Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bảnsac.edu.vn/images/filedownload/4130130083052.pdf · Hệ phương trình (1 6) là hệ phương trình tuyến tính thuần

Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bản

Tập san Khoa học & Giáo dục 24

* Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ** Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BIẾNTRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

*ThS.Cao Hồ Thanh Xuân*, PGS.TS. Lê Văn Hoàng**

ABSTRACTA universal method is proposed to study atomic problems. We show that the

approximation method is of great importance in application of solving atomic Schrödingerequation. Applying for hydrogen in external electric field (the linear Stark effect) as a sampleproblem, the agreement with experiment allow us to apply the method for atomic problems.

Keyworks: perturbation theory, Schrödinger equation, linear Stark effect.

TÓM TẮTMột phương pháp phổ quát được đưa ra cho việc nghiên cứu các bài toán nguyên tử.

Chúng tôi chỉ ra rằng việc giải gần đúng phương trình Schrödinger cho nguyên tử có thể vậndụng trong điều kiện phổ quát nhất. Áp dụng cho bài toán nguyên tử hydro trong điện trường(hiệu ứng Stark tuyến tính) thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm cho thấy có thể vận dụngtốt phương pháp này cho các bài toán nguyên tử phức tạp hơn.

Từ khóa: phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, phương trình Schrödinger, hiệu ứng Starktuyến tính.

1. GIỚI THIỆU VẤN ĐỀTrong cơ học lượng tử, phương trình

Schrödinger là phương trình vi phân với cácđạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi.Nghiệm chính xác của nó chỉ có thể tìm đượctrong một số rất ít các bài toán đơn giản, nhưbài toán dao động tử điều hòa, bài toánnguyên tử hydro, tuy nhiên phương pháp tínhtoán được áp dụng cũng rất phức tạp [1-7].Hầu hết các bài toán lượng tử khác không thểgiải được một cách chính xác, mà chỉ có thểđược giải bằng một phương pháp gần đúngnào đó [6]. Trong các phương pháp gần đúngquen thuộc đã biết [2,3], phương pháp lýthuyết nhiễu loạn luôn nhận được sự quantâm đặc biệt của các nhà vật lý bởi tính thờisự và ý nghĩa vật lý nội tại luôn thể hiện trongbản thân phương pháp.

Thuật ngữ “nhiễu loạn” được mượntrong thiên văn học dùng để chỉ ảnh hưởngcủa một hành tinh này lên quỹ đạo của mộthành tinh khác [5]. Nội dung chủ yếu của

phương pháp như sau:Giả sử Hamiltonian của hệ vật lý đang

xét có dạng:

VHH ˆˆˆ0 += (1)

trong đó 0H là toán tử không nhiễu loạn có

nghiệm chính xác đã biết và V là toán tửnhiễu loạn tương ứng (toán tử này chỉ có vaitrò làm chính xác thêm các thông tin cho bởi

0H ). Do V được sinh ra khi có trường

ngoài tác động yếu lên hệ vật lý nên 0H còn

được gọi là Hamiltonian tự do và V làHamiltonian tương tác.

Bài toán đang xét được giới hạn trong

trường hợp H không phụ thuộc tường minh

vào thời gian, như vậy cả 0H và V đều

không phụ thuộc tường minh vào thời gian.Trường hợp này được gọi là nhiễu loạn dừng.

Do 0H có nghiệm chính xác đã biết, nên

ta có:)0()0()0(

0ˆ

kkk EH = (2)

knnk =)0()0( (3)

Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bản

Tập san Khoa học & Giáo dục, số 2 25

Bây giờ cần tìm nghiệm gần đúng củaphương trình:

Ψ=Ψ+=Ψ EVHH )ˆˆ(ˆ0 (4)

nghĩa là tìm các biểu thức gần đúng cho cáchàm riêng và các trị riêng của toán tử H , quađó ta sẽ có các trạng thái dừng mới tương ứngvới các mức năng lượng mới.

Nếu phổ năng lượng khi chưa nhiễu loạnlà gián đoạn và không suy biến thì nhiễu loạnsẽ dẫn đến sự dịch chuyển các mức nănglượng. Điều này sẽ được nhận biết thông quasự dịch chuyển của các vạch quang phổ.

Nếu phổ năng lượng khi chưa nhiễu loạnlà gián đoạn và suy biến thì nhiễu loạn có thểkéo theo sự tách một mức năng lượng ban đầuthành nhóm nhiều mức năng lượng rất gầnnhau. Sự tách mức năng lượng có thể quan sátđược qua sự tách các vạch quang phổ trongtrường ngoài.

Đối với phổ liên tục, bài toán đang xétdẫn đến việc tìm xác suất để hệ lượng tửchuyển dời từ một trạng thái dừng này sangmột trạng thái dừng khác tương ứng với cùngmột giá trị của năng lượng.

