ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤPtailieuso.udn.vn/bitstream/TTHL_125/6391/1/NguyenMinh...số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

____________________

NGUYỄN MINH HOÀNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC

BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 1: TS. Nguyên Duy Thái Sơn Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại :

Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng

Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong các ngành của toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ XVI

khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số. Mặc dù sinh sau nhưng

số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành toán học như đại số, giải tích , lượng

giác, hình học…

Ở trường phổ thông thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến lớp

12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới

biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số

phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết các bài toán sơ cấp

khó.

Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức trong

việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù

hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học phổ

thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức trong các bài

toán sơ cấp”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng toán

thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi. Phân tích

cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử dụng số phức

để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp

phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học.

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có

nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao

đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…

2

4. Phương pháp nghiên cứu

- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên

internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin và tập hợp các bài

toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài.

- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học.

5. Ý nghĩa khoa học

Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi

toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học toán ở nhà

trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và học sinh.

6. Cấu trúc luận văn

Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:

Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản

Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số

Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học

Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn. Tuy nhiên do thời gian và trình độ có

hạn, chắc chắn luận văn sẽ không thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận

được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân

thành cảm ơn!

3

CHƯƠNG 1

SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết cách

giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư toán trường ĐH Bologne

(Ý) tên là Scipione del Ferro ( 1465-1526) đã biết cách giải phương trình 3 xx p q ,

nhưng ông không hề công bố, người ra nghĩ rằng cách giải của ông chưa hoàn chỉnh.

Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học

trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là Antonio Mario Fior.

Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập.

Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức Tartaglia giả

30 phương trình bậc 3 trong 2h. Ngược lại , Fior cũng nhận thách thức sẽ giải 30

phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra.

Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một cách

mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối cùng cuộc thi

giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30 phương trình mà

Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải được một phương trình mà

thôi vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa

tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy

thưởng.

Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3

trong trường hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp

ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ

hội nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình bậc 3. Cardano phải

thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo

chí. Nhưng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sư Scipione del Ferro đã tìm ra cách

giải trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố

trong tác phẩm của ông là Ars magna vào năm 1545.

4

Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển sách

của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cải vã giữa hai

người này, và cuộc cải vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu như không có sự xuất

hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi giải phương trình bậc 3

cả Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho nên nếu gặp phải căn bậc 2

của số âm thì cả hai đều cho là vô lý.

Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm 1501,

đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà trở thành

thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết

học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách

“Nghệ thuật lớn giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày

cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự

nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.

Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời là

nhà toán học, nhưng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học người

Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm 1560

R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông xét phương trình bậc

3: 3 xx m n và ông chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực nếu 2 3

n m là âm.

Trong trường hợp này công thức của Tartaglia-Cardano không dùng được vì trong

trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chưa ai

vượt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhưng

tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương trình 3 15x 4x , ông làm việc với

các số có dạng 1a b như đối với số thực, ông nhận xét rằng 2 1 là căn bậc 3

của 2 121 và công thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả 4x là một nghiệm

của phương trình 3 15x 4x , còn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của

2 121 . Điều này đưa ông đến chỗ tìm được các qui tắc tính toán đối với số phức.

Đời sau đánh giá Bombelli là người có công đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức.

5

Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo

không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng

ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại

lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng

ảo- đó là nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường

như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật”.

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) . Vào thế kỷ

XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng

ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái

niệm logarit cho số phức bất kì (1738) , còn Moa-vrơ nghiên cứ và giải bài toán căn

bậc tự nhiên đối với số phức (1736).

Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là

C.Wessel đưa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong

công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được

gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.Argand-

người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có

thứ tự ( ; ), ,a b a R b R được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837).

Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) , tức là đơn

vị “ảo” được lí giả một cách hiện thực.

Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững

chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh

chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số

phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.

