Bài giảng số phức và các phép toán

SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP

TOÁN CỦA SỐ PHỨC

Nguyễn Thị Oanh_QH- 2010S- Toán học

§. SOÁ PHÖÙC

1. Khaùi nieäm soá phöùc

ÑÒNH NGHÓA 1

Moät soá phöùc laø bieåu thöùc coù daïng: a biTrong ñoù

2

a,b

i 1

Kyù hieäu

z a bi a goïi laø phaàn thöïc

b goïi laø phaàn aûo

1 1+2i;

2

1 i

2

3; -2

VD :

32 3i; i

2

2i; i;

Chuù yù:

Moãi soá thöïc a ñöôïc coi laø soá phöùc coù phaàn aûo baèng 0

z = a + 0i = a

Soá phöùc coù phaàn thöïc baèng 0 ñöôïc goïi laø soá aûo (hay thuaàn aûo)

z = 0 + bi = bi (b )

i = 0 + 1i

ÑÒNH NGHÓA 2

(a,b )

(a',b' )

z a bi

z ' a ' b ' i

Cho hai soá phöùc

a=a'

b=b'

z z '

2. Bieåu dieån hình hoïc cuûa soá phöùc

z a bi M(a;b)

a

bM

x

y

0

Truïc thöïc

Truïc aûo

Maët phaúng

phöùc

VÍ DUÏ:

1 2 3

Cho caùc soá phöùc

z z z

Bieåu dieån caùc soá phöùc ñoù trong maët phaúng phöùc

2 3i; 1 2i; 2 i

3. Pheùp coäng vaø pheùp tröø soá phöùc

a. Toång cuûa hai soá phöùc

Toång cuûa hai soá phöùc z=a+bi, z'=a+b'i (a,b,a',b' R) laø soá phöùc

z z ' a a ' (b b ')i Ví duï:

=

(2 3i) (3 2i)

(1 3i) ( 3 5i)

(3 4i) ( 3 4i)

5 i

2 2i

0

Tính keát hôïp: (z + z') + z'' = z + (z+z'')

Tính giao hoaùn: z + z' = z' + z

Coäng vôùi 0: z + 0 = z

Vôùi moãi soá phöùc z=a+bi, neáu kí hieäu soá p

höùc a+bi laø

thì ta coù : z + ( z) = 0. Soá z goïi laø soá ñoái cuûa soá phöùc z

z

b. Tính chaát

c. Pheùp tröø hai soá phöùc

Hieäu cuûa hai soá phöùc z vaø z' laø toång cuûa z vaø z',

töùc laø:

z z' = z + ( z')

Hieäu cuûa hai soá phöùc z=a+bi, z'=a+b'i (a,b,a',b' R) laø soá phöùc

z z ' a a ' (b b ')i

=

(2 3i) (3 2i)

(1 3i) ( 3 5i)

(3 4i) ( 3 4i)

VÍ DUÏ

1 5i 4 8i9 8i

4.Pheùp nhaân soá phöùc

a) Tích cuûa hai soá phöùc

Tích cuûa hai soá phöùc

z = a + bi

z'= a'+ b'i (a,b,a'b' )

laø soá phöùc:

zz'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i

ÑÒNH NGHÓA 4

VÍ DUÏ

(2 i)(1 2i)

(2 i)(2 i)

(2 i)(1 2i)

(2 2) (4 1)i 4 3i

(4 1) ( 2 2)i 5

(2 2) (4 1)i 5i

Tính chaát

Tính keát hôïp:

Tính giao hoaùn:

Nhaân vôùi 1:

(zz')z''=z(z'z'')

zz' = z'z

1z = z

Tính chaát phaân phoái (cuûa pheùp nhaân

ñoái vôùi pheùp coäng):

z(z'+z'') = zz '+zz''

5. Soá phöùc lieân hôïp

a) Khaùi nieäm soá phöùc lieân hôïp

ÑÒNH NGHÓA 5

Soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + bi (a,b )

laø soá phöùc a-bi vaø ñöôïc kí hieäu laø z

z (a,b )a bi a bi

VÍ DUÏ

2 3i 2 3i

4 2i 4 2i

i i

i i

VÍ DUÏ z a bi

z a bi

Tính zz

2 2zz a b

Vôùi moïi soá phöùc z,z', ta coù

z+z'

zz'

Vôùi moïi soá phöùc z, soá zz laø soá thöïc

vaø neáu z=a+bi (a,b ) thì

1)

z z '

zz '

2) '

zz

2 2a b

b) Tính chaát

Moâ ñun cuûa soá phöùc

Ñònh nghóa

2

Moâ ñun cuûa soá phöùc z = a + bi (a,b )

laø soá thöïc khoâng aâm a vaø ñöôïc kí hieäu laø z2b

Neáu z = a + bi thì z2 2zz a b

2zz z

Hoaït ñoäng

-1 -1

Vôùi soá phöùc z = a + bi (a,b ) khaùc 0, chöùng minh raèng soá

z laø soá thoûa maõn zz22 2

1 1z z 1

a b z

6. Pheùp chia cho soá phöùc khaùc 0

ÑÒNH NGHÓA 6

-1

Soá phöùc nghòch ñaûo cuûa soá phöùc z khaùc 0 laø soá

z'Thöông cuûa pheùp chia soá phöùc z' cho soá phöùc z khaùc 0

z

laø tích cuûa z' vôùi soá phöùc nghòch ñaû

z

o

2

1z

z

cuûa z töùc laø

z'

z

1z 'z

z'

z 2

z 'z z 'z

zzz

z'

z 2

z 'z z 'z

zzz

VÍ DUÏ

2 2

2

2 2

3 i (3 i)(1 i) (3 i)(1 i) 2 4i1 2i

1 i (1 i)(1 i) 1 1 2

1 2i (1 2i)(1 2i) (1 2i) 3 4i

1 2i (1 2i)(1 2i) 1 2 5

Thöïc haønh

Tính

1 3 2i 3 4i

2 3i

; ;i 4 i

z'

z 2

z 'z z 'z

zzz

Baøi taäp

1Cho z =

2

3i

2

Haõy tính:

2

z; z ; (z 3 21

; ) ; 1 z zz

z a bi

z ' a ' b ' i

z z ' a a ' (b b ')i

z'

z

z ' z (a ' b ' i)(a bi)

(a bi)(a bi)zz

zz'=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i

z z ' a a ' (b b ')i

z a bi a bi

Giaûi caùc phöông trình:

a) iz 2 i 0

b) (2 3i)z z 1

Kieåm tra 5 phuùt

2

2

2

1) Cho Haõy tính z

Xaùc ñònh phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc

(1-3i)

Giaûi phöông trình: z

z 2 i.

2)

8(1 i)

2) 9 0