Như vậy, phương pháp lý thuyết nhiễuloạn có thể được ứng dụng rộng rãi cho mộtloạt các bài toán vật lý khác nhau và có thể dễdàng tổng quát hóa thành S-ma trận cho lýthuyết lượng tử tương đối tính [1].

2. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG CÓSUY BIẾN

Trong công trình này, chúng tôi khảosát bài toán nhiễu loạn dừng, phổ năng lượng

khi chưa nhiễu loạn là gián đoạn và suy biến

bội s và đưa ra các công thức tổng quát nhấtcho các bổ chính vào năng lượng và hệ sốhàm sóng. Các kết quả từ công trình này cóthể được vận dụng để giải số cho các bài toánnguyên tử có một hoặc hai điện tử trong cáccông trình tiếp theo.

Xét hệ vật lý có Hamiltonian như sau:

VHH ˆˆˆ0 +=

trong đó 0H là Hamiltonian tự do và V là

Hamiltonian tương tác.

Vì toán tử không nhiễu loạn 0H có trịriêng suy biến, nên ứng với mỗi mức nănglượng )0(

nE sẽ có s vector trạng thái đôc lập

tuyến tính mô tả bởi các hàm

),...,2,1()0( sn = . Ta có:)0()0()0(

0ˆ

nnn EH = (5)

các hàm )0( n sẽ trực giao với hàm )0(

m

(tương ứng với mức năng lượng )0(mE ,

)0()0( nm EE ≠ và s,...,2,1= ).

Mặc dù bài toán không đòi hỏi các hàm)0( n phải trực giao với nhau, nhưng cũng

có thể xây dựng một bộ hàm cơ sở mới bằng

cách kết hợp tuyến tính các hàm )0( n trực

giao lẫn nhau và chuẩn hóa về 1. Vì vậy,chúng ta có thể giả định, mà vẫn không mấttính tổng quát, rằng:

)...,,2,1,()0()0( snn == (6)

Để tìm hàm sóng và năng lượng của hệđang xét, chúng ta cần giải phương trình:

nnn EH Ψ=Ψˆ (7)

với:

sCk

s

kknn ...,,2,1,0 1

)0(, ==Ψ ∑ ∑

∞

= =

(8)

Từ (7) và (8), ta có phương trình:

∑∑∑∑∞

= =

∞

= =

=+0 1

)0(,

0 1

)0(,0 )ˆˆ(

k

s

kknnk

s

kkn CECVH

(9)

Nhân 2 vế của (9) với )0( m , s...,,2,1= ,

ta được phương trình:

mnnk

s

kmknmmmn CEVCHC ,0 1

,,, =+ ∑∑∞

= =

(10)

trong đó: )0()0(,

ˆ kmkm VV =

và )0(0

)0( ˆ mmmm HH = .

Hệ phương trình (10) là tương đương vớiphương trình Schrödinger (7). Giải hệ này tathu được năng lượng nE và các hệ số knC , ,

tức là tìm được hàm sóng (8) của hệ.Sử dụng các khai triển lũy thừa theo

tham số bé:

Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bản

Tập san Khoa học & Giáo dục, số 2 26

∑∞

=

=+++=1

)()2(2)1()0( ...p

pn

pnnnn EEEEE (11)

∑∞

=

=+++=1

)(,

)2(,

2)1(,

)0(,, ...

p

pkn

pknknknkn CCCCC (12)

với )0(nE và )0(

, knC là năng lượng và hệ số

hàm sóng ở gần đúng bậc không, còn )( pnE và

)(,

pknC )0( >p là các bổ chính bậc p vào

năng lượng và hệ số hàm sóng.

Thay (11) và (12) vào (10) rồi đồng nhất

2 vế theo bậc của p, ta thu được các phươngtrình gần đúng bậc không, bậc nhất, bậc hai,

… như sau:

( ) 0)0(,

)0( =− mnmmn CHE (13)

( ) ∑∑∞

= =

=+−0 1

,)0(,

)0(,

)1()1(,

)0(

k

s

kmknmnnmnmmn VCCECHE

(14)

( ) ∑∑∞

= =

=++−0 1

,)1(,

)0(,

)2()1(,

)1()2(,

)0(

k

s

kmknmnnmnnmnmmn VCCECECHE

(15)

Phương trình (13) đưa đến kết quả:

nmC mn ≠= ,0)0(, và )0(

, mnC có giá trị tùy ý

khi nm = . Từ đây ta không có được thông tin

gì về s đại lượng )0(, nnC . Do vậy ta phải tìm

thông tin bổ sung từ phương trình (14). Trong(14), cho n = m và chú ý đến tính chất

nkC kn ≠= ,0)0(, , ta được:

∑∑∞

= =

=0 1

,)0(,

)0(,

)1(

n

s

nnnnnnn VCCE

Hay:

( ) 00 1

)0(,

)1(, =−∑∑

∞

= =n

s

nnnnn CEV

(16)

Hệ phương trình (16) là hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất đối với )0(, nnC , nên điều

kiện để hệ có nghiệm không tầm thường là:

( ) 0det )1(, =− nnn EV (17)

Điều kiện (17) là một phương trình đặc

trưng đối với ẩn )1(nE . Tìm được )1(

nE sẽ cho

phép tìm được )0(, nnC từ hệ phương trình (16).