1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

Xét tập 2 * {( , ) | , }R R R x y x y R

Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi :

1 2

1 2

x x

y y

6

Ta xây dựng các phép toán trên R2 như sau: 21 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )z x y z x y R

Phép cộng : 1 2 1 2 1 2( , )z z x x y y

Phép nhân: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( , )z z x x y y x y x y

Định nghĩa 1.2.

Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập

số phức C, phần tử ( , )x y C là một số phức.

Kí hiệu C* để chỉ tập hợp C\{(0;0)}.

Định lý 1.2.2.

(C,+,.) là một trường ( nghĩa là trên C với các phép toán đã định nghĩa có các

tính chất tương tự trên R với các phép toán cộng nhân thông thường)

1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1.3.1. Xây dựng số i

Xét tương ứng : {0}

( ;0)

f R R

x x

Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.

Ngoài ra ta cũng có: ( , 0) ( , 0) ( , 0); ( , 0)( , 0) ( , 0)x y x y x y xy

Vì là song ánh nên ta có thể đồng nhất ( , 0)x x

Đặt (0,1)i thì 2 (0,1)(0,1) ( 1,0) 1i

và ( , ) ( , 0) (0, ) ( , 0) ( , 0)(0,1)z x y x y x y x yi

Từ đó ta có kết quả sau:

Định lí 1.3.1.

Mỗi số phức 2( , )z x y R có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

, ,z x yi x y R trong đó 2 1i .

Biểu thức x yi được gọi là dạng đại số của số phức ( ; )z x y

Kí hiệu : Re( )x z gọi là phần thực của số phức z

Im( )y z gọi là phần ảo của số phức z

Chú ý

Số phức 0z a i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

0a i a R C

7

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo) :

0 ( ); 0 1 1z bi bi b R i i i

Số 0 0 0 0i i vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức ( , ), ' ' ' ( ', ' )z a bi a b R z a b i a b R gọi là bằng nhau nếu

', 'a a b b . Khi đó ta viết 'z z

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng Oxy . Mỗi số phức ax ( , )z bi a b R được biểu diễn bởi điểm M

có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức

ax ( , )z bi a b R . Ta còn viết ( )M a bi hay ( )M z .

Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức

a. Tổng của hai số phức

Định nghĩa 1.3.3.

Tổng của hai số phức ( , ), ' ' ' ( ', ' )z a bi a b R z a b i a b R là số phức

' ' ( ')z z a a b b i

Tinh chất của phép cộng số phức:

Tính chất kết hợp:

( ') '' ( ' "), , ', "z z z z z z z z z C

Tính chất giao hoán:

' ' , , 'z z z z z z C

Cộng với 0:

0 0 ,z z z z C

Với mỗi số phức ( , )z a bi a b R , nếu kí hiệu số phức a bi là z thì ta có:

( ) ( ) 0z z z z

Số z được gọi là số đối của số phức z.

8

b. Phép trừ hai số phức

Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’ tức là:

' ( ')z z z z

Nếu ( , ), ' ' ' ( ', ' )z a bi a b R z a b i a b R thì:

' ' ( ')z z a a b b i

Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ

Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z a bi

. Ta cũng coi mỗi vectou

có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z a bi

Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM

biểu diễn số

phức đó.

Dễ thấy rằng, nếu , 'u u

theo thứ tự biểu diễn các số phức , 'z z thì

'u u

biểu diễn số phức 'z z

'u u

biểu diễn số phức 'z z .

1.3.4. Phép nhân số phức

a. Tích của hai số phức

Cho hai số phức ( , ), ' ' ' ( ', ' )z a bi a b R z a b i a b R . Thực hiện phép nhân một

cách hình thức biểu thức a bi với biểu thức ' 'a b i rồi thay 2 1i , ta được

2( )( ' ' ) aa ' ' ( " ' ) aa ' ' ( ' ' )a bi a b i bb i ab a b i bb ab a b i

Định nghĩa 1.3.4

Tích của hai số phức ( , ), ' ' ' ( ', ' )z a bi a b R z a b i a b R là số phức

z ' aa ' ' ( ' ' )z bb ab a b i

Nhận xét 1.3.4.

