) vi

Mu thun.

Vy (*) c duy nht 1 nghim .

V d 2: Chng minh rng phng trnh khng c nghim nguynGii

+ Ta thy: phng trnh (1) c nghim .Ta s chng t rng (1) khng c nghim nguyn Sau y chng ta ch xt nghim khc tm thng .

Nhn xt :Nu l nghim ca (1) th (x,y,-z);(x,-y,-z)cng l nghim ca (1) nn chng ta xt vi vi + Trc ht ta xt x,y l chn khc nhau.Tht vy,

Nu x,y cng chn nn z chn x=2m, y=2n, z=2k (m,n,k )

Do , (m,n,t) l mt nghim ca phng trnh (1) . M tn v m,n khc tnh chn l.

Do l b ba Pytago nguyn thy v x l, y chn nn tn ti a,b nguyn t cng nhau, khc tnh chn l sao cho

Gi s a l, b chn .V (a l, 2b chn).

M

+ Ta c : l b ba Pytago nguyn thy Tn ti m,n nguyn t cng nhau, khc tnh chn l sao cho

.Do

l nghim ca (1)

Li c : v nn mu thun.

2.2 Nguyn l xung thang trong hnh hc

V d 1: Bit rng trong tt c cc a gic n cnh ni tip cng mt ng trn, lun tn ti mt a gic c din tch ln nht.Chng minh rng a gic c din tch ln nht phi l a gic u.Gii

Gi s tn ti 1 a gic ni tip n cnh khng u S v c din tch ln nht trong ng trn.

tn ti 3 im A,B,C sao cho .

Ly B l trung im ca cung ABC

Hay

Thay B bng B s c 1 a gic S c din tch ln hn a gic SMu thun.Vy trong tt c cc a gic n cnh ni tip cng 1 ng trn, a gic c din tch ln nht l a gic u.

2.3 Mt s bi tp

Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyn dng n ta c :

Gii

Vi n=1 lun ng

Vi n=2lun ng

+ Xt vi .Gi s S l tp hp tt c n sao cho khng tha mn (1).

S c phn t nh nht

khng chia ht cho

khng chia ht cho

khng chia ht cho

khng chia ht cho

Ta thy: m (2k-1,2)=1 k-1+k khng chia ht cho

Nu

khng chia ht cho hay

Mt khc (1) ng vi mi n.

Bi 2: Bit rng trong cc tam gic c cng din tch th tn ti tam gic c chu vi nh nht.Chng minh rng : tam gic c chu vi nh nht phi l tam gic u.

Gii

Gi s tn ti tam gic ABC khng u c chu vi nh nht.Khng mt tnh tng qut, ta gi s .Gi A l giao ca trung trc BC v ng thng song song vi BC i qua A.

Ta s chng minh

Tht vy :Gi C l im i xng ca C qua B;A;C thng hang

c hay pcm

D thy v c cng din tch nhng chu vi tam gic ABC nh hn chu vi tam gic ABC nn mu thun u.

Bi 3:Chng minh rng khng tn ti tp hp M khc rng nhng s t nhin c tnh cht sau :Vi mi x thuc M, tn ti y thuc M sao cho .GiiGi s tn ti tp hp M khc rng sao cho

Do nn M c s nh nht a

La c v l

Hay khng tn ti M sao cho vi mi x thuc M, tn ti y thuc M sao cho .

Bi 4: Gii h phng trnh nghim nguyn:

Gii:

Nhn xt: h phng trnh c nghim .

Ta chng minh h khng c nghim no khc ngoi .Gi s ngc li h c nghim vi nguyn v , Khng mt tnh tng qut ta xt x,y,z,t nguyn dng.

Trong s cc nghim ny ta chn c vi nh nht. Khi , ta c:

Nhn xt :S d ca 1 s chnh phng khi chia cho 7 l 0,1,2,4.

S d ca khi chia cho 7 c xc nh nh sau: 0124

00124

1235

246

48

T suy ra . Thay vo (1) ta c:

Tng t l mt nghim ca h vi Mu thun.Vy h phng trnh c duy nht 1 nghim tm thng.

