DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E SISTEMAS New Wavelets and Applications by Hélio Magalhães de Oliveira CODEC Grupo de Pesquisas em Comunicações, Departamento de Eletrônica e Sistemas CTG-UFPE C.P.7800, 50711-970, Recife-PE, Brasil fax: (55)-0XX-81-271-8215 E-mail: [email protected]URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html Reunião da ABC 9/05/03
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New Wavelets and Applications - de.ufpe.brhmo/ABCvf.pdf · Uma teoria mais geral introduzida nos anos 80: A Transformada de Wavelet ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer,
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DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E SISTEMAS
New Wavelets and Applications
by Hélio Magalhães de Oliveira
CODEC Grupo de Pesquisas em Comunicações, Departamento de Eletrônica e SistemasCTG-UFPE C.P.7800, 50711-970, Recife-PE, Brasil fax: (55)-0XX-81-271-8215E-mail: [email protected] URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html
Reunião da ABC 9/05/03
Aplicações de Wavelets
EQUIPE
Hélio Magalhães de OliveiraRicardo Menezes Campello de SouzaManoel Afonso Carvalho Jr.
Renato José de Sobral Cintra, Luciana Reginaldo Soares, Milde da Silva Lira
As imagens são produzidas com qualidade de arquivamento e com taxasde compressão em torno de 20:1.
Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB);(c) Imagem comprimida wavelets (5KB).
M.M.S. LIRA, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Compactação de Sinais de Distúrbios emSistemas de Transmissão via Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de EnergiaElétrica, XVII SNPTEE, Uberlândia, 2003.
A FAMILY OF WAVELETS AND A NEW ORTHOGONALMULTIRESOLUTION ANALYSIS BASED ON THE NYQUIST CRITERION
DE OLIVEIRA, H.M., SOARES, L.R., FALK T.H., A Family of Wavelets and a New OrthogonalMultiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion, Revista da Sociedade BrasileiraTelecomunicações. Campinas, SP: , v.?, n.?, número especial dedicado ao ITS'02, p.XX - XX, 2003.
A Family of Wavelets and a New Orthogonal Multiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion,Proc. IEEE/SBrT Int. Telecomm. Symp., 2002. pp. 384-389. (selected paper for special issue)
Wavelet de "de Oliveira" Nova família de wavelets ortogonais complexas.
Possuem espectro passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento"
assimétricas, mantendo a filosofia da análise a Q-constante.
Basta escolher )w(Φ (raiz de cosseno elevado). Não são de suporte compacto.
( )πα
παπαπα
πααπ
π
)1(||
)1(||)1(
)1(||0
0
)1(||4
1cos
2
12
1
)(
+>+<≤−
−<≤
−−=Φw
w
w
ww.
Mostra-se que:
{ }tttt
tSatdeO )1(sen.4)1(cos)4(1
1.
4.
2
1])1[().1.(
2
1)(
2)( απααπ
απα
ππαα
πφ −++
−+−−=
4 2 0 2 40.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
alpha=0.1alpha=0.2alpha=0.3
0.435
0.087−
φ t 0.1,( )
φ t 0.2,( )
φ t1
3,
55− t
Figura. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).
Figura. Wavelet )()( tdeOψ : Parte real
Figura. Wavelet )()( tdeOψ : parte imaginária.
WAVELET SHIFT-KEYING: A NEW DIGITAL MODULATION
By H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON
H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON, Wavelet Shift-Keying: A New Digital Modulation,Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, XX SBrT, Setembro 2003, Rio de Janeiro, submetido.
Preliminary ideas of a new digital modulation scheme termed wavelet shift keying
(WSK), which is based on discrete wavelet transforms.
The WSK Modulation M-ary WSK signalling schemes can be used indata transmission application.
• Scaled versions of the mother wavelet are transmitted in each symbol slot.
• It is assumed that scale factor of every slot depends on the input binary data.
The (normalised) non-overlapped modulated signal (M-WSK) based on a wavelet
)t(ψ is given by ( ))mt()t( )m(n
m
)m(nWSKn −= ∑
+∞
−∞=− 22 2ψϕ
, where m
determine the index of the modulation symbol slot at a baud rate of 1 baud andn(m) ∈ {0,1,2,...,M-1}.