Với mọi số thực k và mọi số phức ( , )a bi a b R thì:

( ) ( 0 )( ) ak a bi k i a bi k kbi

Đặc biệt : 0z 0, z C

b. Tính chất của phép nhân số phức

Tính chất giao hoán:

z ' ' , , 'z z z z z C

9

Tính chất kết hợp:

( z ') '' ( ' "), , ', "z z z z z z z z C

Nhân với 1:

1. .1 ,z z z z C

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

( ' ") z' z ", , ', "z z z z z z z z C

1.3.5. Số phức liên hợp và môđun của số phức

a. Số phức liên hợp

Định nghĩa

Số phức liên hợp của số phức ( , )z a bi a b R là z a bi

Nhận xét

z z

Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với

nhau qua trục thực Ox.

Định lý

1. ,z z z R

2. .z z R

3. 1 2 1 2z z z z

4. 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z C

5. 1 1( ) ,z z z C

6. 1 11 2

2 2

, ,z z

z z Cz z

7. Re( ) , Im( )2 2

z z z zz z

i

b. Môđun của số phức

Định nghĩa

Môđun của số phức ( , )z a bi a b R là số thực không âm 2 2a b và được kí

hiệu là | |z

10

Định lý

Cho số phức z thì

1. | | Re( ) | |z z z và | | Im( ) | |z z z

2. | | 0z

3. | | | | | |z z z

4. 1 2 1 2| . | | || |z z z z

5. 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z

6. 1 1| | | |z z

7. 1 12

2 2

| |, 0

| |

z zz

z z

1.3.6. Phép chia cho số phức khác 0

Định nghĩa 1.3.6.

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1

2

1

| |z z

z .

Thương 'z

zcủa phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số

phức nghịch đảo của z, tức là 1'' .

zz z

z

1.3.7. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

a. Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa

Cho số phức w ( , )a bi a b R . Mỗi số phức ( , )z x yi x y R gọi là một căn bậc

hai của w khi và chỉ khi :

2 22 w

2x

x y az

y b

b. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng: 2 z 0( 0)Az B C A . Trong đó A, B, C là các số

phức

Cách giải:

Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép

11

1 22A

Bz z

Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 2,2A 2A

B Bz z

trong đó là một căn bậc hai của

1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.4.1. Acgumen của số phức 0z

Định nghĩa 1.4.1.

Cho số phức 0z . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số

đo (rađian) của một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi là một acgumen

của z.

Nhận xét 1.4.1.

Nếu là một agumen của z thì mọi acgumen của z có dạng 2 , Zk k

Hai số phức z và lz ( với 0z là l là số thực dương) có acgumen sai khác 2k ,vì

các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.

1.4.2. Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức 0( , )z a bi a b R

Kí hiệu r là môđun của z và là một acgumen của z thì dễ thấy:

os , sina rc b r . Từ đây ta có

Định nghĩa 1.4.2.

Dạng ( os i sin )z r c trong đó 0r được gọi dạng lượng giác của số phức 0z

1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Định lí 1.4.3.

Nếu ( os i sin )z r c

' '( os ' i sin ') (r,r' 0)z r c

thì z ' r '[ os( ') i sin( ')]z r c

[ os( ') i sin( ')]' '

z rc

z r ( khi 0r )

12

1.4.4. Công thức Moa-vrơ

Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng

suy ra rằng với mọi số nguyên dương n[ ( os i sin )] (cos i sin )n nr c r n n

Đặc biệt: khi 1r thì: ( os i sin ) cos i sinnc n n

1.4.5. Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác Định nghĩa 1.4.5.

Ta gọi số phức z là căn bậc n của số phức w nếu

wnz ( n là số nguyên cho trước, 1n )

Định lí 1.4.5.

Khi w 0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w ( os sin ), 0R c i R . Khi đó căn

bậc n của w là số phức 2 2

[(cos( ) sin( )]n k kz R i

n n n n

. Lấy 0,1,..., 1k n ta

được n căn bậc n phân biệt của w.

13

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG

ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC

2.1. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

Trong phần này ta xét các bài toán lượng giác hay gặp như tính giá trị lượng giác

của một biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác,...