Năng lượng của hệ khi tính đến bổ chính bậc

nhất có giá trị: )1()0( nnn EEE += . Tùy thuộc

vào số nghiệm khác nhau của )1(nE mà sự suy

biến của nE sẽ bị khử đi một phần hoặc bị

khử hoàn toàn.

Nếu 0, = nnV thì 0)1( =nE và ta phải xét

đến bổ chính bậc hai cho năng lượng theo

phương trình (15). Khi đó, xét trường hợp n =

m, và chú ý là 0)1( =nE , ta thu được phương

trình:

∑∑∞

= =

=0 1

,)1(,

)0(,

)2(

k

s

kmknmnn VCCE

(18)

trong đó )1(, knC có thể được tính trực tiếp từ

phương trình (14):

∑∑∞

= = −=

0 1

)0(,)0()0(

,)1(,

h

s

hnkn

hkkn C

EE

VC

(19)

Suy ra:

∑ ∑ ∑ ∑∞

= =

∞

= = −=

0 1 0 1

)0(,)0()0(

,,)0(,

)2(

k

s

h

s

hnkn

hkkmmnn C

EE

VVCE

(20)

Hay:

0)0(,

0 1 0 1,

)2()0()0(

,, =

−

−∑∑ ∑∑∞

= =

∞

= =

hnh

s

k

s

hmnkn

hkkm CEEE

VV (21)

Hệ phương trình (21) cũng là hệ phương

trình tuyến tính thuần nhất đối với )0(, hnC . Để

hệ này có nghiệm không tầm thường ta phải

có:

0det0 1

,)2(

)0()0(

,, =

−

−∑∑∞

= =k

s

hmnkn

hkkm EEE

VV

(22)

Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bản

Tập san Khoa học & Giáo dục, số 2 27

Điều kiện (22) là một phương trình đặc

trưng đối với ẩn )2(nE . Số nghiệm của )2(

nE sẽ

quyết định mức độ khử suy biến đối với nănglượng của hệ vật lý đang xét.

Trường hợp tổng quát ( 3≥p ) thì bổ chính

cho năng lượng và hệ số hàm sóng sẽ có dạng

tổng quát như sau:

∑∑∞

= =

−=0 1

,)1(

,)0(,

)( 1

k

s

kmp

knmn

pn VC

CE

(23)

−

−= ∑ ∑∑∑∑

∞

=

−

=

∞

= =

−

=

−

0

1

1 0 1

)()(,

1,

)1(,)0()0(

)(,

1

h

p

t k

stp

nt

kn

s

hkphk

kn

pkn ECVC

EEC

(24)Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà

chúng tôi sẽ sử dụng trong các công trình tiếp

theo.

3. HIỆU ỨNG STARK ĐỐI VỚI NGUYÊNTỬ HYDRO

Hiệu ứng Stark là sự biến đổi các mức

năng lượng của nguyên tử, phân tử và tinh thểdưới tác dụng của điện trường, biểu hiện cụthể qua sự dịch chuyển và sự tách các vạch

phổ.

Có hai loại hiệu ứng Stark: hiệu ứng

Stark tuyến tính (xảy ra đối với nguyên tửhydro và các nguyên tử đồng dạng hydro) và

hiệu ứng Stark bình phương (xảy ra với các

nguyên tử khác). Ở đây chúng tôi chỉ xét hiệu

ứng Stark tuyến tính: việc tách các mức nănglượng tỉ lệ thuận với độ lớn của điện trường.

Do các mức năng lượng không nhiễu

loạn của nguyên tử hydro chỉ phụ thuộc sốlượng tử chính n:

22

4)0( 1

2 n

meEn

−=

nên độ suy biến tổng quát của các mức nănglượng này là n2.

Khi đặt nguyên tử hydro vào điện

trường không đổi có cường độ nhỏ

( cmVE /105≤ ) và chọn hệ trục tọa độ sao

cho vector cường độ điện trường E trùng với

trục Oz, thì Hamiltonian của hệ đang xét códạng:

ezEr

e

meU

r

e

mH +−∆−=−−∆−=

2222

22ˆ

(25)

Trong đó:r

e

mH

22

0 2ˆ −∆−=

là Hamiltonian

của nguyên tử hydro khi không có nhiễu loạn.

ezEV =ˆ là toán tử nhiễu loạn tương ứng.