0 2 4 6 8 10 12 145
0
5
1010
5−
φnon t( )
150 t
0 2 4 6 8 10 12 141
0.5
0
0.5
11
1−
φover t( )
150 t
Figure. Typical (1 baud normalised) non-overlapped and overlapped WSK waveforms:
Examples based on the Mexh-WSK scheme with M=4 scales.
Strategy of generating transmitter wavelets (two steps):
i) a frequency translation by a mixer;
ii) a scaling the wavelet to fulfil the channel bandwidth.
LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO UTILIZANDO A
REPRESENTAÇÃO WAVELET MULTIRESOLUÇÃO
BY L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA,
L.R. SOARES, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Detecção e Classificação de Faltas Utilizando aTransformada de Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, XVIISNPTEE, Uberlândia, 2003.
L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Localização de Faltas em Linhas deTransmissão Utilizando a Representação Wavelet Multiresolução, Congresso Brasileiro de Automática-CBA,Natal, Setembro, 2002.
LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs
LT: Presidente Dutra/Boa Esperança (PDD/BEA), Norte/Nordeste, 205,6km
As faltas foram simuladas no ATP (Alternative Transient Program),considerando que o monitoramento da linha é realizado no terminal de PDD.
• Localização da falta: método da impedância aparente - versões aproximadas
dos sinais de tensão e corrente à terceira escala.
• Simulações com erros inferiores a 3,7%, satisfatório para reduzir a área de
inspeção por parte das equipes de manutenção.
COMPACTLY SUPPORTED WAVELETS DERIVED FROM LEGENDREPOLYNOMIALS: SPHERICAL HARMONIC WAVELETS
By M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO JR, R.M.C. DE SOUZA
M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO Jr, R.M.C. DE SOUZA, Compactly SupportedWavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets, submitted to WSEASInt. Conf. on Systems, Greece, 2003.
Preliminaries On Legendre Functions
Spherical harmonics are solutions of the Legendre 2nd-order differential equation,n integer:
01212
22 =++−− y)n(n
dz
dyz
dz
yd)z(
.
The solution of (1) above is the nth order Legendre polynomial Pn(z).
Legendre Multiresolution Filters
Pn(cosθ) polynomials can be used to define the smoothing filter H(ω) of amultiresolution analysis (MRA). The low-pass |H(ω)| can be associated to
Legendre polynomials according to: |cosP||)(H| n
= + 212
ωω
Fig. - legd8 wavelet display over MatlabTM using the wavemenu command.
ν+1 non-zero filter coefficients => Legendre wavelets have compact support.
2-dimensional Legendre transform (2D-legdN) for image analysis: Interesting
effects in multiresolution decomposition of hand-drawn images.
Fig. - Reconstruction of a hand-drawn draft using 2D-legd2.
(a) Original (b) Reconstructed image from 1-level wavelet decomposition.
ELLIPTIC-CYLINDER WAVELETS: THE MATHIEU WAVELETS
BY M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, R.J. DE SOBRAL CINTRA, R.M.C. DE SOUZA
M.M.S. LIRA, H.M. de OLIVEIRA, R.J. de SOBRAL CINTRA, Elliptic-Cylindrical Wavelets: The MathieuWavelets, IEEE Signal Processing Letters, accepted, november, 2002.
M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, R.J. de Sobral Cintra, R.M.C. de Souza, Wavelets for Elliptical WaveguideProblems, 2002 WSEAS International Conference on Wavelet Analysis and Multirate Systems, Vouliagmeni,Athens, Greece, December 29-31, 2002.
New family of wavelets and a multiresolution analysis, which exploits the
relationship between analysing filters and Floquet's solution of Mathieu differential
equations.
Wavelets derived by this method seem to possess potential application in the
fields of Optics and Electromagnetism.
PRELIMINARIES
In 1868, É. Léonard Mathieu introduced differential equations nowadays termed
Mathieu equations in his "memoir on vibrations of an elliptic membrane".
Canonical form of the Mathieu Equation: Given a ∈ℜ, q∈C
0)2cos2(2
2
=−+ ywqadw
yd.