Đôi khi có những bài toán khá khó khăn để giải thuần túy bằng lượng giác. Việc áp

dụng các kiến thức về số phức, công thức Moa-vrơ, khai triển nhị thức Newton sẽ

giúp ta giải quyết các bài toán nhẹ nhàng, tự nhiên hơn.

Bài toán 2.1.1.

Tính giá trị biểu thức : 2

sin5

A

?

Bài toán 2.1.2.

Tính giá trị biểu thức 2 3

os os os7 7 7

B c c c

( IMO lần 5)

Bài toán 2.1.3.

Tính giá trị biểu thức: 3 5 7 9

os os os os os ?11 11 11 11 11

C c c c c c

Bài toán 2.1.4.

Tính giá trị biểu thức:

2 3 2016os os os ... os

3 3 3 3D c c c c

Bài toán 2.1.5.

Tính giá trị biểu thức với Z*, 2 , Zn a k k :

osx os( ) os( 2a) ... os( ) ?E c c x a c x c x na

Bài toán 2.1.6.

Tính tích 2 4

os . os . os9 9 9

F c c c

14

Bài toán 2.1.7.

Cho , , , sin sin sin 0, cos cos cos 0x y z R x y z x y z . Chứng minh:

sin 2x sin 2 sin 2z 0 và cos 2 cos 2 cos 2 0y x y z

Bài toán 2.1.8.

Chứng minh 2 2 25 7 3os os os

18 18 18 2c c c

Bài toán 2.1.9.

Chứng minh: 3 3os3x 4 os 3 osx;sin 3x 3sin 4 sinc c x c x x

Bài toán 2.1.10.

Chứng minh

4 2 3 5

5 4 2 4

sin 5 5cos sin 10cos sin sin

cos5 cos 10cos sin 5cos .sin

x x x x x x

x x x x x x

Bài toán 2.1.11.

Biểu diễn cos x;sinn nx theo các lũy thừa của osx;sinc x

Bài toán 2.1.12.

Chứng minh :

4 41 1os ( os4 4 cos 2 3), sin (cos 4 2 cos 2 3)

8 8c x c x x x x x

5 51 1os (cos5 5cos 3 10cos );sin (sin 5 5sin 3 10sin )

16 16c x x x x x x x x

Bài toán 2.1.13.

Biểu diễn os , sinn nc x x theo các hàmsin ,cosx x

Bài toán 2.1.14.

Giải phương trình :cos cos 2 cos 3 1x x x

2.2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phương trình

Xét hai số phức , ' ' 'z a bi z a b i .

Ta có : '

' ' ''

a az z a bi a b i

b b

. Như vậy 2 số phức bằng nhau dẫn tới 1

hệ phương trình. Điều này giúp ta có ý tưởng ngược lại là sử dụng số phức để giải hệ

phương trình.

15

Cụ thể khi gặp các hệ có dạng đẳng cấp, đối xứng,... ta nhân hai vế của một

phương trình với ki và cộng với phương trình còn lại. Đưa về giải phương trình theo

số phức. Khi biến đổi ta chú ý hay sử dụng các hằng đẳng thức số phức sau :

2 2 2 2( ) 2xyiz x yi x y

3 3 3 2 2 3

4 4 2 2 4 3 3

( ) 3xy (3x )

6x (4x 4x )

z x yi x y y i

z x y y y y i

Sau đây ta xét các bài toán minh họa cho cách làm trên

Bài toán 2.2.1. Giải hệ : 3 2

2 3

3x 0 (1)

3x 1 (2)

x y

y y

Bài toán 2.2.2. Giải hệ: 3 2

3 2

3x 1 (1)

3x 3 (2)

x y

y y

Bài toán 2.2.3. Giải hệ

4 2 2 4

3 3

6x 3 (1)

1 (2)

4

x y y

x y y x

Bài toán 2.2.4. Giải hệ : 2 2

2x 5 2 0 (1)