Chúng tôi xét sự tách mức năng lượng

thứ hai của nguyên tử hydro (là )0(2E ứng với

giá trị 2=n ), do mức năng lượng thứ nhất

của nguyên tử hydro không có suy biến nên

không có sự tách mức năng lượng, và bài toán

chỉ xét đến bổ chính bậc nhất cho năng lượng.

Do mức năng lượng )0(2E có độ bội suy

biến là 4, nên ứng với cùng mức năng lượng

này ta có 4 trạng thái khác nhau được mô tảbởi 4 hàm sóng sau:

ia

r

a

r

a

r

ea

re

a

a

re

a

a

re

a

±−

±

−

−

==

==

−==

sin26

1

8

3

cos26

1

4

3

21

2

1

4

1

0

2

30

1,1,2)0(4,3

0

2

30

0,1,2)0(

2

0

2

30

0,0,2)0(

1

0

0

0

(26)

với a0 là bán kính Bohr thứ nhất.

Bổ chính bậc nhất vào mức năng lượng)0(

2E là nghiệm của phương trình:

0

)1(44434241

34)1(

333231

2423)1(

2221

141312)1(

11

=

−

−

−

−

EVVVV

VEVVV

VVEVV

VVVEV

(27)

Nghiên cứu chung và nghiên cứu khoa học cơ bản

Tập san Khoa học & Giáo dục, số 2 28

trong đó chỉ có eEaVV 02112 3−== , còn các

yếu tố ma trận khác bằng 0.

Phương trình (27) viết lại dưới dạng:

0

000

000

003

003

)1(

)1(

)1(0

0)1(

=

−−

−−

−−

E

E

EeEa

eEaE

(28)

Từ đó ta thu được các bổ chính bậc nhất

vào mức năng lượng )0(2E như sau:

0,3,3 )1(4,30

)1(20

)1(1 =+=−= EeEaEeEaE

(29)

Như vậy đưới tác dụng của điện trường

đều, mức năng lượng suy biến bậc 4 tách

thành ba mức năng lượng:

)0(223

0)0(

222

0)0(

221

3

3

EE

eEaEE

eEaEE

=

+=

−=

(30)

Và các hàm sóng bậc không tương ứngvới ba mức năng lượng trên có dạng:

1,1,230,1,20,0,220,1,20,0,21 ,)(2

1,)(

2

1±=−=+= (31)

Hiện tượng này gọi là hiệu ứng Starktuyến tính vì sự tách mức năng lượng )0(

2E tỉlệ với độ lớn của điện trường E.

4. KẾT LUẬNNhư vậy trong công trình này trước tiên

chúng tôi nhắc lại một cách tổng quan vềphương pháp lý thuyết nhiễu loạn, sau đóchúng tôi phát triển cho trường hợp riêng: bài

toán nhiễu loạn dừng, phổ năng lượng khi

chưa nhiễu loạn là gián đoạn và suy biến bội

s và đưa ra các công thức tổng quát nhất chocác bổ chính bậc nhất vào năng lượng và hệsố hàm sóng. Qua ví dụ minh họa là bài toán

nguyên tử hydro trong điện trường yếu chúngtôi chỉ ra rằng kết quả nghiên cứu hoàn toànphù hợp thực nghiệm. Các kết quả của công

trình này cho phép chúng tôi tiếp tục pháttriển phương pháp cho các bài toán khác phứctạp hơn trong các công trình tiếp theo. Đặcbiệt việc ứng dụng phương pháp cho các bàitoán phi nhiễu loạn của nguyên tử có một

hoặc hai điện tử trong trường ngoài sẽ là mộttrong các mục tiêu quan trọng của nhómchúng tôi trong thời gian tới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt[1] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học

lượng tử, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội,trang 222-232.

[2] Đặng Quang Khang (1996), Cơ học

lượng tử, Nxb Khoa học và Kỹ thuật,trang 262-288.

[3] Nguyễn Huyền Tụng (2008), Cơ học

lượng tử, Nxb Khoa học và Kỹ thuật,trang 151-162.

[4] Phạm Thúc Tuyền (2007), Cơ học

lượng tử, Nxb Khoa học và Kỹ thuật,trang 341-359.

Tiếng Anh

[5] B. H. Bransden, C. J. Joachain (1996),Physics of Atoms and Molecules,Longman, England.

[6] David J. Griffiths (1992), Introduction

to Quantum Mechanics, Prentice Hall,Upper Saddle River, New Jersey 07458.

[7] Herbert Kroemer (1994), Quantum

Mechanics for Engineering, Material

Science and Applied Physics, PrenticeHall, Englewood Cliffs, New Jersey07632