Bi tp 5 : Gii h phng trnh nghim nguyn dng sau :

Gii:H phng trnh tng ng vi :

t Nh vy

a;b cng tnh chn l v c;d cng tnh chn l.

Gi s l nghim ca h vi

cng chn.V nu cng l th lkhng chia ht cho 2 (V l)

Do , ta t

cng chn. Tht vy, nu cng l th .

Thay vo ta c:

(v l )

Vy cng chn . Thay vo h, ta nhn cl nghim ca h (*) v nn mu thun.Vy h ch c nghim tm thng.

Bi 6:Cho2n+2 im trn mt phng, trong khng c 3 im no thng hng. Chng minh rng tn ti 2 im m ng thng ni chng chia mt phng thnh 2 min sao cho mi min cha ng n im. Gii

Gi s khng tn ti 2 im trong 2n+2 im sao cho ng thng ni chng chia mt phng thnh 2 min m mi min cha n im

Xt bao li ca 2n+2 im v ng thng chia mt phng l

chia mt phng ra thnh 2 min L v M; trong min L cha p im v min M cha q im (p+q=2n)

Khng mt tnh tng qut ta gi s p>q

Nu l ( mu thun vi p+q=2n )

Gi s l cp sao cho nh nht

Trn min L ly sao cho min.

chia mt phng thnh 2 min mi cha

mu thun.

Bi 7: Cho s (gm 2009 ch s 1).Hi c tn ti hay khng bi s dng ca A m tng cc ch s ca n nh hn 2009.

GiiGi s tn ti bi s dng ca A m tng cc ch s ca n nh hn 2009

Tn ti mt s dng b nht l bi ca A.

K hiu l (k>0), S(X) l tng cc ch s ca X.

(VD: X=1234 S(X) =1+2+3+4 =10)

Nu (1+1+..+1=2009 ch s)

Mun th .

Ta c:

Mt khc

Nhn xt:

Mu thun.Vy khng tn ti bi s dng ca A m tng cc ch s ca n nh hn 2009 .

Bi 8: Dy cc s nguyn duyn c tnh cht sau :

Chng minh : ta c bt ng thc sau :

Gii

+ Ta chng minh : .Tht vy, t :

T Gi s tn ti s nguyn dng k sao cho

l dy v hn cc s nguyn dng gim dn (v l)

(*)+ p dng BT (*) ta c :

Bi 9: Trong mt phng mi im c nh du bi mt trong hai s 0 hoc 1. Chng minh rng vi mi s nguyn dng dng ty , ta c th tm c mt tam gic c cc nh c nh du bi cng mt s v di cnh nh hn .GiiGi S l tp nhng s thc dng x sao cho tn ti tam gic u c cc nh c nh du bi cng mt s m di cnh nh hn x.Ta s chng minh bi ton qua hai bc:

+ Bc 1: Chng minh . Tht vy :Gi s

Ly hai im c nh cng s ty .Gi s l cng c nh s 0.Dng lc gic u c tm l.Do tam gic u nn c nh s 1( V nu c nh s 0 th ).Tng t nh s 1.Do tam gic u nn c nh s 0.V t suy rau c nh s 1.Gi l giao ca.Nu c nh s 1 th tam gic l tam gic u c cc nh cng c nh 1 s .Nu c nh s 0 th tam gic l tam gic u c cc nh c nh cng 1 s.Do

+ Bc 2: Chng minh :Vi mi x>0 tn ti sao cho y12, t l mt nghim ca phng trnh vi .iu ny mu thun vi cch chn z.Vy phng trnh cho khng c nghim nguyn dng.

Bi 16: (Bi ton ca Euler) Chng minh rng phng trnh sau khng c nghim nguyn dng : Gii3. Bi tp t giiBi 1: Gii cc phng trnh nghim nguyn sau

Bi 2: Chng minh rng khng th phn tch 7 thnh tng bnh phng ca 3 s hu t.

Bi 3: Gii h phng trnh nghim nguyn sau :

2