The solution of the above equation (1) is the elliptic-cylinder harmonic,known as Mathieu functions.
Broad scope of wave-guide problems involving elliptical geometry, including:
i) analysis for weak guiding for step index elliptical core optical fibresii) power transport of elliptical wave-guidesiii) evaluating radiated waves of elliptical horn antennas
ce1(w,5) ce5(w,5)
Figure - Some plots of 2π-periodic 1st kind even Mathieu functions. Elliptic cosines shape for the
following set of parameters: a) ν=1 and q=5 ; b) ν=5 and q=5.
Figure - FIR-Based Approximation of Mathieu Wavelets. Mathieu Wavelet with ν=1 and
q=5 for 2,4 and 6 iteration.
ON WAVELET DECOMPOSITION OVER FINITE FIELDSTAVORA, R. G. F., FALK, T.H. SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M.
DE OLIVEIRA, H. M., FALK, T. H. On Wavelet Decomposition over Finite Fields In: 19º Simpósio Brasileiro deTelecomunicações, 2001, Fortaleza CE. Anais do 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001. (artigoselecionado para publicação do n. especial da Rev. da Soc. Bras. de Telecom.)
TAVORA, R. G. F., SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M. Um Algoritmo Rápido para a Transformada Wavelet emCorpos Finitos In: 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza. Anais do 19 Simpósio Brasileiro deTelecomunicações , 2001.
DE OLIVEIRA, H.M., FALK T.H., TÁVORA R.F.G., Decomposição de Wavelets sobre Corpos Finitos, Revista daSociedade Brasileira de Telecomunicações. Campinas, SP: v.17, n.1, p.38 - 47, 2002.
•Foundations of wavelets over Galois fields.
•Standard orthogonal finite-field wavelets including FF-Haar and FF-Daubechies.
•FF-wavelets to design spread-spectrum sequences.
APLICAÇÃO: PROJETO DE SEQÜÊNCIAS DE ESPALHAMENTO ESPECTRAL
As portadoras wavelet digitais têm a mesma duração T de um símbolo de entrada a
ser modulado, tendo N chips por símbolo de dados. Nova classe de esquemas
CDM/CDMA baseado em transformadas de wavelet sobre corpos finitos:
Figura: Sistema Multiplex utilizando wavelets
FF- Haar.
Análise wavelet para Seqüências de DNA
As FF-Wavelets podem ser mais adequadas! (pesquisa)
CHEBYSHEV WAVELETS
By R. J. DE SOBRAL CINTRA H. M. DE OLIVEIRA L. R. SOARES
R.J.S. CINTRA, L.R. SOARES, H.M. DE OLIVEIRA, On Filter Banks and Wavelets Based onChebyshev Polynomials, submitted to WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.
New family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived fromconventional Chebyshev polynomials.
Properties of Chebyshev filter banks are investigated, including orthogonality andperfect reconstruction conditions.
The convergence of the cascade algorithm of 2nd kind Chebyshev wavelets isproved by using properties of Markov chains.
Aplicações:
Wavelets Polinomiais em Eletrogastrografia
Contato- Universidade de Calcary, Canadá, Prof. MARTIN P. MINTCHEV
Acometimentos patológicos do sistema digestivo ligados ao estômago(e.g. gastroparesia, gastrites, úlceras pépticas, constipações idiopáticas,refluxo gástrico-esofágico simples, neoplasias gástricas, taquigastrias,doenças gástrico-congênitas).
Figura. Trecho de 20 segundos de um sinal de EGG amostrado a uma freqüência de 2Hz
Sinal Típico de EGG e a função wavelet de Chebyshev.
CONCLUSÕES• RESUMO DOS PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE
Novas wavelets Potenciais aplicaçõesWavelets em corpos finitos Multiplex, Acesso múltiplo, Análise de
seqüências de DNAWavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSLWavelets de Chebyshev Análise em biomédica (eletrogastrografia,
ECG...)Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN, Imagens
médicasWavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo (antenas...)
• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS
• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS
Agradecimentos: Acadêmicos A. Sial&Cid Araújo, co-autores, presentes.