10x 4 21 0 (2)

xy y

x y y

Bài toán 2.2.5. Giải hệ :2 2

2 2

3x3 (1)

30 (2)

yx

x y

x yy

x y

(Tạp chí Kvant)

Bài toán 2.2.6. Giải hệ :

13x (1 ) 2

17 (1 ) 4 2

x y

yx y

Bài toán 2.2.7. Giải hệ : 3 2 2 2

3 2

7x 7 5x 7 5 0

7 5 5 0

x xy y y

y x y x y

16

2.2.2. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức

Xét hai số phức 1 1 1 2 2 2;z x y i z x y i thì 1 2 1 2| | | | | |z z z z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1

2 1

( 0)x tx

ty ty

Chứng minh:

1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2

| | | | | |

( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )( )

( )( )

z z z z

x x y y x y x y

x x y y x y x y x y x y

x x y y x y x y

Mà 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2| | ( )( )x x y y x x y y x y x y (Đúng theo BĐT Bunhiacopxki)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2

1 2 2 1

0x x y y

x y x y

Đặt 2 1 2 1

2 21 1 0 0

x kx y ky

kx ky k

Vậy BĐT cần chứng minh đúng

Mở rộng :

1 2 1 2| ... | | | | | ... | |n nz z z z z z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1

2 1

( 0)i

i

x k xk

y k y

( Dễ dàng chứng minh BĐT trên bằng qui nạp )

Bài toán 2.2.8.

Chứng minh : 2 24x 7 4x 7 28( )x x x R

Bài toán 2.2.9.

Chứng minh : 2 2 2 24 2x 1 4 6x 12 18 5( )x y x y y x R

Bài toán 2.2.10.

Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2zx xy y x x z y yz z , ,x y z R

Bài toán 2.2.11.

Chứng minh rằng , ,x y z R :

2 2 2 2 2 24sin sin sin ( ) 4 cos cos sin ( ) 2x y x y x y x y

17

Bài toán 2.2.12.

Chứng minh rằng , , 0a b c :

2 2 2 2 2 2 3( )a ab b b bc c c ca a a b c

(Đại học quan hệ quốc tế năm 1997)

Bài toán 2.2.13.

Cho , , 0

1

a b c

a b c

Chứng minh 2 2 2

2 2 2

1 1 182a b c

a b c

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

18

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC

3.1. KIẾN THỨC SỬ DỤNG

Ta biết rằng mỗi số phức z x yi được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trong mặt

phẳng phức Oxy. Do đó cũng như phương pháp tọa độ, khi đồng nhất mỗi điểm trong

mặt phẳng phức bởi một số phức thì bài toán trong hình học trở thành bài toán với số

phức. Do đó ta có thể sử dụng số phức để giải các bài toán hình học.

3.1.1. Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử các số phức z1, z2 có biểu diễn hình học là các điểm M1, M2 khi đó khoảng

cách giữa hai điểm M1 và M2 được cho bởi công thức 1 2 2 1| |M M z z

3.1.2. Điều kiện để điểm nằm giữa hai điểm

Cho A(a), B(b) là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng phức. Khi đó điểm M(m)

nằm giữa A và B nếu thỏa mãn hệ thức sau :

,

| | | | | |

m a m b

a m m b a b

3.1.3. Chia đoạn thẳng theo một tỉ số

Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt. Một điểm M(z) nằm trên đường thẳng AB

chia đoạn AB theo tỉ số \ {1}k R khi hệ thức vecto sau thỏa mãn:

( )

1

1 1 1

MA kMB

a z k b z

a kb kz a b

k k k

Nhận xét: Nếu đặt 1

kt

k

thì M, A, B thẳng hàng (1 )z t a tb .

3.1.4. Góc định hướng, góc giữa hai đường thẳng

Một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó được chỉ rõ thứ tự. Tam

giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm nếu

ngược chiều kim đồng hồ. Lấy M1(z1) và M2(z2) là hai điểm phân biệt khác gốc tọa

độ trong mặt phẳng phức Oxy. Góc M1OM2 được gọi là góc định hướng nếu các điểm

M1, M2 có thứ tự thuận chiều kim đồng hồ.

19

Khi đó 21 2

1

argz

M OMz

Cho bốn điểm Mk(zk), 1, 2,3,4k thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng M1M3

với M2M4 bằng 4 2

3 1

argz z

z z

3.1.5. Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi :

' '

' '

c a c a

b a b a

Và hai tam giác ABC, A’B’C’ đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi :

' '

' '

c a c a

b a b a

3.1.6. Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1(z1), M2(z2).Khi đó:

Nếu zk có môđun bằng rk và có argument bằng ak thì

1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

. . cos

. . os( ) (cos osa sin a sin )

OM OM OM OM M OM

r r c a a r r a c a

Nên tích vô hướng của hai số phức z1,z2 là :

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1; ( . . ) ; ;

2z z z z z z z z z z R

Tính chất 3.1.6.

2, | |z z zz z

1 2 1 2

, w w,

, w , w , w>

<kz, w , w>,

, , w ,

z z

z z z z

k z k R

z kw k z k R

Nhận xét 3.1.6.

Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức Oxy thì

D ; 0 Re( ) 0b a

AB C b a d cd c

20

3.1.7. Phép quay

Phép quay tâm M0(z0) góc quay là phép biến hình biến M(z) thành điểm M’(z’)

mà 0 0 0 0'; ( ; ')M M M M M M M M

. Khi đó ta có công thức:

0 0' ( )iz z e z z

3.1.8. Định lí( điều kiện để 3 điểm thẳng hàng)

Ba điểm M1(z1) , M2(z2), M3(z3) thẳng hàng khi và chỉ khi

3 1 3 1

2 1 2 1

Im( ) 0z z z z

Rz z z z

3.1.9. Tam giác đều

Cho 3 điểm M1(z1), M2(z2), M3(z3) là đỉnh của tam giác đều định hướng khi và

chỉ khi 1 2 1 3M M M M và góc định hướng quay M1M2 quanh M1 đến vị trí M1M3 là 060 ,

nghĩa là

3 1 2 1 3 1 2 1w( ) w( )z z z z z z z z ; với 0 0 1 3w os60 i sin 60

2 2c i

3.1.10. Phương trình đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M1(z1), M2(z2) trong mặt phẳng phức có phương trình là :

2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 0z z z z

z z z z z z z z z zz z z z

3.1.11. Đường tròn

Bốn điểm phân biệt M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) cùng nằm trên một đường

thẳng hoặc đường tròn khi 3 2 3 4

1 2 1 4

:z z z z

k Rz z z z

Số k được gọi là tỉ số kép của bốn điểm M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4)

3.1.12. Định lí

Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC với các tọa vị a, b, c. Gọi G, H lần lượt

là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC với các tọa vị g, h tương ứng. Khi đó:

(i) 3

a b cg

(ii) Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị thì h a b c

21

3.2. BÀI TẬP

Bài toán 3.2.1.

Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB,BC, CD, DA ta lần lượt dựng về phía ngoài

của tứ giác các hình vuông có tâm O1, O2, O3, O4. Chứng minh rằng

1 3 2 4 1 3 2 4;OO O O OO O O

Bài toán 3.2.2.

Về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác ABR, BCP sao cho

:

0

0

0

45

30

R 15

PBC CAQ

BCP QCA

AB RAB

Chứng minh: 0R 90 ,Q P RQ RP (IMO 17th,1975)

Bài toán 3.2.3.

Dựng về phía ngoài tam giác ABC ba tam giác đều có hướng dương AC’B,

BA’C, CB’A. Chứng minh rằng các trọng tâm của ba tam giác là đỉnh của một tam

giác đều

(Bài toán Napoleon)

Bài toán 3.2.4.

Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm của BD, M là trung điểm của EF.

Chứng minh AMK là tam giác đều?

Bài toán 3.2.5.

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : . D D. . DAB C A BC AC B . Dấu đẳng thức

xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự tạo thành 4 đỉnh của một tứ giác lồi nội

tiếp đường tròn. (BĐT Ptolemy)

Bài toán 3.2.6.

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta dựng các tam giác đồng dạng

cùng hướng ADB, BEC, CFA. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có

cùng trọng tâm

22

Bài toán 3.2.7.

Cho tam giác ABO đều với tâm S, tam giác đều khác A’B’O có cùng hướng với

tam giác ABO và ', 'S A S B .Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’B và AB’. Chứng

minh rằng tam giác SB’M và SA’N đồng dạng (IMO 30th)

Bài toán 3.2.8.

Trên các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC lấy các điểm E và D tương ứng sao

cho D 1

A 2

A BE

DC E .Chứng minh rằng, nếu P là giao điểm của BD, CE thì 090APC

Bài toán 3.2.9.

Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác cân MAB, NAC và PCB theo thứ tự

nhận các điểm M, N,P làm đỉnh góc vuông. Chứng minh rằng: ,AP MN AP MN

Bài toán 3.2.10.

Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và

CD, E và F là giao lần lượt của các đường thẳng AD và BC với MN. Chứng minh nếu

DA BC thì EA M BFM

Bài toán 3.2.11.

Gọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của đoạn

thẳng AB và E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng CD và OE vuông

góc khi và chỉ khi AB AC

Bài toán 3.2.12.

Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng

A2A3, A3A1, A1A2 sao cho 2 1 1 1 3 3 2 2 2 1 1 3 3 3 2; ;A B k B A A B k B A A B k B A

. Chứng minh rằng

những đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3 đồng quy tại 1 điểm khi và chỉ khi 1 2 3 1k k k

(định lí CéVa)

Bài toán 3.2.13.

Cho tam giác A1A2A3.Lấy các điểm B1, B2, B3 lần lượt trên các đường thẳng

A2A3, A3A1, A1A2 sao cho 2 1 1 1 3 3 2 2 2 1 1 3 3 3 2; ;A B k B A A B k B A A B k B A

. Chứng minh rằng

ba điểm B1, B2, B3 nằm trên cùng đường thẳng khi và chỉ khi 1 1 3 1k k k

(Định lí Menelaus)

23

Bài toán 3.2.14.

Cho đa giác đều A1A2A3...An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Chứng minh

rằng với mọi điểm M thì:

2 2 21 2 3( . . ... ) ( )nnMA MA MA MA OM R

Bài toán 3.2.15.

Cho tam giác đều ABC cạnh t và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng:

2. . .MAMB MB MC MC MA t

Bài toán 3.2.16.

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng :

. . .1

. . .

MB MC MC MA MAMB

AB AC BC BA CACB

Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Bài toán 3.2.17.

Cho G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. Chứng minh

2 2 2 2 2 2MA MB MC GA GB GC . Từ đó xác định vị trí điểm M sao cho

2 2 2MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 3.2.18.

Cho tam giác ABC có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh

rằng 2 2 2 29RAB BC CA

Bài toán 3.2.19.

Gọi G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC. Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A2, B2, C2 là chân

đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi A3, B3, C3 là trung điểm các đoạn thẳng AH,

BH, CH. Chứng minh 9 điểm A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 nằm trên cùng một

đường tròn ? (đường tròn euler)

Bài toán 3.2.20.

Cho tam giác ABC có trực tâm H và BD là đường cao. Gọi K là trung điểm của

đường cao này. Chứng minh rằng 090AKC biết 3 DBH H

.

24

KẾT LUẬN

Qua luận văn này tác giả đã trình bày lịch sử phát triển của số phức và ứng dụng

số phức như một cách khác để giải các bài toán sơ cấp. Cụ thể như sau:

Sử dụng số phức để giải các bài toán lượng giác, đại số.

Sử dụng số phức để giải các bài toán hình học sơ cấp.

Hi vọng rằng công cụ số phức sẽ đem đến những điều thú vị, mới mẻ cho các em

học sinh khá, giỏi cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán của các em.

Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận

được những ý kiến đóng góp của các thầy (cô) và bạn đọc để luận văn được hoàn

thiện tốt hơn.